高中数学一轮复习课件：均值不等式的应用
人教课标版(B版)高中数学必修5参考课件1-均值不等式的应用
错
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第 2 课时 均值不等式的应用
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备
课
资
源
●三维目标 1．知识与技能 巩固均值不等式的简单应用． 2．过程与方法 能灵活构造均值不等式求最值成立的三个条件． 3．情感、态度与价值观 通过对均值不等式成立的条件的分析，养成严谨的科学态 度，勇于提出问题、分析问题的习惯．
【防范措施】 在运用均值不等式时，要特别注意等号成立 的条件，尤其是一个题目中多次使用均值不等式，等号成立的条 件必须相同，否则会造成错误．
【正解】 (x＋y)1x＋4y＝1＋4·xy＋yx＋4＝5＋4yx＋yx≥5＋2 4yx·yx＝9，
当且仅当 4·xy＝yx，即 y＝2x 时等号成立．
1．利用均值不等式求最值必须满足“一正、二定、 三相等”三个条件，并且和为定值，积有最大值；积为定 值，和有最小值．
【自主解答】
f(x)＝
xx2＋2＋43＋1＝
x2＋3＋1 x2＋3
＋
1＝
x2＋3＋
x21＋3＋1， 令 t＝ x2＋3(t≥ 3)，
则原函数变形为 y＝t＋1t ＋1，易证函数在区间[ 3，＋∞)上 是增函数．
所以当 t＝ 3时，y＝t＋1t ＋1 取得最小值433＋1. 所以当 t＝ 3，即 x＝0 时，f(x)＝ xx2＋2＋43＋1 取得最小值433＋
当 x＜0 时，x＋1x≤－2， ∴－12≤x＋1 1x＜0， ∴－1≤y＜0， 当且仅当 x＝1x(x<0)，即 x＝－1 时取等号； 当 x＝0 时，y＝0. 综上，可得函数 y＝x22＋x 1的值域为{y|－1≤y≤1}.
2020届高考数学(理)一轮复习讲义7.2均值不等式及其应用
§7.2均值不等式及其应用最新考纲考情考向剖析1.认识基本不等式的证明过程 . 主要考察利用基本不等式求最值.常与函数、解析几何、不等式相联合考察，作为求最值的方2.会用基本不等式解决简单的最大(小 )值问题 .法，常在函数、分析几何、不等式的解答题中考察，难度为中档 .a＋ b1.均值不等式：ab≤2(1)均值不等式成立的条件：a>0， b>0.(2)等号成立的条件：当且仅当a＝ b 时取等号 .2.几个重要的不等式(1)a2＋ b2≥ 2ab(a， b∈R ).b a(2)a＋b≥ 2(a， b 同号 ).a＋ b 2(3)ab≤( a，b∈ R).(4) a2＋ b2 a＋ b 2(a， b∈ R ).≥22以上不等式等号成立的条件均为a＝b.3.算术均匀数与几何均匀数设 a>0， b>0，则 a， b 的算术均匀值为a＋b，几何均匀值为ab，均值不等式可表达为两个2正实数的算术均匀值大于或等于它们的几何均匀值.4.利用均值不等式求最值问题已知 x>0， y>0，则(1)假如积 xy 是定值 p，那么当且仅当x＝y 时， x＋ y 有最小值2 p.(简记：积定和最小 )p2(2)假如和 x＋y 是定值 p，那么当且仅当x＝ y 时， xy 有最大值4 .(简记：和定积最大 )概念方法微思考1.若两个正数的和为定值，则这两个正数的积必定有最大值吗？提示不必定 .若这两个正数能相等，则这两个数的积必定有最大值；若这两个正数不相等，则这两个正数的积无最大值.12.函数 y ＝ x ＋ x 的最小值是 2 吗？提示不是 .由于函数y ＝ x ＋ 1x 的定义域是{ x|x ≠ 0} ，当 x<0时， y<0 ，所以函数y ＝ x ＋ 1x 无最小值 .题组一 思虑辨析1.判断以下结论能否正确 (请在括号中打“√”或“×”) 4 ， x ∈ π的最小值等于 4.( × )(1)函数 f(x) ＝ cos x ＋ cos x0， 2(2)“ x>0 且 y>0 ”是“ x ＋ y≥ 2”的充要条件 .( × )y x(3)( a ＋ b)2 ≥4ab(a ， b ∈R ).( √ )(4)若 a>0 ，则 a 3＋ 12的最小值为 2a.( × )a(5)不等式 a 2＋ b 2≥2ab 与a ＋b≥ ab 有同样的成立条件 .( × )2(6)两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.( √ ) 题组二教材改编2.设 x>0， y>0，且 x ＋ y ＝ 18，则 xy 的最大值为 ( )A.80B.77C.81D.82答案 C∵ x>0， y>0， ∴ x ＋ yxy ，分析 2 ≥即 xy ≤x ＋ y2＝ 81， 2 当且仅当 x ＝ y ＝9 时， (xy)max ＝ 81.3.若把总长为 20 m 的篱笆围成一个矩形场所，则矩形场所的最大面积是________ m 2.答案25分析设矩形的一边为 x m ，面积为 y m 2，则另一边为 12× (20－ 2x)＝ (10－ x)m ，此中 0<x<10 ，∴y ＝ x(10－x)≤x ＋10－ x2＝25， 2当且仅当 x ＝ 10－ x ，即 x ＝5 时， y max ＝25.题组三 易错自纠4.“ x>0”是“ x ＋ 1≥ 2 成立”的 ( )xA. 充分不用要条件B. 必需不充分条件C.充要条件D.既不充分也不用要条件答案 C分析11当 x>0 时， x ＋ ≥ 2x ·＝ 2.xx11 1 1 成立 ” 的充要条件，由于 x ， 同号，所以若 x ＋x ≥2，则 x>0 ， >0，所以 “x>0 ” 是 “x ＋≥ 2xxx应选 C.5.若函数 f(x)＝ x ＋ 1(x>2) 在 x ＝ a 处取最小值，则 a 等于 ( )x － 2A.1 ＋ 2B.1＋ 3C.3D.4答案 C分析 当 x>2 时， x － 2>0 ，f(x)＝ (x － 2)＋ 1＋ 2≥ 2x － 2 × 1＋ 2＝ 4，当且仅当 x －2x － 2 x － 21＝ x － 2( x>2) ，即 x ＝ 3 时取等号，即当f(x) 获得最小值时， x ＝ 3，即 a ＝ 3，应选 C.6.若正数 x ， y 知足 3x ＋ y ＝ 5xy ，则 4x ＋ 3y 的最小值是 ( )A.2B.3C.4D.5答案 D3x ＋y 31分析 由 3x ＋ y ＝5xy ，得xy ＝ y ＋ x ＝5，1 31所以 4x ＋ 3y ＝ (4x ＋ 3y) ·＋5 yx＝13y ＋12x5 4＋9＋ xy 1≥5(4＋ 9＋ 2 36)＝ 5，当且仅当3y ＝ 12x，即 y ＝ 2x 时， “ ＝” 成立，xy故 4x ＋ 3y 的最小值为 5.应选 D.题型一利用均值不等式求最值命题点 1 配凑法例 1 (1) 已知 0<x<1，则 x(4－ 3x)获得最大值时 x 的值为 ________.答案231分析x(4－ 3x)＝ 3·(3x)(4 － 3x)≤1 3x ＋4－3x2＝4，·233当且仅当 3x ＝ 4－ 3x ，即 x ＝23时，取等号 .x 2 ＋ 2(2)函数 y ＝ x － 1 (x>1) 的最小值为 ________. 答案 2 3＋2分析 ∵ x>1， ∴x － 1>0 ，∴ y ＝ x 2 ＋ 2 x 2－ 2x ＋ 1 ＋ 2x － 2 ＋ 3 ＝x － 1x － 1＝x － 1 2＋ 2 x － 1 ＋ 3 x － 1＝ (x － 1)＋ 3＋ 2≥ 2 3＋ 2. x－ 1当且仅当 x － 1＝3，即 x ＝ 3＋ 1 时，等号成立 . x － 1命题点 2 常数代换法例 2 (2019 ·大连模拟 )已知首项与公比相等的等比数列 { a n } 中，知足 22a m a n ＝a 4(m ， n ∈N ＋)，则 2＋1的最小值为 () m n39A.1B. 2C.2D. 2答案 A分析 由题意可得， a 1＝ q ，22∵ a m a n ＝ a 4，∴ a 1·q m －1·(a 1·q n －1 )2＝ (a 1·q 3)2，即 q m ·q 2n ＝ q 8， 即 m ＋ 2n ＝8.∴ 2 ＋ 1＝ (m ＋ 2n) 2 ＋ 1 ×1m nm n 8＝ 2＋m ＋4n＋ 2 ×1≥ (4＋ 2 4)× 1＝ 1. n m88当且仅当 m ＝ 2n 时，即 m ＝ 4， n ＝ 2 时，等号成立 .命题点 3 消元法例 3已知正实数 a ， b 知足 a 2－ b ＋4≤ 0，则 u ＝2a ＋3ba ＋b ()1414A. 有最大值 5B. 有最小值 5C.有最小值 3D.有最大值 3答案B分析∵ a 2－ b ＋4≤ 0， ∴ b ≥ a 2＋ 4，∴ a ＋ b ≥ a 2＋ a ＋4.又 ∵ a ， b>0， ∴ a≤a ，a ＋b a 2＋ a ＋4∴ －a≥ － a ，a ＋b a 2 ＋a ＋ 42a ＋ 3baa∴ u ＝ a ＋ b ＝ 3－ a ＋ b ≥3－ a 2＋ a ＋4 ＝ 3－1 ≥ 3－1＝ 14 ，a ＋ 42 45＋ 1a ·＋ 1aa当且仅当 a ＝ 2， b ＝ 8 时取等号 .应选 B.思想升华 (1) 前提： “一正 ”“ 二定 ”“ 三相等 ”.(2)要依据式子的特色灵巧变形，配凑出积、和为常数的形式，而后再利用均值不等式.(3)条件最值的求解往常有三种方法：一是消元法；二是将条件灵巧变形，利用常数“ 1” 代换的方法；三是配凑法.追踪训练 1 (1)(2019·东质检丹)设x>0， y>0，若 xlg 2， lg 2， ylg 2 成等差数列，则1x ＋9y 的最小值为()A.8B.9C.12D.16答案D分析∵ xlg 2 ， lg 2， ylg 2成等差数列，∴ 2lg 2＝ (x ＋ y)lg 2 ，∴ x ＋ y ＝ 1.∴1x ＋9y ＝ (x ＋ y) 1x ＋ 9yy 9x ≥ 10＋2· ＝ 10＋ 6＝ 16，x y当且仅当 x ＝ 1， y ＝ 3时取等号，4 4故 1＋9的最小值为 16.应选 D.x y(2)若 a， b，c 都是正数，且4 ＋1的最小值是 () a＋b＋ c＝ 2，则a＋1 b＋ cA.2B.3C.4D.6答案 B分析∵ a， b，c 都是正数，且a＋ b＋ c＝ 2，∴a＋ b＋ c＋ 1＝3，且 a＋1>0 ， b＋c>0.∴4＋1＝1·(a＋1＋ b＋ c) ·4＋1 a＋ 1 b＋ c 3 a＋ 1 b＋ c 14 b＋ c a＋ 1 1＝3 5＋a＋1＋b＋c≥3(5＋ 4)＝ 3.当且仅当a＋ 1＝ 2(b＋ c)，即 a＝1， b＋ c＝1 时，等号成立.应选 B. 题型二均值不等式的综合应用命题点 1 均值不等式与其余知识交汇的最值问题例 4 在△ ABC 中，点→→M，P 知足 BP＝ 2PC，过点 P 的直线与 AB， AC 所在直线分别交于点→→→→N，若 AM ＝mAB， AN＝ nAC(m>0， n>0) ，则 m＋2n 的最小值为 ()8 10A.3B.4C.3D. 3答案 A分析→ →→∵ AP＝ AB＋ BP→ 2 → →＝AB＋3(AC－AB)1 →2 → 1 → 2 →＝AB ＋ AC ＝AM ＋3n AN ，333m∵M ，P ，N 三点共线， ∴ 1＋2＝ 1，3m 3n∴ m ＋ 2n ＝( m ＋ 2n) 1＋ 23m 3n＝13＋43＋ 3m 2n ＋ 2m3n≥ 5＋ 2 2n × 2m 33m 3n＝53＋43＝ 3，当且仅当 m ＝ n ＝ 1 时等号成立 . 命题点 2 求参数值或取值范围例 5 (2018 ·包头模拟 )已知不等式 (x ＋y) 1 a ≥ 9 对随意正实数 x ，y 恒成立， 则正实数 a 的 x ＋y 最小值为 ( ) A.2B.4C.6D.8答案 B1 a1 a分析 已知不等式 (x ＋ y) x ＋ y ≥ 9 对随意正实数 x ， y 恒成立，只需求 (x ＋ y) x ＋ y 的最小值 大于或等于 9，∵ 1＋ a ＋ y ＋ ax≥ a ＋ 2 a ＋ 1，x y当且仅当 y ＝ ax 时，等号成立，∴ a ＋ 2 a ＋1≥ 9，∴ a ≥ 2 或 a ≤ － 4(舍去 )， ∴ a ≥ 4，即正实数 a 的最小值为 4，应选 B.思想升华 求参数的值或范围：察看题目特色，利用均值不等式确立有关成立条件，进而得参数的值或范围 .π2sin C sin B 追踪训练 2 (1)在△ ABC 中， A ＝6，△ ABC 的面积为 2，则 sin C ＋ 2sin B ＋sin C 的最小值为 ()3 3 3 3 5 A. 2 B.4 C.2D.3答案 C分析 由 △ ABC 的面积为 2，所以1 1 πS ＝bcsin A ＝ bcsin ＝ 2，得 bc ＝8，22 6在△ABC 中，由正弦定理得2sin C ＋ sin B＝ 2c ＋b sin C＋ 2sin B sin C c＋2bc ＝2cb ＋ b2b c＋ 2b bc＝16 2 8 ＋b 2＋ 41＋b＝8－8＋ 2b2 8 4＋ b2 2≥ 2 8b2＋ 4 1＝2－1＝ 3，2·－4＋ b 8 2 2 2当且仅当 b＝ 2， c＝ 4 时，等号成立，应选 C.(2)已知函数f(x)＝ ax2＋bx(a>0， b>0)的图象在点 (1，f(1))处的切线的斜率为2，则8a＋b的最ab小值是 ( )A.10B.9C.8D.3 2答案 B分析由函数 f(x)＝ ax2＋ bx，得 f′( x)＝ 2ax＋ b，由函数 f(x)的图象在点 (1， f(1)) 处的切线斜率为2，所以 f′ (1)＝ 2a＋ b＝ 2，所以 8a＋ b＝ 1＋8＝ 1 1＋ 8ab a b 2 a b (2a＋ b)1 b 16a 1 b 16a＝2 10＋a＋b ≥2 10＋2 a ·b1＝2(10＋8)＝ 9，当且仅当ba＝16ab，即 a＝13， b＝43时等号成立，所以8a＋b的最小值为9，应选 B. ab利用均值不等式求解实质问题数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学的语言表达问题，用数学的方法建立模型解决问题 .过程主要包含：在实质情形中从数学的视角发现问题、提出问题、剖析问题、成立模型、确立参数、计算求解、查验结果、改良模型，最后解决实质问题 .例 某厂家拟在 2019 年举行促销活动，经检查测算，该产品的年销售量 (即该厂的年产量 )x万件与年促销花费 m 万元 (m ≥ 0)知足 x ＝ 3－km ＋ 1(k 为常数 ) ，假如不搞促销活动，则该产品的年销售量只好是 1 万件 .已知 2019 年生产该产品的固定投入为8 万元 .每生产 1 万件该产品需要再投入 16 万元，厂家将每件产品的销售价钱定为每件产品年均匀成本的 1.5 倍 (产品成本包含固定投入和再投入两部分资本).(1)将 2019 年该产品的收益y 万元表示为年促销花费 m 万元的函数；(2)该厂家 2019 年的促销花费投入多少万元时，厂家的收益最大？解 (1) 由题意知，当 m ＝0 时， x ＝ 1，∴ 1＝ 3－ k? k ＝2，∴ x ＝ 3－ 2，m＋ 18＋ 16x每万件产品的销售价钱为1.5×(万元 )，∴ 2019 年的收益 y ＝ 1.5x ×8＋ 16x－8－ 16x － m x2＝ 4＋ 8x － m ＝ 4＋ 8 3－m ＋ 1 － m16＝－ ＋ m ＋ 1＋ 29(m ≥ 0).16(2)∵ m ≥ 0 时，＋ ( m ＋ 1)≥ 216＝8，∴y≤－ 8＋ 29＝21，16当且仅当＝ m＋ 1? m＝ 3(万元 )时，y max＝ 21(万元 ).故该厂家2019 年的促销花费投入 3 万元时，厂家的收益最大为21 万元 .修养提高利用均值不等式求解实质问题时依据实质问题抽象出目标函数的表达式，成立数学模型，再利用均值不等式求得函数的最值.x2＋ 41.函数 f(x)＝|x| 的最小值为 ()A.3B.4C.6D.8答案 B分析f(x)＝x2＋4＝|x|＋4≥ 24＝ 4，|x||x|当且仅当 x＝±2 时，等号成立，应选 B.2.若 x>0， y>0，则“ x＋ 2y＝2 2xy”的一个充分不用要条件是( )A. x＝ yB. x＝2yC.x＝2 且 y＝ 1D.x＝ y 或 y＝ 1答案 C分析∵ x>0， y>0，∴ x＋ 2y≥ 2 2xy，当且仅当 x＝ 2y 时取等号 .故“ x＝ 2 且 y＝1 ”是“ x＋2y＝ 2 2xy”的充分不用要条件.应选 C.4＋1的最小值为( ) 3.(2018 沈·阳模拟 )已知正数 a， b 知足 a＋ b＝1，则a b5A. 3B.3C.5D.9答案 D分析由题意知，正数a， b 知足 a＋ b＝ 1，4 1 4＋ 1则a＋b＝ a b (a＋b)＝ 4＋1＋4b＋a≥5＋ 24b aa b·＝ 9，a b当且仅当4b＝a，即 a＝2， b＝1时等号成立，a b 3 3所以4＋1的最小值为 9，应选 D.a b4.若 a>0， b>0，lg a＋ lg b＝ lg(a＋ b)，则 a＋b 的最小值为 ()A.8B.6C.4D.2答案 C分析由 lg a＋ lg b＝lg( a＋ b) ，得 lg( ab)＝lg( a＋ b)，即 ab＝ a＋ b，则有1＋1＝ 1，所以 a＋ b a b1 1 b a≥2＋ 2 b aa＋ b 的最＝＋b (a＋ b)＝ 2＋＋·＝ 4，当且仅当 a＝b＝ 2 时等号成立，所以a ab a b 小值为4，应选 C.5.已知函数x在点 (0，f(0)) 处的切线为 l，动点 (a，b)在直线 l 上，则 2a －b的最小值是f(x)＝e ＋2( )A.4B.2C.2 2D. 2答案 D分析由题意得 f ′(x)＝ e x，f(0) ＝ e0＝ 1，k＝f ′ (0)＝ e0＝ 1.所以切线方程为y－1＝ x－ 0，即 x－ y＋ 1＝ 0，∴ a－ b＋ 1＝ 0，∴ a－b＝－ 1，∴ 2a＋ 2－b≥ 2 2a·2－b＝ 2 2a－b＝ 2 2－1＝2当且仅当 a＝－1， b＝1时取等号，应选 D.2 26.《几何本来》卷 2 的几何代数法 (以几何方法研究代数问题 )成了后代西方数学家办理问题的重要依照，经过这一原理，好多的代数的公义或定理都能够经过图形实现证明，也称之为无字证明 .现犹如下图图形，点 F 在半圆 O 上，点 C 在直径 AB 上，且 OF ⊥ AB，设 AC＝ a，BC＝ b，则该图形能够达成的无字证明为()a＋ bA.2≥ ab(a>0，b>0)B.a2＋b2≥ 2 ab(a>0， b>0)C.2ab≤ ab(a>0 ， b>0)＋b a a＋ b a2＋ b2D. 2 ≤2 (a>0 ， b>0)答案 D分析由 AC＝ a，BC ＝ b，可得圆 O 的半径 r ＝a＋b，2又 OC＝OB－ BC＝a＋b－ b＝a－b，2 2a－ b 2 a＋ b 2 a2＋b2，则 FC 2＝ OC2＋ OF2＝＋＝4 4 2再依据题图知FO ≤ FC，即a＋ b a2＋ b2≤，当且仅当 a＝ b 时取等号 .应选 D.2 27.设 x， y 均为正数，且 xy＋x－ y－ 10＝ 0，则 x＋ y 的最小值是 ________. 答案 6分析由 xy＋ x－y－ 10＝ 0，得 x＝y＋10＝9＋ 1，y＋ 1 y＋ 1∴ x＋ y＝9＋ 1＋ y≥ 2 9y＋ 1 y＋1·1＋ y ＝ 6，9当且仅当＝1＋ y ，即 y ＝ 2 时，等号成立 .98.设正项等比数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ，若 S 7－ S 5＝ 3(a 4＋ a 5)，则 4a 3＋a 7的最小值为 ________.答案4分析设正项等比数列 { a n } 的公比为 q(q>0) ，∵ S 7－ S 5＝ a 7＋ a 6＝ 3(a 4 ＋a 5)，∴a 7＋a 6＝ q 2＝3.a 5＋ a 4∴ 4a9＝4a 9 ＝ 4a 1 ≥ 2 4a 1＝ 4， 3＋7 3＋4 3＋33·3a 3aa qa当且仅当 4a 31，即 a 31时等号成立 .＝a 3＝ 2∴ 4a 3＋ 9的最小值为 4.a 79.已知△ ABC 的角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ，若 a 2＝ b 2＋ c 2－ bc ，且△ ABC 的面积为33，4则 a 的最小值为 ________. 答案3分析 由题意得 b 2＋ c 2－ a 2＝ bc ，∴ 2bccos A ＝ bc ，1 π ∴ cos A ＝ ， ∴A ＝ .23∵△ ABC 的面积为33，4∴ 1bcsin A ＝ 3 3， ∴ bc ＝ 3.24∵ a 2＝ b 2＋ c 2－ bc ，∴ a 2≥ 2bc － bc ＝ bc ＝ 3(当且仅当 b ＝ c 时，等号成立 )，∴ a ≥ 3.10.已知 a ， b 为正实数，且 (a － b)2＝ 4(ab)3，则1a ＋ 1b 的最小值为 ________.答案2 2分析由题意得 (a － b)2 ＝(a ＋ b)2－4ab ，代入已知得 (a ＋ b)2＝ 4(ab)3＋ 4ab ，两边同除以 (ab)2得a ＋b 2＝4 ab 3 4ab ab 2 2 ＋ 2 2a ba b ＝ 4 ab ＋ 1≥4·21ab ab · ＝ 8，ab当且仅当 ab ＝ 1 时取等号 .所以 1＋1≥2 2，a b即1a ＋1b 的最小值为 2 2.11.已知 x>0 ， y>0 ，且 2x ＋ 5y ＝ 20.(1)求 u ＝ lg x ＋ lg y 的最大值；1 1(2)求 x ＋ y 的最小值 . 解 (1) ∵ x>0， y>0，∴ 由均值不等式，得 2x ＋5y ≥ 2 10xy.∵ 2x ＋5y ＝ 20，∴ 2 10xy ≤20， xy ≤ 10，当且仅当 2x ＝ 5y 时，等号成立 .所以有2x ＋ 5y ＝ 20，2x ＝ 5y ，解得x ＝5，y ＝ 2，此时 xy 有最大值 10.∴ u ＝ lg x ＋lg y ＝ lg( xy)≤ lg 10 ＝ 1.∴ 当 x ＝ 5， y ＝ 2 时， u ＝ lg x ＋ lg y 有最大值 1.(2)∵ x>0， y>0，∴ 1＋1＝ 1＋ 1 2x ＋ 5yx yx y ·20＝ 1 7＋ 5y ＋ 2x ≥ 17＋ 2 5y 2x 20 x y 20 ·x y＝7＋ 2 10，20当且仅当5y ＝ 2x时，等号成立 .x y2x ＋5y ＝ 20， x ＝10 10－ 20， 由5y 2x 解得3＝ 20－ 4 10x ， y ＝ . y3∴ 1＋1的最小值为 7＋ 2 10.x y2012.某人准备在一块占地面积为 1 800 平方米的矩形地块中间建三个矩形温室大棚，大棚四周均是宽为 1 米的小道 (如下图 )，大棚占地面积为S 平方米，此中 a ∶b ＝ 1∶ 2.(1)试用 x， y 表示 S；(2)若要使 S 的值最大，则x， y 的值各为多少？解 (1) 由题意可得 xy＝1 800， b＝ 2a，则 y＝a＋ b＋ 3＝3a＋ 3，所以 S＝ (x－ 2)a＋ (x－ 3)b＝ (3x－ 8)a＝ (3x－ 8) y－3＝ 1 808－3x－8 y(x>3， y>3).3 3(2)方法一S＝ 1 808－3x－8×1 800 3x＝ 1 808－ 3x＋ 4 800 ≤1 808－ 2 3x×4 800x x ＝1 808－ 240＝1 568，当且仅当3x＝4 800，即 x＝ 40 时等号成立， S 获得最大值，此时y＝1 800＝ 45，x x所以当 x＝ 40， y＝ 45 时， S 获得最大值 .方法二设 S＝f(x)＝ 1 808－ 3x＋4 800(x>3) ，x则 f′ (x)＝4 8002 －3＝3 40－ x 2 40＋ xx x令 f′ (x)＝ 0，则 x＝ 40，当 0<x<40 时， f′ (x)>0 ；当 x>40 时， f′ (x)<0.所以当 x＝ 40 时， S 获得最大值，此时，y＝ 45.13.在△ ABC 中，角 A ，B ， C 的对边分别为 a ，b ，c ，若2a － c ＝ cos C，b ＝4，则△ ABC 面积bcos B的最大值为 ( ) A.4 3B.23答案 A2a － c cos C分析 ∵ b＝ cos B ，∴ (2a － c)cos B ＝ bcos C ，由正弦定理得 (2sin A －sin C)cos B ＝ sin Bcos C ，∴ 2sin Acos B ＝ sin Ccos B ＋ sin Bcos C ＝ sin(B ＋ C) ＝sin A.又 sin A ≠0， ∴ cos B ＝ 1. 2π ∵ 0<B<π， ∴ B ＝ 3. 由余弦定理得b 2＝16＝ a 2＋c 2－ 2accos＝ a 2＋ c 2－ ac ≥ 2ac － ac ＝ ac ，π3∴ ac ≤16，当且仅当 a ＝ c 时等号成立 .1 π 1× 16× 3＝4 3.∴ S △ABC ＝ acsin≤ 2 2 3 2故 △ABC 面积的最大值为 4 3.应选 A.2214.已知 P 为椭圆 x＋ y＝ 1 上一个动点， 过点 P 作圆 (x ＋ 1)2＋ y 2＝ 1 的两条切线， 切点分别是4 3→ →的取值范围为 ( )A ，B ，则 PA ·PB3，＋∞3， 56A. 2B. 2 956D.[ 2 2－3，＋∞) C. 2 2－3，9答案 C分析如图，由题意设∠APB＝ 2θ，则 |PA|＝ |PB |＝1，tan θ→→ →→∴ PA·PB＝|PA||PB|cos 2θ＝1 1＋ cos 2θ2·cos 2θ＝·cos 2θ，tan θ1－ cos 2θ设 cos 2θ＝ t，→ →＝t 1＋t ＝ (1－ t)＋2－ 3则 PA·PB 1－ t 1－ t≥21－ t ·2－3＝ 2 2－ 3，1－ t2当且仅当1－ t＝，即t＝1－2时等号成立，此时 cos 2θ＝ 1－2.1又当点 P 在椭圆的右极点时，sin θ＝，∴cos 2θ＝ 1－ 2sin2θ＝79，7→ →最大，且最大值为1＋9 7 56此时 PA·PB 7 × ＝9 .9 1－9→ →56∴ PA·PB的取值范围是 2 2－3，9 .应选 C.15.已知正三棱柱 ABC －A 1B 1C 1，侧面 BCC 1B 1 的面积为4 6，则该正三棱柱外接球表面积的最小值为 ( )A.24 πB.16 2πC.8 πD.4 π答案 B分析 设 BC ＝ a ，CC 1＝ b ，则 ab ＝ 4 6， 底面三角形外接圆的半径为 r ，则 a ＝ 2r ， ∴r ＝3sin 60 ° 3 a.所以 R 2＝ b 2＋ 3 a 2＝ b 2 a 22 3 ＋34 ≥ 2 b 2 a 2 96 ＝ 4 2，4 · ＝ 2123 当且仅当 a ＝3时，等号成立 .2 b所以该正三棱柱外接球表面积的最小值为4π× 4 2＝ 16 2π.16.已知曲线 C ： y 2＝ 2x ＋ a 在点 P n ( n ， 2n ＋ a)( a>0 ，n ∈ N)处的切线 l n 的斜率为 k n ，直线 l n交 x 轴、 y 轴分别于点 A n (x n,0)， B n (0，y n )，且 |x 0 |＝ |y 0|.给出以下结论：① a ＝ 1；2 3②当 n ∈ N ＋ 时， y n 的最小值为 3 ；③当 n ∈ N ＋ 时， k n > 2sin1 ；2n ＋ 1④当 n ∈ N ＋ 时，记数列 { k n } n nn ＋ 1－1).的前 n 项和为 S ，则 S< 2( 此中，正确的结论有 ________.( 写出全部正确结论的序号)答案①②④1分析令 y＝(2x＋ a) 2，－1－1所以 y′＝21(2 x＋ a) 2× 2＝(2x＋a) 2 ，1k n＝(2 n a) 2，1所以 l n： y－ 2n＋ a＝(2 n a) 2(x－n)，所以 x0＝－ a， y0＝ a，∴ a＝ a∴ a＝ 1，① 对；令 t＝2n＋ 1≥3，所以 y n＝ 2n＋1－n t2－1 1 1，＝ t－＝ t＋2n＋ 1 2t 2 2t所以 y n≥13＋1＝2 3，②对；2 23 31，令 f(x)＝x－ 2sin x x∈ 0，3所以 f′ (x)＝ 1－ 2cos x<0，所以 f(x)<f(0) ＝ 0，即 1 < 2sin 1 ，③ 错；2n＋ 12n＋ 1由于 k n＝1 2＝ 2( n＋ 1－ n)，<2n＋1 n＋ 1＋ n所以 S n＝k1＋k2＋＋ k n< 2( 2－ 1)＋ 2( 3－ 2)＋＋ 2( n＋1－ n)＝ 2( n＋ 1－ 1)，④对 .。
人教高中数学必修一B版《均值不等式及其应用》等式与不等式说课复习(均值不等式)
答案：14
1 2
栏目 导引
对均值不等式的理解 下列结论正确的是( ) A．若 x∈R，且 x≠0，则4x＋x≥4 B．当 x>0 时， x＋ 1x≥2 C．当 x≥2 时，x＋1x的最小值为 2 D．当 0<x≤2 时，x－1x无最大值
第二章 等式与不等式
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则 x＝±1，均不满足 x≥2；对于选项 D，x－1x在 0<x≤2 的范
围内单调递增，有最大值 2－12＝32. 【答案】 B
栏目 导引
第二章 等式与不等式
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应用均值不等式时的三个关注点
栏目 导引
第二章 等式与不等式
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－2 （2－x）2－4 x＋2＝－2， 当且仅当 2－x＝2－4 x，得 x＝0 或 x＝4(舍去)，
即 x＝0 时，等号成立．
故 y＝x＋x－4 2的最大值为－2.
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A．2
B．2 2
C．3
D．4
)
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高三数学高考第一轮复习课件：不等式
第六单元 │ 使用建议
使用建议
１．本单元内容理论性强，知识覆盖面广，因此教学中 应注意：
（１）复习不等式的性质时，要克服“想当然”和“显 然成立”的思维定式，一定使要用注建议意不等式成立的条件，强化 或者弱化了条件都有可能得出错误的结论．
第34讲 │ 编读互动 编读互动
第34讲 │ 知识要点 知识要点
第34讲 │ 知识要点
第34讲 │ 知识要点
第34讲 │ 双基固化 双基固化
第34讲 │ 双基固化
第34讲 │ 双基固化
第34讲 │ 双基固化
第34讲 │ 双基固化
第34讲 │ 双基固化
第34讲 │ 双基固化
第34讲 │ 双基固化
（１）理解不等式的性质及其证明． （２）掌握两个（不扩展到三个）正数的算术平均数不小于 它们的几何平均数的定理，并会简单的应用． （３）掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式． （４）掌握简单不等式的解法． （５）理解不等式｜ａ｜－｜ｂ｜≤｜ａ＋ｂ｜≤｜ａ｜＋｜ ｂ｜．
第六单元 │ 复习策略
复习策略
不等式
目录
第34讲 不等式的概念与性质 第35讲 均值不等式 第36讲 不等式的解法 第37讲 不等式的证明 第38讲 含绝对值的不等式
第六单元 不等式
第六单元 │ 知识框架 知识框架
第六单元 │ 考点解读 考点解读
不等式、不等式的基本性质、不等式的证明、不等式的 解法、含绝对值的不等式．
第六单元 │ 考点解读
第35讲 │ 双基固化
第35讲 │ 双基固化
第35讲 │ 双基固化
第35讲 │ 双基固化
人教B版高中数学必修第一册精品课件 第2章 等式与不等式 2.2.4 第2课时 均值不等式的应用
+ 2
,当且仅当 x=y 时,等号成立.
2
能说 x+y 的最小值为 2 吗?能说 xy 的最大值是
提示:不能.最大(小)值必为常数,而 2 ,
+ 2
随
2
+ 2
吗?
2
x,y 的变化而变化.
2.设a,b均为正数.
(1)若 a+b 为定值 S,则当 a=b 时,积 ab 取最大值
1 2
生产x(x>0)件,每件产品的平均仓储时间为
天,且每件产品每天的仓储费
8
用为1元.为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小,每批
应生产产品多少件?
8
800+ ··1
解:由题意,得平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和为
元,
又 x>0,
8
800+ ··1
则
=
800
当且仅当
1
1
(x+y)
3
=
9
,
+
9
即
+ = 3,
16
故所求最小值为 3 .
=
1
(10+
3
+
+
9
的最小值.
9 1
)≥3
3
9
x=4,y=4时,取等号.
10 + 2
9
·
=
16
.
3
1.应用均值不等式求最值,必须按照“一正、二定、三相等”的条件进行.若
人教高中数学必修一B版《均值不等式及其应用》等式与不等式说课教学课件复习(第2课时均值不等式的应用)
＝1a＋b1·(a＋2b)
＝1＋2ab＋ab＋2＝3＋2ab＋ab≥3＋2
2b a a ·b
＝3＋2 2，
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当且仅当2ab＝ab， a＋2b＝1，
a＝ 2－1，
即 b＝1－
2 2
时等号成立．
∴1a＋1b的最小值为3＋2 2.
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法二：1a＋1b＝a＋a2b＋a＋b2b＝1＋2ab＋ab＋2
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利用均值不等式求条件最值 【例2】 已知x＞0，y＞0，且满足8x＋1y＝1.求x＋2y的最小值． [解] ∵x＞0，y＞0，8x＋1y＝1， ∴x＋2y＝8x＋1y(x＋2y)＝10＋xy＋16x y ≥10＋2 xy·16xy＝18，
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当且仅当8x＋1y＝1， xy＝16xy，
(2)法一：∵0<x<13，∴1－3x>0. ∴y＝x(1－3x)＝13·3x(1－3x) ≤133x＋21－3x2＝112. 当且仅当3x＝1－3x，即x＝16时，等号成立． ∴当x＝16时，函数取得最大值112.
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法二：∵0<x<13，∴13－x>0. ∴y＝x(1－3x)＝3·x13－x≤3·x＋132－x2 ＝112，当且仅当x＝13－x，即x＝16时，等号成立． ∴当x＝16时，函数取得最大值112.
算能力.
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自
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主
预习
探新知
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课件
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2.2 均值定理课件-2023届广东省高职高考数学第一轮复习第二章不等式
知识点1 知识点2 知识点3
1．均值定理
如果 a，b∈R＋，则有 a＋b≥2 ab，当且仅当 a＝b 时，等号成立．
知识点1 知识点2 知识点3
2．利用均值定理求最值
如果 a，b∈R＋，且 ab 为定值，则当且仅当 a＝b 时，a＋b 有最小值 2 ab. 如果 a，b∈R＋，且 a＋b 为定值，则当且仅当 a＝b 时，ab 有最大值a＋2 b2.
【融会贯通】 已知 0＜x＜4，求 x(4－x)的最大值． 解：∵ 0＜x＜4，∴ x＞0，4－x＞0，x＋(4－x)＝4 根据均值定理：x＋(4－x)≥2 x（4－x）⇒2≥ x（4－x）⇒4≥x(4－x) 当且仅当 x＝4－x，即 x＝2 时取最大值 4.
例3 已知 x＞1，则 x＋x－4 1的最小值是(
时，函数 y＝5－x－4x有最大值，其值为 1.
12．求函数 y＝ xx2＋2＋21的最小值．
【解析】
根据均值定理：
x2＋2 x2＋1
＝
x2＋1＋1 x2＋1
＝
x2＋1 ＋
1 x2＋1
≥
2
x2＋1· x21＋1＝2，故当且仅当 x2＋1＝ x21＋1时，即 x＝0 时，函数
y＝ xx2＋2＋21的最小值为 2.
例2 已知 0＜x＜8，求 x(8－x)的最大值． 【分析】 在应用均值定理 a＋b≥2 ab求最值时，要把握不等式成立的三 个条件及结论，一正二定三相等． 【解】 因为 0＜x＜8，所以 x＞0，8－x＞0，x＋(8－x)＝8， 根据均值定理：x＋(8－x)≥2 x（8－x）⇒8≥2 x（8－x）⇒16≥x(8－x)， 当且仅当 x＝8－x，得 x＝4，故 x＝4 时取最大值 16.
人教B版高中数学必修第一册 2-2-4《均值不等式及其应用》课件PPT
2 +2
值.
另外,在连续使用公式求最值时,取等号的条件很严格,要求同时满足
任何一次等号成立的字母取值存在且一致.
微思考
应用两个重要结论时,要注意哪些事项?
提示:应用时要注意三点:(1)各项或各因式均为正;(2)和或积为定值;(3)各项或各因式能取
得相等的值.即“一正二定三相等”.
即时训练
.
已知x,y>0,且x+4y=1,则xy的最大值为
1
1
1
1
解析:因为 x,y>0,且 x+4y=1,所以 xy=4x·
4y≤4 × 4(x+4y)2=16,当且仅
1
1
1
1
2
2
8
16
当 x=4y= ,即 x= ,y= 时,等号成立.所以 xy 的最大值为 .
1
答案:16
1.对均值不等式的理解
例1 (1)若a,b∈R,且ab>0,则下列不等式中,恒成立的是(
答案:B
2.已知a,b∈R,且a2+b2=4,则ab(
)
A.有最大值2,有最小值-2 B.有最大值2,但无最小值
C.有最小值2,但无最大值 D.有最大值2,有最小值0
解析:这里没有限制a,b的正负,则由a2+b2=4,a2+b2≥2|ab|,得|ab|≤2,所以-2≤ab≤2,可知ab
的最大值为2,最小值为-2.
即
,
反思感悟 通过拼凑法利用均值不等式求最值的策略
拼凑法的实质在于代数式的灵活变形,拼系数、凑常数是关键,利用拼凑法求解最值应注意
以下几个方面的问题:
(1)拼凑的技巧,以整式为基础,注意利用系数的变化以及等式中常数的调整,做到等价变形.
人教版高中数学课件3.2.1均值不等式(用)
b a
1 2 2
2 2 2
即此时 zmin 3 2 2
练习题：
1.若x>0,当x=
时,函数
y
x
3 x
的最小值是
2.若x>0,当x=
时,函数 y 4 9x 有最 值
3.若x>4,函数
y
x
1 4
x
x 当x=
时,函数有最
. .
值是 .
4.已知 0 x 1,则 3x(1 x) 的最大值为 ,此时x=
a2
3 求函数y sin 4 其中 （0， ]
sin
2
的最小值。
例5.已知正数a、b满足a+2b=1，求 1 1 的最小值 ab
解：
11 ab
a 2b a 2b
a
b
3 2b a ab
3 2
2
“1”代换法
当且仅当 2b a 即: a 2b 时取“=”号 ab
而 a 2b a 2b 1
.
5.若 0 x 5 ,当x =
时, y = x(5 – 2x)有最大值
.
6.若x>0,则
2
y
x x2 2
最大值为
.
（2） x+y=18 且 x>0，y>0， xy ≤ x y
2
xy ≤9
得xy≤81,
当且仅当x=y时，取“=”，此时x=y=9
三、最值定理：
x y ≥ xy
2
已知x，y是正数
（1）若xy=p（定值），则x+y有最小 值是2 p
x y 2 xy
（2）若x+y=s（定值），则xy有最 大 值是 s2
证明：因为ab>0，所以 b 0, a 0
人教B版高中数学必修第一册第2章2-2-4第2课时均值不等式的应用课件
[解] 设每间虎笼长 x m，宽 y m， 则由条件知，4x＋6y＝36，即 2x＋3y＝18. 设每间虎笼面积为 S，则 S＝xy.
法一：由于 2x＋3y≥2 2x·3y＝2 6xy，
所以 2 6xy≤18，得 xy≤227，
即 Smax＝227，当且仅当 2x＝3y 时，等号成立．
2x＋3y＝18，
第二章 等式与不等式
2.2 不等式 2.2.4 均值不等式及其应用 第2课时 均值不等式的应用
1.熟练掌握利用均值不等式求函数 1.通过均值不等式求最值，提升数
的最值问题．(重点)
学运算素养.
2.会用均值不等式求解实际应用 2.借助均值不等式在实际问题中的
题．(难点)
应用，培养数学建模素养.
01
[母题探究] (1)[变条件，变结论]若把本例(1)改为：已知 x＜54，试求 4x－2 ＋4x－1 5的最大值．
[解] 因为 x＜54，所以 4x－5＜0,5－4x＞0. 所以 4x－5＋3＋4x－1 5＝－5－4x＋5－14x＋3≤－2 5－4x·5－14x＋3＝1. 当且仅当 5－4x＝5－14x时等号成立，又 5－4x＞0，所以 5－4x＝1，即 x＝1 时，4x－2＋4x－1 5的最大值是 1.
1.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)两个正数的积为定值，一定存在两数相等时，它们的和有最
小值．
()
(2)若 a>0，b>0 且 a＋b＝4，则 ab≤4.
()
(3)当 x>1 时，函数 y＝x＋x－1 1≥2 x－x 1，所以函数 y 的最小
值是 2 x－x 1.
()
[答案] (1)√ (2)√ (3)×
x＝4.5，
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最小值是________．
x＋3z y2 解析： 由 x－2y＋3z＝0， 得 y＝ ， 将其代入 ， 2 xz x2＋9z2＋6xz 6xz＋6xz 得 ≥ 4xz ＝3 ，当且仅当 x＝3z 时取 4xz “＝”．
答案：3
5．已知 x>0，y>0，z>0. y z x z x y 求证：(x＋x)(y＋y)(z ＋z )≥8.
(1)解法一：∵a>0，b>0,4a＋b＝1， ∴1＝4a＋b≥2 4ab＝4 ab， 1 1 1 当且仅当 4a＝b＝ ，即 a＝ ，b＝ 时，等号成立． 2 8 2 1 1 1 ∴ ab≤ ，∴ab≤ .所以 ab 的最大值为 . 4 16 16
解法二：∵a>0，b>0,4a＋b＝1， 1 1 4a＋b 2 1 ∴ab＝44a· b≤4( 2 ) ＝16， 1 1 1 当且仅当 4a＝b＝2， 即 a＝8， b＝2时， 等号成立． 1 所以 ab 的最大值为 . 16
考 1.了解基本不等式的证明过程． 纲 2．会用基本不等式解决简单的最大( 要 小 ) 值问题． 求 1.基本不等式是高考热点之一，主要 考查基本不等式的应用(如考查大小 热 判断、求最值、求取值范围等)和不 点 等式的证明(与函数、数列、三角等 提 知识综合在一起的不等式证明等)． 示 2．不等式的应用通常以选择或填空题 形式出现，难度为中低档.
如果(3)中若 x＋y＝2，则如何用“1”的代换？显 x＋y 4 9 x＋y 4 9 然 2 ＝1，故 x＋ y＝ 2 · (x＋ y).
变式迁移 3 (1)设 0<x<2，求函数 y＝ 3x8－3x 的最大值； 8 2 (2)已知 x>0，y>0，且 x＋y＝1，求 ＋ 的最小值． x y
1 1 1 a＋b＋c a＋b＋c a＋b＋c 证明：a＋b＋c＝ a ＋ b ＋ c b a c a c b ＝3＋( ＋ )＋( ＋ )＋( ＋ ) a b a c b c 1 ≥3＋2＋2＋2＝9.当且仅当 a＝b＝c＝3时取等号．
【例 3】 解下列问题： (1)已知 a>0，b>0，且 4a＋b＝1，求 ab 的最大值； 4 (2)已知 x>2，求 x＋ 的最小值； x－2 4 9 (3)已知 x>0，y>0，且 x＋y＝1，求 ＋ 的最小值． x y
• (1)求该养殖厂每多少天购买一次饲料才 能使平均每天支付的总费用最小； • (2)若提供饲料的公司规定，当一次购买 饲料不少于5吨时其价格可享受八五折优 惠(即原价的85%)．问该养殖厂是否考虑 利用此优惠条件，请说明理由． • 解：(1)设该养殖厂每x(x∈N*)天购买一次 饲料，平均每天支付的总费用为y1. • ∵饲料的保管与其他费用每天比前一天少 200×0.03＝6(元)，∴x天饲料的保管与 其他费用共是
解析：∵x＋3y－2＝0，∴x＋3y＝2. 又 3x＋27y＋1＝3x＋33y＋1≥2 3x· 33y＋1 ＝2 3x
＋3y
＋1＝2 32＋1＝7.
当且仅当 3x＝33y， 1 即 x＝3y＝1，x＝1，y＝ 时取等号． 3
答案：A
2 y 4．(2008· 江苏)x，y，z∈R＋，x－2y＋3z＝0， 的 xz
• 变式迁移 4 西北西康羊皮手套公司准备 投入适当的广告费，对生产的羊皮手套进 行促销．在1年内，据测算年销售量S(万 双)与广告费x(万元)之间的函数关系为S＝ 3－(x>0)，已知羊皮手套的固定投入为3 万元，每生产1万双羊皮手套仍需再投入 16万元．(年销售收入＝年生产成本的 150%＋年广告费的50%)
• (1)试将羊皮手套的年利润L(万元)表示为 年广告费x(万元)的函数； • (2)当年广告费投入为多少万元时，此公 司的年利润最大，最大利润为多少？(年 利润＝年销售收入－年广告费)
解： (1) 由题意知，羊皮手套的年成本为 (16S＋ 3) 万元，年销售收入为(16S＋3)×150%＋x· 50%，年利润 1 L ＝ (16S ＋ 3)×150% ＋ x· 50% － (16S ＋ 3) － x ，即 L ＝ 2 －x2＋51x－16 (16S＋3－x)，得 L＝ (x>0)． 2x
解：(1)∵0<x<2，∴0<3x<6,8－3x>2>0， 3x＋8－3x 8 ∴y＝ 3x8－3x≤ ＝2＝4， 2 4 当且仅当 3x＝8－3x，即 x＝ 时，取等号． 3 4 ∴当 x＝ ，y＝ 3x8－3x的最大值是 4. 3
(2)∵x>0，y>0，且 x＋y＝1， 8 2 8 2 8y 2x ∴ ＋ ＝( ＋ )(x＋y)＝10＋ ＋ x y x y x y ≥10＋2 8y 2x x· y ＝18.
(2)∵x>2，∴x－2>0， 4 4 ∴x＋ ＝x－2＋ ＋2 x－2 x－2 ≥2 4 x－2· ＋2＝6， x－2
4 当且仅当 x－2＝ ，即 x＝4 时，等号成立． x－2 4 所以 x＋ 的最小值为 6. x－2
(3)∵x>0，y>0，x＋y＝1， 4 9 4 9 4y 9x ∴x＋y＝(x＋y)( x＋y)＝13＋ x ＋ y ≥13＋2 4y 9x x· y ＝25，
2
309(x≥25)． 300 ∵y2′＝－ x2 ＋3.
• ∴当x≥25时，y2′>0，即函数y2在[25，＋ ∞)上是增函数．∴当x＝25时，y2取得最 小值为396，而396<423. • ∴该养殖厂应接受此优惠条件．
• 近几年高考中，多次出现应用基本不等式 求最值的应用题，基本不等式通常是作为 求最值的工具在解题过程中出现的．应用 基本不等式解决实际问题的步骤是：①仔 细阅读题目，透彻理解题意；②分析实际 问题中的数量关系，引入未知数，并用它 表示其他的变量，把要求最值的变量设为 函数；③应用基本不等式求出函数的最值； ④还原实际问题，作出解答.
2
1 2 从而有 y1＝x(3x ＋3x＋300)＋200×1.8 300 ＝ ＋3x＋363≥423. x 300 当且仅当 x ＝3x，即 x＝10 时，y1 有最小值． 即每 10 天购买一次饲料才能使平均每天支付的总 费用最小．
(2)若该养殖厂利用此优惠条件，则至少每 25 天购 买一次饲料， 设该养殖厂利用此优惠条件， 每 x 天(x≥25) 1 购买一次饲料，平均每天支付的总费用为 y2，则 y2＝ x 300 (3x ＋ 3x ＋ 300) ＋ 200×1.8×0.85 ＝ ＋ 3x ＋ x
∵ a ＋ b > a － b ⇒ ( a ＋ b )| a － b |≥( a － b)| a－ b|⇒ |a－b|≥ a－ b，知 D 项正确．
2 a ＋ b a ＋ b a2 ＋ b2 ＋ 2≥2×( )2 ＋ 2 ＝ ＋ 2≥2 2 2
a＋b2 2× 2 ＝2(a＋b)， 故 C 项正确，可知 B 项错误．
证明：∵x>0，y>0，z>0， y z 2 yz x z 2 xz ∴x＋x≥ x >0，y＋y≥ y >0. x y 2 xy z ＋z ≥ z >0， y z x z x y ∴(x＋x)(y＋y)(z ＋z ) 8 yz· xz· xy ≥ ＝8. xyz 当且仅当 x＝y＝z 时等号成立．
解析：据题意知 1 3 2b 3a a＋2b＝(a＋2b)(a＋b)＝7＋ a ＋ b ≥7＋2 2b 3a a· b
2b 3 a ＝7＋2 6(当且仅当 ＝ ，即 2b2＝3a2 时取等号)． a b
答案A
3．x＋3y－2＝0，则 3x＋27y＋1 的最小值为 ( A．7 C．1＋2 2 B．3 9 D．5 3 )
x＋y＝1， 4y 9x 当且仅当 x ＝ y 时等号成立，由4y 9x ＝ ， x y 2 x＝5， y＝3， 5 2 3 ∴当 x＝5，y＝5时取等号． 4 9 所以 ＋ 的最小值为 25. x y
得
• (1)求最值时，要注意“一正，二定，三 相等”，一定要明确什么时候等号成立． • (2)学好基本不等式，灵活应用是关键， 添常数、配系数，“1”的代换别忘了，一 正、二定、三相等，格式规范要切记，千 变万化不等式，透过现象看本质．在本例 (1)中解法二采用了配系数，(2)中采用了 添常数，(3)中利用了“1”的代换．
【例 1】
设 a、b 是正实数，以下不等式：① ab
2ab 2 2 2 2 > ；②a>|a－b|－b；③a ＋b >4ab－3b ；④ab＋ab>2 a＋b 恒成立的序号为 ( A．①③ C．②③ B．①④ D．②④ )
2ab 解析：∵a＋b≥2 ab，∴ ab≥ ，∴①不恒成 a＋b 立．∵a、b 是正实数，∴a＋b>|a－b|，即 a>|a－b|－b， ∴②恒成立．∵a2＋4b2≥4ab，∴a2＋b2≥4ab－3b2， 2 ∴③不恒成立．∵ab＋ ≥2 ab 恒成立．故选 D.
答案：D
2 ab· ＝2 2>2，∴④ ab
变式迁移 1 设 a>0，b>0，则以下不等式中不恒 ．． 成立 的是 ．． ( 1 1 A．(a＋b)(a＋b)≥4 B．a3＋b3≥2ab2 C．a2＋b2＋2≥2a＋2b D. |a－b|≥ a－ b )
1 1 b a 解法一：(a＋b)( ＋ )＝2＋ ＋ ≥2＋ a b a b 2 ba a· b＝4，∴A 项正确．
8y 2x 当且仅当 x ＝ y ，即 x＝2y 时等号成立， 2 1 8 2 ∴当 x＝3，y＝3时，x＋y有最小值 18.
• 【例4】 某养殖厂需定期购买饲料，已 知该厂每天需要饲料200公斤，每公斤饲 料的价格为1.8元，饲料的保管与其他费 用为平均每公斤每天0.03元，购买饲料每 次支付运费300元．假设养殖厂每次均在 用完饲料的当天购买．
1 1 解法二：取 a＝ ，b＝ ，则 a3＋b3<2ab2.故选 B 3 2 项．