【2019-2020】高考数学考点03简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词必刷题理
简单的逻辑联结词-全称量词与存在量词
可得a2-5a-3≥3, ∴a≥6或a≤-1. 命题q:不等式x2+ax+2<0有解，∴Δ=a2-8>0.
a 2 2或a 2 2.
从而命题q为假命题时， 2 2 a 2 2,
∴p真q假时，a的取值范围为 2 2 a 1.
练习: (1)x0 [1,1], x02 x0 1 a 0成立， 求a的取值范围.
(2)x [1,1], x02 x0 1 a 0成立，
求a的取值范围.
解 : (1)x0 [1,1], a x02 x0 1成立，
a ( x02 x0 1)max .
题型分类 深度剖析
题型一 用“或”、“且”、“非” 联结简单命题并判断其真假
【例1】写出由下列各组命题构成的“p∨q”、
“p∧q”、“ p”形式的复合命题，并判断真假.
（1）p:1是质数；q：1是方程x2+2x-3=0的根； （2）p:平行四边形的对角线相等；q：平行四边形的
对角线互相垂直； （3）p：0∈ ；q：{x|x2-3x-5<0} R； （4）p：5≤5；q：27不是质数.
x0 [1,1], x02 x0 a 3 (2)x [1,1],
1的 a x02
值域：[ 3 ,3] x0 14恒成
立
，
a ( x02 x0 1)min .
y由(1)知：a 3 4
例5：已知c 0，设P：函数y c x在R上单调 递减，Q : 不等式x x 2c 1的解集为R， 若P和Q有且只有一个正确，求c的取值范围
（C）
A. a∈R,f(x)在(0，+∞)上是增函数
简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词讲义
简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词讲义一、知识梳理1．简单的逻辑联结词(1)命题中的且、或、非叫做逻辑联结词．(2)命题p且q、p或q、非p的真假判断(1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”等在逻辑中通常叫做全称量词，用符号“∀”表示．(2)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”等在逻辑中通常叫做存在量词，用符号“∃”表示．3．全称命题、特称命题及含一个量词的命题的否定1．含有逻辑联结词的命题真假的判断规律(1)p∨q：p，q中有一个为真，则p∨q为真，即有真为真．(2)p∧q：p，q中有一个为假，则p∧q为假，即有假即假．(3)綈p：与p的真假相反，即一真一假，真假相反．2．含有一个量词的命题的否定的规律是“改量词，否结论”．3．命题的否定和否命题的区别：命题“若p，则q”的否定是“若p，则綈q”，否命题是“若綈p，则綈q”．二、基础检验题组一：思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)命题“3≥2”是真命题．()(2)命题p和綈p不可能都是真命题．()(3)若命题p，q中至少有一个是真命题，则p∨q是真命题．()(4)“全等三角形的面积相等”是特称命题．()(5)命题綈(p∧q)是假命题，则命题p，q中至少有一个是真命题．()题组二：教材改编2．已知p：2是偶数，q：2是质数，则命题綈p，綈q，p∨q，p∧q中真命题的个数为()A．1 B．2 C．3 D．43．命题“正方形都是矩形”的否定是____________________．题组三易错自纠4．已知命题p，q，“綈p为真”是“p∧q为假”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．下列命题中的假命题是()A．∃x0∈R，lg x0＝1 B．∃x0∈R，sin x0＝0C．∀x∈R，x3＞0 D．∀x∈R，2x＞06．已知命题p：∀x∈R，x2－a≥0；命题p：∃x0∈R，x20＋2ax0＋2－a＝0.若命题“p∧q”是真命题，则实数a的取值范围为__________．三、典型例题题型一：含有逻辑联结词的命题的真假判断1．设a，b，c是非零向量．已知命题p：若a·b＝0，b·c＝0，则a·c＝0；命题q：若a∥b，b∥c，则a∥c.则下列命题中的真命题是()A．p∨q B．p∧qC．(綈p)∧(綈q) D．p∨(綈q)2．已知命题p：∀x＞0，ln(x＋1)＞0；命题q：若a＞b，则a2＞b2.下列命题为真命题的是()A．p∧q B．p∧(綈q)C．(綈p)∧q D．(綈p)∧(綈q)3．已知命题p：若平面α⊥平面β，平面γ⊥平面β，则有平面α∥平面γ.命题q：在空间中，对于三条不同的直线a，b，c，若a⊥b，b⊥c，则a∥c.对以上两个命题，有以下命题：①p∧q为真；②p∨q为假；③p∨q为真；④(綈p)∨(綈q)为假．其中，正确的是________．(填序号)思维升华：“p∨q”“p∧q”“綈p”等形式命题真假的判断步骤(1)确定命题的构成形式；(2)判断其中命题p、q的真假；(3)确定“p∧q”“p∨q”“綈p”等形式命题的真假．题型二：含有一个量词的命题命题点1：全称命题、特称命题的真假典例下列四个命题：p 1：∃x 0∈(0，＋∞)，0011()()23x x <； p 2：∃x 0∈(0,1)，101023log log x x >；p 3：∀x ∈(0，＋∞)，x )21(＞12log x ； p 4：∀x ∈)310(，，x)21(＜13log x .其中真命题是( ) A ．p 1，p 3 B ．p 1，p 4 C ．p 2，p 3D ．p 2，p 4命题点2 含一个量词的命题的否定典例 (1)命题“∀x ∈R ，x)31(＞0”的否定是( ) A ．∃x 0∈R ，01()3x ＜0 B ．∀x ∈R ，x)31(≤0 C ．∀x ∈R ，x)31(＜0D ．∃x 0∈R ，01()3x ≤0．(2)命题“∃x 0∈R ，1＜f (x 0)≤2”的否定形式是( )A ．∀x ∈R ，1＜f (x )≤2B ．∃x 0∈R ，1＜f (x 0)≤2C ．∃x 0∈R ，f (x 0)≤1或f (x 0)＞2D ．∀x ∈R ，f (x )≤1或f (x )＞2思维升华：(1)判定全称命题“∀x ∈M ，p (x )”是真命题，需要对集合M 中的每一个元素x ，证明p (x )成立；要判断特称命题是真命题，只要在限定集合内找到一个x ＝x 0，使p (x 0)成立． (2)对全(特)称命题进行否定的方法①找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义先加上量词，再改变量词； ②对原命题的结论进行否定．跟踪训练 (1)下列命题是假命题的是( ) A ．∃α，β∈R ，使cos(α＋β)＝cos α＋cos β B ．∀φ∈R ，函数f (x )＝sin(2x ＋φ)都不是偶函数C ．∃x 0∈R ，使x 30＋ax 20＋bx 0＋c ＝0(a ，b ，c ∈R 且为常数)D ．∀a >0，函数f (x )＝ln 2x ＋ln x －a 有零点(2)已知命题p ：“∃x 0∈R ，0e x －x 0－1≤0”，则綈p 为( ) A ．∃x 0∈R ，0e x －x 0－1≥0 B ．∃x 0∈R ，0e x －x 0－1>0 C ．∀x ∈R ，e x －x －1>0 D ．∀x ∈R ，e x －x －1≥0 题型三 含参命题中参数的取值范围典例 (1)已知命题p ：关于x 的方程x 2－ax ＋4＝0有实根；命题q ：关于x 的函数y ＝2x 2＋ax ＋4在[3，＋∞)上是增函数，若p ∧q 是真命题，则实数a 的取值范围是________________．(2)已知f (x )＝ln(x 2＋1)，g (x )＝x)21(－m ，若对∀x 1∈[0,3]，∃x 2∈[1,2]，使得f (x 1)≥g (x 2)，则实数m 的取值范围是________________．引申探究本例(2)中，若将“∃x 2∈[1,2]”改为“∀x 2∈[1,2]”，其他条件不变，则实数m 的取值范围是___________． 思维升华：(1)已知含逻辑联结词的命题的真假，可根据每个命题的真假，利用集合的运算求解参数的取值范围．(2)对于含量词的命题中求参数的取值范围的问题，可根据命题的含义，利用函数值域(或最值)解决．跟踪训练 (1)已知命题“∃x 0∈R ，使2x 20＋(a －1)x 0＋12≤0”是假命题，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－1) B ．(－1,3) C ．(－3，＋∞)D ．(－3,1)(2)(2017·洛阳模拟)已知p ：∀x ∈]2141[，，2x <m (x 2＋1)，q ：函数f (x )＝4x ＋2x ＋1＋m －1存在零点，若“p且q ”为真命题，则实数m 的取值范围是__________．.四、高频考点一、命题的真假判断典例1(1)(已知a ，b 都是实数，那么“a ＞b ”是“ln a ＞ln b ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 B解析 由ln a ＞ln b ⇒a ＞b ＞0⇒a ＞b ，故必要性成立．当a ＝1，b ＝0时，满足a ＞b ，但ln b 无意义，所以ln a ＞ln b 不成立，故充分性不成立．(2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ，x ＜0，m －x 2，x ≥0，给出下列两个命题：命题p ：∃m ∈(－∞，0)，方程f (x )＝0有解，命题q ：若m ＝19，则f (f (－1))＝0，则下列命题为真命题的是( )A ．p ∧qB ．(綈p )∧qC ．p ∧(綈q )D ．(綈p )∧(綈q )二、充要条件的判断典例2 (1)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝Aq n ＋B (q ≠0)，则“A ＝－B ”是“数列{a n }是等比数列”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 (2)已知圆C ：(x －1)2＋y 2＝r 2(r ＞0)．设p ：0＜r ＜3，q ：圆C 上至多有2个点到直线x －3y ＋3＝0的距离为1，则p 是q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件三、求参数的取值范围典例3(1)已知命题p ：∀x ∈[0,1]，a ≥e x ，命题q ：∃x 0∈R ，x 20＋4x 0＋a ＝0，若命题“p ∧q ”是真命题，则实数a 的取值范围是__________．(2)已知函数f (x )＝x ＋4x ，g (x )＝2x ＋a ，若∀x 1∈]3,21[，∃x 2∈[2,3]使得f (x 1)≥g (x 2)，则实数a 的取值范围是________．五、反馈练习1．命题p ：对任意x ∈R ，总有2x ＞0；q ：“x ＞1”是“x ＞2”的充分不必要条件．则下列命题为真命题的是( ) A ．p ∧q B ．(綈p )∧(綈q ) C ．(綈p )∧qD ．p ∧(綈q )2．设命题p ：函数y ＝sin 2x 的最小正周期为π2；命题q ：函数y ＝cos x 的图象关于直线x ＝π2对称，则下列判断正确的是( ) A ．p 为真 B ．綈q 为假 C ．p ∧q 为假D ．p ∨q 为真3．下列命题中为假命题的是( ) A ．∀x ∈)2,0(，x ＞sin x B ．∃x 0∈R ，sin x 0＋cos x 0＝2C ．∀x ∈R ，3x ＞0D ．∃x 0∈R ，lg x 0＝04．若定义域为R 的函数f (x )不是偶函数，则下列命题中一定为真命题的是( ) A ．∀x ∈R ，f (－x )≠f (x ) B ．∀x ∈R ，f (－x )＝－f (x ) C ．∃x 0∈R ，f (－x 0)≠f (x 0) D ．∃x 0∈R ，f (－x 0)＝－f (x 0)5．设命题p ：∃x 0∈(0，＋∞)，x 0＋1x 0＞3；命题q ：∀x ∈(2，＋∞)，x 2＞2x ，则下列命题为真的是( )A ．p ∧(綈q )B ．(綈p )∧qC ．p ∧qD ．(綈p )∨q6．已知命题p ：∃x 0∈R ，cos x 0＝54；命题q ：∀x ∈R ，x 2－x ＋1>0.则下列结论正确的是( )A ．命题p ∧q 是真命题B ．命题p ∧(綈q )是真命题C ．命题(綈p )∧q 是真命题D ．命题(綈p )∨(綈q )是假命题 7．下列命题中，真命题是( )A ．∃x 0∈R ，0e x ≤0B ．∀x ∈R ，2x ＞x 2C ．a ＋b ＝0的充要条件是ab ＝－1 D ．“a ＞1，b ＞1”是“ab ＞1”的充分条件8．命题p ：∀x ∈R ，ax 2＋ax ＋1≥0，若綈p 是真命题，则实数a 的取值范围是( ) A ．(0,4]B ．[0,4]C ．(－∞，0]∪[4，＋∞)D ．(－∞，0)∪(4，＋∞)9．命题p 的否定是“对所有正数x ，x >x ＋1”，则命题p 可写为____________________．10．已知函数f (x )的定义域为(a ，b )，若“∃x 0∈(a ，b )，f (x 0)＋f (－x 0)≠0”是假命题，则f (a ＋b )＝________. 11．以下四个命题：①∀x ∈R ，x 2－3x ＋2>0恒成立；②∃x 0∈Q ，x 20＝2；③∃x 0∈R ，x 20＋1＝0；④∀x ∈R,4x 2>2x －1＋3x 2.其中真命题的个数为________．12．已知命题p ：∃x 0∈R ，(m ＋1)·(x 20＋1)≤0，命题q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1>0恒成立．若p ∧q 为假命题，则实数m 的取值范围为____________．13．已知命题p ：x 2＋2x －3>0；命题q ：13－x >1，若“(綈q )∧p ”为真，则x 的取值范围是___．14．下列结论：①若命题p ：∃x 0∈R ，tan x 0＝1；命题q ：∀x ∈R ，x 2－x ＋1>0，则命题“p ∧(綈q )”是假命题； ②已知直线l 1：ax ＋3y －1＝0，l 2：x ＋by ＋1＝0，则l 1⊥l 2的充要条件是ab ＝－3；③命题“若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1”的逆否命题是“若x ≠1，则x 2－3x ＋2≠0”． 其中正确结论的序号为________．15．已知命题p ：∃x 0∈R ，0e x－mx 0＝0，命题q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1≥0，若p ∨(綈q )为假命题，则实数m 的取值范围是____．16．已知函数f (x )＝x 2－x ＋1x －1(x ≥2)，g (x )＝a x (a >1，x ≥2)．(1)若∃x 0∈[2，＋∞)，使f (x 0)＝m 成立，则实数m 的取值范围为________________；(2)若∀x 1∈[2，＋∞)，∃x 2∈[2, ＋∞)，使得f (x 1)＝g (x 2)，则实数a 的取值范围为________________．。
高考数学总复习 基础知识 第一章 第三节简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词 文
第三节 简单的逻辑联结词、 全称量词与存在量词知识梳理一、简单的逻辑联结词常用的逻辑联结词：“且”、“或”、 “非”． 二、含有逻辑联结词的命题1．“且”命题：用联结词“且”把命题p 和命题q 联结起来，构成一个新命题，记作p ∧q ，可理解为命题p 和命题q 同时满足．当p ，q 都是真命题时，p ∧q 是真命题；当p ，q 两个命题中有一个命题是假命题时，p ∧q 是假命题．记忆口诀为“一假必假”．2．“或”命题：用联结词“或”把命题p 和命题q 联结起来，构成一个新命题，记作p ∨q ，可理解为命题p 和命题q 至少满足其中一个．当p ，q 两个命题中有一个命题是真命题时，p ∨q 是真命题；当p ，q 都是假命题时，p ∨q 是假命题．记忆口诀为“一真必真”． 3．“非”命题：对一个命题p 全盘否定，构成一个新命题，记作綈p ，可理解为不满足命题p .若p 是真命题，则綈p 必是假命题；若p 是假命题，则綈p 必是真命题．记忆口诀为“真假相对”．命题p ，q ，p ∧q ，q p1.了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义.2.理解全称量词与存在量词的意义.3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定.真4.命题与集合的关系：命题的“且”、“或”、“非”对应集合的“交”、“并”、“补”．5．命题与电路的关系：命题p∧q对应着“串联”电路，命题p∨q对应着“并联”电路，命题綈p对应着线路的“断开与闭合”．三、常见词语的否定基础自测1．(2013·东莞二模)命题“∀x∈R，x2＋1≥1”的否定是()A．∀x∈R，x2＋1＜1B．∃x∈R，x2＋1≤1C．∃x∈R，x2＋1＜1D．∃x∈R，x2＋1≥1解析：∵原命题“∀x∈R，有x2＋1≥1”，∴命题“∀x∈R，有x2＋1≥1”的否定是：∃x∈R，使x2＋1＜1.答案：C2．(2013·大同模拟)已知函数f(x)＝x2＋bx(b∈R)，则下列结论正确的是()A．∀b∈R，f(x)在(0，＋∞)上是增函数B．∀b∈R，f(x)在(0，＋∞)上是减函数C．∃b∈R，f(x)为奇函数D ．∃b ∈R ，f (x )为偶函数解析：注意当b ＝0时，f (x )＝x 2是偶函数．故选D. 答案：D3．(2013·山东日照一模)下列命题中，真命题是( ) A ．∀x ∈R ，x 2－x －1＞0B ．∀α，β∈R ，sin(α＋β)＜sin α＋sin βC ．函数y ＝2sin ⎝⎛⎫x ＋π5的图象的一条对称轴是x ＝54π D ．∃α，β∈R ，sin(α＋β)＝c os α＋cos β解析：对于A ：显然x ＝0，不等式不成立，故∀x ∈R ，x 2－x －1＞0是假命题； 对于B ：当α＝β＝0时，sin(α＋β)＝0，sin α＋sin β＝0，所以∀α，β∈R ，sin(α＋β)＜sin α＋sin β为假命题；对于C ：当x ＝54π时，y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π5取不到最值，故直线x ＝54π不是f (x )的对称轴； 对于D ：因为sin ⎝⎛⎭⎫π2＋π2＝cos π2＋cos π2＝0，所以∃α，β∈R ，sin(α＋β)＝cos α＋cos β成立．故选D.答案：D4. (2012·北京海淀区模拟)已知命题p ：∃x ∈R ，x 2＋2ax ＋a ≤0.若命题p 是假命题，则实数a 的取值范围是__________．答案：(0,1)四、全称命题与全称量词、特称命题与存在量词1．全称量词：短语“__________”、“__________”、“________”、“任何”、“任意”、“每一个”在逻辑中通常叫做全称量词，用符号“________”表示．含有全称量词的命题，叫做全称命题．全称命题的形式为“对M 中任意一个x ，有p (x )成立”，记为“∀x ∈M ，p (x )”．2．存在量词：短语“________”、“__________”、“有些”、“某个”、“至少一个”在逻辑中通常叫做存在量词，用符号“________”表示．含有存在量词的命题，叫做特称命题．特称命题的形式为“存在一个x ∈M ，有p (x )成立”，记为“∃x ∈M ，p (x )”．3．含有一个量词的命题的否定．全称命题p ：∀x ∈M ，p (x )，它的否定綈p ：____________；特称命题p ：∃x 0∈M ，p (x 0)，它的否定綈p ：____________.全称命题的否定是__________命题，特称命题的否定是________命题．1．(2013·湖北卷)在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次，设命题p 是“甲降落在指定范围”，q 是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为( )A ．(綈p )∨(綈q )B ．p ∨(綈q )C ．(綈p )∧(綈q )D ．p ∨q解析：“至少有一位学员没有降落在指定范围”即：“甲或乙没有降落在指定范围内”．故选A.答案：A2.(2013·四川卷)设x ∈Z ，集合A 是奇数集，集合B 是偶数集．若命题p ：∀x ∈A,2x ∈B ，则( )四、1.全部 所有的 一切 任何 任意 每一个 ∀ 2.存在着 有 有些 某个 至少一个 ∃ 3.∃x 0∈M ，綈p (x 0) ∀x ∈M ，綈p (x ) 特称 全称A．綈p：∃x∈A,2x∉B B．綈p：∀x∉A,2x∉BC．綈p：∃x∉A,2x∈B D．綈p：∃x∈A,2x∈B解析：命题p：∀x∈A,2x∈B是一个全称命题，其命题的否定綈p应为∃x∈A ,2x∉B，故选A.答案：A1．(2013·江门一月调研)设命题p：函数y＝sin 2x的最小正周期为π2 ；命题q：函数y＝2x＋12x是偶函数．则下列判断正确的是()A．p为真B．綈q为真C．p∧q为真D．p∨q为真解析：命题p是假命题，命题q是真命题，所以p∨q为真命题．故选D.答案：D2．(2013·湖北襄阳调研)若命题“存在实数x，使x2＋ax＋1＜0”的否定是假命题，则实数a的取值范围为____________．解析：依题意“存在实数x，使x2＋ax＋1＜0”是真命题，所以方程x2＋ax＋1＝0有不等的实根，所以Δ＝a2－4＞0，得a＜－2或a＞2.答案：(－∞，－2)∪(2，＋∞)。
2020届高考数学(理)一轮必刷题 专题03 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词(解析版)
考点03 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词1．“∀x∈R，x2－πx≥0”的否定是()A．∀x∈R，x2－πx＜0B．∀x∈R，x2－πx≤0C．∃x0∈R，x20－πx0≤0 D．∃x0∈R，x20－πx0＜0【答案】D【解析】全称命题的否定是特称命题，所以“∀x∈R，x2－πx≥0”的否定是“∃x0∈R，x20－πx0＜0”．故选D. 2．命题“若x，y都是偶数，则x＋y也是偶数”的逆否命题是()A．若x＋y是偶数，则x与y不都是偶数B．若x＋y是偶数，则x与y都不是偶数C．若x＋y不是偶数，则x与y不都是偶数D．若x＋y不是偶数，则x与y都不是偶数【答案】C【解析】.将原命题的条件和结论互换的同时进行否定即得逆否命题，因此“若x，y都是偶数，则x＋y也是偶数”的逆否命题是“若x＋y不是偶数，则x，y不都是偶数”，所以选C.3．下列命题错误的是（）A．命题“ ，”的否定是“，”;B．若是假命题，则，都是假命题C．双曲线的焦距为D．设，是互不垂直的两条异面直线，则存在平面，使得，且【答案】B【解析】对于选项A，由于特称命题的否定是特称命题，所以命题“ ，”的否定是“，”，是正确的.对于选项B, 若是假命题，则，至少有一个是假命题，所以命题是假命题.对于选项C, 双曲线的焦距为2c=2,所以是真命题.对于选项D, 设，是互不垂直的两条异面直线，则存在平面，使得，且,是真命题.故答案为：B.4．在射击训练中，某战士射击了两次，设命题p是“第一次射击击中目标”，命题q是“第二次射击击中目标”，则命题“两次射击中至少有一次没有击中目标”为真命题的充要条件是()A．(¬p)∨(¬q)为真命题B．p∨(¬q)为真命题C．(¬p)∧(¬q)为真命题D．p∨q为真命题【答案】A【解析】.命题p是“第一次射击击中目标”，命题q是“第二次射击击中目标”，则命题¬p是“第一次射击没击中目标”，命题¬q是“第二次射击没击中目标”，故命题“两次射击中至少有一次没有击中目标”为真命题的充要条件是(¬p)∨(¬q)为真命题，故选A.5．已知.若“”是真命题，则实数a的取值范围是A．(1，+∞) B．(－∞，3) C．(1，3) D．【答案】C【解析】由“”是真命题可知命题p,q均为真命题，若命题p为真命题，则：，解得：，若命题q为真命题，则：，即，综上可得，实数a的取值范围是，表示为区间形式即.本题选择C选项.6．已知a，b都是实数，那么“2a＞2b”是“a2＞b2”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】D【解析】.充分性：若2a＞2b，则2a－b＞1，∴a－b＞0，即a＞b.当a＝－1，b＝－2时，满足2a＞2b，但a2＜b2，故由2a＞2b不能得出a2＞b2，因此充分性不成立．必要性：若a2＞b2，则|a|＞|b|.当a＝－2，b＝1时，满足a2＞b2，但2－2＜21，即2a＜2b，故必要性不成立．综上，“2a＞2b”是“a2＞b2”的既不充分也不必要条件．故选D.7．已知命题，使；命题，都有，下列结论中正确的是A．命题“p∧q”是真命题B．命题“p∧q”是真命题C．命题“p∧q”是真命题D．命题“p∨q”是假命题【答案】A【解析】由判断，所以为假命题；命题，所以为真命题，所以命题“p∧q”是真命题，故选A．8．已知命题p ：存在x 0∈R ，x 0－2＞lg x 0；命题q ：任意x ∈R ，x 2＋x ＋1＞0.给出下列结论： ①命题“p 且q ”是真命题；②命题“p 且¬q ”是假命题； ③命题“¬p 或q ”是真命题；④命题“p 或¬q ”是假命题． 其中所有正确结论的序号为( ) A ．②③ B ．①④ C ．①③④ D ．①②③【答案】D【解析】对于命题p ，取x 0＝10，则有10－2＞lg 10，即8＞1，故命题p 为真命题；对于命题q ，方程x 2＋x ＋1＝0，Δ＝1－4×1＜0，故方程无解，即任意x ∈R ，x 2＋x ＋1＞0，所以命题q 为真命题．综上“p 且q ”是真命题，“p 且¬q ”是假命题，“¬p 或q ”是真命题，“p 或¬q ”是真命题，即正确的结论为①②③.故选D.9．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x ＞0－2x ＋a ，x ≤0有且只有一个零点的充分不必要条件是( )A ．a ＜0B ．0＜a ＜12C.12＜a ＜1 D ．a ≤0或a ＞1【答案】A【解析】.因为函数f (x )过点(1，0)，所以函数f (x )有且只有一个零点⇔函数y ＝－2x ＋a (x ≤0)没有零点⇔函数y ＝2x (x ≤0)与直线y ＝a 无公共点．由数形结合可得a ≤0或a ＞1.观察选项，根据集合间的关系{a |a ＜a |a ≤0或a ＞1}，故选A.10．下列命题正确的是（ ） A ． 命题的否定是：B ． 命题中，若，则的否命题是真命题C ． 如果为真命题，为假命题，则为真命题，为假命题D ．是函数的最小正周期为的充分不必要条件【答案】D【解析】在A 中，命题的否定是：，故A 错误；在B 中，命题中，若，则的否命题是假命题，故B 错误；在C 中，如果为真命题，为假命题，则与中一个是假命题，另一个是真命题，故C 错误；在D 中，∴ω=1⇒函数f （x ）=sin ωx-cos ωx 的最小正周期为2π，函数f （x ）=sin ωx-cos ωx 的最小正周期为2π⇒ω=±1．∴是函数的最小正周期为的充分不必要条件，故D 正确．故选：D ．11．设a ，b 均为单位向量，则“|a －3b |＝|3a ＋b |”是“a ⊥b ”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】C【解析】.|a －3b |＝|3a ＋b |⇔|a －3b |2＝|3a ＋b |2⇔a 2－6a ·b ＋9b 2＝9a 2＋6a ·b ＋b 2⇔2a 2＋3a ·b －2b 2＝0，又∵|a |＝|b |＝1，∴a ·b ＝0⇔a ⊥b ，故选C.12．(2018·温州模拟)下面四个条件中，使a ＞b 成立的充分不必要条件是( ) A ．a ＞b ＋1 B ．a ＞b －1 C ．a 2＞b 2 D ．a 3＞b 3【答案】A【解析】.由选项中的不等式可得a ＞b ，a ＞b 推不出选项中的不等式．选项A 中，a ＞b ＋1＞b ，反之a ＞b 推不出a ＞b ＋1；选项B 中，a ＞b ＞b －1，反之a ＞b －1推不出a ＞b ，为必要不充分条件；选项C 为既不充分也不必要条件；选项D 为充要条件，故选A.13．已知命题p ：对任意x ∈(0，＋∞)，log 4x ＜log 8x ；命题q ：存在x ∈R ，使得tan x ＝1－3x ，则下列命题为真命题的是( ) A ．p ∧q B ．(¬p )∧(¬q ) C ．p ∧(¬q ) D ．(¬p )∧q 【答案】D【解析】.当x ＝1时，log 4x ＝log 8x ，所以命题p 是假命题；函数y ＝tan x 的图象与y ＝1－3x 的图象有无数个交点，所以存在x ∈R ，使得tan x ＝1－3x ，即命题q 是真命题，故(¬p )∧q 是真命题，选D. 14．有关下列说法正确的是( )A ．“f (0)＝0”是“函数f (x )是奇函数”的必要不充分条件B ．若p ：∃x 0∈R ，x 20－x 0－1＞0，则¬p ：∀x ∈R ，x 2－x －1＜0 C ．命题“若x 2－1＝0，则x ＝1或x ＝－1”的否命题是“若x 2－1≠0，则x ≠1或x ≠－1” D ．命题p 和命题q 有且仅有一个为真命题的充要条件是(¬p ∧q )∨(¬q ∧p )为真命题 【答案】D【解析】对于A ，由f (0)＝0，不一定有f (x )是奇函数，如f (x )＝x 2；反之，函数f (x )是奇函数，也不一定有f (0)＝0，如f (x )＝1x.∴“f (0)＝0”是“函数f (x )是奇函数”的既不充分也不必要条件．故A 错误；对于B ，若p ：∃x 0∈R ，x 20－x 0－1＞0，则¬p ：∀x ∈R ，x 2－x －1≤0.故B 错误；对于C ，命题“若x 2－1＝0，则x ＝1或x ＝－1”的否命题是“若x 2－1≠0，则x ≠1且x ≠－1”．故C 错误；对于D ，若命题p 和命题q 有且仅有一个为真命题，不妨设p 为真命题，q 为假命题，则¬p ∧q 为假命题，¬q ∧p 为真命题，则(¬p ∧q )∨(¬q ∧p )为真命题；反之，若(¬p ∧q )∨(¬q ∧p )为真命题，则¬p ∧q 或¬q ∧p 至少有一个为真命题．若¬p ∧q 真，¬q ∧p 假，则p 假q 真；若¬p ∧q 假，¬q ∧p 真，则p 真q 假；不可能¬p ∧q 与¬q ∧p 都为真．故命题p 和命题q 有且仅有一个为真命题的充要条件是(¬p ∧q )∨(¬q ∧p )为真命题．故选D.15．若“∀x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，π3，m ≤tan x ＋2”为真命题，则实数m 的最大值为________． 【答案】1【解析】由x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，π3可得－1≤tan x ≤ 3.∴1≤tan x ＋2≤2＋3，∵“∀x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，π3，m ≤tan x ＋2”为真命题，∴实数m 的最大值为1.16．已知命题p ：∃x 0∈R ，使tan x 0＝1，命题q ：x 2－3x ＋2＜0的解集是{x |1＜x ＜2}．现有以下结论： ①命题“p ∧q ”是真命题；②命题“p ∧¬q ”是假命题； ③命题“¬p ∨q ”是真命题；④命题“¬p ∨¬q ”是假命题． 其中正确结论的序号为________． 【答案】①②③④【解析】∵当x ＝π4时，tan x ＝1，∴命题p 为真命题，命题¬p 为假命题． 由x 2－3x ＋2＜0，解得1＜x ＜2， ∴命题q 为真命题，命题¬q 为假命题．∴命题“p ∧q ”是真命题，命题“p ∧¬q ”是假命题，命题“¬p ∨q ”是真命题，命题“¬p ∨¬q ”是假命题． 17．已知函数f (x )＝a 2x －2a ＋1.若命题“∀x ∈(0，1)，f (x )≠0”是假命题，则实数a 的取值范围是________． 【答案】⎝⎛⎭⎫12，1∪(1，＋∞)【解析】已知函数f (x )＝a 2x －2a ＋1，命题“∀x ∈(0，1)，f (x )≠0”是假命题， ∴原命题的否定是“∃x 0∈(0，1)，使f (x 0)＝0”是真命题，显然a ≠0.∴f (1)f (0)＜0， 即(a 2－2a ＋1)(－2a ＋1)＜0， 即(a －1)2(2a －1)＞0， 解得a ＞12，且a ≠1，∴实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫12，1∪(1，＋∞)．18．设p ：实数a 满足不等式3a ≤9，q ：函数f (x )＝13x 3＋3（3－a ）2x 2＋9x 无极值点．已知“p ∧q ”为真命题，并记为r ，且t ：a 2－⎝⎛⎭⎫2m ＋12a ＋m ⎝⎛⎭⎫m ＋12＞0，若r 是¬t 的必要不充分条件，则正整数m 的值为________． 【答案】1【解析】若p 为真，则3a ≤9，得a ≤2.若q 为真，则函数f (x )无极值点，∴f ′(x )＝x 2＋3(3－a )x ＋9≥0恒成立， 得Δ＝9(3－a )2－4×9≤0，解得1≤a ≤5. ∵“p ∧q ”为真命题， ∴p 、q 都为真命题，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≤2，1≤a ≤5⇒1≤a ≤2. ∵a 2－⎝⎛⎭⎫2m ＋12a ＋m ⎝⎛⎭⎫m ＋12＞0， ∴(a －m )⎣⎡⎦⎤a －⎝⎛⎭⎫m ＋12＞0， ∴a ＜m 或a ＞m ＋12，即t ：a ＜m 或a ＞m ＋12，从而¬t ：m ≤a ≤m ＋12，∵r 是¬t 的必要不充分条件， ∴¬t ⇒r ，r ⇒/ ¬t ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧m ≥1，m ＋12＜2或⎩⎪⎨⎪⎧m ＞1，m ＋12≤2， 解得1≤m ≤32，又∵m ∈N *，∴m ＝1.。
简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
【知识重温】
一、必记3个知识点
1．简单的逻辑联结词
(1) 命 题 中 的 ________
_________ 叫 做 逻 辑 联 结
判断真假 、 __________
判断为真 、判断为假
词．
(2)命题p且q、p或q、非p的真假判断
p
q
真
真
p且q
若q，则p
1
－x
＋e ≥2，命题q：∃x0∈(0，＋∞)，2x0 ＝ ，则下列判断正确的是
2
(
)
A．p∧q是真命题
B．(綈p)∧(綈q)是真命题
C．p∧(綈q)是真命题
D．(綈p)∧q是真命题
1
x
－x
x
解析：因为e ＋e ＝e ＋ ≥2成立，所以命题p是真命题；又由
e
1
2x0 ＝ ＝2 － 1 ，得x0 ＝－1∉(0，＋∞)，所以命题q是假命题．所以
______
真
假
______
綈q，则綈p
假
假
真
假
假
假
p或q
若______
p，则綈q
真
____
没有关系
____
必要
非p
假
相同
__
____
充分
____
真
2.全称量词与存在量词
(1)全称量词：短语“所有的”“任何一个”在逻辑中通常叫做全
充分不必要
称量词，用“∀”表示；含有全称量词的命题叫做________.
不管是全称命题，还是特称命题，若其真假不容易正面判断时，
可先判断其否定的真假.
命题
2020年高考数学(理)高频考点 集合与常用逻辑用语 专题03 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词解析版
集合与常用逻辑用语03 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词一、具体目标：1.简单的逻辑联结词：了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义； 全称量词与存在量词：（1）理解全称量词与存在量词的意义；（2）能正确地对含有一个量词的命题进行否定.分析目标：会判断含有一个量词的全称命题或特称命题的真假；能正确地对含有一个量词的命题进行否定；能用逻辑联结词“或”“且”“非”正确地表达相关的数学命题；全称命题与特称命题的表述方法是高考的热点；本节在高考中的分值为5分左右，属中低档题. 二、知识概述： 1.逻辑联结词与复合命题命题q p ∧读作“p 且q ”；命题q p ∨读作“p 或q ”；命题p ⌝读作“非q ”；或者“p 的否定”命题与集合的关系：命题的“且”“或”“非”对应集合的“交”、“并”、“补”命题与电路的关系：命题p ∧q 对应着“串联”电路，便是p ∨q 对应着“并联”电路，命题p ⌝对应着线路的“断开与闭合”. 2．复合命题及其否定形式命题 否定形式p 或q p ⌝且q ⌝ p 且q p ⌝或q ⌝ Pp ⌝复合命题真值表p q 非p p 或q p 且q 真 真 假 真 真 真假假真假【考点讲解】假 真 真 真 假 假假真假假3．全称命题与全称量词、特称命题与存在量词全称量词 指定范围否定形式 全称命题所有的 任何的 任意的 整体或全部 有些 有的 存在对M 中任何x ，有p (x )成立 记：M x ∈∀，()p x都是不都是对M 中任何x ，p (x )不成立记：M x ∈∀，)(x p ⌝存在量词 指定范围 否定形式 特称命题有一个、存在整体的 一部分没有、 不存在 在M 中存在某x ，有p (x ) 成立记：M x ∈∃，p (x ) 至少有一个 一个也没有 在M 中存在某x ，p (x )不成立记：M x ∈∃，)(x p ⌝至多有一个至少有两个命题否定形式之间的关系：全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题.1．【2019优选题】命题“0x ∀>，1ln 1x x≥-”的否定是（ ）A ．00x ∃≤，01ln 1x x ≥-B ．00x ∃>，01ln 1x x <-C ．00x ∃>，01ln 1x x ≥-D ．00x ∃≤，01ln 1x x <-【真题分析】【解析】由全称命题与存在性命题的关系，可得命题“0x ∀>，1ln 1x x≥-”的否定是“00x ∃>，01ln 1x x <-”，故选B ． 【答案】B2.【2019优选题】下列命题中正确的是（ ）A ．若p q ∨为真命题，则p q ∧为真命题B ．若0x >，则sin x x >恒成立C ．命题“()00,x ∃∈+∞，00ln 1x x =-”的否定是“()00,x ∀∉+∞，00ln 1x x ≠-”D ．命题“若22x =，则2x =或2x =-”的逆否命题是“若2x ≠或2x ≠-，则22x ≠. 【解析】令()sin f x x x =-，()1cos 0f x x '=-≥恒成立，()sin f x x x =-在()0,+∞单调递增， ∴()()00f x f >=，∴sin x x >，B 为真命题或者排除A 、C 、D ．故选B ． 【答案】B3.【2016高考浙江】命题“*x n ∀∈∃∈，R N ，使得2n x >”的否定形式是（ ）A ．*x n ∀∈∃∈，R N ，使得2n x <B ．*x n ∀∈∀∈，R N ，使得2n x <C ．*x n ∃∈∃∈，R N ，使得2n x <D ．*x n ∃∈∀∈，R N ，使得2n x ≤【解析】本题的考点：全称命题与特称命题的否定．全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题．对含有存在（全称）量词的命题进行否定需要两步操作：①将存在（全称）量词改成全称（存在）量词；②将结论加以否定．∀的否定是∃，∃的否定是∀，2n x ≥的否定是2n x ≤．故选D ． 【答案】D4.【2018优选题】下列说法错误的是（ ）A ．对于命题:p x ∀∈R ，210x x ++>，则0:p x ⌝∃∈R ，2010x x ++≤. B ．“1x =”是“2320x x -+=”的充分不必要条件.C ．若命题p q ∧为假命题，则p ，q 都是假命题. D ．命题“若2320x x -+=，则1x =”的逆否命题为：“若1x ≠，则2320x x -+≠.【解析】根据全称命题的否定是特称命题知A 正确；由于1x =可得2320x x -+=，而由2320x x -+=得1x =或2x =，∴“1x =”是“2320x x -+=”的充分不必要条件正确；命题p q ∧为假命题，则p ，q 不一定都是假命题，故C 错；根据逆否命题的定义可知D 正确，故选C ．题p ：“0a ∀>，不等式22log a a >成立”；命题q ：“函数()212log 21y x x =-+的单调递增区间是(],1-∞”，【答案】C5.【2019优选题】命题“所有能被2整除的数都是偶数”的否定．．是（ ） A.所有不能被2整除的数都是偶数 B.所有能被2整除的数都不是偶数 C.存在一个不能被2整除的数是偶数 D.存在一个能被2整除的数不是偶数 【解析】本题考查全称命题的否定.把全称量词改为存在量词，并把结果否定. 【答案】D【变式】若命题:p 对任意的x R ∈，都有3210x x -+<，则p ⌝为（ ） A. 不存在x R ∈，使得3210x x -+< B. 存在x R ∈，使得3210x x -+< C. 对任意的x R ∈，都有3210x x -+≥ D. 存在x R ∈，使得3210x x -+≥【解析】命题:p 对任意的x ∈R ，都有3210x x -+<的否定为32:10p x x x ⌝∈-+≥R 存在，使得； 故选D. 【答案】D6.【17山东理】已知命题p ：0>∀x ，()01ln >+x ；命题q ：若b a >，则22b a >．下列命题为真命题的是（ ）A ．q p ∧B ．q p ⌝∧C ．q p ∧⌝D ．q p ⌝∧⌝【解析】本题考点是1.简易逻辑联结词.2.全称命题.解答简易逻辑联结词相关问题，关键是要首先明确各命题的真假，利用或、且、非真值表，进一步作出判断.().1ln ,110是真命题有意义，知时，由P x x x +>+>.()()是假命题，可知由q ,21,21,12,122222-<-->->>即q p ⌝，均是真命题，所以选B. 【答案】B7.【2019优选题】在射击训练中 ，某战士射击了两次 ，设命题p 是“ 第一次射击击中目标”，命题是“ 第二次射击击中目标 ”，则命题“两次射击中至少有一次没有击中目标”为真命题的充要条件是 （ ） A. ()()p q ⌝∨⌝ 为真命题 B. ()p q ∨⌝ 为真命题 C. ()()p q ⌝∧⌝ 为真命题 D. p q ∨ 为真命题【解析】两次射击中至少有一次没有击中目标包括三个事件，第一次没有击中目标而第二次击中目标；第一次击中目标第二次没有击中目标；第一次和第二次都没有击中目标；三个事件统一表达为第一次没有击中或第二次没有击中，即()()p q ⌝∨⌝ 为真命题.选A . 【答案】A8.【2018优选题】已知命题()x xx P 32,0,:>∞-∈∀；命题⎪⎭⎫ ⎝⎛∈∃2,0:πx q ，x x >sin ，则下列命题为真命题的是（ ）A .q p ∧ B . ()q p ∨⌝ C .()q p ∧⌝ D .()q p ⌝∧【解析】分析：由()132,0,:>⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-∈∀xx P ，即x x 32>，可得是真命题，命题⎪⎭⎫ ⎝⎛∈∃2,0:πx q ，令()x x x f sin -=，利用导数研究其单调性可得是假命题，逐一判断选项中的命题真假即可的结果.命题由()132,0,:>⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-∈∀xx P ，即x x 32>，可得是真命题，命题命题⎪⎭⎫ ⎝⎛∈∃2,0:πx q ，令()x x x f sin -=，()0cos 1>-='x x f ，因此函数()x f 在⎪⎭⎫ ⎝⎛2,0π单调递增，所以()()00=>f x f ，所以x x x <⎪⎭⎫ ⎝⎛∈∀sin 2,0，π，因此是假命题，()q p ⌝∧为真命题，故选D.【答案】D9.【河北省唐山市2018届三模理】已知命题p 在ABC ∆中，若B A sin sin =，则B A =；命题()π,0:∈∀x q ，2sin 1sin >+xx .则下列命题为真命题的是（ ） A.q p ∧ B . ()q p ⌝∨ C .()()q p ⌝∧⌝ D . ()q p ∨⌝【解析】命题p 在ABC ∆中，因为π=+B A ，根据正弦函数的性质可以判断当B A sin sin =时，B A =是成立的，所以命题p 是真命题.命题当2sin 1sin 2=+=x x x 时，π，所以()π,0:∈∀x q ，2sin 1sin >+xx 是不成立的，为假命题. 故选B. 【答案】B【变式】 【2014高考重庆理第6题】 已知命题:p 对任意x R ∈，总有20x>；:"1"q x >是"2"x >的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是（ ）.A p q ∧ .B p q ⌝∧⌝ .C p q ⌝∧ .D p q ∧⌝【解析】本题主要考查了指数函数的性质，充要条件，判断复合命题的真假，属于中档题，先根据指数函数及充要条件的知识判断出每一个命题的真假，再利用真值表得出结论. 由题设可知：p 是真命题，q 是假命题；所以，p ⌝是假命题，q ⌝是真命题；所以，p q ∧是假命题，p q ⌝∧⌝是假命题，p q ⌝∧是假命题，p q ∧⌝是真命题；故选D. 考点：1、指数函数的性质；2、充要条件；3、判断复合命题的真假. 【答案】D10.【2019优选题】给出下列三个命题： ①“若2230x x +-≠，则1x ≠”为假命题； ②若p q ∧为假命题，则,p q 均为假命题；③命题:,20xp x R ∀∈>，则00:,20xp x R ⌝∃∈≤，其中正确的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【解析】本题考查的是命题真假性的判断问题，若要判断一个含有逻辑联结词的命题的真假，需先判断构成这个命题的每个简单命题的真假，再依据“或”——一真即真，“且”——一假即假，“非”——真假相反，做出判断即可.以命题真假为依据求参数的取值范围时，首先要对两个简单命题进行化简，然后依据“p ∨q ”“p ∧q ”“非p ”形式命题的真假，列出含有参数的不等式(组)求解即可.“若2230x x +-≠，则1x ≠”的逆否命题为“若1x =，则2230x x +-=”，为真命题；若p q ∧为假命题，则,p q 至少有一为假命题；命题:,20xp x R ∀∈>，则00:,20x p x R ⌝∃∈≤，所以正确的个数是1，选B. 【答案】B1.命题p ：“0a ∀>，不等式22log a a >成立”；命题q ：“函数()212log 21y x x =-+的单调递增区间是(],1-∞”，则下列复合命题是真命题的是（ ） A ．()()p q ⌝∨⌝B ．p q ∧C ．()p q ⌝∨D ．()()p q ∧⌝【解析】由题意，命题p ：“0a ∀>，不等式22log a a >成立”；根据指数函数与对数函数的图象可知是不正确的，∴命题p 为假命题；命题q ：“函数()212log 21y x x =-+的单调递增区间应为()1-∞,”，∴为假命题， ∴()()p q ⌝∨⌝为真命题，故选A ． 【答案】A2.命题“x R ∃∈，2x x =”的否定是（ ） A ．x R ∀∉，2x x ≠ B ．x R ∀∈，2x x ≠C ．x R ∃∉，2x x ≠D ．x R ∃∈，2x x ≠【模拟考场】【解析】命题“x R ∃∈，2x x =”的否定是x R ∀∈，2x x ≠，选B. 【答案】B3.下列说法正确的是（ ）A. “若1a >，则21a >”的否命题是“若1a >，则21a ≤”B. 在ABC ∆中，“A B >” 是“22sin sin A B >”必要不充分条件C. “若tan 3α≠，则3πα≠”是真命题D.()0,0x ∃∈-∞使得0034xx<成立 【解析】“若1a >，则21a >”的否命题是“若1≤a，则21a ≤”，故选项A 错误，在ABC ∆中，“A B >” 是“22sin sin A B >”充要条件，故B 错误，当()0,0x ∃∈-∞时，函数)1(00<=x x y x 在()∞+，0上单调递减，所以043xx >，故D 错误；故选C ．【答案】C4.已知命题“R ∈∃x ，使021)1(22≤+-+x a x ”是假命题，则实数a 的取值范围是（ ） A. )1,(--∞ B.)3,1(- C.),3(+∞- D.)1,3(- 【解析】原命题是假命题，则其否定是真命题，即()21,2102x R x a x ∀∈+-+>恒成立，故判别式()()2140,1,3a a --<∈-.【答案】B5.设命题()0:0,p x ∃∈+∞， 0013x x +>；命题： ()2,x ∀∈+∞， 22x x >，则下列命题为真的是（ ） A. ()p q ∧⌝ B. ()p q ⌝∧ C. p q ∧ D. ()p q ⌝∨ 【解析】命题:p ()00,x ∃∈+∞， 0013x x +>，当03x =时即可，命题为真；命题： ()2,x ∀∈+∞， 22x x >，当4x =是，两式相等，命题为假； 则()p q ∧⌝为真，故选A. 【答案】A6.下列命题中：①“0x R ∃∈，20010x x -+≤”的否定；②“若260x x +-≥，则2x >”的否命题；③命题“若2560x x -+=，则2x =”的逆否命题；其中真命题的个数是（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【解析】“0x R ∃∈，20010x x -+≤”的否定为“0x R ∀∈，22000131()024x x x -+=-+>”为真命题；“若260x x +-≥，则2x >”的否命题为“若26032x x x +-<⇒-<<，则2x ≤”为真命题；命题“若2560x x -+=，则2x =”为假命题，所以其逆否命题为假命题；所以选C. 【答案】C7.命题“**,()n N f n N ∀∈∈且()f n n ≤的否定形式是（ ）A. **,()n N f n N ∀∈∈且()f n n > B. **,()n N f n N ∀∈∈或()f n n > C. **00,()n N f n N ∃∈∈且00()f n n > D. **00,()n N f n N ∃∈∈或00()f n n >【解析】本题主要考查的是命题的否定，全称(存在性)命题的否定与一般命题的否定有着一定的区别，全称 (存在性)命题的否定是将其全称量词改为存在量词(或把存在量词改为全称量词)，并把结论否定；而一般命题的否定则是直接否定结论即可，全称量词与特称量词的意义根据全称命题的否定是特称命题，可知选D. 【答案】D.8.设,,a b c r r r 是非零向量，已知命题P ：若0a b •=r r ，0b c •=r r ，则0a c •=r r ；命题q ：若//,//a b b c r r r r，则//a c r r ，则下列命题中真命题是（ ）A ．p q ∨B ．p q ∧C ．()()p q ⌝∧⌝D ．()p q ∨⌝【解析】试题分析：本题考查平面向量的数量积、共线向量及复合命题的真假. 本题将平面向量、简易逻辑联结词结合在一起综合考查考生的基本数学素养，体现了高考命题“小题综合化”的原则.本题属于基础题，难度不大，关键是要熟练掌握平面向量的基础知识，熟记“真值表”.由题意可知，两个非零向量都与第三个向量垂直，但这两个向量未必垂直，所以命题P 是假命题；两个非零向量都与第三个向量平行，那么这两个向量一定平行，所以命题q 是真命题，故p q ∨为真命题. 【答案】A9.已知命题.,:,:22y x y x q y x y x p ><-<->则若；命题则若在命题①q p q p q p q p ∨⌝⌝∧∨∧）④（③②);(;;中，真命题是（ ） A ①③ B.①④ C.②③ D.②④【解析】本题考查的是复合命题的真假性判断，复合命题的真假判定主要是根据简单命题的真假结合逻辑联结次进行判断即可，如果p 或q 真（假）则需分三种情况讨论，如果p 且q 真(假)则p,q 真（p 真q 假或p,q 假，p 真q 假，p 假q 真）,如果p 真，则非p 一定假.当x y >时,两边乘以1-可得x y -<-,所以命题p 为真命题,而⌝p 是假命题，当1,2x y ==-时,因为2214x y =<=,所以命题q 为假命题,则q ⌝为真命题,所以根据真值表可得②③为真命题,故选C.【答案】C10.下列判断错误的是（ ）A ．“||||am bm <”是“||||a b <”的充分不必要条件B ．命题“,0x R ax b ∀∈+≤”的否定是“00,0x R ax b ∃∈+>”C ．若()p q ⌝∧为真命题，则,p q 均为假命题D ．命题“若p ，则q ⌝”为真命题，则“若q ，则p ⌝”也为真命题 【解析】：本题考查的是四种命题及其相互关系，充要条件，常用逻辑用语．由题意可知：由||||am bm <可以得到||||a b <，反之不一定成立.命题“,0x R ax b ∀∈+≤”的否定是全称命题的否定，先转换量词，然后要否定结论，所以有“00,0x R ax b ∃∈+>”.而()p q ⌝∧为真命题，那么p q ∧为假命题，故,p q 至少有一个假命题，命题“若p ，则q ⌝”为真命题，它的逆否命题也是真命题，所以“若q ，则p ⌝”也为真命题.故C 选项判读错误，选C.【答案】C11.已知命题p ：函数12x y a +=-的图象恒过定点()1,2；命题:q 函数()1y f x =-为偶函数，则函数()y f x = 的图象关于直线1x =对称，则下列命题为真命题的是 （ ）A ．p q ∨B ．p q ∧C ．p q ⌝∧D ．p q ∨⌝【解析】本题考查的是复合命题的真假判断，同时也是命题与函数的综合运用，要求掌握的知识点要全面，由题意可知，函数12x y a +=-恒过定点(1,1)-，所以命题p 为假命题，函数(1)y f x =-是偶函数，它的图象关于直线0x =对称，因此()y f x =的图象关于直线1x =-对称，命题q 也为假命题，所以只有p q ∨⌝为真命题，故选D ．【答案】D12.下列说法正确的是（ ）A ．若a R ∈，则“11a<”是“1a >”的必要不充分条件 B ．“p q ∧为真命题”是 “p q ∨为真命题”的必要不充分条件 C ．若命题p ：“x R ∀∈，sin cos 2x x +≤”，则p ⌝是真命题D ．命题“0x R ∃∈，200230x x ++<”的否定是“x R ∀∈，2230x x ++>”【解析】：由题意可知1110a a a <⇔><或，所以“11a<”是“1a >”的必要不充分条件；若p q ∧为真命题，则,p q 皆为真命题， 若p q ∨为真命题，则,p q 至少有一个为真命题，所以“p q ∧为真命题”是 “p q ∨为真命题”的充分不必要条件；因为sin cos 2sin(x )24x x π+=+≤，所以命题p 为真命题，p ⌝是假命题；命题“0x R ∃∈，200230x x ++<”的否定是“x R ∀∈，2230x x ++≥”，因此正确的是A.【答案】A13.设命题[]21:1,2,ln 0,2p x x x a ∀∈--≥命题2000:,2860q x R x ax a ∃∈+--≤使得， 如果命题“p 或q ”是真命题，命题“p 且q ”是假命题，求实数a 的取值范围．【分析】对命题p ，先分离常数21ln 2a x x ≤-，利用导数求出右边函数在区间[]1,2上的最小值为12，得12a ≤.对命题q ，2424320a a ∆=++≥，解得4,2a a ≤-≥-.p 或q 真，p 且q 假也就是说明两者一真一假，分成两类来求a 的取值范围.【解析】命题p: []211,2,ln ,2x a x x ∀∈≤-令[]21()ln ,1,22f x x x x =-∈， 1()f x x x '=-=210x x ->，min 1()2f x =，12a ∴≤. 命题q: 22860x ax a +--≤解集非空，2424320a a ∆=++≥， 4,2a a ∴≤-≥-或命题“p 或q ”是真命题，命题“p 且q ”是假命题，p 真q 假或p 假q 真。
简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词课前双击巩固1.简单的逻辑联结词命题中的、、叫作逻辑联结词,用符号分别表示为、、.2.全称量词与存在量词(1)短语“对所有的”“对任意一个”在逻辑中通常叫作,用符号“”表示.(2)短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫作,用符号“”表示.(3)含有一个量词的命题的否定:全称命题p:∀x∈M,p(x),它的否定是.特称命题q:∃x0∈M,q(x0),它的否定是.常用结论1.否命题是把原命题的条件与结论都否定,命题的否定只需否定命题的结论.2.用“并集”的概念来理解“或”,用“交集”的概念来理解“且”,用“补集”的概念来理解“非”.3.记忆口诀:(1)“p或q”,有真则真;(2)“p且q”,有假则假;(3)“非p”,真假相反.4.命题p∧q的否定是p∨q;命题p∨q的否定是p∧q.题组一常识题1.[教材改编]给出下列命题:①函数y=ln x是减函数;②2是方程x+2=0的根又是方程x-2=0的根;③28是5的倍数或是7的倍数.其中是“p或q”形式的命题的是.(填序号)2.[教材改编]p∨q是真命题,q是真命题,则p是(填“真”或“假”)命题.3.已知命题p:∃x0∈R,x02+x0-1<0,则命题p是.4.[教材改编]命题“有的四边形是平行四边形”的否定是.题组二常错题◆索引:全称命题或特称命题的否定出错;不会利用真值表判断命题的真假;复合命题的否定中出现逻辑联结词错误;考查命题真假时忽视对参数的讨论.5.[教材改编]命题“所有奇数的立方都是奇数”的否定是.6.已知命题p:所有有理数都是实数,命题q:正数的对数都是负数.则下列命题中为真命题的是.(填序号)①p∨q;②p∧q;③p∧q;④p∨q.7.已知命题:若ab=0,则a=0或b=0,则其否命题为.8.已知命题“∀x∈R,ax2+4x+1>0”是假命题,则实数a的取值范围是.课堂考点探究探究点一含逻辑联结词的命题及真假1 在一次跳伞训练中,甲、乙两位学员各跳一次,设命题p是“甲降落在指定范围”,q是“乙降落在指定范围”,则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为()A.p∨qB.p∨qC.p∧qD.p∨q(2)给出下列两个命题:命题p:若在边长为1的正方形ABCD内任取一点M,则|MA|≤1的概率为π4.命题q:若函数f(x)=x+4x ,则f(x)在区间1,32上的最小值为4.那么,下列命题为真命题的是()A.p∧qB.pC.p∧qD.p∧q[总结反思]判断含有逻辑联结词的命题真假的一般步骤:(1)判断复合命题的结构;(2)判断构成这个命题的每个简单命题的真假;(3)依据“或”:一真即真,“且”:一假即假,“非”:真假相反,作出判断即可.式题(1)[2017·惠州调研]设命题p:若定义域为R的函数f(x)不是偶函数,则∀x∈R,f(-x)≠f(x),命题q:f(x)=x|x|在(-∞,0)上是减函数,在(0,+∞)上是增函数.则下列判断错误．．的是()A.p为假B.q为真C.p∨q为真D.p∧q为假(2)已知命题p:若x>y,则-x<-y,命题q:若x<y,则x>y2.给出命题:①p∧q;②p∨q;③p∧q;④p∨q.其中为真命题的是()A.①③B.①④C.②③D.②④探究点二全称命题与特称命题2 (1)[2017·陕西师大附中二模]若命题p:对任意的x∈R,都有x3-x2+1<0,则p为()A.不存在x0∈R,使得x03-x02+1<0B.存在x0∈R,使得x03-x02+1<0C.对任意的x∈R,都有x3-x2+1≥0D.存在x0∈R,使得x03-x02+1≥0(2)下列命题中为假命题的是()A.∃α,β∈R,sin(α+β)=sin α+sin βB.∀φ∈R,函数f(x)=sin(2x+φ)都不是偶函数C.∃x0∈R,x03+a x02+bx0+c=0(a,b,c∈R且为常数)D.∀a>0,函数f(x)=(ln x)2+ln x-a有零点[总结反思]全称命题与特称命题的真假判断及其否定:命题命题形式真假判断方法否定形式全∀x∈M,所有对象为真则命题为真,存在一个对∃x0∈M,称命题p(x)象为假则命题为假p(x0)特称命题∃x0∈M,p(x0)存在一个对象为真则命题为真,所有对象为假则命题为假∀x∈M,p(x)式题[2017·山东师大附中二模]已知f(x)=e x-x,g(x)=ln x+x+1,命题p:∀x∈R,f(x)>0,命题q:∃x0∈(0,+∞),g(x0)=0,则下列说法正确的是()A.p是真命题,p:∃x0∈R,f(x0)<0B.p是假命题,p:∃x0∈R,f(x0)≤0C.q是真命题,q:∀x∈(0,+∞),g(x)≠0D.q是假命题,q:∀x∈(0,+∞),g(x)≠0探究点三根据命题的真假求参数的取值范围3 (1)[2017·南充一模]设p:∃x0∈1,52,g (x0)=log2(t x02+2x0-2)有意义,若p为假命题,则t的取值范围为.(2)[2017·湖南十三校二联]已知命题p:函数f(x)=2ax2-x-1(a≠0)在(0,1)内恰有一个零点;命题q:函数y=x2-a在(0,+∞)上是减函数.若p且q为真命题,则实数a的取值范围是.[总结反思]根据命题真假求参数的方法步骤:(1)根据题目条件,推出每一个命题的真假(有时不一定只有一种情况);(2)求出每个命题是真命题时参数的取值范围;(3)根据每个命题的真假情况,求出参数的取值范围.式题(1)[2018·衡水中学模拟]已知命题p:∃x0∈R,x02+ax0+a<0,若p是真命题,则实数a 的取值范围为()A.[0,4]B.(0,4)C.(-∞,0)∪(4,+∞)D.(-∞,0]∪[4,+∞)(2)[2017·太原二模]若命题“∀x∈(0,+∞),x+1≥m”是假命题,则实数m的取值范围x是.。
高考数学复习点拨 《简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词》教材解读
《简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词》教材解读一．要点解读1．理解基本逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义，并能加以判断三种复合命题的真假情况。
2．全称量词与存在量词也是刻画命题的常用逻辑用语。
全称命题是陈述某集合中所有元素都具有某种性质的命题，命题中常含有“所有的、对一切、每一个、任意”等全称量词；存在性命题是陈述某集合中有一些元素具有某种性质的命题，命题中常含有“至少存在一个、某些、对某个、有一个”等存在量词。
二．学法指导1．判断复合命题真假的简单程序：（1）确定复合命题的构成形式；（2）判断其中简单命题的真假；（3）根据其真值表判断复合命题的真假。
2．判定全称命题的真假的方法：（1）定义法：对给定的集合的每一个元素x ，)(x p 都为真；（2）代入法：在给定的集合内找出一个0x ，使)(0x p 为假，则全称命题为假。
3．判定存在性命题的真假的方法——代入法：在给定的集合中找到一个元素x ，使命题)(x p 为真，否则命题为假。
4．“若A 则B ”型命题的否定：“若A 则非B ”。
全称命题的否定是存在性命题。
存在性命题的否定是全称命题。
注意命题中可能省略了全称或存在意义的量词，要注意判断。
三．典例剖析1．复合命题的真假判断问题例1．以下判断中正确的是（ ）A ．命题⌝p p b a >122->b a p p ⌝p p p p b a >122->b a b a >122-≤b a b a ≤122-≤b a ⌝p p ⌝p p p p p 212--x x ，那么对命题的补集。
解析：由：|3－4|＞2，得：＜32或＞2，所以﹁：32≤≤2， 即﹁：{|32≤≤2}； 由q ：212--x x ＞0，得q ：＜－1或＞2，所以﹁q ：－1≤≤2， 即﹁q ：{|－1≤≤2}。
点评：含有一个量词的全称命题的否定，有下面的结论：全称命题：M x ∈∀，)(x p ，它的否定﹁：M x ∈∃，﹁)(x p ，即全称命题的否定是存在命题；含有一个量词的存在命题的否定，有下面的结论：存在命题：M x ∈∃，)(x p ，它的否定﹁：M x ∈∀，﹁)(x p ，即存在命题的否定是全称命题。
高考数学 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词[知识梳理]1．简单的逻辑联结词(1)命题中的或、且、非叫做逻辑联结词．(2)概念用联结词“且”把命题p和命题q联结起来，得到复合命题“p 且q”，记作p∧q；用联结词“或”把命题p和命题q联结起来，得到复合命题“p 或q”，记作p∨q；对命题p的结论进行否定，得到复合命题“非p”，记作綈p.(3)命题p∧q，p∨q，綈p的真假判断(4)命题的否定与否命题的区别①定义：命题的否定是直接对命题的结论进行否定，而否命题则是对原命题的条件和结论分别否定，即命题“若p，则q”的否定为“若p，则綈q”，而否命题为“若綈p，则綈q”．②与原命题的真假关系：命题的否定的真假与原命题的真假总是相对的，即一真一假，而否命题的真假与原命题的真假无必然的联系．2．全称量词和存在量词3．全称命题和特称命题4．复合命题的否定(1)“綈p”的否定是“p”；(2)“p∨q”的否定是“(綈p)∧(綈q)”；(3)“p∧q”的否定是“(綈p)∨(綈q)”．[诊断自测]1．概念思辨(1)若p∧q为真，则p∨q必为真；反之，若p∨q为真，则p∧q必为真．()(2)全称命题一定含有全称量词，特称命题一定含有存在量词．()(3)写特称命题的否定时，存在量词变为全称量词．()(4)∃x0∈M，p(x0)与∀x∈M，綈p(x)的真假性相反．()答案(1)×(2)×(3)√(4)√2．教材衍化(1)(选修A2－1P27T3)命题“∀x>0，都有x2－x＋3≤0”的否定是()A．∃x>0，使得x2－x＋3≤0B．∃x>0，使得x2－x＋3>0C．∀x>0，都有x2－x＋3>0D．∀x≤0，都有x2－x＋3>0答案 B解析命题“∀x>0，都有x2－x＋3≤0”的否定是：∃x>0，使得x2－x＋3>0.故选B.(2)(选修A2－1P18T1)已知命题p：∃x∈R，x－2>lg x，命题q：∀x∈R，x2>0，则()A．命题p∨q是假命题B．命题p∧q是真命题C．命题p∧(綈q)是真命题D．命题p∨(綈q)是假命题答案 C解析由于x＝10时，x－2＝8，lg x＝lg 10＝1，故命题p为真命题，令x＝0，则x2＝0，故命题q为假命题，依据复合命题真假性的判断法则，得到命题p ∨q 是真命题，命题p ∧q 是假命题，綈q 是真命题，进而得到命题p ∧(綈q )是真命题，命题p ∨(綈q )是真命题．故选C.3．小题热身(1)(优质试题·浙江高考)命题“∀n ∈N *，f (n )∈N *且f (n )≤n ”的否定形式是( )A ．∀n ∈N *，f (n )∉N *且f (n )>nB ．∀n ∈N *，f (n )∉N *或f (n )>nC ．∃n 0∈N *，f (n 0)∉N *且f (n 0)>n 0D ．∃n 0∈N *，f (n 0)∉N *或f (n 0)>n 0答案 D解析 “f (n )∈N *且f (n )≤n ”的否定为“f (n )∉N *或f (n )>n ”，全称命题的否定为特称命题．故选D.(2)(优质试题·山东高考)若“∀x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，tan x ≤m ”是真命题，则实数m 的最小值为________．答案 1解析 若0≤x ≤π4，则0≤tan x ≤1，∵“∀x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，tan x ≤m ”是真命题，∴m ≥1.∴实数m 的最小值为1.题型1 含有逻辑联结词的命题的真假 典例1(优质试题·江西七校联考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ，x <0，m －x 2，x ≥0，给出下列两个命题：命题p ：∃m ∈(－∞，0)，方程f (x )＝0有解；命题q ：若m ＝19，则f [f (－1)]＝0，那么，下列命题为真命题的是( )A ．p ∧qB ．(綈p )∧qC ．p ∧(綈q )D ．(綈p )∧(綈q )利用复合命题的真假判断方法，逐项验证法．答案 B解析 因为3x >0，当m <0时，m －x 2<0，所以命题p 为假命题；当m ＝19时，因为f (－1)＝3－1＝13，所以f [f (－1)]＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝19－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝0， 所以命题q 为真命题，逐项检验可知，只有(綈p )∧q 为真命题．故选B.典例2(优质试题·武汉模拟)若存在正常数a ，b ，使得∀x ∈R 有f (x ＋a )≤f (x )＋b 恒成立，则称f (x )为“限增函数”．给出下列三个函数：①f (x )＝x 2＋x ＋1；②f (x )＝|x |；③f (x )＝sin x 2，其中是“限增函数”的是( )A ．①②③B ．②③C ．①③D ．③注意放缩法的应用．答案 B解析 对于①，f (x ＋a )≤f (x )＋b 可化为(x ＋a )2＋(x ＋a )＋1≤x 2＋x ＋1＋b ，即2ax ≤－a 2－a ＋b ，即x ≤－a 2－a ＋b 2a对一切x ∈R 均成立，因函数的定义域为R ，故不存在满足条件的正常数a ，b ，故f (x )＝x 2＋x ＋1不是“限增函数”；对于②，若f (x )＝|x |是“限增函数”，则f (x ＋a )≤f (x )＋b 可化为：|x ＋a |≤|x |＋b ，∴|x ＋a |≤|x |＋b 2＋2b |x |恒成立，又|x ＋a |≤|x |＋a ，∴|x |＋a ≤|x |＋b 2＋2b |x |， ∴|x |≥a －b 22b ，显然当a <b 2时式子恒成立，∴f (x )＝|x |是“限增函数”；对于③，∵－1≤f (x )＝sin x 2≤1，∴f (x ＋a )－f (x )≤2，∴当b ≥2时，a 为任意正数，使f (x ＋a )≤f (x )＋b 恒成立，故f (x )＝sin x 2是“限增函数”．故选B.方法技巧1．判断含逻辑联结词命题真假的方法与步骤(1)判断含有逻辑联结词的命题的真假的关键是对逻辑联结词“或”“且”“非”的含义的理解，应根据组成各个命题的语句中所出现的逻辑联结词进行命题结构与真假的判断．见冲关针对训练1.(2)判断命题真假的步骤确定含有逻辑联结词的命题的构成形式⇒判断其中简单命题的真假⇒根据真值表判断含有逻辑联结词的命题的真假2．含逻辑联结词命题真假的等价关系(1)p∨q真⇔p，q至少一个真⇔(綈p)∧(綈q)假．(2)p∨q假⇔p，q均假⇔(綈p)∧(綈q)真．(3)p∧q真⇔p，q均真⇔(綈p)∨(綈q)假．(4)p∧q假⇔p，q至少一个假⇔(綈p)∨(綈q)真．(5)綈p真⇔p假；綈p假⇔p真．见典例1.冲关针对训练1．(优质试题·天星二联)已知命题p：若a＝0.30.3，b＝1.20.3，c ＝log1.20.3，则a<c<b；命题q：“x2－x－6>0”是“x>4”的必要不充分条件，则下列命题正确的是()A．p∧q B．p∧(綈q)C．(綈p)∧q D．(綈p)∧(綈q)答案 C解析因为0<a＝0.30.3<0.30＝1，b＝1.20.3>1.20＝1，c＝log1.20.3<log1.21＝0，所以c<a<b，故命题p为假命题，綈p为真命题；由x2－x－6>0可得x<－2或x>3，故“x2－x－6>0”是“x>4”的必要不充分条件，q为真命题，故(綈p)∧q为真命题．故选C.2．(优质试题·山西八校联考)已知命题p：存在n∈R，使得f(x)＝nxn ＋2n 是幂函数，且在(0，＋∞)上单调递增；命题q ：“∃x ∈R ，x 2＋2>3x ”的否定是“∀x ∈R ，x 2＋2<3x ”．则下列命题为真命题的是( )A ．p ∧qB ．(綈p )∧qC ．p ∧(綈q )D ．(綈p )∧(綈q ) 答案 C解析 当n ＝1时，f (x )＝x 3为幂函数，且在(0，＋∞)上单调递增，故p 是真命题，则綈p 是假命题；“∃x ∈R ，x 2＋2>3x ”的否定是“∀x ∈R ，x 2＋2≤3x ”，故q 是假命题，綈q 是真命题．所以p ∧q ，(綈p )∧q ，(綈p )∧(綈q )均为假命题，p ∧(綈q )为真命题．故选C.题型2 全称命题与特称命题角度1 全称命题、特称命题的真假判断典例(优质试题·贵阳模拟)下列命题是假命题的是( ) A ．∃α，β∈R ，使sin(α＋β)＝sin α＋sin βB ．∀φ∈R ，函数f (x )＝sin(2x ＋φ)都不是偶函数C ．∃x 0∈R ，使x 30＋ax 20＋bx 0＋c ＝0(a ，b ，c ∈R 且为常数)D ．∀a >0，函数f (x )＝ln 2 x ＋ln x －a 有零点本题用赋值法、分离常数法．答案 B解析 取α＝0时，sin(α＋β)＝sin α＋sin β，A 正确；取φ＝π2时，函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝cos2x 是偶函数，B 错误；对于三次函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，当x →－∞时，y →－∞，当x →＋∞时，y →＋∞，又f (x )在R 上为连续函数，故∃x 0∈R ，使x 30＋ax 20＋bx 0＋c ＝0，C 正确；当f (x )＝0时，ln 2 x ＋ln x －a ＝0，则有a ＝ln 2x ＋ln x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x ＋122－14≥－14，所以∀a >0，函数f (x )＝ln 2 x ＋ln x －a 有零点，D 正确．故选B.角度2 全称命题、特称命题的否定典例 (优质试题·厦门模拟)已知命题p ：∀x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，sin x <x ，则( )A ．p 是真命题，綈p ：∀x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，sin x ≥x B ．p 是真命题，綈p ：∃x 0∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，sin x 0≥x 0 C ．p 是假命题，綈p ：∀x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，sin x ≥x D ．p 是假命题，綈p ：∃x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，sin x 0≥x 0 用构造函数法，求导法．答案 B解析 令f (x )＝sin x －x ，则f ′(x )＝cos x －1<0，函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2递减， f (x )max <f (0)＝0，故sin x <x ，命题p 是真命题，由命题的否定的定义，要否定命题的结论，同时改写量词知綈p ：∃x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，sin x 0≥x 0.故选B.方法技巧全(特)称命题的常见题型及解题策略1．全(特)称命题的真假判断．①要判断一个全称命题是真命题，必须对限定的集合M 中的每个元素x 验证p (x )成立，但要判断一个全称命题为假命题，只要能举出集合M 中的一个x ＝x 0，使得p (x 0)不成立即可．②要判断一个特称命题为真命题，只要在限定的集合M 中，找到一个x ＝x 0，使p (x 0)成立即可，否则这一特称命题就是假命题．见角度1典例．2．全(特)称命题的否定．全称命题与特称命题的否定与命题的否定有一定的区别，否定全称命题和特称命题时，一是要改写量词，全称量词改写为存在量词，存在量词改写为全称量词；二是要否定结论，而一般命题的否定只需直接否定结论即可．见角度2典例．冲关针对训练1．(优质试题·晋中模拟)已知f (x )＝e x －x ，g (x )＝ln x ＋x ＋1，命题p ：∀x ∈R ，f (x )>0，命题q ：∃x 0∈(0，＋∞)，使得g (x 0)＝0，则下列说法正确的是( )A ．p 是真命题，綈p ：∃x 0∈R ，f (x 0)<0B ．p 是假命题，綈p ：∃x 0∈R ，f (x 0)≤0C ．q 是真命题，綈q ：∀x ∈(0，＋∞)，g (x )≠0D ．q 是假命题，綈q ：∀x ∈(0，＋∞)，g (x )≠0答案 C解析 f ′(x )＝e x －1，由f ′(x )>0得x >0，由f ′(x )<0得x <0，即当x ＝0时，函数f (x )取得极小值，同时也是最小值f (0)＝e 0－0＝1－0＝1>0，所以∀x ∈R ，f (x )>0成立，即p 是真命题．g (x )＝ln x ＋x ＋1在(0，＋∞)上为增函数，当x →0时，g (x )<0，g (1)＝0＋1＋1＝2>0，则∃x 0∈(0，＋∞)，使得g (x 0)＝0成立，即命题q 是真命题．则綈p ：∃x 0∈R ，f (x 0)≤0，綈q ：∀x ∈(0，＋∞)，g (x )≠0， 综上只有C 成立．故选C.2．(优质试题·安徽皖江名校联考)命题p ：存在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，使sin x ＋cos x >2；命题q ：“∃x 0∈(0，＋∞)，ln x 0＝x 0－1”的否定是“∀x ∈(0，＋∞)，ln x ≠x －1”，则四个命题：(綈p )∨(綈q )，p ∧q ，(綈p )∧q ，p ∨(綈q )中，正确命题的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案 B解析 因为sin x ＋cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4≤2，所以命题p 是假命题；又特称命题的否定是全称命题，因此命题q 为真命题．则(綈p )∨(綈q )为真命题，p ∧q 为假命题，(綈p )∧q 为真命题，p ∨(綈q )为假命题．∴四个命题中正确的有2个命题．故选B.题型3 由命题的真假求参数的取值范围 典例1已知命题P ：函数y ＝log a (1－2x )在定义域上单调递增；命题Q ：不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4<0对任意实数x 恒成立．若P ∨Q 是假命题，则实数a 的取值范围是________．注意分情况讨论．答案 a ≤－2或a >2解析 命题P ：函数y ＝log a (1－2x )在定义域上单调递增，∴0<a <1.又∵命题Q ：不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4<0对任意实数x 恒成立，∴a ＝2或⎩⎨⎧ a －2<0，Δ＝4(a －2)2＋16(a －2)<0，即－2<a ≤2. 若P ∨Q 为假命题，则P 假Q 假，命题P 为假时，有a ≤0或a ≥1；命题Q 为假时，有a ≤－2或a >2，所以P ∨Q 为假时a ≤－2或a >2.[结论探究] 在本例条件下，若P ∨Q 为真命题，P ∧Q 为假命题，则实数a 的取值范围为________．答案 －2<a ≤0或1≤a ≤2解析 若P ∨Q 为真，P ∧Q 为假，命题P 和Q 一真一假，若P 真Q 假，无解；若P 假Q 真，有－2<a ≤0或1≤a ≤2.典例2(优质试题·河北调研)对任意的x >0，总有f (x )＝a －x －|lg x |≤0，则a 的取值范围是( )A．(－∞，lg e－lg (lg e)] B．(－∞，1]C．[1，lg e－lg (lg e)] D．[lg e－lg (lg e)，＋∞)用数形结合法．答案 A解析对任意的x>0，总有f(x)＝a－x－|lg x|≤0，即a－x≤|lg x|恒成立，设y＝－x＋a，g(x)＝|lg x|，如图，当直线y＝－x＋a与g(x)相切时，a取得最大值，设切点为A(x，y)，则－1＝(－lg x)′，得到x＝lg e，所以y＝－lg (lg e)，所以切线方程为：y＋lg (lg e)＝－(x－lg e)，令x＝0得到y＝lg e －lg (lg e)，所以a的取值范围为(－∞，lg e－lg (lg e)]．故选A.方法技巧利用命题真假求参数取值范围的求解策略1．根据含逻辑联结词的命题真假求参数的方法步骤：(1)根据题目条件，推出每一个命题的真假(有时不一定只有一种情况)；(2)求出每个命题是真命题时参数的取值范围；(3)根据每个命题的真假情况，求出参数的取值范围．见典例1.2．全称命题可转化为恒成立问题．同时注意数形结合思想的应用．见典例2.冲关针对训练(优质试题·寿县月考)已知命题P ：∀x ∈(2,3)，x 2＋5>ax 是假命题，则实数a 的取值范围是( )A ．[25，＋∞)B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫92，＋∞C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫143，＋∞ D ．(－∞，25]答案 A解析 若∀x ∈(2,3)，x 2＋5>ax 恒成立，则a <⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋5x min ，x ∈(2,3)． ∵f (x )＝x ＋5x 在(2，5)上是减函数，在(5，3)上为增函数，∴函数f (x )的最小值是f (5)＝25，则a <2 5.∵命题P ：∀x ∈(2,3)，x 2＋5>ax 是假命题，∴a ≥25，实数a 的取值范围是[25，＋∞)．故选A.1．(优质试题·山东高考)已知命题p ：∀x ＞0，ln (x ＋1)＞0；命题q ：若a ＞b ，则a 2＞b 2.下列命题为真命题的是( )A ．p ∧qB ．p ∧(綈q )C ．(綈p )∧qD ．(綈p )∧(綈q )答案 B解析 ∵x ＞0，∴x ＋1＞1，∴ln (x ＋1)＞ln 1＝0，∴命题p为真命题，∴綈p为假命题．∵a＞b，取a＝1，b＝－2，而12＝1，(－2)2＝4，此时a2＜b2，∴命题q为假命题，∴綈q为真命题．∴p∧q为假命题，p∧(綈q)为真命题，(綈p)∧q为假命题，(綈p)∧(綈q)为假命题．故选B.2．(优质试题·郑州质检)设命题p：∀x>0，log2x<2x＋3，则綈p 为()A．∀x>0，log2x≥2x＋3 B．∃x>0，log2x≥2x＋3C．∃x>0，log2x<2x＋3 D．∀x<0，log2x≥2x＋3答案 B解析由全称命题的否定为特称命题，知綈p为∃x>0，log2x≥2x ＋3.故选B.3．(优质试题·石家庄质检)下列选项中，说法正确的是()A．若a>b>0，则ln a<ln bB．向量a＝(1，m)，b＝(m,2m－1)(m∈R)垂直的充要条件是m ＝1C．命题“∀n∈N*,3n>(n＋2)·2n－1”的否定是“∀n∈N*,3n≥(n＋2)·2n－1”D．已知函数f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的，则命题“若f(a)·f(b)<0，则f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点”的逆命题为假命题答案 D解析A中，因为函数y＝ln x(x>0)是增函数，所以若a>b>0，则ln a>ln b，错误；B中，若a⊥b，则m＋m(2m－1)＝0，解得m＝0，错误；C中，命题“∀n∈N*,3n>(n＋2)·2n－1”的否定是“∃n∈N*,3n≤(n＋2)·2n －1”，错误；D 中，原命题的逆命题是“若f (x )在区间(a ，b )内至少有一个零点，则f (a )·f (b )<0”，该逆命题是假命题，如函数f (x )＝x 2－2x －3在区间[－2,4]上的图象是连续不断的，且在区间(－2,4)内有两个零点，但f (－2)·f (4)>0，正确．故选D.4．(优质试题·皖南名校联考)设命题p ：函数f (x )＝x 3－ax －1在区间[－1,1]上单调递减；命题q ：函数y ＝ln (x 2＋ax ＋1)的值域是R ，如果命题p 或q 是真命题，p 且q 为假命题，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，3]B ．(－∞，－2]∪[2,3)C ．(2,3]D ．[3，＋∞)答案 B解析 若p 为真命题，则f ′(x )＝3x 2－a ≤0在区间[－1，1]上恒成立，即a ≥3x 2在区间[－1,1]上恒成立，所以a ≥3；若q 为真命题，则方程x 2＋ax ＋1＝0的判别式Δ＝a 2－4≥0，即a ≥2或a ≤－2.由题意知，p 与q 一真一假．当p 真q 假时，⎩⎨⎧ a ≥3，－2<a <2，则a ∈∅；当p 假q 真时，⎩⎨⎧ a <3，a ≥2或a ≤－2，则a ≤－2或2≤a <3. 综上所述，a ∈(－∞，－2]∪[2,3)．故选B.[基础送分提速狂刷练]一、选择题1．(优质试题·武邑模拟)已知命题p：∀x>0，总有(x＋1)e x>1，则綈p为()A．∃x0≤0，使得(x0＋1)e x0≤1B．∃x0>0，使得(x0＋1)e x0≤1C．∀x>0，总有(x＋1)e x≤1D．∀x≤0，总有(x＋1)e x≤1答案 B解析“∀x>0，总有(x＋1)e x>1”的否定是“∃x0>0，使得(x0＋1)e x0≤1”．故选B.2．下列四个命题：其中的真命题是()A．p1，p3B．p1，p4C．p2，p3D．p2，p4答案 D解析3．已知a >0，函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c .若x 0满足关于x 的方程2ax ＋b ＝0，则下列选项的命题中为假命题的是( )A ．∃x ∈R ，f (x )≤f (x 0)B ．∃x ∈R ，f (x )≥f (x 0)C ．∀x ∈R ，f (x )≤f (x 0)D ．∀x ∈R ，f (x )≥f (x 0)答案 C解析 由题知：x 0＝－b 2a 为函数f (x )图象的对称轴方程，所以f (x 0)为函数的最小值，即对所有的实数x ，都有f (x )≥f (x 0)，因此∀x ∈R ，f (x )≤f (x 0)是错误的．故选C.4．(优质试题·广东五校一诊)下列命题错误的是( )A ．若p ∨q 为假命题，则p ∧q 为假命题B ．若a ，b ∈[0,1]，则不等式a 2＋b 2<14成立的概率是π16C ．命题“∃x ∈R ，使得x 2＋x ＋1<0”的否定是“∀x ∈R ，x 2＋x ＋1≥0”D ．已知函数f (x )可导，则“f ′(x 0)＝0”是“x 0是函数f (x )的极值。
2019年高考数学一轮复习：集合与常用逻辑用语 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词(含解析)
简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词【考点梳理】1．简单的逻辑联结词(1)命题中的“或”“且”“非”叫做逻辑联结词． (2)命题p ∧q ，p ∨q ，⌝p 的真假判断2.全称量词与存在量词(1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，用符号“∀”表示．(2)全称命题：含有全称量词的命题，叫做全称命题．全称命题“对M 中任意一个x ，有p (x )成立”简记为∀x ∈M ，p (x )．(3)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，用符号“∃”表示．(4)特称命题：含有存在量词的命题，叫做特称命题．特称命题“存在M 中的一个元素x 0，使p (x 0)成立”，简记为∃x 0∈M ，p (x 0)．3．含有一个量词的命题的否定【考点突破】考点一、含有逻辑联结词的命题的真假判断【例1】(1)已知命题p ：若x >y ，则－x <－y ；命题q ：若1x >1y，则x <y .在命题①p ∧q ；②p ∨q ；③p ∧(⌝q )；④(⌝p )∨q 中，真命题是( )A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④(2)设命题p ：∃x 0∈(0，＋∞)，x 0＋1x 0>3；命题q ：∀x ∈(2，＋∞)，x 2>2x，则下列命题为真的是( )A ．p ∧(⌝q )B ．(⌝p )∧qC ．p ∧qD ．(⌝p )∨q[答案] (1)C (2)A[解析] (1) 由不等式的性质可知，命题p 是真命题，命题q 为假命题，故①p ∧q 为假命题；②p ∨q 为真命题；③⌝q 为真命题，则p ∧(⌝q )为真命题；④⌝p 为假命题，则(⌝p )∨q 为假命题．(2) 对于命题p ，当x 0＝4时，x 0＋1x 0＝174>3，故命题p 为真命题；对于命题q ，当x ＝4时，24＝42＝16，即∃x 0∈(2，＋∞)，使得2x 0＝x 20成立，故命题q 为假命题，所以p ∧(⌝q )为真命题，故选A.【类题通法】1.判断含有逻辑联结词命题真假的步骤2.p 且q 形式是“一假必假，全真才真”，p 或q 形式是“一真必真，全假才假”，非p 则是“与p 的真假相反”.【对点训练】1.已知命题p ：a 2≥0(a ∈R)，命题q ：函数f (x )＝x 2－x 在区间[0，＋∞)上单调递增，则下列命题：①p ∨q ；②p ∧q ；③(⌝p )∧(⌝q )；④(⌝p )∨q . 其中为假命题的序号为________． [答案] ②③④[解析] 显然命题p 为真命题，⌝p 为假命题．∵f (x )＝x 2－x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122－14，∴函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞上单调递增． ∴命题q 为假命题，⌝q 为真命题．∴p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，(⌝p )∧(⌝q )为假命题，(⌝p )∨q 为假命题． 2.若命题p ：∀x ∈R ，log 2x ＞0，命题q ：∃x 0∈R ，2x 0＜0，则下列命题为真命题的是( ) A ．p ∨(⌝q ) B ．p ∧q C ．(⌝p )∧q D ．p ∨q[答案] A[解析] 命题p 和命题q 都是假命题，则命题⌝p 和命题⌝q 都是真命题，故选A.考点二、全称命题、特称命题【例2】(1)设命题p ：∃n ∈N ，n 2>2n，则⌝p 为( )A ．∀n ∈N ，n 2>2nB ．∃n ∈N ，n 2≤2nC ．∀n ∈N ，n 2≤2nD ．∃n ∈N ，n 2＝2n(2)下列命题中，为真命题的是( ) A ．∀x ∈(0，＋∞)，x 2>1 B ．∃x 0∈(1，＋∞)，lg x 0＝－x 0 C ．∀a ∈(0，＋∞)，a 2>aD ．∃a 0∈(0，＋∞)，x 2＋a 0>1对x ∈R 恒成立 [答案] (1) C (2) D[解析] (1)命题p 的量词“∃”改为“∀”，“n 2>2n ”改为“n 2≤2n”，∴⌝p ：∀n ∈N ，n 2≤2n .(2)对于A ，当x ＝1时不成立；对于B ，当x ∈(1，＋∞)时，lg x >0，而－x <0，不成立； 对于C ，当a ＝1时不成立；对于D ，∃a 0＝2∈(0，＋∞)，x 2＋a 0＝x 2＋2>1对x ∈R 恒成立，正确．故选D. 【类题通法】 1. 命题否定2步操作(1)改写量词：找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义加上量词，再改变量词．(2)否定结论：对原命题的结论进行否定．2．真假判断注意特例全称命题与特称命题的真假判断要注意“特例”的作用，说明全称命题为假命题，只需给出一个反例；说明特称命题为真命题，只需找出一个正例．【对点训练】1．命题p ：∀x <0，x 2≥2x，则命题⌝p 为( )A ．∃x 0<0，x 20≥2x 0 B ．∃x 0≥0，x 20<2x 0 C ．∃x 0<0，x 20<2x 0 D ．∃x 0≥0，x 20≥2x 0[答案] C[解析] 全称命题的否定，应先改写量词，再否定结论，∴⌝p ：∃x 0<0，x 20<02x.2．以下四个命题：①∀x ∈R ，x 2－3x ＋2>0恒成立；②∃x ∈Q ，x 2＝2；③∃x ∈R ，x 2＋1＝0；④∀x ∈R ，4x 2>2x －1＋3x 2，其中真命题的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．4[答案] A[解析] ∵∆＝(－3)2－4×2>0，∴当x >2或x <1时，x 2－3x ＋2>0才成立，∴①为假命题；当且仅当x ＝±2时，x 2＝2，∴不存在x ∈Q ，使得x 2＝2，∴②为假命题；对∀x ∈R ，x 2＋1≠0，∴③为假命题；④中，当x ＝1时，4x 2＝2x －1＋3x 2；则④为假命题.考点三、由命题的真假求参数的取值范围【例3】(1)已知命题“∃x 0∈R ，使2x 20＋(a －1)x 0＋12≤0”是假命题，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)B ．(－1，3)C ．(－3，＋∞)D ．(－3，1)(2)命题p ：关于x 的不等式x 2＋2ax ＋4>0，对一切x ∈R 恒成立；命题q ：函数f (x )＝(3－2a )x是增函数，若p 或q 为真，p 且q 为假，则实数a 的取值范围为________．[答案] (1)B (2) (－∞，－2]∪[1，2)[解析] (1)原命题的否定为∀x ∈R,2x 2＋(a －1)x ＋12＞0，由题意知，为真命题，则Δ＝(a －1)2－4×2×12＜0，则－2＜a －1＜2，则－1＜a ＜3， ∴实数a 的取值范围为(－1，3).(2) p 为真：Δ＝4a 2－16<0，解得－2<a <2；q 为真：3－2a >1，解得a <1.∵p 或q 为真，p 且q 为假，∴p ，q 一真一假．当p 真q 假时，⎩⎪⎨⎪⎧－2<a <2，a ≥1⇒1≤a <2；当p 假q 真时，⎩⎪⎨⎪⎧a ≥2或a ≤－2，a <1⇒a ≤－2.∴实数a 的取值范围为(－∞，－2]∪[1，2)． 【类题通法】 1．由真假求参要转化含量词的命题的真假求参数取值问题，关键是根据量词等价转化相应的命题，一般要将其转化为恒成立或有解问题，进而根据相关知识确定对应条件．2．根据命题的真假求参数的取值范围的步骤(1)求出当命题p ，q 为真命题时所含参数的取值范围； (2)根据复合命题的真假判断命题p ，q 的真假性；(3)根据命题p ，q 的真假情况，利用集合的交集和补集的运算，求解参数的取值范围． 【对点训练】1．若命题“对∀x ∈R ，kx 2－kx －1<0”是真命题，则k 的取值范围是________． [答案] (－4，0][解析] “对∀x ∈R ，kx 2－kx －1<0”是真命题，当k ＝0时，则有－1<0；当k ≠0时，则有k <0且∆＝(－k )2－4×k ×(－1)＝k 2＋4k <0，解得－4<k <0，综上所述，实数k 的取值范围是(－4,0]．2．已知p ：∃x 0∈R ，mx 20＋1≤0，q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1>0，若p ∨q 为假命题，则实数m 的取值范围是( )A ．[2，＋∞)B ．(－∞，－2]C ．(－∞，－2]∪[2，＋∞)D ．[－2，2][答案] A[解析] 依题意知，p ，q 均为假命题． 当p 是假命题时，mx 2＋1>0恒成立，则有m ≥0；当q 是假命题时，则有∆＝m 2－4≥0，解得m ≤－2或m ≥2.因此由p ，q 均为假命题得⎩⎪⎨⎪⎧m ≥0，m ≤－2或m ≥2，即m ≥2.∴实数m 的取值范围是[2，＋∞)．。
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【2019-2020】高考数学考点03简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词必刷题理1．命题:“,不等式成立”;命题q:“函数的单调递增区间是”,则下列复合命题是真命题的是A． (p)V(q) B． p∧q C． (p)Vq D． (p)∧(q)2．下列命题错误的是（）A．命题“ ，”的否定是“，”;B．若是假命题，则，都是假命题C．双曲线的焦距为D．设，是互不垂直的两条异面直线，则存在平面，使得，且【答案】B【解析】对于选项A，由于特称命题的否定是特称命题，所以命题“ ，”的否定是“，”，是正确的.对于选项B, 若是假命题，则，至少有一个是假命题，所以命题是假命题.对于选项C, 双曲线的焦距为2c=2,所以是真命题.对于选项D, 设，是互不垂直的两条异面直线，则存在平面，使得，且,是真命题.故答案为：B.3．以下有关命题的说法错误的是A．命题“若x2-3x+2=0”，则x=1”的逆否命题为“若x≠1，则x2-3x+2≠0”B．“”是“x2-3x+2=0”的充分不必要条件C．若p∧q为假命题，，则p、q均为假命题D．对于命题4．已知.若“”是真命题，则实数a的取值范围是A． (1，+∞) B． (－∞，3) C． (1，3) D．【答案】C【解析】由“”是真命题可知命题p,q均为真命题，若命题p为真命题，则：，解得：，若命题q为真命题，则：，即，综上可得，实数a的取值范围是，表示为区间形式即.本题选择C选项.5．已知命题：,，命题：,，则下列命题中为真命题的是( )A． B． C． D．【答案】C【解析】命题p：∀x∈N*，（）x≥（）x，利用指数函数的性质可得：是真命题；命题q：由2x+21﹣x=2，化为：（2x）2﹣2•2x+2=0，解得2x=，∴x=，因此q是假命题．则下列命题中为真命题的是P∧（￢q），故选：C．6．下列说法中，正确的是( )A．命题“若am2<bm2，则a<b”的逆命题是真命题B．命题“存在x0∈R，x－x0>0”的否定是“对任意的x∈R，x2－x≤0”C．命题“p或q”为真命题，则命题p和命题q均为真命题D．已知x∈R，则“x>1”是“x>2”的充分不必要条件7．下列命题正确的是（）A．命题的否定是：B．命题中，若，则的否命题是真命题C．如果为真命题，为假命题，则为真命题，为假命题D．是函数的最小正周期为的充分不必要条件【答案】D【解析】在A中，命题的否定是：，故A错误；在B中，命题中，若，则的否命题是假命题，故B错误；在C中，如果为真命题，为假命题，则与中一个是假命题，另一个是真命题，故C错误；在D中，∴ω=1⇒函数f（x）=sinωx-cosωx的最小正周期为2π，函数f（x）=sinωx-cosωx的最小正周期为2π⇒ω=±1．∴是函数的最小正周期为的充分不必要条件，故D正确．故选：D．8．已知命题，使；命题，都有，下列结论中正确的是A．命题“p∧q”是真命题 B．命题“p∧q”是真命题C．命题“p∧q”是真命题 D．命题“p∨q”是假命题【答案】A【解析】由判断，所以为假命题；命题，所以为真命题，所以命题“p∧q”是真命题，故选A．9．已知命题p:若a>|b|,则a2>b2;命题q:若x2=4,则x=2.下列说法正确的是 ( ) A．“p∨q”为真命题 B．“p∧q”为真命题C．“p”为真命题 D．“q”为假命题10．有如下关于三角函数的四个命题：，，，若，则其中假命题的是（）A．， B．， C．， D．，【答案】A【解析】：，都有，故错误；：时满足式子，故正确；：，，且，所以，故正确；：，，故错误；故选A.11．下列说法错误的是（）A．对于命题，则B．“”是“”的充分不必要条件C．若命题为假命题，则都是假命题D．命题“若，则”的逆否命题为：“若，则”12．命题“”的否定是（）A． B．C． D．【答案】D【解析】命题的否定为：，，故选D.13．下列命题中的假命题是( )A． B． C． D．【答案】D【解析】对于选项A，,所以该命题是真命题；对于选项B,,所以该命题是真命题；对于选项C,,，所以该命题是真命题；对于选项D,是假命题，因为.故答案为：D.14．命题的否定是（）A． B．C． D．【答案】A【解析】命题的否定是：，故选A.15．设命题，使得，则为（）A．，使得 B．，使得C．，使得 D．.使得【答案】A【解析】命题，使得，则为，使得。
故答案为：A.16．下列命题中，真命题是( )A．B．C．D．17．命题“x∈[1，2]，x2-3x+2≤0”的否定为( )A．x∈[l,2]，x2—3x+2>0 B．x [1,2]，x2—3x+2>0C．x o∈[l,2],x o2-3x o +2 >0 D．x o [1,2]，x o2-3x o+2 >0【答案】C【解析】由题意可知，命题“”的否定为“”，故选C. 18．在下列四个命题中：①命题“，总有”的否定是“，使得”；②把函数的图象向右平移得到的图象；③甲、乙两套设备生产的同类型产品共4800件，采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为80的样本进行质量检测若样本中有50件产品由甲设备生产，则乙设备生产的产品总数为1800件；④“”是“直线与圆相切”的必要不充分条件错误的个数是（）A． 0 B． 1 C． 2 D． 319．已知，命题p：，，则A．p是假命题，：，B．p是假命题，：，C．p是真命题，：，D．p是真命题，：，【答案】C【解析】，，当时，命题：，，是真命题命题：，，则故选.20．已知命题p：，，则为A．， B．， C．， D．，21．下列有关命题的说法正确的是（）A．命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“若x2=1，则x≠1”B．“m=1”是“直线x-my=0和直线x+my=0互相垂直”的充要条件C．命题“，使得”的否定是﹕“，均有”D．命题“已知、B为一个三角形的两内角,若A=B，则sinA=sinB”的否命题为真命题【答案】D【解析】对于A，命题“若x2=1,则x=1”的否命题为“若x2≠1，则x≠1”，故A不正确．对于B，由题已知“直线x-my=0和直线x+my=0互相垂直”的充要条件是“”，所以B不正确．对于C，已知命题的否定为“，均有”，所以C不正确．对于D，已知命题的否命题为“已知A、B为一个三角形的两内角，若A≠B，则sinA≠sinB”，此命题为真命题，所以D正确．故选D．22．命题：“，”的否定为A．, B．,C．, D．,23．下列命题中，正确的是①若随机变量，则且；②命题“”的否定是：“”；③命题“若”为真命题；④已知为实数，直线是“2” 的充要条件. A．①② B．②③ C．②④ D．③④【答案】B【解析】对①，，①不正确；对②，根据特称命题的否定是全称命题可得命题“”的否定是：“”；②正确；对③，命题“若，则或”的逆否命题是，“若是，则”，正确，原命题正确，③正确；④时，也能推出，④不正确，故选B.24．已知，命题函数在上单调递减，命题不等式的解集为，若为假命题，为真命题，求的取值范围．25．设：实数x满足，：实数x满足.（1）若，且p∧q为真，求实数x的取值范围；（2）若且是的充分不必要条件，求实数a的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】 (1)由得，当时,，即为真时，.由,得,得，即q为真时，.若为真,则真且真,所以实数的取值范围是.(2)由得,，.由,得,得.设,,若p是q的充分不必要条件，则是的真子集，故，所以实数的取值范围为.26．已知命题p: 曲线y=1与x轴没有交点；命题q:函数f(x)=是减函数.若p 或q为真命题,p且q为假命题,则实数m的取值范围.27．已知m＞0，p：x2﹣2x﹣8≤0，q：2﹣m≤x≤2+m．（1）若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围；（2）若m=5，“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，求实数x的取值范围．【答案】（1）；（2）【解析】（1）由x2﹣2x﹣8≤0得﹣2≤x≤4，即p：﹣2≤x≤4，记命题p的解集为A=[﹣2，4]，p是q的充分不必要条件，∴A⊊B，∴，解得：m≥4．（2）∵“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，∴命题p与q一真一假，①若p真q假，则，无解，②若p假q真，则，解得：﹣3≤x＜﹣2或4＜x≤7．综上得：﹣3≤x＜﹣2或4＜x≤7．28．已知命题:,;命题:,使得.若“或”为真,“且”为假,求实数的取值范围.29．已知命题；命题是增函数.若“”为假命题且“”为真命题，则实数m的取值范围为_______.【答案】[1，2)【解析】命题p：∀x∈R，x2+1＞m，解得：m＜1；命题q：指数函数f（x）=（3-m）x是增函数，则3-m＞1，解得：m＜2，若“p∧q”为假命题且“p∨q”为真命题，则p，q一真一假，p真q假时：无解，p假q真时：，解得：1≤m＜2，故答案为：[1，2）．30．已知命题：，命题：幂函数在是减函数，若“”为真命题，“”为假命题，则实数的取值范围是_________。
31．已知命题函数在内恰有一个零点；命题函数在上是减函数，若为真命题，则实数的取值范围是___________．【答案】【解析】命题p：函数f（x）=2ax2﹣x﹣1（a≠0）在（0，1）内恰有一个零点，则f（0）f（1）=﹣（2a﹣2）＜0，解得a＞1；命题q：函数y=x2﹣a在（0，+∞）上是减函数，2﹣a＜0，解得a＞2．∴￢q：a∈（﹣∞，2]．∵p且￢q为真命题，∴p与￢q都为真命题，∴解得1＜a≤2．则实数a的取值范围是（1，2]．故答案为：（1，2]．32．已知命题是假命题，则实数a的取值范围是________．。