高三数学 数系的扩充单元测试 文 人教A版
2020_2021学年高中数学第三章数系的扩充与复数的引入单元评估卷习题含解析新人教A版选修1_2
第三章单元评估卷限时：120分钟 满分：150分第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的)1．设z 1＝3－4i ，z 2＝－2＋3i ，则z 1－z 2在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限2.(1＋i )3(1－i )2＝( ) A ．1＋i B ．1－i C ．－1＋iD ．－1－i 3．若复数z ＝i(3－2i)(i 是虚数单位)，则z ＝( ) A ．2－3i B ．2＋3i C ．3＋2iD ．3－2i4．设a 是实数，且a1＋i ＋1＋i 2是实数，则a 等于( )A.12 B ．1 C.32D ．25．若a 为实数，且(2＋a i)·(a －2i)＝－4i ，则a ＝( ) A ．－1 B ．0 C ．1D ．26．设复数z 1，z 2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z 1＝2＋i ，则z 1z 2＝( ) A ．－5 B ．5 C ．－4＋iD ．－4－i7．若复数z 满足2z ＋z ＝3－2i ，其中i 为虚数单位，则z ＝( ) A ．1＋2i B ．1－2i C ．－1＋2i D ．－1－2i8．复数z 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i 2，z 2＝2－i 3分别对应复平面内的点P ，Q ，则向量PQ→对应的复数是( )A.10B ．－3－iC ．1＋iD ．3＋i9．z 1＝(m 2＋m ＋1)＋(m 2＋m －4)i ，m ∈R ，z 2＝3－2i ，则“m ＝1”是“z 1＝z 2”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件10．已知方程x 2＋(4＋i)x ＋4＋a i ＝0(a ∈R )有实根b ，且z ＝a ＋b i ，则复数z 等于( ) A ．2－2i B ．2＋2i C ．－2＋2iD ．－2－2i11．若复数z 满足|z |2－2|z |－3＝0，则复数z 对应点的轨迹是( ) A ．一个圆 B ．线段 C ．两个点D ．两个圆12．对于任意的复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R ，i 为虚数单位)，下列结论正确的是( ) A ．z －z ＝2a B ．z ·z ＝|z |2 C.z z＝1D ．z 2≥0第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填写在题中横线上) 13．已知复数z 1＝3－i ，z 2是复数－1＋2i 的共轭复数，则复数i z 1－z 24的虚部等于________．14．设复数a ＋b i(a ，b ∈R )的模为3，则(a ＋b i)(a －b i)＝________.15．i 是虚数单位，若复数(1－2i)·(a ＋i)是纯虚数，则实数a 的值为________． 16．下面四个命题：①0比－i 大；②两个复数当且仅当其和为实数时，互为共轭复数；③x ＋y i ＝1＋i 的充要条件为x ＝y ＝1；④任何纯虚数的平方都是负实数．其中错误命题的序号是________．答案1．D 由已知，得z 1－z 2＝3－4i －(－2＋3i)＝5－7i ，则z 1－z 2在复平面内对应的点为(5，－7)，故选D.2．D (1＋i )3(1－i )2＝(1＋i )(1＋i )2－2i ＝(1＋i )·2i －2i＝－1－i.3．A 因为z ＝i(3－2i)＝3i －2i 2＝2＋3i ， 所以z ＝2－3i.4．Ba 1＋i＋1＋i 2＝a (1－i )2＋1＋i 2＝a ＋12＋1－a 2i ，由题意可知1－a 2＝0，即a ＝1.5．B ∵(2＋a i)(a －2i)＝4a ＋(a 2－4)i ＝－4i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧4a ＝0，a 2－4＝－4，解之得a ＝0. 6．A 由题意知z 2＝－2＋i.所以z 1z 2＝(2＋i)(－2＋i)＝i 2－4＝－5.故选A.7．B 设z ＝a ＋b i(a, b ∈R )，则z ＝a －b i.故2z ＋z ＝2(a ＋b i)＋a －b i ＝3a ＋b i ＝3－2i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 3a ＝3b ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝－2，所以z ＝1－2i.故选B.8．D ∵z 1＝(－i)2＝－1，z 2＝2＋i ，∴PQ →对应的复数是z 2－z 1＝2＋i －(－1)＝3＋i.故选D.9．A m ＝1时，z 1＝3－2i ＝z 2，故“m ＝1”是“z 1＝z 2”的充分条件．由z 1＝z 2，得m 2＋m ＋1＝3，且m 2＋m －4＝－2，解得m ＝－2或m ＝1.故选A.10．A ∵b 2＋(4＋i)b ＋4＋a i ＝0， ∴b 2＋4b ＋4＋(a ＋b )i ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ b 2＋4b ＋4＝0，a ＋b ＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－2.∴z ＝2－2i. 11．A 由|z |2－2|z |－3＝0，得(|z |－3)(|z |＋1)＝0.因为|z |＋1>0，所以|z |－3＝0，即|z |＝3，所以复数z 对应点的轨迹是以原点为圆心，以3为半径的圆，故选A.12．B 因为z ＝a ＋b i ，所以z ＝a －b i ，于是z －z ＝(a ＋b i)－(a －b i)＝2b i ，A 选项错误；z ·z ＝(a ＋b i)(a －b i)＝a 2＋b 2＝|z |2，B选项正确；若z z＝1，则z ＝z ，即a ＋b i ＝a －b i ，所以b ＝0，于是z 为实数，与已知矛盾，C 选项错误；又z 2＝(a ＋b i)2＝a 2－b 2＋2ab i ，若ab ≠0，则z 2为虚数，不能与0比较大小，D 选项错误，故选B.13.45解析：i z 1－z 24＝i 3－i －－1－2i 4＝3i －110－－1－2i 4＝3＋16i 20，其虚部为45.14．3解析：因为复数a ＋b i 的模为3，所以a 2＋b 2＝3， 即a 2＋b 2＝3.于是(a ＋b i)(a －b i)＝a 2－(b i)2＝a 2＋b 2＝3.15．－2解析：(1－2i)(a ＋i)＝a ＋2＋(1－2a )i. ∵(1－2i)(a ＋i)是纯虚数，∴a ＋2＝0，且1－2a ≠0，∴a ＝－2. 16．①②③解析：①实数与虚数不能比较大小；②两个复数互为共轭复数时其和为实数，但是两个复数的和为实数时，这两个复数不一定是共轭复数；③x ＋y i ＝1＋i 的充要条件为x ＝y ＝1是错误的，因为没有表明x ，y 是否是实数；④若z ＝b i(b ≠0)为纯虚数，则z 2＝－b 2<0，故①②③均是错误命题，④是正确的．————————————————————————————三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(10分)计算：－23＋i 1＋23i ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋i 3 204＋(4－8i )2－(－4＋8i )211－7i .18．(12分)设复数z ＝(a 2＋a －2)＋(a 2－7a ＋6)i ，其中a ∈R ，当a 取何值时，(1)z ∈R ；(2)z 是纯虚数；(3)z 是零．答案17．解：原式＝(－23＋i )(1－23i )12＋(23)2＋⎣⎡⎦⎤2(1＋i )21 602＋ (4－8i )2－(4－8i )211－7i ＝13i 13＋⎝⎛⎭⎫1i 1 602＋0 ＝i ＋(－i)1 602＝i ＋i 2＝－1＋i.18．解：(1)z ∈R ，只需a 2－7a ＋6＝0， 所以a ＝1或a ＝6.(2)z 是纯虚数，只需⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋a －2＝0，a 2－7a ＋6≠0，所以a ＝－2.(3)因为z ＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋a －2＝0，a 2－7a ＋6＝0.所以a ＝1.————————————————————————————19.(12分)复平面内有A ，B ，C 三点，点A 对应的复数是3＋i ，向量AC →对应的复数是－2－4i ，向量BC →对应的复数是－4－i ，求B 点对应的复数．20．(12分)已知复数z 满足|z |＝1＋3i －z ，求 (1＋i )2(3＋4i )22z 的值．答案19．解：因为向量AC →对应的复数是－2－4i ，向量BC →对应的复数是－4－i ，所以AB →表示的复数是(4＋i)－(2＋4i)＝2－3i ，故OB →＝OA →＋AB →对应的复数为(3＋i)＋(2－3i)＝5－2i ，所以B 点对应的复数为5－2i.20．解：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，∵|z |＝1＋3i －z ， ∴a 2＋b 2－1－3i ＋a ＋b i ＝0，即⎩⎨⎧a 2＋b 2＋a －1＝0，b －3＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝3.∴z ＝－4＋3i ，∴(1＋i )2(3＋4i )22z ＝2i (－7＋24i )2(－4＋3i )＝24＋7i4－3i＝3＋4i.————————————————————————————21.(12分)已知z ＝m ＋3＋33i ，其中m ∈C ，且m ＋3m －3为纯虚数；(1)求m 对应点的轨迹； (2)求|z |的最大值、最小值．22．(12分)设z 1是虚数，z 2＝z 1＋1z 1是实数，且－1≤z 2≤1.(1)求|z 1|的值以及z 1的实部的取值范围； (2)若ω＝1－z 11＋z 1，求证：ω为纯虚数．答案21.解：(1)设m ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则 m ＋3m －3＝(x ＋3)＋y i (x －3)＋y i ＝(x 2＋y 2－9)－6y i(x －3)2＋y 2， ∵m ＋3m －3为纯虚数，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－9＝0，y ≠0， 即⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝32，y ≠0.∴m 对应的点的轨迹是以原点为圆心，半径为3的圆，除去(－3,0)，(3,0)两点． (2)由(1)知|m |＝3，由已知m ＝z －(3＋33i)， ∴|z －(3＋33i)|＝3.∴z 所对应的点Z 在以(3,33)为圆心，以3为半径的圆上． 由图形可知|z |的最大值为|3＋33i|＋3＝9； 最小值为|3＋33i|－3＝3.22．(1)解：设z 1＝a ＋b i(a ，b ∈R ，且b ≠0)，则z 2＝z 1＋1z 1＝a ＋b i ＋1a ＋b i ＝⎝⎛⎭⎫a ＋a a 2＋b 2＋⎝⎛⎭⎫b －ba 2＋b 2i.因为z 2是实数，b ≠0，于是有a 2＋b 2＝1，即|z 1|＝1，还可得z 2＝2a .由－1≤z 2≤1，得－1≤2a ≤1，解得－12≤a ≤12，即z 1的实部的取值范围是⎣⎡⎦⎤－12，12. (2)证明：ω＝1－z 11＋z 1＝1－a －b i1＋a ＋b i＝1－a 2－b 2－2b i (1＋a )2＋b 2＝－b a ＋1i.因为a ∈⎣⎡⎦⎤－12，12，b ≠0，所以ω为纯虚数．。
最新整理高中数学人教A版选修1-2 第三章 数系的扩充与复数的引入 学业分层测评8 Word版含答案.doc
学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．复数－2i的实部与虚部分别是()A．0,2 B．0,0C．0，－2 D．－2,0【解析】－2i的实部为0，虚部为－2.【答案】 C2．(2016·鹤岗高二检测)若复数(a2－3a＋2)＋(a－1)i是纯虚数，则实数a的值为()A．1 B．2C．－1或－2 D．1或2【解析】由{a2－3a＋2＝0，a－1≠0，得a＝2.【答案】 B3．若a，b∈R，i是虚数单位，且b＋(a－2)i＝1＋i，则a＋b的值为() A．1 B．2C．3 D．4【解析】由b＋(a－2)i＝1＋i，得b＝1，a＝3，所以a＋b＝4.【答案】 D4．在下列命题中，正确命题的个数是()①两个复数不能比较大小；②若z1和z2都是虚数，且它们的虚部相等，则z1＝z2；③若a，b是两个相等的实数，则(a－b)＋(a＋b)i必为纯虚数．A．0 B．1C．2 D．3【解析】两个复数，当它们都是实数时，是可以比较大小的，故①错误；设z1＝a＋b i(a，b∈R，b≠0)，z2＝c＋d i(c，d∈R，且d≠0)，因为b＝d，所以z2＝c＋b i.当a＝c时，z1＝z2，当a≠c时，z1≠z2，故②错误；③当a＝b≠0时，(a－b)＋(a＋b)i是纯虚数，当a＝b＝0时，(a－b)＋(a＋b)i ＝0是实数，故③错误，因此选A.【答案】 A5．下列命题中，正确命题的个数是()①若x，y∈C，则x＋y i＝1＋i的充要条件是x＝y＝1；②若a，b∈R且a>b，则a＋i>b＋i；③若x2＋y2＝0，则x＝y＝0.A．0 B．1C．2D．3【解析】对于①，由于x，y∈C，所以x，y不一定是x＋y i的实部和虚部，故①是假命题；对于②，由于两个虚数不能比较大小，故②是假命题；对于③，如12＋i2＝0，但1≠0，i≠0，故③是假命题．【答案】 A5．已知复数z＝(a2－4)＋(a－3)i(a，b∈R)，则“a＝2”是“z为纯虚数”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件【解析】因为复数z＝(a2－4)＋(a－3)i(a，b∈R)为纯虚数⇔{a2－4＝0，a－3≠0⇔a＝±2, 所以“a＝2”是“z为纯虚数”的充分不必要条件．【答案】 A二、填空题6．以3i－2的虚部为实部，以3i2＋2i的实部为虚部的复数是________．【解析】3i－2的虚部为3,3i2＋2i＝－3＋2i，实部为－3，故应填3－3i.【答案】3－3i7．若x是实数，y是纯虚数，且(2x－1)＋2i＝y，则x，y的值为________.【导学号：19220037】【解析】由(2x－1)＋2i＝y，得{2x－1＝0，＝y，∴x＝12，y＝2i.【答案】x＝12，y＝2i8．给出下列说法：①复数由实数、虚数、纯虚数构成；②满足x2＝－1的数x只有i；③形如b i(b∈R)的数不一定是纯虚数；④复数m＋n i的实部一定是m.其中正确说法的个数为________．【解析】③中，b＝0时，b i＝0不是纯虚数．故③正确；①中，复数分为实数与虚数两大类；②中，平方为－1的数是±i；④中，m，n不一定为实数，故①②④错误．【答案】 1三、解答题9．已知复数z＝m(m－1)＋(m2＋2m－3)i，当实数m取什么值时：(1)复数z是零；(2)复数z是纯虚数．【解】(1)∵z是零，∴{m(m－1)＝0，m2＋2m－3＝0，解得m＝1.(2)∵z是纯虚数，∴{m(m－1)＝0，m2＋2m－3≠0，解得m＝0.综上，当m＝1时，z是零；当m＝0时，z是纯虚数．10．已知集合M＝{1，(m2－2m)＋(m2＋m－2)i}，P＝{－1,1,4i}，若M∪P＝P，求实数m的值．【解】因为M∪P＝P，所以M⊆P，即(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝－1或(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝4i.由(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝－1，得{m2－2m＝－1，m2＋m－2＝0，解得m＝1；由(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝4i，得{m2－2m＝0，m2＋m－2＝4，解得m＝2.综上可知，m＝1或m＝2.[能力提升]1．已知复数z＝a2＋(2a＋3)i(a∈R)的实部大于虚部，则实数a的取值范围是()A．－1或3 B．{a|a>3或a<－1}C．{a|a>－3或a<1} D．{a|a>3或a＝－1}【解析】由已知可以得到a2>2a＋3，即a2－2a－3>0，解得a>3或a<－1，因此，实数a的取值范围是{a|a>3或a<－1}．【答案】 B2．若复数cos θ＋isin θ和sin θ＋icos θ相等，则θ值为()A.π4 B.π4或54πC．2kπ＋π4(k∈Z) D．kπ＋π4(k∈Z)【解析】由复数相等定义得{cos θ＝sin θ，θ＝cos θ，∴tan θ＝1，∴θ＝kπ＋π4(k∈Z)．【答案】 D3．若log2(x2－3x－2)＋ilog2(x2＋2x＋1)>1，则实数x的值是________．【解析】∵log2(x2－3x－2)＋ilog2(x2＋2x＋1)>1，∴{log2(x2－3x－2)>1，2(x2＋2x＋1)＝0，∴{x2－3x－2>2，x2＋2x＋1＝1，∴{x>4或x<－1，x＝0或x＝－2.∴x＝－2.【答案】－24．已知关于x的方程x2＋(k＋2i)x＋2＋k i＝0有实根x0，求x0以及实数k的值.【导学号：19220038】【解】x＝x0是方程的实根，代入方程并整理，得(x20＋kx0＋2)＋(2x0＋k)i＝0.由复数相等的充要条件，得{x20＋kx0＋2＝0，x0＋k＝0，解得{x0＝2，k＝－22或{x0＝－2，k＝2 2.∴方程的实根为x0＝2或x0＝－2，相应的k值为k＝－22或k＝2 2.。
最新整理高中数学人教A版选修1-2 第三章 数系的扩充与复数的引入 学业分层测评10 Word版含答案.doc
学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．(6－3i)－(3i ＋1)＋(2－2i)的结果为( )A ．5－3iB ．3＋5iC ．7－8iD ．7－2i【解析】 (6－3i)－(3i ＋1)＋(2－2i)＝(6－1＋2)＋(－3－3－2)i＝7－8i.【答案】 C2．在复平面内，复数1＋i 和1＋3i 分别对应向量OA →和OB →，其中O 为坐标原点，则|AB →|＝( ) A. 2B ．2 C.10 D ．4【解析】 由复数减法运算的几何意义知，AB →对应的复数为(1＋3i)－(1＋i)＝2i ，∴|AB →|＝2.【答案】 B3．复数z 1＝a ＋4i ，z 2＝－3＋b i ，若它们的和为实数，差为纯虚数，则实数a ，b 的值为( )A ．a ＝－3，b ＝－4B ．a ＝－3，b ＝4C ．a ＝3，b ＝－4D ．a ＝3，b ＝4【解析】 由题意可知z 1＋z 2＝(a －3)＋(b ＋4)i 是实数，z 1－z 2＝(a ＋3)＋(4－b )i 是纯虚数，故{ b ＋4＝0，a ＋3＝0，－b ≠0，解得a ＝－3，b ＝－4.【答案】 A4．(2016·石家庄高二检测)A ，B 分别是复数z 1，z 2在复平面内对应的点，O 是原点，若|z 1＋z 2|＝|z 1－z 2|，则△AOB 一定是( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形【解析】 根据复数加(减)法的几何意义，知以OA →，OB →为邻边所作的平行四边形的对角线相等，则此平行四边形为矩形，故△AOB 为直角三角形．【答案】 B5．设z ＝3－4i ，则复数z －|z |＋(1－i)在复平面内的对应点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【解析】 ∵z ＝3－4i ，∴z －|z |＋(1－i)＝3－4i －32＋(－4)2＋1－i＝(3－5＋1)＋(－4－1)i ＝－1－5i.【答案】 C二、填空题6．计算：(2＋7i)－|－3＋4i|＋|5－12i|i ＋3－4i ＝_______________________.【导学号：19220046】【解析】 原式＝2＋7i －5＋13i ＋3－4i ＝(2－5＋3)＋(7＋13－4)i ＝16i.【答案】 16i7．z 为纯虚数且|z －1－i|＝1，则z ＝________.【解析】 设z ＝b i(b ∈R 且b ≠0)，|z －1－i|＝|－1＋(b －1)i|＝1＋(b －1)2＝1，解得b ＝1，∴z ＝i.【答案】 i8．已知z 1＝2(1－i)，且|z |＝1，则|z －z 1|的最大值为________．【解析】 |z |＝1，即|OZ |＝1，∴满足|z |＝1的点Z 的集合是以(0,0)为圆心，以1为半径的圆，又复数z 1＝2(1－i)在坐标系内对应的点为(2，－2)．故|z －z 1|的最大值为点Z 1(2，－2)到圆上的点的最大距离，即|z －z 1|的最大值为22＋1.【答案】 22＋1三、解答题9．已知z 1＝32a ＋(a ＋1)i ，z 2＝－33b ＋(b ＋2)i ，(a ，b ∈R )，且z 1－z 2＝43，求复数z ＝a ＋b i.【解】 z 1－z 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤32a ＋(a ＋1)i －[－33b ＋(b ＋2)i]＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32a ＋33b ＋(a －b －1)i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 32a ＋33b ＝43，a －b －1＝0， 解得{ a ＝2，b ＝1， ∴z ＝2＋i.10．如图3-2-3，已知复数z 1＝1＋2i ，z 2＝－2＋i ，z 3＝－1－2i ，它们在复平面上的对应点是一个正方形ABCD 的三个顶点A ，B ，C ，求这个正方形的第四个顶点对应的复数．图3-2-3【解】 法一：设正方形的第四个点D 对应的复数为 x ＋y i(x ，y ∈R )， ∴AD →＝OD →－OA →对应的复数为(x ＋y i)－(1＋2i)＝(x －1)＋(y －2)i ，BC →＝OC →－OB →对应的复数为(－1－2i)－(－2＋i)＝1－3i.∵AD →＝BC →，∴(x －1)＋(y －2)i ＝1－3i ，即{x－1＝1，y－2＝－3，解得{x＝2，y＝－1.故点D对应的复数为2－i.法二：∵点A与点C关于原点对称，∴原点O为正方形的中心，于是(－2＋i)＋(x＋y i)＝0，∴x＝2，y＝－1，故点D对应的复数为2－i.[能力提升]1．(2016·昆明高二检测)实数x，y满足z1＝y＋x i，z2＝y i－x，且z1－z2＝2，则xy的值是()A．1 B．2C．－2 D．－1【解析】z1－z2＝(y＋x i)－(－x＋y i)＝(y＋x)＋(x－y)i＝2，∴{x＋y＝2，x－y＝0，∴x＝y＝1，∴xy＝1.【答案】 A2．△ABC的三个顶点对应的复数分别为z1，z2，z3，若复数z满足|z－z1|＝|z －z2|＝|z－z3|，则z对应的点为△ABC的()【导学号：19220047】A．内心B．垂心C．重心D．外心【解析】由已知z对应的点到z1，z2，z3对应的点A，B，C的距离相等．所以z对应的点为△ABC的外心．【答案】 D3．已知|z|＝2，则|z＋3－4i|的最大值是________．【解析】由|z|＝2知复数z对应的点在圆x2＋y2＝4上，圆心为O(0,0)，半径r＝2.而|z＋3－4i|＝|z－(－3＋4i)|表示复数z对应的点与M(－3,4)之间的距离，由于|OM|＝5，所以|z＋3－4i|的最大值为|OM|＋r＝5＋2＝7.【答案】74．在复平面内，A，B，C三点分别对应复数1,2＋i，－1＋2i.(1)求AB →，AC →，BC →对应的复数；(2)判断△ABC 的形状．【解】 (1)∵A ，B ，C 三点对应的复数分别为1,2＋i ，－1＋2i.∴OA →，OB →，OC →对应的复数分别为1,2＋i ，－1＋2i(O 为坐标原点)， ∴OA →＝(1,0)，OB →＝(2,1)，OC →＝(－1,2)．∴AB →＝OB →－OA →＝(1,1)，AC →＝OC →－OA →＝(－2,2)，BC →＝OC →－OB →＝(－3,1)．即AB →对应的复数为1＋i ，AC →对应的复数为－2＋2i ，BC →对应的复数为－3＋i.(2)∵|AB →|＝1＋1＝2，|AC →|＝(－2)2＋22＝8，|BC →|＝(－3)2＋1＝10，∴|AB →|2＋|AC →|2＝10＝|BC →|2.又∵|AB →|≠|AC →|，∴△ABC 是以角A 为直角的直角三角形.。
近年高中数学第三章数系的扩充与复数的引入单元测试(一)新人教A版选修1-2(最新整理)
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根据复数相等的充要条件，得错误!
2019 高中数学 第三章 数系的扩充与复数的引入单元测试（一）新人教 A 版选修 1-2
从而（1＋m）（3－m）＝2，即 m2－2m－1＝0，
21．（12 分）设 z＝log2(1＋m）＋ilog错误!(3－m）(m∈R）． （1）若 z 在复平面内对应的点在第三象限,求 m 的取值范围； （2)若 z 在复平面内对应的点在直线 x－y－1＝0 上，求 m 的值．
20．（12 分）设 z∈C，求适合 z2＝错误!的复数 z．
4
2019 高中数学 第三章 数系的扩充与复数的引入单元测试（一）新人教 A 版选修 1-2
【解析】设复数 z a bia,b R ，
或 k＝2 2．
则
a
a2
b2
3
，∴
a
7 6
，∴z＝错误!－4i．
b 4
b 4
15．【答案】－2
【解析】 (1 2i)(a i) a 2 (1 2a)i 是纯虚数，∴ a 2 0 ,即 a 2 ．
16．【答案】四
【解析】∵ a 、b∈R 且 a ＋错误!＝错误!,即 a1 i b1 2i 3 i ，
∴z＝0 或 z＝1 或 z＝－错误!±错误!i．
21．【答案】（1){x|－1〈m〈0｝；（2）m＝1±错误!．
【解析】(1）由已知，得
log2
log
1 2
1 m 0,① 3 m 0,②
解①得－1<m<0． 解②得 m<2．
故不等式组的解集为｛x|－1〈m<0}，
2021-2022年高中数学第三章数系的扩充与复数的引入章末质量评估检测新人教A版
2021-2022年高中数学第三章数系的扩充与复数的引入章末质量评估检测新人教A 版一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数z ＝i ＋i 2＋i 3＋i 4的值是( )A ．－1B ．0C ．1D ．i 解析：z ＝i ＋i 2＋i 3＋i 4＝i －1－i ＋1＝0. 答案：B2．i 是虚数单位，复数2－i1＋i 在复平面上的对应点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 解析：2－i 1＋i ＝2－i1－i 1＋i1－i＝1－3i 2＝12－32i ，对应点为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－32，位于第四象限．答案：D3．i 是虚数单位，则i1＋i 的虚部是( )A.12i B ．－12i C.12 D ．－12解析：i 1＋i ＝12＋12i ，故选C.答案：C4．已知i 为虚数单位，则复数i(1＋i)的模等于( ) A.12 B.22 C. 2 D ．2 解析：|i(1＋i)|＝|－1＋i|＝－12＋12＝ 2.答案：C5．复数⎝⎛⎭⎪⎫3＋i 1－i 2的共轭复数是( ) A ．－3－4i B ．－3＋4i C ．3－4i D ．3＋4i 解析：⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋i 1－i 2＝8＋6i －2i ＝8＋6i i －2i 2＝－3＋4i ，所以⎝⎛⎭⎪⎫3＋i 1－i 2的共轭复数为－3－4i.答案：A6．已知下列命题： ①复数a ＋b i 不是实数；②若(x 2－4)＋(x 2＋3x ＋2)i 是纯虚数，则实数x ＝±2； ③若复数z ＝a ＋b i ，则当且仅当b ≠0时，z 为虚数． 其中正确的命题有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个解析：根据复数的有关概念判断命题的真假：①是假命题，因为当a ∈R 且b ＝0时，a ＋b i 是实数；②是假命题，因为由纯虚数的条件得⎩⎨⎧x 2－4＝0，x 2＋3x ＋2≠0，解得x ＝2，当x ＝－2时，对应的复数为实数；③是假命题，因为没强调a ，b ∈R .答案：A7．如果复数2－b i1＋2i(其中i 为虚数单位，b 为实数)的实部和虚部互为相反数，则b 等于( )A. 2B.23 C ．－23D ．2解析：2－b i 1＋2i＝2－b i 1－2i 1＋2i1－2i＝2－2b＋－4－b i5＝2－2b5＋－4－b5i ， 据题意有2－2b 5＝－－4－b 5，解得b ＝－23. 答案：C8．设复数z 1＝1－i ，z 2＝3＋i ，其中i 为虚数单位，则z 1z 2的虚部为( )A.1＋34i B.1＋34C.3－14iD.3－14解析：z 1z 2＝1＋i3＋i＝1＋i3－ir(3＋i r(3)－i )＝3＋14＋3－14i ，虚部为3－14. 答案：D9．已知复数z 满足(1＋2i 3)z ＝1＋2i ，则z 等于( ) A ．－35＋45i B.35＋45iC ．－35－45i D.35－45i解析：z ＝1＋2i 1＋2i 3＝1＋2i 1－2i ＝1＋2i 21－2i 1＋2i＝－3＋4i 5＝－35＋45i.答案：A10．已知i 为虚数单位，a 为实数，复数z ＝(a －2i)(1＋i)在复平面内对应的点为M ，则“a ＝1”是“点M 在第四象限”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：z ＝(a －2i)(1＋i)＝(a ＋2)＋(a －2)i ，则点M 的坐标为(a ＋2，a －19．(本小题满分12分)设复数z ＝1＋i ，且z 2＋az ＋bz 2－z ＋1＝1－i ，求实数a ，b的值．解析：因为z ＝1＋i ，所以z 2＋az ＋b ＝(a ＋2)i ＋a ＋b ，z 2－z ＋1＝i ，所以z 2＋az ＋b z 2－z ＋1＝a ＋b ＋a ＋2i i ＝(a ＋2)－(a ＋b )i.又z 2＋az ＋bz 2－z ＋1＝1－i ，所以⎩⎨⎧a ＋2＝1，－a ＋b ＝－1，解得⎩⎨⎧a ＝－1，b ＝2.20．(本小题满分12分)已知复数z ＝(2x ＋a )＋(2－x＋a )i ，x ，a ∈R ，且a 为常数，试求|z |的最小值g (a )的表达式．解析：|z |2＝(2x ＋a )2＋(2－x ＋a )2 ＝22x ＋2－2x ＋2a (2x ＋2－x )＋2a 2，令t ＝2x ＋2－x ，则t ≥2，且22x ＋2－2x ＝t 2－2， 从而|z |2＝t 2＋2at ＋2a 2－2＝(t ＋a )2＋a 2－2. 当－a ≥2，即a ≤－2时，g (a )＝a 2－2； 当－a ＜2，即a ＞－2时，g (a )＝a ＋22＋a 2－2＝2|a ＋1|.综上可知，g (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧a 2－2，a ≤－2，2|a ＋1|，a ＞－2.21．(本小题满分12分)设复数z 1＝(a 2－4sin 2θ)＋(1＋2cos θ)i ，a ∈R ，(1)求|z 1|的值以及z 1的实部的取值范围． (2)若ω＝1－z 11＋z 1，求证：ω为纯虚数．解析：(1)设z 1＝a ＋b i(a ，b ∈R 且b ≠0)，则z 2＝z 1＋1z 1＝a ＋b i ＋1a ＋b i＝⎝⎛⎭⎪⎫a ＋a a 2＋b 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b －b a 2＋b 2i. 因为z 2是实数，b ≠0，于是有a 2＋b 2＝1，即|z 1|＝1，还可得z 2＝2a . 由－1≤z 2≤1，得－1≤2a ≤1，解得－12≤a ≤12，即z 1的实部的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12. (2)ω＝1－z 11＋z 1＝1－a －b i 1＋a ＋b i ＝1－a 2－b 2－2b i1＋a 2＋b 2＝－ba ＋1i.因为a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12，b ≠0，所以ω为纯虚数．33725 83BD 莽28452 6F24 漤-s25326 62EE 拮)32917 8095 肕37828 93C4 鏄24880 6130 愰PX29429 72F5 狵PK。
高中数学第三章数系的扩充与复数的引入章末检测卷新人教A版选修2-2(2021年整理)
2018版高中数学第三章数系的扩充与复数的引入章末检测卷新人教A版选修2-2编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018版高中数学第三章数系的扩充与复数的引入章末检测卷新人教A版选修2-2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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第三章数系的扩充与复数的引入章末检测卷一、选择题(本大题共12小题,每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．下列四个命题：①两个复数不能比较大小；②若x，y∈C,则x＋y i＝1＋i的充要条件是x＝y＝1；③若实数a与a i对应，则实数集与纯虚数集一一对应；④纯虚数集相对复数集的补集是虚数集．其中真命题的个数是（)A．0 B．1C．2 D．3解析：①中当这两个复数都是实数时,可以比较大小．②由于x,y都是复数，故x＋y i不一定是复数的代数形式，不符合复数相等的充要条件．③若a＝0，则a i不是纯虚数．④由纯虚数集、虚数集、复数集之间的关系知：所求补集应是非纯虚数集与实数集的并集．答案:A2．“复数z是实数”的充分不必要条件为（)A．|z｜＝z B．z＝错误!C．z2是实数 D．z＋错误!是实数解析：由|z|＝z可知z必为实数,但由z为实数不一定得出|z|＝z,如z＝－2，此时｜z｜≠z，故“｜z|＝z”是“z为实数”的充分不必要条件．答案：A3．设复数z＝(3－4i)（1＋2i)(i是虚数单位),则复数z的虚部为（)A．－2 B．2C．－2i D．2i解析：由z＝（3－4i）（1＋2i)＝11＋2i，所以复数z的虚部为2.答案:B4．复数错误!＝（）A．2－i B．1－2iC．－2＋i D．－1＋2i解析:错误!＝错误!＝错误!＝－2＋i。
人教A版选修2-2数学：第三章《数系的扩充与复数的引入》综合测试2(新人教A版选修2—2).docx
高中新课标数学选修（2-2）第三章测试题一、选择题1．0a =是复数()z a bi a b =+∈R ，为纯虚数的（ ）Ａ．充分条件但不是必要条件 Ｂ．必要条件但不是充分条件 Ｃ．充要条件Ｄ．既不是充分也不必要条件 答案：Ｂ2．若12z i =+，23()z ai a =+∈R ，12z z +的和所对应的点在实轴上，则a 为（ ） Ａ．3 Ｂ．2Ｃ．1Ｄ．1-答案：Ｄ3．复数22(2)(2)z a a a a i =-+--对应的点在虚轴上，则（ ） Ａ．2a ≠或1a ≠ Ｂ．2a ≠且1a ≠ Ｃ．0a = Ｄ．2a =或0a =答案：Ｄ4．设1z ，2z 为复数，则下列四个结论中正确的是（ ）Ａ．若22120z z +>，则2212z z >-Ｂ．12z z -Ｃ．22121200z z z z +=⇔== Ｄ．11z z -是纯虚数或零 答案：Ｄ5．设22(253)(22)z t t t t i =+-++-+，t ∈R ，则下列命题中正确的是（ ） Ａ．z 的对应点Z 在第一象限Ｂ．z 的对应点Z 在第四象限 Ｃ．z 不是纯虚数 Ｄ．z 是虚数 答案：Ｄ6．若1i +是实系数方程20x bx c ++=的一个根，则方程的另一个根为（ ） Ａ．1i - Ｂ．1i -+ Ｃ．1i -- Ｄ．i 答案：Ａ7．已知复数1cos z i θ=-，2sin z i θ=+，则12z z ·的最大值为（ ）Ａ．32 Ｄ．3答案：Ａ 8．已知m ∈R ，若6()64m mi i +=-，则m 等于（ ）Ａ．2-Ｂ．Ｃ．Ｄ．4答案：Ｂ9．在复平面内，复数12ω=-+对应的向量为OA u u u r ，复数2ω对应的向量为OB u u u r ．那么向量AB u u u r对应的复数是（ ）Ａ．1 Ｂ．1- Ｄ．答案：Ｄ10．在下列命题中，正确命题的个数为（ ） ①两个复数不能比较大小；②123z z z ∈C ，，，若221221()()0z z z z -+-=，则13z z =； ③若22(1)(32)x x x i -+++是纯虚数，则实数1x =±； ④z 是虚数的一个充要条件是z z +∈R ；⑤若a b ，是两个相等的实数，则()()a b a b i -++是纯虚数； ⑥z ∈R 的一个充要条件是z z =．Ａ．0 Ｂ．1 Ｃ．2 Ｄ．3 答案：Ｂ11．复数()a bi a b +∈R ，等于它共轭复数的倒数的充要条件是（ ） Ａ．2()1a b += Ｂ．221a b += Ｃ．221a b -= Ｄ．2()1a b -=答案：Ｂ12．复数z 满足条件：21z z i +=-，那么z 对应的点的轨迹是（ ） Ａ．圆 Ｂ．椭圆 Ｃ．双曲线 Ｄ．抛物线 答案：Ａ 二、填空题13．若复数cos sin z i θθ=-·所对应的点在第四象限，则θ为第 象限角． 答案：一14．复数z i =与它的共轭复数z 对应的两个向量的夹角为 ． 答案：60°15．已知2z i =-，则32452z z z -++= ． 答案：2 16．定义运算a b ad bc c c =-，则符合条件2132i z zi-=+的复数z = ． 答案：7455i -三、解答题17．已知复数(2)()x yi x y -+∈R ，的模为3，求yx的最大值． 解：23x yi -+=∵，22(2)3x y -+=∴，故()x y ，在以(20)C ，为圆心，3为半径的圆上，yx表示圆上的点()x y ，与原点连线的斜率． 如图，由平面几何知识，易知yx的最大值为3． 18．已知1z i a b =+，，为实数． （1）若234z z ω=+-，求ω；（2）若2211z az bi z z ++=--+，求a ，b 的值．解：（1）2(1)3(1)41i i i ω=++--=--， 2ω=∴；（2）由条件，得()(2)1a b a ii i+++=-，()(2)1a b a i i +++=+∴，121a b a +=⎧⎨+=⎩，，∴解得12a b =-⎧⎨=⎩，．19．已知2211z x x i =++，22()z x a i =+，对于任意x ∈R ，均有12z z >成立，试求实数a 的取值范围． 解：12z z >∵， 42221()x x x a ++>+∴，22(12)(1)0a x a -+->∴对x ∈R 恒成立．当120a -=，即12a =时，不等式成立； 当120a -≠时，21201124(12)(1)0a a a a ->⎧⇒-<<⎨---<⎩， 综上，112a ⎛⎤∈- ⎥⎝⎦，． 20．已知()z i z ω=+∈C ，22z z -+是纯虚数，又221116ωω++-=，求ω． 解：设()z a bi a b =+∈R ，2(2)2(2)z a bi z a bi--+=+++∴2222(4)4(2)a b bia b +-+=++． 22z z -+∵为纯虚数， 22400a b b ⎧+-=⎨≠⎩，．∴222211(1)(1)(1)(1)a b i a b i ωω++-=++++-++∴2222(1)(1)(1)(1)a b a b =++++-++ 222()44a b b =+++844b =++ 124b =+．12416b +=∴．1b =∴．把1b =代入224a b +=，解得a =．z i =∴．2i ω=∴．21．复数3(1)()1i a bi z i++=-且4z =，z 对应的点在第一象限内，若复数0z z ，，对应的点是正三角形的三个顶点，求实数a ，b 的值．解：2(1)(1)()2()221i i z a bi i i a bi a bi i++=+=+=---···，由4z =，得224a b +=． ①∵复数0，z ，z 对应的点是正三角形的三个顶点，z z z =-∴，把22z a bi =--代入化简，得1b =． ② 又Z ∵点在第一象限内，0a <∴，0b <．由①②，得1a b ⎧=⎪⎨=-⎪⎩．故所求a =1b =-．22．设z 是虚数1z z ω=+是实数，且12ω-<<．（1）求z 的值及z 的实部的取值范围．（2）设11zzμ-=+，求证：μ为纯虚数； （3）求2ωμ-的最小值．（1）解：设0z a bi a b b =+∈≠R ，，，， 则1a bi a bi ω=+++2222a b a b i a b a b ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭．因为ω是实数，0b ≠，所以221a b +=，即1z =．于是2a ω=，即122a -<<，112a -<<．所以z 的实部的取值范围是112⎛⎫- ⎪⎝⎭，；（2）证明：2222111211(1)1z a bi a b bi bi z a bi a b a μ------====-++++++．因为112a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，，0b ≠，所以μ为纯虚数；（3）解：22222122(1)(1)b a a a a a ωμ--=+=+++1222111a a a a a -=-=-+++12(1)31a a ⎡⎤=++-⎢⎥+⎣⎦因为112a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，，所以10a +>，故223ωμ-·≥431-=． 当111a a +=+，即0a =时，2ωμ-取得最小值1． 高中新课标数学选修（2-2）第三章测试题一、选择题1．实数x ，y 满足(1)(1)2i x i y ++-=，则xy 的值是（ ） Ａ．1 Ｂ．2Ｃ．2-Ｄ．1-答案：Ａ2．复数cos z i θ=，[)02πθ∈，的几何表示是（ ） Ａ．虚轴Ｂ．虚轴除去原点Ｃ．线段PQ ，点P ，Q 的坐标分别为(01)(01)-，，， Ｄ．（Ｃ）中线段PQ ，但应除去原点 答案：Ｃ3．z ∈C ，若{}22(1)1M z z z =-=-|，则（ ）Ａ．{}M =实数Ｂ．{}M =虚数Ｃ．{}{}M实数复数苘Ｄ．{}M ϕ=答案：Ａ4．已知复数1z a bi =+，21()z ai a b =-+∈R ，，若12z z <，则（ ） Ａ．1b <-或1b > Ｂ．11b -<< Ｃ．1b > Ｄ．0b >答案：Ｂ5．已知复数z 满足2230z z --=的复数z 的对应点的轨迹是（ ） Ａ．1个圆 Ｂ．线段Ｃ．2个点Ｄ．2个圆答案：Ａ6．设复数()z z ∈C 在映射f 下的象是zi ·，则12i -+的原象为（ ） Ａ．2i - Ｂ．2i + Ｃ．2i -+ Ｄ．13i +－答案：Ａ7．设A ，B 为锐角三角形的两个内角，则复数(cot tan )(tan cot )z B A B A i =-+-对应的点位于复平面的（ ）Ａ．第一象限 Ｂ．第二象限Ｃ．第三象限Ｄ．第四象限答案：Ｂ8．已知()22f z i z z i +=++，则(32)f i +=（ ） Ａ．9i Ｂ．93i +Ｃ．9i -Ｄ．93i -－答案：Ｂ 9．复数2()12miA Bi m AB i-=+∈+R ，，，且0A B +=，则m =（ ）Ｂ．23 Ｃ．23-Ｄ．2答案：Ｃ10．(32)(1)i i +-+表示（ ） Ａ．点(32)，与点(11)，之间的距离 Ｂ．点(32)，与点(11)--，之间的距离 Ｃ．点(32)，与原点的距离 Ｄ．点(31)，与点(21)，之间的距离 答案：Ａ11．已知z ∈C ，21z -=，则25z i ++的最大值和最小值分别是（ ）11 Ｂ．3和1Ｃ．和3答案：Ａ12．已知1z ，2z ∈C ，12z z +=1z =2z =12z z -=（ ）Ａ．1 Ｂ．12Ｃ．2答案：Ｄ 二、填空题13．若()1()f z z z =-∈C ，已知123z i =+，25z i =-，则12z f z ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭．答案：19172626i - 14．“复数z ∈R ”是“11z z=”的 ． 答案：必要条件，但不是充分条件 15．A ，B 分别是复数1z ，2z 在复平面上对应的两点，O 为原点，若1212z z z z +=-，则AOB △为 ． 答案：直角16．若n 是整数，则6(1)(1)nn i i -+-=· ． 答案：8±或8i ±三、解答题17．已知复数3z z -对应的点落在射线(0)y x x =-≤上，1z +=z ． 解：设()z a bi a b =+∈R ，，则33324z z a bi a bi a bi -=+-+=+， 由题意得4120ba b ⎧=-⎪⎨⎪>⎩，，①又由1z +=22(1)2a b ++=， ② 由①，②解得21a b =-⎧⎨=⎩，，2z i =-+∴．18．实数m 为何值时，复数216(815)55m z m i m i m m -⎛⎫=++++ ⎪++⎝⎭．（1）为实数； （2）为虚数； （3）为纯虚数；（4）对应点在第二象限．解：226(815)5m m z m m i m +-=++++．（1）z 为实数28150m m ⇔++=且50m +≠，解得3m =-； （2）z 为虚数2815050m m m ⎧++≠⇔⎨+≠⎩，，解得3m ≠-且5m ≠-；（3）z 为纯虚数226058150m m m m m ⎧+-=⎪⇔+⎨⎪++≠⎩，，解得2m =；（4）z 对应的点在第二象限226058150m m m m m ⎧+-<⎪⇔+⎨⎪++>⎩，，解得5m <-或32m -<<．19．设O 为坐标原点，已知向量1OZ u u u u r ，2OZ u u u u r分别对应复数12z z ，，且213(10)5z a i a =+-+，22(25)1z a i a=+--，a ∈R ．若12z z +可以与任意实数比较大小，求1OZ u u u u r ，2OZ u u u u r 的值．解：213(10)5z a i a =--+，则31232[(10)(25)]51z z a a i a a+=++-+-+-的虚部为0， 22150a a +-=∴．解得5a =-或3a =． 又50a +≠∵，3a =∴．则138z i =+，21z i =-+，1318OZ ⎛⎫= ⎪⎝⎭u u u u r ，，2(11)OZ =-u u u u r ，． 1258OZ OZ =u u u u r u u u u r ∴·．20．已知z 是复数，2z i +与2zi-均为实数，且复数2()z ai +在复平面上对应的点在第一象限，求实数a 的取值范围．解：设()z x yi x y =+∈R ，，2(2)z i x y i +=++为实数，2y =-∴．211(22)(4)2255z x i x x i i i -==++---为实数， 4x =∴，则42z i =-．22()(124)8(2)z ai a a a i +=+-+-∵在第一象限， 212408(2)0a a a ⎧+->⎨->⎩，，∴解得26a <<． 21．已知关于x 的方程2(6)90()x i x ai a -+++=∈R 有实数根b ． （1）求实数a ，b 的值；（2）若复数z 满足2z a bi z --=，求z 为何值时，z 有最小值并求出最小值． 解：（1）将b 代入题设方程，整理得2(69)()0b b a b i -++-=， 则2690b b -+=且0a b -=，解得3a b ==；（2）设()z x yi x y =+∈R ，，则2222(3)(3)4()x y x y -++=+， 即22(1)(1)8x y ++-=．∴点Z 在以(11)-，为圆心，22为半径的圆上， 画图可知，1z i =-时，min 2z =．。
高三数学 数系的扩充单元测试 文 人教A版
新人教A 版数学高三单元测试27【数系的扩充】本卷共100分，考试时间90分钟一、选择题 (每小题4分，共40分)1. 已知复数z满足(1)z +=，则z 的共同复数z 的虚部是（ ）A． B． C．D2. 复数21(1)1i i +-+的虚部是（ ） A ．52i - B ．52- C ．32i - D ．32- 3. 若2i-1i 21+=a +bi （a,b ∈R,i 是虚数单位），则a －b 等于 （ ） A ．－7 B ．－1 C ．－51 D ．－57 4. 若复数i m m m m z )65()43(22--+--=为纯虚数，则实数m 的值（ ）A . 5B .6 C. 1- D.4 5. 复数1ii -的共轭复数为 （ ）A ．1122i -+B ．1122i +C ．1122i --D ．1122i - 6. 1122z z 2,3 4.z m i z i m =+=-复数若为实数，则实数的值为 A ．83 B ．32C ．83-D ．32- 7. 定义运算,,a b ad bc c d =-，则符合条件,1201,1z i i i +=-+的复数Z 的共轭复数Z 对应的点在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限8. 在复平面内，复数 21i+ 对应的点与原点的距离是（ ） A. 1C.2D.9. 设i z +=1（i 是虚数单位），则在复平面内，22z z+对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限10. 若122ω=-+,则等于21ωω++=( )A ．1B ．0C ．3+D ．1-二、填空题 (共4小题，每小题4分)11. 已知复数(2)(z i i i =-为虚数单位)，则z = .12. 若复数z 满足2i z i i -+=，则复数z 的模为 。
13. 复数ii z +=1在复平面上对应点的坐标为 14. 若z C ∈且221z i +-=，则12z i --的最大值是_______.三、解答题 (共4小题，共44分，写出必要的解题步骤)15. (本小题满分10分)已知复数i m m m z )4()43(2-+--=， 求实数m 的取值范围：（1）z 为实数；（2）z 为纯虚数；（3）z 在第三象限.16. （本题满分10分） 已知复数i z +=31，||2z =2，221z z ⨯是虚部为正数的纯虚数。
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新人教A 版数学高三单元测试27【数系的扩充】
本卷共100分，考试时间90分钟
一、选择题 (每小题4分，共40分)
1. 已知复数z
满足(1)z +=，则z 的共同复数z 的虚部是（ ）
A
． B
． C
．D
2. 复数
21(1)1i i +-+的虚部是
（ ） A ．52i - B ．52- C ．32i - D ．32
- 3. 若2i
-1i 21+=a +bi （a,b ∈R,i 是虚数单位），则a －b 等于 （ ） A ．－7 B ．－1 C ．－51 D ．－5
7 4. 若复数i m m m m z )65()43(2
2--+--=为纯虚数，则实数m 的值（ ）
A . 5
B .6 C. 1- D.4 5. 复数1i
i -的共轭复数为 （ ）
A ．1122i -+
B ．1122i +
C ．1122i --
D ．1122i - 6. 1122
z z 2,3 4.z m i z i m =+=-复数若为实数，则实数的值为 A ．8
3 B ．32
C ．83-
D ．32- 7. 定义运算
,,a b ad bc c d =-，则符合条件,1201,1z i i i +=-+的复数Z 的共轭复数Z 对应的点在（ ）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
8. 在复平面内，复数 21i
+ 对应的点与原点的距离是（ ） A. 1
C.2
D.
9. 设i z +=1（i 是虚数单位），则在复平面内，22z z
+对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
10. 若122
ω=-+,则等于21ωω++=( )
A ．1
B ．0
C ．3+
D ．1-
二、填空题 (共4小题，每小题4分)
11. 已知复数(2)(z i i i =-为虚数单位)，则z = .
12. 若复数z 满足2i z i i -+=
，则复数z 的模为 。
13. 复数i
i z +=1在复平面上对应点的坐标为 14. 若z C ∈且221z i +-=，则12z i --的最大值是_______.
三、解答题 (共4小题，共44分，写出必要的解题步骤)
15. (本小题满分10分)已知复数i m m m z )4()43(2-+--=， 求实数m 的取值范围：
（1）z 为实数；（2）z 为纯虚数；（3）z 在第三象限.
16. （本题满分10分） 已知复数i z +=
31，||2z =2，221z z ⨯是虚部为正数的纯虚数。
（1）求221z z ⨯的模；（2）求复数2z 。
17. （本小题满分12分）已知复数i z 311+=，ααsin cos 32i z +=
，求复数21z z z ⋅=实部的最值.
18. （本小题满分12分） 设1cos z x i =+，21sin z i x =+（x 为实数且[0,],2x i π∈是虚
数单位），求函数212()f x z z =-的值域。
答案
一、选择题
1. C
略
2. B
3. D
略
4. D
略
5. C
略
6. D
略
7. A
略
8. B
略
9. D
略
10. B
略
二、填空题 512. 10 13. ⎪⎭
⎫ ⎝⎛21,21
14. 4
三、解答题
15. (本小题满分12分)
满足对应的点在第三象限时当为纯虚数时即且－当为实数时，即当m z z m m m m z m m ,)3(,1,04043)2(.
404)1(2-=≠-=-==-
.
040432<-<--m m m 即 441<<<-m m 故41<<-m .
16. 解：（1）|221z z ⨯|=|1z ||22z |=|1z ||2z |2=8；
（2）221z z ⨯是虚部为正数的纯虚数
∴221z z ⨯=i 8
22z =i i +38=()
438i i -=i 322+ 设复数2z =bi a +（R b a ∈,）
=+-abi b a 222i 322+
⎪⎩⎪⎨⎧==-3
22222ab b a 解之得⎩⎨⎧==13b a 或⎩⎨⎧-=-=13b a ∴)3(2i z +±=
17. 已知复数i z 311+=，ααsin cos 32i z +=，求复数21z z z ⋅=实部的最值. 解：由已知得ααααααsin 3cos 33sin cos 3)sin cos 3)(31(21-++=++=⋅=i i i i z z z ……….2分
)cos 33(sin )sin 3cos 3(αααα++-=i
的实部为z ∴ααsin 3cos 3t -=
⎪⎭⎫ ⎝⎛-=απ6sin 32
32max =∴t ， 32m in -=t
18. 解：22212()(cos 1)(1sin )32cos 2sin f x z z x x x x =-=-+-=--
3)4x π=-+
当02
x π=或时，()f x 最大值为1；当4
x π=，()f x 最小值为3-
所以值域为[3-。