江苏省启东中学2018_2019学年高二数学暑假作业第17天不等式解法及基本不等式理(含解析)苏教版

第17天 不等式解法及基本不等式1. 不等式2x 2－2x ＜4的解集为______________． 2. 不等式x －12x ＋1≤0的解集是______________．3. 某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是________．4. 设函数y ＝e x＋1ex －a 的值域为A ，若A ⊆[0，＋∞)，则实数a 的取值范围是________．5. 若关于x 的不等式x 2＋(a ＋1)x ＋ab ＞0的解集是{x|x ＜－1或x ＞4}，则a ＋b ＝________．6. 已知函数f(x)＝x 2－kx ＋4，对任意x∈[1，3]，不等式f (x)≥0恒成立，则实数k 的最大值为________．7. 若实数x ，y 满足xy>0，则x x ＋y ＋2y x ＋2y的最大值为________．8. 已知对于任意的x∈(－∞，1)∪(5，＋∞)，都有x 2－2(a －2)x ＋a ＞0，则实数a 的取值范围是________．9. 若实数x ，y 满足xy ＋3x ＝3⎝⎛⎭⎪⎫0＜x ＜12，则3x ＋1y －3的最小值为________． 10. 已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2－|x ＋1|， x≤1，（x －1）2， x ＞1，函数g(x)＝f(x)＋f(－x)，则不等式g(x)≤2的解集为________．11. 解关于x 的不等式ax 2－(2a ＋1)x ＋2＜0(a∈R )．12. 已知函数f(x)＝x 2－2ax －1＋a ，a∈R . (1) 若a ＝2，试求函数y ＝f （x ）x(x >0)的最小值； (2) 对于任意的x ∈[0，2]，不等式f (x )≤a 成立，试求实数a 的取值范围．13. 设二次函数f(x)＝ax 2＋bx ＋c ，函数F(x)＝f(x)－x 的两个零点为m ，n(m ＜n)． (1) 若m ＝－1，n ＝2，求不等式F(x)＞0的解集； (2) 若a ＞0，且0＜x ＜m ＜n ＜1a ，比较f(x)与m 的大小．14. 一位创业青年租用了如图所示的一块边长为1百米的正方形田地ABCD 来养蜂、产蜜与售蜜．他在正方形的边BC ，CD 上分别取点E ，F(不与正方形的顶点重合)，连结AE ，EF ，FA ，使得∠EAF＝45°.现拟将图中阴影部分规划为蜂源植物生长区，△AEF 部分规划为蜂巢区，△CEF 部分规划为蜂蜜交易区．若蜂源植物生长区的投入约为2×105元/百米2，蜂巢区与蜂蜜交易区的投入约为105元/百米2，则这三个区域的总投入最少需要多少元？第17天 不等式解法及基本不等式1. {x|－1<x<2} 解析：因为2x 2－2x<4＝22，所以x 2－x<2，即x 2－x －2<0，解得－1<x<2.2. ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－12＜x≤1 解析：原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧（x －1）（2x ＋1）≤0，2x ＋1≠0，解得－12＜x≤1.3. 30 解析：总费用为4x ＋600x ×6＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋900x ≥4×2900＝240，当且仅当x ＝900x ，即x ＝30时等号成立．4. (－∞，2] 解析：由于e x＋1ex －a≥2－a ，则A ＝[2－a ，＋∞)⊆[0，＋∞)，则2－a≥0，解得a≤2.5. －3 解析：由题意得a ＋1＝－3，ab ＝－4，解得a ＝－4，b ＝1，a ＋b ＝－3.6. 4 解析：∀x ∈[1，3]，x 2－kx ＋4≥0恒成立，则k≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4x min .因为x∈[1，3]，所以x ＋4x≥2x ·4x＝4，当且仅当x ＝2时取等号，则k≤4. 7. 4－2 2 解析：由题意得x x ＋y ＋2y x ＋2y ＝x （x ＋2y ）＋2y （x ＋y ）（x ＋y ）（x ＋2y ）＝x 2＋4xy ＋2y2x 2＋3xy ＋2y 2＝1＋xy x 2＋3xy ＋2y 2＝1＋1x y ＋3＋2y x≤1＋13＋22＝4－22，当且仅当x y ＝2y x ，即x 2＝2y 2时取等号．8. (1，5] 解析：令f(x)＝x 2－2(a －2)x ＋a ，则当Δ＝4(a －2)2－4a ＜0，即1＜a ＜4时，f(x)＞0在R 上恒成立，符合题意；当Δ≥0，即a ≤1或a ≥4时，函数f (x )的两个零点都在[1，5]上，则⎩⎪⎨⎪⎧a ≤1或a ≥4，1≤a －2≤5，f （1）＝1－2（a －2）＋a ≥0，f （5）＝25－10（a －2）＋a ≥0，解得4≤a ≤5，综上，实数a的取值范围是(1，5]．9. 8 解析：因为实数x ，y 满足xy ＋3x ＝3(0＜x ＜12)，所以y ＝3x －3(y ＞3)，所以3x ＋1y －3＝y ＋3＋1y －3＝y －3＋1y －3＋6≥2（y －3）·1y －3＋6＝8，当且仅当y －3＝1y －3，即y ＝4时取等号，此时x ＝37，所以3x ＋1y －3的最小值为8.10. [－2，2]解析：f(－x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2－|x －1|，x≥－1，（x ＋1）2， x ＜－1，则g(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧（x －1）2＋2－|x －1|， x ＞1，2－|x ＋1|＋2－|x －1|， －1≤x≤1，2－|x ＋1|＋（x ＋1）2， x ＜－1＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－3x ＋4，x ＞1，2， －1≤x≤1，x 2＋3x ＋4， x ＜－1，则g(x)≤2等价于⎩⎪⎨⎪⎧x ＞1，x 2－3x ＋4≤2或⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x≤1，2≤2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＜－1，x 2＋3x ＋4≤2，解得 1＜x≤2或－1≤x≤1或－2≤x＜－1，则不等式g(x)≤2的解集为[－2，2]．11. 解析：原不等式可化为(ax －1)(x －2)＜0.①当a>0时，原不等式可以化为a(x －2)(x －1a )<0，根据不等式的性质，这个不等式等价于(x －2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a <0.因为方程(x －2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a ＝0的两个根分别是2，1a ， 所以当0<a<12时，2<1a ，则原不等式的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪2<x<1a ；当a ＝12时，原不等式的解集是∅；当a>12时，1a <2，则原不等式的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪1a <x<2.②当a ＝0时，原不等式为－(x －2)<0，解得x>2， 即原不等式的解集是{x|x>2}．③当a<0时，原不等式可以化为a(x －2)(x －1a )<0，根据不等式的性质，这个不等式等价于(x －2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a >0，由于1a <2， 故原不等式的解集是{x ⎪⎪⎪x<1a或x>2}．综上所述，当a<0时，不等式的解集是{x ⎪⎪⎪x<1a或x>2}；当a ＝0时，不等式的解集为{x|x>2}；当0<a<12时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪2<x<1a ；当a ＝12时，不等式的解集为∅；当a>12时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪1a <x<2.12. 解析：(1) 依题意得y ＝f （x ）x ＝x 2－4x ＋1x ＝x ＋1x －4.因为x>0，所以x ＋1x ≥2，当且仅当x ＝1x，即x ＝1时，等号成立，所以y≥－2，所以当x ＝1时，y ＝f （x ）x 的最小值为－2.(2) 由题意得x 2－2ax －1≤0在[0，2]上恒成立． 设g(x)＝x 2－2ax －1，则只要g(x)≤0在[0，2]上恒成立即可，所以⎩⎪⎨⎪⎧g （0）≤0，g （2）≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧0－0－1≤0，4－4a －1≤0，解得a≥34，则实数a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞.13. 解析：(1)由题意知，F(x)＝f(x)－x ＝a(x －m)(x －n)．当m ＝－1，n ＝2时，不等式F(x)＞0，即a(x ＋1)(x －2)＞0.当a ＞0时，不等式F(x)＞0的解集为{x|x ＜－1，或x ＞2}；当a ＜0时，不等式F(x)＞0 的解集为{x|－1＜x ＜2}．(2) f(x)－m ＝a(x －m)(x －n)＋x －m ＝(x －m)·(ax－an ＋1)，因为a ＞0，且0＜x ＜m ＜n ＜1a ，所以x －m ＜0，1－an ＋ax ＞0，所以f(x)－m ＜0，即f(x)＜m.14. 解析：设阴影部分面积为S ，三个区域的总投入为T ，则T ＝2×105×S＋105× (1－S)＝105×(S＋1)，所以只要求S 的最小值即可得T 的最小值．设∠EAB＝α(0°<α<45°)，在△ABE 中，因为AB ＝1，∠B＝90°，所以BE ＝tan α， 则S △ABE ＝12AB·BE＝12tan α.又∠DAF＝45°－α，所以S △ADF ＝12tan (45°－α)，所以S ＝12[tan α＋tan (45°－α)]＝12(tan α＋1－tan α1＋tan α)．令x ＝tan α∈(0，1)，则S ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1－x 1＋x ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫x －x －1x ＋1＝12(x ＋2x ＋1－1)＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤（x ＋1）＋2x ＋1－2≥12(22－2)＝2－1，当且仅当x ＋1＝2x ＋1，即x ＝2－1时取等号，此时T ＝2×105，所以三个区域的总投入T 的最小值为2×105元．。