变化中的三角形
变化中的三角形教学设计
变化中的三角形教学设计2．变化中的三角形沈阳市第99中学姜兴慧一、学生起点分析学生的知识技能基础：学生在前面差不多学习了变量之间的关系、在平常的生活中中又经常接触到一些具有变化关系的量，初步明白得了自变量及因变量之间的关系，具备了从一个具体问题中辨别自变量与应变量的能力。
学生活动体会基础：在相关知识的学习探究过程中，学生差不多经历了一些由于自变量发生变化而引起因变量变化的活动，解决了一些简单的现实问题，获得了一些数学活动体会的基础；同时在往常的数学学习和生活中学生差不多经历了专门多合作学习的过程，具有了一定的合作学习的体会，具备了一定的合作与交流的能力。
二、教学任务分析本节内容是建立在学生已明白得变量、自变量、因变量的意义和体会到了因变量是随自变量变化而变化的基础上，教材通过对三角形的底边的变化引起三角形面积的变化问题的探究，探究出了变量间的变化规律可用关系式来表达，运用表达式能够描述出自变量和因变量具体变化的情形。
教材通过机器图直观地表示了自变量和因变量的数值对应关系，即“输入”一个 x 值就能够“输出”一个 y 值，隐含了函数的思想。
教材通过“做一做”和“随堂练习”进一步地表达了这一数学思想，专门是教材通过“读一读”不仅深化了本节的数学思想，而且扩展了学生的知识面，让学生体会到变量与变量之间的相互依靠关系是生活中广泛存在的。
通过本节的学习，让学生学会了用数学工具直观地表示事物的变化情形。
本节的教学目标如下：1．知识与技能目标：(1) 经历探究某些图形中变量之间的关系的过程，进一步体会一个变量对另一个变量的阻碍，进展符号感。
(2) 能依照具体情形，用关系式表示某些变量之间的关系。
(3) 能依照关系式求值，初步体会自变量和因变量的数值对应关系。
2．过程与方法目标：(1) 如何将生活中的实际问题转化为数学问题。
(2) 如何用数学方法解决实际生活中的问题。
3．情感态度与价值观目标：培养学生动手的能力，探究问题、研究问题的能力及应用数学知识的能力。
初中数学连接紧密的知识点
初中各年级数学知识点之间的联系七年级上册第一章丰富的图形世界1．生活中的立体图形2．展开与折叠3．截一个几何体4．从不同方向看5．生活中的平面图形第二章有理数及其运算(整个初中和高中数学的计算基础，比方说负数比较大小,数的开方) 1．数怎么不够用了2．数轴3．绝对值(0)0(0)(0)a aa aa a>⎧⎪==⎨⎪-<⎩4．有理数的加法5．有理数的减法〔加入了负数的减法要变号〕6．有理数的加减混合运算7．水位的变化8．有理数的乘法9．有理数的除法10．有理数的乘方11．有理数的混合运算12．计算器的使用第三章字母表示数〔为后面解二元一次方程和解一元二次方程，甚至方程组和不等式方程组计算打好基础基础〕1．字母能表示什么2．代数式3．代数式求值4．合并同类项5．去括号〔中学学习计算最容易出错的地方，去括号变号的规律〕6．探索规律第四章平面图形及其位置关系1．线段、射线、直线2．比较线段的长短3．角的度量与表示4．角的比较5．平行6．垂直7．有趣的七巧板8．图案设计第五章一元一次方程 〔把方程带入解决实际问题中间，这个知识点是学期的考试重点。
初三的解一元二次方程中，需要变换成解二个一元一次方程，所以这章的学习会影响到后面只是的学习〕1．你今年几岁了2．解方程######################################################一元一次方程：⑴在一个方程中，只含有一个未知数，并且未知数的指数是1，这样的方程叫一元一次方程。
#⑵解一元一次方程的步骤：去分母，移项，合并同类项，未知数系数化为1。
#⑶关于方程ax b =解的讨论①当0a ≠时，方程有唯一解b x a=； ②当0a =，0b ≠时，方程无解③当0a =，0b =时，方程有无数解；此时任一实数都是方程的解。
######################################################3．日历中的方程4．我变胖了5．打折销售6．“希望工程”义演7．能追上小明吗8．教育储蓄第六章 生活中的数据1．100万有多大2．科学记数法3．扇形统计图4．月球上有水吗5．统计图的选择第七章 可能性1．一定摸到红球吗2．转盘游戏3．谁转出的四位数大 七年级下册第一章 整式的运算 〔这些公式很多都是在整个初中甚至高中都要用到。
三角形的外心与旋转的关系
三角形的外心与旋转的关系三角形的外心是指三角形的三条垂直平分线的交点，也就是三角形内接圆的圆心。
旋转是指围绕某一点旋转一个物体，使其在平面上成为一个新的位置。
三角形的外心与旋转之间存在着一定的关系。
首先，我们来看一个等边三角形。
一个等边三角形的外心恰好是它的顶点之间的垂直平分线的交点。
如果我们绕着这个外心点进行旋转，等边三角形也会跟着一起旋转。
无论旋转多少度，等边三角形的形状不会改变，因为每个角度的对称轴都通过外心点，保持了等边三角形的对称性。
其次，我们来看一个不等边三角形。
不等边三角形的外心不在三角形内部，而是在垂直平分线的延长线上。
如果我们选择以外心为中心进行旋转，不等边三角形会绕着外心点进行旋转。
不同于等边三角形，不等边三角形在旋转过程中会发生形状的变化。
旋转角度的不同，会使得不等边三角形的形状发生变化，但仍然保持了对称性。
在旋转过程中，如果我们选择以外心为中心旋转，三角形的顶点将在旋转过程中保持相对稳定的位置。
这是因为外心具有特殊的几何属性，它与三角形的顶点和垂直平分线之间存在着一定的关系。
这种关系使得在旋转过程中，三角形的顶点相对于外心点的位置基本保持不变。
我们还可以观察到一个有趣的现象：当我们以外心为中心旋转三角形时，三角形的角度大小保持不变。
这是因为旋转不会改变三角形内部的角度关系。
虽然形状会发生变化，但三角形的内部角度大小仍然保持不变，即使在整个旋转过程中。
综上所述，三角形的外心与旋转之间存在着一定的关系。
在旋转过程中，等边三角形的外心处于旋转中心的位置，保持了对称性，并且形状保持不变；不等边三角形的外心不在三角形内部，而是在垂直平分线的延长线上，三角形会绕着外心点进行旋转，并且形状会发生变化，但仍然保持了对称性。
无论是等边三角形还是不等边三角形，外心都具有特殊的几何属性，使得在旋转过程中三角形的顶点相对于外心点的位置基本保持不变。
旋转过程中，三角形的角度大小保持不变，保持了三角形内部角度关系的稳定性。
变化中的三角形(教案)
CCCCBA 6．2．变化中的三角形（教案）一、教学目标：1、 经历探索某些图形中变量之间的关系的过程，进一步体会一个变量对另一个变量的影响，发展符号感。
2、 能根据具体情景，用关系式表示某些变量之间的关系。
3、 能根据关系式求值，初步体会自变量和因变量的数值对应关系。
二、教学的重点与难点：1、教学的重点：认识关系式是表示变量之间关系的另一种方法，学会用关系式表示某些变量之间的关系。
2、教学的难点：根据关系式找自变量与因变量之间的对应关系。
三、教学过程： （一）复习引入：（二）关系式的学习： 1、想一想：如果△ABC 底边BC 上的高是6厘米。
当三角形的顶点C 沿底边BC 所在直线向点B 运动时，三角形的面积发生了怎样的变化？ （1）这个变化过程中，自变量是 ，因变量是 。
（2）如果三角形的底边长为 x （厘米），那么三角形 的面积 y （厘米2）可以表示为 ________________。
（3）根据三角形的底边长为 x （厘米）和三角形的面积 y （厘米2）的关系式填表：（4）当底边长从12厘米变化到3厘米时，三角形的面积从 厘米 2变化到 厘米2。
小结： 是表示变量之间关系的另一种方法。
2、变式练习：提出问题：底面半径为r ，高为h 的圆锥的体积计算公式是 。
变式练习一：如图所示，圆锥的高是4厘米，当圆锥的底面半径由小到大变化时，圆锥体积也随之而发生了变化。
(1)在这个变化过程中，自变量是____________，因变量是_____________。
(2)如果圆锥底面半径为r （厘米），那么圆锥的体积V （厘米3）与 r 的关系式是____________。
(3)当底面半径由1 厘米变化到10厘米时，圆锥的体积由______厘米3变化到______厘米3。
变式练习二：如图所示，圆锥的底面半径是2厘米，当圆锥的高由小到大变化时，圆锥的体积也随之而发生了变化。
(1)在这个变化过程中，自变量是________，因变量是_________。
三角形的等积变化
第十三讲三角形的等积变形我们已经掌握了三角形面积的计算公式：三角形面积=底×高÷2这个公式告诉我们：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积．如果三角形的底不变，高越大（小），三角形面积也就越大（小）．同样若三角形的高不变，底越大（小），三角形面积也就越大（小）．这说明；当三角形的面积变化时，它的底和高之中至少有一个要发生变化．但是，当三角形的底和高同时发生变化时，三角形的面积不一定变化．比如当高变为原来角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积，而不仅仅取决于高或底的变化．同时也告诉我们：一个三角形在面积不改变的情况下，可以有无数多个不同的形状．本讲即研究面积相同的三角形的各种形状以及它们之间的关系．为便于实际问题的研究，我们还会常常用到以下结论：①等底等高的两个三角形面积相等．②底在同一条直线上并且相等，该底所对的角的顶点是同一个点或在与底平行的直线上，这两个三角形面积相等．③若两个三角形的高（或底）相等，其中一个三角形的底（或高）是另一个三角形的几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍．，它们所对的顶点同为A点，（也就是它们的高相等）那么这两个三角形的面积相等．同时也可以知道△ABC的面积是△ABD或△AEC面积的3倍．例如在右图中，△ABC与△DBC的底相同（它们的底都是BC），它所对的两个顶点A、D在与底BC平行的直线上，（也就是它们的高相等），那么这两个三角形的面积相等．例如右图中，△ABC与△DBC的底相同（它们的底都是BC），△ABC 的高是△DBC高的2倍（D是AB中点，AB=2BD，有AH=2DE），则△ABC的面积是△DBC面积的2倍．上述结论，是我们研究三角形等积变形的重要依据．例1 用四种不同的方法，把任意一个三角形分成四个面积相等的三角形．方法2：如右图，先将BC二等分，分点D、连结AD，得到两个等积三角形，即△ABD与△ADC等积．然后取AC、AB中点E、F，并连结DE、DF．以而得到四个等积三角形，即△ADF、△BDF、△DCE、△ADE等积．例2 用三种不同的方法将任意一个三角形分成三个小三角形，使它们的面积比为及1∶3∶4．方法 1：如下左图，将BC边八等分，取1∶3∶4的分点D、E，连结AD、AE，从而得到△ABD、△ADE、△AEC的面积比为1∶3∶4．DE，从而得到三个三角形：△ADE、△BDE、△ACD．其面积比为1∶3∶4．当然本题还有许多种其他分法，同学们可以自己寻找解决．例3 如右图，在梯形ABCD中，AC与BD是对角线，其交点O，求证：△AOB与△COD面积相等．证明：∵△ABC与△DBC等底等高，∴S△ABC=S△DBC又∵ S△AOB=S△ABC—S△BOCS△DOC=S△DBC—S△BOC∴S△AOB=S△COD．例4 如右图，把四边形ABCD改成一个等积的三角形．分析本题有两点要求，一是把四边形改成一个三角形，二是改成的三角形与原四边形面积相等．我们可以利用三角形等积变形的方法，如右图，把顶点A移到CB的延长线上的A′处，△A′BD与△ABD面积相等，从而△A′DC面积与原四边形ABCD面积也相等．这样就把四边形ABCD等积地改成了三角形△A′DC．问题是A′位置的选择是依据三角形等积变形原则．过A作一条和DB平行的直线与CB的延长线交于A′点．解：①连结BD；②过A作BD的平行线，与CB的延长线交于A′．③连结A′D，则△A′CD与四边形ABCD等积．例5 如右图，已知在△ABC中，BE=3AE，CD=2AD．若△ADE的面积为1平方厘米．求三角形ABC的面积．解法1：连结BD，在△ABD中∵ BE=3AE，∴ S△ABD=4S△ADE=4（平方厘米）．在△ABC中，∵CD=2AD，∴ S△ABC=3S△ABD=3×4=12（平方厘米）．解法2：连结CE，如右图所示，在△ACE中，∵ CD=2AD，∴ S△ACE=3S△ADE=3（平方厘米）．在△ABC中，∵BE=3AE∴ S△ABC=4S△ACE=4×3=12（平方厘米）．例6 如下页图，在△ABC中，BD=2AD，AG=2CG，BE=EF=FC=解：连结BG，在△ABG中，∴ S△ADG+S△BDE+S△CFG例7 如右图，ABCD为平行四边形，EF平行AC，如果△ADE的面积为4平方厘米．求三角形CDF的面积．解：连结AF、CE，∴S△ADE=S△ACE；S△CDF=S△ACF；又∵AC与EF 平行，∴S△ACE=S△ACF；∴ S△ADE=S△CDF=4（平方厘米）．例8 如右图，四边形ABCD面积为1，且AB=AE，BC=BF，DC=CG，AD=DH．求四边形EFGH的面积．解：连结BD，将四边形ABCD分成两个部分S1与S2．连结FD，有S △FBD=S△DBC=S1 所以S△CGF=S△DFC=2S1．同理 S△AEH=2S2，因此S△AEH+S△CGF=2S1+2S2=2（S1+S2）=2×1=2．同理，连结AC之后，可求出S△HGD+S△EBF=2所以四边形EFGH的面积为2+2+1=5（平方单位）．例9 如右图，在平行四边形ABCD中，直线CF交AB于E，交DA延长线于F，若S△ADE=1，求△BEF的面积．解：连结AC，∵AB//CD，∴S△ADE=S△ACE又∵AD//BC，∴S△ACF=S△ABF而 S△ACF=S△ACE+S△AEF∶S△ABF=S△BEF+S△AEF∴ S△ACE=S△BEF ∴S△BEF=S△ADE=1．习题十三一、选择题（有且只有一个正确答案）：1．如下左图，在△ABC中，D是BC中点，E是AD中点，连结BE、CE，那么与△ABE等积的三角形一共有______个．（A）0个（B）1个（C）2个（D）3个2．如上右图，在平行四边形ABCD中，EF平行AC，连结BE、AE、CF、BF那么与△BEC等积的三角形一共有______个．（A）0个（B）1个（C）2个（D）3个3．如下左图，在梯形ABCD中，共有八个三角形，其中面积相等的三角形共有______对．（A）0对（B）1对（C）2对（D）3对4．如上右图，是一个长方形花坛，阴影部分是草地，空地是四块同样的菱形，那么草地与空地面积之比是______．（A）1∶1 （B）1∶1.1（C）1∶1.2 （D）1∶1.45．如右图，长方形AEGK四周上共有12个点，相邻两点的距离都是1厘米，以这些点为顶点构成的三角形面积是3平方厘米的共有______个．（A） 24个（B） 25个（C） 26个（D） 27个二、填空题：1．如下左图，A、B两点是长方形长和宽的中点，那么阴影部分面积占长方形面积的______．2．如上右图，平行四边形ABCD的面积是40平方厘米，图中阴影部分的面积是______．3．如下左图，正方形ABCD的面积为1平方厘米，S△BEG∶S△CEG=2∶1，S△CFG∶S△DFG=1∶1，那么这四个小三角形面积之和______．4．如上右图，在△ABC中，EF平行BC，AB=3AE，那么三角形甲、乙、丙面积的连比是______．三、解答题：1．如下左图，D、E、F分别是BC、AD、BE的三等分点，已知S△ABC=27平方厘米，求S△DEF．3．如下左图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是AC、BC的三等分点，且SABCD=54平方厘米，求S△BEF．4．如上页右图，将四边形ABCD各边都延长一倍至 A'、B'、C'、D'．连接这些点得到一个新的四边形 A' B' C' D'．如果四边形ABCD的面积是1，求四边形A'B'C'D'的面积．5．如右图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD交于E，且AF=CE，BG=DE，如果四边形ABCD的面积是1，求△EFG的面积？习题十三解答一、选择题：1．（D） 2．（D） 3．（D） 4．（A） 5．（C）．提示：以KH为边，再在对边的五个点A、B、C、D、E中任取一点为顶点，可分别构成5个面积为3平方厘米的三角形．同理，以JG、AD、BE为边也各自可以构成5个面积为3平方厘米的三角形．又因为△AFI、△BFJ、△CFK、△ELI、△DLH和△CLG也是面积为3平方厘米的三角形．所以面积为3平方厘米的三角形一共有26个．二、填空题：提示：如右图连结BD，设Ⅰ=S△BEG，Ⅱ=S△CEG，Ⅲ=S△CFG，Ⅳ=S△DFG，设S1=Ⅰ+Ⅱ，S2=Ⅲ+Ⅳ，S3=S△BDG．∵Ⅲ=Ⅳ∴F为CD中点，有：S△BCF=S△BDF，又∵Ⅲ=Ⅳ，∴ S△BGD=S△BCG，即 S3=S1，由已知Ⅰ为Ⅱ的2倍，∴BE=2EC，S△BDE=2S△CDE，两边分别减去Ⅰ和2Ⅱ，可得：S△BDG=2S△CDG，即 S3＝2S2，因此：4．甲∶乙∶丙=1∶2∶6，提示：∵ EF∥BC， AB=2AE∴ AC=3AF，BC=3EF，∵甲∶乙=1∶2，又∵（甲+乙）∶丙=1∶2∴甲∶乙∶丙=1∶2∶6．三、解答题：4．如右图所示，连结AB'、AC，∴ S△AA'B'=S△ABB'即 S△A'BB'=2S△ABC同理 S△D'DC'=2S△ADC∴ S△A'BB'+S△C'DD'=2△C'DD'=2S四边形ABCD同理 S△AA'D'+S△B'CC'=2S四边形ABCD∴四边形A'B' C' D' 的面积=5×S四边形ABCD=5．5．解：连结AG、CG，如右图所示，∵ AF=EC，有S△AGF=S△CGE，又∵ED=BG，有S△AED=S△ABG且 S△CDE=S△BCG，由此可见：△EFG的三个部分中S△ABG补到了S △EAD，S△AFG补到了S△CEG之后，又将其中的S△BCG补到了S△CDE 而S△AEG的位置不变，由此一来相当于将△EFG等积变形到了四边形ABCD，两者面积相同，即：S△EFG=1。
莱洛三角形绕自己转的面积-概述说明以及解释
莱洛三角形绕自己转的面积-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述:莱洛三角形是一种特殊的几何形状，具有独特的特性和性质。
在本文中，我们将探讨莱洛三角形绕自身旋转的过程，并分析其在旋转过程中形成的面积变化。
通过研究莱洛三角形的面积变化规律，我们可以更深入地理解几何学中的相关概念，并探讨其在实际生活和科学研究中的应用价值。
本文旨在通过对莱洛三角形的面积计算方法进行探讨，为读者展示一种新颖的数学思维方式，并激发对几何学和数学的兴趣。
1.2 文章结构本文将首先介绍莱洛三角形的基本定义和性质，包括其特殊的形状和构造方式。
接着，将详细描述莱洛三角形绕自身旋转的过程，探讨其在空间中的运动规律和变化特点。
最后，将介绍一种有效的方法来计算莱洛三角形绕自身旋转时形成的曲面的面积，以便读者能够更直观地理解和应用这一概念。
通过这些内容的展示，读者将对莱洛三角形绕自身转动的面积有一个清晰的认识，同时也能够更深入地理解其在几何学和工程学领域中的应用和意义。
1.3 目的本文旨在探讨莱洛三角形绕自身转动时所覆盖的面积，并深入研究这一几何问题的计算方法和应用。
通过对莱洛三角形的定义、旋转过程以及面积计算方法的详细介绍，旨在帮助读者更好地理解这一几何概念，并为后续相关研究提供参考。
同时，本文也旨在引起读者对几何形体旋转运动的兴趣，展示数学几何在现实生活中的丰富应用价值。
通过本文的研究，可以进一步探讨莱洛三角形的特性以及其在几何学和工程学中的实际应用，促进相关领域的学术交流和发展。
2.正文2.1 莱洛三角形的定义莱洛三角形，也称为雷洛三角形，是一种特殊的三角形。
它的特点在于，三角形的三个顶点分别位于一个正方形的三条边上，且与正方形的一个角相接。
这种三角形由纽约大学的艺术家阿奇姆•雷洛（Archim Lo）首次提出，并且被广泛应用于数学和艺术领域。
莱洛三角形可以看作是正方形上的一种特殊构造，通过将正方形的三个顶点连接起来形成的三角形。
6.2变化中的三角形
2：如 图，一边靠墙，其余三边用 米长的篱笆 ： 一边靠墙，其余三边用12米长的篱笆 围成一个长方形花圃。 围成一个长方形花圃。 （1）如果设花圃靠墙一边的长为 （米）， ）如果设花圃靠墙一边的长为x（ 花圃的面积为多少？ 花圃的面积为多少？ （2）当长 从4米变到 米时， 米变到6米时 ）当长x 米变到 米时， 面积y 的变化如何？ 面积 的变化如何？
A
（1）决定一个三角形的面积的因素 ） 有哪些？ 有哪些？ （2）若△ABC底边 上的高是6厘 ） 底边BC上的高是 厘 底边 上的高是 三角形的顶点C沿底边 沿底边BC 米，三角形的顶点 沿底边 所在直线向点B运动时 运动时， 所在直线向点 运动时，三角形 C 的面积发生了怎样的变化？ 的面积发生了怎样的变化？
B
量是因变量？ （3）这个过程中哪个量是自变量，哪个 量是因变量？ ）这个过程中哪个量是自变量，
A
4cm
B
D
（4）如果三角形的底边长为 x（厘 ） （ ），那么三角形的面积 那么三角形的面积y（ 米），那么三角形的面积 （厘米2） 可以表示为什么？ 可以表示为什么？ （5）当底边长从12厘米变化到 厘 ）当底边长从 厘米变化到3厘 厘米变化到 米时，三角形的面积从________厘 米时，三角形的面积从 厘 C 变化到_______厘米2。 米2变化到 厘米
C B D A
米变到8米时 的变化如何？ （3）当长 从6米变到 米时，面积 y的变化如何？ ）当长x 米变到 米时， 的变化如何 （4）随着 的增加，y 的变化趋势如何？y 什么时候最大？ ）随着x 的增加， 的变化趋势如何？ 什么时候最大？
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理一理： 理一理：
1，到今天为止我们一共学了几种方法来表示自变 ， 量与因变量之间的关系？ 量与因变量之间的关系？ 2，列表与列关系式表示变量之间的关系各有什么 ， 特点？ 特点？ 3，通过这节课，同学们有什么收获？ ，通过这节课，同学们有什么收获？
变化中的三角形练习
变化中的三角形练习一．目标导航1.经历探索某些图形中变量之间的关系的过程，进一步体验一个变量的变化对另一个变量的影响，发展符号感.2.能根据具体情况，用关系式表示某些变量之间的关系.3.能根据关系式求值，初步体会自变量和因变量的数值对应关系二．基础过关：1.在关系式S=6t 中，当t=1.5时，S=______；当S=24时，t=______.2.已知两变量x ，y 满足2x-3y=5，则y=______.3.一等腰三角形周长是20，底边长y 与腰长x （5＜x ﹤10）之间的关系式是____________.4.设地面气温是20℃，如果每升高1km ，气温下降6℃，则气温t （℃）与高度h （km ）的关系式____________.5.如图某程序计算因变量的值，若输入x 的值是3，则输出的y 的值是______.5题图6.某电影院有1000个座位，门票每张3元可使客满，若每张提高x 元，将有200x 张门票不能售出，提价后每场电影票房收入y 元与提高的票价x 元之间的关系式是___________.7.如图所示程序计算，若开始输入的值为x=3，则最后输出的结果是____________.7题图8.如图，直角三角形ABC 中,点B 沿CB 所在直线远离C 点移动，下列说法错误的是( )8题图A.三角形的面积随之增大B.∠CAB 的度数随之增大C.BC 边上的高随之增大D.边AB 的长度随之增大9.一个圆柱形油桶的高是40cm ，当底面圆的半径R 由小到大变化时，圆柱的体积V 也随之 发生了变化，在这个变化中（ ）A.自变量是底面圆的半径RB.因变量是圆柱的体积VC.变量之间的关系式是V=402RD.以上答案都正确10. A.618 B.638 C.658 D.678 三．能力提升11.（1（2） 当t=25摄氏度时,求声音的传播速度.12.如图，梯形上底的长是x ，下底的长是12，高是6 （1）梯形的面积y 与上底长x 之间的关系式？（2）用表格表示当x 从2变到10时（每次增加1），y 的相应值；（3）当x 每增加1时，y 如何变化？ （4）当x=0时，y 等于什么？此时它表示的图形是什么？13.某电影院共有30排座位，第一排有20个座位，后排每排比前一排多1个座位.（1）你知道第9排有多少个座位吗？第26排呢？（2）每排的座位数y 可以用这排数x 来表示吗？（3）可不可能某一排座位数是52？四．聚沙成塔：14.某校准备在甲、乙两家公司为毕业班学生制作一批纪念册，甲公司提出：每册收材料费5元，另收设计费1500元；乙公司提出：每册收材料费8元，不收设计费.（元）的关系式；（1）写出制作纪念册的册数x与甲公司的收费y1（2）写出制作纪念册的册数x与乙公司的收费y（元）的关系式；2（3）如果该校有300名学生，你认为甲、乙两家公司哪家合算？。
利用“旋转变换”解决三角形中的最值问题
利⽤“旋转变换”解决三⾓形中的最值问题本⽂题⽬摘⾃'初中数学动点最值思路⽅法⼤汇总'本系列⽂章摘⾃“初中数学动点最值思路⽅法⼤汇总”PDF书，该书是《初中数学典型题思路分析》书的新增赠送内容之⼀！买全套典型题思路分析书赠送内容达300G.特⾊资料如下：1、《初中数学解题思路⽅法⼤汇总》2、《初中数学动点问题思路⽅法⼤汇总》3、《初中数学典型超级易错题》4、《初中⼏何典型解题模型》以上pdf⽂件均包含典型例题分析.qq群1：453495932（已满），qq群2：994823340群⽂件分享过该系列⽂章⽂档！点击⽂末左下⾓”阅读原⽂“进⼊微店查看！所谓“动点问题”是指图形中有⼀个或多个动点，在线段、射线或者弧线上运动的⼀类开放性题⽬，⽽解决这类题的关键是动中取静，让动点定下来，灵活地运⽤相关数学知识解决问题．在变化中找到不变的性质是解决数“动点”问题的基本思路．数学压轴题正逐步转向数形结合、动态⼏何、动⼿操作、实验探究等⽅向，加强了对⼏何图形运动变化的考核，从变化的⾓度来研究三⾓形、四边形、函数图象等，通过“对称”“翻折”“平移”“旋转”等研究⼿段和⽅法来探究图形性质及变化．让学⽣经历探索的过程，培养学⽣分析问题、解决问题的能⼒，把运动观点、⽅程思想、数形结合思想、分类思想、转化思想有机地结合起来．利⽤“三点共线”解决最值问题典型例题未完，更多内容见《初中数学典型题思路分析》的附赠资料《初中数学动点最值思路⽅法⼤汇总》.利⽤“旋转变换”解决最值问题【典型例题1】难度★★【思路分析】构造包含所求线段的三⾓形，通过三边关系求解；解直⾓三⾓形求出AB 、BC ，再求出CD ，连接CG ，根据直⾓三⾓形斜边上的中线等于斜边的⼀半求出CG ，然后根据三⾓形的任意两边之和⼤于第三边判断出DC 有最⼤值再代⼈数据进⾏计算即可得【答案解析】解：待续...《初中数学典型题思路分析》书，全套7册共14本书（七上—九下+综合）；每册分解析版和原题版；有和教材同步的多个版本可选。
初中数学中考第六讲三角形知识点分析
a60第4题图NPOA第六讲：三角形知识梳理知识点1. 三角形的定义三角形是多边形中边数最少的一种。
它的定义是：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形。
三条线段不在同一条直线上的条件，如果三条线段在同一条直线上，我们认为三角形就不存在。
另外三条线段必须首尾顺次相接，这说明三角形这个图形一定是封闭的。
三角形中有三条边，三个角，三个顶点。
重点：三角形分类的依据 难点：三角形分类的划分 （1）(2)例：如果三角形的一个外角等于它相邻内角的2倍，且等于它不相邻内角的4倍，那么这个三角形一定是（ ）A 、锐角三角形B 、直角三角形C 、钝角三角形D 、正三角形 解题思路：根据角度来判断是哪一种三角形。
答案B练习：如图，已知OA ＝a ，P 是射线ON 上一动点（即P 可在射 线ON 上运动），∠AON ＝600，填空： （1）当OP ＝时，△AOP 为等边三角形；（2）当OP ＝时，△AOP 为直角三角形；（3）当OP 满足时，△AOP 为锐角三角形； （4）当OP 满足时，△AOP 为钝角三角形。
答案：（1）a ；（2）a 2或2a ；（3）2a ＜OP ＜a 2；（4）0＜OP ＜2a或OP ＞a 2重点：掌握三角形三条重要线段的概念 难点：三角形三条重要线段的运用三角形中的主要线段有：三角形的角平分线、中线和高线。
这三条线段必须在理解和掌握它的定义的基础上，通过作图加以熟练掌握。
并且对这三条线段必须明确三点： （1）三角形的角平分线、中线、高线均是线段，不是直线，也不是射线。
（2）三角形的角平分线、中线、高线都有三条，角平分线、中线，都在三角形内部。
而三角形的高线在当△ABC 是锐角三角形时，三条高都是在三角形内部，钝角三角形的高线中有两个垂足落在边的延长线上，这两条高在三角形的外部，直角三角形中有两条高恰好是它的两条直角边。
（3）在画三角形的三条角平分线、中线、高时可发现它们都交于一点。
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决定一个三角形面积的因素有哪些？（高 一定）
A
变化中的三角形B 牛牛文档分 享DC想一想
如图，⊿ABC底边BC上的高 是6厘米。当三角形的顶点C 沿底边所在的直线向B运动 时，三角形的面积发生了怎 样的变化？
A
1 B C C C C S⊿ABC= ― BC· h=3BC 2 （1）在这个变化过程中，自变量、因变量各是什么？ （2）如果三角形的底边长为x（厘米），那么三角形 的面积y（厘米2）可以表示为 y=3x （3）当底边长从12厘米变化到3厘米时，三角形的面积 从______ ___ 9 牛牛文档分 _厘米2 36 厘米2变化到
享
y=3x表示了三角形底边长x 和 面积y 之间 的关系，它是变量ｙ随ｘ变化的关系式。
自变量x
你能直观地表示 这个关系式吗？
关系式 y=3x 因变量y
注意：关系式是我们表示变量之间的另一种方法， 利用关系式可以根据任何一个自变量值求出相应 的因变量的值。 牛牛文档分 享 牛牛文档分 享
2、判断。（对的打“ √”，错的打“×”）
计划购买乒乓球50元，求所购买的总数n （个）与单价a（元）的关系。
(1) 关系式为：a = 50 ( × ) 没有分清哪一个是因变量 n (2)关系式为：an = 50 ( × ) 没有将因变量单独放在 等号左边 50 (3)关系式为：n = ( √ ) a 常见的思维误区：（1）变化关系式写得不正确； （2）变化关系式没有将形中的变量关系。 2.能用关系式表示变量之间的关系。 3.能根据关系
厘米3地球某地，温度T（C） 与高度d（m）的关系可以近 似地用T=10-d/150来表示， 根据这个关系式，当d的值 分别是0，200，400，600， 800，1000时，计算相应的 T半径是2厘米，当圆锥的高 由小到大变化时，圆锥的体积也随之变化。 （1）在这个变化过程中，自变量、因 变量各是什么？ (2)如果圆锥的高为h（厘米），那么 圆锥的体积v（厘米3）与h之间的关 系式为 V=4πh/3 .
（3）当高由1厘米变化到10厘米时，21. 如图，圆锥的高度是4厘米， 当圆锥的的底面半径由小到 大变化时，圆锥的体积也随 之发生了变化。
（1）在这个变化过程中，自变 量、因变量各是什么？ （2）如果圆锥底面半径为r（厘米），那么圆锥的体积 2/3 3 V=4 πr v（厘米 ）与r的关系式为______________ （3）当底面半径由1厘米变化到10厘米时，圆锥的体积 由 4π/3 厘米3变化到 400π/3 厘米3 。
高度 d/m 温度 T/°C 0 10.00 200 8.67 400 7.33
自变量d
T=10-d/150
因变量T
600 6.00
800 4.67的长是 x，下底的长是 15， 高是 8。 （1）梯形面积 y 与上底长 x 之间的关系式是什么？ （2）用表格表示当 x 从 10 变到 20 时（每次增 加1），y 的相应值； （3）当 x 每增加 1 时，y如何变化？说说理由; （4）当 x ＝0时，y 等于什么？此时它表示的什 么？