空间几何体的结构、三视图和直观图
空间几何体的结构特征及三视图和直观图
空间几何体的结构特征及三视图和直观图考纲要求1.了解和正方体、球有关的简单组合体的结构特征，理解柱、锥、台、球的结构特征．2.能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等简易组合)的三视图，会用斜二测画法画出它们的直观图．3.会用平行投影与中心投影两种方法画出简单空间图形的三视图或直观图，了解空间图形的不同表示形式．4.能识别三视图所表示的空间几何体；理解三视图和直观图的联系，并能进行转化.考情分析1.三视图是新增加的内容，是高考的热点和重点，几乎年年考．2.柱、锥、台、球及简单组合体的结构特征及性质是本节内容的重点，也是难点．3.以选择、填空题的形式考查，有时也会在解答题中出现.教学过程基础梳理空间几何体的直观图常用画法来画，其规则是(1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴、y′轴的夹角为，z′轴与x′轴和y′轴所在平面．(2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍分别．平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度，平行于y轴的线段长度在直观图中．五、三视图几何体的三视图括、、，分别是从几何体的、、观察几何体画出的轮廓线．双基自测1．(教材习题改编)无论怎么放置，其三视图完全相同的几何体是() A．正方体B．长方体C．圆锥D．球2．一个简单几何体的正视图、侧视图如图所示，则其俯视图不可能为：①长方形；②正方形；③圆；④椭圆．其中正确的是()A．①②B．②③C．③④D．①④3.若一个底面是正三角形的直三棱柱的正视图如图所示，则其侧面积等于()A. 3 B．2C．2 3 D．64．如果圆锥的侧面展开图是半圆，那么这个圆锥的顶角(圆锥轴截面中两条母线的夹角)是________．5.(2011·山东高考改编)如图是长和宽分别相等的两个矩形．给定下列三个命题：①存在三棱柱其正视图、俯视图如图；②存在四棱柱，其正视图、俯视图如图；③存在圆柱，其正视图、俯视图如图．其中真命题的序号是________．1．对三视图的认识及三视图画法(1)空间几何体的三视图是该几何体在三个两两垂直的平面上的正投影，并不是从三个方向看到的该几何体的侧面表示的图形．(2)在画三视图时，重叠的线只画一条，能看见的轮廓线和棱用实线表示，挡住的线要画成虚线．(3)三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体用平行投影画出的轮廓线．2．对斜二测画法的认识及直观图的画法(1)在斜二测画法中，要确定关键点及关键线段．“平行于x轴的线段平行性不变，长度不变；平行于y轴的线段平行性不变，长度减半．”(2)按照斜二测画法得到的平面图形的直观图，其面积与原图形的面积有以下关系：S直观图＝24S原图形，S原图形＝22S直观图．典例分析考点一、空间几何体的结构特征[例1](2011·广东高考)正五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个正五棱柱对角线的条数共有()A．20B．15C．12 D．10[巧练模拟]——————(课堂突破保分题，分分必保！)1．(2012·南昌模拟)如图：在透明塑料制成的长方体ABCD－A1B1C1D1容器内灌进一些水，将容器底面一边BC固定于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下列四个说法：①水的部分始终呈棱柱状；②水面四边形BFGH的面积不改变；③棱A1D1始终与水面EFGH平行；④当E∈AA1时，AE＋BF是定值．其中正确说法是()A．①②③B．①③C．①②③④D．①③④2．(2012·温州五校第二次联考)下图是一个正方体的展开图，将其折叠起来，变成正方体后的图形可能是()[冲关锦囊]几种常见的多面体的结构特征(1)直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱．特别地，当底面是正多边形时，叫正棱柱(如正三棱柱，正四棱柱)．(2)正棱锥：底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面中心的棱锥．特别地，各条棱均相等的正三棱锥又叫正四面体.考点二、几何体的三视图[例2] (2011·新课标全国卷)在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图所示，则相应的侧视图可以为( )[巧练模拟]———————(课堂突破保分题，分分必保！) 3．(2012·西安模拟)如图，某几何体的正视图与侧视图都是边长为1 的正方形，且体积为12，则该几何体的俯视图可以是 ( )[冲关锦囊]三视图的长度特征三视图中，正视图和侧视图一样高，正视图和俯视图一样长，侧视图和俯视图一样宽．即“长对正，宽相等，高平齐”．[注意] 画三视图时，要注意虚、实线的区别．考点三、空间几何体的直观图例3.已知正三角形ABC 的边长为a ，那么△ABC 的平面直观图△A ′B ′C ′的面积为( )． A.34a 2 B.38a 2 C.68a 2 D.616a 2 解析 如图①②所示的实际图形和直观图．由斜二测画法可知，A ′B ′＝AB ＝a ，O ′C ′＝12OC ＝34a ，在图②中作C ′D ′⊥A ′B ′于D ′， 则C ′D ′＝22O ′C ′＝68a . ∴S △A ′B ′C ′＝12A ′B ′·C ′D ′＝12×a ×68a ＝616a 2.答案 D直接根据水平放置的平面图形的直观图的斜二测画法规则即可得到平面图形的面积是其直观图面积的22倍，这是一个较常用的重要结论．[巧练模拟]———————(课堂突破保分题，分分必保！)如图，矩形O ′A ′B ′C ′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O ′A ′＝6 cm ，O ′C ′＝2 cm ，则原图形是( )． A ．正方形 B ．矩形C ．菱形D ．一般的平行四边形一、选择题1．(2012·惠州模拟)下列四个几何体中，几何体只有正视图和侧视图相同的是( )A ．①②B ．①③C ．①④D ．②④2．(2011·浙江高考)若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是()3．给出下列命题：①如果一个几何体的三视图是完全相同的，则这个几何体是正方体；②如果一个几何体的正视图和俯视图都是矩形，则这个几何体是长方体；③如果一个几何体的三视图都是矩形，则这个几何体是长方体；④如果一个几何体的正视图和侧视图都是等腰梯形，则这个几何体是圆台，其中正确命题的个数是()A．0 B．1C．2 D．34.如图△A′B′C′是△ABC的直观图，那么△ABC是()A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．钝角三角形5．如图，已知三棱锥的底面是直角三角形，直角边长分别为3和4，过直角顶点的侧棱长为4，且垂直于底面，该三棱锥的正视图是()解析：三棱锥的正视图应为高为4，底面边长为3的直角三角形．答案：B二、填空题6．(2012·长沙模拟)用单位正方体块搭一个几何体，使它的正视图和俯视图如图所示，则它的体积的最大值为________，最小值为________．解析：由俯视图及正视图可得，如图所示，由图示可得体积的最大值为14，体积的最小值为9.答案：1497．给出下列命题：①在正方体上任意选择4个不共面的顶点，它们可能是正四面体的4个顶点；②底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥；③若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；④一个棱锥可以有两条侧棱和底面垂直；⑤一个棱锥可以有两个侧面和底面垂直；⑥所有侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体．其中正确命题的序号是________．解析：①正确，正四面体是每个面都是等边三角形的四面体，如正方形ABCD－A1B1C1D1中的四面体A－CB1D1；②错误，如图所示，底面△ABC为等边三角形，可令AB＝VB＝VC＝BC＝AC，则△VBC为等边三角形，△VAB和△VCA均为等腰三角形，但不能判定其为正三棱锥；③错误，必须是相邻的两个侧面；④错误，如果有两条侧棱和底面垂直，则它们平行，不可能；⑤正确，当两个侧面的公共边垂直于底面时成立；⑥错误，当底面是菱形时，此说法不成立，所以应填①⑤.答案：①⑤。
第七章第1讲空间几何体的结构特征及三视图和直观图
2016高考导航第1讲 空间几何体的结构特征及三视图和直观图1．多面体的结构特征(1)棱柱⎩⎪⎨⎪⎧底面：互相平行侧面：都是四边形，且每相邻两个侧面的公 共边都平行且相等(2)棱锥⎩⎪⎨⎪⎧底面：是多边形侧面：都是有一个公共顶点的三角形(3)棱台 棱锥被平行于棱锥底面的平面所截，截面与底面之间的部分．2．3.(1)画法：常用斜二测画法． (2)规则：①原图形中x 轴、y 轴、z 轴两两垂直，直观图中，x ′轴，y ′轴的夹角为45°(或135°)，z ′轴与x ′轴和y ′轴所在平面垂直．②原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴．平行于x 轴和z 轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y 轴的线段长度在直观图中变为原来的一半．4．三视图(1)几何体的三视图包括正视图、侧视图、俯视图，分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线．(2)三视图的画法①基本要求：长对正，高平齐，宽相等．②画法规则：正侧一样高，正俯一样长，侧俯一样宽；看不到的线画虚线． [做一做] 1．(2014·高考福建卷)某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是( ) A ．圆柱 B ．圆锥 C ．四面体 D ．三棱柱解析：选A.由三视图知识知圆锥、四面体、三棱柱(放倒看)都能使其正视图为三角形，而圆柱的正视图不可能为三角形，故选A.2．用任意一个平面截一个几何体，各个截面都是圆面，则这个几何体一定是( ) A ．圆柱 B ．圆锥 C ．球体 D ．圆柱、圆锥、球体的组合体 解析：选C.当用过高线的平面截圆柱和圆锥时，截面分别为矩形和三角形，只有球满足任意截面都是圆面．1．辨明三个易误点(1)台体可以看成是由锥体截得的，但一定要强调截面与底面平行． (2)注意空间几何体的不同放置对三视图的影响．(3)几何体展开、折叠问题，要抓住前后两个图形间的联系，找出其中的量的关系． 2．由三视图还原几何体的方法3．斜二测画法中的“三变”与“三不变”“三变”⎩⎪⎨⎪⎧坐标轴的夹角改变，与y 轴平行的线段的长度变为原来的一半，图形改变.“三不变”⎩⎪⎨⎪⎧平行性不改变，与x ，z 轴平行的线段的长度不改变，相对位置不改变.[做一做]3．(2014·高考江西卷)一几何体的直观图如图，下列给出的四个俯视图中正确的是( )解析：选B.该几何体是组合体，上面的几何体是一个五面体，下面是一个长方体，且五面体的一个面即为长方体的一个面，五面体最上面的棱的两端点在底面的射影距左右两边距离相等，因此选B.4．如图所示的直观图，其表示的平面图形是( )A ．正三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．直角三角形答案：D考点一__空间几何体的结构特征________________给出下列几个命题：①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；②底面为正多边形，且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱；③棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等．其中正确命题的个数是()A．0B．1C．2 D．3[解析]①不一定，只有这两点的连线平行于轴时才是母线；②正确；③错误，棱台的上、下底面是相似且对应边平行的多边形，各侧棱延长线交于一点，但是侧棱长不一定相等．[答案] B[规律方法]判定与空间几何体结构特征有关命题的方法：(1)紧扣结构特征是判断的关键，熟悉空间几何体的结构特征，依据条件构建几何模型，在条件不变的情况下，变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素，然后再依据题意判定．(2)通过反例对结构特征进行辨析，即要说明一个命题是错误的，只要举出一个反例即可．1.给出下列四个命题：①有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱；②侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥；③侧面都是矩形的直四棱柱是长方体；④若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱．其中错误的命题的序号是________．解析：认识棱柱一般要从侧棱与底面的垂直与否和底面多边形的形状两方面去分析，故①③都不准确，②中对等腰三角形的腰是否为侧棱未作说明，故也不正确，④平行六面体的两个相对侧面也可能与底面垂直且互相平行，故④也不正确．答案：①②③④考点二__空间几何体的三视图(高频考点)________空间几何体的三视图是每年高考的热点，题型为选择题或填空题，难度适中，属于中档题．高考对三视图的考查常有以下三个命题角度：(1)根据几何体的图形，识别三视图；(2)三视图还原直观图；(3)根据几何体三视图中的两个视图，判断第三个视图．(1)(2013·高考四川卷) 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是()(2)(2015·济宁模拟)点M，N分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱A1B1，A1D1的中点，用过点A，M，N和点D，N，C1的两个截面截去正方体的两个角后得到的几何体如图1所示，则该几何体的正视图、侧视图、俯视图依次为图2中的()A．①②③B．②③④C．①③④D．②④③[解析](1)由俯视图是圆环可排除A，B，C，进一步将已知三视图还原为几何体，可得选项D.(2)由正视图的定义可知：点A，B，B1在后面的投影点分别是D，C，C1，线段AN在后面的投影面上的投影是以D为端点且与线段CC1平行且相等的线段，即正视图为正方形，另外线段AM在后面的投影线要画成实线，被遮挡的线段DC1要画成虚线，正视图为②；同理可得侧视图为③，俯视图为④.[答案](1)D(2)B[规律方法](1)由实物图画三视图或判断、选择三视图，此时需要注意“长对正、高平齐、宽相等”的原则；(2)由三视图还原实物图，解题时首先对柱、锥、台、球的三视图要熟悉，再复杂的几何体也是由这些简单的几何体组合而成的；其次，要遵循以下三步：①看视图，明关系；②分部分，想整体；③综合起来，定整体．2. (2015·河南郑州质量检测)一个锥体的正视图和侧视图如图所示，下面选项中，不可能是该锥体的俯视图的是()解析：选C.注意到在三视图中，俯视图的宽度应与侧视图的宽度相等，而在选项C中，，与题中所给的侧视图的宽度1不相等．其宽度为32考点三__空间几何体的直观图__________________已知平面△ABC的直观图A′B′C′是边长为a的正三角形，求原△ABC的面积．[解]如图所示，△A′B′C′是边长为a的正三角形，作C′D′∥A′B′交y′轴于点D′，则D′到x ′轴的距离为32a . ∵∠D ′A ′B ′＝45°，∴A ′D ′＝62a .由斜二测画法的规则知，在△ABC 中，AB ＝A ′B ′＝a ，AB 边上的高是A ′D ′的二倍，即为6a ，∴S △ABC ＝12a ·6a ＝62a 2.若将本例中△A ′B ′C ′是边长为a 的正三角形改为△ABC 是边长为a 的正三角形，求直观图△A ′B ′C ′的面积．解：如图所示的实物图和直观图．由图可知，A ′B ′＝AB ＝a ，O ′C ′＝12OC ＝34a .在图中作C ′D ′⊥A ′B ′交x ′轴于点D ′，则C ′D ′＝22O ′C ′＝68a .∴S △A ′B ′C ′＝12A ′B ′·C ′D ′＝12×a ×68a ＝616a 2.[规律方法] 画水平放置的多边形的直观图的关键是确定多边形顶点的位置，因为多边形顶点的位置一旦确定，依次连接这些顶点就可画出相应的多边形，因此平面多边形的直观图的画法可以归结为确定点的位置的画法．考题溯源——由三视图还原几何体(2014·高考课标全国卷Ⅰ)如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是( )A ．三棱锥B ．三棱柱C ．四棱锥D ．四棱柱[解析] 如图，几何体为三棱柱．[答案] B[考题溯源]本考题是由教材人教A版必修2P15练习题第4题“如图是一个几何体的三视图，想象它的几何结构特征，并说出它的名称．”演变而来．已知某一几何体的正视图与侧视图如图所示，则在下列图形中，可以是该几何体的俯视图的图形有()A．①②③⑤B．②③④⑤C．①②④⑤D．①②③④答案：D1. (2015·青岛模拟)将长方体截去一个四棱锥后，得到的几何体的直观图如图所示，则该几何体的俯视图为()解析：选C.长方体的侧面与底面垂直，所以俯视图是C.2．给出下列几个命题：①各侧面都是全等四边形的棱柱一定是正棱柱；②对角面是全等矩形的六面体一定是长方体；③长方体一定是正四棱柱．其中正确的命题个数是()A．0B．1C．2 D．3解析：选A.反例：①直平行六面体底面是菱形，满足条件但不是正棱柱；②底面是等腰梯形的直棱柱，满足条件但不是长方体；③显然错误，故选A.3．在一个倒置的正三棱锥容器内放入一个钢球，钢球恰与棱锥的四个面都接触，过棱锥的一条侧棱和高作截面，正确的截面图形是()解析：选B.由于球与侧棱不相交，因此截面图中截面圆不可能与三角形的三条边都相切，排除A 、D ，又圆锥的高一定过球心，因此在截面图中三角形的高一定过截面圆的圆心，排除C ，故选B.4．(2015·山西省高三年级四校联考)如图是一个体积为10的空间几何体的三视图，则图中x 的值为( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：选A.根据给定的三视图可知，该几何体对应的直观图是一个长方体和四棱锥的组合体，∴几何体的体积V ＝3×2×1＋13×3×2×x ＝10，解得x ＝2.5．(2015·昆明三中、玉溪一中统考) 如图，三棱锥V -ABC 的底面为正三角形，侧面VAC与底面垂直且VA ＝VC ，已知其正视图的面积为23，则其侧视图的面积为( )A.32B.33 C.34 D.36 解析：选B.设三棱锥V -ABC 的底面边长为a ，侧面VAC 边AC 上的高为h ，则ah ＝43，其侧视图是由底面三角形ABC 边AC 上的高与侧面三角形VAC 边AC 上的高，还有VB 组成的直角三角形，其面积为12×32×43＝33，故选B.6．如图所示的Rt △ABC 绕着它的斜边AB 旋转一周得到的图形是________．解析：过Rt△ABC的顶点C作线段CD⊥AB，垂足为D，所以Rt△ABC绕着它的斜边AB旋转一周后应得到是以CD作为底面圆的半径的两个圆锥的组合体．答案：两个圆锥的组合体7．已知某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的各侧面图形中，是直角三角形的有________个．解析：由三视图知该几何体是一个四棱锥，它的一个侧面与底面垂直，且此侧面的顶点在底面上的射影为对应底边的中点，易知其有两个侧面是直角三角形．答案：28．(2014·高考北京卷)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长棱的棱长为________．解析：根据三视图还原几何体，得如图所示的三棱锥P-ABC.由三视图的形状特征及数据，可推知P A⊥平面ABC，且P A＝2.底面为等腰三角形，AB＝BC，设D为AC中点，AC ＝2，则AD＝DC＝1，且BD＝1，易得AB＝BC＝2，所以最长的棱为PC，PC＝P A2＋AC2＝2 2.答案：2 29. 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面为正方形，PC与底面ABCD垂直，图为该四棱锥的正视图和侧视图，它们是腰长为6 cm的全等的等腰直角三角形．(1)根据图所给的正视图、侧视图，画出相应的俯视图，并求出该俯视图的面积； (2)求P A .解：(1) 该四棱锥的俯视图为(内含对角线)边长为6 cm 的正方形，如图，其面积为36 cm 2.(2)由侧视图可求得PD ＝PC 2＋CD 2＝62＋62＝6 2 cm.由正视图可知AD ＝6 cm ，且AD ⊥PD ，所以在Rt △APD 中， P A ＝PD 2＋AD 2＝（62）2＋62＝6 3 (cm)．10．如图是一个几何体的正视图和俯视图．(1)试判断该几何体是什么几何体；(2)画出其侧视图，并求该平面图形的面积． 解：(1)正六棱锥．(2)其侧视图如图：其中AB ＝AC ，AD ⊥BC ，且BC 的长是俯视图中的正六边形对边的距离，即BC ＝3a ，AD 的长是正六棱锥的高，即AD ＝3a ，∴该平面图形的面积S ＝123a ·3a ＝32a 2.。
人教a版高考数学(理)一轮课件：8.1空间几何体的结构、三视图和直观图
3.简单组合体 简单组合体的构成有两种基本形式:一种是由简单几何体拼接而成;一 种是由简单几何体截去或挖去一部分而成,有多面体与多面体、 多面体与旋 转体、旋转体与旋转体的组合体.
4. 三视图 几何体的三视图包括正视图、侧视图、俯视图 , 分别是从几何体的 正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线.
考纲解读
空间几何体的结构 和三视图部分 重点考 查柱、锥、台、球 的定义和以三 视图为 载体考查柱、锥、 台、球的表面 积和体 积, 难度 不大. 空间几 何体的 性质是 基础, 以它们为载体考查 线线、线面、 面面间 的 关 系 是 重点 . 三 视图 的 还 原在 各 地 高 考 试 题 中 频繁 出 现 , 已 经 成 为高 考 的 热 点 问 题, 题型 多以 选择 题和 填空 题为 主 , 有时也会作为解答题的背景出现.
三视图的长度特征: “ 长对正, 宽相等, 高平齐” , 即正视图和侧 视图一样高, 正视图和俯视图一样长, 侧视图和俯视图一样宽. 若相邻两物 体的表面相交, 表面的交线是它们的分界线, 在三视图中, 要注意实、 虚线的 画法 .
5. 空间几何体的直观图 空间几何体的直观图常用斜二测画法来画, 其规则是: (1) 原图形中 x轴、 y轴、 z轴两两垂直, 直观图中, x' 轴、 y' 轴的夹角为 45° , z' 轴与 x' 轴和 y' 轴所在平面垂直. (2) 原图形中平行于坐标轴的线段, 在直观图中仍分别平行于坐标轴. 平 行于 x轴和 z轴的线段在直观图中保持原长度不变, 平行于 y轴的线段长度 在直观图中变为原来的一半. 6. 中心投影与平行投影 (1) 平行投影的投影线互相平行, 而中心投影的投影线相交于一点. (2) 从投影的角度看, 三视图和用斜二测画法画出的直观图都是在平行 投影下画出来的图形.
三视图课件
B
A. 32 B. 16 16 2 C. 48 D. 16 32 2
5.2010湖南高考
4
6. (2007宁夏理•8) 已知某个几何体的三视图 如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm）， 可得这个几何体的体积是（ B）
24
柱体
夯实基础 1．棱柱 (1)定义：有两个面互相平行，而且夹在这两个平行 平面间的每相邻两个面的交线都 互相平行，由这些面所 围成的多面体叫做棱柱． 稳固根基
(如图)
1° 球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆． 2° 不过球心的截面截得的圆叫做球的小圆．
(3)球面距离： 1° 定义：在球面上两点之间的最短距离，就是经过这 两点的 大圆 在这两点间的一段 劣弧 的长度， 这个弧长 叫做两点的球面距离． 2° 地球上的经纬线 当把地球看作一个球时， 经线是球面上从北极到南极 的半个大圆，纬线是与地轴垂直的平面与球面的交线，其 中赤道是一个大圆，其余纬线都是一个小圆．
5．球的概念与性质 (1)定义： 半圆绕它的直径所在直线旋转所成的曲面叫 做球面，球面所围成的几何体叫做球．球面也可以看作空 间中到定点的距离等于定长的点的集合． (2)球的截面性质 ①用一个平面去截球，截面是圆面．
②球心到截面的距离 d 与球的半径 R 及截面的半径 r，有下面的关系：
r＝ R2－d2
空间几何体的结构、三 视图和直观图、表面积 和体积
椎体
2
2．棱锥及其分类 (1)定义： 有一个面是多边形， 其余各面是 有一个公共顶点 的三 角形．由这些面所围成的几何体叫做棱锥． (2)正棱锥 如果棱锥的底面是正多边形， 顶点在过底面中心且与 底面垂直的直线上，则这个棱锥叫做正棱锥．
正棱锥的性质： ①各侧棱相等， 各侧面都是全等的等腰三角形． 这些 等腰三角形的高叫做棱锥的斜高． ②棱锥的高、 斜高和斜高在底面内的射影组成一个直 角三角形； 棱锥的高、 侧棱和侧棱在底面内的射影也组成 一个直角三角形．
空间几何体的结构、三视图、直观图课件
1 V Sh 3
旋转体
圆柱 圆锥 圆台 球
分别以矩形、直角三角形的直角边、 直角梯形垂直于底边的腰所在的直线为旋
柱、锥、台、球的结构特征
空间几何体的结构 识 图 空 间 几 何 体
画 图
简单几何体的结构特征
柱、锥、台、球的三视图 三视图 简单几何体的三视图 平面图形 平行投影 中心投影
直观图
斜二测画法 空间几何体
柱、锥、台、球的表面积与体积
概念 棱柱
多面体
柱 锥 台 球 旋转体
棱锥
性质 侧面积
棱台
体积
圆柱 圆锥 圆台 概念 结构特征 侧面积
在中心投影中，如果改变物体与投射中心或投影面之间 的距离、位置，则其投影的大小也随之改变．
我们把在一束平行光线照射下形成的投影称为平行投影． 斜投影：投 射线倾斜于 投影面
正投影：投 射线垂直于 投影面
正投影能正确的表达物体的真实形状和大小，作图比较方 便，在作图中应用最广泛． 斜投影在实际中用的比较少，其特点是直观性强，在作图 中只是作为一种辅助图样．
(2)画底面.以O为中心,在x轴上取线段MN,使MN= 4 cm;在 轴上取线段PQ,使PQ= 1.5cm;分别过点M 和N 作y轴的平行 线,过点P和Q作x轴的平行线,设它们的交点分别为A,B, C,D,四边形ABCD就是长方形的底面ABCD
Z
y
O
Z
y
Q
x
M
D
O
C
A
N
§8.1 空间几何体的结构及其三视图和直观图
(1)在已知图形中,取互相垂直的x轴和y轴,两轴相交于点O,画直观图时,
把它们画成对应的x'轴和y'轴,两轴相交于点O',且使∠x'O'y'=45°(或 135°),用它们确定的平面表示水平面.
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(2)已知图形中平行于x轴、y轴的线段,在直观图中,分别画成平行于x' 轴、y'轴的线段. (3)已知图形中平行于x轴的线段,在直观图中保持长度不变,平行于y轴 的线段,在直观图中长度变为原来的④ 一半 . 5.水平放置的平面图形的直观图的面积S直与原平面图形的面积S原的关 系为S直= S原.
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解题导引
解析 过点A,E,C1的截面为AEC1F,如图, 则剩余几何体的左视图为选项C中的图形.故选C.
2 4
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方法技巧
方法 掌握三视图的基本特征
正确认识三视图和直观图是本节的重点和难点.掌握三视图的基本特征 和“长对正、高平齐、宽相等”的原则,注意虚实线的区别,充分发挥 空间想象能力是解题的关键. 例 (2017河北衡水中学七调,5)正方体ABCD-A1B1C1D1 中,E为棱BB1的中点(如图),用过点A,E,C1的平面截去该 正方体的上半部分,则剩余几何体的左视图为 ( C )
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考点二
三视图和直观图
1.三视图是从一个几何体的正前方、正左方、③ 正上方 三个 不同的方向看这个几何体,描绘出的图形,分别称为正视图、侧视图、 俯视图. 2.三视图的排列顺序:先画正视图,俯视图放在正视图的下方,侧视图放 在正视图的右方. 3.三视图的三个原则:长对正、高平齐、宽相等. 4.水平放置的平面图形的直观图的斜二测画法
课件2：空间几何体的结构特征及其直观图、三视图
主
落
实
·
固
基
础
A．8
B．6 2
菜单
C．10
课 后 作 业
D．8 2
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【思路点拨】
根据几何体的三视图确定几何体的形
典 例
构
探
建 ·
状，并画出几何体的直观图，标示已知线段的长度，最后求
究 ·
览
全 各个面的面积确定最大值．
提 知
局
能
【尝试解答】 将三视图还原成几何体的直观图，如图
提 知
局 正四面体的4个顶点；②用一个平面去截棱锥，底面和截面 能
策 略
之间的部分叫棱台；③棱台的侧面是等腰梯形；④棱柱的侧
高 考
指
体
导 ·
面是平行四边形．
验 ·
备
明
高 考
A．①④
B．②③
C．①③
D．②④
考 情
自
【解析】 用平行于底面的平面去截棱锥，底面和截面
主
落 之间的部分才叫棱台，且棱台的侧面是梯形，但并不一定是
体 验
· 备
视图可排除D.故选B.
· 明
高
考
考
【答案】 B
情
自
主
落
实 · 固 基 础
课 后 作 业
菜单
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网
典
络
例
构 建
5．(2012·湖南高考)某几何体的正视图和侧视图均如图
探 究
· 览
7－1－4所示，则该几何体的俯视图不．可．能．是(
)
· 提
全
知
局
能
策
第七章 第一节 空间几何体的结构及三视图和直观图
解：①错误，因为棱柱的底面不 错误， 一定是正多边形； 错误， 一定是正多边形；②错误，必须 用平行于底面的平面去截棱锥， 用平行于底面的平面去截棱锥， 才能得到棱台；③正确，因为三 才能得到棱台； 正确， 个侧面构成的三个平面的二面角都是直二面角； 正确， 个侧面构成的三个平面的二面角都是直二面角；④正确， 因为两个过相对侧棱的截面的交线平行于侧棱， 因为两个过相对侧棱的截面的交线平行于侧棱，又垂直 于底面； 正确，正方体 中的四棱锥C 于底面；⑤正确，正方体AC1中的四棱锥 1－ABC，四个 ， 面都是直角三角形； 正确，由棱台的概念可知． 面都是直角三角形；⑥正确，由棱台的概念可知．
答案： 答案：C
2． 如图 ， 几何体的正 主 )视图和侧 左 )视图都正确的是 ． 如图， 几何体的正(主 视图和侧 视图和侧(左 视图都正确的是 ( )
答案： 答案：B
3．某几何体的三视图如图所示，那么这个几何体是( ．某几何体的三视图如图所示，那么这个几何体是
)
A．三棱锥 ． C．四棱台 ．
B．四棱锥 ． D．三棱台 ．
解析： 解析：由所给三视图与直观图的关 系，可以判定对应的几何体为如图 所示的四棱锥，且PA⊥面ABCD， 所示的四棱锥， ⊥ ， AB⊥BC，BC∥AD. ⊥ ， ∥ 答案： 答案：B
4．(2010·北京高考 一个长方体去掉一个小长方体，所得 ． 北京高考)一个长方体去掉一个小长方体 北京高考 一个长方体去掉一个小长方体， 几何体的正(主 视图与侧 视图与侧(左 视图分别如图所示 视图分别如图所示， 几何体的正 主)视图与侧 左)视图分别如图所示，则该 几何体的俯视图为 ( 主)视图 、 侧(左)视图 、 俯视图 ，分别是从几何体的正前方 、正左方 、 正上方 观察几何体画出的轮廓线． 观察几何体画出的轮廓线．
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个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径.若该 几何体的体积是28π，则它的表面积是 答案 解析
3
A.17π
B.18π
C.20π
D.28π
命题点3 已知三视图中的两个视图，判断第三个视图 例4 (2016·石家庄质检)一个三棱锥的正视图和俯视图如 图所示，则该棱锥的侧视图可能为 答案 解析 几何画板展示
题型二 简单几何体的三视图 命题点1 已知几何体，识别三视图 例2 (2016·济南模拟)如图，多面体ABCD－EFG 的底面ABCD为正方形，FC＝GD＝2EA，其俯视 图如图所示，则其正视图和侧视图正确的是 答案 解析
几何画板展示
命题点2 已知三视图，判断几何体的形状
例3 (2016·全国乙卷)如图，某几何体的三视图是三
思维升华
(1)解决本类题目的关键是准确理解几何体的定义，真正把握几何体的 结构特征，可以根据条件构建几何模型，在几何模型中进行判断； (2)解决本类题目的技巧：三棱柱、四棱柱、三棱锥、四棱锥是常用的 几何模型，有些问题可以利用它们举特例解决或者学会利用反例对概 念类的命题进行辨析.
跟踪训练1 (1)以下命题： ①以直角三角形的一边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥； ②以直角梯形的一腰为轴旋转一周所得的旋转体是圆台； ③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面； ④一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台. 其中正确命题的个数为 答案 解析
A. 43a2
B. 83a2
C. 86a2
D. 166a2
(2)如图，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其 中O′A′＝6 cm，O′C′＝2 cm，则原图形是 答案 解析
A.0
B.1
C.2
D.3
命题①错，因为这条边若是直角三角形的斜边，则得不到圆锥； 命题②错，因为这条腰必须是垂直于两底的腰； 命题③对；命题④错，必须用平行于圆锥底面的平面截圆锥才可以，故选B.
(2)给出下列四个命题： ①有两个侧面是矩形的图形是直棱柱； ②侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥； ③侧面都是矩形的直四棱柱是长方体； ④底面为正多边形，且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱. 其中不正确的命题为_①__②__③___. 答案 解析 对于①，平行六面体的两个相对侧面也可能是矩形，故①错； 对于②，对等腰三角形的腰是否为侧棱未作说明(如图)，故②错； 对于③，若底面不是矩形，则③错；④由线面垂直的判定， 侧棱垂直于底面，故④正确. 综上，命题①②③不正确.
跟踪训练2 (1)(2016·全国丙卷)如图，网格纸上小正 方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图， 则该多面体的表面积为 答案 解析
A.18＋36 5
B.54＋18 5
C.90
D.81
由题意知，几何体为平行六面体，边长分别为 3,3， 45，几何体的表面 积 S＝3×6×2＋3×3×2＋3× 45×2＝54＋18 5.
由题图可知，该几何体为如图所示的三棱锥， 其中平面ACD⊥平面BCD，故选D.
思维升华
三视图问题的常见类型及解题策略 (1)由几何体的直观图求三视图.注意正视图、侧视图和俯视图的观察方向， 注意看到的部分用实线表示，不能看到的部分用虚线表示. (2)由几何体的部分视图画出剩余的部分视图.先根据已知的一部分三视图， 还原、推测直观图的可能形式，然后再找其剩下部分三视图的可能形式. 当然作为选择题，也可将选项逐项代入，再看看给出的部分三视图是否 符合. (3)由几何体的三视图还原几何体的形状.要熟悉柱、锥、台、球的三视图， 明确三视图的形成原理，结合空间想象将三视图还原为实物图.
(2)如图是一几何体的直观图、正视图和俯视图， 则该几何体的侧视图为 答案 解析 几何画板展示
由直观图、正视图和俯视图可知，该几何体的侧视图应为面PAD，且EC 投影在面PAD上，故B正确.
题型三 空间几何体的直观图
例 5 (1) 已 知 正 三 角 形 ABC 的 边 长 为 a ， 那 么 △ABC 的 平 面 直 观 图 △A′B′C′的面积为 答案 解析
§5.1 空间几何体的结构、三视图和直观图
内容索引
基础知识 自主学习 题型分类 深度剖析 课时作业
基础知识 自主学习
知识梳理
1.多面体的结构特征
互相平行 全等
公共顶点 平行于底面
相似
2.旋转体的形成
几何体 圆柱 圆锥
旋转图形 矩形
直角三角形
圆台 球
直角梯形 半圆
旋转轴 任一边 所在的直线 任一直角边 所在的直线 垂直于底边的腰 所在的直线
直径 所在的直线
3.空间几何体的三视图 (1)三视图的名称 几何体的三视图包括： 正视图 、侧视图 、俯视图. (2)三视图的画法 ①在画三视图时，重叠的线只画一条，挡住的线要画成虚线. ②三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的 正前 方 、
正左 方、 正上 方观察到的几何体的正投影图.
4.空间几何体的直观图 空间几何体的直观图常用斜二测 画法来画，其规则是 (1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴，y′轴的夹 角为 45°或135°，z′轴与x′轴和y′轴所在平面 垂直 . (2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍 平行于坐标轴 ； 平 行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度 不变 ；平行于y轴的线段 在直观图中 长度变为原来的一半 .
知识拓展
1.常见旋转体的三视图 (1)球的三视图都是半径相等的圆. (2)水平放置的圆锥的正视图和侧视图均为全等的等腰三角形. (3)水平放置的圆台的正视图和侧视图均为全等的等腰梯形. (4)水平放置的圆柱的正视图和侧视图均为全等的矩形.
2.斜二测画法中的“三变”与“三不变”
坐标轴的夹角改变， “三变”与y轴平行的线段的长度变为原来的一半，
图形改变.
平行性不改变， “三不变”与x，z轴平行的线段的长度不改变，
相对ห้องสมุดไป่ตู้置不改变.
题型分类 深度剖析
题型一 空间几何体的结构特征
例1 给出下列命题： ①棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形； ②在四棱柱中，若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱 为直四棱柱； ③存在每个面都是直角三角形的四面体； ④棱台的侧棱延长后交于一点. 其中正确命题的序号是__②__③__④__. 答案 解析