闭合导线平差公式

闭合导线坐标计算
闭合导线计算式根据外业观测的边长、夹角和方位角以及其中一个导线点的坐标，结合平差计算，来推算其余各导线点的坐标。

设对闭合导线n 个内角分别进行了观测，各个符号精度要求的观测值为β
i 测，并对
闭合多边形的n 个边长分别进行了测量，各个符号精度要求的观测值为L
i ；其中一个导
线点的坐标为
x i
y i
；确定其余各个导线点的坐标x x i 1
+,y
i 1
+
1 角度闭合差的计算也调整 （1）实测角度闭合差的计算 闭合导线n 个实测内角的和∑
测
β不等于其理论值（n-2）*180,其差称为角度闭合差以
f β
表示：
︒--=∑180*2）（测
n f β
β
(2)实测角度闭合差检核
角度闭合差校核是将实测角度闭合差也同级导线角度闭合差的容许值
f 容
β
，按各级导线测
量主要技术要求比较，以确定角度综合限差是否满足要求。

这里角度综合限差采用图根导线数据，即
f 容β
=40
'
'n。

（3）角度闭合差的调整
若
f
β≤
f 容β
，则可以进行角度闭合的调整，否则，应分析情况重测。

角度闭
合差的调整原则是，将
f β
以相反的符号平均分配到各个观测角中，即各点改正数为式
v β=
f
β／n
计算时，根据角度的取位的要求，改正数可凑整到1″、6″、10″.若不能均分，一般情况
下，因短边角引起的误差较大，因此给短边角的夹角多分配一点，使各角改正数的总和也反号的闭合差相等，即
f v β
β-=∑
2、推算各边的坐标方位角
推算各边的坐标方位角目的是为了计算坐标增量。

推算方法根据起始方位角及改正后的
转折角，按式依次推算出各边的坐标方位角。

或
βα
α右
-+=+1801
i i
1801
-+=+βα
α左
i i
式中：αi ----------第i 条边的正方位角
α1
-i ---------第i+1条的正方位角
ββ右
左
--------分别为第i-1条边与第i 条边间所夹的左右角。

在推算过程中，如果算出
αi
＞360°，则应减去360°如果算出的α
i
＜0°，则应加
上360°
为了发现推算过程中的差错，最后必须推算至起始边的坐标方位角，看其是否与已知值相等，以此作为计算校核。

3 坐标增量闭合差的计算和调整
（1）计算实测各边的坐标增量
设第i 条实测边的终、横坐标增量分别为 α
i
i i L X
cos
.=∆测
αi
i i L Y sin
.=∆测
(2)确定理论纵、横坐标增量∑△Xi 理、∑△Yi 理 闭合导线的纵横坐标增量总和的理论值应为零，则有 ∑△Xi 理=0
∑△Yi 理=0
(3)计算坐标增量闭合差fx.fy
由于测量误差，改正后的角度仍有残余误差，坐标增量总和的测量计算值∑△X 测与∑△Y 测一般都不为零，其值称为坐标增量闭合差，fx.fy 表示，则
fx=∑△Xi 测-∑△Xi 理=∑△Xi 测
fy=∑△Yi 测-∑△Yi 理=∑△Yi 测
（4）计算导线全长闭合差f 并检核全长相对闭合差K
因计算的闭合导线并不闭合，而存在一个缺口，这个缺口的长度称为导线闭合差f fy
fx
f 2
2
+
=
导线越长，全长闭合差也越大。

通常用相对闭合差来衡量导线测量的精度，导线的全长相对
闭合差按 K=
∑L f
=
f
L
l
∑
试中∑L 为导线边长的总和。

导线的全长相对闭合差应满足规定。

否则应先检查记录和全部业内作业计算，必要时到现场检查，重测部分或全部结果。

若K 值符合精度要求，则可将增量闭合差fx.fy 以相反符号。

按与边长成正比分配到各个增量中。

（5）计算各条边的改正数v
△xi.
v
△xi
任意一边分配的改正数
v
△xi.
v
△xi 按式
v △xi=
Li Li fx
∑ v
△yi=
Li Li
fy
∑ 改正数应按增量取位的要求凑整至cm 或mm ，并且必须使改正数的总和与反符号闭合差相等，即
f v x
x
-=∑∆ f
v
x
y
-
=∑∆
（6）确定各个边长改正后的坐标增量-------坐标增量计算值（△Xi 算、△yi 算）又式
v X X xi i i ∆+=∆∆测算
v Y Y
yi i i ∆+=∆∆测算
4、计算各个导线点的坐标X i+1. Y i+1.
X
X X
i i
i ∆+=
+算
1
Y Y Y
i i i ∆+=+算1
闭合导线坐标计算是按一定得次序在表中进行，如果导线未与高级控制点连接，则起算点的坐标可自行假设。

为了检查坐标推算中的差错，最后还应推回到起算的坐标，看其是否和已知值相等，以此作为计算校核。