7线性变换复习

σ (ξ , σξ , σ 2ξ ,L , σ n −1ξ ) = (σξ , σ 2ξ ,L , σ n −1ξ , 0)
⎛0 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜1 0 ⎟ ⎜ ⎟ 1 0 = (ξ , σξ , σ 2ξ ,L , σ n −1ξ ) ⎜ ⎟ O O ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ O 0 ⎜ ⎟ ⎜ 1 0⎟ ⎝ ⎠ 从而在基 ξ , σξ , σ 2ξ ,L , σ n −1ξ 下, σ 的矩阵是 N . (3) 由 (1), 向量组 ξ ,σξ ,σ 2ξ ,L,σ n −1ξ 线性无关 , 故向量组 σ n −1ξ ,L , σξ , ξ 也线 性无关,可以充当 V 的一组基,而
应用 σ nξ = 0 得 ⎧ k0σξ + k1σ 2ξ + k2σ 3ξ + L + kn − 2σ n −1ξ = 0 ⎪ 2 3 4 n −1 ⎪ k0σ ξ + k1σ ξ + k2σ ξ + L + kn −3σ ξ = 0 ⎨ ⎪L ⎪ k σ n −1ξ = 0 ⎩ 0 由 σ n −1ξ ≠ 0 , 可依次得 k0 = k1 = k2 = L = kn −1 = 0 , 即 ξ , σξ , σ 2ξ ,L , σ n −1ξ 线性无关. (2) 由(1)知道 ξ , σξ , σ 2ξ ,L , σ n −1ξ 线性无关,故可以充当 V 的一组基,并且
等价 对象 来源 得到 B 存在 P, Q 可逆， 刻划 使得 B = P A Q 共同点 最简 形式 基下的矩阵 存在 P 可逆，使得 B = P-1 A P
P
相似 n 阶方阵 一个线性变换在不同
合同 n 阶实对称矩阵 二次型经非退化线性变换 后，新旧矩阵之间的关系 存在 P 可逆，使得 B = PT A P
P
m×n 矩阵 A 可经初等行变换
都满足反身性、对称性和传递性，都保持矩阵的秩不变 有 n 个线性无关的特
⎡ E r 0⎤ ⎢ ⎣ 0 0⎥ ⎦ m× n
征向量时相似于对角 形矩阵 有相同的特征多项
⎡E p ⎤ ⎢ − Er − p ⎥ ⎢ ⎥ 0⎦ ⎣
性质 等价类
秩相同 式，有相同的特征值 r+1, r=min(m, n) 无限多个
(2) 正交矩阵的性质 ① 正交矩阵为可逆矩阵,其逆仍为正交矩阵. ② 正交矩阵的行列式为 1 或-1. ③ 正交矩阵的伴随矩阵是正交矩阵. 2. 对称变换 (1) 假如欧氏空间 V 的线性变换 σ 满足:
① ② ③ ④
(σ (α ), β ) = (α , σ ( β )) , ∀α , β ∈ V
−1
例3
在数域 F 上的 n 维线性空间 V 中,设有线性变换 σ 与向量 ξ 满足
σ n −1ξ ≠ 0 ,但是 σ nξ = 0 .
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(1) 证明向量组 ξ , σξ , σ 2ξ ,L , σ n −1ξ 线性无关. (2) 证明存在一组基,使 σ 在此组基下的矩阵是 ⎛0 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜1 0 ⎟ ⎜ ⎟ 1 0 N =⎜ ⎟. O O ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ O 0 ⎜ ⎟ ⎜ 1 0⎟ ⎝ ⎠ (3) 证明存在一组基,使 σ 在此组基下的矩阵是 N′ ,其中 N′ 是 N 的转置矩阵. 证明 (1) 设 k0ξ + k1σξ + k2σ 2ξ , + L + kn −1σ n −1ξ = 0 ,则用 σ , σ 2 ,L , σ n −1 作用,并
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第七章 线性变换(小结、复习)
线性变换是线性代数的中心内容之一,它对于研究线性空间的整体结构以及 向量之间的内存联系起着重要作用.线性变换的概念是解析几何中的坐标变换、 数学分析中的某些变量的替换等的抽象和推广,它的理论和方法,(特别是与之相 适应的矩阵理论和方法)在解析几何、微分方程等许多其它应用学科,都有极为广 泛的应用. 本章的中心问题是研究线性变换的矩阵表示,在方法上则充分利用了线性变 换与矩阵的对应和相互转换. 一、线性变换及其运算 1. 基本概念:线性变换,可逆线性变换与逆变换;线性变换的值域与核， 秩与零 度;线性变换的和与差,乘积和数量乘法,幂和多项式. 2. 基本结论 (1) 线性变换保持零向量、线性组合与线性关系不变; 线性变换把负向量变 为象的负向量、把线性相关的向量组变为线性相关的向量组 (2) 线性变换的和、差、积、数量乘法和可逆线性变换的逆变换仍为线性变 换. (3) 线性变换的基本运算规律(略). (4) 一个线性空间的全体线性变换关于线性变换的加法与数量乘法作成一 个线性空间. (5) 线性空间 V 的线性变换 σ 的象与核是 V 的子空间.若 dim( V )= n ,则 Im( σ )由 V 的一组基的象生成,而 σ 的秩+ σ 的零度= n ,且 σ 是双射 ⇔ 单射 ⇔ Ker( σ )={0}. 二、线性变换与矩阵 1.基本概念:线性变换在基下的矩阵;相似矩阵. 2.基本结论 (1) 若 α 1 ,α 2 ,L , α n 是线性空间 V 的一个基, ∀ β 1 , β 2 ,L , β n ∈ V ,则存在唯 一 σ ∈ L(V ) ,使得 σ (α i ) = β i , i = 1, 2 ,L, n . (2) 在取定 n 维线性空间 V 的一个基之后,将 V 的每一线性变换与它在这个
σ 的矩阵可以在某一组基下为对角形矩阵 ⇔ σ 有 n 个线性无关的特征向量
⇔ σ 的所有不同的特征子空间的维数之和等于 n .
2
⇔ V 可以分解为 n 个一维不变子空间的直和
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因而,当 σ 有 n 个不同特征值时, (2)
σ σ
必在某个基下的矩阵是对角形式. 的最小多项式（即 σ 在任一基下矩阵
线性变换 T : V → V 下
⎛ 1 1 1⎞ ⎜ ⎟ ⎯→ A = ⎜ 0 1 1⎟, 答案：因为 T ⎯⎯ ⎯ ⎜ 0 0 1⎟ ⎝ ⎠
α1 ,α 2 ,α 3
所以 T
−1
⎛ 1 −1 0 ⎞ ⎜ ⎟ ⎯⎯⎯⎯ → A = ⎜ 0 1 −1⎟ 。 ⎜0 0 1 ⎟ ⎝ ⎠
α1 ,α 2 ,α 3
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(6) 任一个 n 阶实对称矩阵 A 都可以正交对角化 , 即存在正交矩阵 U , 使得
U ′AU = U −1 AU 是对角形式,相应地有对于欧氏空间 V 的任一个对称变换 σ ,存
在 V 的标准正交基, σ 在这个标准正交基下的矩阵是对角形式.
矩阵的三大关系
σ
在某组基下的矩阵是为对角形 ⇔ V 可以分解为 σ 一子空间的直
和； σ 在某组基下的矩阵为对角形 ⇔
的最小多项式）是 P 上互素的一次因式的乘积. (3) 设 A 为 n 阶矩阵，则 A 必与一个 Jordan 标准形矩阵相似，且在不计若当 块的排列次序的意义下，这个 Jordan 标准形是唯一的；而 A 与对角矩阵相似
σ
的秩=秩( A ), σ ( α )的坐标
⎛ x1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜x ⎟ A⎜ 2 ⎟ . M ⎜ ⎟ ⎜x ⎟ ⎝ n⎠
⎛ y1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ y2 ⎟ ⎜ M ⎟= ⎜ ⎟ ⎜y ⎟ ⎝ n⎠
三、特征值与特征向量 1.基本概念:线性变换(或矩阵)的特征值与特征向量;特征多项式与最小多 项式；特征子空间. 2.基本结论: (1) 线性变换与相应矩阵的特征值、特征向量及特征子空间的关系(略) (2) 属于不同特征值的特征向量是线性无关的. (3) 相似矩阵有相同的特征多项式,反之不然. (4) Hamilton − Caylay 定理:设线性变换 σ 在某个基下的矩阵为
那么 σ 叫做对称变换. (2) n 维欧氏空间 V 的线性变换是对称变换 ⇔ σ 在 V 的标准正交基下的矩阵 是对称矩阵. (3) 设 σ 是欧氏空间 V 的对称变换,若 W 是 σ 的不变子空间,则 W 也是 σ 的
⊥
不变子空间. (4) 实对称矩阵的特征值都是实数,实对称矩阵,则属于 A 的不同特征值的特征向量是正交的.
⇔ A 的最小多项式无重根.于是，当 A 的特征多项式无重根时， A 必与一个对
角矩阵相似. 五、欧氏空间的线性变换 1.正交变换 (1) 欧氏空间 V 的线性变换 σ 是正交变换
⇔ σ 保持向量的长度不变 ⇔ σ 保持向量的内积不变 ⇔ σ 把标准正交基仍变为标准正交基 ⇔ σ 关于标准正交基的矩阵是正交矩阵。
有相同的秩与正惯性指数
个数
1 ( n + 1)( n + 2) 2
解题方法与范例分析 1.线性变换在某基下的矩阵 例 1 （武汉大学 97 ）以 Rn [ x ] 表示所有次数不超过 n 的实系数多项式构成
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的实向量空间，其向量加法是多项式加法，数乘运算是实数乘多项式。以 D = 表示求导多项式的求导算子。则 D 为 Rn [ x ] 上的线性变换。 （1） 试证： {1, x, x 2 ,L , x n } 是 Rn [ x ] 的一组基； （2） 求在上述基下 D 的矩阵。
∂ ∂x
n ≥ 1时 D 不能对角化 （3） 试证： （即 Rn [ x ] 没有基使 D 的相应矩阵为对角矩阵） 。
证明 （1） 因为 Rn [ x ] 中任一元素可表成 f ( x) = an x n + L + a1 x + a0 ， ∴ f ( x) → 1, x, x 2 ,L , x n 。又若 a0 + a1 x + L + an x n = 0 ，则 ai = 0 。故 1, x, x 2 ,L , x n 线 性无关，从而为基。 （2） D(1, x, x 2 ,L , x n ) = (0,1, 2 x,L , nx n −1 ) ⎛0 ⎜ ⎜0 ⎜0 = (1, x, x 2 ,L , x n ) ⎜ ⎜M ⎜0 ⎜ ⎜0 ⎝ 1 0 L 0⎞ ⎟ 0 2 L 0⎟ 0 0 L 0⎟ ⎟ → A。 M M⎟ 0 0 L n⎟ ⎟ 0 0 L 0⎟ ⎠