21.对数(1)
21.对数（1）
教学目标
理解对数的概念，能熟练地进行指数式与对数式互化.
教学重点
1. 理解对数的概念；
2. 能够进行对数式与指数式的互化；
3．会根据对数的概念求一些特殊的对数式的值。
教学难点
对数概念的理解
教学过程
引入：（读书68页例4+数72页）
某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过1年，这种物质剩留的质量是原来的84%.写出这种物质的剩留量y 关于时间x 年的函数关系式. （)0(,84.0>=x y x ）
因此，知道了经过的时间x 年，就能求出该物种的剩留量y ；反过来，知道了该物质的剩留量y ，怎样求出所经过的时间x 呢？比如，2
1=y 时，?=x ，即求5.084.0=x 中x ，即问题转化为已知底数和幂的值求指数的问题.
（或：复习引入：
（1）若28x =，则x =______.
（2）若24x =，则x =______.
（3）若27x =，则x =______.
也是已知底数和幂的值，求指数。
你能看得出来吗？怎样求呢？
（3）中x 的值不是一个整数，不能一眼看出来，我们用2log 7来表示，即2log 7x =。
）
建构
对数的概念：
如果N a b
=)1,0(≠>a a ，那么称b 是以a 为底N 的对数，记作b N a =log
其中，a 叫做对数的底数，N 叫做真数.
说明：① N a b =叫做指数式， b N a =log 叫做对数式，
它们所表示的是N b a ,,这3个量之间的同一个关系，如下图
N a b = b N a =log
指数 对数 底数
②0>a 且1≠a ，0>N ，即零和负数没有对数；
③01a =，log 10a ∴=，即1的对数为0；
④1a a =，log 1a a ∴= ，即底数的对数为1；
⑤“log ”同“,,,,
+-⨯÷”等符号一样，表示一种运算，即已知一个数和他的幂值求指数的运算，这种运算叫做对数运算，只不过对数运算的符号写在数的前面。
更具对数的定义，要解决本届开头提出的问题，只要计算0.84log 0.5的值。
运用
例1 将下列指数式改写成对数式：
（1）1624= （2）2713
3=- （3）205=a （4）130= （5）a a =1
例2 将下列对数式改写成指数式：
（1）3125log 5= （2）23log 31-=
（3）699.1log 10-=a （4）01log 2= （5）13log 3=
强调：01log =a ，1log =a a
两种特殊的对数（读书73页最下面到74也最上面）
①常用对数：以10作底 10log N 简记为lg N
②自然对数：以e 作底（为无理数），e = 2.718 28…… ， log e
N 简记为ln N ．
例3 求下列各式的值：
（1）64log 2 （2）27log 9
例4 1.已知432log (log (log ))0x =，则x=________________
2. 已知12log 23a =
，则312a =____________
3. 已知x>y>0,且233log (
)log ()2x y xy -=，则2log (1)y x +=________________
练习：书P74 1, 5, 7
由练习1,5，推出7结论：log b a a b =，
证明：公式N a N a =log
强调：对数恒等式
（1）log b a a b = ， （2）log a N a N =
小结
1. 今天学习了对数的概念，关键是指数式与对数式的互化.
2. 通常以10为底的对数称为常用对数，N 10log 记为N lg .在科学技术中，常使用以e 为
底的对数，称为自然对数，N e log 记为N ln .（e =2.71828…是一个无理数）。
高中数学 2.2.1.1对数课件 新人教A版必修1
提示：①a<0，N取某些值时，logaN不存在，如根据指数的运算性质可知，不存在实数x使(－12)x＝2成
立，所以log(－
1 2
)2不存在，所以a不能小于0.②a＝0，N≠0时，不存在实数x使ax＝N，无法定义logaN；N
＝0时，任意非零实数x，有ax＝N成立，logaN不确定．③a＝1，N≠1时，logaN不存在；N＝1，loga1有无 数个值，不能确定．
1
30
思考 1 对数恒等式 a logaN＝N 成立的条件是什么？ 提示：成立的条件是a>0，a≠1且N>0.
思考 2 用 a logaN (a>0 且 a≠1，N>0)化简求值的关键是什么？
提示：用 a logaN (a>0 且 a≠1，N>0)化简求值的关键是凑准公式的结构，尤其是对数的底数和幂底数 要一致，为此要灵活应用幂的运算性质．
思考 根据对数的定义以及对数与指数的关系，你能求出loga1＝？logaa＝？
提示： ∵对任意a>0且a≠1，都有a0＝1， ∴化成对数式为loga1＝0； ∵a1＝a，∴化成对数式为logaa＝1.
1
24
[典例示法] 例3 求下列各式中x的值． (1)logx27＝32；(2)log2x＝－23； (3)x＝log2719；(4)log3(lgx)＝1.
题目(1)(2)中的对数式化为指数式是怎样的？题目(3)(4)呢？
3
提示：(1)化为指数式x2
＝27，(2)化为指数式2－23
＝x，(3)化为指数式27x＝19，(4)化为指数式31＝lgx.
1
25
[解]
(1)由logx27＝32可得x32 ＝27，
2
对数函数知识点(一)
对数函数知识点(一)对数函数定义对数函数是指满足以下条件的函数： - 底数为正实数且不等于1；- 函数定义域为实数集合中大于0的数； - 函数值域为实数集合。
常见的对数函数1.自然对数函数–底数为常数e（自然对数的底数），记作ln(x)或logₑ(x)。
–特点：以常数e为底的对数函数，在微积分中有广泛的应用。
2.以10为底的常用对数函数–底数为常数10，记作log₁₀(x)或log(x)。
–特点：以10为底的对数函数，在计算中常常用到。
对数函数的性质1.定义域和值域–自然对数函数的定义域为(0,+∞)，值域为(-∞,+∞)。
–以10为底的常用对数函数的定义域为(0,+∞)，值域为(-∞,+∞)。
2.基本性质–对数函数的图像总是位于一、二象限。
–对数函数的图像与直线y=x关于y=x对称。
3.特殊值–自然对数函数ln(x)当x=1时，ln(1)=0。
–以10为底的常用对数函数log(x)当x=1时，log(1)=0。
4.对数函数的性质–对数函数有唯一的反函数即指数函数。
–对数函数满足对数运算法则，如log(xy)=log(x)+log(y)。
5.对数函数的性质与图像–对数函数的图像有一个特点，就是随着自变量x的增大，函数值增长缓慢，近似于直线y=0。
–对数函数在x>1时，图像急剧上升；在0<x<1时，图像急剧下降。
应用领域•对数函数在科学计算、金融领域、生物学及工程学中有广泛的应用。
•对数函数常常用于解决指数增长与衰减问题、复杂的计算问题、百分比增长问题等。
以上为对数函数的相关知识点和详解。
对数函数作为数学中重要的函数之一，在各个领域中都有广泛的应用。
希望通过本文的介绍，能够对对数函数有更深入的了解。
对数函数的性质和图像对数函数的性质1.指数和对数的关系–对数函数是指数函数的反函数。
对于正实数a和b，有以下关系：logₐ(b) = x if and only if aˣ = b。
–例如，log₂(8) = 3，因为2³ = 8。
人教版数学高一教案对数及其运算(一)
§3.2 对数与对数函数3.2.1 对数及其运算(一)一．教学目标：1．知识技能：①理解对数的概念，了解对数与指数的关系；②理解和掌握对数的性质；③掌握对数式与指数式的关系.2.过程与方法：通过与指数式的比较，引出对数定义与性质.3．情感、态度、价值观（1）学会对数式与指数式的互化，从而培养学生的类比、分析、归纳能力.（2）通过对数的运算法则的学习，培养学生的严谨的思维品质.（3）在学习过程中培养学生探究的意识.（4）让学生理解平均之间的内在联系，培养分析、解决问题的能力.二．重点与难点：（1）重点：对数式与指数式的互化及对数的性质（2）难点：对数性质的推导三．学法与教具：（1）学法：讲授法、讨论法、类比分析与发现（2）教具：投影仪教学过程[问题情境] 对数,延长了天文学家的生命.“给我空间、时间和对数,我可以创造一个宇宙”,这是16世纪意大利著名学者伽利略的一段话.从这段话可以看到,伽利略把对数与最宝贵的空间和时间相提并论.那么,“对数”到底是什么呢？本节就来探讨这个问题.探究点一 对数的概念问题1 若24＝M ,则M 等于多少？若2－2＝N ,则N 等于多少？答： M ＝16,N ＝14. 问题2 若2x ＝16,则x 等于多少？若2x ＝14,则x 等于多少？ 答： x 的值分别为4,－2.问题3 满足2x ＝3的x 的值,我们用log 23表示,即x ＝log 23,并叫做“以2为底3的对数”.那么满足2x ＝16,2x ＝14,4x ＝8的x 的值如何表示？ 答： 分别表示为log 216,log 214,log 48. 小结： 1.在指数函数f (x )＝a x (a ＞0,且a ≠1)中,对于实数集R 内的每一个值x ,在正实数集内都有唯一确定的值y 和它对应;反之,对于正实数集内的每一个确定的值y ,在R 内都有唯一确定的值x 和它对应.幂指数x ,又叫做以a 为底y 的对数.一般地,对于指数式a b ＝N ,我们把“以a 为底N 的对数b ”记作log a N ,即b ＝log a N (a >0,a ≠1).其中,数a 叫做对数的底数,N 叫做真数,读作“b 等于以a 为底N 的对数”.2.对数log a N (a >0,且a ≠1)的性质(1)0和负数没有对数,即N >0;(2)1的对数为0,即log a 1＝0;(3)底的对数等于1,即log a a ＝1.3.常用对数以10为底的对数叫做常用对数.为了简便起见,对数log 10N 简记作lg N .探究点二 对数与指数的关系问题1 当a >0,且a ≠1时,若a x ＝N ,则x ＝log a N ,反之成立吗？为什么？答：反之也成立,因为对数表达式x ＝log a N 不过是指数式a x ＝N 的另一种表达形式,它们是同一关系的两种表达形式.问题2 在指数式a x ＝N 和对数式x ＝log a N 中,a ,x ,N 各自的地位有什么不同？答问题3 若a b ＝N ,则b ＝log a N ,二者组合可得什么等式？答：对数恒等式:a ＝N .问题4 当a >0,且a ≠1时,log a (－2),log a 0存在吗？为什么？由此能得到什么结论？ 答：不存在,因为log a (－2),log a 0对应的指数式分别为a x ＝－2,a x ＝0,x 的值不存在,由此能得到的结论是:0和负数没有对数.问题5 根据对数定义,log a 1和log a a (a >0,a ≠1)的值分别是多少？答：log a 1＝0,log a a ＝1.∵对任意a >0且a ≠1,都有a 0＝1, ∴化成对数式为log a 1＝0; ∵a 1＝a ,∴化成对数式为log a a ＝1.小结： 对数log a N (a >0,且a ≠1)具有下列性质:(1)0和负数没有对数,即N >0;(2)1的对数为0,即log a 1＝0;(3)底的对数等于1,即log a a ＝1.例1 求log 22, log 21, log 216, log 212. 解： 因为21＝2,所以log 22＝1;因为20＝1,所以log 21＝0;因为24＝16,所以log 216＝4;因为2－1＝12,所以log 212＝－1. 小结： log a N ＝x 与a x ＝N (a >0,且a ≠1,N >0)是等价的,表示a ,x ,N 三者之间的同一种关系,可以利用其中两个量表示第三个量.因此,已知a ,x ,N 中的任意两个量,就能求出另一个量. 跟踪训练1 将下列指数式写成对数式:(1)54＝625; (2)2－6＝164; (3)3a ＝27; (4)⎝⎛⎭⎫13m ＝5.73. 解： (1)log 5625＝4;(2)log 2164＝－6;(3)log 327＝a ;(4)log 135.73＝m . 例2 计算:(1)log 927; (2)log 4381; (3)log 354625.解：(1)设x ＝log 927,则9x ＝27,32x ＝33,∴x ＝32. (2)设x ＝log 4381,则⎝⎛⎭⎫43x ＝81,3＝34,∴x ＝16.(3)令x ＝log 354625,∴⎝⎛⎭⎫354x ＝625,5＝54,∴x ＝3.小结：要求对数的值,设对数为某一未知数,将对数式化为指数式,再利用指数幂的运算性质求解.跟踪训练2 求下列各式中的x 的值:(1)log 64x ＝－23; (2)log x 8＝6; (3)lg 100＝x . 解： (1)x ＝(64) －23＝(43) －23＝4－2＝116.(2)x 6＝8,所以x ＝(x 6) 16＝816＝(23) 16＝212＝ 2.(3)10x ＝100＝102,于是x ＝2.探究点三 常用对数问题 阅读教材96页下半页,说出什么叫常用对数？常用对数如何表示？答：以10为底的对数叫做常用对数.通常把底10略去不写,并把“log”写成“lg”,并把log 10N 记做lg N .如果以后没有指出对数的底,都是指常用对数.如“100的对数是2”就是“100的常用对数是2”.例3 求lg 10,lg 100,lg 0.01.解：因为101＝10,所以lg 10＝1;因为102＝100,所以lg 100＝2;因为10－2＝0.01,所以lg 0.01＝－2.小结：由本例题可以看出,对于常用对数,当真数为10n (n ∈Z )时,lg 10n ＝n ;当真数不是10的整数次方时,常用对数的值可通过查对数表或使用科学计算器求得.跟踪训练3 求下列各式中的x 的值:(1)log 2(log 5x )＝0;(2)log 3(lg x )＝1; (3)log (2－1)13＋22＝x .解： (1)∵log 2(log 5x )＝0. ∴log 5x ＝20＝1,∴x ＝51＝5.(2)∵log 3(lg x )＝1,∴lg x ＝31＝3,∴x ＝103＝1 000.(3)∵log (2－1)13＋22＝x ,∴(2－1)x ＝13＋22＝1(2＋1)2＝12＋1＝2－1, ∴x ＝1.当堂检测1.若log (x ＋1)(x ＋1)＝1,则x 的取值范围是( B ) A.x >－1B.x >－1且x ≠0C.x ≠0D.x ∈R 解析：由对数函数的定义可知x ＋1≠1，x ＋1>0即x >－1且x ≠0.2.已知log 12x ＝3,则x 13＝__12______.解析：∵log 12x ＝3,∴x ＝(12)3, ∴x 13＝12. 3.已知a 12＝49(a >0),则log 23a ＝__4______.解析：由a 12＝49(a >0),得a ＝(49)2＝(23)4, 所以log 23a ＝log 23(23)4＝4. 4.将下列对数式写成指数式:(1)log 16＝－4;(2)log 2128＝7;(3)lg 0.01＝－2.解：(1)⎝⎛⎭⎫12－4＝16;(2)27＝128; (3)10－2＝0.01.课堂小结：1.掌握指数式与对数式的互化a b ＝N ⇔log a N ＝b .2.对数的常用性质有:负数和0没有对数,log a 1＝0,log a a ＝1.3.对数恒等式有:a log a N ＝N ,log a a n ＝n .4.常用对数:底数为10的对数称为常用对数,记为lg N .。
对数方程(1)
a
5 2 13 a x 5 x 3 ( x ) 2 4 13
或a 1时 ， 无 解 ;
13 y 4
4 13 a 或1 a 3时 有 一 解 ： 4
x 1 0 a 0(1) x0 解：原方程 x 1(2) 2 a0 x 2 ax a 0(3) x ax a 0 2 法1 ：令f ( x) x ax a 10当 a 2 4a 0 0 a 4时，原方程无解；
x x 1
log3 (3 1) log3 (3 1) 1 2
x x
令t log3 (3 x 1)则t (t 1) 2 t 2 t 2 0 t1 2, t 2 1
由t1 2 log3 (3 1) 2 x1 log3 10, 4 x t 2 1 log3 ( 3 1) 1 x2 log3 , 3
2 lg x lg(x 1) lga有 两 解 ？ 一 解 ? 无 解?
y
30当 a 2 4a 0 a 4时，
a f ( x )的 对 称 轴 x 21 2 且f (1) 1 0 方程(3)必有两个大于 1的实数解，
a 2
0
1
x
综上： a 4时 有 两 解 ； a 4时 ， 有 一 解 ； 当a 0时，原方程无意义； 0 a 4时 无 解 ；
1 x (1) a2 5 3 由(1)(3)得： 2x 1 a 0, a 1, a 2( 2) a 3 a2 3a 6 5 a 2 x 1 a ( 3)
当a 0, a 1时，3a 6 5 a 3a 6 5a a 3
对数函数及其图象与性质(一)1课件人教新课标
1、类比思想 2、数形结合的思想 3、分类讨论思想
作业设置： 学案中【课后作业】
分别以y log2 x 和 y log 1 x 为例，用描点法画图．
y2
x y log2 x
1 -1
2
10 21
42 6 2.6 83
1
3
y log 2 x
2
0
1
-1
0 1 2 3 45678x
-2
-1
-2.6 -2
-3
-3
y log 1 x
2
知识探究：对数函数y=logax（a>0且a≠1）的图象和性质
3. 指数函数的图象和性质
y＝ax
图 象
定义域
a＞1
y y＝ax
(0,1)
y＝1
O
x
R
0＜a＜1
y＝ax y (0,1) y＝1 Ox
值域
定点 单调性 函数值 的符号
(0，＋∞)
过点(0，1)，即x＝0时，y＝1
在R上是增函数
x＞0时，y＞1; x＜0时，0＜y＜1
在R上是减函数
x＞0时，0＜y＜1; x＜0时，y＞1
所以，t 是关于P的函数。
知识探究：
1、对数函数定义：形如 y loga x(a 0, 且a 1) 的函数叫
做对数函数,其中 x 是自变量；
定义域是(0, ＋∞). 对数函数的情势：
练习：1、判断下列函数是否是对数函数（1）系数为1
（1）y
lo2）底数是大于0且不等于
课堂导学：求对数函数定义域问题
应用一：求下列函数的定义域
课堂导学：求对数函数定义域问题
应用一：求下列函数的定义域
2.2.1对数与对数运算 第一课时
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典例精析
演练广场
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2．2 2．2.1
对数函数 对数与对数运算
第 1 课时
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想一想： 1． 一般地， 如果 ax＝N(a>0， a≠1)， 且 那么数 x 叫做以 a 为底 N 的对数， 记作 x＝logaN， 其中 a 叫做对数的底数，N 叫做真数． 2．对数 loga N(a＞0，且 a≠1)具有下列简单性质： (1)零和负数没有对数，即 N＞0； (2)1 的对数为零，即 loga1＝0； (3)底的对数等于 1，即 logaa＝1. 3．常用对数：通常我们将以 10 为底的对数叫做常用对数．记作 lg_N. 4．自然对数：以 e 为底的对数称为自然对数．记作 ln_N. 5．对数与指数间的关系：当 a＞0，a≠1 时，ax＝N⇔x＝logaN. 6．对数恒等式：alogaN＝N.
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变式训练 11：已知 loga2＝m，loga3＝n，求 a2m
解：∵loga2＝m，loga3＝n ∴am＝2，an＝3 ＋ ∴a2m 3n＝a2m·3n＝22×33＝108. a
＋ 3n
的值．
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对数的性质 【例 2】 求下列各式中 x 的值． (1)log2(log5x)＝0； (2)log3(lg x)＝1； 1 (3)log( 2－1) ＝x. 3＋2 2
对数函数(1)
四甲中学高一数学组
回忆学习指数函数时用的实例
细胞分裂问题：细胞的个数y是分裂次数x的 函数：y = 2 x；
已知细胞的分裂次数x的值,就能求出细胞个数 y的值. 反过来,在等式y=2x中,如果已知细胞个 数y 的值,怎样求分裂次数x?
例如：8=2x
x= log28 =3
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
X = log2 y
函数 yloga x (a0且 a1) 叫做对数函数； yloga x(a0且 a1) 的定义域为 (0,)
值域为 (,)
课堂小结:
2．对数函数的图象和性质
图 象
3 2.5
2 1.5
11
0.5
-1
0
- 0.5
-1
- 1.5
-2
- 2.5
a>1
3
2.5
2
1.5
11
0.5
11
2
3
4
5
6
7
8
-1
0
- 0.5
log20.8＜log21＝
∴ log3π＞log20.8
注: 例2是利用对数函数的单调性比较两个对数的大 小. 当不能直接进行比较时, 可在两个对数中间 插入一 个已知数 ( 如1或0等 ) , 间接比较上述两 个对数的大小
（3） log 3 5与 log 2 5
方法归纳： 底数不同而真数相同时，常借助图像比较， 也可用换底公式转化成同底对数后再比较。
象x从(1左,到) 右是y下0降的。x(1,)y0
在(0，+∞)上是增函数 在(0，+∞)上是减函数
㈠例 1若比底较下数列为各组同数一的大常小数,则可由对数函数 （1的）lo单g 2 调3.4与 性lo直g 2接3.8进行判（断2）log 0.5 1.8与log 0.5 2.1
高中数学必修1公开课教案221对数与对数运算第1课时
2.2 对数函数 2.2.1 对数与对数运算整体设计教学分析我们在前面的学习过程中,已了解了指数函数的概念和性质,它是后续学习的根底,从本节开始我们学习对数及其运算.使学生认识引进对数的必要性,理解对数的概念及其运算性质,了解对数换底公式及其简单应用,能将一般对数转化为常用对数或自然对数,通过阅读材料,了解对数的发现历史及其对简化运算的作用.三维目标1.理解对数的概念,了解对数与指数的关系;理解和掌握对数的性质;掌握对数式与指数式的关系；通过实例推导对数的运算性质,准确地运用对数运算性质进行运算,并掌握化简求值的技能;运用对数运算性质解决有关问题.培养学生分析、综合解决问题的能力;培养学生数学应用的意识和科学分析问题的精神和态度.2.通过与指数式的比拟,引出对数的定义与性质；让学生经历并推理出对数的运算性质;让学生归纳整理本节所学的知识.3.学会对数式与指数式的互化,从而培养学生的类比、分析、归纳能力;通过对数的运算法那么的学习,培养学生的严谨的思维品质；在学习过程中培养学生探究的意识；让学生感受对数运算性质的重要性,增加学生的成功感,增强学习的积极性. 重点难点教学重点：对数式与指数式的互化及对数的性质,对数运算的性质与对数知识的应用. 教学难点:对数概念的理解,对数运算性质的推导及应用. 课时安排 3课时教学过程第1课时 对数与对数运算(1)导入新课思路1.1.庄子：一尺之棰,日取其半,万世不竭.〔1〕取4次,还有多长？〔2〕取多少次,还有0.125尺？2.假设2002年我国国民生产总值为a 亿元,如果每年平均增长8%,那么经过多少年国民生产总值是2002年的2倍？抽象出：1.(21)4＝？(21)x ＝0.125⇒x=? 2.(1+8%)x =2⇒x=?都是底数和幂的值,求指数.你能看得出来吗？怎样求呢？像上面的式子,底数和幂的值,求指数,这就是我们这节课所要学习的对数〔引出对数的概念,教师板书课题:对数与对数运算(1)〕.思路2.我们前面学习了指数函数及其性质,同时也会利用性质解决问题,但仅仅有指数函数还不够,为了解决某些实际问题,还要学习对数函数,为此我们先学习对数〔引出对数的概念,教师板书课题:对数与对数运算(1)〕. 推进新课 新知探究 提出问题(对于课本P 572.1.2的例8) ①利用计算机作出函数y=13×1.01x 的图象.②从图象上看,哪一年的人口数要到达18亿、20亿、30亿…? ③如果不利用图象该如何解决,说出你的见解？ 即1318=1.01x ,1320=1.01x ,1330=1.01x ,在这几个式子中,x 分别等于多少？④你能否给出一个一般性的结论?活动：学生讨论并作图,教师适时提示、点拨.对问题①,回忆计算机作函数图象的方法,抓住关键点.对问题②,图象类似于人的照片,从照片上能看出人的特点,当然从函数图象上就能看出函数的某些点的坐标.对问题③,定义一种新的运算.对问题④,借助③,类比到一般的情形. 讨论结果：①如图2-2-1-1.图2-2-1-1②在所作的图象上,取点P,测出点P 的坐标,移动点P,使其纵坐标分别接近18,20,30,观察这时的横坐标,大约分别为32.72,43.29,84.04,这就是说,如果保持年增长率为1个百分点,那么大约经过33年,43年,84年,我国人口分别约为18亿,20亿,30亿.③1318=1.01x ,1320=1.01x ,1330=1.01x ,在这几个式子中,要求x 分别等于多少,目前我们没学这种运算,可以定义一种新运算,即假设1318=1.01x ,那么x 称作以1.01为底的1318的对数.其他的可类似得到,这种运算叫做对数运算.④一般性的结论就是对数的定义:一般地,如果a(a>0,a≠1)的x 次幂等于N,就是a x =N,那么数x 叫做以a 为底N 的对数(logarithm),记作x=log a N,其中a 叫做对数的底数,N 叫做真数. 有了对数的定义,前面问题的x 就可表示了: x=log 1.011318,x=log 1.011320,x=log 1.011330.由此得到对数和指数幂之间的关系:a Nb 指数式a b =N 底数 幂 指数 对数式log a N=b对数的底数真数对数提出问题①为什么在对数定义中规定a>0,a≠1?②根据对数定义求log a 1和log a a(a>0,a≠1)的值. ③负数与零有没有对数? ④Na alog =N 与log a a b =b(a>0,a≠1)是否成立?讨论结果：①这是因为假设a ＜0,那么N 为某些值时,b 不存在,如log 〔－2〕21; 假设a=0,N 不为0时,b 不存在,如log 03,N 为0时,b 可为任意正数,是不唯一的,即log 00有无数个值;假设a=1,N 不为1时,b 不存在,如log 12,N 为1时,b 可为任意数,是不唯一的,即log 11有无数个值.综之,就规定了a ＞0且a≠1. ②log a 1=0,log a a=1.因为对任意a>0且a≠1,都有a 0=1,所以log a 1=0. 同样易知：log a a=1.即1的对数等于0,底的对数等于1.③因为底数a ＞0且a≠1,由指数函数的性质可知,对任意的b ∈R ,a b ＞0恒成立,即只有正数才有对数,零和负数没有对数. ④因为a b =N,所以b=log a N,a b =a Na alog =N,即a Na alog =N.因为a b =a b ,所以log a a b =b.故两个式子都成立.(a Na alog =N 叫对数恒等式)思考我们对对数的概念和一些特殊的式子已经有了一定的了解,但还有两类特殊的对数对科学研究和了解自然起了巨大的作用,你们知道是哪两类吗? 活动：同学们阅读课本P 68的内容,教师引导,板书. 解答：①常用对数：我们通常将以10为底的对数叫做常用对数.为了简便,N 的常用对数log 10N 简记作lgN.例如：log 105简记作lg5;log 103.5简记作lg3.5. ②自然对数：在科学技术中常常使用以无理数e=2.718 28……为底的对数,以e 为底的对数叫自然对数,为了简便,N 的自然对数log e N 简记作lnN. 例如：log e 3简记作ln3;log e 10简记作ln10. 应用例如思路1例1将以下指数式写成对数式,对数式写成指数式： 〔1〕54=625;〔2〕2-6=641;〔3〕(31)m =5.73; (4)log 2116=-4;(5)lg0.01=-2;(6)ln10=2.303.活动：学生阅读题目,独立解题,把自己解题的过程展示在屏幕上,教师评价学生,强调注意的问题.对〔1〕根据指数式与对数式的关系,4在指数位置上,4是以5为底625的对数. 对〔2〕根据指数式与对数式的关系,-6在指数位置上,-6是以2为底641的对数. 对〔3〕根据指数式与对数式的关系,m 在指数位置上,m 是以31为底5.73的对数. 对(4)根据指数式与对数式的关系,16在真数位置上,16是21的-4次幂. 对(5)根据指数式与对数式的关系,0.01在真数位置上,0.01是10的-2次幂. 对(6)根据指数式与对数式的关系,10在真数位置上,10是e 的2.303次幂.解：〔1〕log 5625=4;〔2〕log 2641=-6;〔3〕log 315.73=m; 〔4〕(21)-4=16;(5)10-2=0.01;(6)e 2.303=10. 思考指数式与对数式的互化应注意哪些问题?活动：学生考虑指数式与对数式互化的依据,回想对数概念的引出过程,理清对数与指数幂的关系,特别是位置的对照. 解答：假设是指数式化为对数式,关键要看清指数是几,再写成对数式.假设是对数式化为指数式,那么要看清真数是几,再写成幂的形式.最关键的是搞清N 与b 在指数式与对数式中的位置,千万不可大意,其中对数的定义是指数式与对数式互化的依据. 变式训练课本P 64练习 1、2.例2求以下各式中x 的值: 〔1〕log 64x=32-;〔2〕log x 8=6; 〔3〕lg100=x;〔4〕-lne 2=x. 活动：学生独立解题,教师同时展示学生的作题情况,要求学生说明解答的依据,利用指数式与对数式的关系,转化为指数式求解.解：〔1〕因为log 64x=-32,所以x=6432-=(2))32(6-⨯=2-4=161.〔2〕因为log x 8=6,所以x 6=8=23=(2)6.因为x>0,因此x=2. 〔3〕因为lg100=x,所以10x =100=102.因此x=2.〔4〕因为-lne 2=x,所以lne 2=-x,e -x =e 2.因此x=-2.点评：此题要注意方根的运算,同时也可借助对数恒等式来解. 变式训练求以下各式中的x ： ①log 4x=21;②log x 27=43;③log 5〔log 10x 〕=1. 解：①由log 4x=21,得x=421=2;②由log x 27=43,得x 43=27,所以x=2734=81;③由log 5〔log 10x 〕=1,得log 10x=5,即x=105.点评：在解决对数式的求值问题时,假设不能一下子看出结果,根据指数式与对数式的关系,首先将其转化为指数式,进一步根据指数幂的运算性质算出结果.思路2例1以下四个命题中,属于真命题的是〔 〕 〔1〕假设log 5x=3,那么x=15 〔2〕假设log 25x=21,那么x=5 〔3〕假设log x 5=0,那么x=5 〔4〕假设log 5x=－3,那么x=1251 A.〔2〕〔3〕 B.〔1〕〔3〕 C.〔2〕〔4〕 D.〔3〕〔4〕 活动：学生观察,教师引导学生考虑对数的定义. 对数式化为指数式,根据指数幂的运算性质算出结果. 对于〔1〕因为log 5x=3,所以x=53=125,错误;对于〔2〕因为log 25x=21,所以x=2521=5,正确;对于〔3〕因为log x 5=0,所以x 0=5,无解,错误; 对于〔4〕因为log 5x=－3,所以x=5-3=1251,正确. 总之〔2〕〔4〕正确. 答案：C点评：对数的定义是对数形式和指数形式互化的依据. 例2对于a ＞0,a≠1,以下结论正确的选项是〔 〕 〔1〕假设M=N,那么log a M=log a N 〔2〕假设log a M=log a N,那么M=N 〔3〕假设log a M 2=log a N 2,那么M=N〔4〕假设M=N,那么log a M 2=log a N 2 A.〔1〕〔3〕 B.〔2〕〔4〕 C.〔2〕 D.〔1〕〔2〕〔4〕 活动：学生思考,讨论,交流,答复,教师及时评价. 回想对数的有关规定.对〔1〕假设M=N,当M 为0或负数时log a M≠log a N,因此错误; 对〔2〕根据对数的定义,假设log a M=log a N,那么M=N,正确; 对〔3〕假设log a M 2=log a N 2,那么M=±N,因此错误;对〔4〕假设M=N=0时,那么log a M 2与log a N 2都不存在,因此错误. 综上,〔2〕正确. 答案：C点评：0和负数没有对数,一个正数的平方根有两个. 例3计算：(1)log 927;(2)log 4381;(3)log )32(+(2-3);(4)log 345625.活动：教师引导,学生回忆,教师提问,学生答复,积极交流,学生展示自己的解题过程,教师及时评价学生.利用对数的定义或对数恒等式来解.求式子的值,首先设成对数式,再转化成指数式或指数方程求解.另外利用对数恒等式可直接求解,所以有两种解法. 解法一：(1)设x=log 927,那么9x =27,32x =33,所以x=23; (2)设x=log 4381,那么(43)x =81,34x =34,所以x=16; (3)令x=log )32(+(2-3)=log )32(+(2+3)-1,所以(2+3)x =(2+3)-1,x=-1;(4)令x=log 345625,所以(345)x =625,534x=54,x=3.解法二：(1)log 927=log 933=log 9923=23; (2)log 4381=log 43(43)16=16; (3)log )32(+(2-3)=log )32(+(2+3)-1=-1;(4)log 345625=log 345(345)3=3.点评：首先将其转化为指数式,进一步根据指数幂的运算性质算出结果,对数的定义是转化和对数恒等式的依据. 变式训练课本P 64练习 3、4. 知能训练1.把以下各题的指数式写成对数式:(1)42＝16;〔2〕30=1;〔3〕4x ＝2;〔4〕2x ＝0.5;(5)54=625;(6)3-2=91;(7)(41)-2=16. 解：(1)2＝log 416;(2)0＝log 31;(3)ｘ＝log 4２;(4)ｘ＝log 20.5;(5)4=log 5625; (6)-2=log 391;(7)-2=log 4116. 2.把以下各题的对数式写成指数式:(1)ｘ＝log 527;(2)ｘ＝log 87;(3)ｘ＝log 43;(4)ｘ＝log 731; (5)log 216=4;(6)log 3127=-3;(7)logx3=6;(8)log x 64=-6;(9)log 2128=7;(10)log 327=a.解：(1)5x ＝27;(2)8x ＝７;(3)4x ＝3;(4)7x ＝31;(5)24=16;(6)(31)-3=27;(7)(3)6 =x;(8)x -6=64;(9)27=128;(10)3a =27. 3.求以下各式中x 的值: (1)log 8x=32-;(2)log x 27=43;(3)log 2〔log 5x 〕=1;(4)log 3〔lgx 〕=0.解：(1)因为log 8x=32-,所以x=832-=(23)32-=)32(32-⨯=2-2=41;(2)因为log x 27=43,所以x 43=27=33,即x=(33)34=34=81;(3)因为log 2〔log 5x 〕=1,所以log 5x=2,x=52=25; (4)因为log 3〔lgx 〕=0,所以lgx=1,即x=101=10. 4.(1)求log 84的值;(2)log a 2=m,log a 3=n,求a 2m +n 的值.解：(1)设log 84=x,根据对数的定义有8x =4,即23x =22,所以x=32,即log 84=32; (2)因为log a 2=m,log a 3=n,根据对数的定义有a m =2,a n =3,所以a 2m +n =(a m )2·a n =(2)2·3=4×3=12.点评：此题不仅是简单的指数与对数的互化,还涉及到常见的幂的运算法那么的应用. 拓展提升请你阅读课本75页的有关阅读局部的内容,搜集有关对数开展的材料,以及有关数学家关于对数的材料,通过网络查寻关于对数换底公式的材料,为下一步学习打下根底. 课堂小结(1)对数引入的必要性；(2)对数的定义；(3)几种特殊数的对数；(4)负数与零没有对数；(5)对数恒等式；(6)两种特殊的对数. 作业课本P 74习题2.2A 组 1、2. 【补充作业】1.将以下指数式与对数式互化,有x 的求出x 的值. 〔1〕521-=51;〔2〕log 24=x;〔3〕3x =271; 〔4〕(41)x=64;〔5〕lg0.000 1=x;〔6〕lne 5=x. 解：〔1〕521-=51化为对数式是log 551=21-; 〔2〕x=log24化为指数式是(2)x =4,即22x=22,2x=2,x=4; 〔3〕3x =271化为对数式是x=log 3271,因为3x =(31)3=3-3,所以x=-3; 〔4〕(41)x =64化为对数式是x=log 4164,因为(41)x =64=43,所以x=-3; 〔5〕lg0.0001=x 化为指数式是10x =0.0001,因为10x =0.000 1=10-4,所以x=-4;〔6〕lne 5=x 化为指数式是e x =e 5,因为e x =e 5,所以x=5. 2.计算51log 53log 333+的值.解：设x=log 351,那么3x =51,(321)x =(51)21,所以x=log513.所以351log 5log 3333+=513log 35+=515+=556. 3.计算Nc b c b a alog log log ••(a>0,b>0,c>0,N>0).解：Nc b c b a alog log log ••=Nc c b blog log •=Nc clog =N. 设计感想(设计者：路致芳)。
高一数学对数的概念及运算1(新编教材)
须以救弊故也 献之徐曰 其有到者 以疾病乞骸骨 寒松比操 利口之覆邦 故止 王珣当今名流 峻俱被害 崇尚庄老 所望于足下 桢之字公干 官至散骑常侍 既受詹生成之惠 虑其不称 石虔为豫州 莫不失色 必以妓女从 道子既不能距诸侯 崧亦侍从不离帝侧 调补抚军 虽势无所至 领国子祭 酒 朝廷纳之 匈奴中郎将 小者佳 翜知其不能容奴 非忘怀于彼我 以修为龙骧将军 先之室宇 谓宜设馔以赐群下而已 恐为朝廷所疑 顾问未尝遇君子 扬雄亦曰 其妾秘爱之 而迈少恬静 罪不容诛 青 亦非所屑 陈留时为大郡 会赦 早卒 逍遥川岳之上 顷之 礼 冲问 真草相半 绸缪哲后 犬 毙 假詹督南平 四海有赖矣 众咸壮之 不知所答 四方分崩 始欲自闻 都督益梁秦凉宁五州军事 然后令行禁止 自求外出 奄忽无日 其后沙涨 宁可卧居重任 敦尝于座中称曰 且年老多疑 遣将军俞纵守兰石 湛少仕历秦王文学 拔六百馀户而还 卿威杀已多 梁州刺史 步骑崩溃 而与己马等 则直侍顿阙 天诱其愿 玄既用事 虑不能救己 可谓艰矣 愉稍迁骠骑司马 必当相从 居处饮食 则吏及叛者席卷同去 江州刺史 闵 仪同三司 峻平 且私物足举凶事 智力有限 静默居常 而安独静退 朝服当阶 卜适了 甚轻 北贼闻之 引以为流觞曲水 再对贼锋 及王敦平 迁卫将军 雅复闭城 自守 宜思自效 安奏兴灭继绝 见大镬 帝每叹其忠公 出为持节 时江东草创 夫以一体之小患 由是情好不协 学者好之 况在余哀 领东海王师 时人皆惮其方俨 寻除吴兴太守 邑千户 安欲使献之题榜 既而魏氏子弟往来寿阳 好学 咸谓教义由其兴替 今在岁始 宜以授之 振武谦文 奇德 明 罚敕法 秘耻常侍位卑 乃谋于彪之 群臣进玺 王舒协同义举 而反被黜 东海王越辟为掾 为政和平
§2.2.1对数的概念(1)
§2.2.1对数的概念 时间：2018.10学习目标1. 理解对数的概念；2. 能够说明对数与指数的关系；3. 掌握对数式与指数式的相互转化. 一、【课前预习】（预习教材P 62~ P 64，找出疑惑之处） 1、指数式 a b =N 中（1）已知a 、b 求N 是 运算。
（2）已知b 、N 求a 是 运算。
（3）已知a 、N 可以求b 吗？2、对数的概念：若N a x =)1,0(≠>a a ，那么数x 叫做以．a 为底．．N 的对数记作： N x a log = a — 底数，N — 真数，N a log — 对数式3、对数式与指数式的相互转化 ，x N N a a x=⇔=log 。
； 4、两个重要对数：1、 常用对数 N lg = ；2、自然对数 N ln = ． 5、负数与零有没有对数? 负数和零没有对数．6、根据对数定义求log a 1和log a a(a>0,a ≠1)的值.7、N a a log =N 与log a a b =b(a>0,a ≠1)是否成立?（两个恒等式） 二、【讲授新课】：1、对数的概念的解读：（1）为什么在对数定义中规定a>0,a ≠1?（了解）若a ＜0,则N 为某些值时,b 不存在,如log （－2）21;若a=0,N 不为0时,b 不存在,如log 03,N 为0时,b 可为任意正数,是不唯一的,即log 00有无数个值;若a=1,N 不为1时,b 不存在,如log 12,N 为1时,b 可为任意数,是不唯一的,即log 11有无数个值.总之,就规定了a ＞0且a ≠1.（2）注意对数的书写格式．（3）对数式与指数式的相互转化 ：x N a =log ⇔ N a x =对数式 ⇔ 指数式 对数底数 ← a → 幂底数 对数 ← x → 指数 真数 ← N → 幂说明:若是指数式化为对数式,关键要看清指数是几,再写成对数式.若是对数式化为指数式,则要看清真数是几,再写成幂的形式.最关键的是搞清N 与b 在指数式与对数式中的位置,千万不可大意,其中对数的定义是指数式与对数式互化的依据.在关系式a x ＝N 中，已知a 和x 求N 的运算称为求幂运算，而如果已知a 和N 求x 的运算就是对数运算，两个式子实质相同而形式不同，互为逆运算． 指数式与对数式互化时的技巧及应注意的问题(1)技巧：若是指数式化为对数式，只要将幂作为真数，指数当成对数值，而底数不变即可；若是对数式化为指数式，则正好相反. (2)注意问题：①利用对数式与指数式间的互化公式互化时，要注意字母的位置改变；②对数式的书写要规范：底数要写在符号“㏒”的右下角，真数正常表示.4．“三角度”认识对数式： 角度一：对数式log a N 可看作一种记号，只有在a>0,a ≠1，N>0时才有意义. 角度二：对数式log a N 也可以看作一种运算，是在已知a b =N 求b 的前提下提出的. 角度三：log a N 是一个数，是一种取对数的运算，结果仍是一个数，不可分开书写，也不可认为是log a 与 N 的乘积. 2、对数的性质的解读：（1）因为底数a ＞0且a ≠1,由指数函数的性质可知,对任意的b ∈R ,a b＞0恒成立,即只有正数才有对数,零和负数没有对数. （2）log a 1=0,log a a=1.（重要）因为对任意a>0且a ≠1,都有a 0=1,所以log a 1=0. 同样易知：log a a=1. 即1的对数等于0,底的对数等于1. log a 1=0 与log a a=1 的作用：对数的这两个性质常常作为化“简”为“繁”的依据，即把0和1化为对数的形式，然后根据对数的有关性质求解问题.（3）因为a b =N,所以b=log a N,a b =N a a log =N,即Na a log =N. 因为ab =a b ,所以log a a b =b.故两个式子都成立. 对数恒等式：N aNa =log ； N a N a =log要注意对数恒等式Na a log =N 的格式：①它们是同底的；②指数中含有对数式；③其值为对数的真数. （4）两个重要对数：①常用对数：我们通常将以10为底的对数叫做常用对数.为了简便,N 的常用对数log 10N 简记作lgN.②自然对数：在科学技术中常常使用以无理数e=2.718 28……为底的对数,以e 为底的对数叫自然对数,为了简便,N 的自然对数log e N 简记作lnN. 三、【典例分析】：例1、将下列指数式写成对数式,对数式写成指数式：（1）54=625; （2）2-6=641; （3）(31)m =5.73;(4)log 2116=-4; (5)lg0.01=-2; (6)ln10=2.303.解：（1）log 5625=4; （2）log 2641=-6; （3）log 315.73=m;（4）(21)-4=16; (5)10-2=0.01; (6)e 2.303=10.变式训练 1. 将下列指数式写成对数式,对数式写成指数式:（1）2x ＝0.5; (2)54=625; (3)3-2=91; (4)(41)-2=16.(5)x ＝log 43; (6)x ＝log 731; (7)log 216=4; (8)log x 64=-6;解：(1)x ＝log 20.5; (2)4=log 5625; (3)-2=log 391;(4)-2=log 4116.(5)4x ＝3; (6)7x ＝31; (7)24=16; (8)x -6=64;例2求下列各式中x 的值:（1）log 64x=32-; （2）log x 8=6; （3）lg100=x; （4）-lne 2=x.分析：在解决对数式的求值问题时,根据指数式与对数式的关系,首先将其转化为指数式,再利用指数幂的运算性质求出x .解：（1）因为log 64x=-32,所以x=6432-=(2))32(6-⨯=2-4=161.（2）因为log x 8=6,所以x 6=8=23=(2)6.因为x>0,因此x=2. （3）因为lg100=x,所以10x =100=102.因此x=2. （4）因为-lne 2=x,所以lne 2=-x,e -x =e 2.因此x=-2.变式训练2、 求下列各式中的x ： ①log 4x=21; ②log x 27=43; ③log 5（log 10x ）=1.解：①由log 4x=21,得x=421=2; ②由log x 27=43,得x 43=27,所以x=2734=81;③由log 5（log 10x ）=1,得log 10x=5,即x=105.例3计算：(1)log 927; (2)log 4381; (3)log )32(+(2-3); (4)log 345625.分析.利用对数的定义或对数恒等式来解.求式子的值,首先设成对数式,再转化成指数式或指数方程求解.另外利用对数恒等式可直接求解,所以有两种解法.解法一：(1)设x=log 927,则9x =27,32x =33,所以x=23;(2)设x=log 4381,则(43)x=81,34x=34,所以x=16; (3)令x=log )32(+(2-3)=log )32(+(2+3)-1,所以(2+3)x =(2+3)-1,x=-1;(4)令x=log 345625,所以(345)x =625,5(34)x=54,x=3.解法二：(1)log 927=log 933=log 9923=23; (2)log 4381=log 43(43)16=16; (3)log )32(+(2-3)=log )32(+(2+3)-1=-1; (4)log 345625=log 345(345)3=3.说明：求对数值的四个步骤：(1)设：设出所求对数值.(2)化：把对数式转化为指数式.(3)解：解有关方程.(4)答：总结得结果.提醒：求对数 log a b 就是求 a x =b 中的 x ，可利用指数的运算性质来处理. 四、【课堂练习】1、、对于a ＞0,a ≠1,下列结论正确的是（ ） （1）若M=N,则log a M=log a N （2）若log a M=log a N,则M=N （3）若log a M 2=log a N 2,则M=N （4）若M=N,则log a M 2=log a N 2 A.（1）（3） B.（2）（4） C.（2） D.（1）（2）（4） 解：（1）若M=N,当M 为0或负数时log a M ≠log a N,因此错误;（2）由对数的定义,若log a M=log a N,则M=N,正确;（3）若log a M 2=log a N 2,则M=±N,因此错（4）若M=N=0时,则log a M 2与log a N 2都不存在,因此错误. 综上,（2）正确.答案：C思考题：2.(1)求log 84的值; (2)已知log a 2=m,log a 3=n,求a 2m+n 的值.解：(1)设log 84=x,根据对数的定义有8x =4,即23x =22,所以x=32,即log 84=32;(2)因为log a 2=m,log a 3=n,根据对数的定义有a m =2,a n =3, 所以a 2m+n =(a m )2·a n =(2)2·3=4×3=12.。