Ch4习题课

2t 2 1 =∫ d t = 2 ∫ (1 − )dt 2 2 1+ t 1+ t = 2t − 2 arctan t + C = 2 [ 1 + sin x − arctan 1 + sin x ] + C
2 2
(1 + x 2 ) 1 − x 2 解: 令 x = sin t , 1 + x 2 = 1 + sin 2 t , d x = cos td t cos t 1 d t= ∫ dt 原式 = ∫ 2 2 (1 + sin t ) cos t 1 + sin t cos 2 t 分子分母同除以 sec 2 t 1 dt = ∫ =∫ 2 dtan t 2 2 sec t + tan t 1 + 2 tan t 1 1 = ∫ 1 + ( 2 tan t ) 2 d 2 tan t 2 2x 1 1 +C arctan = arctan( 2 tan t ) + C = 2 2 1− x2
12.
1 1− x
2
d x.
2 sin x cos x 1 + sin 2 x 2. 求不定积分 ∫ d x. 2 2 + sin x 解： 利用凑微分法 , 得
原式 =
∫
1 + sin 2 x d(1 + sin 2 x) 2 + sin 2 x
令 t = 1+ sin 2 x
三角函数有理式
多项式及 部分分式之和
简单无理函数
注意 初等函数的原函数不一定是初等函数 ,
因此不一定都能积出. 例如 , 1 − x2 sin x 2 ∫ e dx , ∫ x dx , ∫ sin x dx , ∫ ln x dx , dx 2 2 3 ∫ 1 + x 4 , ∫ 1 + x dx , ∫ 1 − k sin x dx (0 < k < 1) ,
一.基本概念 二.计算方法
1. 直接积分法
原函数与不定积分
通过简单变形, 利用基本积分公式和运算法则 求不定积分的方法 . 2. 换元积分法
∫ f ( x ) dx
第一类换元法 第二类换元法
∫ f [ϕ (t )]ϕ ′(t ) dt
(代换: x = ϕ (t ))
(注意常见的换元积分类型)
3. 分部积分法
2 x3x dx . 例1. 求 ∫ x 9 + 4x 2 3 解: 原式 = ∫ dx = ∫ dx 2x 2x 2x 3 +2 1 + ( 2) 3 d ( 2) x 1 3 = 2∫ ln 3 1 + ( 2 ) 2 x 3
x x
( 2) x 3
da x = a x ln a dx
arctan( 2 ) x 3 = +C ln 2 − ln 3
例2. 求
∫
dx 1+ e + e + e
x 6
x 2 x 3 x 6
.
解: 令 t = e , 则 x = 6 ln t , dx = 6 dt t
dt dt = 6∫ 原式 = 6 ∫ 3 2 2 (1 + t + t + t ) t (t + 1)(t + 1) t
⎛ 6 − 3 − 3t + 3 = ∫⎜ ⎝ t t +1 t2 +1
2
)
3 2
dx
xe x 9. ∫ dx 2 (1 + x )
10.设当 x ≠ 0 时， f ' ( x ) 连续，求 ' xf ( x ) − (1 + x ) f ( x ) dx . 2 x ∫ x e
2 sin x cos x 1 + sin 2 x d x. 11. 求不定积分 ∫ 2 2 + sin x
解 Q ∫ x ln(1 + x 2 )dx =
1 x2 1 2 2 2 = [(`1 + x ) ln(1 + x ) − x ] arctan x − ∫ [ln(1 + x 2 ) − ]dx 2 2 2 1+ x
x x 1 2 2 2 2 = arctan x[(`1 + x ) ln(1 + x ) − x − 3] − ln(1 + x ) + + C . 2 2 2
解
x x e (1 + 2 sin cos ) 2 2 dx 原式 = ∫ 2 x 2 cos 2 x 1 x x = ∫ (e + e tan )dx x 2 2 cos 2 2
x
x x x = ∫ e d (tan ) + ∫ e tan dx 2 2
x
x x x x x = e tan − ∫ e tan dx + ∫ e tan dx 2 2 2
3. 求不定积分 ∫
1
d x.
− 1 + C1 2
得
=
1 +C 2 2
记作
C x ≥1
∫
x − 1 dx = F (x) =
1 1 x 2 −)x + C+ C , ( −1 2 1 , 22 2
x2 + ) 1 + − 1 ( x − 1x2−+ C ,C , x < 1 2 2
注意1
⎧1, x > 0 ⎪ 符号函数 f ( x ) = sgn x = ⎨0, x = 0 ⎪ − 1, x < 0 ⎩ f ( x ) 在 ( −∞ , + ∞ ) 内不存在原函数. (反证法)
⎞ dt ⎟ ⎠ 3 = 6 ln t − 3 ln t + 1 − ln(t 2 + 1) − 3 arctan t + C 2
x x − 3 ln(e 6
=
+ 1) − 2
x 3 ln(e 3
x + 1) − 3 arctan e 6
+C
e x (1 + sin x ) 例3 求 ∫ dx . 1 + cos x
I n = ∫ sec n x dx , 证明递推公式: 例4. 设 n−2 1 n−2 In = sec x ⋅ tan x + I n−2 n −1 n −1
证: I n = ∫ sec n − 2 x ⋅ sec 2 x dx
(n ≥ 2)
= sec n − 2 x ⋅ tan x − (n − 2) ∫ sec n −3 x ⋅ sec x tan x ⋅ tan x dx = sec
u v′ dx = u v − ∫ u ′v dx ∫
使用原则: 1) 由 v′ 易求出 v ; 2)
∫ u′ v dx 比 ∫ u v′ dx 好求 .
排前者取为 u , 排后者取为 v′ .
一般经验: 按“反, 对, 幂, 指 , 三” 的顺序,
4. 几种特殊类型的积分 有理函数
分解 万能代换 根式代换 三角代换
= x + ln cos x + sin x + C a cos x + b sin x dx 的积分. 说明: 此技巧适用于形为 ∫ c cos x + d sin x
例8
求 ∫ x arctan x ln(1 + x 2 )dx .
1 ln(1 + x 2 )d (1 + x 2 ) 2∫ 1 1 2 2 2 = (1 + x ) ln(1 + x ) − x + C . 2 2 1 2 1 2 2 原式 = ∫ arctan xd [ (`1 + x ) ln(1 + x ) − x ] 2 2
( n ≥ 2)
例5. 求
∫
x − 1 dx .
解: 设 F ′( x) = x − 1 = 则 F (x) =
x −1 , 1− x ,
x ≥1
x <1
x ≥1 x <1
因 F (x) 连续 , 利用 F (1 ) = F (1− ) = F (1) , 得
1 x2 − x + C , 1 2 x − 1 x 2 + C2 , 2 +
解: 由题设 F ′( x) = f ( x) , 则 F ( x) F ′( x) = sin 2 2 x , 故 即
1 − cos 4 x F ( x) F ′( x)d x = ∫ sin 2 2 xd x = ∫ dx ∫ 2 F 2 ( x) = x − 1 sin 4 x + C 4
2
Q F (0) = 1 ,∴ C = F (0) = 1, 又 F ( x) ≥ 0 , 因此
x
x = e tan + C . 2
x
x + sin x dx . 类似地 求 ∫ 1 + cos x
解
x x x + 2 sin cos 2 2 dx 原式 = ∫ 2 x 2 cos 2 x x =∫ dx + ∫ tan dx 2 2 x 2 cos 2 x x x = x tan − ∫ tan dx + ∫ tan dx 2 2 2 x = x tan + C . 2
注意2 不连续的函数可以有原函数.如
1 1 ⎧ ⎪ 2 x sin − cos , x ≠ 0 f ( x) = ⎨ x x ⎪ 0, x=0 ⎩
每一个含有第一类间断点的函数都 没有原函数.如
例6. 设 F (x) 为 f (x) 的原函数, 且 F (0) = 1 , 当 x ≥ 0 时