9.1.2不等式的性质
9.1.2 不等式的性质
纸上觉来终觉浅， 绝知此事要躬行 Have a try！
练习1：6x<5x-1 练习2： –4x>3
1.判断正误： （1）如果a＞b，那么ac＞bc. ×
（2）如果a＞b，那么ac2＞bc2. × （3）如果ac2＞bc2,那么a＞b.
√
2.已知不等式2a＋3b＞3a＋2b,试比较a、b的大小. 解:根据不等式的性质1,不等式两边都减去 (2a+2b),得
不变 当不等式两边乘同一个正数时,不等号的方向_____; 改变 而乘同一个负数时,不等号的方向_____;
不等式的性质1
不等式两边加（或减）同一个数（或式
子），不等号的方向不变. 字母表示为：
﹥ ±c 如果a＞b，那么a±c____b
不等式的性质2 等号的方向不变. 字母表示为：
不等式两边乘（或除以）同一个正数，不
(2)-1<3,
-1+2___3+2 , ﹤
-1－3___3 ﹤ －3 ;
根据发现的规律填空:当不等式两边加或减同一个数(正数 不变 或负数）时,不等号的方向______.
﹤ ×（-5） ; ﹥ ×5 , 6×（-5）____2 (3) 6＞2, 6×5____2 ﹤ ×6 , (-2) ×（-6）___3 ﹥ ×（-6 ） (4)–2<3, (-2)×6___3
2a＋3b－(2a+2b)＞3a＋2b－(2a+2b)
2a＋3b－2a－2b＞3a＋2b－2a－2b 所以b＞a.
1.填空: 正 数. (1) 因为 2a<3a ,所以a是____ (2) 因为
a a 正 数. ,所以a是____ 2 3
(3) 因为ax<a 且 x>1, 所以a是____ 负 数.
9.1.2 不等式的性质
9.1.2 不等式的性质在数学的广袤天地中，不等式是一个非常重要的概念，而不等式的性质则是我们理解和解决不等式问题的关键工具。
首先，我们来谈谈不等式的基本性质。
其中一个重要性质是对称性，也就是说，如果 a ＞ b，那么 b ＜ a。
这就好比两个人比身高，如果甲比乙高，那么反过来乙就比甲矮，非常直观易懂。
另一个关键性质是传递性。
假如 a ＞ b 并且 b ＞ c，那么必然有 a＞ c。
这就好像是在一条身高的链条上，如果甲比乙高，乙又比丙高，那毫无疑问甲肯定比丙高。
还有一个重要的性质是加法性质。
如果 a ＞ b，那么 a ＋ c ＞ b ＋ c。
这意味着，在不等式两边同时加上同一个数，不等号的方向不变。
比如说，已知 5 ＞ 3，如果在两边同时加上 2，就变成了 7 ＞ 5，不等式依然成立。
乘法性质也不能忽略。
当 c 为正数时，如果 a ＞ b，那么 ac ＞ bc；但当 c 为负数时，如果 a ＞ b，那么 ac ＜ bc。
这个性质稍微有点复杂，需要我们特别留意。
举个例子，若 2 ＞ 1，两边同时乘以 3（正数），得到 6 ＞ 3；而如果两边同时乘以－1（负数），则变成－2 ＜－1，不等号方向改变了。
这些性质在解决不等式问题时有着广泛的应用。
比如说，我们要解不等式3x ＋5 ＞8。
首先，根据加法性质，在不等式两边同时减去5，得到 3x ＞ 3。
然后，再根据乘法性质，在两边同时除以 3，得到 x ＞ 1。
再来看一个稍微复杂点的例子，解不等式－2x ＋ 7 ＜ 11。
第一步，两边同时减去 7，得到－2x ＜ 4。
由于这里乘以的是－2（负数），所以根据乘法性质，不等号方向要改变，两边同时除以－2，得到 x ＞－2。
不等式的性质还能帮助我们比较两个代数式的大小。
比如，要比较2(x ＋ 1) 和 3x 1 的大小。
我们可以通过作差法，将两个式子相减：2(x ＋ 1) （3x 1) ＝ 2x ＋ 2 3x ＋ 1 ＝ x ＋ 3。
9.1.2不等式的性质
用”>””<” 填空并总结规律:
(1)5>3， 5+2 3+2,5-2 3-2 (2)-1<3,-1+2 3+2,-1-3 3-3
(3)6>2, 6×5 2×5,6×(-5) 2×(-5) (4)-2<3,(-2)×6 3×6,
(-2)×(-6) 3×(-6)
由上面规律填空:
当不等式两边加上或减去同一个数(正数或负数)时 ,不等号的方向 不变 ;
本节重点
不等式的三条性质是： ① 、不等式的两边都加（或减）同一个 数
（或式子），不等号的方向不变； ② 、不等式的两边都乘（或除以）同一个
正数，不等号的方向不变； ③ 、*不等式的两边都乘（或除以）同一
个负数，不等号的方向要改变 ；
注意事项
当不等式两边都乘（或除以）同 一个数时， 一定要看清是正数还是负数；对于未给定范围 的字母，应分情况讨论.
§9.1.2 不等式的性质
读书改变命运 ！刻苦成 就事业 ！！态度决定一 切！！！
挑战“记忆”:
还记得等式的基本性质吗？
等式的性质1：等式的两边都加上（或减去） 同一个整式，等式仍然成立. 等式的性质2：等式的两边都乘以（或除以） 同一个不为0的数，等式仍然成立.
不等式与等式只有一字之差，那么它们的性 质是否也有相似之处呢？
32
得 _x_≥__ _23____ （依据：不__等__式__的__性_质__3_____）.
3、把下列不等式化成 x＜ a 或 x＞ a 的 形式： （1） x－2 ＞ 3 （2） －2 x ＞3
解: （1）根据不等式的性质1，两边都加上2得：
x－2＋2 ＞ 3＋2
即 x ＞5
9.1.2不等式的性质数学教案
9.1.2不等式的性质数学教案
标题：9.1.2 不等式的性质
一、教学目标：
1. 理解并掌握不等式的基本性质。
2. 能够运用不等式的性质解决实际问题。
3. 培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
二、教学重点与难点：
重点：理解和掌握不等式的性质。
难点：如何正确应用不等式的性质解决问题。
三、教学过程：
（一）导入新课
教师可以通过生活中的实例引入不等式的概念，并引导学生思考：不等式是否也像等式一样有其自身的性质？
（二）讲解新课
1. 不等式的性质
（1）不等式的两边同时加上或减去同一个数，不等号的方向不变。
（2）不等式的两边同时乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变。
（3）不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变。
在讲解每个性质时，教师都可以通过具体的例子来帮助学生理解，然后让学生自己尝试推导，增强他们的理解。
（三）课堂练习
设计一些基础题和提高题，让学生在做题中进一步理解和掌握不等式的性质。
（四）小结
教师对本节课的主要内容进行总结，强调不等式的性质及使用方法。
（五）作业布置
布置一些相关的习题，让学生在课后复习和巩固所学知识。
四、教学反思：
通过对学生课堂表现和作业完成情况的观察，反思自己的教学效果，调整教学策略。
以上只是一个简单的教案框架，您需要根据实际情况进行详细的填充和扩展，例如在讲解每一个性质的时候，可以用具体的例子来进行解释，这样可以使学生更好地理解和记忆。
在课堂练习部分，可以根据学生的水平设计不同难度的题目，让他们在做题中逐步提升自己的能力。
9.1.2 不等式的性质
9.1.2 不等式的性质912 不等式的性质在数学的广袤世界中，不等式如同一位低调但关键的角色，默默地发挥着重要作用。
而不等式的性质，则是我们理解和运用不等式的基石。
首先，让我们来看看不等式的基本性质。
其中一个重要性质是：如果 a ＞ b，那么 a ＋ c ＞ b ＋ c 。
这就好像天平两端，原本左边重（a ＞ b），两边同时加上相同的重量 c ，左边还是更重（a ＋ c ＞ b ＋c ）。
比如说，如果 5 ＞ 3 ，那么 5 ＋ 2 ＞ 3 ＋ 2 ，也就是 7 ＞ 5 。
这个性质告诉我们，在不等式两边同时加上同一个数，不等号的方向不会改变。
另一个基本性质是：如果 a ＞ b ，且 c ＞ 0 ，那么 ac ＞ bc 。
简单来说，就是当不等式两边同时乘以一个正数时，不等号方向不变。
例如，已知 2 ＞ 1 ，同时乘以 3 ，得到 6 ＞ 3 。
但要是 c ＜ 0 ，情况就不同了。
如果 a ＞ b ，且 c ＜ 0 ，那么 ac ＜ bc 。
这就好比原本正数的天平，因为乘以了一个负数，就像把天平翻转了一样，不等号方向改变了。
比如 3 ＞ 2 ，两边同时乘以－1 ，得到－3 ＜－2 。
再深入一些，我们来探讨不等式的传递性。
如果 a ＞ b 且 b ＞ c ，那么 a ＞ c 。
这就像排队，A 在 B 前面，B 在 C 前面，那 A 肯定就在C 前面。
比如 5 ＞ 3 ， 3 ＞ 1 ，所以 5 ＞ 1 。
不等式的性质在解决实际问题中也大有用处。
比如说，在购物时比较不同商品的价格和质量。
假设一件商品 A 的价格为 a 元，质量为 m ；另一件商品 B 的价格为 b 元，质量为 n 。
如果 a ＞ b ，而 m ＜ n ，那我们就要综合考虑价格和质量的关系，通过构建不等式来决定哪件商品更符合我们的需求。
在工程领域，不等式的性质同样不可或缺。
比如在设计桥梁时，需要考虑桥梁的承载能力和材料成本。
假设承载能力用 C 表示，材料成本用 M 表示，如果规定承载能力要大于某个值 C0 ，而材料成本要小于某个值 M0 ，那么就可以通过不等式 C ＞ C0 且 M ＜ M0 来确定合适的设计方案。
2023~2024学年 9.1.2 课时1 不等式的性质1、2、3(17页)
或
a c
＞
b c
．
不等式的性质3：
不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
符号语言：
如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc
或
a＜b cc
．
（1）等式的性质有2条，它们表示了等式两边进行同样的运算 时相等关系不变；
（2）不等式的性质有3条，它们表示了不等式两边进行相同的 运算时大小关系有时改变，有时不变．对于乘法（或除法）运算， 要对乘（或除以）的数的正负分别进行讨论．
性 不等式两边加（或减）同一个数 质1 （或式子），不等号的方向不
变．
如果a＞b， 那么a±c＞b±c．
性 不等式两边乘（或除 质2
以）同一个正数，不
等号的方向不变．
性 质3
不等式两边乘（或除
以）同一个负数，不
等号的方向改变．
如果a＞b，c＞0，
那么 ac＞bc
或
a c
＞
b c
．
如果a＞b，c＜0，
第九章 不等式与不等式组 9.1.2 课时1 不等式的性质1、2、3
学习目标
1.探索并理解不等式的性质，体会不等式与等式的基本性质的异同. 2.应用不等式的基本性质进行变形，体会归纳和类比的方法．
复习导入 等式
文字语言
符号语言
等式两边加（或减）同一个数
性质1 （或式子），结果仍相等．
如果a＝b，那么 a＋c＝b ＋ c， a－c＝b－c．
把“数”的范围扩大到整式可以吗？ 可以
不等式的性质1： 不等式的两边都加上（或减去）同一个数（或式子） ，不等号
的方向不变．
符号语言： 如果a＞b，那么a±c＞b±c．
用“＜”或“＞”填空，并总结其中的规律： （1）6＞2，6×5 ＞2×5，
人教版七年级下册9.1.2不等式的性质教学设计
3.重点：将实际问题转化为不等式。
难点：从实际情境中抽象出数学模型，建立实际问题与不等式之间的联系。
（二）教学设想
1.教学方法：
（1）采用启发式教学，引导学生通过观察、思考、讨论，发现和掌握不等式的性质。
（2）运用数形结合的方法，将不等式与图形相结合，帮助学生直观地理解不等式的性质。
（4）引导学生互相提问，解答疑问，共同进步。
（四）课堂练习
1.教学内容：设计具有代表性的练习题，让学生运用不等式的性质和解题方法解决实际问题在规定时间内完成。
（2）学生独立解题，教师关注学生的解题过程，及时发现问题并进行个别指导。
（3）学生互相讨论解题方法，分享经验。
人教版七年级下册9.1.2不等式的性质教学设计
一、教学目标
（一）知识与技能
本节课是关于不等式的性质的学习，旨在帮助学生掌握以下知识与技能：
1.理解不等式的定义，知道不等式的表示方法，如“大于”、“小于”、“大于等于”、“小于等于”等。
2.掌握不等式的性质，包括：传递性、对称性、可加性和可乘性。
3.学会解简单的一元一次不等式，如ax+b>c或ax+b<c的形式。
4.能够将实际问题转化为不等式，并运用不等式的性质解决实际问题。
（二）过程与方法
1.引导学生通过观察和思考，发现不等式的性质，培养他们的观察能力和逻辑思维能力。
2.采用举例、讨论、归纳等方法，帮助学生总结和掌握不等式的性质。
3.设计具有实际背景的问题，让学生在实际情境中运用不等式的性质，提高他们解决实际问题的能力。
（1）解一元一次不等式，如ax+b>c或ax+b<c的形式。
9.1.2不等式的性质
练一练
• 暑假里，有一个三口之家的父母准备带孩 子外出旅行，咨询时了解到东方旅行社规 定，若父母各买一张全票，则孩子可按全 票的七折优惠；而光明旅行社规定，三人 旅行可按团体票计价，即按全票的80％收 费，若两家旅行社的全票价格相同，则实 际收费哪家旅行社较低呢？
谢谢观赏
书山有路 勤为径
There is no royal road to learning
9.1.2 不等式的性质
杨集初中 曹逸格
复习回顾
• 由a+2=b+2， 能得到a=b？ • 由a-2=b-2， 能得到a=b？
等式的基本性质1:在等式两边都加上(或减去)同 一个数或整式，结果仍相等．
• 由0.5a=0.5b， 能得到a=b？ • 由 -2a= -2b， 能得到a=b？
等式的基本性质2:在等式两边都乘以或除以同一 个数(除数不为0)，结果仍相等．
例题讲解
练一练
练一练
例题讲解
例题讲解
• 例3：三角形中任意两边之差与第三边有怎 样的大小关系
• 用 a、b、c表示三种不同的物体，现放在天 平上比较两次，情况如图所示，那么a、b、c 这三种物体按质量从大到小的顺序排列应为 （ ）
• •
A. a，b，c； C. a，c，b；
不等式的性质1
>
>
不变
>
不等式的性质2、3
> >
不变
>
改变
>
练一练
判断下列各题的推导是否正确？为什么？ (1)因为7.5＞5.7，所以-7.5＜-5.7； (2)因为a+8＞4，所以a＞-4； (3)因为4a＞4b，所以a＞b； (4)因为-1＞-2，所以-a-1＞-a-2； (5)因为3＞2，所以3a＞2a．
七年级下册数学《9.1.2不等式的性质》说课稿
七年级下册数学《9.1.2不等式的性质》说课稿9.1.2《不等式的性质》---说课稿本节课的内容是《不等式的性质》第1课时，课题选自人教版《义务教育课程标准实验教科书数学（七年级下册）》．我将从教学目标的设定；教学重点、难点的分析；教学方式与手段的选择及教学过程的设计几方面来阐述我对本节课的教学设计．一、教学目标不等式的性质是本章的重点内容之一，是在学生学习了等式的基本性质、不等式及其解集的基础上进行，是不等式变形的依据，也是探索不等式方法的基础，学生掌握好本节内容是学好本章内容的关键。
同时，本节课的内容蕴含着丰富的数学思想，是培养学生类比、化归、数形结合等数学思想的良好素材。
《课程标准》中有关本节课的要求是：探索不等式的基本性质，会解简单的一元一次不等式，并能在数轴上表示出解集。
根据《课程标准》对本节内容的教学要求，以及学生的认知水平，制定的教学目标如下：知识与技能：1、掌握不等式的三个性质并且能正确应用。
2、经历探究不等式性质的过程，体会不等式与等式的异同点，发展学生分析问题和解决问题的能力。
3、开展研究性学习，使学生初步体会学习不等式性质的价值。
4. 学生学会时刻归纳总结的学习方法。
过程与方法：本节课采用“类比－实验－交流”的教学方法。
情感、态度与价值观：1、认识通过观察实验类比可以获得数学结论，体验数学活动充满着探索性和创造性。
2、在独立思考的基础上，积极参与对数学问题的讨论，敢于发表自己的观点，学会分享别人的想法和结果，并重新审视自己的想法，能从中获益。
二、教学重点、难点不等式的性质是解不等式方法的依据，在全章中意义重大。
教学中应切实使学生理解不等式性质的由来、意义，并知道它与等式的性质既有区别又有联系，会利用不等式的性质对不等式作简单变形，解简单的一元一次不等式。
因此，本节课的教学重点为：掌握不等式的性质；教学难点为：不等式性质3的探索及运用。
三、教学方式与手段不等式性质的（2）、（3）是不等式性质与等式性质的主要区别，为了使学生能够正确理解和运用这两条性质，我在设计中引导学生经历类比、猜想、观察、归纳、验证、比较、运用的探究过程，由学生自己发现结论，得出结论，这样可以使学生对结论理解的更深刻，映像更牢固。
9.1.2 不等式的性质
9.1.2 不等式的性质学习目标：1.掌握不等式的性质，会解简单的不等式.2.经历不等式基本性质的探索过程，初步体会不等式与等式的异同.重点：运用不等式的性质解一元一次不等式.难点：运用不等式的性质3解一元一次不等式.学习过程：一．情景创设课题导入：父亲今年42岁，女儿今年13岁，请根据实际情况完成下表：时间父亲女儿比较今年42 13 42>1310年前10年后（x+y）年后二．解决新知：1.根据上面的表格，可以得到下面的不等式42>1342-10>13-10下面小组内去验证对于其他的不等式，这样的结论是否也成立？（每组至少写出3个这样的例子）3.归纳总结：不等式的性质1：不等式的两边同时加（或）同一个数（或），不等号的方向 . 如果a>b，那么___a cb c±±.4.学生猜想其他性质：我们总结出了性质1，大家根据以前学过的等式的性质，想一下，能不能把猜想出其他性质？然后举例验证？（小组内合作完成）不等式的性质2：不等式的两边乘（或）同一个正数，不等号的方向 .如果a>b，c>0，那么ac bc（或acbc）.不等式的性质3：不等式的两边乘（或）同一个负数，不等号的方向 .如果a>b，c<0，那么ac bc（或acbc）.5.利用不等式的性质解一元一次不等式.解一元一次不等式的方法步骤和解一元一次方程的步骤类似，只不过当未知数的系数为负数，把未知数的系数化为1时，不等号的方向 .例如：-2x≥3两边同时除以-2，得：.例1 解不等式10x-3(20-x)≥70解：10x-3(20-x)≥70去括号，得：合并同类项得：不等式两边同时加60得：不等式两边同时除以13得：.三.课堂练习：1.下面是一个同学解不等式的过程，请你帮他补充完整. （1）5x+＞1-（2）4x＜35x-解：解：x＞6-x＜5-（3）17x＜67（4）8x-＞10解：不等式两边同时乘以7，得：解：不等式两边同时除以-8，得： .2.用不等式表示下列语句并写出解集.（1）x的3倍大于或等于1 （2）x与3的和不小于6（3）y与1的差不大于0 （4）y的14小于或等于-2.四.课后作业：1.设m＞n，用“＜”或“＞”填空.（1）m-5 n-5 （2）m+4 n+4（3）6m 6n （4）13m-13n-2.设a＞b，用“＞”或“＜”填空.（1）2a-5 2b-5（2）-3.5b+1 -3.5a+13.利用不等式的性质解下列不等式，并在数轴上表示解集：（1）3x+＞1-（2）6x＜57x-（3）13x-＜23（4）4x＞12-（5）51x-≥3(1)x+（6）112x-≤372x-。
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等式的性质1
等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等。
用符号语言表示为：如果a=b,那么 a c b c
等式的性质2
等式两边乘同一个数（或式子），或除以同一个不为0 的数（或式子），结果仍相等。
用符号语言表示为：如果a=b,那么 ac bc 如果a=b,那么 a b (c 0) cc
探究结果
2．从以上练习中，你发现了什么规律？ （1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子）， 不等号的方向___不__变_____. （2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等 号的方向______不__变______. （3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等 号的方向____改__变________.
巩固练习
设m>n，用“<”或“>”填空
(1)m-5 > n-5 (3)6m > 6n
(2)m+4 > n+4
பைடு நூலகம்
(4) 1 m _<__ 1 n
3
3
基本性质1
等式
如果a=b,那么 a+c=b+c,a-c=b-c
不等式
如果a＞b,那么 a+c＞b+c，a-c＞b-c
基本性质2
基本性质3 若a=b,b=c,则a=c 若a＜b，b＜c，则a＜c
问题探究 1．用“>”或“<”符号填空：
（1)5>3 , 5+2 > 3+2, 5-2 > 3-2 （2)-1<3, -1+2 < 3+2, -1-3 < 3-3 （3) 6>2, 6×5 > 2×5, 6×(-5) < 2×(-5) （4) -2<3,(-2)×6< 3×6,
(-2)×(-6) > 3×(-6)
拓展练习
已知关于x的不等式 (m 1)x 1 m的解集
是x<-1，则m应满足什么条件？若上述不等式的解 集是x>-1，则m应满足什么条件？
性质应用 利用不等式的性质解下列不等式
(1)x+3>-1 (3) 1 x 2
33
(2)6x<5x-7 (4)4x>-12