概率计算

三、计算题（本大题共5小题，每小题7分，共35分） 1、古典概型（加法公式、乘法公式，全概公式、条件概率）1.1 若将s n i e e c c ,,,,,,这七个字母任意排成一行，问恰排成science 的概率．1.2设考生的报名表来自三个地区，各有10、15、25份，其中女生表分别为3、7、5份．现随机地取一地区的报名表， 从中先后抽两份报名表．求（1）先抽到的是女生表的概率p ；（2）已知后抽到的是男生表，求先抽到的是女生表的概 率q ．1.3 在一次考试中，某班学生数学的及格率是0.7，外语的及格率是0.8，且这两门课学生及格与否相互独立, 现从该班 任取一名学生，求该生的数学、外语两门课中只有一门及格的概率． 1.4一副扑克牌（52张），从中任取13张，求至少有一张“A ”的概率。

1.5设玻璃杯整箱出售，每箱20只。

各箱含0、1、2只残次品的概率分别为0.8、0.1、0.1，一顾客欲购买一箱玻璃杯， 由售货员任取一箱，经顾客开箱随机查看4只，若无残次品则买此箱玻璃杯，否则不买。

求：（1）顾客买此箱玻璃杯 的概率；（2）在顾客买的此箱玻璃杯中，确实没有残次品的概率。

1.6进行一系列独立的试验，每次试验成功的概率为p ，求在成功2次之前已经失败3次的概率。

1.7从0，1，2，…，9中任取两个（可重复使用）组成一个两位数的字码，求数码之和为3的概率． 1.8袋中有9只白球10只红球共19只球，从中随机取7只球，记A ＝｛取的是3白4红共7只球｝，分不放回、放回 两种情形，分别求)(A P1.9现有n 个小球和n 个盒子，均编号1，2，…，n .将这n 个小球随机地投入到这n 个盒子中，每盒1球，求至少有一 个小球与所投盒的号码相同的概率.1.10一大楼装有5个同类型的供水设备，调查表明在任意时刻每个设备被使用的概率为0.1，问在同一时刻（1）恰有 两个设备被使用的概率是多少？（2）至少有3个设备被使用的概率是多少？（3）至多有3个设备被使用的概率是多 少？（4）至少有1个设备被使用的概率是多少？ 2、离散型随机变量及均值方差；2.1将4个小球随机的投到4个盒子中去，记X 为投后的空盒子数，求)(X E ．问（1）b a ,应满足什么条件？当2.0=a 时，求b ，（2）求)1(>X P ,)2.1(),0(=≤X P XP . 2.32.4设二维离散型随机变量（Y X ,）的分布列为(1) 问常数a )0|1>X 。

2.5设二维离散型随机变量（Y X ,）的分布列为（1） 若0=a Y X ,是否独立。

2.6假设有十只同种电器元件，其中有两只废品，装配仪器时，从这批元件中任取一只，如是废品，则扔掉重新任取一 只；如仍是废品，则扔掉再取一只，试求在取到正品之前已取出的废品只数的分布、数学期望和方差。

2.7一袋中装有5只球，编号为1，2，3，4，5。

在袋中同时取3只，以X 表示取出的3只球中的最大号码，写出随机 变量X 的分布律。

2.8 X 和Y 是否独立。

2.9设在15只同类型的零件中有2只是次品，在其中取3次，每次任取1只，做不放回抽样.以X 表示取出次品的只数， （1）求X 的分布律；（2）画出分布律的图形. 3、连续型随机变量及均值方差；3.1设随机变量x 的概率密度为 ⎩⎨⎧-=0)1()(x cx x f 其他10≤≤x ，求：（1）常数c ；（2）}21X P{≤，}21P{X =，}31P{X ≥3.2设二维随机变量),(Y X 的概率密度为：⎩⎨⎧-=,0),2(8.4),(x y y x f 其他xy x ≤≤≤≤0,10求边缘概率密度。

3.3某车间有200台车床，在生产时间内由于各种原因需停工。

已知开工率为0.6，且各台车床停工与否相互独立，而开工的车床需电1kw 。

问应供该车间多少kw 电力才能以99.9%的可能性保证不会因供电不足而影响生产？标准正态分布表()(21)(22z Z P du ez u z≤==Φ-∞⎰π)3.4设随机变量x 的概率密度为 ⎩⎨⎧=0)(x f 其他，求：（1）X 的分布函数；（2）1-2X Y =的概率密度)(y f Y .3.5设二维随机变量),(Y X 的概率密度为：⎩⎨⎧+=,0),1(),(xy A y x f 其他1,1≤≤y x （1）求系数A （2）判断X 和Y 是否独立。

3.6设随机变量X 服从参数为λ的指数分布，求DX .3.7设二维随机变量),(Y X 的概率密度为：⎩⎨⎧=-,0,),(y e y x f 其他y x <<0求边缘概率密度。

3.8将一枚均匀硬币抛多少次，才能使其正面出现的概率在0.4至0.6之间的概率至少为0.9？试分别用切比雪夫不等式和中心极限定理来解。

标准正态分布表()(21)(22z Z P du ez u z≤==Φ-∞⎰π)3.9设二维随机变量),(Y X 的概率密度为：⎩⎨⎧=,0),(y x f 其他，（1）求常数A ，求)1(≥+Y X P ；（2）求关于X 、Y 的边缘概率密度)(x f X 、)(y f Y ，并判断X 和Y 是否独立。

3.10某电子仪器有两个部件构成，其寿命（单位：千小时）),(Y X 的分布函数为⎩⎨⎧+--=+---01),()(5.05.05.0y x y x e e e y x F 其他0,0≥≥y x （1）问X 和Y 是否独立；（2）求两个部件的寿命都超过100小时的概率 3.11设随机变量X 的概率密度为：⎪⎩⎪⎨⎧=,0,2cos 21)(x x f 其他π≤≤x 0，对X 独立重复的观测4次，以Y 表示观测值大于3π的 次数，求)(2Y E .3.12设二维随机变量),(Y X 的概率密度为：⎩⎨⎧=,0,),(2y cx y x f 其他12≤≤y x ，（1）试确定常数c ；（2）求边缘概率密度.4、参数估计（极大似然、矩法）4.1考察一个具有标号为1、2、3的三种元素的总体，总体X 的分布列为:X ()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--22112321θθθθ其中01θ<<。

如果观察一个容量为3的样本，得1,2,1321===x x x 求：（1）参数θ的极大似然估计值；（2）总体X 的分布列。

4.2某电子管的使用寿命X 服从指数分布，其概率密度为()θ;x f =⎪⎩⎪⎨⎧>>-其它,00,0,1θθθx e x今测得一组样本观测值，其具体数据如下（单位：h ）16, 29, 50, 68, 100, 130, 140, 270, 280,340, 410, 450, 520, 620, 190, 210, 800, 1100试求参数θ的极大似然估计。

4.3从一批产品中任取50件，发现有2件废品，试求这批产品的废品率的极大似然估计。

4.4设总体X 的概率密度为 ()λ;x f =⎩⎨⎧≤>-,0,0,0,x x e x λλ,其中()的矩估计。

的样本，求待估参数为取自λλX x x x n ,,,021〉4.5设总体X 的概率密度函数为1,()0,x ex f x x μθμθμ--⎧≥⎪=⎨⎪<⎩，（0,θμ<-∞<<+∞）求参数θ和μ的极大似然估计。

5、假设检验（一个总体T 或U 检验）5.1厂商声称他们生产的某种型号的装潢材料抗压强度（单位：Mpa ）服从正态分布，平均抗压强度为 3.25，方差21.12=σ，今从中随机抽取9件进行检验，测得平均抗压强度为3.15，问能否接受该厂商的说法？（05.0=α，()()64.1,3060.28,2622.29,96.11212121====----ααααu t t u ）5.2某地区环保部门规定，废水被处理后水中某种有毒物质的平均浓度不超过10毫克/升，现从某废水处理厂随机抽取15升处理后的水，测得x =9.5毫克/升，假定废水处理后有毒物质的含量服从标准差为2.5毫克/升的正态分布，试在05.0=α下判断该厂处理后的水是否合格。

其中（()()64.1,1448.214,1315.215,96.11212121====----ααααu t t u ）5.3电视台广告部称某类企业在该台黄金时段内播放电视广告后的平均受益量（平均利润增加量）至少为15万元，已知这类企业广告播出后的受益量近似服从正态分布，为此，某调查公司对该电视台广告播出后的此类企业进行了随机抽样调查，抽出容量为20的样本，得平均受益量为13.2万元，标准差为3.4万元，，试在05.0=α的显著性水平下判断该广告部的说法是否正确? 其中（()()64.1,0930.219,0860.220,96.11212121====----ααααu t t u ）5.4据某市税务部门统计,该市大、中、小学教师年均个调税为1000元，为核实这种说法，随机抽取30名大、中、小学教师进行调查，测得年均个调税为1100元，标准差为300元，假定该市教师的个调税服从正态分布，试在5%的显著性水平下检验该税务部门的报告是否正确？其中（()()64.1,0452.229,0423.230,96.11212121====----ααααu t t u ）5.5根据设计要求，某零件的内径标准差不得超过0.30（单位：厘米），现从该产品中随意抽检了25件，测得样本标准差为36.0=s ，问检验结果是否说明该产品的标准差明显增大了？（05.0=α）其中（()()()()401.1224,120.1325,0639.224,0595.2252122122121====----ααααχχt t）备用题1.在一个池中有三条鱼甲、乙、丙，这三条鱼竞争捕食.设甲或乙竞争到食物的机会是21，甲或丙竞争到食物的机会是43，且一次竞争的食物只能被一条鱼享用.求（1）甲竞争到食物的概率是多少？（2）哪条鱼是最优的捕食者？2.设某地区历史上从某次特大洪水发生以后在30年内发生特大洪水的概率为80％，在40年内发生特大洪水的概率为85％，问现已无特大洪水过去了30年的该地区，在未来10年内将发生特大洪水的概率是多少？3.设随机变量X 的概率密度为)(x f X ，求2X Y =（如下图）的概率密度函数.4.，求n 次射击过程中击中目标的概率是多少？参考答案（本大题共5小题，每小题7分，共35分）1、古典概型参考答案（加法公式、乘法公式，全概公式、条件概率）1.1 解：所求概率为12601!722=⨯． 1.2 解：记i A ＝｛取的是第i 区的报名表｝，i ＝1，2，3.i B ＝｛从报名表中第i 次取的是女生表｝，i ＝1，2.则31)()()(321===A P A P A P ,255)|(,157)|(,103)|(312111===A B P A B P A B P ,由“抽签原理”知： 2520)|(,158)|(,107)|(322212===A B P A B P A B P ,且有：30791073)|(121=⨯⨯=A B B P ，154141578)|(221=⨯⨯=A B B P ,612425205)|(321=⨯⨯=A B B P （1）由全概率公式，得∑==++===31119029)255157103(31)()|()(i i i A P A B P B P p ,（2）)()()|(22121B P B B P B B P q ==，而9061)2520158107(31)()|()(3122=++==∑=i i i A P A B P B P , 92)61154307(31)()|()(312121=++==∑=i i i A P A B B P B B P ,故，6120906192==q1.3、解：记A ＝｛该学生数学及格｝，B=｛该学生外语及格｝．由题意，A 与B 相互独立，且8.0)(,7.0)(==B P A P所求概率为：38.08.03.02.07.0)()()()()()()(=⨯+⨯=+=+=⋃B P A P B P A P B A P B A P B A B A P1.4、解：设A={任取的13张中至少有一张是“A ”}，样本空间中样本点总数为1352CA ={任取的13张中没有一张是“A ”}，A 中的样本点总数为1348C ，由逆概公式得：696.01)(1)(13521348≈-=-=C C A P A P1.5、解：记B={顾客买下此箱玻璃杯}，i A ={售货员取的这箱玻璃杯中，恰有i 只残次品}，2,1,0=i ,则，0A 、1A 、2A 互不相容，且1.0)()(,8.0)(210===A P A P A P 而，1912)|(,54)|(,1)|(4204182********=====C C A B P C C A B P A B P（1）由全概公式，得943.019121.0541.018.0)()|()(2=⨯+⨯+⨯==∑=i i i A P A B P B P ,（2）848.0943.08.01)()|()()|()()()|(200000=⨯===∑=i i i A P A B P A P A B P B P B A P B A P1.6 解：所求概率为：}54{次成功，第次试验中恰有一次成功前P }5{}4{次试验成功第次试验中恰有一次成功前P P ⨯=323114)1(4)1(p p p p p C -=⨯-=1.7解：此为古典型概率，样本空间总数为210，字码之和为3的有03，12，21，30共4个字码，设A ＝｛字码之和为3｝，则251104)(2==A P1.8解：不放回的情形：41991470)(71941039==C C C A P 放回的情形：4337)1910()199()(C A P = 1.9解：记i A ＝｛i 号小球投入到i 号盒中｝，i ＝1，2，…，n 则， ,1!)!1()(nn n A P i =-=i ＝1，2，…，n ；,)1(1!)!2()(-=-=n n n n A A P j i n j i ≤<≤1，,)2)(1(1!)!3()(--=-=n n n n n A A A P k j i n k j i ≤<<≤1,!1)(n A A A P n j i =n j i ≤<≤1 所求概率为：)()1()()()()(11111n j i n nk j i kjinj i jini in i iA A A P A A A P A A P A P A P -≤<<≤≤<≤==-+-+-=∑∑∑!1)1()2)(1(1)1(111111n n n n n n n n n k j i n j i ni -≤<<≤≤<≤=-+---+--=∑∑∑ !1)1()2)(1(1)1(1132n n n n C n n C n n n n n -+---⋅+-⋅-⋅= ∑=---=-+-+-=nk k n k n 111!1)1(!1)1(!31!211 1.10解：在同一时刻被使用的设备的个数X 服从二项分布)1.0,5(B （1）0729.0)9.0()1.0()2(3225===C X P （2）00856.0)1.0()9.0()1.0()9.0()1.0()3(55514452335=++=≥C C C X P（3）99954.0)9.0()1.0()9.0()1.0()9.0()1.0()9.0()3(233532254115505=+++=≤C C C C X P（4）40951.0)9.0()1.0(1)0(1)1(5005=-==-=≥C X P X P 2、离散型随机变量及均值方差参考答案；2.1解：将四个盒子编号1～4，引入随机变量，⎩⎨⎧=,0,1i X 否则号盒子是空的投后第i则，i X 的分布律为：⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-44444343110，故，4443)(=i X E ，.4,3,2,1=i 而4321X X X X X +++=故，648143434)()()()()(34444321==⨯=+++=X E X E X E X E X E2.2解：（1）由0.25＋0.15＋a ＋0.35＋b ＝1及分布列的性质，b a ,应满足0,0,25.0≥≥=+b a b a 因此，当2.0=a 时，05.0=b （2）4.005.035.0)3()2()1(2=+==+==>X P X P X P 4.015.025.0)0()1()0(=+==+-==≤X P X P X P ，0)2.1(==X P 2.3、解：（1）)()(x X P x F ≤=, 当1-<x 时，0)(=x F , 当01<≤-x 时，25.0)1()(=-==X P x F , 当10<≤x 时，4.0)0()1()(==+-==X P X P x F ,当21<≤x 时，6.0)1()0()1()(==+=+-==X P X P X P x F , 当32<≤x 时，95.0)2()1()0()1()(==+=+=+-==X P X P X P X P x F ,当3≥x 时，1)3()2()1()0()1()(==+=+=+=+-==X P X P X P X P X P x F所以，⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=,1,95.0,6.0,4.0,25.0,0)(x F3322110011≥<≤<≤<≤<≤--<x x x x x x （2）12-=X Y 的可能取值为8,3,0,1-,15.0)0()11()1(2===-=-=-=X P X P Y P45.0)1()1()01()0(2==+-===-==X P X P X P Y P ,35.0)2()31()3(2====-==X P X P Y P , 05.0)3()81()8(2====-==X P X P Y P ,所以，12-=X Y 的分布列为2.41.0=b . 此时35.001.025.0)1,0()0,1()0,0()1(=++===+==+===≤+Y X P Y X P Y X P Y X P 11315.03.01.015.0)1()2,1()0()1,0()0|1(=++=====>>>=>>X P Y X P X P Y X P X Y P2.5解：（1）若2.0=a ，则1.0=b .因为，X Y -=ξ的可能取值为2,1,0,1-.，所以，1.0)0,1()1()1(====-=-=-=Y X P X Y P P ξ55.03.025.0)1,1()0,0()0()0(=+===+====-==Y X P Y X P X Y P P ξ 15.015.00)2,1()1,0()1()1(=+===+====-==Y X P Y X P X Y P P ξ 2.0)2,0()2()2(=====-==Y X P X Y P P ξ 故，X Y -=ξ的分布列为：（2） X ,因为,0(=X P ,所以，不独立。