金融风险管理 第二章

金融资产收益率
有限方差 均值回复
平稳随机过程
价格序列 收益率序列
2.波动率的期限结构问题(时间加总问题 time aggregation)
为了比较不同期限的收益和风险，需要进行时间口径 一致性转换计算（比如，比较不同时间期限的风险大小 时都按年波动率进行计算），经济计量学中称之为时间 加总问题。
= (1-p)dR f pdR m
股 票 （ 组 合 ） 的 损 益 额 ： SP d R p
四、衍生证券的市场风险灵敏度测量
（一）衍生证券
衍生证券：指其价值依赖于基础标的资产价格的金融工具。
（二）衍生证券的种类
根据衍生证券价值与其标的资产价格之间的关系： 线性衍生证券：远期；期货；互换 非线性衍生证券：期权
2、衍生证券(其价值统一以F表示)市场风险的灵敏度计算
dF ， 或 者 d2F —— d （ 市 场 因 子 ） d （ 市 场 因 子 ） 2
线性衍生产品
（1）delta：
非 线 性 衍 生 产 品 dF dS
ft St Xer(Tt) F Ster(Tt) ctS tN (d 1 )X e r(T t)N (d 2) p t X e r(T t)N ( d 2 ) S tN ( d 1 )
（三）衍生证券的定价 1、线性衍生证券的定价 远期合约定价是线性衍生证券定价的基础 （期货和互换可以视作特殊的远期或者系列远期合约的 组合）
（1）远期（合约）价值：合约持有人的收益
多 头 ： ft StX er(T t)
（2）远期价格（期货价格）：远期（期货）合约中标的物的 远期价格（理论期望价格），即标的资产现货价格的终值。
如果衍生证券的价值统一以F =f ( St, s ,t, r ) 表 示，则其价值变化ΔF可以一般化地表示为：
FFS S
F
Ft t
Fr r
+1 22 SF 2(S)21 2 2F2()21 22tF 2 (t)21 22rF 2 (r)2
+L L L L L L L L L L L L L L L L
基于上述独立同分布假设，可得：
波动率的期限结构：在某一既定时间期间，收益率波 动率与期限长短之间的关系。
（1）独立同分布(I.I.D)假设条件下的时间加总 独立同分布假设（基于有效市场假说）： a) 收益率在连续的时间区间内是相互独立、不相关的:
cov(Rt,Rt1)0
b) 收益率在整个时间段上遵循同样的分布，即：
E(Rt ) E(Rt1) E(R) var(Rt ) var(Rt1) 2 即：Rt : N (, 2 )
Price:标的资产的当前价格（St） Strike:执行价格（X） Rate:年复利无风险利率（r） Time:到期时间（T-t）（单位：年） Volatility :标的资产的波动（收益率标准差） Dividendrate：标的资产的分红率
（四）衍生证券市场风险的灵敏度的度量
1、影响衍生证券价格的因子
dP D* dy P0
修正久期是对固定收益证券价格利率敏感性的线性测量。
即该度量方法只考虑了价格变化和利率变化的线性关系。
P
P
P
P
y
y
y
y
如果价格是利率的线性函数，这种基于修正久期的测量 是准确的；如果价格是利率的非线性函数，固定收益证券价 格利率敏感性的测量还需要将凸度的影响考虑进去。
3、基于久期和凸度的固定收益证券利率敏感性测量
（1）标的资产的价格 St （2）时间 t （3）利率 r
（4）标的资产收益率的波动 s
ft St Xer(Tt) F Ster(Tt)
ct StN(d1)Xer(Tt)N(d2)
d1lnSXt (r s 0T.5 ts2)(Tt);d2lnSXt (r s 0T.5 ts2)(Tt)d1s Tt
统计学方法
三、波动性的度量方法 （一）统计学方法
1、方差或标准差
Garch类模型方法 SV模型方法 隐含波动率方法
n
(xi x )2
i1 n
n
(xi x)2
sample: s i1 n1
2、金融经济学中，波动率通常用收益率的标准差来度量 金融资产价格
无限方差
非平稳随机过程
随机游走过程
一般地
2
dPdpdy1d2p(dy)2L
dy 2dy2
dP 1 dPdy1 1 d2Pdy2 L
dP dy
D*
P0
dD* 1 d2P C dy P0 dy2
P0 P0 dy
2 P0 dy2
D* dy 1 C dy2 2
(D* 1Cdy)dy 2
所以，固定收益证券价格的利率敏感 性估计就是对 D * 和C的估计。
一、市场风险度量的核心问题是价格波动率
由于金融资产的市场风险是由市场因子等的变化引起的， 因此，市场风险测量的核心是对市场因子或者直接对资产价格 的波动性进行估计和预测。
二、波动率（Volatility）的概念
波动率是指金融资产价格偏离其期望价值的程度。波动性 越大，价格上升或下降的机会或幅度就越大，因此，市场风险 就越大。
1、久期（即Macaulay Duration 麦考利久期）
以债券未来每期现金流的现值与各期现金流现值之和之
比为权重计算的债券加权平均到期日。
CFt
T
T
D twt t
t1
t1
(1y)t T CFt
1 P0
tT1t(1C Fyt)t
t1 (1y)t
2、基于久期的利率敏感性测量: 修正久期
P
dy
P 10 (11y)2tT 1t(t(1 1)y)C tFt
Q P
T t 1
CFt (1 y)t
dP 1
dy 1y
tT1t(1CFyt )t
又Q已证
ddy2P 2 (11y)2
T t(t1)CFt t1 (1y)t
CdD *1
1
T
t(t1)C F t
dy P 0 (1y)2 t 1 (1y)t
定义凸度（convexity）如下：
C dD * dy
可以证明：
C
dD * dy
1 P0
d d
2P y2
证明：
CdD* dy
1 P0
d2P dy2
C dD * dy
D* D 1 y
D 1 P0
T t1
t
CFt (1 y)t
d（ 1 1
1 y P0
T t1
t
CFt ） (1 y)t
F Ster(Tt)
2、非线性衍生证券的定价（B-S期权定价模型） （1）欧式期权到期(T)时的价值：
看 涨 期 权 ： max0,STX 看 跌 期 权 ： maxXST,0
（2）B-S期权定价模型（标的资产不支付红利 欧式期权）
基本思想：期权的价值依赖于它最终处于实值状态的概率。
ct StN(d1)Xer(Tt)N(d2)
（5）Rho： d F 衍 生 品 价 格 对 利 率 变 化 的 敏 感 性 d r forw ard(Tt)X er(Tt)
future(Tt)Ser(Tt)
c(Tt)X er(T t)N (d2)
p (Tt)X e r(T t)N ( d2)
FFS S
F
Ft t
Fr r
+1 22 SF 2(S)21 2 2F2()21 22tF 2 (t)21 22rF 2 (r)2
二、固定收益证券的市场风险灵敏度测量
（一）固定收益证券的市场风险（利率风险）分析
1、固定收益证券：
是指在特定时间支付预定现金流的金融资产 （比如：政府债券、企业债券，等）。
2、风险分析
P
T C Ft t1 (1 y )t
具有相对的 确定性
具有不确定性
y rf rp
（二）固定收益证券的市场风险（利率风险）灵敏度： 久期和凸度
CdD* 1 d2P dy P0 dy2
考虑非线性的资产价格函数
设： P f y
则非线性的资产价格函数关系，可以用函数初始值p0=f(y0)附近的泰勒
展开来近似：
P 1P 0fy0 y1 2fy0( y)2 L
P 1 P P 0 f y f yy 0 1 y f1 2 y f(y 0 y)(2 y L )2 L
p t X e r(T t)N ( d 2 ) S tN ( d 1 )
d1
lnSt X
(r0.5s2)(Tt)
s Tt
;d2
lnSXt (r0.5s2)(Tt) s Tt
d1
s
Tt
N(g)：标准正态变量的概率分布函数。
计算B-S期权定价公式的matlab函数：
[callprices, putprices]=blsprice(Price, Strike, Rate, Time, Volatility, Dividendrate)
T t 1
CFt (1 y)t
d P
dy
1 1 y
T t1
t
CFt (1 y)t
d dP yP 10 1 1yP 10 tT 1t(1C F yt)t
D 1 P0
T t1
t
CFt (1 y)t
dP 1 D
dy P0 1 y
令 D* D 1 y
为修正久期 dP D* dy P0
基于久期的利率敏感性测量评价
具有较大凸性的固定收益证券较受市场欢迎，通常也有相对较高 的价格。
P
P1
P1
P0
P2
P2
y
y1 1% y2 1%
三、股票的市场风险灵敏度测量—以CAPM为例