[学习资料]高中数学第二章推理与证明2.2直接证明与间接证明2.2.2反证法优化练习

2.2.2 反证法[课时作业][A组基础巩固]1．命题“△ABC中，若∠A＞∠B，则a＞b”的结论的否定应该是( )A．a＜b B．a≤bC．a＝b D．a≥b解析：“a＞b”的否定应为“a＝b或a＜b”，即a≤b.故应选B.答案：B2．用反证法证明命题：“a，b，c，d∈R，a＋b＝1，c＋d＝1，且ac＋bd＞1，则a，b，c，d中至少有一个负数”时的假设为( )A．a，b，c，d全都大于等于0B．a，b，c，d全为正数C．a，b，c，d中至少有一个正数D．a，b，c，d中至多有一个负数解析：至少有一个负数的否定是一个负数也没有，即a，b，c，d全都大于等于0.答案：A3．“自然数a，b，c中恰有一个偶数”的否定正确的为( )A．a，b，c都是奇数B．a，b，c都是偶数C．a，b，c中至少有两个偶数D．a，b，c中都是奇数或至少有两个偶数解析：自然数a，b，c的奇偶性共有四种情形：(1)3个都是奇数；(2)2个奇数，1个偶数；(3)1个奇数，2个偶数；(4)3个都是偶数．所以否定正确的是a，b，c中都是奇数或至少有两个偶数．答案：D4．给定一个命题“已知x 1＞0，x 2≠1且x n ＋1＝x 3n ＋3x n3x 2n ＋1，证明对任意正整数n 都有x n ＞x n ＋1”，当此题用反证法否定结论时应是( )A ．对任意正整数n 有x n ≤x n ＋1B ．存在正整数n 使x n ≤x n ＋1C ．存在正整数n 使x n ＞x n ＋1D ．存在正整数n 使x n ≥x n －1且x n ≥x n ＋1解析：“对任意正整数n 都有x n ＞x n ＋1”的否定为“存在正整数n 使x n ≤x n ＋1”． 答案：B5．设a ，b ，c ∈(－∞，0)，则三数a ＋1b ，c ＋1a ，b ＋1c中( )A ．都不大于－2B ．都不小于－2C ．至少有一个不大于－2D ．至少有一个不小于－2解析：⎝⎛⎭⎪⎫a ＋1b ＋⎝⎛⎭⎪⎫c ＋1a ＋⎝⎛⎭⎪⎫b ＋1c ＝⎝⎛⎭⎪⎫a ＋1a ＋⎝⎛⎭⎪⎫b ＋1b ＋⎝⎛⎭⎪⎫c ＋1c∵a ，b ，c ∈(－∞，0)，∴a ＋1a＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤－a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ≤－2，b ＋1b＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤－b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－1b ≤－2，c ＋1c ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤－c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－1c ≤－2， ∴⎝⎛⎭⎪⎫a ＋1b ＋⎝⎛⎭⎪⎫c ＋1a ＋⎝⎛⎭⎪⎫b ＋1c ≤－6， ∴三数a ＋1b 、c ＋1a 、b ＋1c中至少有一个不大于－2，故应选C.答案：C6．命题“任意多面体的面至少有一个是三角形或四边形或五边形”的结论的否定是________________________________________________________________________．解析：“至少有一个”的否定是“没有一个”． 答案：没有一个是三角形或四边形或五边形7．△ABC 中，若AB ＝AC ，P 是△ABC 内的一点，∠APB >∠APC ，求证∠BAP <∠CAP .用反证法证明时的假设为________．解析：反证法对结论的否定是全面否定，∠BAP <∠CAP 的对立面是∠BAP ＝∠CAP 或∠BAP >∠CAP .答案：∠BAP ＝∠CAP 或∠BAP >∠CAP8．用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤： ①∠A ＋∠B ＋∠C ＝90°＋90°＋∠C >180°，这与三角形内角和为180°相矛盾，则∠A ＝∠B ＝90°不成立；②所以一个三角形中不能有两个直角；③假设∠A ，∠B ，∠C 中有两个角是直角，不妨设∠A ＝∠B ＝90°. 正确顺序的序号排列为________．解析：由反证法证明的步骤知，先反证即③，再推出矛盾即①，最后作出判断，肯定结论即②，即顺序应为③①②.答案：③①②9．已知a ≥－1，求证以下三个方程：x 2＋4ax －4a ＋3＝0，x 2＋(a －1)x ＋a 2＝0，x 2＋2ax －2a ＝0中至少有一个方程有实数解．证明：假设三个方程都没有实根，则三个方程中：它们的判别式都小于0，即：⎩⎪⎨⎪⎧a 2－－4a ＋＜0a －2－4a 2＜0a 2＋4×2a ＜0⇒⎩⎪⎨⎪⎧－32＜a ＜12a ＞13或a ＜－1－2＜a ＜0⇒－32＜a ＜－1，这与已知 a ≥－1矛盾，所以假设不成立，故三个方程中至少有一个方程有实数解．10．求证：不论x ，y 取何非零实数，等式1x ＋1y ＝1x ＋y 总不成立．证明：假设存在非零实数x ，y 使得等式1x ＋1y ＝1x ＋y 成立．于是有y (x ＋y )＋x (x ＋y )＝xy ， 即x 2＋y 2＋xy ＝0，即(x ＋y 2)2＋34y 2＝0.由y ≠0，得34y 2>0.又(x ＋y2)2≥0，所以(x ＋y 2)2＋34y 2>0.与x 2＋y 2＋xy ＝0矛盾，故原命题成立．[B 组 能力提升]1．有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中一位获奖，有人走访了这四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖．”乙说：“甲、丙都未获奖．”丙说：“我获奖了．”丁说：“是乙获奖．”四位歌手的话只有两句是对的，则获奖的歌手是( )A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁解析：若甲获奖，则甲、乙、丙、丁四位歌手说的话都是假的，同理可推出乙、丙、丁获奖的情况，最后可知获奖的歌手是丙．答案：C2．若△ABC 能被一条直线分成两个与自身相似的三角形，那么这个三角形的形状是( )A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．不确定解析：分△ABC 的直线只能过一个顶点且与对边相交，如直线AD (点D 在BC 上)，则∠ADB ＋∠ADC ＝π，若∠ADB 为钝角，则∠ADC 为锐角．而∠ADC >∠BAD ，∠ADC >∠ABD ，△ABD与△ACD 不可能相似，与已知不符，只有当∠ADB ＝∠ADC ＝∠BAC ＝π2时，才符合题意．答案：B3．已知数列{a n }，{b n }的通项公式分别为a n ＝an ＋2，b n ＝bn ＋1(a ，b 是常数)，且a >b ，那么两个数列中序号与数值均相同的项有________个．解析：假设存在序号和数值均相等的项，即存在n 使得a n ＝b n ，由题意a >b ，n ∈N *，则恒有an >bn ，从而an ＋2>bn ＋1恒成立，∴不存在n 使a n ＝b n .答案：04．完成反证法证题的全过程．设a 1，a 2，…，a 7是1,2，…，7的一个排列，求证：乘积p ＝(a 1－1)(a 2－2)…(a 7－7)为偶数．证明：假设p 为奇数，则a 1－1，a 2－2，…，a 7－7均为奇数．因奇数个奇数之和为奇数，故有奇数＝________＝________＝0.但0≠奇数，这一矛盾说明p 为偶数．解析：据题目要求及解题步骤，因为a 1－1，a 2－2，…，a 7－7均为奇数， 所以(a 1－1)＋(a 2－2)＋…＋(a 7－7)也为奇数． 即(a 1＋a 2＋…＋a 7)－(1＋2＋…＋7)为奇数． 又因为a 1，a 2，…，a 7是1,2，…，7的一个排列，所以a 1＋a 2＋...＋a 7＝1＋2＋...＋7，故上式为0. 所以奇数＝(a 1－1)＋(a 2－2)＋...＋(a 7－7) ＝(a 1＋a 2＋...＋a 7)－(1＋2＋...＋7)＝0. 答案：(a 1－1)＋(a 2－2)＋...＋(a 7－7) (a 1＋a 2＋...＋a 7)－(1＋2＋ (7)5．已知a ，b ，c 都是小于1的正数，求证：(1－a )b ，(1－b )c ，(1－c )a 中至少有一个不大于14.证明：假设(1－a )b ，(1－b )c ，(1－c )a 都大于14，即(1－a )b ＞14，(1－b )c ＞14，(1－c )a ＞14.∵a ，b ，c 都是小于1的正数，∴－a b ＞12，－b c ＞12，－c a ＞12，∴－a b ＋－b c ＋－c a ＞32.(*)又∵－a b ≤1－a ＋b2，－b c ≤1－b ＋c2，－c a ≤1－c ＋a2，∴－a b ＋－b c ＋－c a ≤1－a ＋b 2＋1－b ＋c 2＋1－c ＋a2＝3－a ＋b ＋c ＋a ＋b ＋c 2＝32(当且仅当1－a ＝b,1－b ＝c,1－c ＝a ，即a ＝b ＝c ＝12时，等号成立)，与(*)式矛盾．∴假设不成立，原命题成立，故(1－a )b ，(1－b )c ，(1－c )a 中至少有一个不大于14.6．求证：抛物线上任取四个不同点所组成的四边形不可能是平行四边形．证明：如图，设抛物线方程为y 2＝2px (p ＞0)，在抛物线上任取四个不同点的坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)， 则y 2i ＝2px i (i ＝1,2,3,4)，于是直线AB 的斜率为k AB ＝y 2－y 1x 2－x 1＝2py 1＋y 2， 同理：k BC ＝2p y 3＋y 2，k CD ＝2p y 4＋y 3，k DA ＝2py 1＋y 4. 假设四边形ABCD 为平行四边形， 则有k AB ＝k CD ，k BC ＝k DA ，即有⎩⎪⎨⎪⎧y 2＋y 1＝y 4＋y 3 ①y 3＋y 2＝y 1＋y 4 ②①－②得y 1－y 3＝y 3－y 1， ∴y 1＝y 3，同理y 2＝y 4，则x 1＝y 212p ＝y 232p＝x 3，同理x 2＝x 4，由⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝x 3y 1＝y 3，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝x 4y 2＝y 4.显然A ，C 重合，B ，D 重合．这与A ，B ，C ，D 为抛物线上任意四点矛盾，故假设不成立．∴四边形ABCD 不可能是平行四边形.。