第九讲 扭转构件应力、变形、强度、刚度计算
强度和刚度的计算公式
强度和刚度的计算公式强度和刚度是材料力学性能的两个重要指标，用于评估材料在受力作用下的变形和破坏性能。
强度指的是材料抵抗外力作用下发生破坏时所能承受的最大应力，常用于衡量材料的抗拉强度、抗压强度、抗弯强度等。
刚度指的是在给定应力下材料的变形程度，常用于表征材料的刚性和变形能力。
本文将介绍强度和刚度的计算公式和相关知识。
不同材料和应力状态下的强度计算公式有所不同，下面将分别介绍常见的三种情况。
1.抗拉强度（拉伸强度）抗拉强度是材料在受拉力作用下发生破坏时所能承受的最大应力。
计算公式为：σt=F/A其中，σt表示抗拉强度（拉伸强度），F表示施加在材料上的拉力，A表示材料的横截面积。
2.抗压强度抗压强度是材料在受压力作用下发生破坏时所能承受的最大应力。
计算公式为：σc=F/A其中，σc表示抗压强度，F表示施加在材料上的压力，A表示材料的横截面积。
3.抗弯强度抗弯强度是材料在受弯矩作用下发生破坏时所能承受的最大应力。
计算公式为：σb=M/S其中，σb表示抗弯强度，M表示施加在材料上的弯矩，S表示材料的截面模数。
刚度可以通过材料的弹性模量和几何参数来计算，下面介绍两个刚度的计算公式。
1.弯曲刚度弯曲刚度是指在给定弯矩作用下，材料发生弯曲时所产生的刚度。
计算公式为：EI=M/δ其中，EI表示弯曲刚度，M表示施加在材料上的弯矩，δ表示材料的弯曲变形。
2.剪切刚度剪切刚度是指在给定剪切力作用下，材料发生剪切变形时所产生的刚度。
计算公式为：G=τ/γ其中，G表示剪切刚度，τ表示施加在材料上的剪切力，γ表示材料的剪切应变。
以上是强度和刚度的计算公式的介绍，不同材料和材料状态下的计算公式可能略有差异。
同时，需要注意的是，材料的强度和刚度还受到其他因素的影响，例如温度、湿度、应力速率等。
因此，在实际计算中要综合考虑这些因素，以准确评估材料的强度和刚度。
圆 轴扭转时的变形和刚度计算
a＜[
]
60MP
a
可见强度满足要求。
目录
扭转\圆轴扭转时的变形和刚度计算
4）刚度校核。轴的单位长度最大扭转角为
＝
max
Tmax GIp
180＝
2．86103 N m
π 80109 P a 6.44106
m4
180 3．14
＝0．318 / m 1.1 / m
可见刚度也满足要求。
目录
扭转\圆轴扭转时的变形和刚度计算
【例3.6】 一钢制传动圆轴。材料的切变模量G=79×103MPa，
许用切应力[τ]= 88.2 MPa，单位长度许用扭转角 0.5 /m，承受
的扭矩为T = 39.6 kN·m。试根据强度条件和刚度条件设计圆轴的直 径D。
【解】 1）按强度条件设计圆轴的直径。由强度条件
＝Tmax W max
床的加工精度；机器的传动轴如有过大的扭转变形，将使机器在运
转时产生较大振动。因此，必须对轴的扭转变形加以限制，即使其
满足刚度条件：
＝Tmax max GIp
式中：[ ]——单位长度许用扭转角，单位为rad/m，其数值是由轴
上荷载的性质及轴的工作条件等因素决定的，可从有关设计手册中
查到。在工程实际中，[ ]的单位通常为 /m ，因而刚度条件变为
Gπ2[ ]
3 21 8 0 3 9.6 1 03
79109 2 0.5 m 0.156m 156mm
故取D＝160mm，显然轴能同时满足强度条件和刚度条件。
目录
力学
该轴的强度和刚度。
目录
扭转\圆轴扭转时的变形和刚度计算
【解】 1）计算外力偶矩。
M eA
9549
第九讲 扭转构件应力、变形、强度、刚度计算
3）强度校核：
max,CD
80109
180
32
0.0804
0.628 / m 1 / m
TCD 3512 34.93MPa n 40MPa Wt 0.083 16
TAB 7024 60.59 MPa n 40 MPa 4 Wt 80 3 0.1 1 16 100
D max( D1 , D2 ) 126mm
例3-6 d/D=0.5
§ 3.5
圆轴的扭转变形
之三
40MPa, G 80GPa, 0.3 / m
0.3
Mechanic of Materials
（2）设计实心轴的直径D3
max
9549 180 Tmax 180 9549 180 32 4 80 109 D 4 GI P 3 G D3 32 9549 180 32 D3 4 m 123.4mm 9 2 80 10 0.3
40MPa, G 80GPa, 0.3 / m
ax T max 3 Wt D1
16
例3-5
Mechanic of Materials
9549 6366
max
x
T 图（N m）
(b)
+
3183
D1
dx d
d dx
G
T Ip
G
d dx
沿轴线方向积分，得到
相对扭转角
抗扭刚度
§ 3.5
扭转杆件的强度、刚度计算
12.3 扭转杆件的强度、刚度计算对受扭转的杆件，除了强度要求外，通常刚度也要同时考虑。
受扭杆件危险点均为纯剪切应力状态。
对纯剪切应力状态，可以证明，与第一强度理论对应的强度条件为≤（12-4）与第三、四强度理论对应的强度条件为≤（12-5）≤（12-6）式中，[τ]为许用切应力，它与许用正应力之间的关系为脆性材料[ τ ] = （0.8 ~ 1）[ σ ]塑性材料[ τ ] = （0.5 ~ 0.6）[ σ ]例12-4一钢传动轴如图12-4a所示，转速n = 208rpm，主动轮B的输入功率P=6kW，两个从动轮A、CB的输出功率分别为P A = 4kW，P c = 2kW。
已知：轴的许用应力[σ] = 60MPa，许用单位扭转角[ϕ]=1︒/m，切变模量G = 80GPa，试设计轴的直径d。
解：1．计算外力偶矩，绘扭矩图。
用截面法及扭矩符号的规定，得AB、BC段的扭矩分别为T AB = 183.6N·mT BC = -91.8N·m根据以上计算结果，作扭矩图如图12-4b所示2．按强度条件设计轴的直径由扭矩图可见，最大扭矩为T max = 183.6N·m，危险截面为AB段各横截面。
危险点在危险截面上周边各个点，处于纯剪切应力状态。
根据最大切应力理论，强度条件应为≤≤得 d ≥3．按刚度条件设计轴的直径由刚度条件式（12-2），扭转刚度条件为ϕmax = ≤[ ϕ]≤[ϕ]得d≥为了同时满足强度及刚度要求，应在以上两计算结果中取较大值作为轴的直径，即轴的直径应大于或等于34mm，可取d = 34mm。
例12-5实心圆轴横截面上的扭矩T = 5kN·m。
轴的许用应力[ ] = 87MPa，试按强度设计轴的直径D。
若将轴改为空心圆轴，且内外直径之比，试设计截面尺寸。
并比较实心圆轴和空心圆轴所需的材料用量。
解：本题按第四强度理论来设计。
对实心愿轴，由强度条件式（12-6）≤即≤得D≥取D = 80mm。
——扭转的强度和刚度计算
例l 一直径为50mm的传动轴如图所示。电动机通过A轮输 入100kW的功率，由B,C和D轮分别输出45kW、25kW和30kW 以带动其它部件。要求：(1)画轴的扭矩图，(2)求轴的最大切 应力。
解 1.作用在轮上的力偶矩可 由公式计算得到，分别为
2.作扭矩图 最大扭矩发生在AC段内
M x max = 1.75kN ⋅ m 3.最大切应力
WP
([τ] 称为许用剪应力。)
强度计算三方面： ① 校核强度： ② 设计截面尺寸：
③ 计算许可载荷：
τ max
= Tmax WP
≤ [τ ]
WP
≥
Tmax
[τ ]
WP
⎪⎩⎪⎨⎧空实：：ππ1Dd633（116−
α
⎫ ⎪ 4）⎪⎭⎬
Tmax ≤ WP[τ ]
[例]
功率为150kW，转速为15.4转/秒的电动机转子轴如图，
θ = Mx
GI T
=
4000 80 ×109 × 286
×10 −8
= 0.01745 rad/m = 1o /m
§7 薄壁圆筒的扭转试验
例2 直径d＝100mm的实心圆轴，两端受力偶矩T=10kN·m作 用而扭转，求横截面上的最大切应力。若改用内、外直径比值为 0.5的空心圆轴，且横截面面积和以上实心轴横截面面积相等，问 最大切应力是多少?
解： 圆轴各横截面上的扭矩均为 Mx=T=10kN·m。 (1)实心圆截面
(2)空心圆截面 由面积相等的条件，可求得空心圆截面的内、外直径。令 内直径为d1，外直径为D，α = d1 / D = 0.5，则有
由此求得
空心圆截面
实心圆截面
计算结果表明，空心圆截面上的最大切应力比实心圆截
扭转杆件强度计算公式
扭转杆件强度计算公式在机械设计和工程中，扭转杆件是一种常见的结构元件，它通常用于传递扭转力或者扭转转矩。
因此，对于扭转杆件的强度计算是非常重要的，可以帮助工程师确定杆件是否能够承受所施加的扭转力而不发生变形或破坏。
在本文中，我们将介绍扭转杆件强度计算的基本原理和公式。
首先，我们需要了解扭转杆件的基本参数，包括杆件的长度、直径、材料的弹性模量和剪切模量。
这些参数将在后续的强度计算中起到重要作用。
接下来，我们将介绍扭转杆件的强度计算公式。
扭转杆件的强度计算公式可以通过以下步骤进行推导。
首先，我们可以根据杆件的几何形状和所受的扭转力来计算出杆件的剪切应力。
剪切应力可以用以下公式表示：τ = T r / J。
其中，τ表示剪切应力，T表示扭转力，r表示杆件的半径，J表示杆件的极惯性矩。
接下来，我们可以根据材料的弹性模量和剪切模量来计算出杆件的变形。
杆件的变形可以用以下公式表示：θ = T L / (G J)。
其中，θ表示杆件的扭转角度，L表示杆件的长度，G表示材料的剪切模量。
最后，我们可以根据杆件的变形和材料的强度来计算出杆件的强度。
杆件的强度可以用以下公式表示：τ_max = K τ。
其中，τ_max表示杆件的最大剪切应力，K表示杆件的强度系数。
通过这些公式，我们可以计算出扭转杆件的强度，并且可以根据实际情况调整杆件的尺寸和材料来满足设计要求。
在实际工程中，扭转杆件的强度计算是非常重要的。
通过合理的强度计算，可以确保杆件在使用过程中不会发生变形或破坏，从而保证机械设备的正常运行和安全性。
因此，工程师需要对扭转杆件的强度计算方法有深入的了解，并且需要根据实际情况进行合理的调整和优化。
除了上述介绍的基本强度计算公式外，还有一些其他因素需要考虑，例如杆件的表面处理、连接方式、工作环境等。
这些因素都会对杆件的强度产生影响，因此在实际工程中需要综合考虑这些因素，并且进行相应的修正和调整。
总之，扭转杆件的强度计算是机械设计和工程中的重要内容，它可以帮助工程师确定杆件的尺寸和材料，从而确保机械设备的安全性和可靠性。
材料力学扭转应力
材料力学扭转应力材料力学中的扭转应力，指的是在材料中由于扭转作用而产生的应力。
扭转应力是材料力学中的基本概念之一，广泛应用于各种工程和结构设计中。
在材料力学中，扭转应力可由以下公式表示：τ=T*r/J其中，τ表示扭转应力，T表示应用在材料上的扭矩大小，r表示材料中的极径，J表示截面转动惯量。
从上述公式中可以看出，扭转应力与扭矩、极径以及截面转动惯量有关。
扭转作用会使材料发生变形，而扭转应力则是描述这种变形现象的力学量。
在实际工程中，我们常常需要计算材料在扭转作用下的变形和应力值，以保证结构的安全和可靠性。
扭转应力的计算和分析在工程设计过程中非常重要。
在旋转机械、传动轴、扭转梁、桥梁、挠性杆件等结构中，承受扭转作用的构件都需要进行扭转应力的计算。
只有通过准确地计算和分析扭转应力，才能保证这些结构的正常运行和使用。
在实际工程中，我们常常使用各种方法和理论来计算和分析扭转应力。
最常用的一种方法是应用弹性力学理论，即将材料视为弹性体，在假设材料的应变具有线性关系的基础上，引入材料的弹性模量和剪切模量等材料参数，进行扭转应力的计算。
另外，材料的形状和几何特征也对扭转应力产生影响。
对于圆形截面的材料，扭转应力分布为圆对称分布，与极径成反比。
而对于其他形状的截面，扭转应力的分布则会有所差异。
因此，在具体的工程设计中，需要分析材料的截面形状以及其他几何特征，以计算准确的扭转应力。
此外，材料的性质也会影响扭转应力的大小和分布。
不同材料的弹性模量和剪切模量不同，因此在应用扭转应力公式时，需要考虑到材料的特性。
总之，扭转应力是材料力学中的重要概念，对于工程设计和结构分析具有重要意义。
能够准确计算和分析扭转应力，可以保证工程结构的安全和可靠性。
因此，在实际工程中，我们需要充分理解材料的扭转应力，并结合具体的情况进行准确的计算和分析。
强度和刚度的计算公式
强度和刚度的计算公式强度和刚度强度和刚度是材料力学中两个重要的概念，用于描述材料的力学性能。
下面将列举相关的计算公式，并通过举例进行解释说明。
强度的计算公式强度是指材料在受力下所承受的最大应力程度。
常用的强度计算公式有以下几种：1.拉伸强度：拉伸强度是指材料在拉伸过程中承受的最大应力值。
，其中S表示拉伸强度，F表示受力，A表示横计算公式为：S=FA截面积。
示例：某种材料的横截面积为10平方厘米，拉伸时受力为5000=500牛顿/平方厘米。
牛顿，那么该材料的拉伸强度为：S=5000102.抗压强度：抗压强度是指材料在受压过程中承受的最大应力值。
，其中S表示抗压强度，F表示受力，A表示横计算公式为：S=FA截面积。
示例：某种材料的横截面积为5平方厘米，压缩时受力为2000牛=400牛顿/平方厘米。
顿，那么该材料的抗压强度为：S=200053.剪切强度：剪切强度是指材料在受剪切应力时所承受的最大应力值。
计算公式为：S=FA，其中S表示剪切强度，F表示受力，A表示受力面积。
示例：某种材料的受力面积为8平方厘米，剪切时受力为1500牛顿，那么该材料的剪切强度为： $S = = $牛顿/平方厘米。
刚度的计算公式刚度是指材料在受力下的变形程度。
常用的刚度计算公式有以下几种：1.弹性模量：弹性模量是指材料在弹性变形时单位应力下的应变程度。
计算公式为：E=ΔLL ⋅1σ，其中E表示弹性模量，ΔL表示长度变化，L表示原始长度，σ表示应力。
示例：某种材料的长度变化为厘米，原始长度为10厘米，应力为500牛顿/平方厘米，那么该材料的弹性模量为： $E = = $厘米/牛顿。
2.刚度系数：刚度系数是指材料在受力下的变形程度与受力大小之间的比例关系。
计算公式为：k=Fx，其中k表示刚度系数，F表示受力，x表示变形位移。
示例：某种材料受力为200牛顿，变形位移为厘米，那么该材料的刚度系数为：k=200=400牛顿/厘米。
3.刚度常数：刚度常数是指材料在受力下的变形程度。
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PB 100 9549 3183N m n 300
3183
mD 9549
PD 200 9549 6366N m n 300
（2）画扭矩图如图(b)所示。可见，内力最大的危险面在 AC段内，最大扭矩值Tmax=9549N∙m。
§ 3.5
B
(a)
圆轴的扭转变形
A C D
圆轴的扭转变形
Mechanic of Materials
1、危险面 扭矩最大的截面(Tmax)，或抗扭截面模量最小的截面Wtmin，
或扭矩与抗扭截面模量之比 T / Wt max 最大处的截面 2、危险点
危险面上应力最大 max 的点，圆轴危险面上的边缘各点。
max
Tmax Wt
3
16Tmax
3
16 9549 m 6 40 10
106 .7mm
按刚度条件得:
max
32180Tmax Tmax 180 Tmax 180 4 D 2 4 2G GI P D2 G 32 32 180 9549
40MPa, G 80GPa, 0.3 / m
（3）确定轴的直径d
按强度条件得：
Tmax T max 3 Wt D1
16
例3-5
Mechanic of Materials
9549 6366
max
x
T 图（N m）
(b)
+
3183
D1
2、注意： （1）Tmax为危险面上的扭矩绝对值。 (2) θmax是危险面杆段的单位扭转角。
§ 3.5
圆轴的扭转变形
例3-5：传动轴转速n=300r/min,主动轮A输入功率PkA=400kW， 三个从动轮输出功率PkB= PkC=100kW，PkD=200kW。若
Mechanic of Materials
§ 3.5
2.5kN m
圆轴的扭转变形
4kN m
φ 75 φ 60
例3-4：如图所示，求圆轴的两端面的相对扭转角，G=80GPa。
1.5kN m
Mechanic of Materials
(a)
A
770
B
150
C
2.5
(b)
（kN m） T图
+ 1.5
T l (弧度) 解：两端面的相对扭转角 由 GI P 可分段求各段的扭转角，再求其代数和：
3、强度条件：
Tmax、Wt——危险面上的扭矩、抗扭截面模量 注意：
当扭矩有变化时要画扭矩图；全杆扭矩不变可不画扭矩图。
§ 3.5
二、刚度计算
1、刚度条件：
max
T max GI P
圆轴的扭转变形
Mechanic of Materials
或 max
Tmax 180 GI P
第九讲的内容、要求、重难点
教学内容
圆轴扭转变形及强度、刚度计算、矩形截面杆的自由扭转
Mechanic of Materials
教学要求：
1、 掌握圆轴扭转时横截面上的应力，圆轴扭转时的变形；
2、 掌握圆轴扭转的强度计算与刚度计算；
重点：圆轴扭转横截面上的应力及强度计算与刚度计算。 3、了解矩形截面杆的自由扭转。 难点：危险截面的判断 、 矩形截面杆的自由扭转。 学时 l1 T2 l2 GI P1 GI P 2
2.5 103 0.77 80 109
1.5 103 0.15 80 109
5.54 103 (rad )
32
0.0754
32
0.064
§ 3.5
一、强度计算
第九讲内容目录 第三章 扭 转
§ 3.5 圆轴的扭转变形
Mechanic of Materials
目录
§ 3.6 圆柱形密圈螺旋弹簧的应力和变形 (自学) § 3.7 矩形截面杆的自由扭转(自学)
§ 3.5
圆轴的扭转变形
一、受扭圆轴的相对扭转角
Mechanic of Materials
圆杆受扭矩作用时，dx微段的两截面绕轴线相对转动 的角度称为相对扭转角
dx d
d dx
G
T Ip
G
d dx
沿轴线方向积分，得到
相对扭转角
抗扭刚度
§ 3.5
Mechanic of Materials
圆轴的扭转变形
Tl GI P
对于两端承受集中扭矩的等截面圆轴，两端面的相对扭转角为：
对于各段扭矩不等或截面极惯性矩不等的阶梯状圆轴， 轴两端面的相对扭转角必须分段求解再求和，为：
Ti li i 1 GI Pi
二、单位长度的相对扭转角 T 单位长度扭转角即扭转角的变化 GI p 率。单位长度相对扭转角为：
n
三、圆轴扭转应力和变形公式的前提或适用范围 1、材料均匀连续、各向同性、处于线弹性范围内的小变形。 2、等截面圆轴。
故，D max( D1 , D 2 ) 123.4mm
4
80 10 0.3
2 9
m 123 .4mm
之一 例3-6：已知：n=300r/min,功率P=300kW。空心轴内外径的比 d/D=0.5,
§ 3.5
圆轴的扭转变形
40MPa, G 80GPa, 0.3 / m
40MPa, G 80GPa, 0.3 / m ，试设计轴的半径。
B A C D
解：（1）计算外力偶矩
PA 400 mA 9549 9549 12732N m n 300
(a)
9549 6366
T 图（N m）
(b)
+
x
mB mC 9549
Mechanic of Materials
试：（1）设计截面尺寸（空心轴外径） 解：（1）设计空心轴尺寸 1）求外力矩： mA 9549 PA 9549 300 9549N m
n 300
（3）实、空两轴重量比多大？ （2）若采用实心轴直径多大？
2）求极惯矩IP、抗扭截面模量Wt
4 D d D 1 15 4 IP (1 4 ) 1 D 32 D 32 2 32 16 4 4 4