变化的三角形
三角形变变变大班数学教案反思
三角形变变变大班数学教案反思教案标题：三角形变变变大班数学教案反思教案目标：1. 让学生了解三角形的基本概念和属性。
2. 培养学生观察、比较和归纳总结的能力。
3. 提高学生的几何思维和解决问题的能力。
4. 培养学生的合作与团队精神，促进互相学习和互助。
教学准备：1. 教师准备彩色三角形卡片。
2. 学生准备纸和铅笔。
3. 准备小组合作学习的活动材料。
教学过程：导入：1. 教师用手中的三角形卡片向学生介绍三角形的概念，并让学生观察卡片上的三角形形状和边数。
2. 教师引导学生讨论并总结三角形的特点，如边长相等、角度相等等。
探究：1. 教师提供一系列大小不同的三角形卡片，让学生分成小组，通过比较卡片上的三角形的大小关系，找出规律。
2. 学生在小组内讨论并总结他们的观察结果。
教师引导学生归纳总结出三角形的大小与边长的关系。
拓展：1. 学生通过在纸上画图，来实践体验三角形边长变化时的效果，进一步巩固边长和大小的关系。
2. 教师提供一些例题，让学生根据已有的知识解决问题，如给定一个三角形，如何通过变化边长使其变成另一个形状的三角形。
展示与交流：1. 学生向全班展示他们的讨论成果和解决问题的方法。
2. 教师引导学生进行思考和讨论，一起分析和比较不同解题方法的优缺点。
巩固与评价：1. 学生在小组中进行小组合作学习，解决一些与三角形大小和边长有关的问题。
2. 教师对学生的表现进行评价，鼓励他们相互学习和互相帮助，培养合作与团队精神。
反思：教师对整堂课进行反思，包括学生的表现、教学设计、教学方法等方面，总结得失经验并为进一步教学做出调整。
注：根据不同年级和教学资源的具体情况，可以适当调整教案内容和教学方法，以达到适合学生发展需求的教学效果。
恒等三角变换
恒等三角变换恒等三角变换是指通过改变三角形的内部关系而使其保持相似的变换。
在恒等三角变换中，所有的角度和比例都保持不变，只是三角形的位置、大小和形状发生了变化。
这种变换在几何学中起着重要的作用，可以用来证明和推导一些几何定理和性质。
恒等三角变换的一种常见形式是平移变换。
平移变换是指将三角形沿着平行于某一方向的直线移动一定的距离，保持三角形的大小、形状和角度不变。
平移变换可以用来证明平行线的性质，例如平行线的夹角相等和平行线之间的距离相等等。
另一种常见的恒等三角变换是旋转变换。
旋转变换是指以某一点为中心，将三角形绕着这个点旋转一定的角度，保持三角形的大小、形状和角度不变。
旋转变换可以用来证明正方形的对角线相等和相互垂直等性质。
除了平移变换和旋转变换，还有一种常见的恒等三角变换是翻转变换。
翻转变换是指将三角形绕着一条直线翻转，使得三角形关于这条直线对称，保持三角形的大小、形状和角度不变。
翻转变换可以用来证明等腰三角形的性质，例如等腰三角形的底角相等和等腰三角形的高线对称等。
在实际应用中，恒等三角变换广泛应用于建筑、设计和计算机图形学等领域。
例如，在建筑设计中，可以通过平移、旋转和翻转等恒等三角变换来布置和调整建筑物的位置和形状。
在计算机图形学中，恒等三角变换可以用来实现图像的平移、旋转和翻转等操作，从而实现图像的变换和处理。
恒等三角变换是一种保持三角形相似的变换，通过改变三角形的位置、大小和形状，但保持三角形的角度和比例不变。
恒等三角变换在几何学中起着重要的作用，可以用来证明和推导一些几何定理和性质，同时也广泛应用于建筑、设计和计算机图形学等领域。
掌握恒等三角变换的原理和应用，对于理解和应用几何学知识具有重要意义。
三角形的分类—PPT课件
5. 判断对错
(1). 有两个角是锐角的三角形，必定是锐角三角形 。( ) (2). 一个 三角形里至少有两个锐角。( ) (3). 等边三角形都是等腰三角形 。( ) (4). 直角三角形最多有一个直角。( ) (4).在同一个三角形中，只能有一个角是钝角。( )
6.拴气球
锐角 三角
形
直角 三角
形
不等边 三角
形
等腰 三角
形
钝角 三角
形
等边 三角
形
归纳和总结角 直角三角形：有一个角是直角 钝角三角形：有一个角是钝角
2.按边的 特点分类
不等边三角形
等腰三角形
两条边相等的三角形 等边三角形
欢迎多提意见， 谢谢各位老师和同学们！
3 图形 1
2
特点 三个锐角
6 7
一个钝角
5 4
一个直角
1谁谁谁.能能能练找 找找习出出出题钝锐直角角—角三三三—角角角找形形形三??? 角形
2. 教材第84页：在点子图上画三角形
画锐 直钝角三角形。
保证一个角是锐 直 钝角，画出的不 一一 定定 是是 直 钝锐角角三三角角形形。。
3.猜猜它们分别是什么三角形？
三条边都不相等 不等边三角形
三角形按边分类
名称 不等边三角形
等腰三角形
等边三角形
图形
特点 三条边都不相等 只有两条边相等 三条边都相等
按边分
三角形 不等边三角形
等腰三角形
等边三角形
4. 填空题
(1).有 3 个角是锐角的三角形是锐角三角形。 (2).有 1 个角是直角的三角形是直角三角形。 (3). 有 1 个角是钝角的三角形是钝角三角形。
三角形的等积变化
第十三讲三角形的等积变形我们已经掌握了三角形面积的计算公式：三角形面积=底×高÷2这个公式告诉我们：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积．如果三角形的底不变，高越大（小），三角形面积也就越大（小）．同样若三角形的高不变，底越大（小），三角形面积也就越大（小）．这说明；当三角形的面积变化时，它的底和高之中至少有一个要发生变化．但是，当三角形的底和高同时发生变化时，三角形的面积不一定变化．比如当高变为原来角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积，而不仅仅取决于高或底的变化．同时也告诉我们：一个三角形在面积不改变的情况下，可以有无数多个不同的形状．本讲即研究面积相同的三角形的各种形状以及它们之间的关系．为便于实际问题的研究，我们还会常常用到以下结论：①等底等高的两个三角形面积相等．②底在同一条直线上并且相等，该底所对的角的顶点是同一个点或在与底平行的直线上，这两个三角形面积相等．③若两个三角形的高（或底）相等，其中一个三角形的底（或高）是另一个三角形的几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍．，它们所对的顶点同为A点，（也就是它们的高相等）那么这两个三角形的面积相等．同时也可以知道△ABC的面积是△ABD或△AEC面积的3倍．例如在右图中，△ABC与△DBC的底相同（它们的底都是BC），它所对的两个顶点A、D在与底BC平行的直线上，（也就是它们的高相等），那么这两个三角形的面积相等．例如右图中，△ABC与△DBC的底相同（它们的底都是BC），△ABC 的高是△DBC高的2倍（D是AB中点，AB=2BD，有AH=2DE），则△ABC的面积是△DBC面积的2倍．上述结论，是我们研究三角形等积变形的重要依据．例1 用四种不同的方法，把任意一个三角形分成四个面积相等的三角形．方法2：如右图，先将BC二等分，分点D、连结AD，得到两个等积三角形，即△ABD与△ADC等积．然后取AC、AB中点E、F，并连结DE、DF．以而得到四个等积三角形，即△ADF、△BDF、△DCE、△ADE等积．例2 用三种不同的方法将任意一个三角形分成三个小三角形，使它们的面积比为及1∶3∶4．方法 1：如下左图，将BC边八等分，取1∶3∶4的分点D、E，连结AD、AE，从而得到△ABD、△ADE、△AEC的面积比为1∶3∶4．DE，从而得到三个三角形：△ADE、△BDE、△ACD．其面积比为1∶3∶4．当然本题还有许多种其他分法，同学们可以自己寻找解决．例3 如右图，在梯形ABCD中，AC与BD是对角线，其交点O，求证：△AOB与△COD面积相等．证明：∵△ABC与△DBC等底等高，∴S△ABC=S△DBC又∵ S△AOB=S△ABC—S△BOCS△DOC=S△DBC—S△BOC∴S△AOB=S△COD．例4 如右图，把四边形ABCD改成一个等积的三角形．分析本题有两点要求，一是把四边形改成一个三角形，二是改成的三角形与原四边形面积相等．我们可以利用三角形等积变形的方法，如右图，把顶点A移到CB的延长线上的A′处，△A′BD与△ABD面积相等，从而△A′DC面积与原四边形ABCD面积也相等．这样就把四边形ABCD等积地改成了三角形△A′DC．问题是A′位置的选择是依据三角形等积变形原则．过A作一条和DB平行的直线与CB的延长线交于A′点．解：①连结BD；②过A作BD的平行线，与CB的延长线交于A′．③连结A′D，则△A′CD与四边形ABCD等积．例5 如右图，已知在△ABC中，BE=3AE，CD=2AD．若△ADE的面积为1平方厘米．求三角形ABC的面积．解法1：连结BD，在△ABD中∵ BE=3AE，∴ S△ABD=4S△ADE=4（平方厘米）．在△ABC中，∵CD=2AD，∴ S△ABC=3S△ABD=3×4=12（平方厘米）．解法2：连结CE，如右图所示，在△ACE中，∵ CD=2AD，∴ S△ACE=3S△ADE=3（平方厘米）．在△ABC中，∵BE=3AE∴ S△ABC=4S△ACE=4×3=12（平方厘米）．例6 如下页图，在△ABC中，BD=2AD，AG=2CG，BE=EF=FC=解：连结BG，在△ABG中，∴ S△ADG+S△BDE+S△CFG例7 如右图，ABCD为平行四边形，EF平行AC，如果△ADE的面积为4平方厘米．求三角形CDF的面积．解：连结AF、CE，∴S△ADE=S△ACE；S△CDF=S△ACF；又∵AC与EF 平行，∴S△ACE=S△ACF；∴ S△ADE=S△CDF=4（平方厘米）．例8 如右图，四边形ABCD面积为1，且AB=AE，BC=BF，DC=CG，AD=DH．求四边形EFGH的面积．解：连结BD，将四边形ABCD分成两个部分S1与S2．连结FD，有S △FBD=S△DBC=S1 所以S△CGF=S△DFC=2S1．同理 S△AEH=2S2，因此S△AEH+S△CGF=2S1+2S2=2（S1+S2）=2×1=2．同理，连结AC之后，可求出S△HGD+S△EBF=2所以四边形EFGH的面积为2+2+1=5（平方单位）．例9 如右图，在平行四边形ABCD中，直线CF交AB于E，交DA延长线于F，若S△ADE=1，求△BEF的面积．解：连结AC，∵AB//CD，∴S△ADE=S△ACE又∵AD//BC，∴S△ACF=S△ABF而 S△ACF=S△ACE+S△AEF∶S△ABF=S△BEF+S△AEF∴ S△ACE=S△BEF ∴S△BEF=S△ADE=1．习题十三一、选择题（有且只有一个正确答案）：1．如下左图，在△ABC中，D是BC中点，E是AD中点，连结BE、CE，那么与△ABE等积的三角形一共有______个．（A）0个（B）1个（C）2个（D）3个2．如上右图，在平行四边形ABCD中，EF平行AC，连结BE、AE、CF、BF那么与△BEC等积的三角形一共有______个．（A）0个（B）1个（C）2个（D）3个3．如下左图，在梯形ABCD中，共有八个三角形，其中面积相等的三角形共有______对．（A）0对（B）1对（C）2对（D）3对4．如上右图，是一个长方形花坛，阴影部分是草地，空地是四块同样的菱形，那么草地与空地面积之比是______．（A）1∶1 （B）1∶1.1（C）1∶1.2 （D）1∶1.45．如右图，长方形AEGK四周上共有12个点，相邻两点的距离都是1厘米，以这些点为顶点构成的三角形面积是3平方厘米的共有______个．（A） 24个（B） 25个（C） 26个（D） 27个二、填空题：1．如下左图，A、B两点是长方形长和宽的中点，那么阴影部分面积占长方形面积的______．2．如上右图，平行四边形ABCD的面积是40平方厘米，图中阴影部分的面积是______．3．如下左图，正方形ABCD的面积为1平方厘米，S△BEG∶S△CEG=2∶1，S△CFG∶S△DFG=1∶1，那么这四个小三角形面积之和______．4．如上右图，在△ABC中，EF平行BC，AB=3AE，那么三角形甲、乙、丙面积的连比是______．三、解答题：1．如下左图，D、E、F分别是BC、AD、BE的三等分点，已知S△ABC=27平方厘米，求S△DEF．3．如下左图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是AC、BC的三等分点，且SABCD=54平方厘米，求S△BEF．4．如上页右图，将四边形ABCD各边都延长一倍至 A'、B'、C'、D'．连接这些点得到一个新的四边形 A' B' C' D'．如果四边形ABCD的面积是1，求四边形A'B'C'D'的面积．5．如右图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD交于E，且AF=CE，BG=DE，如果四边形ABCD的面积是1，求△EFG的面积？习题十三解答一、选择题：1．（D） 2．（D） 3．（D） 4．（A） 5．（C）．提示：以KH为边，再在对边的五个点A、B、C、D、E中任取一点为顶点，可分别构成5个面积为3平方厘米的三角形．同理，以JG、AD、BE为边也各自可以构成5个面积为3平方厘米的三角形．又因为△AFI、△BFJ、△CFK、△ELI、△DLH和△CLG也是面积为3平方厘米的三角形．所以面积为3平方厘米的三角形一共有26个．二、填空题：提示：如右图连结BD，设Ⅰ=S△BEG，Ⅱ=S△CEG，Ⅲ=S△CFG，Ⅳ=S△DFG，设S1=Ⅰ+Ⅱ，S2=Ⅲ+Ⅳ，S3=S△BDG．∵Ⅲ=Ⅳ∴F为CD中点，有：S△BCF=S△BDF，又∵Ⅲ=Ⅳ，∴ S△BGD=S△BCG，即 S3=S1，由已知Ⅰ为Ⅱ的2倍，∴BE=2EC，S△BDE=2S△CDE，两边分别减去Ⅰ和2Ⅱ，可得：S△BDG=2S△CDG，即 S3＝2S2，因此：4．甲∶乙∶丙=1∶2∶6，提示：∵ EF∥BC， AB=2AE∴ AC=3AF，BC=3EF，∵甲∶乙=1∶2，又∵（甲+乙）∶丙=1∶2∴甲∶乙∶丙=1∶2∶6．三、解答题：4．如右图所示，连结AB'、AC，∴ S△AA'B'=S△ABB'即 S△A'BB'=2S△ABC同理 S△D'DC'=2S△ADC∴ S△A'BB'+S△C'DD'=2△C'DD'=2S四边形ABCD同理 S△AA'D'+S△B'CC'=2S四边形ABCD∴四边形A'B' C' D' 的面积=5×S四边形ABCD=5．5．解：连结AG、CG，如右图所示，∵ AF=EC，有S△AGF=S△CGE，又∵ED=BG，有S△AED=S△ABG且 S△CDE=S△BCG，由此可见：△EFG的三个部分中S△ABG补到了S △EAD，S△AFG补到了S△CEG之后，又将其中的S△BCG补到了S△CDE 而S△AEG的位置不变，由此一来相当于将△EFG等积变形到了四边形ABCD，两者面积相同，即：S△EFG=1。
三角形旋转解题技巧初中
三角形旋转解题技巧初中篇一：三角形旋转是一种重要的几何变换，可以在解题过程中发挥重要作用。
在初中数学中，三角形旋转通常用于解决角度问题和面积问题。
以下是一些初中三角形旋转的解题技巧:1. 了解三角形旋转的性质：三角形旋转后，其顶点的位置不会改变，而边的长度会发生变化。
同时，三角形的面积也可以通过旋转来变化。
2. 利用旋转角求解角度问题：在初中数学中，常常需要求解三角形中的某个角度。
可以利用三角形旋转的性质，将求解的问题转化为已知角度的问题，然后再通过旋转来解决。
3. 利用旋转来解决面积问题：在解决面积问题时，可以利用三角形旋转的性质，将原来的问题转化为面积相等的三角形，然后再通过旋转来解决。
4. 熟悉三角形旋转的基本公式：三角形旋转的基本公式为:旋转角度=原角度 - 旋转角度，旋转角度=旋转角度 + 原角度。
这些公式可以帮助更好地理解和解决三角形旋转的问题。
三角形旋转在初中数学中是一种常见的几何变换，可以帮助我们更好地理解和解决一些问题。
通过不断练习和积累，可以逐渐掌握三角形旋转的解题技巧，提高解题能力。
篇二：三角形旋转是一种重要的几何变换，可以在解题过程中发挥重要作用。
在初中阶段，三角形旋转通常作为求解几何问题的一种技巧来介绍。
下面是一些常见的三角形旋转解题技巧:1. 了解三角形旋转的基本性质：三角形旋转是一个沿固定轴旋转的变换，可以保持不变的性质有面积、周长、对称中心、对称轴等;可以改变的性质有方向、位置、形状等。
2. 利用旋转变换求解几何问题：在初中阶段，常见的利用三角形旋转求解的几何问题有：求解对称轴、对称中心、重心等;将复杂的几何问题转化为简单的代数问题，从而实现化繁为简、化难为易的目的。
3. 掌握常见的旋转变换公式：在三角形旋转中，存在一些常用的旋转公式，如旋转角度、旋转角度与旋转中心的关系、旋转前后面积的变化等。
熟悉这些公式可以更好地理解和解决旋转问题。
4. 实践三角形旋转的技巧：在初中阶段，可以通过一些简单的例子来实践三角形旋转的技巧，如求解三角形的重心、对称中心、对称轴等。
莱洛三角形绕自己转的面积-概述说明以及解释
莱洛三角形绕自己转的面积-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述:莱洛三角形是一种特殊的几何形状，具有独特的特性和性质。
在本文中，我们将探讨莱洛三角形绕自身旋转的过程，并分析其在旋转过程中形成的面积变化。
通过研究莱洛三角形的面积变化规律，我们可以更深入地理解几何学中的相关概念，并探讨其在实际生活和科学研究中的应用价值。
本文旨在通过对莱洛三角形的面积计算方法进行探讨，为读者展示一种新颖的数学思维方式，并激发对几何学和数学的兴趣。
1.2 文章结构本文将首先介绍莱洛三角形的基本定义和性质，包括其特殊的形状和构造方式。
接着，将详细描述莱洛三角形绕自身旋转的过程，探讨其在空间中的运动规律和变化特点。
最后，将介绍一种有效的方法来计算莱洛三角形绕自身旋转时形成的曲面的面积，以便读者能够更直观地理解和应用这一概念。
通过这些内容的展示，读者将对莱洛三角形绕自身转动的面积有一个清晰的认识，同时也能够更深入地理解其在几何学和工程学领域中的应用和意义。
1.3 目的本文旨在探讨莱洛三角形绕自身转动时所覆盖的面积，并深入研究这一几何问题的计算方法和应用。
通过对莱洛三角形的定义、旋转过程以及面积计算方法的详细介绍，旨在帮助读者更好地理解这一几何概念，并为后续相关研究提供参考。
同时，本文也旨在引起读者对几何形体旋转运动的兴趣，展示数学几何在现实生活中的丰富应用价值。
通过本文的研究，可以进一步探讨莱洛三角形的特性以及其在几何学和工程学中的实际应用，促进相关领域的学术交流和发展。
2.正文2.1 莱洛三角形的定义莱洛三角形，也称为雷洛三角形，是一种特殊的三角形。
它的特点在于，三角形的三个顶点分别位于一个正方形的三条边上，且与正方形的一个角相接。
这种三角形由纽约大学的艺术家阿奇姆•雷洛（Archim Lo）首次提出，并且被广泛应用于数学和艺术领域。
莱洛三角形可以看作是正方形上的一种特殊构造，通过将正方形的三个顶点连接起来形成的三角形。
6.2变化中的三角形
2：如 图，一边靠墙，其余三边用 米长的篱笆 ： 一边靠墙，其余三边用12米长的篱笆 围成一个长方形花圃。 围成一个长方形花圃。 （1）如果设花圃靠墙一边的长为 （米）， ）如果设花圃靠墙一边的长为x（ 花圃的面积为多少？ 花圃的面积为多少？ （2）当长 从4米变到 米时， 米变到6米时 ）当长x 米变到 米时， 面积y 的变化如何？ 面积 的变化如何？
A
（1）决定一个三角形的面积的因素 ） 有哪些？ 有哪些？ （2）若△ABC底边 上的高是6厘 ） 底边BC上的高是 厘 底边 上的高是 三角形的顶点C沿底边 沿底边BC 米，三角形的顶点 沿底边 所在直线向点B运动时 运动时， 所在直线向点 运动时，三角形 C 的面积发生了怎样的变化？ 的面积发生了怎样的变化？
B
量是因变量？ （3）这个过程中哪个量是自变量，哪个 量是因变量？ ）这个过程中哪个量是自变量，
A
4cm
B
D
（4）如果三角形的底边长为 x（厘 ） （ ），那么三角形的面积 那么三角形的面积y（ 米），那么三角形的面积 （厘米2） 可以表示为什么？ 可以表示为什么？ （5）当底边长从12厘米变化到 厘 ）当底边长从 厘米变化到3厘 厘米变化到 米时，三角形的面积从________厘 米时，三角形的面积从 厘 C 变化到_______厘米2。 米2变化到 厘米
C B D A
米变到8米时 的变化如何？ （3）当长 从6米变到 米时，面积 y的变化如何？ ）当长x 米变到 米时， 的变化如何 （4）随着 的增加，y 的变化趋势如何？y 什么时候最大？ ）随着x 的增加， 的变化趋势如何？ 什么时候最大？
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理一理： 理一理：
1，到今天为止我们一共学了几种方法来表示自变 ， 量与因变量之间的关系？ 量与因变量之间的关系？ 2，列表与列关系式表示变量之间的关系各有什么 ， 特点？ 特点？ 3，通过这节课，同学们有什么收获？ ，通过这节课，同学们有什么收获？
三角形中的动态变化问题河南必考题型专题
河南必考题型专题：三角形中的动态变化问题1．有一根直尺，短边的长为4cm，长边的长为10cm，还有一块锐角为45°的直角三角形纸板，它的斜边长16cm.如图①，将直尺的短边DE与直角三角形纸板的斜边AB重合，且点D与点A重合，将直尺沿AB方向平移，如图②、图③.设直尺平移的长度为x cm，且满足0≤x≤12，直尺与直角三角形纸板重合部分的面积(即图中阴影部分)为S cm2.当x＝0时，S＝________；当x＝4时，S＝________；当x＝6时，S＝________．2．(2017·南阳新野县模拟)如图①，P，Q分别是边长为4cm的等边△ABC边AB，BC 上的动点，点P从顶点A、点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都为1cm/s.(1)连接AQ，CP交于点M，则在点P，Q运动的过程中，∠CMQ的大小变化吗？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数；(2)何时△PBQ是直角三角形？(3)如图②，若点P，Q在运动到终点后继续在射线AB，BC上运动，直线AQ，CP的交点为M，则∠CMQ的大小变化吗？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数．3．★(2017·南阳唐河县四模)已知△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ADE＝90°，F为BE的中点，连接DF，CF.[提示：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半](1)如图①，当点D在AB上，点E在AC上，请直接写出此时线段DF，CF的数量关系和位置关系(不用证明)；(2)如图②，在(1)的条件下将△ADE绕点A顺时针旋转45°时，请你判断此时(1)中的结论是否仍然成立，并证明你的判断；(3)如图③，在(1)的条件下将△ADE绕点A顺时针旋转90°，若AD＝1，AC＝22，求此时线段CF的长(直接写出结果)．参考答案与解析1．8cm 2 24cm 2 28cm 22．解：(1)∠CMQ 的大小不变，且∠CMQ ＝60°.∵在等边△ABC 中，AB ＝AC ，∠B ＝∠CAP ＝60°.又由题意得AP ＝BQ ，∴△ABQ ≌△CAP ，∴∠BAQ ＝∠ACP ，∴∠CMQ ＝∠ACP ＋∠CAM ＝∠BAQ ＋∠CAM ＝∠BAC ＝60°.(2)设点P ，Q 运动时间为t s ，则AP ＝BQ ＝t cm ，PB ＝(4－t )cm.应分两种情况进行讨论：①当∠PQB ＝90°时，∵∠B ＝60°，∴∠BPQ ＝30°，∴PB ＝2BQ ，即4－t ＝2t ，解得t ＝43；②当∠BPQ ＝90°时，∵∠B ＝60°，∴∠BQP ＝30°，∴BQ ＝2BP ，即t ＝2(4－t )，解得t ＝83.综上可知，当点P ，Q 运动时间为43s 或83s 时，△PBQ 是直角三角形． (3)∠CMQ 的大小不变，且∠CMQ ＝120°.∵在等边△ABC 中，BC ＝AC ，∠ABC ＝∠ACB ＝60°，∴∠PBC ＝∠ACQ ＝120°.又由题意得BP ＝CQ ，∴△PBC ≌△QCA ，∴∠BPC ＝∠MQC .∵∠PCB ＝∠MCQ ，∴∠CMQ ＝∠PBC ＝120°.3．解：(1)DF ＝CF 且DF ⊥CF . 解析：∵∠ACB ＝∠ADE ＝90°，F 为BE 的中点，∴DF ＝12BE ，CF ＝12BE ，∴DF ＝CF .∵△ABC 是等腰直角三角形，∴∠ABC ＝45°.∵BF ＝DF ，∴∠DBF ＝∠BDF .∵∠DFE ＝∠DBF ＋∠BDF ，∴∠DFE ＝2∠DBF .同理得∠CFE ＝2∠CBF ，∴∠EFD ＋∠EFC ＝2∠DBF ＋2∠CBF ＝2∠ABC ＝90°，即∠DFC ＝90°，∴DF ⊥CF ，∴DF ＝CF 且DF ⊥CF .(2)(1)中的结论仍然成立．证明如下：此时点D 落在AC 上，延长DF 交BC 于点G .∵∠ADE ＝90°，则∠CDE ＝90°＝∠ACB ，∴DE ∥BC ，∴∠DEF ＝∠GBF ，∠EDF ＝∠BGF .∵F 为BE 的中点，∴EF ＝BF ，∴△DEF ≌△GBF ，∴DE ＝GB ，DF ＝GF .∵△ADE 是等腰直角三角形，∴AD ＝DE ，∴AD ＝GB .∵AC ＝BC ，∴AC －AD ＝BC －GB ，即DC ＝GC .∵∠ACB ＝90°，∴△DCG 是等腰直角三角形．∵DF ＝GF ，∴DF ＝CF 且DF ⊥CF .(3)CF ＝102. 解析：延长DF 交BA 于点H .∵△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形，∴AC ＝BC ，AD ＝DE ，∴∠AED ＝∠ABC ＝45°.由旋转可得∠CAE ＝∠BAD ＝90°.∵∠ACB ＝90°，∴AE ∥BC ，∴∠AEB ＝∠CBE ，∴∠DEF ＝∠HBF .∵F 是BE 的中点，∴EF ＝BF .∵∠EFD ＝∠BFH ，∴△DEF ≌△HBF ，∴DE ＝HB ，DF ＝HF .连接CH ，CD ，∵CB ＝CA ，∠CAD ＝90°－∠BAC ＝45°＝∠CBH ，AD ＝DE ＝HB ，∴△ADC ≌△BHC ，∴∠ACD ＝∠BCH .∵∠BCH ＋∠HCA ＝90°，∴∠ACD ＋∠HCA ＝90°，即∠DCH ＝90°.又∵DF ＝FH ，∴CF ＝DF .在Rt △ABC 中，由勾股定理得AB ＝4.∵AD ＝1，∴ED ＝BH ＝1，∴AH ＝3.在Rt △HAD 中，由勾股定理得DH ＝10，∴DF ＝102，∴CF ＝102.。
11.河南必考题型专题：三角形中的动态变化问题
河南必考题型专题：三角形中的动态变化问题1．有一根直尺，短边的长为4cm，长边的长为10cm，还有一块锐角为45°的直角三角形纸板，它的斜边长16cm.如图①，将直尺的短边DE与直角三角形纸板的斜边AB重合，且点D与点A重合，将直尺沿AB方向平移，如图②、图③.设直尺平移的长度为xcm，且满足0≤x≤12，直尺与直角三角形纸板重合部分的面积(即图中阴影部分)为Scm2.当x＝0时，S＝________；当x＝4时，S＝________；当x＝6时，S＝________．2．(2017·南阳新野县模拟)如图①，P，Q分别是边长为4cm的等边△ABC 边AB，BC上的动点，点P从顶点A、点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都为1cm/s.(1)连接AQ，CP交于点M，则在点P，Q运动的过程中，∠CMQ的大小变化吗？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数；(2)何时△PBQ是直角三角形？(3)如图②，若点P，Q在运动到终点后继续在射线AB，BC上运动，直线AQ，CP的交点为M，则∠CMQ的大小变化吗？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数．3．★(2017·南阳唐河县四模)已知△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ADE＝90°，F为BE的中点，连接DF，CF.[提示：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半](1)如图①，当点D在AB上，点E在AC上，请直接写出此时线段DF，CF的数量关系和位置关系(不用证明)；(2)如图②，在(1)的条件下将△ADE绕点A顺时针旋转45°时，请你判断此时(1)中的结论是否仍然成立，并证明你的判断；(3)如图③，在(1)的条件下将△ADE绕点A顺时针旋转90°，若AD＝1，AC ＝22，求此时线段CF的长(直接写出结果)．。
三角形的翻折课件
在三角形翻折的过程中，图形的形状和大小不会发生变化，只是位置和方向可能会 改变。
轴对称与中心对称
轴对称是指一个图形关于一条直线对称 ，折叠后两部分完全重合。
中心对称是指一个图形关于一个点对称 ，旋转180度后两部分完全重合。
等边三角形的翻折
等边三角形翻折后形成的三个直角三 角形是全等的，因此可以通过翻折来 证明等边三角形的性质。
翻折后形成的三个直角三角形可以通 过勾股定理来证明其边长关系，从而 证明等边三角形的性质。
一般三角形的翻折
一般三角形翻折后形成的两个直角三角形不一定是全等的，因此需要通过其他方 法来证明其性质。
可以通过将一般三角形划分为几个小三角形，然后利用勾股定理来证明其边长关 系，从而证明一般三角形的性质。
04
三角形翻折的解题策略
理解翻折的本质
翻折是一种几何变换，通过将一个平面图形沿着一条直线折 叠，使图形的一部分与另一部分重合，从而得到一个新的图 形。
在三角形翻折问题中，关键是要理解翻折的本质是图形的对 称性，即图形经过翻折后，其对称轴两侧的部分是全等的。
高阶练习题与解析
题目5
将一个三角形进行多次翻折，每次翻折都使相邻两边中点连线与翻折线重合，求所有折痕的总长度。
解析
这道题需要运用三角形的中位线性质和翻折的性质，通过逐步推导和计算，求出所有折痕的总长度。
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基础练习题
题目1
将一个等边三角形进行翻折，使其一 个顶点与相对边的中点重合，求折痕 的长度。
题目2
将一个直角三角形进行翻折，使一条 直角边与斜边的中点重合，求折痕的 长度。
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“变化中的三角形”教案设计
主讲人：周国新
教学目标：
知识与技能目标：1、经历探索某些图形中变量之间的过程，进一步体验一个变量对另一变量的影响，发展符号感。
2、能根据具体情况，用关系式表示变量之间的关系。
3、能由关系式求值，并理解自变量与因变量的数值对应关系。
情感与能力目标：1、重视调动学生学习的主动性、积极性，增强学生的学习自信心。
2、培养学生的探索精神和分析问题、解决问题的能力。
过程与方法目标：经历观察、猜想、交流、总结，培养学生分析问题能力和说理能力。
重点与难点：用关系式表示某些变量之间的关系。
教学方法与手段：1、通过复习，掌握旧知识；由实例引入新知识，调动学生学习的积极性，激发学生学习的兴趣。
2、通过观察、猜想、交流等活动，调动学生学习的积极性，营造良好的
学习气氛。
3、通过学练结合，及时巩固学生所学的知识。
教学过程：
教学环节教学程序设计意图
回顾知识提问：1、什么叫做变量？
2、什么叫做自变量、因变量？
3、上节介绍表示两变量之间关系的一种方法是什
么？
巩固旧知识。
进行新课（本节我们进一步体验一个变量对另一个变量的影响）
板书课题：变化中的三角形
一、问题
△ABC底边BC上的高是6厘米，当三角形的顶点C 沿着底边所在直线向点B运动时，三角形的面积发生了变化。
（教师展示三角形的面积随底边的变化而变化的动画，然后学生思考、交流以下问题）
（1）在这个变化过程中，自变量、因变量各是什么？
（2）如果三角形的底边这x厘米，那么三角形的面积y厘米2可以表示为。
（3）当底边长从容12厘米变化到3厘米时，三角形的面积从厘米2变化到厘米2
（通过学生交流、讨论回答，教师订正答案）
二、强调“机器图”更直观地表示了自变量和因变量的数
值对应关系。
1、利用动画进一步理解两变量之间的关系。
2、理解关系式是表示两变量之间关系的又一种方法
3、理解利用关系式来求值。
巩固新课一、做一做
1、圆锥的高是4厘米，当圆锥的底面半径由小到大变
化时，圆锥的体积也随之发生了变化。
（教师展示圆锥的体积随底面半径的变化而变化的动画，然后学生思考、交流以下问题）
（1）在这个变化过程中，自变量、因变量各是什么？学以致用，巩固知识
（2）如果圆锥底面半径为r厘米，那么圆锥的体积V 厘米3与r的关系式为。
（3）当底面半径由1厘米变化到10厘米时，圆锥的体积由厘米3到厘米3
（通过学生交流、讨论回答，教师订正答案）
2、圆锥的底面半径是2厘米，当圆锥的高由小到大变
化时，圆锥的体积也随之发生了变化。
（教师展示圆锥的体积随圆锥的高的变化而变化的动画，然后学生思考、交流以下问题）
（1）在这个变化过程中，自变量、因变量各是什么？
（2）如果圆锥的高是h厘米，那么圆锥的体积V厘米3与h的关系式为
（3）当高由1厘米变化到10厘米时，圆锥的体积由
厘米3变化到厘米3
（通过学生交流、讨论回答，教师订正答案）
二、练一练
如图：长方形的宽为8cm，长为x cm，周长为y cm，
⑴写出y与x之间的关系式；
⑵当x=10cm时，y的值等于多少cm？
⑶当y=40cm时，x的值等于多少cm？
知识小结（由学生分组讨论、总结本节的知识要点，然后抽学生回答总结的情况，最后教师展示幻灯片）
练习：1、基础练习
2、拓广练习家庭作业：略
巩固提高8
x。