高等数学欧拉方程
欧拉公式
编辑词条欧拉公式[编辑本段]欧拉公式(Euler公式)在数学历史上有很多公式都是欧拉（Leonhard Euler 公元1707-1783年)发现的，它们都叫做欧拉公式，它们分散在各个数学分支之中。
（1）分式里的欧拉公式：a＾r/(a-b)(a-c)+b＾r/(b-c)(b-a)+c＾r/(c-a)(c-b)当r=0,1时式子的值为0当r=2时值为1当r=3时值为a+b+c（2）复变函数论里的欧拉公式：e^ix=cosx+isinx，e是自然对数的底，i是虚数单位。
它将三角函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位。
将公式里的x换成-x，得到：e^-ix=cosx-isinx，然后采用两式相加减的方法得到：sinx=(e^ix-e^-ix)/(2i)，cosx=(e^ix+e^-ix)/2.这两个也叫做欧拉公式。
将e^ix=cosx+isinx中的x取作∏就得到：e^i∏+1=0.这个恒等式也叫做欧拉公式，它是数学里最令人着迷的一个公式，它将数学里最重要的几个数学联系到了一起：两个超越数：自然对数的底e，圆周率∏，两个单位：虚数单位i和自然数的单位1，以及数学里常见的0。
数学家们评价它是“上帝创造的公式”，我们只能看它而不能理解它。
（3）三角形中的欧拉公式：设R为三角形外接圆半径，r为内切圆半径，d为外心到内心的距离，则：d＾2=R＾2-2Rr（4）拓扑学里的欧拉公式：V+F-E=X(P)，V是多面体P的顶点个数，F是多面体P的面数，E是多面体P 的棱的条数,X(P)是多面体P的欧拉示性数。
如果P可以同胚于一个球面（可以通俗地理解为能吹胀而绷在一个球面上），那么X(P)=2，如果P同胚于一个接有h个环柄的球面，那么X(P)=2-2h。
X(P)叫做P的欧拉示性数，是拓扑不变量，就是无论再怎么经过拓扑变形也不会改变的量，是拓扑学研究的范围。
（5）初等数论里的欧拉公式：欧拉φ函数：φ(n)是所有小于n的正整数里，和n互素的整数的个数。
欧拉方程推导全过程
欧拉方程推导全过程嘿，数学爱好者们！今天我要带大家走进一个超级有趣的数学世界，那就是欧拉方程的推导。
这可不像在公园散步那么简单，但也绝不是无法攀登的高山，只要跟着我一步一步来，保准你能搞明白。
咱先来说说什么是欧拉方程。
想象一下，在数学这个大王国里，有一个神秘的方程式，就像一颗璀璨的明珠，它把指数函数、三角函数这些看似不太相关的家伙巧妙地联系在了一起。
这就是欧拉方程，$e^{ix} = \cos x + i\sin x$，其中$e$是自然常数，$i$是虚数单位，$x$是一个实数。
这个方程就像一把魔法钥匙，能打开很多数学难题的大门呢。
那咱们怎么推导这个神奇的方程呢？咱们得从泰勒级数这个有力的工具开始。
泰勒级数就像是一个超级放大镜，可以把一个函数展开成无穷项的多项式。
对于指数函数$e^x$，它的泰勒级数展开式是：$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!}+ \frac{x^3}{3!}+ \frac{x^4}{4!}+ \cdots$。
这个式子看起来有点吓人，但是别怕，咱们一点点分析。
这里的$n!$就是$n$的阶乘，也就是从$1$乘到$n$。
再来看三角函数$\cos x$和$\sin x$的泰勒级数展开式。
$\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!}+ \frac{x^4}{4!}- \frac{x^6}{6!}+ \cdots$，$\sin x = x - \frac{x^3}{3!}+ \frac{x^5}{5!}- \frac{x^7}{7!}+ \cdots$。
现在咱们把$x$换成$ix$代入到$e^x$的泰勒级数展开式中。
$e^{ix} = 1 + ix + \frac{(ix)^2}{2!}+ \frac{(ix)^3}{3!}+ \frac{(ix)^4}{4!}+ \cdots$。
那这个式子要怎么化简呢？咱们来仔细瞧瞧。
$(ix)^2 = -x^2$，$(ix)^3 = -ix^3$，$(ix)^4 = x^4$等等。
欧拉方程的基本原理
欧拉方程是一种描述流体力学中流体运动的基本方程，它是根据质量守恒和动量守恒原理导出的。
以下是欧拉方程的基本原理：
质量守恒原理：质量守恒原理是指在流体运动过程中，质量不会凭空消失或增加。
根据质量守恒原理，欧拉方程中的质量守恒项表示为流体密度和流速的乘积。
动量守恒原理：动量守恒原理是指在流体运动过程中，流体粒子的动量总量保持不变。
根据动量守恒原理，欧拉方程中的动量守恒项表示为流体的动量和流体受力的乘积。
基于这两个原理，欧拉方程可以表示为以下形式：
∂ρ/∂t + ∇·(ρv) = 0
∂(ρv)/∂t + ∇·(ρv⊗v) = -∇p + ∇·τ+ ρg
其中，ρ是流体密度，t是时间，v是流体速度矢量，p是压力，τ是应力张量，g是重力加速度，∇表示梯度运算符，⊗表示向量的张量积。
欧拉方程描述了流体在空间和时间上的变化，其中第一项表示质量守恒，第二项表示动量守恒。
欧拉方程是研究流体力学中流体运动行为的重要工具，通过求解欧拉方程，可以得到流体的速度、压力和流动特性等相关信息。
欧拉公式解析
欧拉公式解析欧拉公式，那可是数学世界里超级厉害的一个存在！咱们先来说说欧拉公式是啥。
欧拉公式是e^(iθ) = cosθ + i*sinθ 。
这看起来是不是有点复杂？别担心，咱们慢慢捋一捋。
就拿咱们生活中的一个例子来说吧，比如说你在公园里转圈圈。
想象一下，你站在圆心，每转一个角度，就相当于在这个数学的“圆”里移动了一段“距离”。
这个“距离”可以用欧拉公式来描述。
咱们先看看 e 这个数，它可是个神奇的常数，在很多数学和科学的地方都出现。
就像你总是能在熟悉的地方碰到熟悉的朋友一样，e 也是数学世界里的“常客”。
再说说 i ，这个虚数单位，一开始接触的时候，可能会觉得它有点奇怪。
但其实啊，它就像是给数学打开了一扇新的窗户，让我们能看到更多奇妙的景象。
而θ 呢，就是咱们转的那个角度。
cosθ 和sinθ 大家应该比较熟悉啦，它们能告诉我们在某个角度上，水平和垂直方向的“分量”是多少。
比如说，当θ = 0 的时候，欧拉公式就变成了 e^(i*0) = cos0 + i*sin0 ，也就是 1 = 1 + 0i ，这是不是很简单明了？再比如，当θ = π/2 的时候，就变成了 e^(i*π/2) = cos(π/2) +i*sin(π/2) ，也就是 i = 0 + i ，是不是很有趣？那欧拉公式到底有啥用呢？这用处可大了去了！在物理学里，研究交流电的时候，欧拉公式就能大显身手。
还有在信号处理、控制理论等好多领域，欧拉公式都是非常重要的工具。
记得有一次，我和一个朋友讨论一个物理问题，涉及到电磁波的传播。
我们一开始被那些复杂的公式和计算搞得晕头转向。
后来突然想到了欧拉公式，就像在黑暗中找到了一盏明灯。
用欧拉公式一化简，那些原本让人头疼的式子一下子变得清晰起来，问题也迎刃而解。
那一刻，我真真切切地感受到了欧拉公式的强大魅力。
总之，欧拉公式虽然看起来有点复杂，但只要我们耐心去理解，去探索，就能发现它背后隐藏的美妙和神奇。
欧拉方程_高等数学(上册)_[共2页]
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1 + 1+ 1 = 1 ，
p
p2 C1 y
上两式相加并注意到 dy = p ，得 dx
积分，得通解为
1− p
1+
1 p2
= C1 y
，
dy dx
=
1 2 [C1 y
+
(C1 y)−1] ，
x
=
1 4
C1 y2
+
1 2C1
ln
|
y
|
+C2
.
6.4.2 欧拉方程
一般的高阶变系数的线性微分方程是不容易求解的，但是有些特殊的变系数方程可以通过变量
（6.4.4）
D = d ， D2 = d2 ，…， Dn = dn ，
dt
dt 2
dt n
则有
dy = 1 dy = 1 Dy ， dx x dt x
270
高等数学（上册）
例 6.4.5
y y + C1
= C2eC1x .
求方程 yy′′ = ( y′)2 1+ ( y′)2 的通解.
解 此方程不显含自变量 x ，令 y′ = p ，则 y′′ = p dp ， dy
则原方程可化为 分离变量，得 两边积分，得
yp dp = p2 1+ p2 . dy dp = dy ，
代换化为常系数线性方程来求解，欧拉方程就是其中的一种. 定义 6.4.1 形如 xn y(n) + P1xn−1 y(n−1) + + Pn−1xy′ + Pn y = f (x)
的微分方程（其中 P1 ， P2 ，…， Pn 为常数），称为 n 阶欧拉方程*. 当 x > 0 时，令 x = et ，或 t = ln x ，将自变量 x 换成 t ，并引用微分算子符号
欧拉方程的基本原理
欧拉方程的基本原理欧拉方程是一种微分方程，由瑞士数学家欧拉提出。
它是描述物理现象中最常见的方程之一，并在工程、自然科学以及经济学等领域中得到广泛应用。
欧拉方程具有一些特殊的性质，使得它成为求解一些重要问题的有力工具。
在本文中，我将详细介绍欧拉方程的基本原理。
欧拉方程是以欧拉(Euler)命名的，他是18世纪最杰出的数学家之一、欧拉曾经系统地研究了二阶常系数线性微分方程，并提出并解决了一类特殊的微分方程，还研究了更高阶的欧拉方程（即阶数高于二的微分方程）。
\(a_n(x)y^n+a_{n-1}(x)y^{n-1}+⋯+a_1(x)y'+a_0(x)y=g(x)\)其中，\(a_n(x),a_{n-1}(x),…,a_1(x),a_0(x)\)是已知的连续函数，称为方程的系数函数；\(y\)是未知函数，代表方程的解；\(g(x)\)是已知的连续函数，称为非齐次项。
基本原理：1.齐次方程齐次方程是指当非齐次项\(g(x)\)为零时的方程，即该时刻纯粹由齐次项的线性组合构成：\(a_n(x)y^n+a_{n-1}(x)y^{n-1}+⋯+a_1(x)y'+a_0(x)y=0\)为了求解齐次方程，我们需要找到一个形如\(y=e^{rx}\)的解。
将这个解代入方程，并化简，我们可以得到一个对\(r\)的代数方程。
该代数方程的根决定了齐次方程的解的形式。
根的个数通常等于方程的阶数。
2.非齐次方程非齐次方程是指当非齐次项\(g(x)\)不为零时的方程，即方程的左边与右边都有贡献。
为了求解非齐次方程，我们需要首先找到一个特解，使得方程的左边等于右边。
这个特解可以通过猜测和尝试的方法求解。
特解的形式通常与非齐次项的形式有关。
如果非齐次项是一个多项式函数，我们可以猜测一个多项式解；如果是三角函数或指数函数，我们可以猜测一个相应的解。
特解的形式可以根据经验和观察来确定。
将这个特解代入方程后进行化简，我们可以得到适当的常数值。
利用欧拉公式求解
利用欧拉公式求解欧拉公式是数学中的一种重要公式，用来描述复数的指数函数。
它由著名的瑞士数学家莱昂哈德·欧拉于18世纪提出并证明。
欧拉公式的表达式为 e^ix = cos(x) + isin(x)，其中e是常数, i是虚数单位，x是实数。
这个等式将复数写成了指数的形式，从而方便进行复数运算。
欧拉公式在数学、物理学、工程学等多个领域都有广泛的应用。
它在复数分析、微积分、信号处理等方面都有重要作用。
接下来将详细介绍欧拉公式的解释和运用。
首先，我们来看一下欧拉公式的证明。
通过泰勒级数展开可以证明欧拉公式成立。
泰勒级数展开是将一些函数表示为无限次可微函数的幂级数的形式。
以指数函数e^x为例，它的泰勒级数展开为1 + x + x^2/2! + x^3/3! + ...。
将x替换为ix，即可得到e^ix的泰勒级数展开。
然后根据奇偶性质和复数的定义，我们可以将e^ix展开为cos(x) + isin(x)，从而证明欧拉公式成立。
欧拉公式提供了一种将复数表达为指数形式的方法。
这种表达方式在复数计算中十分方便，特别是在求幂、对数、三角函数等运算时，可以直接利用欧拉公式进行化简和计算。
例如，要计算e^zi，其中z是复数，我们可以将z表示为z = x + iy的形式，然后将e^zi转化为e^x *e^iy，再分别对e^x和e^iy进行计算。
这样就大大简化了复数计算的过程。
欧拉公式还可以用来解决一些复杂的问题。
例如，它在微积分中可以用来求解常微分方程的初值问题。
对于一些具有指数函数解的微分方程，可以利用欧拉公式将其转化为求解常微分方程的初值问题。
这种方法十分实用，可以大大简化微分方程的求解过程。
在物理学和工程学中，欧拉公式也有广泛的应用。
例如，在信号处理中，复数幅角的变化可以用欧拉公式来描述。
在电路分析中，欧拉公式可以用来分析交流电路。
在量子力学中，欧拉公式是描述波函数的数学工具。
总结来说，欧拉公式是数学中的一种重要公式，用来描述复数的指数函数。
欧拉方程
欧拉方程 (刚体运动)莱昂哈德·欧拉用欧拉角来描述刚体在三维欧几里得空间的取向。
对于任何一个参考系，一个刚体的取向，是依照顺序，从这参考系，做三个欧拉角的旋转而设定的。
所以，刚体的取向可以用三个基本旋转矩阵来决定。
换句话说，任何关于刚体旋转的旋转矩阵是由三个基本旋转矩阵复合而成的。
静态的定义三个欧拉角：() 。
蓝色的轴是xyz-轴，红色的轴是XYZ-坐标轴。
绿色的线是交点线(N) 。
对于在三维空间里的一个参考系，任何坐标系的取向，都可以用三个欧拉角来表现。
参考系又称为实验室参考系，是静止不动的。
而坐标系则固定于刚体，随着刚体的旋转而旋转。
参阅右图。
设定 xyz-轴为参考系的参考轴。
称 xy-平面与 XY-平面的相交为交点线，用英文字母（Ｎ）代表。
zxz 顺规的欧拉角可以静态地这样定义:∙α是x-轴与交点线的夹角，∙β是z-轴与Z-轴的夹角，∙γ是交点线与X-轴的夹角。
很可惜地，对于夹角的顺序和标记，夹角的两个轴的指定，并没有任何常规。
科学家对此从未达成共识。
每当用到欧拉角时，我们必须明确的表示出夹角的顺序，指定其参考轴。
实际上，有许多方法可以设定两个坐标系的相对取向。
欧拉角方法只是其中的一种。
此外，不同的作者会用不同组合的欧拉角来描述，或用不同的名字表示同样的欧拉角。
因此，使用欧拉角前，必须先做好明确的定义。
[编辑]角值范围∙值从0 至2π弧度。
∙β值从0 至π弧度。
对应于每一个取向，设定的一组欧拉角都是独特唯一的；除了某些例外：∙两组欧拉角的α，一个是0 ，一个是2π，而β与γ分别相等，则此两组欧拉角都描述同样的取向。
∙两组欧拉角的γ，一个是0 ，一个是2π，而α与β分别相等，则此两组欧拉角都描述同样的取向。
[编辑]旋转矩阵前面提到，设定刚体取向的旋转矩阵是由三个基本旋转矩阵合成的：单独分开作用，每个矩阵各自代表绕着其转动轴的旋转；但是，当它们照次序相乘，∙最里面的(最右的) 矩阵代表绕着z 轴的旋转。
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令 xe ,
t
则
d y d y dt 1 d y d x dt d x x dt
dy x y dt
d2 y d 1 d y d t 1 d2 y d y ) ( 2 2 2 dt x dt d x x dt dt dx
计算繁!
d2 y d y x 2 y 2 dt dt
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k d d k 记 D , D k (k 2, 3, ) ,则由上述计算可知: dt dt x y D y
x 2 y D 2 y D y D( D 1) y
用归纳法可证
x k y ( k ) D( D 1)( D k 1) y
则方程化为
即 特征根:
②
பைடு நூலகம்
设特解: y A t 2 et , 代入 ② 解得 A = 1, 所求通解为
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例3.
解: 由题设得定解问题 ③
④
d 令 x e , 记 D , 则③化为 dt [ D( D 1) D 4] y 5e t
t
( D 2 4) y 5e t
于是欧拉方程
x n y ( n) p1 x n 1 y ( n 1) pn 1 x y pn y f ( x)
转化为常系数线性方程:
D n y b1D n 1 y bn y f (et )
即 dn y d n 1 y t b1 n 1 bn y f (e ) n dt dt
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例1. 解:
则原方程化为
亦即 特征方程 其根
①
则①对应的齐次方程的通解为
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设特解:
y A t 2 B t C
代入①确定系数, 得
① 的通解为
换回原变量, 得原方程通解为
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例2.
解: 将方程化为
(欧拉方程)
第十节 欧拉方程
欧拉方程
x y
n ( n)
第十二章
p1 x
n 1 ( n 1)
y
pn 1 x y pn y f ( x)
( pk 为常数 )
令 x et , 即 t ln x
常系数线性微分方程
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欧拉方程的算子解法:
x n y ( n) p1 x n 1 y ( n 1) pn 1 x y pn y f ( x)
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结束
思考: 如何解下述微分方程
提示: 原方程
直接令
d 记D dt [ D( D 1) p1D p2 ] y f (e t a)
d 记D dt
作业
P319 2 ; 6; 8
第11节 目录 上页 下页 返回 结束
⑤
特征根: r 2i, 设特解: y A e t , 代入⑤得 A＝1
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得通解为
y C1 cos 2t C2 sin 2 t e t
1 C1 cos( 2 ln x) C2 sin(2 ln x) x 利用初始条件④得 1 C1 1, C2 2 故所求特解为 1 1 y cos( 2 ln x) sin(2 ln x) 2 x