南大复变函数与积分变换课件(PPT版)8.3 傅立叶变换的性质
合集下载
傅里叶变换及其性质 PPT
f(t) F(j)
也称为时间倒置定理。
5. 对称性
我们知道
S a ( t) 1
－1
1
－2
0
2
t
(a )
g 2( ) 1
－ o
( b ) 图2.5-4 取样函数Sa(t) 及其频谱
6. 时域卷积
在信号与系统分析中卷积性质占有重要地位，它将系统 分析中的时域方法与频域方法紧密联系在一起。在时域分析 中， 求某线性系统的零状态响应时，若已知外加信号f(t)及系 统的单位冲激响应h(t), 则有
的关系也可以用一个图绘出。
大家学习辛苦了，还是要坚持
继续保持安静
取样函数定义为
Sa(x) sinx x
这是一个偶函数，且x→0时，Sa(x)=1；当x=kπ时，Sa(kπ)=0。
据此，可将周期矩形脉冲信号的复振幅写成取样函数的形式，即
Fn
E
T
San
2
Sa(x) 1
－3－2 － o
2 3
x
f
(t)
e at
t 0
0
t 0
f (t)
1 e－t (＞0)
(0)
F()
1
o
t
o
(a)
(b)
图 2.4-2 单边指数函数e-αt
(a) 单边指数函数e-αt; (b) e-αt的幅度谱
解
F(j) f(t)ejtdt etejtdt
e((jj )t ) 01j
1
jarctan
ea
a22
f(t)lim F nej n t 1F (j )ej td
T n
2
非周期信号的傅里叶变换可简记为
一般来说，傅里叶变换存在的充分条件为f(t)应满足绝对
也称为时间倒置定理。
5. 对称性
我们知道
S a ( t) 1
－1
1
－2
0
2
t
(a )
g 2( ) 1
－ o
( b ) 图2.5-4 取样函数Sa(t) 及其频谱
6. 时域卷积
在信号与系统分析中卷积性质占有重要地位，它将系统 分析中的时域方法与频域方法紧密联系在一起。在时域分析 中， 求某线性系统的零状态响应时，若已知外加信号f(t)及系 统的单位冲激响应h(t), 则有
的关系也可以用一个图绘出。
大家学习辛苦了，还是要坚持
继续保持安静
取样函数定义为
Sa(x) sinx x
这是一个偶函数，且x→0时，Sa(x)=1；当x=kπ时，Sa(kπ)=0。
据此，可将周期矩形脉冲信号的复振幅写成取样函数的形式，即
Fn
E
T
San
2
Sa(x) 1
－3－2 － o
2 3
x
f
(t)
e at
t 0
0
t 0
f (t)
1 e－t (＞0)
(0)
F()
1
o
t
o
(a)
(b)
图 2.4-2 单边指数函数e-αt
(a) 单边指数函数e-αt; (b) e-αt的幅度谱
解
F(j) f(t)ejtdt etejtdt
e((jj )t ) 01j
1
jarctan
ea
a22
f(t)lim F nej n t 1F (j )ej td
T n
2
非周期信号的傅里叶变换可简记为
一般来说，傅里叶变换存在的充分条件为f(t)应满足绝对
《复变函数与积分变换》PPT课件
浙江大学
复数的乘幂
n个相同复数z的乘积成为z的n次幂
z
n
z n = zzLz = r n (cos nθ + i sin nθ)
复数的方根
设
iθ
z = re
为已知复数，n为正整数，则称满足方程
w =z
n
的所有w值为z的n次方根，并且记为
w= n z
浙江大学
设
w= ρeiϕ ,
则
ρ neinϕ = reiθ
w0 = r (cos + i sin ) n n 1 θ + 2π θ + 2π n w1 = r (cos ) + i sin n n 1 θ + 4π θ + 4π n w2 = r (cos + i sin ) n n
1 n
1 n
θ
θ
wn−1 = r (cos
θ + 2(n −1)π
n
+ i sin
Re z 2 = x2 − y2 ≤ 1
Im z 2 ≤ 1
浙江大学
例： 指出不等式 0 < arg 解：
z −i π < 中点z的轨迹所在范围。 z +i 4
z −i x2 + y2 −1 − 2x = 2 +i 2 2 z + i x + ( y +1) x + ( y +1)2
z −i π 因为 0 < arg < , 所以 z +i 4 +i x2 + y2 −1 − 2x > 2 >0 2 2 2 x + ( y +1) x + ( y +1)
复数的乘幂
n个相同复数z的乘积成为z的n次幂
z
n
z n = zzLz = r n (cos nθ + i sin nθ)
复数的方根
设
iθ
z = re
为已知复数，n为正整数，则称满足方程
w =z
n
的所有w值为z的n次方根，并且记为
w= n z
浙江大学
设
w= ρeiϕ ,
则
ρ neinϕ = reiθ
w0 = r (cos + i sin ) n n 1 θ + 2π θ + 2π n w1 = r (cos ) + i sin n n 1 θ + 4π θ + 4π n w2 = r (cos + i sin ) n n
1 n
1 n
θ
θ
wn−1 = r (cos
θ + 2(n −1)π
n
+ i sin
Re z 2 = x2 − y2 ≤ 1
Im z 2 ≤ 1
浙江大学
例： 指出不等式 0 < arg 解：
z −i π < 中点z的轨迹所在范围。 z +i 4
z −i x2 + y2 −1 − 2x = 2 +i 2 2 z + i x + ( y +1) x + ( y +1)2
z −i π 因为 0 < arg < , 所以 z +i 4 +i x2 + y2 −1 − 2x > 2 >0 2 2 2 x + ( y +1) x + ( y +1)
复变函数与积分变换傅里叶变换
未来研究可以进一步探索傅 里叶变换在不同领域的应用 ，例如在金融、经济、生物 信息学等领域的应用，以及 与其他数学工具的结合使用 。
此外，随着数学理论的发展 ，可以进一步深入研究傅里 叶变换的性质和性质，例如 探讨其与分形、混沌等数学 概念的联系，以及在数学物 理等领域的应用前景。
THANKS FOR WATCHING
定义
将一个实数域的函数转换为复数域的 函数，通过引入复数平面上的无穷积 分来定义。
应用
在控制工程、信号处理等领域有广泛 应用，用于求解线性常微分方程和偏 微分方程。
积分变换的性质和应用
线性性质
积分变换具有线性性质，即对于两个函数 的和或差，其积分变换结果等于各自积分
变换结果的线性组合。
频移性质
对于频率域的平移，其积分变换结果也相 应平移。
原函数
具有导数的函数。
不定积分
计算函数图像下的面积。
03 积分变换
傅里叶积分与傅里叶变换
傅里叶积分
通过将周期函数表示为无穷级数，将 复杂的函数分析问题转化为简单的正 弦和余弦函数的线性组合问题。
傅里叶变换
将时间域的函数转换为频率域的函数 ，揭示了函数在时间域和频率域之间 的内在联系。
拉普拉斯变换
时移性质
对于函数在时间上的平移，其积分变换结 果也相应平移。
应用
积分变换在信号处理、控制系统、电磁场 等领域有广泛应用，用于求解各种数学物 理问题。
04 傅里叶变换
傅里叶变换的ห้องสมุดไป่ตู้义与性质
傅里叶变换的定义
将一个函数表示为无穷多个不同频率的正弦和余弦函 数的叠加。
傅里叶变换的性质
线性性质、位移性质、尺度性质、微分性质、积分性 质等。
复变函数与积分变换课件8.1 傅立叶变换的概念
代入 (A) 式并整理得
fT
(t)
a0 2
(an
n1
2
jbn
e jnω0t
an
2
jbn
e
jnω0t
).
13
§8.1 Fourier 变换的概念
第 一、周期函数的 Fourier 级数
八 章
5. Fourier 级数的指数形式
傅 推导 立
fT
(t)
a0 2
(an
0 20 30 40
arg F (nω0 )
40 30 20 0
O
0 20 30 40
17
§8.1 Fourier 变换的概念
第
fT (t)
八 章
2
傅
立
叶
变 换
解
基频
ω0
2π T
1.
O 2
t
(1) 当 n = 0 时，
c0 F(0)
1 T
T /2
叶 非常特殊的物理意义。 变
换
因此，Fourier 变换不仅在数学的许多分支中具有重要
的地位，而且在各种工程技术中都有着广泛的应用。
Fourier 变换是在周期函数的 Fourier 级数的基础上发 展起来的。在微积分课程中已经学习了Fourier 级数的有关 内容，因此本节将先简单地回顾一下 Fourier 级数展开。
第 八
第八章
Fourier 变换
章
傅 §8.1 Fourier 变换的概念
立 叶
§8.2 单位冲激函数
变 换
§8.3 Fourier 变换的性质
南大复变函数与积分变换课件51孤立奇点
重点与难点：重点在于理解复数和复变函数的基本概念，掌握复变函数的微积分和积 分变换的方法；难点在于理解孤立奇点的相关理论和应用 单击此处添加文本具体内容，简明扼要地阐述您的观点。根据需要可酌情增减文字， 以便观者准确地理解您传达的思想。单击此处添加文本具体内容，简明扼要地阐述您 的观点
教学方法：采用讲解、演示和练习相结合的方式，通过例题和习题的练习，加深对知 识点的理解和掌握 单击此处添加文本具体内容，简明扼要地阐述您的观点。根据需要可酌情增减文字， 以便观者准确地理解您传达的思想。单击此处添加文本具体内容，简明扼要地阐述您 的观点
● 课件中关于孤立奇点的判定
● 判定：对于可去奇点，可以通过计算函数在该点的极限值来判断；对于极点和本性奇点，可以通过观察函数在该点附近的 性质来判断。 课件中关于孤立奇点的应用
● 课件中关于孤立奇点的应用
● 应用：孤立奇点在复变函数和积分变换中有着广泛的应用，例如在求解某些微分方程时，可以通过寻找函数的孤立奇点来 确定解的形态。
南大复变函数与积分变 换课件内容概述
课件结构与内容安排
课件结构：按照知识点进行划分，每个知识点都配有相应的例题和习题 单击此处添加文本具体内容，简明扼要地阐述您的观点。根据需要可酌情增减文字， 以便观者准确地理解您传达的思想。单击此处添加文本具体内容，简明扼要地阐述您 的观点
内容安排：先介绍复数和复变函数的基本概念，再介绍复变函数的微积分、级数和积分变换等 内容，最后介绍孤立奇点的相关理论和应用 单击此处添加文本具体内容，简明扼要地阐述您的观点。根据需要可酌情增减文字，以便观者 准确地理解您传达的思想。单击此处添加文本具体内容，简明扼要地阐述您的观点
复变函数的定义
复数的基本概念 复变函数的定义 复变函数的性质 复变函数的应用
教学方法：采用讲解、演示和练习相结合的方式，通过例题和习题的练习，加深对知 识点的理解和掌握 单击此处添加文本具体内容，简明扼要地阐述您的观点。根据需要可酌情增减文字， 以便观者准确地理解您传达的思想。单击此处添加文本具体内容，简明扼要地阐述您 的观点
● 课件中关于孤立奇点的判定
● 判定：对于可去奇点，可以通过计算函数在该点的极限值来判断；对于极点和本性奇点，可以通过观察函数在该点附近的 性质来判断。 课件中关于孤立奇点的应用
● 课件中关于孤立奇点的应用
● 应用：孤立奇点在复变函数和积分变换中有着广泛的应用，例如在求解某些微分方程时，可以通过寻找函数的孤立奇点来 确定解的形态。
南大复变函数与积分变 换课件内容概述
课件结构与内容安排
课件结构：按照知识点进行划分，每个知识点都配有相应的例题和习题 单击此处添加文本具体内容，简明扼要地阐述您的观点。根据需要可酌情增减文字， 以便观者准确地理解您传达的思想。单击此处添加文本具体内容，简明扼要地阐述您 的观点
内容安排：先介绍复数和复变函数的基本概念，再介绍复变函数的微积分、级数和积分变换等 内容，最后介绍孤立奇点的相关理论和应用 单击此处添加文本具体内容，简明扼要地阐述您的观点。根据需要可酌情增减文字，以便观者 准确地理解您传达的思想。单击此处添加文本具体内容，简明扼要地阐述您的观点
复变函数的定义
复数的基本概念 复变函数的定义 复变函数的性质 复变函数的应用
复变函数与积分变换课件
傅里叶级数的性质
傅里叶级数具有唯一性，即一个周期函数对应一个唯一的傅 里叶级数；反之亦然。此外，傅里叶级数具有可加性和可分 离性，即对于任意的实数x，f(x)=f(x+T)=f(x−T)，其中T为 函数的周期。
傅里叶变换的定义与性质
傅里叶变换的定义
将一个可积分的函数f(x)变换为一系列无穷的三角函数之和，即 F(ω)=∫f(x)e−iωxdx，其中ω为角频率。
复数域上的微积分基本定理
01
微积分基本定理
根据微积分基本定理，复数域上的微积分可以按照实数域上的微积分进
行计算。
02
微分中值定理
微分中值定理是微积分基本定理的一种特殊形式，它表明在一定条件下
，函数在区间上的值可以通过其端点的值和导数值来确定。
03
积分中值定理
积分中值定理是微积分基本定理的一种特殊形式，它表明在一定条件下
性质
拉普拉斯变换具有线性、时移、频移、微分、积分、尺度变换等性质。
拉普拉斯变换的逆变换与基本定理
逆变换
对于复数域上的函数$F(s)$，其拉普拉斯 逆变换定义为：$f(t)=\frac{1}{2\pi i}\int_{ci\infty}^{c+i\infty}F(s)e^{st}ds$
VS
基本定理
如果$F(s)$是$f(t)$的拉普拉斯变换，那 么对于任意的常数$a,b,c,d$，有： $\int_{0}^{\infty}f(t)[a\cos bt+c\sin bt]dt=\int_{0}^{\infty}F(s)[as\cos btcs\sin bt]ds$
复变函数与积分变换课件
目录
• 复数与复变函数 • 复变函数的微积分 • 傅里叶级数与傅里叶变换 • 拉普拉斯变换及其应用 • 复变函数与积分变换的物理意义
傅里叶级数具有唯一性，即一个周期函数对应一个唯一的傅 里叶级数；反之亦然。此外，傅里叶级数具有可加性和可分 离性，即对于任意的实数x，f(x)=f(x+T)=f(x−T)，其中T为 函数的周期。
傅里叶变换的定义与性质
傅里叶变换的定义
将一个可积分的函数f(x)变换为一系列无穷的三角函数之和，即 F(ω)=∫f(x)e−iωxdx，其中ω为角频率。
复数域上的微积分基本定理
01
微积分基本定理
根据微积分基本定理，复数域上的微积分可以按照实数域上的微积分进
行计算。
02
微分中值定理
微分中值定理是微积分基本定理的一种特殊形式，它表明在一定条件下
，函数在区间上的值可以通过其端点的值和导数值来确定。
03
积分中值定理
积分中值定理是微积分基本定理的一种特殊形式，它表明在一定条件下
性质
拉普拉斯变换具有线性、时移、频移、微分、积分、尺度变换等性质。
拉普拉斯变换的逆变换与基本定理
逆变换
对于复数域上的函数$F(s)$，其拉普拉斯 逆变换定义为：$f(t)=\frac{1}{2\pi i}\int_{ci\infty}^{c+i\infty}F(s)e^{st}ds$
VS
基本定理
如果$F(s)$是$f(t)$的拉普拉斯变换，那 么对于任意的常数$a,b,c,d$，有： $\int_{0}^{\infty}f(t)[a\cos bt+c\sin bt]dt=\int_{0}^{\infty}F(s)[as\cos btcs\sin bt]ds$
复变函数与积分变换课件
目录
• 复数与复变函数 • 复变函数的微积分 • 傅里叶级数与傅里叶变换 • 拉普拉斯变换及其应用 • 复变函数与积分变换的物理意义
复变函数与积分变换课程8-3
F ( ) f (t )e jtdt
称为 傅里叶变换，简称傅氏变换。
f (t ) 1 F ( )e jtd
2
称为 傅里叶逆变换，简称傅氏逆变换。
1 e it d (t )
2
e jt d 2 (t )
Байду номын сангаас
例1 已知抽样信号f (t ) sin 2t 的频谱
t
为
F (
)
1, ||2 0, ||2
求信号 g(t ) f ( t )的频谱 G( ) .
2
解：
2, ||1 0, ||1
性质四 微分性质 若 lim f (t ) 0 ，则
|t |
当 | t | 时 | f (t )e jt || f (t ) | 0
从而 f (t )e jt 0
f (t )e jt
|
j
f (t )e jt dt
性质四 微分性质 若 lim f (t ) 0 ，则
|t |
一般地，若 lim f (k)(t) 0 (k 0,1, , n 1),
则
|t|
性质五 积分性质
主要内容
一、傅氏变换的基本性质
一、傅氏变换的基本性质
性质一 线性性质
F ( ) f (t )e jtdt
性质一 线性性质
f (t ) 1 F ( )e jtd
2
性质一 线性性质
1 1 () j
性质二 位移性质 F ( ) f (t )e jtdt
设 g(t) t f (t)dt 若 lim g(t ) 0 ，则
称为 傅里叶变换，简称傅氏变换。
f (t ) 1 F ( )e jtd
2
称为 傅里叶逆变换，简称傅氏逆变换。
1 e it d (t )
2
e jt d 2 (t )
Байду номын сангаас
例1 已知抽样信号f (t ) sin 2t 的频谱
t
为
F (
)
1, ||2 0, ||2
求信号 g(t ) f ( t )的频谱 G( ) .
2
解：
2, ||1 0, ||1
性质四 微分性质 若 lim f (t ) 0 ，则
|t |
当 | t | 时 | f (t )e jt || f (t ) | 0
从而 f (t )e jt 0
f (t )e jt
|
j
f (t )e jt dt
性质四 微分性质 若 lim f (t ) 0 ，则
|t |
一般地，若 lim f (k)(t) 0 (k 0,1, , n 1),
则
|t|
性质五 积分性质
主要内容
一、傅氏变换的基本性质
一、傅氏变换的基本性质
性质一 线性性质
F ( ) f (t )e jtdt
性质一 线性性质
f (t ) 1 F ( )e jtd
2
性质一 线性性质
1 1 () j
性质二 位移性质 F ( ) f (t )e jtdt
设 g(t) t f (t)dt 若 lim g(t ) 0 ，则
复变函数与积分变换PPT课件
11 2i (2 i )( 5i) 11 2i 5 10i 25 5i (5i) 25 25
16 8 i 25 25
所以
16 8 Re z , Im z 25 25
16 8 16 8 64 zz ( i)( i) 25 25 25 25 125
1. 复数的乘幂 设 n 为正整数， n 个非零相同复数 z 的乘 z 的 n 次幂，记为 z n ，即 积，称为
z n z z z
n个
若 z r（cos i sin ) ，则有
z n r n (cos n i sin n )
当 r 1 时，得到著名的棣莫弗公式 (cos i sin ) n cos n i sin n
所以 r z ( 1) 2 ( 3) 2 2 设 arg z, 则
3 tan t 3 1
又因为 z 1 i 3 位于第II象限 2 所以 arg z 3 于是
2 2 z 1 i 3 2(cos i sin ) 3 3
y arctan x , z在第一、四象限 y y arg z arctan , z在第二象限 其中 arctan 2 x 2 x y arctan x , z在第三象限
说明：当 z 在第二象限时， arg z 0 2 2 y y arctan tan( ) tan( ) tan
z0
25
开集 如果点集 D 的每一个点都是D 的内 点，则称 D 为开集. 闭集 如果点集 D 的余集为开集，则称D 为闭集. 连通集 设是 D 开集，如果对于 D 内任意两 点，都可用折线连接起来，且该折线上的 点都属于 D ，则称开集 D 是连通集.
16 8 i 25 25
所以
16 8 Re z , Im z 25 25
16 8 16 8 64 zz ( i)( i) 25 25 25 25 125
1. 复数的乘幂 设 n 为正整数， n 个非零相同复数 z 的乘 z 的 n 次幂，记为 z n ，即 积，称为
z n z z z
n个
若 z r（cos i sin ) ，则有
z n r n (cos n i sin n )
当 r 1 时，得到著名的棣莫弗公式 (cos i sin ) n cos n i sin n
所以 r z ( 1) 2 ( 3) 2 2 设 arg z, 则
3 tan t 3 1
又因为 z 1 i 3 位于第II象限 2 所以 arg z 3 于是
2 2 z 1 i 3 2(cos i sin ) 3 3
y arctan x , z在第一、四象限 y y arg z arctan , z在第二象限 其中 arctan 2 x 2 x y arctan x , z在第三象限
说明：当 z 在第二象限时， arg z 0 2 2 y y arctan tan( ) tan( ) tan
z0
25
开集 如果点集 D 的每一个点都是D 的内 点，则称 D 为开集. 闭集 如果点集 D 的余集为开集，则称D 为闭集. 连通集 设是 D 开集，如果对于 D 内任意两 点，都可用折线连接起来，且该折线上的 点都属于 D ，则称开集 D 是连通集.
复变函数与积分变换课堂PPT第三章
C1O C3
则根据复合闭路定理可得
C2 C1O C3
y
C i -i x
§4 原函数与不定积分
定理一 则积分
C1
如果函数 f (z)在单连通域B内处处解析,
与连接起点及终点的路线C无关。
B B C2 z1
z2
C2
z1
z2
C1
由定理一可知, 解析函数在单连通域内的积分只与
起点z0和终点z1有关, 如图所示, 有
设C为平面上给定的一条光滑(或按段光滑)曲线。 如果选定C的两个可能方向中的一个作为正方向(或正 向)，则将 C理解为带有方向的曲线，称为有向曲线。 设曲线 C的两个端点为 A与 B，如果将 A到 B的方向 作为C的正方向，则从 B到 A的方向就是C的负方向， 并记作 C 。 常将两个端点中一个作为起点，另一个 作为终点，则正方向规定为起点至终点的方向。
O C1 y
在复平面内除z=0和z=1两个奇点外
G
x C2 1
包含奇点 z = 0，C2只包含奇点 z=1。
则根据复合闭路定理可得
y
G
x C2 1
O C1
从这个例子可以看到：借助于复合闭路定理，有些
比较复杂的函数的积分可以化为比较简单的函数的积分
来计算它的值。这是计算积分常用的一种方法。
例 计算
是 f (z)的一个原函数。
, 则称 定理二表明
容易证明，f (z)的任何两个原函数相差一个常数。 设G (z)和H (z)是 f (z)的何任两个原函数, 则 所以
c为任意常数。
因此, 如果函数 f (z)在区域B内有一个原函数 F (z),
则，它就有无穷多个原函数, 而且具有一般表达式
复变函数与积分变换精品PPT课件
间的关系。然而一直到C.Wessel (挪威.1745-1818)和R.Argand (法国.1768-1822）将复数用平面向量或点来表示，以及 K.F.Gauss (德国1777-1855)与W.R.Hamilton (爱尔兰1805-1865)
定义复数 a ib 为一对有序实数后，才消除人们对复数真实性
的长久疑虑，“复变函数”这一数学分支到此才顺利地得到建立 和发展。
复变函数的 理论和方法在数学，自然科学和工程技术中有 着广泛的应用，是解决诸如流体力学，电磁学，热学弹性理论中 平面问题的有力工具。
复复变变函函数数中的的许理多论概和念方，法理在论数和学方，法自是然实科变学函和数工在程复技数术领中域的 推有广着和广发泛展的。应用，是解决诸如流体力学，电磁学，热学弹性理
当 z = 0 时, | z | = 0, 而幅角不确定. arg z可由下列关系确定:
arctan
y x
,
z在第一、四象限
arg
z
p
arctan
y x
,
z在第二象限
其中 p arctaarctan
y x
,
z在第三象限
说明：当 z 在第二象限时，p arg z p p p 0
论中平面问题的有力工具。 复变函数中的许多概念，理论和方法是实变函数在复数领
域的推广和发展 。
复变函数与积分变换
Complex Functions and Integral Transformation
课程性质： 必修
选课对象： 电子类各专业。
内容概要：介绍复变函数的基本理 论和方
法。为学生学习有关专业课和 扩大数学知识面提供必要的数 学基础。
| z || x | | y |,
定义复数 a ib 为一对有序实数后，才消除人们对复数真实性
的长久疑虑，“复变函数”这一数学分支到此才顺利地得到建立 和发展。
复变函数的 理论和方法在数学，自然科学和工程技术中有 着广泛的应用，是解决诸如流体力学，电磁学，热学弹性理论中 平面问题的有力工具。
复复变变函函数数中的的许理多论概和念方，法理在论数和学方，法自是然实科变学函和数工在程复技数术领中域的 推有广着和广发泛展的。应用，是解决诸如流体力学，电磁学，热学弹性理
当 z = 0 时, | z | = 0, 而幅角不确定. arg z可由下列关系确定:
arctan
y x
,
z在第一、四象限
arg
z
p
arctan
y x
,
z在第二象限
其中 p arctaarctan
y x
,
z在第三象限
说明：当 z 在第二象限时，p arg z p p p 0
论中平面问题的有力工具。 复变函数中的许多概念，理论和方法是实变函数在复数领
域的推广和发展 。
复变函数与积分变换
Complex Functions and Integral Transformation
课程性质： 必修
选课对象： 电子类各专业。
内容概要：介绍复变函数的基本理 论和方
法。为学生学习有关专业课和 扩大数学知识面提供必要的数 学基础。
| z || x | | y |,
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
1 2π
F ( ) [ 1 2π
f (t ) e
j t
d t ]d
f (t )
2
[
F ( ) e
j t
d ]d t
f (t ) d t
= 左边 . 12
§8.3 傅里叶变换的性质 第 一、基本性质(汇总) 八 [ a f ( t ) b g ( t ) ] a F ( ) b G ( ) . 章 线性性质 傅 里 位移性质 叶 变 换 相似性质
定义 设函数 f 1 ( t ) 与 f 2 ( t ) 在区间 ( , ) 上有定义， 如果
P200 定义 8.2
广义积分
f 1 ( ) f 2 ( t ) d
对任何实数 t 都收敛，则
它在 ( , ) 上定义了一个自变量为 t 的函数，称此 函数为 f 1 ( t ) 与 f 2 ( t ) 的卷积，记 为 f 1 ( t ) f 2 ( t ) , 即
1
P198 例8.11 修改
[ f (2t ) ]
1 / 2 , F 2 2 0,
| | 4 , | | 4 .
16
§8.3 傅里叶变换的性质 求 [ f ( t )] . 第 例 设 八 2 g ( t ) cos t , 则 f ( t ) t g ( t ) , 章 解 令 傅 里 叶 变 换 又已知 G ( ) 根据微分性质
f (t ) e
j t
j
f (t ) e
j t
dt
j F ( ) .
8
§8.3 傅里叶变换的性质 第 一、基本性质 八 章 4. 微分性质 傅 性质 若 | t lim f ( t ) 0 , 则 [ f ( t ) ] j F ( ) . | 里 (k ) 叶 一般地，若 lim f ( t ) 0 , ( k 0, 1, 2, , n 1) , | t | 变 (n) n 换 则 [ f ( t ) ] ( j ) F ( ) .
[ f ( t )]
[ cos t ] π ( 1 ) π ( 1 ) ,
1
f ( t ) t cos t ,
2
[ G ( ) ] ( j t ) g ( t ) ,
2
有
[ t g ( t ) ] G ( )
2
π ( 1 ) π ( 1 ) .
[ f (t t0 )] e
1
j t 0
F ( ) ;
(时移性质) (频移性质)
[ F ( 0 )] e
j 0 t
f (t ) .
[ f (a t ) ] F . |a | a 1
13
§8.3 傅里叶变换的性质 第 一、基本性质(汇总) 八 (n) n [ f ( t ) ] ( j ) F ( ) ; 章 微分性质 傅 里 叶 变 积分性质 换
令 x at 1
a
j
a
x
f ( x) e
F dx ; a a 1
(2) 当 a 0 时，
同理可得
[ f (a t ) ] F . a a 1
5
§8.3 傅里叶变换的性质 第 一、基本性质 八 章 3. 相似性质 傅 性质 里 叶 相似性质表明， 若信号被压缩 (a 1) , 则其频谱被扩展； 变 若信号被扩展 (a 1) , 则其频谱被压缩。 换 事实上，在对矩形脉冲函数的频谱分析中(§8.1)已知， 脉冲越窄，则其频谱(主瓣)越宽; 脉冲越宽，则其频谱(主瓣)越窄。 相似性质正好体现了脉冲宽度与频带宽度之间的反比关系。 6
§8.3 傅里叶变换的性质 第 一、基本性质 八 章 3. 相似性质 傅 性质 里 在电信通讯中， 叶 变 为了迅速地传递信号，希望信号的脉冲宽度要小； 换 为了有效地利用信道，希望信号的频带宽度要窄。 相似性质表明这两者是矛盾的，因为同时压缩脉冲宽度和 频带宽度是不可能的。
7
§8.3 傅里叶变换的性质 第 一、基本性质 八 章 4. 微分性质 傅 性质 若 | t lim f ( t ) 0 , 则 [ f ( t ) ] j F ( ) . | 里 叶 证明 由 lim f ( t ) 0 , 有 lim f ( t ) e j t 0 , | t | | t | 变 换 j t [ f ( t ) ] f ( t ) e dt
17
§8.3 傅里叶变换的性质 第 八 章 傅 里 叶 变 换
P200 例8.12
解 设矩形脉冲函数
1 , f (t ) 0 ,
|t | 1, |t | 1,
2 sin
已知
f ( t ) 的频谱为 F ( )
2
,
2
由 Parserval 等式有
f1 (t ) f 2 (t )
f 1 ( ) f 2 ( t ) d .
19
§8.3 傅里叶变换的性质 第 二、卷积与卷积定理 八 章 1. 卷积的概念与运算性质 傅 里 叶 变 换
性质 (1) 交换律
P201
f1 ( t ) f 2 ( t ) f 2 (t ) f1 (t ) .
[
t
[ f ( t ) ] j
[ g(t ) ],
f (t ) d t ]
1 j
F ( ) .
11
§8.3 傅里叶变换的性质 第 一、基本性质 八 1 2 2 f (t ) d t | F ( ) | d . 章 6. 帕塞瓦尔(Parseval)等式 2 π 傅 j t j t 证明 由 F ( ) f ( t ) e d t , 有 F ( ) f ( t ) e d t , 里 叶 1 变 右边 F ( ) F ( ) d 换 2π
14
§8.3 傅里叶变换的性质 第 例 设 f ( t ) u( t ) 2 cos 0 t , 求 [ f ( t )] . 八 1 章 解 已知 [ u ( t )] π ( ) ,
j
傅 里 叶 变 换
又
f ( t ) u( t ) (e
j 0 t
e
j 0 t
j t 记忆 由 f ( t ) F ( ) e d ,
f ( t )
j F ( ) e
n
j t
d ;
j t
f ( n) (t )
( j ) F ( ) e
d .
9
§8.3 傅里叶变换的性质 第 一、基本性质 八 章 4. 微分性质 傅 里 叶 变 换 同理，可得到像函数的导数公式
| F ( ) | d 2 π
1 1
f (t ) d t .
4 sin
2
2
d 2π
1 d t 4π .
2
由于被积函数为偶函数，故有
0
sin
2
2
d
π 2
.
18
§8.3 傅里叶变换的性质 第 二、卷积与卷积定理 八 章 1. 卷积的概念与运算性质 傅 里 叶 变 换
§8.3 傅里叶变换的性质 第 八 章 傅 里 叶 变 换
§8.3 傅立叶变换的性质
一、基本性质 二、卷积与卷积定理 *三、利用 Matlab 实现 Fourier 变换
1
§8.3 傅里叶变换的性质 第 一、基本性质 八 在下面给出的基本性质中，所涉及到的函数的 Fourier 章 傅 里 叶 变 换 变换均存在，且 F ( )
(2) 结合律
f 1 ( t ) [ f 2 ( t ) f 3 ( t )] [ f 1 ( t ) f 2 ( t )] f 3 ( t ) .
(3) 分配律
f 1 ( t ) [ f 2 ( t ) f 3 ( t )] f 1 ( t ) f 2 ( t ) f 1 ( t ) f 3 ( t ) .
时移性质表明：当一个信号沿时间轴移动后，各频率成份
的大小不发生改变，但相位发生变化；
频移性质则被用来进行频谱搬移，这一技术在通信系统中
得到了广泛应用。 4
§8.3 傅里叶变换的性质 第 一、基本性质 八 章 3. 相似性质 傅 性质 里 叶 证明 (1) 当 a 0 时， 变 j t [ f (a t ) ] f (a t ) e dt 换
j t
10
§8.3 傅里叶变换的性质 第 一、基本性质 八 章 5. 积分性质 傅 性质 里 叶 证明 令 g ( t ) t f ( t ) d t , 则 lim g( t ) 0 , | t | 变 换 由微分性质有 [ g ( t ) ] j G ( ) , 又 g ( t ) f ( t ) , 有 即得
上式可用来求
t f (t ) 的 Fourier 变换．
n
j t dt , 记忆 由 F ( ) f ( t ) e
F ( )
( jt ) f ( t ) e
n
j t
dt; dt .
F ( n ) ( )
( jt ) f ( t ) e
[ f ( t ) ] , G ( )
F ( ) [ 1 2π
f (t ) e
j t
d t ]d
f (t )
2
[
F ( ) e
j t
d ]d t
f (t ) d t
= 左边 . 12
§8.3 傅里叶变换的性质 第 一、基本性质(汇总) 八 [ a f ( t ) b g ( t ) ] a F ( ) b G ( ) . 章 线性性质 傅 里 位移性质 叶 变 换 相似性质
定义 设函数 f 1 ( t ) 与 f 2 ( t ) 在区间 ( , ) 上有定义， 如果
P200 定义 8.2
广义积分
f 1 ( ) f 2 ( t ) d
对任何实数 t 都收敛，则
它在 ( , ) 上定义了一个自变量为 t 的函数，称此 函数为 f 1 ( t ) 与 f 2 ( t ) 的卷积，记 为 f 1 ( t ) f 2 ( t ) , 即
1
P198 例8.11 修改
[ f (2t ) ]
1 / 2 , F 2 2 0,
| | 4 , | | 4 .
16
§8.3 傅里叶变换的性质 求 [ f ( t )] . 第 例 设 八 2 g ( t ) cos t , 则 f ( t ) t g ( t ) , 章 解 令 傅 里 叶 变 换 又已知 G ( ) 根据微分性质
f (t ) e
j t
j
f (t ) e
j t
dt
j F ( ) .
8
§8.3 傅里叶变换的性质 第 一、基本性质 八 章 4. 微分性质 傅 性质 若 | t lim f ( t ) 0 , 则 [ f ( t ) ] j F ( ) . | 里 (k ) 叶 一般地，若 lim f ( t ) 0 , ( k 0, 1, 2, , n 1) , | t | 变 (n) n 换 则 [ f ( t ) ] ( j ) F ( ) .
[ f ( t )]
[ cos t ] π ( 1 ) π ( 1 ) ,
1
f ( t ) t cos t ,
2
[ G ( ) ] ( j t ) g ( t ) ,
2
有
[ t g ( t ) ] G ( )
2
π ( 1 ) π ( 1 ) .
[ f (t t0 )] e
1
j t 0
F ( ) ;
(时移性质) (频移性质)
[ F ( 0 )] e
j 0 t
f (t ) .
[ f (a t ) ] F . |a | a 1
13
§8.3 傅里叶变换的性质 第 一、基本性质(汇总) 八 (n) n [ f ( t ) ] ( j ) F ( ) ; 章 微分性质 傅 里 叶 变 积分性质 换
令 x at 1
a
j
a
x
f ( x) e
F dx ; a a 1
(2) 当 a 0 时，
同理可得
[ f (a t ) ] F . a a 1
5
§8.3 傅里叶变换的性质 第 一、基本性质 八 章 3. 相似性质 傅 性质 里 叶 相似性质表明， 若信号被压缩 (a 1) , 则其频谱被扩展； 变 若信号被扩展 (a 1) , 则其频谱被压缩。 换 事实上，在对矩形脉冲函数的频谱分析中(§8.1)已知， 脉冲越窄，则其频谱(主瓣)越宽; 脉冲越宽，则其频谱(主瓣)越窄。 相似性质正好体现了脉冲宽度与频带宽度之间的反比关系。 6
§8.3 傅里叶变换的性质 第 一、基本性质 八 章 3. 相似性质 傅 性质 里 在电信通讯中， 叶 变 为了迅速地传递信号，希望信号的脉冲宽度要小； 换 为了有效地利用信道，希望信号的频带宽度要窄。 相似性质表明这两者是矛盾的，因为同时压缩脉冲宽度和 频带宽度是不可能的。
7
§8.3 傅里叶变换的性质 第 一、基本性质 八 章 4. 微分性质 傅 性质 若 | t lim f ( t ) 0 , 则 [ f ( t ) ] j F ( ) . | 里 叶 证明 由 lim f ( t ) 0 , 有 lim f ( t ) e j t 0 , | t | | t | 变 换 j t [ f ( t ) ] f ( t ) e dt
17
§8.3 傅里叶变换的性质 第 八 章 傅 里 叶 变 换
P200 例8.12
解 设矩形脉冲函数
1 , f (t ) 0 ,
|t | 1, |t | 1,
2 sin
已知
f ( t ) 的频谱为 F ( )
2
,
2
由 Parserval 等式有
f1 (t ) f 2 (t )
f 1 ( ) f 2 ( t ) d .
19
§8.3 傅里叶变换的性质 第 二、卷积与卷积定理 八 章 1. 卷积的概念与运算性质 傅 里 叶 变 换
性质 (1) 交换律
P201
f1 ( t ) f 2 ( t ) f 2 (t ) f1 (t ) .
[
t
[ f ( t ) ] j
[ g(t ) ],
f (t ) d t ]
1 j
F ( ) .
11
§8.3 傅里叶变换的性质 第 一、基本性质 八 1 2 2 f (t ) d t | F ( ) | d . 章 6. 帕塞瓦尔(Parseval)等式 2 π 傅 j t j t 证明 由 F ( ) f ( t ) e d t , 有 F ( ) f ( t ) e d t , 里 叶 1 变 右边 F ( ) F ( ) d 换 2π
14
§8.3 傅里叶变换的性质 第 例 设 f ( t ) u( t ) 2 cos 0 t , 求 [ f ( t )] . 八 1 章 解 已知 [ u ( t )] π ( ) ,
j
傅 里 叶 变 换
又
f ( t ) u( t ) (e
j 0 t
e
j 0 t
j t 记忆 由 f ( t ) F ( ) e d ,
f ( t )
j F ( ) e
n
j t
d ;
j t
f ( n) (t )
( j ) F ( ) e
d .
9
§8.3 傅里叶变换的性质 第 一、基本性质 八 章 4. 微分性质 傅 里 叶 变 换 同理，可得到像函数的导数公式
| F ( ) | d 2 π
1 1
f (t ) d t .
4 sin
2
2
d 2π
1 d t 4π .
2
由于被积函数为偶函数，故有
0
sin
2
2
d
π 2
.
18
§8.3 傅里叶变换的性质 第 二、卷积与卷积定理 八 章 1. 卷积的概念与运算性质 傅 里 叶 变 换
§8.3 傅里叶变换的性质 第 八 章 傅 里 叶 变 换
§8.3 傅立叶变换的性质
一、基本性质 二、卷积与卷积定理 *三、利用 Matlab 实现 Fourier 变换
1
§8.3 傅里叶变换的性质 第 一、基本性质 八 在下面给出的基本性质中，所涉及到的函数的 Fourier 章 傅 里 叶 变 换 变换均存在，且 F ( )
(2) 结合律
f 1 ( t ) [ f 2 ( t ) f 3 ( t )] [ f 1 ( t ) f 2 ( t )] f 3 ( t ) .
(3) 分配律
f 1 ( t ) [ f 2 ( t ) f 3 ( t )] f 1 ( t ) f 2 ( t ) f 1 ( t ) f 3 ( t ) .
时移性质表明：当一个信号沿时间轴移动后，各频率成份
的大小不发生改变，但相位发生变化；
频移性质则被用来进行频谱搬移，这一技术在通信系统中
得到了广泛应用。 4
§8.3 傅里叶变换的性质 第 一、基本性质 八 章 3. 相似性质 傅 性质 里 叶 证明 (1) 当 a 0 时， 变 j t [ f (a t ) ] f (a t ) e dt 换
j t
10
§8.3 傅里叶变换的性质 第 一、基本性质 八 章 5. 积分性质 傅 性质 里 叶 证明 令 g ( t ) t f ( t ) d t , 则 lim g( t ) 0 , | t | 变 换 由微分性质有 [ g ( t ) ] j G ( ) , 又 g ( t ) f ( t ) , 有 即得
上式可用来求
t f (t ) 的 Fourier 变换．
n
j t dt , 记忆 由 F ( ) f ( t ) e
F ( )
( jt ) f ( t ) e
n
j t
dt; dt .
F ( n ) ( )
( jt ) f ( t ) e
[ f ( t ) ] , G ( )