第2章逻辑代数基础

同时，函数F的值为“0”。
便于获得逻辑电路图
逻辑表达式的简写:
1.“非”运算符下可不加括号，如
，
等。
2.“与”运算符一般可省略，如A·B可写成AB。
3.在一个表达式中，如果既有“与”运算又有“或”运 算，则按先“与”后“或”的规则进行运算，可省去括号,如 (A·B)+(C·D)可写为AB+CD。
注意:(A+B)·(C+D)不能省略括号,即不能写成A+B·C+D！
A
FA
1
FA
F
（a）我国常用传统符号
（b）国际流行符号 非门的逻辑符号
（c）国家标准符号
2.1.3 逻辑代数的复合运算
“与”、“或”、“非”三种基本逻辑运算按不同的方 式组合，还可以构成“与非”、“或非”、“与或非”、 “同或”、“异或”等逻辑运算，构成复合逻辑运算。对应 的复合门电路有与非门、或非门、与或非门、异或门和同或 门电路。
能实现基本逻辑运算的电路称为门电路，用基本的门电 路可以构成复杂的逻辑电路，完成任何逻辑运算功能，这些 逻辑电路是构成计算机及其他数字系统的重要基础。
实现“与”运算关系的逻辑电路称为“与”门。
A
A
A
&
B
F B
F B
F
（a）我国常用传统符号
（b）国际流行符号 与门的逻辑符号
（c）国家标准符号
2.1.2 逻辑代数的基本运算
2．逻辑值0和1是用来表征矛盾的双方和判断事件真伪 的形式符号，无大小、正负之分。
2.1.1 逻辑代数的定义
逻辑代数L是一个封闭的代数系统，它由一个逻辑变量集 K，常量0和1以及“或”、“与”、“非”三种基本运算所 构成，记为L={K,+,·,-,0,1}。该系统应满足下列公理。
公理1 交换律 对于任意逻辑变量A、B，有 A + B = B + A ； A·B = B ·A
运算优先法则：( ) 高
1．逻辑与运算 只有当决定一个事件结果的所有条件同时具备时，结
果才能发生，则这种因果关系称之为“与”逻辑。 在逻辑代数中，“与”逻辑关系用“与”运算描述。
两变量“与”运算关系可表示为 F = A·B 或者 F = A∧B
即：若A、B均为1，则F为1；否则，F为0。
2.1.2 逻辑代数的基本运算
例如，两个开关串联控制同一个灯。显然，仅当两个开关 均闭合时，灯才能亮，否则，灯灭。
与： 或: 非: 或非门同样可实现各种逻辑功能，是一种通用门。
A B
+
A
FB
A F
B
≥1 F
（a）我国常用传统符号
（b）国际流行符号
（c）国家标准符号
或非门的逻辑符号
3、与或非逻辑
与或非门电路的功能相当于两个与门、一个或门和一 个非门的组合，可完成以下逻辑表达式的运算
逻辑功能：仅当每一个“与项”均为0时，才能使F为1， 否则F为0。
3．逻辑非运算
如果某一事件的结果取决于条件的否定，即事件与事件 发生的条件之间构成矛盾，则这种因果关系称为“非”逻辑。
在逻辑代数中，“非”逻辑用“非”运算描述。其运算 符号为“¯”。“非”运算的逻辑关系可表示为
F= 读作“F等于A非”。
即：若A为0，则F为1；若A为1，则F为0。
“非”运算真值表
A
F
公理2 结合律 对于任意的逻辑变量A、B、C，有 (A + B) + C = A + ( B + C ) ( A·B )·C = A·( B·C )
2.1.1 逻辑代数的定义
公理3 分配律 对于任意的逻辑变量A、B、C，有 A + ( B·C ) = (A + B)·(A + C) ；
A·( B + C) = A·B + A·C 公 理 4 0─1 律
逻辑函数可以用逻辑表达式、真值表、逻辑电路、卡 诺图等方法表示。
所谓真值表，就是将自变量的各种可能的取值组合与
其因变量的值一一列出来的表格。真值表在以后的逻辑电
路分析和设计中是十分有用的。
“与”运算真值表
AB
F
00
0
01
0
10
0
11
1
2.1.2 逻辑代数的基本运算
数字电路的输入和输出一般用高电平和低电平来表示， 正好对应逻辑代数中的0和1。由于数字电路的输入和输出之 间存在着逻辑关系，所以可以用逻辑函数来描述，并称为逻 辑电路。
随着电子技术的发展，集成电路逻辑门已经取代了机械触点开关，故 人们更习惯于把开关代数叫做逻辑代数。
逻辑代数是数字系统逻辑设计的理论基础和重要 的数学工具！
2.1.1 逻辑代数的定义
一、变量 逻辑代数和普通代数一样，是用字母表示其值可以变化
的量，即变量。所不同的是：
1．任何逻辑变量的取值只有两种可能性——取值0或 取值1。
00
0
01
1
10
1
11
1
“或”运算的运算法则： 0+0=0 1+0=1 0+1=1 1+1=1
2.1.2 逻辑代数的基本运算
实现“或”运算关系的逻辑电路称为“或”门。
A
+
A F
B
B
A F
B
≥1 F
（a）我国常用传统符号
（b）国际流行符号 或门的逻辑符号
（c）国家标准符号
2.1.1 逻辑代数的基本运算
A
A
B
⊙
FB
A F
B
= F
同或逻辑与异或逻辑的关系既互为相反，又互为对偶。 即有：
注意：当多个变量进行同或运算时，若有奇数个变量的 值为0，则运算结果为0；反之，若有偶数个变量的值为0， 则运算结果为1。
由于同或实际上是异或之非，所以实际应用中通常用 异或门加非门实现同或运算。
2.1.4 逻辑函数的表示法及逻辑函数的相等
0
1
1
0
2.1.1 逻辑代数的基本运算
例如，下面开关与灯并联的电路中，仅当开关断开时，灯 亮；一旦开关闭合，则灯灭。令开关断开用0表示，开关闭合 用1表示，灯亮用1表示，灯灭用0表示，则电路中灯F与开关A 的关系即为上表所示“非”运算关系。
A
F
开关与灯并联电路
“非”运算的运算法则： ；
数字系统中实现“非”运算功能的逻辑电路称为“非”门， 有时又称为“反相器”。
从异或运算的基本规则还可推出下列一组常用公式：
A 0＝A
A A＝0 A B＝B A A(B C)＝AB AC
A 1＝A
A A ＝1 A (B C)＝(A B) C
实现异或运算的逻辑门称为“异或门”。
A
A
F
B
B
A F
B
=1
F
（a）我国常用传统符号 （b）国际流行符号
假定开关闭合状态用1表示，断开状态用0表示，灯亮用1 表示，灯灭用0表示，则F和A、B之间的关系 为“与”运算关 系。
AB
“与”运算的运算法则:
F
串联开关电路
0 ·0 = 0 0 ·1 = 0
1 ·0 = 0 1 ·1 = 1
2.1.2 逻辑代数的基本运算
和普通代数类似，逻辑变量A和B称为自变量，F 称为 因变量，描述因变量和自变量之间的关系称为逻辑函数。
3
2.1 逻辑代数的基本概念
1847年,英国数学家乔治·布尔(G.Boole)提出了用数学分析方法表示 命题陈述的逻辑结构，并将形式逻辑归结为一种代数演算，从而诞生了著 名的“布尔代数”。
1938年，克劳德·向农(C.E.Shannon)将布尔代数应用于电话继电器 的开关电路，提出了“开关代数”。
1、逻辑函数的定义
逻辑代数中函数的定义与普通代数中函数的定义类似， 即随自变量变化的因变量。但和普通代数中函数的概念相 比，逻辑函数具有如下特点：
1．逻辑函数和逻辑变量一样，取值只有0和1两种可 能；
2．函数和变量之间的关系是由“或”、“与”、 “非”三种基本运算决定的 。
1、逻辑函数的定义
设某一逻辑电路的输入逻辑变量为A1，A2，…，An，输 出逻辑变量为F，如下图所示。
2．逻辑或运算
决定一个事件结果的所有条件中只要有一个具备，则 结果就能发生，则这种因果关系称之为“或”逻辑。
例如，用两个开关并联控制一个灯的照明控制电路。
A B
并联开关电路
电路中，开关A和B并联 控制灯F。可以看出，当开关 A、B中有一个闭合或者两个 F 均闭合时，灯F即亮。因此， 灯F与开关A、B之间的关系是 “或”逻辑关系。可表示为
F = A + B 或者 F = A ∨ B， 读作“F等于A或B”。
2.1.2 逻辑代数的基本运算
假定开关断开用0表示，开关闭合用1表示；灯灭用0表示， 灯亮用1表示，则灯F与开关A、B的关系如下表所示。
即：A、B中只要有一个为1，则F为1；仅当A、B均为0时， F才为0。
“或”运算真值表
AB
F
A1
A2
逻辑电路
F
…
An
广义的逻辑电路
图中，F被称为A1，A2，…，An的逻辑函数，记为
F = f( A1，A2，…，An )
逻辑电路输出函数的取值是由逻辑变量的取值和电路本 身的结构决定的。
2、逻辑函数的相等
逻辑函数和普通代数中的函数一样存在是否相等的问题。 设有两个相同变量的逻辑函数
F1 = f1( A 1,A 2, … ,A n) F2 = f2( A 1,A 2, … ,A n) 若对应于逻辑变量 A1 ,A2 , … , An的任何一组取值，F1和 F2的值都相同，则称函数F1和F2相等，记作F1 = F2 。 如何判断两个逻辑函数是否相等？