4.6 利用相似三角形测高

4.6 利用相似三角形测高
【学习目标】
1．能够运用三角形相似的知识，解决不能直接测量的物体的高度(如测量旗杆高度问题)等的一些实际问题． 2．能综合应用三角形相似的判定条件和性质解决问题，加深对相似三角形的理解和认识．
3．通过把实际问题转化成有关相似三角形的数学模型，进一步了解数学建模的思想，培养分析问题、解决问题的能力．
【学习重点】
运用三角形相似的知识计算不能直接测量物体的长度和高度． 【学习难点】
灵活运用三角形相似的知识解决实际问题．
情景导入 生成问题
在古希腊，有一位伟大的科学家叫泰勒斯．泰勒斯年轻时是一名商人，到过不少东方国家．一年春天，泰勒斯来到埃及，埃及法老对他说：“听说你什么都知道，那就请你测量一下埃及金字塔的高度吧！”这在当时的条件下是个大难题，因为是很难爬到塔顶的．你知道泰勒斯是怎样测量大金字塔的高度的吗？
自学互研 生成能力
知识模块一 探索利用相似三角形测高的方法
先阅读教材P 103－104的内容，然后完成下面的填空：
测量旗杆高度的常见方法有：(1)利用“同一时刻的物高与影长成比例”构造相似三角形；(2)利用“视线、标杆和物高”构造相似三角形；(3)利用“平面镜中入射角与反射角相等”构造相似三角形．
图1
内容：1.利用阳光下的影子来测量旗杆的高度，如图1：
操作方法：一名学生在直立于旗杆影子的顶端处，测出该同学的影长和此时旗杆的影长．
图2
点拨：把太阳的光线看成是平行的．∵太阳的光线是平行的，∴AE ∥CB ，∴∠AEB ＝∠CBD ，∵人与旗杆是垂直于地面的，∴∠ABE ＝∠CDB ，∴△ABE ∽△CDB ，∴AB CD ＝BE DB ，即CD ＝AB·BD
BE ，代入测量数据即可求出旗
杆CD 的高度．
图3
2．利用镜子的反射
操作方法：如图3，选一名学生作为观测者．在他与旗杆之间的地面上平放一面镜子，固定镜子的位置，观测者看着镜子来回调整自己的位置，使自己能够通过镜子看到旗杆顶端．测出此时他的脚与镜子的距离、旗杆底部与镜子的距离就能求出旗杆的高度．
点拨：入射角＝反射角．∵入射角＝反射角，∴∠AEB ＝∠CED .∵人、旗杆都垂直于地面，∴∠B ＝∠D ＝90°，∴△AEB ∽△CED ，∴
AB CD ＝BE DE ，∴CD ＝AB·DE
BE
.因此，测量出人与镜子的距离BE ，旗杆与镜子的距离DE ，再知道人的身高AB ，就可以求出旗杆CD 的高度．
知识模块二 利用相似三角形测高的应用
1．某校数学兴趣小组为测量学校旗杆AC 的高度，在点F 处竖立一根长为1.5m 的标杆DF ，如右图，量出DF 的影子EF 的长度为1m ，同一时刻测量旗杆AC 的影子BC 的长度为6m ，那么旗杆AC 的高度为( D )
A ．6m
B ．7m
C ．8.5m
D ．9m
2．如右图，小明用长为3m 的竹竿CD 做测量工具，测量学校旗杆AB 的高度，移动竹竿，使竹竿与旗杆的距离DB ＝12m ，则旗杆AB 的高为9m ．
典例讲解：
如图，一人拿着一支刻有厘米分画的小尺，站在距电线杆约30米的地方，把手臂向前伸直，小尺竖直，看到尺上约12个分画恰好遮住电线杆，已知手臂长约60厘米，求电线杆的高．
分析：本题所叙述的内容可以画出如上图那样的几何图形，即DF ＝60厘米＝0.6米，GF ＝12厘米＝0.12米，CE ＝30米，求BC .由于△ADF ∽△AEC ，DF EC ＝AF AC ，又△AGF ∽△ABC ，∴AF AC ＝GF BC ，∴DF EC ＝GF
BC
，从而可以求出BC 的长．
解：∵AE ⊥EC ，DF ∥EC ，∴∠ADF ＝∠AEC ，∠DAF ＝∠EAC ，∴△ADF ∽△AEC .∴DF EC ＝AF
AC
.又GF ⊥EC ，BC ⊥EC ，∴GF ∥BC ，∠AFG ＝∠ACB ，∠AGF ＝∠ABC ，∴△AGF ∽△ABC ，∴
AF AC ＝GF BC ，∴DF
EC
＝GF
BC
.又DF ＝60厘米＝0.6米，GF ＝12厘米＝0.12米，EC ＝30米，∴BC ＝6米．即电线杆的高为6米． 对应练习：
教材P 105页习题4.10的第1题．
解：设建筑物高度为x 米，则x 24＝4
6
，得：x ＝16，答：建筑物高度为16米．
交流展示生成新知
1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上．并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．
2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．
知识模块一探索利用相似三角形测高的方法
知识模块二利用相似三角形测高的应用
检测反馈达成目标
1．要测量出一棵树的高度，除了测量出人高与人的影长外，还需要测出(B)
A．仰角B．树的影长
C．标杆的影长D．都不需要
2．如图，是小玲设计用手电来测量某古城墙高度的示意图．在点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后，刚好射到古城墙CD的顶端C处．已知AB⊥BD，CD⊥BD.且测得AB＝1.2m，BP＝1.8m，PD ＝12m.那么该古城墙CD的高度是(B)
A．6m B．8m C．18m D．21m
3．小明想知道学校旗杆的高，在他与旗杆之间的地面上直立一根2米的标竿EF，小明适当调整自己的位置使得旗杆的顶端C、标竿的顶端F与眼睛D恰好在一条直线上，量得小明高AD为1.6米，小明脚到标杆底端的距离AE为0.5米，小明脚到旗杆底端的距离AB为8米．请你根据数据求旗杆BC的高度．解：证△DCG∽△DFH，求得CG＝6.4米，BC＝8米．
课后反思查漏补缺
1．收获：________________________________________________________________________
2．存在困惑：________________________________________________________________________。