不等式的基本性质1

又3(abc) 9( abc) ≥2 27 6 3, ③ 所以原不等式成立.
2 3

2 3
当且仅当a b c时, ①式和②式等号成立当且仅当 . 3(abc) 9(abc) 时, ③式等号成立. 即当且仅当a b c 3 时, 原式等号成立.
1 4 2 3
2 3
2 2 2 2
当且仅当a b c时, ①式和②式等号成立,当且仅当a b c, ab bc ac 3时, ③式等号成立.
2 2 2 1 4
即当且仅当a b c 3 时, 原式等号成立.
[点评]不等式的证明常用方法有:比较法､分析法与综合法,在 解决问题时注意结合平均值不等式来证明.
设g(x)=f(x)+f(x+5).
由|x-2|+|x+3|≥|(x-2)-(x+3)|=5(当且仅当-3≤x≤2时等号成立) 得,g(x)的最小值为5. 从而,若f(x)+f(x+5)≥m即g(x)≥m对一切实数x恒成立,则m的 取值范围为(-∞,5]. 变式2:对于任意实数a(a≠0)和b,不等式|a+b|+|a-b|≥|a|(|x1|+|x-2|)恒成立,求实数x的取值范围.
（3）|x+10|-|x-2|>8.
【例】已知关于x的不等式|x-3|+|x-4|<a.
(1)当a=2时,解上述不等式;
(2)如果关于x的不等式|x-3|+|x-4|<a的解集为

空集,求实数a的取值范围;
[解] 1 a 2, x 3 x 4 2, 5 当x 3时, 原不等式化为7 2x 2, 解得x , 2 5 x 3; 2 当3≤x≤4时, 原不等式化为1 2, 3≤x≤4, 9 当x 4时, 原不等式化为2x 7 2, 解得x . 2 9 4 x . 2 5 9 综上可知, 原不等式的解集为 x x . 2 2
1 1 1 【例4】已知a, b,c都是正数, 且a 2b c 1, 则 的 a b c 最小值是 ________.
[解析] a, b,c都是正数, 且a 2b c 1, 1 1 1 a 2b c a 2b c a 2b c c b a a b c 2b a c 2b c a 4 a b b c a c ≥4 2 2 2 2 2 6 4 2, 当且仅当a c 2b时“ ”成立. 1 1 1 的最小值是6 4 2. a b c
x恒成立,求实数m的取值范围.
[解]解法一:(1)由f(x)≤3得|x-a|≤3, 解得a-3≤x≤a+3. 又已知不等式f(x)≤3的解集为{x|-1≤x≤5}, a 3 1, 所以 解得a=2. a 3 5,
(2)当a=2时,f(x)=|x-2|.
设g(x)=f(x)+f(x+5),于是 2 x 1, g ( x) | x 2 | | x 3 | 5, 2 x 1, 所以当x<-3时,g(x)>5;
1 1 1 1 ≥3(abc) 3 , a b c 2 1 1 1 所以 ≥9(abc) 3 .② a b c 2 2 1 1 1 故a 2 b 2 c 2 2≥3(abc) 3 9(abc) 3 . a b c 2 2 3
已知： x A

2 2 求证： x y A B
, yB

,
例 :已知a, b R, a b 1 1, a 2b 4 4, 求 a b 的最大值
绝对值不等式的解法 1.不等式|2x-1|<3的解集为________. 变式1：不等式|2x-1|>3的解集为________. 变式2：不等式|2x-1|>3x的解集为________. 2.若关于x的不等式|x-a|<1的解集为(1,3), 则实数a的值为________.
7 2 x 2 由 1 可知 y | x 3 | | x 4 | 1 2 x 7
x3 3≤x 4 x≥4
作出y=|x-3|+|x-4|与y=a的图象, 若使不等式|x-3|+|x-4|<a的解集为空集,则必有y=|x-3|+|x-4|的 图象在y=a的图象的上方,或y=a与y=1重合,∴a≤1. 所以,a的取值范围为(-∞,1].
变式1:对任意实数x,若不等式|x+2|+|x+1|>k恒成立,
则实数k的取值范围是________.
解析:设f(x)=|x+2|+|x+1|,
2 x 3, f ( x) 1, 2 x 3, x 2 2≤x≤ 1, x 1
则
如图,显然函数f(x)在(-∞,-2)上单调递减,在(-1,+∞)上单调递增,
【例3】 (2010 辽宁)已知a, b,c均为正数, 求证 : a 2 b 2 c 2 1 1 1 ≥6 3 , 并确定a, b,c为何值时, 等号成立. a b c
2
[证明]证法一 : 因为a, b,c均为正数,由平均值不等式得 a 2 b 2 c 2≥3(abc) , ①
(x+1)+(x-2)<x2+1,解得x∈R. ∴x≥2. 综上所述,原不等式的解集为(-∞,-2)∪(
2 ,+∞).
3.已知不等式|x+1|+|x-2|≥m的解集是R. (1)求实数m的取值范围;
(2)在(1)的条件下,当实数m取得最大值时,试
判断 6 7 m 10 是否成立?并证明 你的结论.
册第3页变式训练3 :已知 1 x 3,1 y 2, x 试分别求x y, x y, 的取值范围 y
绝对值不等式
绝对值的几何意义
|a|表示
|x-a|表示
含有绝对值不等式
(1)定理:对任意实数a和b,有|a+b|≤ 其中等号成立的条件为 说明:①定理中的b以-b代替,则有|a-b|≤ 其中等号成立的条件为ab≤0. ②定理中的a以a-b代替,则有 所以 ≤ |a+b|≤ . , .
在[-2,-1]上为常数1,所以函数f(x)的最小值为1.
因为不等式|x+2|+|x+1|>k恒成立,所以k<1.
答案:(-∞,1)
【例】已知函数f(x)=|x-a|. (1)若不等式f(x)≤3的解集为{x|-1≤x≤5},求实数a
的值;
(2)在(1)的条件下,若f(x)+f(x+5)≥m对一切实数
证法二 : 因为a, b,c均为正数,由基本不等式得 a 2 b 2≥2ab, b 2 c 2≥2bc,c 2 a 2≥2ac, 所以a 2 b 2 c 2≥ab bc ac, ① 1 1 1 1 1 1 同理 2 2 2 ≥ , ② ab bc ac a b c 1 1 1 故a b c a b c 1 1 1 ≥ab bc ac 3 3 3 ≥6 3.③ ac bc ab 所以原不等式成立.
2.解不等式|x+1|+|x-2|<x2+1.
解:当x≤-1时,原不等式可化为 -(x+1)-(x-2)<x2+1,解得x<-2或x>0. ∴x<-2. 当-1<x<2时,原不等式可化为 (x+1)-(x-2)<x2+1,解得x 2或x 2. ∴
2 x 2. 当x≥2时,原不等式可化为
基本不等式的证明
任意实数a, b, a b 2ab
2 2
两个正数a, b, a b 2 ab
几何意义解释：
C
A
O
D
B
C
A
O
D
B
定理3：对任意 3个正数a, b, c, 有a b c 3abc
3 3 3
abc 3 定理 4：对任意 3个正数 a, b, c, 有 abc 3
不等式的基本性质
思考：
4.若a, b,c R,a b, 则下列不等式成立的是 ________ . 1 1 a b 2 2 3 3 ① ; ②a b ; ③a b ; ④ 2 2 ; a b c 1 c 1 a b ⑤a c b c ; ⑥ 2. b a
解:(1)由绝对值不等式性质知:
|x+1|+|x-2|≥|x+1+2-x|=3对x∈R恒成立,
故|x+1|+|x-2|≥m的解集为R,只须m≤3即可. ∴m的取值范围是(-∞,3].
2 由1 知实数m的最大值为3.
当m 3时, 不等式 6 7 3 10成立. 证明如下 : 利用分析法. 要使 6 7 3 10成立, 只须( 6 7)2 ( 3 10) 2 , 等价于13 2 42 13 2 30, 等价于 42 30, 等价于42 30, 而42 30显然成立, 以上每一步均可逆推, 故所证明不等式成立.
变式：设a, b是非负实数， 求证：a b ab a b
3 3 2

2

证明 :由a, b是非负实数, 作差得 a 3 b3 ab a 2 b 2 a 2 a ( a b ) b2 b ( b a ) ( a b )(( a )5 ( b )5 ). 当a≥b时, a≥ b , 从而( a )5≥( b )5 , 得( a b )(( a )5 ( b )5)≥0; 当a b时, a b , 从而( a )5 ( b )5 , 得( a b )(( a )5 ( b )5 ) 0. 所以a 3 b3≥ ab (a 2 b 2 ).