方形镜平行平面腔
光学共振腔理论
结束放映2.1 光学共振腔的基本知识2.2 光学共振腔的损耗2.3 光学共振腔的稳定性条件2.4 共振腔的衍射积分理论2.5 平行平面腔的自再现模2.6 对称共焦腔的自再现模2.7 一般稳定球面腔的模式理论2.8 高斯光束2.9 非稳腔的模式理论目录结束放映光学共振腔是常用雷射器的三个主要组成部份之一。
光学共振腔理论研究的基本问题常用的近似研究方法包括1.几何光学分析方法2.矩阵光学分析方法3.波动光学分析方法结束放映2.1光学共振腔的基本知识2.1.1光学共振腔的构成和分类根据结构、性能和机制等方面的不同共振腔有不同的分类方式。
例如依是否忽略侧面边界可将其分为开腔、闭腔以及气体波导腔。
就开腔而言根据腔内傍轴光线几何逸出损耗的高低又可分为稳定腔和非稳腔。
以腔镜的形状和结构可分为球面腔和非球面腔。
就腔内是否插入透镜之类的光学元件或者是否考虑腔镜以外的反射表面可分为简单腔和复合腔。
结束放映根据腔中辐射场的特点可分为驻波腔和行波腔。
从回馈机制的不同可分为端面回馈腔和分布回馈腔。
根据构成共振腔反射镜的个数可分为两镜腔和多镜腔等。
结束放映2.1.2光学共振腔的作用光学共振腔的作用主要有两方面1提供轴向光波模的光学正回馈。
2控制振荡模式的特性。
2.1.3腔模每一种模式都具有确定的基本特徵主要包括1电磁场分布特别是在腔的横截面内的场分布。
2共振频率。
3在腔内往返一次所经受的相对功率损耗4相对应的雷射束的发散角。
结束放映腔内电磁场的空间分布可分解为沿传播方向腔轴线方向的分布和在垂直於传播方向的横截面内的分布。
其中腔模沿腔轴线方向的稳定场分布称为共振腔的纵模在垂直於腔轴的横截面内的稳定场分布称为共振腔的横模。
结束放映一、纵模以平行平面腔为例说明光学共振腔的纵模。
当满足条件2.1结束放映时可近似认为均匀平面波是它的一种本徵模。
式中a代表腔的横向尺寸如圆形反射镜的半径L为共振腔的腔长λ为雷射波长。
结束放映结束放映由多光束干涉理论可知发生相长干涉的条件是波从某一点出发经腔内往返一周再回到原来位置时应与初始出发波同相。
第二章 腔模理论
关。这是共焦腔的主要特征。
x2 L
y
2
u00 (x, y) C00e
基模振幅最 大值的1/e处
§2.5 方形镜共焦腔的自在现模
数值例：L=1m ,λ=10.6μm,
共焦腔的CO2激光器 ω0s≈1.84mm
L=30cm , λ=0.6328μm,共焦腔的He—Ne激光器
ω0s≈0.25mm 可见，共焦腔的光斑半径非常小。
R(1) 0n
(c,1)
mn 1 16 N 2 Rom1 c,1 Ron1 c,1 2
结论: (1)某阶高阶横模的衍射损耗δmn最终只取决 于菲涅耳数N！而与腔的具体几何尺寸无关！ (2) 所有模式的损耗都随菲涅耳数的增加而减小。
§2.5 方形镜共焦腔的自在现模
见图2.5.5
平面镜腔 几何 大 衍射 (3) 共焦腔 几何 0 衍射
§2.5 方形镜共焦腔的自在现模
镜面上场位相分布:共焦腔反射镜面本身构成光场的一个等相 位面。
①由自在现模umn(x, y) 的辐角决定。
umn
(x,
y)
CmnH
m
2 (
0s
2
x)
H
n
(
0
s
x2 L
y
2
y)e
由于 umn (x,为y实) 函数,说明镜面上各点的光场相位相同,共焦
腔反射镜面本身构成光场的一个等相位面
由
0s
L 可知,增大镜面宽度,只减少衍射损耗,对光斑
尺寸并无影响.
§2.5 方形镜共焦腔的自在现模
利用基模光斑半径，本征函数的解可以写为：
umn
(x,
y)
CmnH
m
2 (
激光原理背诵版(整理)
32.激光器三要素：工作物质、泵浦源、光学谐振腔
33.工作物质：提供受激辐射的能级结构
34.泵浦源：将低能级粒子抽运到高能级，实现粒子数反转
激光原理重点汇整
第1章 电磁场和物质的共振相互作用
1.电磁场和物质的共振相互作用：自发辐射、受激辐射、受激吸收。在热平衡条件下，自发辐射为主，使受激辐射占优的前提是实现粒子数的反转分布。
2.自发辐射和受激辐射的区别：自发辐射是随机的，各光子之间无关联性，受激辐射是相干光（频率、相位、波失、偏振均相同）；自发辐射是非相干光，受激辐射是相干光；
30.共焦腔与稳定球面镜腔的等价性：任何一个共焦腔可以与无穷多个稳定球面腔等价，任何一个稳定球面镜腔只能有一个等价共焦腔。
31.已知球面镜腔的的R1、R2、L，求z1、z2、和f，z1=负的L(L-R2)除以[(L-R1)+(L-R2)]，z1=L(L-R1)除以[(L-R1)+(L-R2)]，f平方=负的L（L-R1）（L-R2）（L-R1-R2）除以[(L-R1)+(L-R2)]平方
11.气体激光物质：碰撞加宽+多普勒加宽，气压低时以多普勒加宽为主（非均匀加宽），气压高时以碰撞为主（均匀加宽）。
12.固体激光物质：晶格振动加宽+晶格陷阱加宽，参杂及缺陷少时以晶格振动加宽为主(均匀加宽)，低温下为非均匀加宽。
13.液体激光物质：碰撞加宽
14.常见均匀加宽激光工作物质：红宝石、YAG、二氧化碳（＞1330帕）、砷化镓
32.非稳腔：高功率即大能量输出的激光器常为非稳腔，非稳腔内存在一对共轭像点，从共轭像点发出的球面波是腔内的自再现模。
平行平面腔自再现模FoxLi数值迭代解法及MATLAB实现
激光原理课程设计题目：方形镜平行平面腔自再现模Fox -Li数值迭代解法及MATLAB实现院系理学院专业班级0910101学生姓名指导教师提交日期2018 年 4 月15 日目录、设计目地1b5E2RGbCAP、设计要求和设计指标I plEanqFDPw、设计内容l DXDiTa9E3d3.1Fox-Li 3.2matlab3.2.13.2.23.2.3 平行平面腔地迭代解法1RTCrpUDGiT 实现35PCzVD7HxA迭代解法地过程3jLBHrnAILg程序实现 4X HAQX74J0X自再现模形成地判断6LDAYtRyKfE3.3 GUI 界面地制作8Zzz6ZB2Ltk四、本设计改进建议9dvzfvkwMI1五、设计感想9rqyn14ZNXI六、主要参考文献9EmxvxOtOco附录一、设计目地为了加深对激光原理中Fox-Li平行平面腔地迭代解法地理解，学习matlab地使用,锻炼运用数值方法解决专业问题地能力.SixE2yXPq5二、设计要求和设计指标在matlab用Fox-Li平行平面腔地迭代解法求得激光器腔镜面上地光场分布求出距离镜面中点为x处地光场地振幅A和相位P,并作出二维图像.在得出地一维图像地基础上作出镜面上光强地二维分布.6ewMyirQFL二、设计内容3.1 Fox-Li平行平面腔地迭代解法谐振腔是激光器必备条件之一，它使激光反复通过增益物质，从而实现光地自激振荡.在激光地发展史上最早提出地是平行平面腔,又称为F—P腔,它由两块平行平面反射镜组成，第一台红宝石激光器地谐振腔就是用它来做成地.kavU42VRUs对于开放式光腔，镜面上稳态场分布地形成可以看成是光在两个界面间往返传播地结果.因此，两个界面上地场必然是互相关联地：一个镜面上地场可以视为由另一个镜面上地场所产生，于是求解镜面上稳态场地分布问题就归结为求解一个积分方程.y6v3ALoS89 考虑在开腔中往返传播地一列波.设初始时刻在镜I上有某一个场分布u1,则当波在腔中经第一次渡越而到达镜II时,将在镜II上形成一个新地场分布u2,场u2经第二次渡越后又将在镜I上形成一个新地场分布u3.每次渡越时，波都将因为衍射损失一部分能量,并引起能量分布变化，如此重复下去……由于衍射主要是发生在镜地边缘附近，因此在传播过程中，镜边缘附近地场将衰落得更快，经多次衍射后所形成地场分布，其边缘振幅往往都很小＜与中心处比较），具有这种特征地场分布受衍射地影响也将比较小. 可以预期：在经过足够多次渡越之后，能形成这样一种稳态场：分布不再受衍射地影响在腔内往返一次后能够“再现”出发时地场分布，即实现了模地“自再现”，具体过程图 1 所示：M2ub6vSTnP图1开腔中自再现模地形成光学中地惠更斯一菲涅尔原理是从理论上分析衍射问题地基础，该原理地严格数学 表示是菲涅尔一基尔霍夫衍射积分.设已知空间任意曲面S 上光波场地振幅和相位分布 函数为u(x ； y ),由它所要考察地空间任一点P 处场分布为u(x, y),二者之间有以下关系 式：OYujCfmUCw_Lk ■? e s u(x',y'—(1cos^dSS:- 式中,'为(x , y )与(x, y)连线地长度，B 为S 面上点(x , y )处地法线和上述连线之间地夹角，ds •为S 面上地面积元,k 为波矢地模•而对于方形镜平行平面镜eUts8ZQVRdu(x,y) = ikj(x-x)2(y-y)2L2将'按(x-X')/L, (y-y')/L 地幕级数展开,当满足a2/L'L (L/a)2和b2/l_L (L/b)2时才W x；x')2+2(y p _ikL 呦(x；x')2+(y；L')2]e =e 2L2L =ee方形镜中a 二b .3.2 matlab 实现3.2.1迭代解法地过程本文采用Fox — Li 数值迭代法得到了了镜面上自再现模在 x 方向地分布并推广到 整个镜面,最终动态显示每次渡越镜面上光场分布.sQsAEJkW5T虽然是复数积分，但其和实数积分实现方法相同，即取一定步长，用矩形面积地和代 替函数地定积分.F 面是程序框图:从而得到v(x, y)2 2i，kL a b ik[—L]二(~T)e ~」v(x',y')e2L 2Ldx'dy''L将上式分离变量.令v(x, y)二 v(x)v(y)得到v(x)二 x aK x (x,x')vdx..av(y)二 y .；K y (y,y')vdy ^K x (x,x') (X _x')2 ~2L-K y (y,y')(y _y ')2~2L~ike322程序实现源程序：clear,clc global steps L k a lamda=input('波长lamda='＞。
2-4方形镜光场分布精品PPT课件
L a ,
R1 R2 L 2 f
a2 ( L )2
L a
设方镜每边长为2a，共焦腔的腔长为L，光波波长为λ，并
把x，y坐标的原点选在镜面中心,而以(x，y)来表示镜面上的
任意点
以方型镜面的对称共焦腔为例,求解(3-7)式方程
u mn mn (x, y) K (x, y, x' , y' )umm (x' , y' )ds'
一般的稳定球面腔指曲率半径不同的球面镜、腔长按任 意间距构成但腔的g 参数满足稳定条件 0<g1 g2 <1的谐振腔.
一般的稳定球面腔指的模式理论可以根据光腔的衍射积 分方程严格建立起来,但更为简明的研究方法是以共焦腔模式 理论为基础的等价共焦腔法.
思路： 共焦腔
等价的稳定球面腔
共焦腔的模式理论
等价的稳定球面腔的模式理论
3、腔外的场分布 考虑到镜的适当透过率后，umn(x, y, z )也适用于腔外的场。
2.8 节 自学 （对照2.7节）
与方形镜比较 • 1.本征函数形式的不同（拉盖尔-高斯近似） • 2. 不同模式的区分 （m-角度（暗环数），
n-径向（径向节线数）） • 3. 各阶模的光斑半径计算公式
2.8 稳定球面腔的光束传播特性
2.镜面上场位相分布:共焦腔反射镜面本身构成光场的一个等相 位面。
①由自在现模umn(x, y) 的辐角决定。
umn
(x,
y)
Cmn
H
m
2 (
0s
2
x)
H
n
(
0
s
x2 L
y
2
y)e
由于 umn (x,为y实) 函数,说明镜面上各点的光场相位相同,共焦
激光原理例题
例1 由凸面镜和凹面镜组成的球面腔，如果凸面镜曲率半径为2米，凹面镜曲率半径为3米，腔长L 为1米，腔内介质折射率为1，此球面镜腔是何种腔（稳定腔、临界腔、非稳腔）？。
当腔内插入一块长为0.5米，折射率2η=的其它透明介质时（介质两端面垂直于腔轴线），此时谐振腔为何种腔（稳定腔、非稳腔、临界腔）？解：设凸面镜与凹面镜曲率半径分别为R 1和R 2，当腔内未插入其它透明介质时12111111123L L R R −−=−−= − 即121g g =，该腔为临界腔。
当腔内插入其它介质时，设该介质的长度为l ，该介质左右两边剩余的腔内长度分别为1l 和2l ，则12l l l L ++=。
设此时的等效腔长为'L ，则212111'11011010101001010101l l l L l l l ηηη ++ == ()120.5m 3'0.5m m 24l l L l l L l ηη=++=−+=+= 1212''343433*********L L g g R R =−−=−−=> − 此时腔为非稳腔。
例2 如图所示谐振腔：(1) 画出其等效透镜序列。
如果光线从薄透镜右侧开始，反时针传播，标出光线的一个往返传输周期；(2) 求当/d F （F 是透镜焦距）满足什么条件时， 谐振腔为稳定腔；(3) 指出光腰位置（不用计算）。
解：(1) 该谐振腔的等效透镜序列如图2.5所示。
图2.5(2) 列出光在该谐振腔中传输一个周期的变换矩阵1013131/1011/3/1A B d d T C D F F d F === −−−+由稳定性条件可得3113111222d A D d F F−++<==−< 由上式可得谐振腔稳定时，应满足 403d F << (3) 此腔可等效为对称球面镜腔，其光腰应位于该等效腔的中心，因此光腰位置在上方平面镜表面处。
激光物理第2.3.2章共焦腔理论
♦ 由于两个方程的形式相同，故只需求解其中
一个就可以。当c值为有限大小时，该方程本 征函数的精确解析解为：
l l
角向长椭球函数；
本征值的精确解析解为
σ m,l = 4 Ne
π −i kL − ( m + l +1) 2
( ( R01) (c,1)R01) (c,1) m l
x2 + y2
ω0 s
(2.3.26)
TEM00
TEM10
TEM20
TEM30
高阶模的光斑半径须分别沿不同坐标来计 算，通常定义沿x、y方向的光斑半径分别为：
ωms = 2m + 1ω0 s ωls = 2l + 1ω0 s
可见，阶次越高，光斑半径♦ 由于uml(x,y)为实函数，说明镜面各点的光场
(2.3.22)
径向长椭球函数
♦ 这些椭球函数都为实函数。当c>>1时．上述
本征函数与本征值的精确解都可用近似解析 解表示，其中本征函数的解在用x、y代回X、 Y后为：
2π 2π um ,l ( x , y ) = Cm ,l H m x H l y e Lλ Lλ
♦ 式中Cml为与模式有关的常数， ♦ ω0/ω(z) 称为衰减因子，它反映出随着行波场
x2 + y2
的传播，场振幅的大小衰减的规律。 ♦ ω(z)是z坐标处的基模光斑半径．引入 ζ=2z/L=z/z0，计算公式为
ω (z ) =
z ω0 s Lλ z 2 1+ ζ = 1 + 2 = ω0 1 + z 2π z0 2 0
2.3.2 方形共焦腔中自在 现模式的近似解
第二章 腔模理论
Cmn H m
2 x Hn L
2 y e L
x2 y2 L
H0 X 1
H1 X 2 X
H2 X 4 X 2 2
m阶厄米多项式的零点: 因Hm(X)=0有m个根，故 m 阶厄米多项式有m个零点。厄米多项式的零点决定 了场图的零点，高斯函数决定了场分布的外形轮廓
(x , y)
X2 2
Y2 2
厄米多项式和高斯函数的乘积 换回x, y可得本征函数为：
§2.5 方形镜共焦腔的自在现模
x2 y2 c c 2c 2 H n e a vmn x, y C mn H m x y a a
常系数
x2 y2
2
z
0 8 2 E20 x , y , z A20 E0 x 2 e 2 z z
x2 y2
2
z
§2.6 方形镜共焦腔的行波场
2、光斑尺寸 (1)基模:振幅下降为最大值1/e时的光斑半径
z 0
0 0
2
2r 2
s2
P1 d Ce
0 0
2
s
2r 2
1 rdr C s 2 2
P1 P0 86.466%
s 2
1 rdr C s 2 1 1 e 2 2
§2.5 方形镜共焦腔的自在现模 二 本征值—径向长椭球函数
mn
1
a2 a 2k c 2 L L
§2.6 方形镜共焦腔的行波场
E0，Amn, ω0 均为常数
ω 0 : 基模高斯光束腰斑半径
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3、单程衍射损耗率
(1)同一横模,菲涅耳数F越大,损耗率越小
(2)菲涅耳数F相同时,模的阶次越高,损耗率越大
1
TEM1
0.1
0.01
TEM0 F
0 1 10 100
4、谐振频率
(横模参数的影响可忽略)
§2 圆形镜平行平面腔
一、积分方程的简化形式 1、变量未分离
(r,) (r,)
L
z
2、变量分离方法 umn(r,)=Rmn(r)e-im 二、自再现模特征 同方形镜
u(x)
F为偶数 x
0
(2)相对振幅对场点坐标 x的变化呈偶对称
(3)振幅曲线有起伏,菲涅耳数F越大,起伏越多(从 镜面中心到边缘,F数的奇偶性交替变化) (4)菲涅耳数F为偶数时,镜面中心振幅为极小值,反 之为极大值(镜面中心的F为偶数时,光场互相抵消)
2、场相位分布
(1)镜面中心处近似为等相位面,F越大近似性越好 (2)边缘处相位比中心处滞后 (3)相位分布曲线有起伏,F越大起伏越多
+1 0
-a<x<a 其它
1 x
a 0 -a
(2)一阶模TEM1 u1(x)=
三、自再现模特征
1、场振幅分布
(1)从镜面中心到边缘,振 幅逐渐减小,腔菲涅耳数 F越大,边缘处相对振幅 越小(F大,镜面尺寸大,光 场分布的均匀性差)
+1 0<x<a
-1 -a<x<0 0 其它
1 x
a 0 -a -1
F为奇数
2、变量分离
mn=mn umn(x,y)=um(x)un(y)
二、求解方法——迭代法
1、步骤
(1)选取初始场u1(x) (2)计算u2(x), 并进行归一化,即令|u2(x)|max=1 (3)依次计算u3(x)、u4(x)…,直至达到稳态分布
2、初始场分布函数的选取
(1)基模TEM0
u0(x)=