北师大版数学八年级上册第四章《一次函数》第3节《一次函数的图像》第一课时

教学设计

4.3 一次函数的图象（第1课时）

教材的地位和作用

《一次函数的图象》是义务教育课程标准北师大版八年级（上）第四章《一次函数》的第三节．在学习本节课之前，学生已学习了平面直角坐标系、变量与函数、以及一次函数与正比例函数的概念等相关的知识。学生能在平面直角坐标系中熟练的表示一个点，为画图像做好的充分铺垫作用。本节课也是后续学习反比例函数、二次函数图像和性质的重要基础。数形结合的思想是本节课的主要数学思想。

教学目标

知识与技能：了解正比例函数的图象是一条直线，能熟练画出正比例函数的图像。理解正比例函数表达式与图象之间的一一对应关系。

过程与方法：经历正比例函数图像画法的探索过程，体会“数”“形”结合的数学思想在问题解决中的作用，并能运用图像及数形结合的思想解决相关函数问题。

情感态度与价值观：在动手画图过程中，培养学生的合作意识和大胆猜想、乐于探索的学习意志。体验“数”与“形”的转化过程，让学生感受函数图像的美妙，激发学生学数学的兴趣。

教学重、难点：

重点：初步了解作函数图象的一般步骤：列表、描点、连线．会画出正比例函数的图像，正比例函数的图像是一条直线。

难点：理解一次函数的代数表达式与图象之间的一一对应关系，正比例函数的性质以及|k|的大小对正比例函数的影响。

教学过程：

一、温故知新

1、一次函数和正比例函数的定义是什么？

2、表示函数的方法有哪几种？

二、探究新知

1、函数的图像

（1）用图象表示的函数关系举例：

摩天轮上一点的高度h与旋转时间t之间函数关系的图像。

（2）函数的图像定义

把一个函数自变量的每一个值与对应的函数值分别作为点的横坐标和纵坐标，在直角坐标系内描出相应的点，所有这些点组成的图形叫做该函数的图象。

（3）举例正比例函数y=2x

当自变量x=1时，相应的函数值y=2,我们把1作为点的横坐标，相应y 的值2作为纵坐标，从而得到一个点（1，2）

再取一组，当自变量x=2时，相应的函数值y=4,我们把2作为点的横坐

标，相应y的值4作为纵坐标，从而得到另一个点（2，4）……

这样我们能得到很多的点，所有这些点组成的图形就叫做该函数的图象。

2、活动1动手画一画

例1：画出正比例函数y=2x的图像

解：列表：

x …-2 -1 0 1 2 …y=2x ……点(x,y) …( ) ( ) ( ) ( ) ( ) …描点：以表中各组对应值作为点的坐标，在直角坐标系内描出相应的点。

连线：把这些点依次连接起来，得到y=2x的图像。

问题：画该函数的一般步骤：

画出来的图象像什么？

大胆猜测一下正比例函数的图象是什么？

如果我增加一些点，会不会跑到直线的外面去呢？

借助我们的工具：几何画板验证：很明显是一条直线。

我们得到结论：

1、画该函数的一般步骤：

2、正比例函数y=2x的图像是一条

思考：是不是所有的正比例函数图像都是一条直线？

活动2画出正比例函数y=-3x的图象．

解：列表：

x …-2 -1 0 1 2 …

y=-3x ……点(x,y) …( ) ( ) ( ) ( ) ( ) …描点：以表中各组对应值作为点的坐标，在直角坐标系内描出相应的点。连线：把这些点依次连接起来，得到y=-3x的图像。

结论：正比例函数y=-3x的图像是一条

进一步思考：在所画的正比例函数y=-3x的图象上任意取几个点，找出它们的横坐标和纵坐标，它们是否都满足关系y=-3x．

（1）正比例函数y=-3x的图象上的点（x，y）都满足关系式y=-3x 吗？

（2）满足关系式y=-3x的x，y所对应的点（x，y）都在正比例函数y=-3x 的图象上吗？

学生讨论、举例验证

教师借助几何画板验证，①任意取几个点，找出它们的横坐标和纵坐标，它们是否都满足关系y= 3x．②任意绘制点，看是否在图像上？

结论：正比例函数的表达式与图象是一一对应的，即满足正比例函数的代数表达式的x，y所对应的点（x，y）都在正比例函数的图象上；

正比例函数图象上的点（x，y）都满足正比例函数的表达式．

体现了我们数学上的数形结合思想，

从数到形：满足正比例函数的代数表达式的x，y所对应的点（x，y）都在正比例函数的图象上；

从形到数：正比例函数图象上的点（x，y）都满足正比例函数的表达式

活动2（2）第二个问题

思考：正比例函数y=kx的图象有什么特点？

一条直线，所以我们也可以称正比例函数y=kx的图象为直线y=kx．y=kx 当x=0 时 y=0，所以都经过原点(0,0)

y=kx 当x=1 时 y=k，所以都经过原点(1,k)

正比例函数y=kx的图象是一条过原点(0,0)的直线，

因为“”，所以画正比例函数y=kx的图象时可以只描出个点就可以了．因为正比例函数的图象是一条过原点(0,0)的直线,只要再确定一个点,过这点与原点画直线就可以了。

x,y=-4x的图象．活动3：在同一直角坐标系内作出y=x,y=3x,y=-1

2

点1 点2

y=x （0，0）

y=3x

y=-1

2

x

y= 4x

第一个问题：上述四个函数中,随着x的增大,y的值分别如何变化？借助于表格和图像

k＞0 随着x的增大,y的值分别如何变化？

x 0 1 10 100

y=x 0 1 10 100

y=3x 0 3 30 300

k＜0 随着x的增大,y的值分别如何变化？

x 0 1 10 100

y=-1

2 x 0 -

1

2

-5 -50

y=-4x 0 -4 -40 -400

结论：在正比例函数y=kx中,

当k＞0时,图象在第一三象限，y的值随着x值的增大而增大，当k＜0时,图象在第二四象限，y的值随着x值的增大而减少。

进一步思考：

（1）正比例函数y=x 和y=3x 中，随着x 值的增大y 的值都增加了，其中哪一个增加得更快？你能说明其中的道理吗？

（2）正比例函数y=-12

x 和y=-4x 中，随着x 值的增大y 的值都减小了，其中哪一个减小得更快？你是如何判断的？

借助几何画板验证一下

结论：|k|越大，直线越陡，越靠近y 轴，

相应的函数值上升或下降得越快（增加或减少得越快）

三巩固练习

1、下列哪些点在正比例函数y=5x 的图像上？

A （1，5），

B （-1，5），

C （0.5，-2.5），

D （-5，1） 2、画出下列正比例函数的图像：

x

y x y x y x y 32

3244-==-==,,,

3下列正比例函数中，y 的值随着x 值的增大而减小的有 。

()x

x x x 325-0.68-=

===y y y y ④③②①

4如图所示，你认为下列结论中正确的是（ ） A. 123k k k <<

B. 213k k k <<

C. 312k k k <<

D. 132

k k k <<

四、课堂小结

通过本节课的学习有哪些收获？

1、正比例函数y=kx 的图象是一条过原点(0,0)的直线，作正比例函数图象时，只取原点外的另一个点，过这点与原点画直线就可以了

2、正比例函数的表达式与图象是一一对应的

3、在正比例函数y=kx 中,

当k ＞0时,图象在第一、三象限，y 的值随着x 值的增大而增大 当k ＜0时,图象在第二、四象限，y 的值随着x 值的增大而减小

板书设计：