北京丰台区高三二模理科数学试题
北京市丰台区2022届高三高考二模数学试题(含详解)
所以d的最大值为 ，
故答案为： ，6
15.如图，某荷塘里浮萍的面积y（单位： ）与时间t（单位：月）满足关系式： （a为常数），记 （ ）．给出下列四个结论：
①设 ，则数列 是等比数列；
②存在唯一的实数 ，使得 成立，其中 是 的导函数；
③常数 ；
④记浮萍蔓延到 ， ， 所经过的时间分别为 ， ， ，则 ．
又 ，
所以 .
故选：A
8.设等差数列 的前n项和为 ．若 ，则下列结论中正确的是（）
A. B.
C. D.
【8题答案】
【答案】D
【解析】
【分析】根据 ，可得 ， ，从而可判断AB，举出反例即可判断C，根据等差数列的性质结合基本不等式即可判断D.
【详解】解：因为 ，
所以 ，故A错误；
，所以 ，
则公差 ，故B错误；
【13题答案】
【答案】
【解析】
【分析】利用正弦定理结合二倍角的正弦公式即可得解.
【详解】解：在 中，
由正弦定理可得 ，
即 ，即 ，
所以 .
故答案为： .
14.在平面直角坐标系中，已知点 ，动点N满足 ，记d为点N到直线l： 的距离．当m变化时，直线l所过定点的坐标为______；d的最大值为______．
北京市丰台区2021-2022学年度第二学期综合练习（二）
高三数学2022．04
第一部分（选择题共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1.在复平面内，复数 对应的点的坐标是 ，则复数 （）
A. B. C. D.
2.“ ”是“ ”的（）
丰台区高三二模统一练习数学试卷（理科）
丰台区高三二模统一练习数学试卷（理科）2005.5本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。
第I 卷1至2页，第II 卷3至9页。
共150分。
考试时间120分钟。
第I 卷（选择题 共40分）注意事项：1. 答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。
2. 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上。
3. 考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回。
参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么P A B P A P B ()()()+=+ 如果事件A 、B 相互独立，那么P A B P A P B ()()()··= 如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率P k C p p n n kk n k()()=--1球的表面积公式S R =42π 球的体积公式V R =433π 其中R 表示球的半径一. 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 如果函数f x x x ()sin()cos()=ωω的最小正周期为4π，那么常数ω为（ ）A.14B.12C. 2D. 42. 已知集合{}{}M a b c P x y z ==，，，，，，则从M 到P 的映射共有（ ）A. 3个B. 6个C. 9个D.27个3. 当a ≠0时，函数y ax b =+和y b ax=的图象只可能是（ ）4. 曲线x y ==⎧⎨⎩cos sin θθ（θ为参数）上的点到两坐标轴的距离之和的最大值是（ ）A. 12B. 22C. 1D.25. 三个数607607607...log ，，的大小顺序是（ ）A. log (076)076076<<B. 07660707.log ..6<<C. log (0707)66607<<D. 076660707.log ..<<6. 同室4人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿1张别人送出的贺年卡，则4张贺年卡不同的分配方式有（ ） A. 23种 B. 11种 C. 9种D. 6种7. 若向量||||a b →=→=32，，且a b →→与的夹角为30°，则||a b →+→等于（ ）A. 23B. 13C. 5D. 38. 直线y x =+3与曲线y x x 2941-=||的公共点的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3D. 4第II 卷（非选择题 共110分）注意事项：1. 第II 卷共7页，用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中。
北京市丰台区高三数学第二次模拟考试 理(丰台二模)
北京市丰台区2012年高三二模 2012.5数学（理科）第一部分 （选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．复数1i2i-+的虚部是 (A) i -(B) 3i 5-(C) –1(D) 35-2．一个正四棱锥的所有棱长均为2，其俯视图如右图所示，则该正四棱锥的正 视图的面积为(C) 2 (D) 43．由曲线1y x =与y =x ，x =4以及x 轴所围成的封闭图形的面积是 (A) 3132 (B) 2316(C) 1ln 42+ (D) ln 41+4．执行如图所示的程序框图，若输出的结果为63，则判断框中应填 (A) 7n ≤ (B) 7n > (C) 6n ≤ (D) 6n >5．盒子中装有形状、大小完全相同的3个红球和2个白球，从中随机 取出一个记下颜色后放回，当红球取到2次时停止取球．那么取球次数恰为3次的概率是(A) 18125 (B)36125 (C) 44125(D) 811256．在△ABC 中，∠BAC =90º，D 是BC 中点，AB =4，AC =3，则AD BC ⋅(A) 7- (B) 72-(C)72(D) 77．已知函数sin (0)y ax b a =+>的图象如图所示，则函数log ()a y x b =+的图象可能是俯视图(A)(B)(C)(D)8．已知平面上四个点1(0,0)A，2A，34,2)A ，4(4,0)A ．设D 是四边形1234A A A A 及其内部的点构成的点的集合，点0P 是四边形对角线的交点，若集合0{|||||,1,2,3,4}i S P D PP PA i =∈≤=，则集合S 所表示的平面区域的面积为 (A) 2(B) 4(C) 8(D) 16第二部分 （非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．在极坐标系中，圆2sin ρθ=的圆心的极坐标是____．10．已知椭圆22221(7x y m m m +=>-上一点M 到两个焦点的距离分别是5和3，则该椭圆的离心率为______．11．如图所示，AB 是圆的直径，点C 在圆上，过点B ，C 的切线交于点P ，AP 交圆于D ，若AB =2，AC =1，则PC =______，PD =______． 12．某地区恩格尔系数(%)y 与年份x 的统计数据如下表：PBA从散点图可以看出y 与x 线性相关，且可得回归方程为ˆˆ4055.25ybx =+，据此模型可预测2012年该地区的恩格尔系数(%)为______．13．从5名学生中任选4名分别参加数学、物理、化学、生物四科竞赛，且每科竞赛只有1人参加，若甲不参加生物竞赛，则不同的选择方案共有 种． 14. 在平面直角坐标系中，若点A ，B 同时满足：①点A ，B 都在函数()y f x =图象上；②点A ，B 关于原点对称，则称点对(A ,B )是函数()y f x =的一个“姐妹点对”（规定点对(A ,B )与点对(B ,A )是同一个“姐妹点对”）．那么函数24,0,()2,0,x x f x x x x -≥⎧=⎨-<⎩的“姐妹点对”的个数为_______；当函数()x g x a x a =--有“姐妹点对”时，a 的取值范围是______．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15.（本小题共13分）已知函数()cos sin )f x x x x =-． （Ⅰ）求()3f π的值；（Ⅱ）求函数()y f x =在区间[0,]2π上的最小值，并求使()y f x =取得最小值时的x 的值．16.（本小题共13分）某商场举办促销抽奖活动，奖券上印有数字100，80，60，0．凡顾客当天在该商场消费每．超过1000元，即可随机从抽奖箱里摸取奖券一张，商场即赠送与奖券上所标数字等额的现金（单位：元）E ξ=22．（Ⅰ）求a ，b 的值；（Ⅱ）若某顾客当天在商场消费2500元，求该顾客获得奖金数不少于160元的概率．17.（本小题共14分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD 为矩形，平面ABEF ⊥平面ABCD ， EF // AB ，∠BAF =90º， AD = 2，AB =AF =2EF =1，点P 在棱DF 上．（Ⅰ）若P 是DF 的中点，(ⅰ) 求证：BF // 平面ACP ；(ⅱ) 求异面直线BE 与CP 所成角的余弦值；（Ⅱ）若二面角D -AP -CPF 的长度． PFEDCAB18.（本小题共13分）已知数列{a n }满足14a =，131n n n a a p +=+⋅+(n *∈N ，p 为常数)，1a ，26a +，3a 成等差数列．（Ⅰ）求p 的值及数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）设数列{b n }满足2n n n b a n=-，证明：49n b ≤．19.（本小题共14分）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C 的焦点在y 轴上，且抛物线上的点P (x 0，4)到焦点F 的距离为5．斜率为2的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点．（Ⅰ）求抛物线C 的标准方程，及抛物线在P 点处的切线方程；（Ⅱ）若AB 的垂直平分线分别交y 轴和抛物线于M ，N 两点（M ，N 位于直线l 两侧），当四边形AMBN 为菱形时，求直线l 的方程．20.（本小题共13分）设函数()ln ()ln()f x x x a x a x =+--(0)a >． （Ⅰ）当1a =时，求函数()f x 的最小值；（Ⅱ）证明：对∀x 1，x 2∈R +，都有[]11221212ln ln ()ln()ln 2x x x x x x x x +≥++-；（Ⅲ）若211nii x==∑，证明：21ln ln 2nn i i i x x =≥-∑ *(,)i n ∈N ．（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）北京市丰台区2012年高三二模 数 学（理科）参考答案二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．(1,)2π10．4 11712．31.25 13． 96 14．1，1a >注：第11题第一个空答对得2分，第二个空答对得3分；第14题第一个空答对得3分，第二个空答对得2分．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15.解：因为()cos sin )f x x x x =-2sin cos x x x -=1cos 21)sin 222x x +--12sin 22x x -＝cos(2)62x π+-（Ⅰ）()cos(2)3362f πππ=⨯+-ADEF P=22--= ……………………7分（Ⅱ）因为 [0,]2x π∈，所以2666x ππ7π≤+≤． 当 26x π+=π，即512x π=时，函数()y f x =有最小值是12--． 当512x π=时，函数()y f x =有最小值是12--． ……………………13分16．解：（Ⅰ）依题意，1000.05806000.722E a b ξ=⨯+++⨯=，所以 806017a b +=．因为 0.050.71a b +++=，所以0.25a b +=． 由806017,0.25,a b a b +=⎧⎨+=⎩ 可得00.15.a b =⎧⎨=⎩ ……………………7分（Ⅱ）依题意，该顾客在商场消费2500元，可以可以抽奖2次．奖金数不少于160元的抽法只能是100元和100元； 100元和80元； 100元和60元；80元和80元四种情况． 设“该顾客获得奖金数不少于160元”为事件A ，则()0.050.0520.050.120.050.150.10.10.0375P A =⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯=．答：该顾客获得奖金数不少于160元的概率为0.0375． ……………………13分17．（Ⅰ）(ⅰ)证明：连接BD ，交AC 于点O ，连接OP ．因为P 是DF 中点，O 为矩形ABCD 对角线的交点， 所以OP 为三角形BDF 中位线，所以BF // OP ，因为BF ⊄平面ACP ，OP ⊂平面ACP ，所以BF // 平面ACP ． ……………………4分 (ⅱ)因为∠BAF =90º，所以AF ⊥AB ，因为 平面ABEF ⊥平面ABCD ， 且平面ABEF ∩平面ABCD = AB ，所以AF ⊥平面ABCD ， 因为四边形ABCD 为矩形，所以以A 为坐标原点，AB ，AD ，AF 分别为x ，y ，z 轴，建立如图所示空间直角坐标系O xyz -．所以 (1,0,0)B ，1(,0,1)2E ，1(0,1,)2P ，(1,C 所以 1(,0,1)2BE =- ，1(1,1,)2CP =-- ，所以cos ,15||||BE CP BE CP BE CP ⋅<>==⋅，即异面直线BE 与CP 所成角的余弦值为……………………9分（Ⅱ）解：因为AB ⊥平面ADF ，所以平面APF 的法向量为1(1,0,0)n =．设P 点坐标为(0,22,)t t -，在平面APC 中，(0,22,)AP t t =- ，(1,2,0)AC =，所以 平面APC 的法向量为222(2,1,)t n t-=- ， 所以121212||cos ,||||n n n n n n ⋅<>===⋅解得23t =，或2t =（舍）． 此时||PF =……………………14分18．解：（Ⅰ）因为14a =，131nn n a a p +=+⋅+，所以1213135a a p p =+⋅+=+；23231126a a p p =+⋅+=+．因为1a ，26a +，3a 成等差数列，所以2(26a +)=1a +3a ， 即610124126p p ++=++， 所以 2p =． 依题意，1231n n n a a +=+⋅+， 所以当n ≥2时，121231a a -=⋅+，232231a a -=⋅+，……212231n n n a a ----=⋅+， 11231n n n a a ---=⋅+．相加得12212(3333)1n n n a a n ---=+++++- ，所以 113(13)2(1)13n n a a n ---=+--， 所以 3n n a n =+．当n =1时，11314a =+=成立， 所以3n n a n =+． ……………………8分（Ⅱ）证明：因为 3n n a n =+，所以 22(3)3n n n n n b n n ==+-．因为 2221+11(1)22+1=333n n n n n n n n n b b +++-+-=-，*()n ∈N ．若 22+210n n -+<，则n >，即 2n ≥时 1n n b b +<． 又因为 113b =，249b =， 所以49n b ≤． ……………………13分19．解：（Ⅰ）依题意设抛物线C ：22(0)x py p =>，因为点P 到焦点F 的距离为5，所以点P 到准线2py =-的距离为5． 因为P (x 0，4)，所以由抛物线准线方程可得 12p=，2p =．所以抛物线的标准方程为24x y =． ……………………4分即 214y x =，所以 1'2y x =，点P (±4，4)， 所以 41'|(4)22x y =-=⨯-=-，41'|422x y ==⨯=．所以 点P (-4，4)处抛物线切线方程为42(4)y x -=-+，即240x y ++=； 点P (4，4)处抛物线切线方程为42(4)y x -=-，即240x y --=．P点处抛物线切线方程为240x y ++=，或24x y --=． ……………………7分（Ⅱ）设直线l 的方程为2y x m =+，11(,)A x y ，22(,)B x y ，联立 242x y y x m⎧=⎨=+⎩，消y 得 2840x x m --=，64160m ∆=+>．所以 128x x +=，124x x m =-， 所以1242x x +=，1282y y m +=+， 即AB 的中点为(4,8)Q m +．所以 AB 的垂直平分线方程为1(8)(4)2y m x -+=--． 因为 四边形AMBN 为菱形，所以 (0,10)M m +，M ，N 关于(4,8)Q m +对称， 所以 N 点坐标为(8,6)N m +，且N 在抛物线上， 所以 644(6)m =⨯+，即10m =，所以直线l的方程为210y x =+． ……………………14分20．解：（Ⅰ）1a =时，()ln (1)ln(1)f x x x x x =+--，(01x <<)，则()ln ln(1)ln 1xf x x x x'=--=-． 令()0f x '=，得12x =． 当102x <<时，()0f x '<，()f x 在1(0,)2是减函数， 当112x <<时，()0f x '>，()f x 在1(,1)2是增函数， 所以 ()f x 在12x =时取得最小值，即11()ln 22f =． ……………………4分 （Ⅱ）因为 ()ln ()ln()f x x x a x a x =+--，所以 ()ln ln()ln xf x x a x a x'=--=-． 所以当2ax =时，函数()f x 有最小值． ∀x 1，x 2∈R +，不妨设12x x a +=，则121211221111ln ln ln ()ln()2ln()22x x x xx x x x x x a x a x +++=+--≥⋅[]1212()ln()ln 2x x x x =++-． ……………………8分（Ⅲ）（证法一）数学归纳法ⅰ)当1n =时，由（Ⅱ）知命题成立．ⅱ）假设当n k =( k ∈N *)时命题成立，即若1221k x x x +++= ，则112222ln ln ln ln2k k kx x x x x x +++≥- ． 当1n k =+时，1x ，2x ，…，121k x +-，12k x +满足 11122121k k x x x x ++-++++= ．设11111122212122()ln ln ln ln k k k k F x x x x x x x x x ++++--=++++ ， 由（Ⅱ）得11111212212212()()ln[()ln 2]()ln[()ln 2]k k k k F x x x x x x x x x ++++--≥++-++++-用心 爱心 专心 - 11 -=111111212122122122()ln()()ln()(...)ln 2k k k k k x x x x x x x x x x x +++++--++++++-+++=11111212212212()ln()()ln()ln 2k k k k x x x x x x x x ++++--++++++- ．由假设可得 1()ln 2ln 2ln 2k k F x +≥--=-，命题成立． 所以当 1n k =+时命题成立．由ⅰ)，ⅱ）可知，对一切正整数n ∈N *，命题都成立， 所以若211ni i x ==∑，则21ln ln 2nn i i i x x =≥-∑ *(,)i n ∈N ． ……………………13分（证法二）若1221n x x x +++= ， 那么由（Ⅱ）可得112222ln ln ln n n x x x x x x +++1212212212()ln[()ln 2]()ln[()ln 2]n n n n x x x x x x x x --≥++-++++- 1212122122122()ln()()ln()(...)ln 2n n n n n x x x x x x x x x x x --=++++++-+++ 1212212212()ln()()ln()ln 2n n n n x x x x x x x x --=++++++-12341234212212()ln()()ln()2ln 2n n n n x x x x x x x x x x x x --≥+++++++++- 121222(...)ln[()ln 2](1)ln 2n n x x x x x x n ≥≥++++++--- ln 2n =-．……………………13分（若用其他方法解题，请酌情给分）。
(优辅资源)北京市丰台区高三5月综合练习(二模)数学(理科)试卷 Word版含答案
丰台区2017年高三年级第二学期综合练习（二）数 学（理科）2017. 05（本试卷满分共150分，考试时间120分钟）注意事项：1. 答题前，考生务必先将答题卡上的学校、年级、班级、姓名、准考证号用黑色字迹签字笔填写清楚，并认真核对条形码上的准考证号、姓名，在答题卡的“条形码粘贴区”贴好条形码。
2. 本次考试所有答题均在答题卡上完成。
选择题必须使用2B 铅笔以正确填涂方式将各小题对应选项涂黑，如需改动，用橡皮擦除干净后再选涂其它选项。
非选择题必须使用标准黑色字迹签字笔书写，要求字体工整、字迹清楚。
3. 请严格按照答题卡上题号在相应答题区内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试卷、草稿纸上答题无效。
4. 请保持答题卡卡面清洁，不要装订、不要折叠、不要破损。
第一部分 （选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1. 已知集合{}{}142, A x x B x x =≤≤=>，那么A B =U （A ）(24),（B ）(24,]（C ）[1+),∞（D ）(2),+∞2. 下列函数中，既是偶函数又是()0+∞,上的增函数的是 （A ）3x y -=（B ）xy 2=（C ）12y x =（D ）3log ()y x =-3. 在极坐标系中，点)4,π到直线cos sin 10ρθρθ--=的距离等于（A （B （C （D ）24. 下列双曲线中，焦点在y 轴上且渐近线方程为12y x =±的是（A ）2214yx -= （B ）2214xy -=（C ）2214yx -= （D ）2214xy -=5. 已知向量1)2=，a，1)=-b ，则，a b 的夹角为 （A ）π4（B ）π3（C ）π2（D ）2π36. 一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图为正方形，则该几何体最大的侧面的面积为 （A ）1（B（C（D ）27. ()S A 表示集合A 中所有元素的和，且{}12345A ⊆,,,,，若()S A 能被3整除，则符合条件的非空集合A 的个数是 （A ）10（B ）11（C ）12（D ）138. 血药浓度（Plasma Concentration ）是指药物吸收后在血浆内的总浓度. 药物在人体内发挥治疗作用时，该药物的血药浓度应介于最低有效浓度和最低中毒浓度之间.已知成人单次服用1单位某药物后，体内血药浓度及相关信息如图所示：根据图中提供的信息，下列关于成人使用该药物的说法中，不正确．．．的个数是 ①首次服用该药物1单位约10分钟后，药物发挥治疗作用②每次服用该药物1单位，两次服药间隔小于2小时，一定会产生药物中毒 ③每间隔5.5小时服用该药物1单位，可使药物持续发挥治疗作用④首次服用该药物1单位3小时后，再次服用该药物1单位，不会发生药物中毒 （A ）1个（B ）2个（C ）3个（D ）4个第二部分 （非选择题 共110分）侧视图俯视图正视图二、填空题共6小题，每小题5分，共30分． 9. 在复平面内，复数34i i+对应的点的坐标为 ．10. 执行右图所示的程序框图，若输入6=x 的值为6，则输出的x 值为 ．11. 点A 从(10),出发，沿单位圆按逆时针方向运动到点B ，若点B 的坐标是34()55,-,记AOB α∠=,则sin 2α= ．12. 若x ，y 满足11，，，y y x x y m ≥≤-+≤⎧⎪⎨⎪⎩且22z x y =+的最大值为10，则m = ．13. 已知函数f (x )的定义域为R . 当0<x 时，()ln()f x x x =-+；当e e x -≤≤时，()()f x f x -=-；当1x >时，(2)()f x f x +=，则(8)f = ．14. 已知O 为ABC △的外心，且BO BA BC λμ=+uu r uu r uu r.①若90C ︒∠=，则λμ+= ；②若60ABC ︒∠=，则λμ+的最大值为 ．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15.（本小题共13分）在锐角ABC △中，2sin a B b =. （Ⅰ）求∠A 的大小；cos()6B C π-+的最大值.16.（本小题共13分）某社区超市购进了A ,B ,C ,D 四种新产品，为了解新产品的销售情况，该超市随机调查了15位顾客（记为12315i a i =,,,,,）购买这四种新产品的情况，记录如下（单位：件）：（Ⅰ）若该超市每天的客流量约为300人次，一个月按30天计算，试估计产品A 的月销售量（单位：件）；（Ⅱ）为推广新产品，超市向购买两种以上（含两种）新产品的顾客赠送2元电子红包.现有甲、乙、丙三人在该超市购物，记他们获得的电子红包的总金额为X ， 求随机变量X 的分布列和数学期望；（Ⅲ）若某顾客已选中产品B ，为提高超市销售业绩，应该向其推荐哪种新产品？（结果不需要证明）17.（本小题共14分）如图所示的几何体中，四边形ABCD 为等腰梯形，AB ∥CD ，22AB AD ==，DAB ∠=︒60︒，四边形CDEF 为正方形，平面CDEF ⊥平面ABCD . （Ⅰ）若点G 是棱AB 的中点，求证：EG ∥平面BDF ； （Ⅱ）求直线AE 与平面BDF 所成角的正弦值；（Ⅲ）在线段FC 上是否存在点H ，使平面BDF ⊥平面HAD ？若存在，求FHHC的值；若不存在，说明理由.18.（本小题共13分）已知函数()e ln x f x a x a =--.（Ⅰ）当e a =时，求曲线()y f x =在点(1(1)),f 处的切线方程；（Ⅱ）证明：对于(0e)a ∀∈,，()f x 在区间()e,1a上有极小值，且极小值大于0.19.（本小题共14分）已知椭圆E 的右焦点与抛物线24y x =的焦点重合，点M 3(1)2,在椭圆E 上.（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）设(40),P -，直线1y kx =+与椭圆E 交于A ,B 两点，若直线P A ,PB 均与圆)0(222>=+r r y x 相切，求k 的值.GAD EFBC20.（本小题共13分）若无穷数列{}n a 满足：k ∃∈*N ，对于00()n n n ∀≥∈*N ，都有n k n a a d +-=（其中d 为常数），则称{}n a 具有性质“0()P k n d ,,”.（Ⅰ）若{}n a 具有性质“(320)P ,,”，且23a =，45a =，67818a a a ++=，求3a ； （Ⅱ）若无穷数列{}n b 是等差数列，无穷数列{}n c 是公比为正数的等比数列，132b c ==，318b c ==，n n n a b c =+，判断{}n a 是否具有性质“(210)P ,,”，并说明理由； （Ⅲ）设{}n a 既具有性质“1(2)P i d ,,”，又具有性质“2(2)P j d ,,”，其中i j ∈*N ，，i j <，i j ,互质，求证：{}n a 具有性质“1(2)j iP j i i d i--+,,”.丰台区2016~2017学年度第二学期二模练习高三数学（理科）参考答案及评分参考2017．05一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．(43)-， 10．0 11．2425- 12．4 13．2ln2- 14．12 ；23三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15.（本小题共13分）解：（Ⅰ）由正弦定理得2sin sin sin A B B =， ..………………2分因为0πB <<，所以s i B >，从而2s A =， ..………………3分所以1sin 2A =. 因为锐角ABC △，所以π6A =. ..………………6分 （Ⅱ）因为πi n c o6B C B A -+-+..………………7分s i n c o sB B +..………………9分 π=2sin(+)6B ..………………11分当π3B =πcos()6B C -+有最大值2，与锐角ABC △矛盾，故πs i n c o s ()6B C -+无最大值 ..………………13分16.（本小题共13分）解：（Ⅰ）5⨯300⨯30=300015（件）， .………………3分答：产品A 的月销售量约为3000件. .………………4分（Ⅱ）顾客购买两种（含两种）以上新产品的概率为P 93==155. .………………5分X 可取0，2，4，6 ， .………………6分 (=)()P X 3280==5125， 123336(=2)()P X C 2==55125， 2233254(=4)()P X C ==55125， 3327(=6)()P X ==5125，.………………8分所以836542745018()02461251251251251255E X =⨯+⨯+⨯+⨯==. ..……………10分（Ⅲ）产品D . ……………13分17.（本小题共14分）（Ⅰ）证明：由已知得EF //CD ，且=EF CD .因为ABCD 为等腰梯形，所以有BG //CD . 因为G 是棱AB 的中点，所以=BG CD ． 所以EF //BG ，且=EF BG ， 故四边形EFBG 为平行四边形, 所以EG //FB . ………………2分因为FB ⊂平面BDF ，EG ⊄平面BDF ， 所以EG //平面BDF ． ………………4分解：（Ⅱ）因为四边形CDEF 为正方形，所以ED DC ⊥.因为平面CDEF ⊥平面ABCD ， 平面CDEF平面ABCD DC =，DE ⊂平面CDEF ，所以ED ⊥平面ABCD .在△ABD 中，因为60DAB ︒∠=，22AB AD ==，所以由余弦定理，得BD = 所以A ⊥． ………………5分在等腰梯形ABCD 中，可得1DC CB ==. 如图,以D 为原点，以DADB DE ，，所在直线分别为,,x y z 轴， 建立空间坐标系， ………………6分则(0,0,0)D ，(1,0,0)A ， (0,0,1)E，B，1(2F - ，所以(1,0,1)AE =-，1(2DF =-，DB =.设平面BDF 的法向量为(,,)x y z =n ，由x00.DB DF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，n n ………………7分 所以0102x y z =⎨-+=⎪⎩，取1z =，则2,x y ==，得(2,=n ． ………………8分 设直线AE 与平面BDF 所成的角为θ， 则sin cos ,AE AE AE θ⋅=〈〉=⋅n n n，=………………9分所以AE 与平面BDF 所成的角的正弦值为………………10分 （Ⅲ）线段FC 上不存在点H ，使平面BDF ⊥平面HAD ．证明如下：………………11分假设线段FC 上存在点H ，设1()(01)2H t t -≤≤，则1()2DH t =-．设平面HAD 的法向量为(,,)a b c =m ，由0,0.DA DH ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m所以0102a a tc =⎧⎪⎨-+=⎪⎩， 取1c =，则0,a b ==，得(0,,1)=m ． ………………12分 要使平面BDF ⊥平面HAD ，只需0⋅=m n ，………………13分即200110⨯⨯+⨯=， 此方程无解． 所以线段FC 上不存在点H ，使平面BDF⊥平面H A D ． ………………14分18.（本小题共13分）解：（Ⅰ）()f x 的定义域为(0,)+∞， …………………1分因为e a =，所以()e e(ln 1)x f x x =-+，所以e ()e xf x x'=-. …………………2分 因为(f =，(1)0f '=， …………………3分所以曲线()y f x =在点(1,f 处的切线方程为0y =. …………………4分（Ⅱ） 因为0e a <<,所以()e x a f x x '=-在区间(,1)ea上是单调递增函数. …………………5分因为e()e ea a f '=-<，(1)e 0f a '=->， …………………6分所以0(,1)ea x ∃∈,使得00e =0x a x -. …………………7分所以0(,)eax x ∀∈，()0f x '<；0(,1)x x ∀∈，()0f x '>， …………………8分故()f x 在0(,)ea x 上单调递减，在0(,1)x 上单调递增， …………………9分所以()f x 有极小值0()f x .…………………10分因为00e 0x ax -=,所以1()x f x x -+. (1)1分设1()=(ln 1)g x a x x --，(,1)eax ∈，则2211(1)()()a x g x a x x x+'=--=-， ………………12分所以()0g x '<，即()g x 在(,1)ea上单调递减，所以()(1)0g x g >=，即0()0f x >，所以函数()f x 的极小值大于0． ………………13分19.（本小题共14分）解：（Ⅰ） 因为抛物线24y x =的焦点坐标为(1,0),所以1c =,..………………1分所以3242a =，..………………3分即2a =.因为222413b a c =-=-=， 所以椭圆E的方程为22143x y +=...………………5分 （Ⅱ）设1122(,),(,)A x y B x y ，因为直线P A , PB 与圆222x y r +=(0)r >相切，所以0AP BP k k +=，..………………7分即1212044y y x x +=++， 通分得122112(4)(4)0(4)(4)y x y x x x +++=++，所以1221(1)(4)(1)(4)0kx x kx x +++++=，整理，得12122(41)()80kx x k x x ++++=. ①..………………9分联立221431x yy kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，，得22(34)880k x kx ++-=， 所以12122288,3434k x x x x k k +=-=-++，..………………11分代入①，得1k =. ..………………14分20.（本小题共13分）解 ：（Ⅰ）因为{}n a 具有性质“(3,2,0)P ”，所以30n n a a +-=，2n ≥. 由23a =，得583a a ==，由45a =，得75a =. ..………………2分因为6718a a a ++=，所以610a =，即310a =. ..………………4分（Ⅱ）{}n a 不具有性质“(2,1,0)P ”. ..………………5分设等差数列{}n b 的公差为d ，由 12b =，38b =，得2826d =-=，所以3d =，故31n b n =-. ..………………6分设等比数列{}n c 的公比为q ，由 32c =，18c =， 得214q =，又0q >，所以12q =，故42n n c -=， ..………………7分所以4312n n a n -=-+.若{}n a 具有性质“(2,1,0)P ”，则20n n a a +-=，1n ≥. 因为29a =，412a =，所以24a a ≠， 故{}n a 不具有性质“(2,1,0)P ”. ..………………8分（Ⅲ）因为{}n a 具有性质“1(,2,)P i d ”，所以1n i n a a d +-=，2n ≥.①因为{}n a 具有性质“2(,2,)P j d ”，所以2n j n a a d +-=，2n ≥.② 因为*N i j ∈,，i j <，i j ,互质， 所以由①得1m jima a j d +=+；由②，得2m ij m a a i d +=+， ..………………9分 所以12m m a jd a id +=+，即21jd d i=. ..………………10分②-①，得211n j n i j ia a d d d i++--=-=，2n ≥， ..………………11分所以1n jij ia a d i+---=，2n i ≥+， ..………………12分所以{}n a 具有性质“1(,2,)j iP j i i d i--+”. ..………………13分（若用其他方法解题，请酌情给分）。
丰台区高三二模(理数)
丰台区2012年高三年级第二学期统一练习（二） 2012.5数学（理科）第一部分 （选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．复数1i2i-+的虚部是 (A) i -(B) 3i 5-(C) –1(D) 35-2．一个正四棱锥的所有棱长均为2，其俯视图如右图所示，则该正四棱锥的正 视图的面积为(A)(B)(C) 2 (D) 43．由曲线1y x =与y =x ，x =4以及x 轴所围成的封闭图形的面积是 (A) 3132 (B) 2316(C) 1ln 42+ (D) ln41+4．执行如图所示的程序框图，若输出的结果为63，则判断框中应填(A) 7n ≤ (B) 7n > (C) 6n ≤ (D) 6n >5．盒子中装有形状、大小完全相同的3个红球和2个白球，从中随机 取出一个记下颜色后放回，当红球取到2次时停止取球．那么取球次数恰为3次的概率是(A) 18125 (B)36125 (C) 44125(D) 811256．在△ABC 中，∠BAC =90º，D 是BC 中点，AB =4，AC =3，则AD ⋅(A) 7- (B) 72-(C)72(D) 77．已知函数sin (0)y ax b a =+>的图象如图所示，则函数log ()a y x b =+的图象可能是俯视图(A)(B)(C)(D)8．已知平面上四个点1(0,0)A ，2(23,2)A ，3(234,2)A ，4(4,0)A ．设D 是四边形1234A A A A 及其内部的点构成的点的集合，点0P 是四边形对角线的交点，若集合0{|||||,1,2,3,4}i S P D PP PA i =∈≤=，则集合S 所表示的平面区域的面积为 (A) 2 (B) 4(C) 8(D) 16第二部分 （非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．在极坐标系中，圆2sin ρθ=的圆心的极坐标是____．10．已知椭圆22221(7)7x y m m m +=>-上一点M 到两个焦点的距离分别是5和3，则该椭圆的离心率为______． 11．如图所示，AB 是圆的直径，点C 在圆上，过点B ，C 的切线交于点P ，AP 交圆于D ，若AB =2，AC =1，则PC =______，PD =______．12．某地区恩格尔系数(%)y 与年份x 的统计数据如下表：年份x 2004 2005 2006 2007 恩格尔系数y (%)4745.543.541从散点图可以看出y 与x 线性相关，且可得回归方程为ˆˆ4055.25ybx =+，据此模型可预测2012年该地区的恩格尔系数(%)为______．PDCBA13．从5名学生中任选4名分别参加数学、物理、化学、生物四科竞赛，且每科竞赛只有1人参加，若甲不参加生物竞赛，则不同的选择方案共有 种． 14. 在平面直角坐标系中，若点A ，B 同时满足：①点A ，B 都在函数()y f x =图象上；②点A ，B 关于原点对称，则称点对(A ,B )是函数()y f x =的一个“姐妹点对”（规定点对(A ,B )与点对(B ,A )是同一个“姐妹点对”）．那么函数24,0,()2,0,x x f x x x x -≥⎧=⎨-<⎩的“姐妹点对”的个数为_______；当函数()xg x a x a =--有“姐妹点对”时，a 的取值范围是______．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15.（本小题共13分）已知函数()cos sin )f x x x x =-- （Ⅰ）求()3f π的值；（Ⅱ）求函数()y f x =在区间[0,]2π上的最小值，并求使()y f x =取得最小值时的x 的值．16.（本小题共13分）某商场举办促销抽奖活动，奖券上印有数字100，80，60，0．凡顾客当天在该商场消费每．超过1000元，即可随机从抽奖箱里摸取奖券一张，商场即赠送与奖券上所标数字等额的现金（单位：元）．设奖券上的数字为ξ，ξ（Ⅰ）求a ，b 的值；（Ⅱ）若某顾客当天在商场消费2500元，求该顾客获得奖金数不少于160元的概率．17.（本小题共14分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD 为矩形，平面ABEF ⊥平面ABCD ， EF // AB ，∠BAF =90º， AD = 2，AB =AF =2EF =1，点P 在棱DF 上．（Ⅰ）若P 是DF 的中点，(ⅰ) 求证：BF // 平面ACP ；(ⅱ) 求异面直线BE 与CP 所成角的余弦值；（Ⅱ）若二面角D -AP -C的余弦值为3PF 的长度． PFEDCAB18.（本小题共13分）已知数列{a n }满足14a =，131n n n a a p +=+⋅+(n *∈N ，p 为常数)，1a ，26a +，3a 成等差数列．（Ⅰ）求p 的值及数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）设数列{b n }满足2n n n b a n=-，证明：49n b ≤．19.（本小题共14分）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C 的焦点在y 轴上，且抛物线上的点P (x 0，4)到焦点F 的距离为5．斜率为2的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点．（Ⅰ）求抛物线C 的标准方程，及抛物线在P 点处的切线方程； （Ⅱ）若AB 的垂直平分线分别交y 轴和抛物线于M ，N 两点（M ，N 位于直线l 两侧），当四边形AMBN 为菱形时，求直线l 的方程．20.（本小题共13分）设函数()ln ()ln()f x x x a x a x =+--(0)a >． （Ⅰ）当1a =时，求函数()f x 的最小值；（Ⅱ）证明：对∀x 1，x 2∈R +，都有[]11221212ln ln ()ln()ln 2x x x x x x x x +≥++-； （Ⅲ）若211nii x==∑，证明：21ln ln 2nn i i i x x =≥-∑ *(,)i n ∈N ．（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）。
年北京市丰台区二模理科数学试卷含答案
学而思教育·学习改变命运思虑成就将来！北京市丰台区 2009 年高三一致练习（二）数学试题（理）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。
考试时间120 分钟。
考试结束，将本试卷和答题卡上并交回。
第Ⅰ卷（选择题共40分）注意事项：1．答第 I 卷前，考生务势必自己的姓名、准考据号、考试科目涂写在答题卡上。
2．每题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需变动，用橡皮擦洁净后，再选涂其余答案标号。
不可以答在试卷上。
一、选择题：本大题共8 个小题，每题 5 分，共 40 分。
在每个小题列出的四个选项中，选出切合题目要求的一项。
1．设会合A{ x | y1g ( x1)}, B{ x | x1}, 则A B 等于（）A． R B．{ x | 1 x 1}C． -3D．{ x | x1或 x 1}a3i3，此中 i 是虚数单位，那么实数 a 等于（）2．已知13i iA． 3B．3C． -3D．- 3x32sin , 为参数，点F为抛物线y2x的焦点，则 |GF| 等于3．已知圆C :()y 2 cos4（）A． 6B．4C． 2D． 04．函数f ( x)1(sin x cos x)1| sin x cos x |的值域是（）22A． [-1 ，1]B．[2,1] 211D．[ 1, 2 ]C．[,]2225．如图，在体积为 V1的正方体 ABCD— A1B1C1D1中， M，N 分别为所在边的中点，正方体的外接球的体积为V，有以下四个命题；①BD1= 3 AB②BD1与底面 ABCD所成角是45°；V3；③2V1④ MN// 平面 D1BC。
此中正确命题的个数为（）A． 4B． 3C． 2D． 16．某班 5 位同学参加周一到周五的值日，每日安排一名学生，此中学生甲只好安排到周一或周二，学生乙不可以安排在周五，则他们不一样的值日安排有（）A． 288 种B．72 种C．42 种D．36 种7．设函数 f（x）是以 2 为周期的奇函数，已知x(0,1), f ( x)2 x , 则f (x)在（1，2）上是（）A．增函数且f ( x)0B．减函数且f ( x)0 C．增函数且 f ( x)0D．减函数且f ( x)08．数列 {a n }知足11a1(11) 2 a2(11)n a n n2n, n N。
北京市丰台区2023届高三二模数学试题
一、单选题1. 已知函数y = f （x ）+x 是偶函数，且f （2）= 3 ，则f （-2）=（ ）A ．-7B ．7C ．-5D ．52. 函数是定义在R 上的奇函数，当时，，则函数在上的所有零点之和为（ ）A ．－32B ．32C ．16D ．83. 指数函数（，且）在上是减函数，则函数在其定义域上的单调性为A ．单调递增B ．单调递减C ．在上递增，在上递减D ．在上递减，在上递增4. 若干年前，某老师刚退休的月退休金为4000元，月退休金各种用途占比统计图如下面的条形图.该老师退休后加强了体育锻炼，目前月退休金的各种用途占比统计图如下面的折线图.已知目前的月就医费比刚退休时少100元，则目前该老师的月退休金为（）A ．5000元B ．5500元C ．6000元D ．6500元5.已知，，，则的最小值是A ．2B．C ．4D ．36. 钟灵大道是连接新余北站和新余城区的主干道，是新余对外交流的门户之一，而仰天岗大桥就是这一条主干道的起点，其桥拱曲线形似悬链线，桥型优美，被广大市民们美称为“彩虹桥”，是我市的标志性建筑之一，函数解析式为，则下列关于的说法正确的是（）A ．，为奇函数B ．，在上单调递增C ．，在上单调递增D ．，有最小值17.将函数的图象向左平移个单位长度得到f （x ）的图象，则（ ）A．B ．的图象关于对称C．D．的图象关于直线对称8. 某中学高一年级560人，高二年级540人，高三年级520人，用分层抽样的方法抽取部分样本，若从高一年级抽取28人，则从高二、高三年级分别抽取的人数是北京市丰台区2023届高三二模数学试题北京市丰台区2023届高三二模数学试题二、多选题三、填空题四、解答题A ．27 26B ．26 27C ．26 28D ．27 289.已知函数的最小正周期为，将的图象向左平移个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标伸长到原来的2倍，得到函数的图象，则下列结论正确的是（ ）A．B ．的图象关于点对称C．的图象关于对称D ．在上的最大值是110. 已知抛物线的焦点为为抛物线上一点，且，过的直线交于两点，是坐标原点，则（ ）A ．抛物线的准线方程为B ．的最小值为4C ．若，则的面积为D ．若，则的方程为11. 1487年，瑞士数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写下公式，这个公式在复变函数中有非常重要的地位，即著名的“欧拉公式”，被誉为“数学中的天桥”，据欧拉公式，则（ ）A．B．C．D．12. 已知直线a ，b ，c 两两异面，且，，下列说法正确的是（ ）A ．存在平面α，β，使，，且，B ．存在平面α，β，使，，且，C ．存在平面γ，使，，且D ．存在唯一的平面γ，使，且a ，b 与γ所成角相等13. 已知复数为虚数单位)，则___________.14. 某电影院同时上映A 与B 两部电影，甲、乙、丙3人同时去电影院观影，3人必须在A ，B 两部电影中选择一部进行观看，且甲、乙2人观看A 电影的概率均为，丙观看B 电影的概率为，若3人观看哪部电影相互独立，则恰有2人观看B 电影的概率为___________.15. 已知函数的定义域是，满足且，若存在实数k ，使函数在区间上恰好有2021个零点，则实数a 的取值范围为____16. 为推动实施健康中国战略，树立大卫生、大健康理念，某单位组织职工参加“万步有约”健走激励大赛活动，且每月评比一次，对该月内每日运动都达到一万步及以上的职工授予该月“健走先锋”称号，其余参与的职工均获得“健走之星”称号，下表是该单位职工2021年1月至5月获得“健走先锋”称号的统计数据：月份12345“健走先锋”职工数1201051009580(1)请利用所给数据求“健走先锋”职工数y 与月份x 之间的回归直线方程，并预测该单位10月份的“健走先锋”职工人数；(2)为进一步了解该单位职工的运动情况，现从该单位参加活动的职工中随机抽查70人，调查获得“健走先锋”称号与性别的关系，统计结果如下：健走先锋健走之星男员工2416女员工1614能否据此判断有90%的把握认为获得“健走先锋”称号与性别有关？参考公式：，．（其中）0.150.100.050.0250.0102.072 2.7063.841 5.024 6.63517. 为落实《关于全面加强和改进新时代学校体育工作的意见》，完善学校体育“健康知识+基本运动技能+专项运动技能”教学模式，建立“校内竞赛—校级联赛—选拔性竞赛—国际交流比赛”为一体的竞赛体系，构建校､县(区)､地(市)､省､国家五级学校体育竞赛制度.某校开展“阳光体育节活动，其中传统项目定点踢足球”深受同学们喜爱.其间甲､乙两人轮流进行足球定点踢球比赛(每人各踢一次为一轮)，在相同的条件下，每轮甲､乙两人在同一位置，甲先踢，每人踢一次球，两人有1人命中，命中者得1分，未命中者得-1分；两人都命中或都未命中，两人均得0分，设甲每次踢球命中的概率为，乙每次踢球命中的概率为，且各次踢球互不影响.（1）经过1轮踢球，记甲的得分为，求的数学期望；（2）用表示经过第轮踢球累计得分后甲得分高于乙得分的概率.求，.18. 记是等差数列的前项和，数列是等比数列，且满足，．(1)求数列和的通项公式；(2)设数列满足，（ⅰ）求的前项的和；（ⅱ）求.19. 设椭圆的方程为，为坐标原点，直线与椭圆交于点为线段的中点．（1）若分别为的左顶点和上顶点，且的斜率为，求的标准方程；（2）若，且，求面积的最大值．20. 如图，三棱锥中，底面和侧面都是等边三角形，.（1）若P点是线段的中点，求证：平面；（2）点Q在线段上且满足，求与平面所成角的正弦值.21. 已知数列的前n项和．(1)求证：数列为等比数列；(2)若数列满足，，求数列的前n项的和．。
北京丰台区高三二模数学(理)试题及答案
北京丰台区高三二模数学（理）试题及答案丰台区高三统一练习（二）数学（理科）一、选择题（每小题5分，共40分）?1．已知向量a?（1，k），b?（2，1），若a与b的夹角为90，则实数k的值为11A．2 B．2? C．?2 D．22．直线x-y+1=0与圆（x+1）2+y2=1的位置关系是（）A．相切 B ．直线过圆心 C．直线不过圆心但与圆相交 D．相离3．在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为（-1，1），若取原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，则在下列选项中，不是点P极坐标的是（）A．（2,3?5?11??2,?2,2,?4） B．4） C．4） D．4）（（（4．设p、q 是简单命题，则\p?q\为假是\p?q\为假的（） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．甲、乙两名运动员的5次测试成绩如下图所示甲 7 7 8 6 2 茎 8 9 乙 6 8 3 6 7 设s1,s2分别表示甲、乙两名运动员测试成绩的标准差，x1,x2分别表示甲、乙两名运动员测试成绩的平均数，则有A． x1?x2，s1?s2 B． x1?x2， s1?s2 C． x1?x2， s1?s2 D． x1?x2，s1?s2f(x)?1，则实数x的取值范围是（）6．已知函数f(x)?log2x，若111(??,](0,]?[2,??)(??,]?[2,??)2 B． [2,??) C． 22A． D．7．设f(x)、g(x)是R上的可导函数，f(x),g(x)分别是f(x)、g(x)的导函数，且''f'(x)g(x)?f(x)g'(x)?0，则当a?x?b时，有（）A． f(x)g(x)>f(b)g(b) B． f(x)g(a)>f(a)g(x)C． f(x)g(b)>f(b)g(x) D． f(x)g(x)>f(a)g(a)8．如图，在直三棱柱A1B1C1?ABC中，?BAC??2，AB?AC?AA1?2，点G与E分别为线段A1B1和C1C的中点，点D与F分别为线段AC和AB上的动点。
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丰台区2013年高三第二学期统一练习（二）数学（理科）第一部分（选择题 共40分）一 、选择题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 复数(34)i i +的虚部为（A ）3 （B ）3i （C ）4 （D ） 4i 2. 设向量a =(x ,1), b =(4,x ),且a ,b 方向相反，则x 的值是 （A ）2 （B ）-2 （C ）2± （D ）03.41()x x-展开式中的常数项是 （A ）6 （B ）4 （C ）-4 （D ）-64. 已知数列{a n }， 则“{a n }为等差数列”是“a 1+a 3=2a 2”的 （A ）充要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分而不必要条件 （D ）既不充分又不必要条件5. 下列四个函数中，最小正周期为π，且图象关于直线12x π=对称的是（A ） sin()23x y π=+ （B ） sin()23x y π=-（C ）sin(2)3y x π=+ （D ）sin(2)3y x π=-6. 在平面区域01,01x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩内任取一点(,)P x y ，若(,)x y 满足2x y b +≤的概率大于14，则b 的取值范围是（A ） (,2)-∞ （B ）(0,2) （C ）(1,3) （D ） (1,)+∞7. 用5,6,7,8,9组成没有重复数字的五位数，其中两个偶数数字之间恰有一个奇数数字的五位数的个数是(A) 18 (B) 36 (C) 54 (D) 728. 已知偶函数f(x)（x ∈R ），当(2,0]x ∈-时，f(x)=-x(2+x)，当[2,)x ∈+∞时，f(x)=(x-2)(a-x)（a R ∈）.关于偶函数f(x)的图象G 和直线l :y=m （m R ∈）的3个命题如下：① 当a=4时，存在直线l 与图象G 恰有5个公共点；② 若对于[0,1]m ∀∈，直线l 与图象G 的公共点不超过4个，则a ≤2；③ (1,),(4,)m a ∀∈+∞∃∈+∞，使得直线l 与图象G 交于4个点，且相邻点之间的距离相等.其中正确命题的序号是(A) ①② (B) ①③ (C) ②③ (D) ①②③第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分. 9. 圆2cos ρθ=的半径是________。
10.已知变量,x y 具有线性相关关系，测得(,)x y 的一组数据如下：(0,1),(1,2),(2,4),(3,5)，其回归方程为ˆ 1.4yx a =+，则a 的值是 。
11. 如图，已知⊙O 的弦AB 交半径OC 于点D,若AD=4,BD=3,OC=4,则CD 的长为______。
12. 若双曲线C:2221(0)3x y a a -=> 的离心率为2,则抛物线28y x =的焦点到C 的渐近线距离是______。
13. 曲线1()f x x x =+在12x =处的切线方程是______，在x=x 0处的切线与直线y x =和y 轴围成三角形的面积为 。
14. 在圆2225x y +=上有一点P (4,3)，点E ,F 是y 轴上两点，且满足PE PF =,直线PE ，PF 与圆交于C ，D ，则直线CD 的斜率是________。
三、解答题共6小题，共80分.解答要写出文字说明，演算步骤或证明过程.15．（本小题13分） 已知ABC ∆的三个内角分别为A,B,C,且22sin ()3sin 2.B C A += （Ⅰ）求A 的度数；（Ⅱ）若7,5,BC AC ==求ABC ∆的面积S .16（本小题13分）国家对空气质量的分级规定如下表：某市去年6月份30天的空气污染指数的监测数据如下： 34 140 18 73121 210 40 45 7823 6579207 81 6042 101 38 163 154 2227 36 151 49 103 135 2016 48根据以上信息，解决下列问题：（Ⅰ）写出下面频率分布表中a,b,x,y 的值；（Ⅱ）某人计划今年6月份到此城市观光4天，若将（Ⅰ）中的频率作为概率，他遇到空气质量为优或良的天数用X 表示，求X 的分布列和均值EX.17.（本小题13分）如图(1)，等腰直角三角形ABC 的底边AB=4，点D 在线段AC 上，DE AB⊥于E ，现将△A DE 沿D E 折起到△PDE 的位置（如图（2））. （Ⅰ）求证：PB ⊥DE ；（Ⅱ）若PE ⊥BE ，直线PD 与平面PBC 所成的角为30°，求PE 长.图（1） 图（2）18.（本小题13分）已知函数 ()21()2ln (21)2f x x ax a x a R =+-+∈. （Ⅰ）当12a =-时，求函数f(x )在[1,e]上的最大值和最小值； （Ⅱ）若a >0，讨论()f x 的单调性.19.（本小题14分）已知椭圆C ：2214x y +=的短轴的端点分别为A,B,直线AM ,BM 分别与椭圆C 交于E,F 两点，其中点M (m,12) 满足0m ≠，且3m ≠±. （Ⅰ）求椭圆C 的离心率e ； （Ⅱ）用m 表示点E,F 的坐标；（Ⅲ）若∆BME 面积是∆AMF 面积的5倍，求m 的值.20.（本小题14分）已知等差数列{}n a 的通项公式为a n =3n-2，等比数列{}n b 中，1143,1b a b a ==+.记集合{},*,n A x x a n N ==∈ {},*n B x x b n N ==∈，U A B =⋃，把集合U 中的元素按从小到大依次排列，构成数列{}n c . （Ⅰ）求数列{b n }的通项公式，并写出数列{}n c 的前4项；（Ⅱ）把集合U C A 中的元素从小到大依次排列构成数列{}n d ，求数列{}n d 的通项公式，并说明理由； （Ⅲ）求数列{}n c 的前n 项和.nS丰台区2013年高三第二学期统一练习（二）数学（理科）一 、选择题共8小题，每小题5分，共40分.二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.9. 1； 10. 0.9； 11. 2；； 13. 3x +y -4=0, 2； 14. 43. 三、解答题共6小题，共80分.解答要写出文字说明，演算步骤或证明过程.15．（本小题13分） 已知ABC ∆的三个内角分别为A,B,C,且22sin ()2.B C A += （Ⅰ）求A 的度数；（Ⅱ）若7,5,BC AC ==求ABC ∆的面积S .解: （Ⅰ） 22sin ()2.B C A +=22sin cos A A A ∴=, ……………………….2分sin 0,sin ,tan A A A A ≠∴=∴= ……………………….4分60,0=∴<<A A π °. …………………….6分（Ⅱ）在ABC ∆中,60cos 2222⨯⨯-+=AC AB AC AB BC ,7,5,BC AC ==,525492AB AB -+=∴8,02452=∴=--∴AB AB AB 或3-=AB (舍),………….10分31023852160sin 21=⨯⨯⨯=⨯⨯=∴∆ AC AB S ABC . …………………….13分16（本小题13分）国家对空气质量的分级规定如下表：某市去年6月份30天的空气污染指数的监测数据如下： 34 140 18 73121 210 40 45 7823 6579207 81 6042 101 38 163 154 2227 36 151 49 103 135 2016 48根据以上信息，解决下列问题：（Ⅰ）写出下面频率分布表中a,b,x,y 的值；（Ⅱ）某人计划今年6月份到此城市观光4天，若将（Ⅰ）中的频率作为概率，他遇到空气质量为优或良的天数用X 表示，求X 的分布列和均值EX.解：（Ⅰ）101,51,3,6====y x b a , ………………………….4分（Ⅱ）由题意，该市4月份空气质量为优或良的概率为P=3252154=+，………..5分 4411(0),381P X C ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭ ,8183132)1(314=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯==C X P,2783132)2(2224=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯==C X P ,81323132)3(334=⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯==C X P444216(4)381P X C ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭. ………………………….10分X ∴的分布列为:………………………….11分X ~B (4，32), ∴38324=⨯=EX . ………………………….13分17. （本小题13分）如图(1)，等腰直角三角形ABC 的底边AB=4，点D 在线段AC 上，DE AB⊥于E ，现将△A DE 沿D E 折起到△PDE 的位置（如图（2））. （Ⅰ）求证：PB ⊥DE ；（Ⅱ）若PE ⊥BE ，直线PD 与平面PBC 所成的角为30°，求PE 的长.PE BEDBACD图（1） 图（2） 解: （Ⅰ）DE AB ⊥，DE BE ∴⊥,DE ⊥PE , ……………….2分E PE BE = ， ∴DE ⊥平面PEB ,PEB PB 平面⊂ ,∴ BP ⊥ DE ; ……………………….4分（Ⅱ） PE ⊥BE ， PE ⊥DE ，DE BE ⊥,所以，可由DE ,BE ,PE 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系（如图），……………………………………………………………5分∴设PE=a ，则B (0,4-a ,0),D (a ,0,0)，C (2,2-a ,0),P (0,0,a )，……………………7分(0,4,)PB a a =--，(2,2,0)BC =-,……………………8分设面PBC 的法向量),,(z y x n =,(4)0,220,a y az x y --=⎧∴⎨-=⎩令1y =, ∴4(1,1,)a n a -=, …………10分 …………….10分 (,0,)PD a a =-, ……………………….12分BC 与平面PCD 所成角为30°,∴sin 30cos ,PD n ︒= . ……………………….11分222(4)12(4)22a a a a a --=-⨯+， 解得：a=45,或a=4(舍)，所以，PE 的长为45.……………………….13分 18.（本小题13分）已知函数 ()21()2ln (21)2f x x ax a x a R =+-+∈.（Ⅰ）当12a =-时，求函数f(x )在[1,e]上的最大值和最小值；xyz（Ⅱ）若a >0，讨论()f x 的单调性.解：（Ⅰ）()f x 的定义域为{|0}x x >, ……………………….1分 当21-=a 时，,2)2)(2()(x x x x f -+-=' ……………………….2分令()0,f x '=在[1,e ]上得极值点,2=xx)2,1[2 ],2(e)(x f ' +-)(x f增12ln 2-减……………………….4分,42)(,41)1(2e ef f -=-= ……………………….5分),()1(e f f <max min 1()(2)2ln 21,()(1)4f x f f x f ∴==-==-. ………………….7分（Ⅱ）(2)(1)()x ax f x x--'=， ……………………….8分210<<a 时，由()f x '>0得0<x <2或x>a 1,所以f(x)的单调增区间是(0,2),1(,)a +∞,由()f x '<0得2<x <1a ,所以f (x )的单调减区间是(2,1a)； ……………………….10分 ②21=a 时，()0f x '≥在（0，+∞）上恒成立，且当且仅当(2)0f '=， ()f x ∴在（0，+∞）单调递增； ……………………….11分③当21>a 时，由()f x '>0得0<x <1a 或x >2,所以f (x )的单调增区间是(0,1a ),(2,)+∞,由()f x '<0得1a <x <2,所以f (x )的单调减区间是(1a,2). ……………………….13分19.（本小题14分）已知椭圆C ：2214x y +=的短轴的端点分别为A,B （如图）,直线AM ,BM分别与椭圆C 交于E,F 两点，其中点M (m,12) 满足0m ≠，且3m ≠±. （Ⅰ）求椭圆C 的离心率e ； （Ⅱ）用m 表示点E,F 的坐标；（Ⅲ）若∆BME 面积是∆AMF 面积的5倍，求m 的值.解：（Ⅰ）依题意知2a =,3=c ,23=∴e ; ……………………… 3分（Ⅱ） )1,0(),1,0(-B A ,M (m ,12)，且0m ≠， ………………………4分 ∴直线AM 的斜率为k 1=m 21-,直线BM 斜率为k 2=m23,∴直线AM 的方程为y =121+-x m,直线BM 的方程为y =123-x m , ……………6分由⎪⎩⎪⎨⎧+-==+,121,1422x m y y x 得()22140m x mx +-=， 240,,1m x x m ∴==+22241,,11m m E m m ⎛⎫-∴ ⎪++⎝⎭………………………8分由⎪⎩⎪⎨⎧-==+,123,1422x m y y x 得()012922=-+mx x m ， 2120,,9m x x m ∴==+222129,99m m F m m ⎛⎫-∴ ⎪++⎝⎭； ………………………10分 （Ⅲ） 1||||sin 2AMF S MA MF AMF ∆=∠,1||||sin 2BME S MB ME BME ∆=∠,AMF BME ∠=∠, 5AMF BME S S ∆∆=,∴5||||||||MA MF MB ME =，∴5||||||||MA MB ME MF =, ………………..12分∴225,41219m m m mm m m m =--++0m ≠，∴整理方程得22115119m m =-++，即22(3)(1)0m m --=， 又m ≠∴230m -≠， 12=∴m ，1m ∴=±为所求. ………………14分20.（本小题14分）已知等差数列{}n a 的通项公式为a n =3n-2，等比数列{}n b 中，1143,1b a b a ==+.记集合{},*,n A x x a n N ==∈ {},*n B x x b n N ==∈，U A B =⋃，把集合U 中的元素按从小到大依次排列，构成数列{}n c . （Ⅰ）求数列{b n }的通项公式，并写出数列{}n c 的前4项；（Ⅱ）把集合U C A 中的元素从小到大依次排列构成数列{}n d ，求数列{}n d 的通项公式，并说明理由； （Ⅲ）求数列{}n c 的前n 项和.nS解：（Ⅰ）设等比数列{}n b 的公比为q ，11431,18b a b a ===+=，则q 3=8，∴q =2，∴b n =2n -1， ………………..2分 数列{}n a 的前4项为1,4,7,10，数列{b n }的前4项为1,2,4,8，∴数列{}n c 的前4项为1，2，4，7； ………………..3分（Ⅱ）据集合B 中元素2，8，32，128∉A ，猜测数列{}n d 的通项公式为d n =22n -1.………………..4分d n =b 2n ，∴只需证明数列{b n }中，b 2n-1∈A ，b 2n ∉A （n N *∈）.证明如下：b 2n +1-b 2n-1=22n -22n -2=4n -4n -1=3×4n -1,即b 2n +1=b 2n -1+3×4n -1，若∃m ∈N *,使b 2n -1=3m -2，那么b 2n +1=3m -2+3×4n -1=3(m +4n-1)-2，所以，若b 2n -1∈A ，则b 2n +1∈A .因为b 1∈A ，重复使用上述结论，即得b 2n -1∈A （n N *∈）。