第11讲 平行平面腔自再现模式要点

e
ik
• 则衍射积分公式改写为： x x ' 2 y y ' 2 i ikL a b E ( x, y ) e E ( x ', y ') exp ik dx ' dy ' a b L L L • 对方形或矩形反射镜能够对光场表达式进行分离变量：
11.1 平行平面腔自再现模式的迭代解法
• Fox-Li数值迭代法 • Gardner Fox 和厉鼎毅在1961年发表文章 Resonant Modes in a Maser Interferometer 首次提出了用计算机迭代方法求解衍射积分方程 来研究平平腔内模式的方法； uq 1 Kuqds ' S • 优点
激光原理与技术·原理部分
第11讲 平行平面腔自再现模式
11.0 平行平面腔
• 平行平面腔
– 优点：光束方向性好、模体积较大、容易获得 单横模振荡； – 缺点：调整精度要求较高、损耗比稳定腔大；
• 分析平行平面腔的方法
– 分析平平腔的主要内容就是分析其振荡模式， 也就是求解平平腔条件下的菲涅尔-基尔霍夫衍 射积分公式； – 公式的解存在，但是很难求解，因此多使用数 值方法来求近似解；
• 将u1带入迭代公式可以求出第二个镜面上的光波u2。由于 我们只对相位和振幅的相对分布感兴趣，因此对u2进行归 一化。 • 将归一化后的u2作为输入参数带入迭代公式可以求出u3， 依次循环计算下去，直到得到的归一化的uq+1和uq之间只 相差一个与坐标无关的常数因子为止； • 此时求出的uq是迭代方程的稳定解，也就是本征函数；
当 时， 相对 于可以忽略不计
1 x x' 4 1 y y ' 4 1 x x' 2 y y ' 2 L 8 L 8 L 4 L L
– 两腔镜上两点之间距离为： ( x x ')2 ( y y ')2 L2 – 将其作级数展开：
2 x x' y y' ( x, y, x ', y ') L 1 L L 2 2
L
2
1 x x' 1 y y' L 1 2 L 2 L
• 要进行迭代需要设置初始值u1，从前面我们对开腔物理模 型的分析知道，理论上任何形式的初始模式在经过足够多 次的传播后都会产生稳定的自再现模，因此不妨设 u1(x)=1， 由于arg[u1(x)]=0，它代表了一个等相位面就是 反射镜平面，且在等相位面上振幅均匀分布的平面波。
11.1 平行平面腔自再现模式的迭代解法
• 镜面中心处振幅最大； • 从中心到边缘振幅逐渐下降； • 振幅分布具有藕对称性；
– 具有这种特征的模是腔的最低阶偶对称模，或者称为基模。在条 状腔中用TEM0，在矩形镜和圆形镜腔中用TEM00来表示基模。 – 菲涅耳数N描述了光腔衍射损耗的大小，N越大，衍射损耗越小， 镜边缘处的相对振幅越小；
11.2 平行平面腔自再现模式的特征
q
c 2 L
q
mnq
c 2 L
mn
11.2 平行平面腔自再现模论是什么类型 的谐振腔，其单程功率损耗 的大小都是菲涅耳数的函数， 右图是不同腔型的不同模式 的单程功率损耗随N变化的曲 线。
• 基模是平行平面腔的一切横模中 损耗最小的； • 对确定的横模，单程损耗由N单 值决定，N越大，损耗越小； • 低阶模，特别是基模，其损耗均 低于均匀平面波的损耗；
11.2 平行平面腔自再现模式的特征
• 3、单程相移与谐振频率
– A、单程总相移
• 计算方法：在迭代过程中，对镜面上的任一点，计 算光波在腔内渡越一次后，在另一个镜面上坐标相 同的点的振幅和相位的相对变化，即可得到相移； 2 • 表达式： kL mn L mn 其中kL为几何相移， mn 为附加相移，与N有关， 不同的横模有不同的附加相移；
E ( x, y) E ( x) E ( y)
式(1)表示一个平平腔，其反 射镜在x方向上的宽度为2a， y方向上无限延伸的条状腔的 自再现模；式(2)表示的是另 一个方向的条状腔的自再现 模。
a E ( x ) (1) x a Kx( x, x ') E ( x ')dx ' a E ( y ) y Ky ( y, y ') E ( y ')dy ' (2) a x x '2 i ikL e exp ik Kx ( x, x ') L 2 L 2 y y ' i ikL Kx ( y, y ') e exp ik L 2L x y
1 u0 1 x a, 0 x 0, a
11.2 平行平面腔自再现模式的特征
• 2、镜面上的相位分布 • 右上图是基模在镜面上的相位分布， 从其分布可知TEM0模不是严格意义 的平面波，但当菲涅耳数较大时， 仍然可以近似为平面波，特别是在 镜面中心及附近区域；只有在镜边 缘波前才发生微小的弯曲； • 右下图是TEM1模的相位分布，在节 线附近相位会发生突变，在被波节 隔开的各个区域中都可以被近似为 平面波。
2 2 kL mn 2 q
– 以νmnq表示TEMmn模的谐振频率，则： c mn 2 2 mnq kmnq mnq q 2 L mnq c –与前面得到的平面波理论中的谐振频率公式相比较， 多了一项，它是由TEMmn模的附加相移引起的。
• 在平平腔中除了基模外，还有其他 类型的模。在平平腔迭代中如果选 取初值条件为： • 可以通过迭代得到另一种形式的稳 定解，如右图所示，图中的相对振 幅在镜中心处为零，在镜边缘处也 为最小值，然而在镜中心和边缘中 间存在两个极值，在镜面上出现了 场振幅为零的节线位置，整体的分 布具有奇对称特性，这样的模称为 条状腔的最低阶奇对称模，以 TEM1表示。 • 腔中还存在着其他的高阶模式；
11.1 平行平面腔自再现模式的迭代解法
• 满足上述方程的函数E(x)和E(y)可以有很多个，用Em(x)和En(Y)分别 表示其中的第m和第n个解，对应的复常数为γm、γn，则上述方程 可以表示为： Em( x) m a Kx( x, x ') Em( x ')dx ' 此时的自再现模为： Emn( x, y) Em( x) En( y) a b 复常数为： mn m n En( y) n Ky ( y, y ') En( y ')dy ' b • (1)式在数学上称为本征方程，只有在γm和γn为一系列分立的值， 对应m、n取不同的正整数时，方程才成立，因此γm和γn又被称为方 程的本征值； • 对不同的γm和γn，能够使方程成立的解Em(x)和En(y)被称为相应的 本征函数； • 本征函数决定了镜面上的场分布； • 本征值决定了光波模的传播特性，例如模的衰减、相移、谐振频率等；
– 理论上可以研究任何类型的光学谐振腔； – 通过迭代法近似计算证明了自再现模的存在性； – 计算过程与开腔模式的物理机制类似，方便理解；
• 缺点
– 收敛性不好，计算量大； – 对高阶模式的计算误差较大；
11.1 平行平面腔自再现模式的迭代解法
• 平行平面镜腔
L a – 如图所示的矩形镜平平腔，满足条件： L b
• 此时求出的与坐标无关的常数因子uq 1 / uq 是本征值；
11.2 平行平面腔自再现模式的特征
• Fox-Li对 a 25 , L 100 条件下的平平腔进行了迭代计 算，得到了稳定存在的自再现模并分析了其特征。 • 1、镜面上的振幅分布
– 右图是300次迭代后得到的稳定自再 现模的相对振幅分布，具有以下的特点：
11.1 平行平面腔自再现模式的迭代解法
• 由此可得到数值计算中的迭代公式为：
x x ' 2 i ikL a e exp ik u1( x ')dx ' u 2( x) a L 2L x x ' 2 i ikL a u ( x ) e exp ik u ( x ') dx ' 2 a 3 L 2 L
11.2 平行平面腔自再现模式的特征
• 右图为不同横模的单程 相移随N变化的曲线， 从曲线中可以得出结论：
– N相同时，基模的附加相 移最小，高阶模的附加 相移较大； – N较大时，在对数坐标中 附加相移随N的变化曲线 基本为直线；
11.2 平行平面腔自再现模式的特征
• B、谐振频率
– 由自再现模稳定存在的条件可知：
k 2
L2 N 2 a
L x x ' 4 L 2a 4 8 L 8 L
a2 a4 k 3 或者 N L L
11.1 平行平面腔自再现模式的迭代解法
2 2 • 当满足条件 L a; N L / a 时，积分核可以写成：
2 2 x x ' 2 y y ' 2 1 x x ' 1 y y ' ikL exp ik L e exp ik 2 L 2 L 2 L 2 L