第2章 动量 角动量-pdf
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动量角动量
1
= 1.2×10 -22 kg · m · s ×
-22
-1
剩余核反冲动量 大小和方向
方向
以
标识
间的夹角
。
。
118 º 6 ’
mb
ma
空车质量 m10
引例
静
两人先后跳上 车后，车的速度。 车后，车的速度。
vb
va
水平光滑
选车和跳离地后的人为质点系。 选车和跳离地后的人为质点系。 无外力作用， 系统在水平方向 ( X )无外力作用，系统动量守恒。 无外力作用 系统动量守恒。 设第一人跳上车后的车速为
定律说明
系统总动量不变，但系统内各质点动量可相互转移。 系统总动量不变，但系统内各质点动量可相互转移。 只要满足守恒条件，系统始末总动量不变，不管过程细节。 只要满足守恒条件，系统始末总动量不变，不管过程细节。 系统受合力在某一坐标分量为零，总动量在该坐标分量守恒。 系统受合力在某一坐标分量为零，总动量在该坐标分量守恒。 时 恒量 时 恒量 时 恒量
0 时，
则
0
L
r p
恒矢量
简易演示 角动量守恒的一种简易的定性演示
先使小球获得某一速率绕 O 转动 可直观看出
变短时， 变短时， 小球速率变快。 小球速率变快。
若设法进行测量， 若设法进行测量，可发现
两边乘 然后缓慢下拉 软绳
，即角动量守恒
卫星的运动
抛物线
11.2 km < v1 < 16.7 km/s
动量的SI制单位是 动量的SI制单位是 SI 动量 P = m v 千克 • 米 / 秒 ( kg • m • s -1 )
线动量，以区别以后讲到的角动量。 又称 线动量，以区别以后讲到的角动量。
= 1.2×10 -22 kg · m · s ×
-22
-1
剩余核反冲动量 大小和方向
方向
以
标识
间的夹角
。
。
118 º 6 ’
mb
ma
空车质量 m10
引例
静
两人先后跳上 车后，车的速度。 车后，车的速度。
vb
va
水平光滑
选车和跳离地后的人为质点系。 选车和跳离地后的人为质点系。 无外力作用， 系统在水平方向 ( X )无外力作用，系统动量守恒。 无外力作用 系统动量守恒。 设第一人跳上车后的车速为
定律说明
系统总动量不变，但系统内各质点动量可相互转移。 系统总动量不变，但系统内各质点动量可相互转移。 只要满足守恒条件，系统始末总动量不变，不管过程细节。 只要满足守恒条件，系统始末总动量不变，不管过程细节。 系统受合力在某一坐标分量为零，总动量在该坐标分量守恒。 系统受合力在某一坐标分量为零，总动量在该坐标分量守恒。 时 恒量 时 恒量 时 恒量
0 时，
则
0
L
r p
恒矢量
简易演示 角动量守恒的一种简易的定性演示
先使小球获得某一速率绕 O 转动 可直观看出
变短时， 变短时， 小球速率变快。 小球速率变快。
若设法进行测量， 若设法进行测量，可发现
两边乘 然后缓慢下拉 软绳
，即角动量守恒
卫星的运动
抛物线
11.2 km < v1 < 16.7 km/s
动量的SI制单位是 动量的SI制单位是 SI 动量 P = m v 千克 • 米 / 秒 ( kg • m • s -1 )
线动量，以区别以后讲到的角动量。 又称 线动量，以区别以后讲到的角动量。
第二章 动量、角动量守恒-2
β
( )
' 2
= 0.32 m/ s
(
2
)
2 a' = an + at2 = 0.51 m 2 s
a
an
合加速度的方向与轮缘切线方向夹角
an β = arctan = 38.70 at
6
4、转动动能: 、转动动能
1 2 Ek = mv 2 i 刚体是有许多质点组成的,第 刚体是有许多质点组成的 第
2
2、刚体运动的角量描述: 、刚体运动的角量描述
角位置: 角位置 角位移: 角位移
θ1
θ2
p
'
∆θ = θ2 − θ1
0
∆θ
p
角位移是矢量 角速度: 角速度 平均角速度: 平均角速度 瞬时角速度 角加速度: 角加速度
θ1
x
∆θ ω = = t2 − t1 ∆t
θ2 − θ1
dθ ω= dr t r 2 r dω d θ = 2 α= r
( 2 m 1 + m / 2 )m 2 g T2 = m1 + m 2 + m / 2
(m1 − m2 )g a= m1 +m2 +m / 2
15
2.不计滑轮质量 m=0 不计滑轮质量
T1 =
2 m 2 m1 g + m1 M f / R m1 + m 2
a= (m1 − m2 )g − M f / R m1 +m2
J=
∑
i =1
n
∆mi ri2
如果刚体是连续分布的质点系
J = r dm
2
∫
例1、计算质量为 m , 长为 l 的均匀细杆的转动惯量 、 (1) 假定转轴通过杆中心并与杆垂直 假定转轴通过杆中心并与杆垂直; (2) 假定转轴通过杆的端点与杆垂直。 解: dm = m dx
( )
' 2
= 0.32 m/ s
(
2
)
2 a' = an + at2 = 0.51 m 2 s
a
an
合加速度的方向与轮缘切线方向夹角
an β = arctan = 38.70 at
6
4、转动动能: 、转动动能
1 2 Ek = mv 2 i 刚体是有许多质点组成的,第 刚体是有许多质点组成的 第
2
2、刚体运动的角量描述: 、刚体运动的角量描述
角位置: 角位置 角位移: 角位移
θ1
θ2
p
'
∆θ = θ2 − θ1
0
∆θ
p
角位移是矢量 角速度: 角速度 平均角速度: 平均角速度 瞬时角速度 角加速度: 角加速度
θ1
x
∆θ ω = = t2 − t1 ∆t
θ2 − θ1
dθ ω= dr t r 2 r dω d θ = 2 α= r
( 2 m 1 + m / 2 )m 2 g T2 = m1 + m 2 + m / 2
(m1 − m2 )g a= m1 +m2 +m / 2
15
2.不计滑轮质量 m=0 不计滑轮质量
T1 =
2 m 2 m1 g + m1 M f / R m1 + m 2
a= (m1 − m2 )g − M f / R m1 +m2
J=
∑
i =1
n
∆mi ri2
如果刚体是连续分布的质点系
J = r dm
2
∫
例1、计算质量为 m , 长为 l 的均匀细杆的转动惯量 、 (1) 假定转轴通过杆中心并与杆垂直 假定转轴通过杆中心并与杆垂直; (2) 假定转轴通过杆的端点与杆垂直。 解: dm = m dx
02_动量角动量3
瞬时功率：
A dA P lim dt t 0 t dA F dr F v P dt dt
i 1
i 1
b A lim Fi ri F dr
n r 0 i 1
F1
F2
a
b A F dr a
a
r1
1
2
功和能
合力的功：
A
L
F dr F1 F2 Fn dr
动量与角动量
一、质点的角动量 angular momentum
定义：
L r P r mv
——质点对O点的 角动量
L
z
O
x
mv
y
L rmv sin L Lx i Ly j Lz k
单位：kg · m2· s-1
动量与角动量
地球在椭圆的一个焦点上，则
(1)卫星的动量是否守恒？ (2)卫星的角动量是否守恒？
m
(3)卫星的动能是否守恒？
(4)开普勒面积定律的实质是什么？
动量与角动量
Example 质量为 m 小球系在绳子的一端，绳穿过铅 直套管，使小球限制在一光滑水平面上运动。先使小 球一速度 v0 绕管心作半径为 r0 的圆周运动，然后向下 拉绳子，使小球运动半径变为 r1 。求小球的速度.
• 对质点系
dLi F2 M i外 M i内 dt f2 dLi (M i外 M i内 ) f1 d t i i d( L) dL F 1 M外 m1 dt dt t t0 M 外 dt L L0 t ——外力矩的冲量矩 M d t 外
大学物理第2章-质点动力学基本定律
②保守力作功。
势能的绝对值没有意义，只关心势能的相对值。 势能是属于具有保守力相互作用的系统 计算势能时必须规定零势能参考点。但是势能差是一定的，与零点的选择无关。 如果把石头放在楼顶，并摇摇欲坠，你就不会不关心它。 一块石头放在地面你对它并不关心。
重力势能：以地面为势能零点
01
万有引力势能：以无限远处为势能零点
m
o
θ
设：t 时刻质点的位矢
质点的动量
运动质点相对于参考原点O的角动量定义为：
大小：
方向：右手螺旋定则判定
若质点作圆周运动，则对圆心的角动量：
质点对轴的角动量:
质点系的角动量:
设各质点对O点的位矢分别为
动量分别为
二.角动量定理
对质点:
---外力对参考点O 的力矩
力矩的大小：
力矩的方向:由右手螺旋关系确定
为质点系的动能，
令
---质点系的动能定理
讨论
内力和为零,内力功的和是否为零？
不一定为零
A
B
A
B
S
L
例:炸弹爆炸，过程内力和为零，但内力所做的功转化为弹片的动能。
内力做功可以改变系统的总动能
例 用铁锤将一只铁钉击入木板内,设木板对铁钉的阻力与铁钉进入木板之深度成正比,如果在击第一次时,能将钉击入木板内 1 cm, 再击第二次时（锤仍以第一次同样的速度击钉）,能击入多深？ 第一次的功 第二次的功 解：
（1）重力的功
重力做功仅取决于质点的始、末位置za和zb，与质点经过的具体路径无关。
（2） 万有引力的功
*
设质量M的质点固定，另一质量m的质点在M 的引力场中从a运动到b。
M
a
b
势能的绝对值没有意义，只关心势能的相对值。 势能是属于具有保守力相互作用的系统 计算势能时必须规定零势能参考点。但是势能差是一定的，与零点的选择无关。 如果把石头放在楼顶，并摇摇欲坠，你就不会不关心它。 一块石头放在地面你对它并不关心。
重力势能：以地面为势能零点
01
万有引力势能：以无限远处为势能零点
m
o
θ
设：t 时刻质点的位矢
质点的动量
运动质点相对于参考原点O的角动量定义为：
大小：
方向：右手螺旋定则判定
若质点作圆周运动，则对圆心的角动量：
质点对轴的角动量:
质点系的角动量:
设各质点对O点的位矢分别为
动量分别为
二.角动量定理
对质点:
---外力对参考点O 的力矩
力矩的大小：
力矩的方向:由右手螺旋关系确定
为质点系的动能，
令
---质点系的动能定理
讨论
内力和为零,内力功的和是否为零？
不一定为零
A
B
A
B
S
L
例:炸弹爆炸，过程内力和为零，但内力所做的功转化为弹片的动能。
内力做功可以改变系统的总动能
例 用铁锤将一只铁钉击入木板内,设木板对铁钉的阻力与铁钉进入木板之深度成正比,如果在击第一次时,能将钉击入木板内 1 cm, 再击第二次时（锤仍以第一次同样的速度击钉）,能击入多深？ 第一次的功 第二次的功 解：
（1）重力的功
重力做功仅取决于质点的始、末位置za和zb，与质点经过的具体路径无关。
（2） 万有引力的功
*
设质量M的质点固定，另一质量m的质点在M 的引力场中从a运动到b。
M
a
b
大学物理动量角动量
三、质点的角动量定理
L=r×pቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
dL dr dp = × p+r × dt dt dt
r × F =r ×
dP dt
0
υ
dL M = dt
注意： 注意： 1. M, L 必须对同一点 必须对同一点 2. M —合外力矩 合外力矩 3.惯性系成立 惯性系成立
∫t
t2
1
M dt =
∫L d L = L2 L1
M外 = 0 L总 = 常 量 矢
角动量守恒定律
M i = ri × ( Fi + ∑ f ij )
i≠ j
d 注意： M = ∑ ri × Fi = ( ∑ Li ) 注意： dt i i
F外
d P总 = dt
1.内力矩不改变质点系的总 内力矩不改变质点系的总 角动量， 角动量，但可以改变各质点 的角动量。 2. M = ∑ M i 必须对同一点。 必须对同一点。
∫v dv = u ∫M
0
v
M
0
dM M
M0 v = v0 + uln M
Fdt = (v u)dm vdm
u
= udm
它给火箭的推动力 指向前进方向
F ' = F > 0
dm dM F = u <0 =u dt dt
§3 质心运动定理 一 质心
N个粒子系统，可定义质量中心 个粒子系统， 个粒子系统
z mi
rc
ri
y
rc =
∑m r
i =1 N
N
i i
∑m
i =1
=
∑m r
i =1
N
i i
x
第动量与角动量课件
证角动量守恒定律的正确性。
04
第动量与角动量的应用
第动量与角动量在日常生活中的应用
体育活动
在投掷、击打、跑步等体育活动 中，动量和角动量起着关键作用 ，例如棒球运动员利用角动量原
理转动身体来增加投球速度。
舞蹈和杂技
舞者可以利用角动量来保持旋转， 杂技演员可以利用动量和角动量完 成高难度动作。
交通工具
一个封闭系统，在没有外力矩作用的 情况下，其角动量保持不变。
作用在物体上的力矩，使物体产生旋 转运动。
角动量
一个物体绕某点旋转的动量，等于物 体质量、速度和旋转半径的乘积。
角动量守恒定律的适用范围
适用于封闭系统
角动量守恒定律仅适用于系统边界不随时间变化的封闭系统。
适用于无外力矩作用的情况
只有在没有外力矩作用的情况下，角动量才能保持守恒。
骑自行车、滑冰和驾驶汽车时，动 量和角动量影响平衡和运动轨迹， 例如转弯时自行车利用角动量保持 稳定。
第动量与角动量在科学研究中的应用
物理实验
在研究碰撞、摩擦、旋转等物理 现象时，动量和角动量是重要的 物理量，帮助科学家理解和描述
自然界的运动规律。
天文学
行星和卫星的运动中涉及到角动 量守恒，有助于科学家研究天体
第动量守恒定律的适用范围
01
第动量守恒定律适用于 宏观低速的物理系统， 如物体、质点等。
02
第动量守恒定律不适用 于微观高速的物理系统 ，如原子、粒子等。
03
第动量守恒定律适用于 不受外力作用的封闭系 统，如弹性碰撞、非弹 性碰撞等。
04
第动量守恒定律不适用 于受到外力作用的开放 系统，如摩擦力、重力 等。
运动规律和宇宙演化。
角动量 角动量定理
d M (r P) dt
定义： L r P ——角动量
——角动量定理
第2章 运动定律与力学中的守恒定律
2–5 角动量 角动量定理
3
作用在质点上的力矩等于质点角动量对时间的变化率。 此即质点对固定点的角动量定理。
t
t0
Mdt L L0
t
t0
Mdt
叫冲量矩
2–5 角动量 角动量定理
2
2 质点的角动量定理
M r F
dP F dt
dP d dr M r (r P) P dt dt dt
P mv
dr v dt
dL M dt
dr P v mv 0 dt
角动量
1. L r P
L 的方向符合右手法则.
L m vrsin
第2章 运动定律与力学中的守恒定律
z L mv
r
2–5 角动量 角动量定理
4
2.质点在垂直于 z 轴平面
上以角速度
作半径为 r
的圆运动，相对圆心
z
o r
90
A
L r p r mv
mv0 (m M )v1
第2章 运动定律与力学中的守恒定律
2–5 角动量 角动量定理
9
在由A→B的过程中，子弹、木块系统机械能守恒
1 1 1 2 2 (m M) v 1 (m M) v 2 k (l l0 ) 2 2 2 2
在由A→B的过程中木块在水平面内只受指向O点的 弹性有心力，故木块对O点的角动量守恒，设 v2 与OB方向成θ角，则有
动量 角动量
后锁定“坦普尔一号”进行观测。
美国科学家一再强调，这次撞击不会摧毁彗星或使 彗星偏离其运行轨道进而撞击地球。
第2节 质点系的动量定理 动量守恒定律
Momentum Theorem for System of Particles & Principle of Conservation of Momentum
动量定理：冲量等于动量的增量。
注意：动量定理适用于惯性参考系。在非惯性系 中还须考虑惯性力的冲量。 大且 随时间急剧变化。这种力通常叫做冲力 。
2
Fdt P2 P1
冲力的瞬时值很难确定，但在过程的始末两 时刻,质点的动量比较容易测定, 所以动量定理可以 为估算冲力的大小带来方便。
第一篇 力学
动量 角动量
第 3章
第 1节 第 2节 第 3节
动量 角动量
Momentum & Angular Momentum
冲量与动量定理 质点系的动量定理 动量守恒定律 角动量定理 角动量守恒定律
能量、动量和角动量是最基本的物理量。 它们的守恒定律是自然界中的基本规律，适 用范围远远超出了牛顿力学。
O
7
“炮轰”彗星
2005 年 7 月 4 日 ， 美 国 发 射 的 “ 深 度 撞 击 ” 号 （Deep Impact）探测器携带的重372千克的铜头“炮
弹” ，将以每小时 3.7万公里的速度与坦普尔一号彗
星（TEMPEL1）的彗核相撞。 据推算，撞击的强度相当于 4.5 吨 TNT 炸药造成的 巨大爆炸，它将会在彗核表面撞出一个约有足球场大
引入平均冲力 F
t2 F ( t )dt t1
t2 t1
则:
F ( t2 t1 )
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t2 F(t )dt t1
F
t2 t1
P2 P 1 t2 t1
射手肩部所受到的平均压力为
m v P F t t
300 0.05 800 200 N 60
5
例2. 一铅直悬挂着的匀质柔软细绳长为L,下端刚 好触及水平桌面,现松开绳的上端,让绳落到 桌面上。试证明:在绳下落的过程中,任意时 刻作用于桌面的压力N,等于已落到桌面上的 绳重G的三倍。 y 解：考虑dy段的下落过程: dy m Fdt P dm v dy dt L L d y y+dy F m ( )2 m v2 y L dt L F 2 mg dy L y v 2 2 gy 依牛顿第三定律, dy段对桌面 的作用力大小亦为F: y G mg N G F 3G L O
例 4 . 水管有一段弯曲成 90 。已知管中水的流量为 3103kg/s ，流速为 10m/s 。求水流对此弯管的压力之大 小和方向。 F
解： 如图所示，考虑质量为dm的一小段水 柱临通过直角弯曲处和刚通过直角弯曲 处这两个状态。设时间间隔为 dt，水管 对dm的力为 f 则
dm
t
v
O
dm
45
x
由动量定理得 fdt dm(vv )
vvi
vvj
v10m / s
y
tdt v
y
(水在水平面内流)
依牛顿第三定律，水对水管的作用力
dm 3 4 F f (v v )310 (10i 10 j )310 (i j )( N ) dt 所以，F 的大小为 3 2104 N , 方向沿直角的平分线指向右上方。
g L L 2
2
受力分析： F
m
x
F
M ( x g) L
运动方程：
X
1 v 2
2
v
gL
d( mv ) dv dm F m v d dt dt t dm dm dv F m v v' dt dt dt
m0 . mf
15
讨论：喷气式飞机有阻力、有动力求合力？ u2 u1 v
dm 2 dt dm1 dt
地面
正向
dm 1 dm 2 u2 F推力 u1 dt dt (v) ( ) (v) ( )
阻力 动力
16
例6.一条质量为 M 长为 L 的均匀链条，放在一光滑 的水平桌面上，链子的一端有极小的一段长度被推出桌 子的边缘在重力作用下开始下落，试求在下列两种情况 下链条刚刚离开桌面时的速度： M L （1）在刚刚下落时，链条为一直线形式 解：（1）链条在运动过程中，各部分的速度、 动画 加速度都相同。
若喷出的气体相对火箭的速率u恒定, 开始时火箭 的质量为m0, 初速度为v0, 燃料耗尽时火箭的质量 为mf , 速度为vf , 则
dv
vf v0
mf m0
m f m0 d m v0 ( )uln v f v0 uln u mf m0 m
讨论：提高 v f途径
u ,
6
第 6节
质点系的动量定理 动量守恒定律
Momentum Theorem for System of Particles & Principle of Conservation of Momentum
1. 质点系的动量定理 质点系中第i个质点所受的内力和外力之和为 dP Fi f i内 Fi外 F dt dPi 依牛顿第二定律，有 Fi
t2 t1
P F＝ t
3
说明:
•冲量的方向不是与动量的方向相同，而是与动量增 量的方向相同 •动量定理说明质点动量的改变是由外力和外力作用 时间两个因素，即冲量决定的 •动量定理的分量式
Ix = Iy = Iz =
Δt
F dt = mv
x y
2x
- mv1 x - mv1 y - mv1 z
i
动量守恒定律在直角坐标系中的 分量式：
Fx 0时, mi vix 常数
F y 0时 , m i v iy 常数
i
Fz 0时 , m i v iz 常数
i
i
11
说明 说明
•守恒的意义：动量守恒是指系统的总动量的矢量和不变，
而不是指某一个质点的动量不变。 •守恒的条件：系统所受的合外力为零。 •内力的作用：不改变系统的总动量，但可以引起系统内动 量的变化 •动量是描述状态的物理量，而冲量是过程量 •动量守恒定律是物理学中最普遍、最基本的定律之一。
t m t u dt M 0 x车地 m x人地 M x人地 x人车 x车地 t vdt t0
x L 人车
Δx人地 ML Mm mL Δx车地 Mm
13
3. 变质量问题(——动量定理与火箭飞行原理) 质量 速度 动量 t 时刻 m P 1 m v v v dv t+dt 时刻 m dm P2 (m d m)(v dv ) (此处dm<0) ( d m ) v 火箭受外力为： F 由动量定理得：Fdt P2 P1 mv (m d m )( v d v ) ( d m ) v v dv mv mdv vdm dmdv vdm mv t+dt 时刻 d(mv ) dm v 化简得： F m+dm v dt dt dm —— 密歇尔斯基方程 v 对地 或： F m dv u dm 火箭运动方程 m dt dt （质量流动基本方程）
冲力的瞬时值很难确定，但在过程的始末两 时刻,质点的动量比较容易测定, 所以动量定理可以 为估算冲力的大小带来方便。
引入平均冲力 F
则:
t2 F ( t ) d t t1
F ( t2 t1 )
P2 P1 t2 t1
F
t2 F ( t ) d t t1
第5节 冲量与动量定理 Impulse & Momentum Theorem 1. 冲量 设在时间间隔dt 内，质点所受的力为 F ，
为F 在dt时间内给质点的冲量。
若质点受力的持续作用， 时间由
则称 dI Fdt
t1 t 2
则在这段时间内力对质点的冲量为:
t2 I t F d t 1
8
例3 . 水平桌面上盘放着一根不能拉伸的均匀柔软的长绳，此 绳单位长度的质量为 。今用手将绳的一端以恒定速率v0竖直 上提。试求当提起的绳长为L时，手的提力的大小F 。 F mg Lg? 解： 设在任意t时刻提起的绳长为y, t+dt 时刻的为y+dy。 Y 取长度为y+dy的这段绳子为研究对象(质点系) 。 F
即:
dt ( fi内 Fi外)dt dPi
对质点系内所有的质点写出类似的式子， 并将全部式子相加得
( fi内 Fi 外)dt ( Fi )dt dPi d Pi i i i i 记 F Fi外 ——系统所受的合外力
(力的时间累积效应,矢量)
1
t2 dI Fdt I t1 Fdt
2. 动量定理 利用牛顿第二定律可得:
dP F dt
dI Fdt dP t2 I t Fdt P2 P 1
1
dI dP I P
F合dt dP ( ydy)v0 ( yv0 dy0 ) v0dy
tdt t
ydy y
(F mg)dt dP v0dy
故，任意t时刻(提起的绳长为y时)有：
系统的质量
v0
2 2 动量定理 F v d y / d t mg v mg v 0 0 0 yg ? F合dt dP 否! mg( ydy)g yg 2 F v0 Lg 当提起的绳长为L时， 对哪个质点(系) 及时间段来用？ 遗漏了下方绳子的拉力T, F T mg 9 在t+dt 时刻，y+dy下方的绳子尚未来得及动，与dy还无张力的作用
解题步骤：
1．选好系统，分析要研究的物理过程； 2．进行受力分析，判断守恒条件； 3．确定系统的初动量与末动量； 4．建立坐标系，列方程求解； 5．必要时进行讨论。 12
例5. 水平光滑冰面上有一小车,长度为L,质量为 M。车的一端有一质量为m的人,人和车原 来均静止。若人从车的一端走到另一端, 求:人和车各移动的距离。 解:设人速为u,车速为v。 u 系统在水平方向上动量守恒 ， v m v u Mv+ mu= 0 M x
i 则有 Fdt dP ——微分形式 t2 且 F d t P ——积分形式 t
1
0
( fi内 Fi 外)dt dPi
i i
i P Pi ——系统的总动量
质点系的 动量定理
(适用于惯性系)
质点系的动量定理：系统在某一段时间内所受合 外力的总冲量等于在同一段时间内系统的总动量 的增量。 若在非惯性系中,还须考虑惯性力的冲量。
10
F为
F合dt dP
t2 2. 动量守恒定律 Fdt dP t F dt P 1 对质点系 当 F 0 时， P 0 F Fi外 i Pi m i v i 恒矢量
i i
P Pi
Δt
F dt = mv
z
2y
Δt
F dt = mv
2z
•应用： 利用冲力：增大冲力，减小作用时间——冲床 避免冲力：减小冲力，增大作用时间——轮船靠岸时的缓冲 4
F
t2 t1
P2 P 1 t2 t1
射手肩部所受到的平均压力为
m v P F t t
300 0.05 800 200 N 60
5
例2. 一铅直悬挂着的匀质柔软细绳长为L,下端刚 好触及水平桌面,现松开绳的上端,让绳落到 桌面上。试证明:在绳下落的过程中,任意时 刻作用于桌面的压力N,等于已落到桌面上的 绳重G的三倍。 y 解：考虑dy段的下落过程: dy m Fdt P dm v dy dt L L d y y+dy F m ( )2 m v2 y L dt L F 2 mg dy L y v 2 2 gy 依牛顿第三定律, dy段对桌面 的作用力大小亦为F: y G mg N G F 3G L O
例 4 . 水管有一段弯曲成 90 。已知管中水的流量为 3103kg/s ，流速为 10m/s 。求水流对此弯管的压力之大 小和方向。 F
解： 如图所示，考虑质量为dm的一小段水 柱临通过直角弯曲处和刚通过直角弯曲 处这两个状态。设时间间隔为 dt，水管 对dm的力为 f 则
dm
t
v
O
dm
45
x
由动量定理得 fdt dm(vv )
vvi
vvj
v10m / s
y
tdt v
y
(水在水平面内流)
依牛顿第三定律，水对水管的作用力
dm 3 4 F f (v v )310 (10i 10 j )310 (i j )( N ) dt 所以，F 的大小为 3 2104 N , 方向沿直角的平分线指向右上方。
g L L 2
2
受力分析： F
m
x
F
M ( x g) L
运动方程：
X
1 v 2
2
v
gL
d( mv ) dv dm F m v d dt dt t dm dm dv F m v v' dt dt dt
m0 . mf
15
讨论：喷气式飞机有阻力、有动力求合力？ u2 u1 v
dm 2 dt dm1 dt
地面
正向
dm 1 dm 2 u2 F推力 u1 dt dt (v) ( ) (v) ( )
阻力 动力
16
例6.一条质量为 M 长为 L 的均匀链条，放在一光滑 的水平桌面上，链子的一端有极小的一段长度被推出桌 子的边缘在重力作用下开始下落，试求在下列两种情况 下链条刚刚离开桌面时的速度： M L （1）在刚刚下落时，链条为一直线形式 解：（1）链条在运动过程中，各部分的速度、 动画 加速度都相同。
若喷出的气体相对火箭的速率u恒定, 开始时火箭 的质量为m0, 初速度为v0, 燃料耗尽时火箭的质量 为mf , 速度为vf , 则
dv
vf v0
mf m0
m f m0 d m v0 ( )uln v f v0 uln u mf m0 m
讨论：提高 v f途径
u ,
6
第 6节
质点系的动量定理 动量守恒定律
Momentum Theorem for System of Particles & Principle of Conservation of Momentum
1. 质点系的动量定理 质点系中第i个质点所受的内力和外力之和为 dP Fi f i内 Fi外 F dt dPi 依牛顿第二定律，有 Fi
t2 t1
P F＝ t
3
说明:
•冲量的方向不是与动量的方向相同，而是与动量增 量的方向相同 •动量定理说明质点动量的改变是由外力和外力作用 时间两个因素，即冲量决定的 •动量定理的分量式
Ix = Iy = Iz =
Δt
F dt = mv
x y
2x
- mv1 x - mv1 y - mv1 z
i
动量守恒定律在直角坐标系中的 分量式：
Fx 0时, mi vix 常数
F y 0时 , m i v iy 常数
i
Fz 0时 , m i v iz 常数
i
i
11
说明 说明
•守恒的意义：动量守恒是指系统的总动量的矢量和不变，
而不是指某一个质点的动量不变。 •守恒的条件：系统所受的合外力为零。 •内力的作用：不改变系统的总动量，但可以引起系统内动 量的变化 •动量是描述状态的物理量，而冲量是过程量 •动量守恒定律是物理学中最普遍、最基本的定律之一。
t m t u dt M 0 x车地 m x人地 M x人地 x人车 x车地 t vdt t0
x L 人车
Δx人地 ML Mm mL Δx车地 Mm
13
3. 变质量问题(——动量定理与火箭飞行原理) 质量 速度 动量 t 时刻 m P 1 m v v v dv t+dt 时刻 m dm P2 (m d m)(v dv ) (此处dm<0) ( d m ) v 火箭受外力为： F 由动量定理得：Fdt P2 P1 mv (m d m )( v d v ) ( d m ) v v dv mv mdv vdm dmdv vdm mv t+dt 时刻 d(mv ) dm v 化简得： F m+dm v dt dt dm —— 密歇尔斯基方程 v 对地 或： F m dv u dm 火箭运动方程 m dt dt （质量流动基本方程）
冲力的瞬时值很难确定，但在过程的始末两 时刻,质点的动量比较容易测定, 所以动量定理可以 为估算冲力的大小带来方便。
引入平均冲力 F
则:
t2 F ( t ) d t t1
F ( t2 t1 )
P2 P1 t2 t1
F
t2 F ( t ) d t t1
第5节 冲量与动量定理 Impulse & Momentum Theorem 1. 冲量 设在时间间隔dt 内，质点所受的力为 F ，
为F 在dt时间内给质点的冲量。
若质点受力的持续作用， 时间由
则称 dI Fdt
t1 t 2
则在这段时间内力对质点的冲量为:
t2 I t F d t 1
8
例3 . 水平桌面上盘放着一根不能拉伸的均匀柔软的长绳，此 绳单位长度的质量为 。今用手将绳的一端以恒定速率v0竖直 上提。试求当提起的绳长为L时，手的提力的大小F 。 F mg Lg? 解： 设在任意t时刻提起的绳长为y, t+dt 时刻的为y+dy。 Y 取长度为y+dy的这段绳子为研究对象(质点系) 。 F
即:
dt ( fi内 Fi外)dt dPi
对质点系内所有的质点写出类似的式子， 并将全部式子相加得
( fi内 Fi 外)dt ( Fi )dt dPi d Pi i i i i 记 F Fi外 ——系统所受的合外力
(力的时间累积效应,矢量)
1
t2 dI Fdt I t1 Fdt
2. 动量定理 利用牛顿第二定律可得:
dP F dt
dI Fdt dP t2 I t Fdt P2 P 1
1
dI dP I P
F合dt dP ( ydy)v0 ( yv0 dy0 ) v0dy
tdt t
ydy y
(F mg)dt dP v0dy
故，任意t时刻(提起的绳长为y时)有：
系统的质量
v0
2 2 动量定理 F v d y / d t mg v mg v 0 0 0 yg ? F合dt dP 否! mg( ydy)g yg 2 F v0 Lg 当提起的绳长为L时， 对哪个质点(系) 及时间段来用？ 遗漏了下方绳子的拉力T, F T mg 9 在t+dt 时刻，y+dy下方的绳子尚未来得及动，与dy还无张力的作用
解题步骤：
1．选好系统，分析要研究的物理过程； 2．进行受力分析，判断守恒条件； 3．确定系统的初动量与末动量； 4．建立坐标系，列方程求解； 5．必要时进行讨论。 12
例5. 水平光滑冰面上有一小车,长度为L,质量为 M。车的一端有一质量为m的人,人和车原 来均静止。若人从车的一端走到另一端, 求:人和车各移动的距离。 解:设人速为u,车速为v。 u 系统在水平方向上动量守恒 ， v m v u Mv+ mu= 0 M x
i 则有 Fdt dP ——微分形式 t2 且 F d t P ——积分形式 t
1
0
( fi内 Fi 外)dt dPi
i i
i P Pi ——系统的总动量
质点系的 动量定理
(适用于惯性系)
质点系的动量定理：系统在某一段时间内所受合 外力的总冲量等于在同一段时间内系统的总动量 的增量。 若在非惯性系中,还须考虑惯性力的冲量。
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F为
F合dt dP
t2 2. 动量守恒定律 Fdt dP t F dt P 1 对质点系 当 F 0 时， P 0 F Fi外 i Pi m i v i 恒矢量
i i
P Pi
Δt
F dt = mv
z
2y
Δt
F dt = mv
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•应用： 利用冲力：增大冲力，减小作用时间——冲床 避免冲力：减小冲力，增大作用时间——轮船靠岸时的缓冲 4