进位计数制及其转换方法过程详解
进位计数制及其转化最终成果
• 采用基数8连续去除该十进制整数，直至 商等于“0”为止，然后逆序排列所得到 的余数。
• 3.十进制数转换成十六进制数
• 采用基数16连续去除该十进制整数，直 至商等于“0”为止，然后逆序排列所得 到的余数。
八进制转化其它进制
• 八进制数转换成二进制数 • 将每位八进制数用3位二进制数表示即可 • 2.八进制数转换成十进制数 • 用其各位所对应的系数，按“位权展开
展开求和”的方法就可以得到。其 基数为16。 • 3.十六进制数转换成八进制数 • 先十六转二，再二转八
求和”的方法就可以得到。其基数为8。 • 3.八进制数转换成十六进制数 • 整数部分从右向左，每4位为一组，最高
有效位不足4位的，就补0凑足4位；
十六进制转化其它进制
• 1.十六进制数转换成二进制数 • 将每位十六进制数用4位二进制数
表示即可。(16位，逢十六进一) • 2.十六进制数转换成十进制数 • 用其各位所对应的系数，按“位权
进位计数制其转化
二进制转其它进制
• 用其各位所对应的系数，按“位权 展开求和的方法”就可以得到，基 数为2。
• 从右到左，三位一组，不够补0
• 从右到左，四位一组，不够补零
十进制转化其它进制
• 1.十进制数转换成二进制数
• 采用基数2连续去除该十进制整数，直至 商等于“0”为止，然后逆序排列余数。
数制及其转换
阶码的位数决定了表示数的范围； 尾数的位数决定了所表示数的精度；
３、机器数的表示
在计算机中对带符号数的表示方法有原码、补码和反码三种形式。 1）原码 规定符号位用数码0表示正号，用数码1表示负号， 数值部分按一般二进制形式表示数的绝对值。 ＋7: 00000111 ＋0: 00000000 零有两种表示方法
例 3：将 ( 237 . 625 ) 10 转化成二进制
整数： 除2取余 2 |2 3 7 2 |1 1 8 2 |5 9 2 |2 9 2 |1 4 2 |7 2 |3 2 |1 0
1 0 1 1 0 1 1 1
取 值 方 向
小数： 乘2取整 0. 6 2 5 × 2 1 1. 2 5 0 0. 2 5 × 2 0 0. 5 0 × 2 1 1. 0
M
k
Di N
i
i m 1
其中D i为数制采用的基本数符; Ni为权；N为基数
M
k
Di N
i
i m 1
例：十进制数，3058.72 可表示为： 3×103+0×102+5×101+8×100+ 7×10-1+2×10-2 例： 二进制数10111.01 可表示为： 1×24+0×23+1×22+1×21+1×20+0×2-1+1×2-2
－7: 10000111
－0:10000000
３、机器数的表示
在计算机中对带符号数的表示方法有原码、补码和反码三种形式。
２）反码
规定正数的反码和原码相同， 负数反码是对该数的原码除符号位外各位求反
＋7: 00000111 －7: 11111000
进位计数制及其转换
进位计数制及其转换进位计数制是一种数的表示方法，它是人们在数数过程中逐渐形成的一种计数方法。
进位计数制是基于进位原理的，它使用一定的符号或数字来表示数目的大小。
这种计数方法在人们的日常生活中广泛应用，不仅可以用来表示数字，还可以用来表示其他事物的序号，比如标题。
一、进位计数制的基本原理进位计数制是建立在进位原理之上的一种计数方法。
所谓进位原理，就是在计数过程中，当一个位上的数达到一定值时，就要向高位产生进位，同时将该位的值归零。
以十进制为例，当个位上的数达到9时，就需要在十位上进位，并将个位的值变为0。
同样的，当十位上的数达到9时，就需要在百位上进位，并将十位的值变为0。
依次类推，进位计数制可以无限扩展，可以表示任意大的数。
二、进位计数制与标题的转换进位计数制不仅可以用来表示数字，还可以用来表示标题。
在标题中，我们常常使用罗马数字作为进位计数制来表示文章的序号。
罗马数字有七个基本符号：I、V、X、L、C、D、M，分别表示1、5、10、50、100、500、1000。
通过组合这些符号，可以表示任意的数目。
例如，我们可以用罗马数字表示一个标题为"第一章"的文章。
在罗马数字中，"第一"可以用"I"表示，"章"可以用"章"表示。
因此，"第一章"可以表示为"I章"。
同样的，我们可以用罗马数字表示一个标题为"第二十五章"的文章。
在罗马数字中，"第二十五"可以用"XXV"表示，"章"可以用"章"表示。
因此，"第二十五章"可以表示为"XXV章"。
三、进位计数制在生活中的应用进位计数制不仅在数学中有重要的应用，也在我们的日常生活中有广泛的应用。
进位计数制与转换(“二进制”相关文档)共15张
(5D6E)16=(01011101.01101110)2
=(1011101.0110111)2
我们也可以参照把二进制数转换成十进制数的方法实现十六进制数与十进制数的转换，例如： 所以我们可以以二进制数为桥梁，实现十进制数与十六进制数的转换。 二进制数转化为十进制数 二进制数，十进制数，十六进制数的基本特征以及数的多项式表示。
进位计数制与转换
1.基本定义:基数，位权。 2.二进制数，十进制数，十六进制数的基
本特征以及数的多项式表示。 3.三种进制数之间的相互转换。
基数的主要作用
基数可以帮助我们了解各进制数的基本特征，例如：
十进制数：逢十进一，它每位上的数字可以取十种(从 0到9)，不会有哪一位数值大于等于十。
二进制数：逢二进一，它每位上的数字可以取两种(0和
F.5等。 为了区别各进制数，我们一般做如下表示： 对二进制数表示为：(11)2，(110)2 对十进制数表示为：(11)10，(255.8)10 对十六进制数表示为：(11)16，(255.8)16
数的多项式表示
十进制数：135.79 多项式表示
135.79=1×102+3×101+5×100+7×10-1 +9×10-2 二进制数：110.001 多项式表示 110.01=1×22+1×21+0×20+0×2-1+1×2-2 正规的表示：
01=1×22+1×21+0×20+0×2-1+1×2-2 A:10，B:11，C:12，D:13，E:14，F:15。 整数部分:反复除以2,反向取余数。 常见的十六进制数：8，D，11，4F，365，C4A，F. 二进制数：逢二进一，它每位上的数字可以取两种(0和1)，不会有哪一位数值大于等于二。
进位计数制及其转换
第二章
2.1.3
(1) 非十进制
数据存储
不同进位计数数制间的转换
1. 非十进制(二、八、十六进制)与十进制的相互转换 非十进制( 十六进制)
十进制
一个非十进制数的加权系数和就是该非十进制数所对应的十 一个非十进制数的加权系数和就是该非十进制数所对应的十 加权系数和 进制数，也称“按权展开法” 进制数，也称“按权展开法”。
例： ： (10101)B=24+22+20=21 (101.11)B=22+21+2-1+2-2=5.75 (101)O=82+80=65 (71)O=7 81+1=57 (101A)H=163+16+10＝4106 ＝
进制表示符号 B 二进制 O八进制 八进制 D十进制 十进制 H十六进制 十六进制
•一位十六进制数对应四位二进制数 一位十六进制数对应四位二进制数 一位 •二进制转化成八 十六 进制 二进制转化成八(十六 二进制转化成八 十六)进制
1 4 4 (64)H=(0110 0100)B 6 4
整数部分：从右向左按三(四)位进行分组 整数部分：从右向左按三 四 位进行分组 小数部分：从左向右按三 四 位进行分组 小数部分：从左向右按三(四)位进行分组 不足补零：整数补在左端， 不足补零：整数补在左端，小数补在右端
第二章
八进制 对应二进制 十六进制
数据存储
对应二进制 十六进制 对应二进制
二进制、八进制、 二进制、八进制、十六进制数间的关系
0 1 2 3 4 5 6 7
000 001 010 011 100 101 110 111
0 1 2 3 4 5 6 7
0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111
常见的进制转换方法
一：简述：进位计数制：是人们利用符号来计数的方法。
一种进位计数制包含一组数码符号和两个基本因素。
（1）数码：用不同的数字符号来表示一种数制的数值，这些数字符号称为”数码”。
（2）基：数制所使用的数码个数称为”基”。
（3）权：某数制每一位所具有的值称为”权”。
二：进制转换的理论1、二进制数、十六进制数转换为十进制数：用按权展开法把一个任意R进制数a n a n-1 ...a1a0 . a-1a-2...a-m转换成十进制数，其十进制数值为每一位数字与其位权之积的和。
a n×R n+ a n-1×R n-1+…+ a1×R 1+ a0×R0+ a-1×R-1+ a-2×R-2 + …+ a-m×R-m2、十进制转化成R进制十进制数轮换成R进制数要分两个部分：整数部分：除R取余数，直到商为0，得到的余数即为二进数各位的数码，余数从右到左排列(反序排列)。
小数部分：乘R取整数，得到的整数即为二进数各位的数码，整数从左到右排列(顺序排列)。
3、十六进制转化成二进制每一位十六进制数对应二进制的四位，逐位展开。
4、二进制转化成十六进制将二进制数从小数点开始分别向左（对二进制整数）或向右（对二进制小数）每四位组成一组，不足四位补零。
三、具体实现1、二进制转换成十进制任何一个二进制数的值都用它的按位权展开式表示。
例如：将二进制数(10101.11)2转换成十进制数。
（10101.11）2＝1*24＋0*23＋1*22＋0*21＋1*20＋1*2-1＋1*2-2＝24＋22＋20＋2-1+2-2＝(21.75)102、十进制整理转换成二进制将十进制整数转换成二进制整数采用“除2取倒余法”。
即将十进制整数除以2，得到一个商和一个余数；再将商除以2，又得到一个商和一个余数；以此类推，直到商等于零为止。
每次得到的余数的倒排列，就是对应二进制数的各位数。
进位计数制及转换[10页]
十进制转二进制
规则1：先将整数和小数部份分别转换，再将整数部份与小数部分转换的结果连接起来。 规则2：整数部分，除二取余；先出低位。小数部分，乘二取整。
数码： 表示基本数值大小的不同数字符号。例如，十进制有10个数码：0、1、2、3、4、5、6、7、
8、9。
基数： 数制所使用数码的个数。例如，二进制的基数为2；十进制的基数为10。
位权： 某一位上的1所表示数值的大小。例如，十进制的123，1的位权是100，2的位权是10，3的
位权是1。
常用数制
• 十进制：基数10，基本符号0～9， 逢10进1，借1当10。例：123。 • 二进制：基数2，基本符号0和1，逢2进1，借1当2。例：0111 1011。 • 八进制：基数8，基本符号0～7，逢8进1，借1当8。例：173。 • 十六进制：基数16，基本符号0～9，A，B，C，D，E，F（其中A，B，C，D，
逻辑代数是逻辑运算的理论依据，二进制只有两个数码，正好与逻辑代数中的“真”和“假” 相吻合。 易于进行转换
二进制与其它进制数之间，易于互相转换。
二、八、十六进制转成十进制
转换公式：
规则：按权展开，依次相加。 加权公式如下 ，其中，n为整数位数（最低位为０位），m为小数的位数，Ai 为第i位数字，j为
将 (11101.00101)2转换成八进制数，结果为(35.12)8。 11 101. 001 010 3 5. 1 2
将 (11101.00101)2转换成十六进制数，结果为(1D.28)16。
计算机进制之间相互转换
计算机进制之间的相互转换一、进位计数制所谓进位计数制是指按照进位的方法进行计数的数制，简称进位制。
在计算机中主要采用的数制是二进制，同时在计算机中还存在八进制、十进制、十六进制的数据表示法。
下面先来介绍一下进制中的基本概念：1、基数数制是以表示数值所用符号的个数来命名的，表明计数制允许选用的基本数码的个数称为基数，用R表示。
例如：二进制数，每个数位上允许选用0和1，它的基数R＝2；十六进制数，每个数位上允许选用1，2，3，…，9，A，…，F共16个不同数码，它的基数R＝16。
2、权在进位计数制中，一个数码处在数的不同位置时，它所代表的数值是不同的。
每一个数位赋予的数值称为位权，简称权。
权的大小是以基数R为底，数位的序号i为指数的整数次幂，用i表示数位的序号，用Ri表示数位的权。
例如，543．21各数位的权分别为102、101、100、10-1和10-2。
3、进位计数制的按权展开式在进位计数制中，每个数位的数值等于该位数码与该位的权之乘积，用Ki表示第i位的系数，则该位的数值为KiRi。
任意进位制的数都可以写成按权展开的多项式和的形式。
二、计算机中的常用的几种进制。
在计算机中常用的几种进制是：二进制、八进制、十进制和十六进制。
二进制数的区分符用字母B表示，八进制数的区分符用字母O表示，十进制数的区分符用字母D表示或不用区分符，十六进制数的区分符用字母H表示。
1、二进制（Binary System）二进制数中，是按“逢二进一”的原则进行计数的。
其使用的数码为0，1，二进制数的基为“2”，权是以2为底的幂。
2、八进制（Octave System）八进制数中，是按“逢八进一”的原则进行计数的。
其使用的数码为0，1，2，3，4，5，6，7，八进制数的基为“8”，权是以8为底的幂。
3、十进制（Decimal System）十进制数中，是按“逢十进一”的原则进行计数的。
其使用的数码为1，2，3，4，5，6，7，8，9，0，十进制数的基为“10”，权是以10为底的幂。
数字的进位与退位学会进位制与退位制的运算
数字的进位与退位学会进位制与退位制的运算数字的进位与退位：学会进位制与退位制的运算数字是我们日常生活中常见的元素之一，它们构成了我们世界的基本组成部分。
而数字的进位与退位则是我们在数学运算中常用到的重要概念之一。
本文将介绍进位制和退位制的运算方法，帮助读者更好地理解和应用这些概念。
一、进位制的运算方法在进位制中，当一个位数的值超过了该位数的进制数时，就需要进位到高位进行运算。
以十进制为例，当一个位数的值大于等于10时，就需要向左进一位。
比如在十进制中，当个位数达到9时，就需要向十位进位，并将个位数归零，十位数加一。
这样，我们就实现了进位运算。
进位制的运算方法可以通过以下几个步骤来实现：1. 将数字按位分解，从最低位（个位）开始逐位运算。
2. 当一个位数达到进制数时，就需要进位，并将该位数归零。
3. 进位后的数值加上进位数，得到结果。
举个例子来说明进位制的运算方法，假设我们要计算1234 + 5678的结果。
按照进位制的运算方法，我们可以分别计算个位、十位、百位和千位的运算，并进行进位运算。
首先，个位数相加得到个位的结果2，并没有进位。
接着，十位数相加得到十位的结果1，同样没有进位。
百位数相加得到百位的结果9，也没有进位。
最后，千位数相加得到千位的结果1，同样没有进位。
因此，我们得到的结果是6912。
二、退位制的运算方法退位制与进位制相反，是指当一个位数的值小于零时，就需要退位到低位进行运算。
同样以十进制为例，当一个位数的值小于零时，就需要向右退一位。
比如在十进制中，当个位数为0时，就需要向十位退位，并将个位数设为9，十位数减一。
这样，我们就实现了退位运算。
退位制的运算方法可以通过以下几个步骤来实现：1. 将数字按位分解，从最低位（个位）开始逐位运算。
2. 当一个位数小于零时，就需要退位，并将该位数设为退位数减去差值。
3. 退位后的数值加上退位数，得到结果。
让我们用一个例子来说明退位制的运算方法，假设我们要计算98765 - 43210的结果。
数字的进位十位和个位进位的运算
数字的进位十位和个位进位的运算数字的进位：十位和个位进位的运算在数学中，进位是指由于一个数的某一位的进位而导致相邻位的数值发生改变的过程。
数字的进位运算是我们在日常生活和数学计算中经常遇到的一个问题。
本文将介绍数字的进位运算，特别是十位和个位进位的相关概念和计算方法。
一、十位进位在十进制计数系统中，当某个数的个位上的数字大于或等于5时，就需要进行十位进位。
十位进位是将个位上的数字加1，并将个位上的数字变为0的过程。
例如，当我们需要计算47+8时，个位上的数字为7，大于等于5，所以需要进行十位进位，得到的结果为48。
二、个位进位个位进位是指当一个数的个位上的数字加1后，个位上的数字变为0，同时十位上的数字加1的过程。
例如，当我们需要计算59+1时，个位上的数字为9，我们将个位上的数字加1，得到10，并将个位上的数字变为0，最终得到的结果为60。
三、十位和个位同时进位当一个数的个位上的数字加1后需要进行十位进位时，我们需要同时进行十位和个位的进位。
例如，当我们需要计算59+11时，个位上的数字为9，我们将个位上的数字加1，得到10，并将个位上的数字变为0，同时十位上的数字加1，最终得到的结果为70。
四、进位的运算规律在数字的进位运算中，十进制计数系统遵循了一定的规律。
具体而言，当一个数的某一位需要进位时，进位后的结果等于该数在该位上的数字加上进位数。
以个位进位为例，当个位上的数字加1后需要进位时，进位后的结果等于个位上的数字加上进位数1。
例如，当我们需要计算29+1时，个位上的数字为9，加1后需要进行进位，进位后的结果为10。
同样地，十位进位和十进制计数系统遵循同样的规律。
例如，当我们需要计算40+30时，十位上的数字为4，加30后需要进行进位，进位后的结果为70。
五、进位的应用进位运算在生活和学习中具有广泛的应用。
在日常生活中，我们经常会遇到需要进行进位运算的场景。
例如，超市购物时的计算、商业交易时的结算以及工资计算等都可能涉及进位运算。
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进位计数制及其转换方法过程详解
数制也称计数制,是指用一组固定的符号和统一的规则来表示数值的方法。
按进位的原则进行计数的方法,称为进位计数制。
比如，在十进位计数制中,是按照“逢十进一”的原则进行计数的。
常用进位计数制：
1、十进制(Decimal notation)，有10个基数：0 ~~ 9 ，逢十进一；
2、二进制(Binary notation)，有2 个基数：0 ~~ 1 ，逢二进一；
3、八进制(Octal notation)，有8个基数：0 ~~ 7 ，逢八进一；
4、十六进制数(Hexdecimal notation)，有16个基数：0 ~~ 9，A，B，C，D，E，F (A=10,B=11,C=12,D=13,E=14,F=15) ，逢十六进一。
二、进位计数制的基数与位权
"基数"和"位权"是进位计数制的两个要素。
1、基数：
所谓基数，就是进位计数制的每位数上可能有的数码的个数。
例如，十进制数每位上的数码，有"0"、"1"、"3",…，"9"十个数码，所以基数为10。
2、位权：
所谓位权，是指一个数值的每一位上的数字的权值的大小。
例如十进制数4567从低位到高位的位权分别为100、101、102、103。
因为：
4567＝4x103＋5x 102＋6x 101 ＋7x100
3、数的位权表示：
任何一种数制的数都可以表示成按位权展开的多项式之和。
比如：十进制数的435．05可表示为：
435．05＝4x102＋3x 101＋5x100＋0x10－1 ＋5x 10－2
位权表示法的特点是：每一项＝某位上的数字X基数的若干幂次；而幂次的大小由该数字所在的位置决定。
三、二进制数
计算机中为何采用二进制：二进制运算简单、电路简单可靠、逻辑性强。
1、定义：
按“逢二进一”的原则进行计数，称为二进制数，即每位上计满2 时向高位进一。
2、特点：
每个数的数位上只能是０，１两个数字；二进制数中最大数字是１，最小数字是０；基数为２；
比如：与00101011是两个二进制数。
3、二进制数的位权表示：
2＝1x23＋1x 22＋0x 21＋1x 20＋1x2－1 ＋0x 2－2＋1x2－3
4、二进制数的运算规则：
加法运算
① 0＋0＝0 ③ 1＋1＝10
② 0＋1＝1＋0＝1
乘法运算
① 0×0＝0 ③ 1×1＝1
② 0×1＝1×0＝0
四、八进制数
1、定义：
按“逢八进一”的原则进行计数，称为八进制数，即每位上计满8时向高位进一。
2、特点：
每个数的数位上只能是０、１、2、3、4、5、6、7八个数字；八进制数中最大数字是7，最小数字是０；基数为8；
比如：(1347)8与(62435)8是两个八进制数。
3、八进制数的位权表示：
(107．13)8＝1x 82＋0x 81＋7x 80＋1x8－1 ＋3x 8－2
五、十六进制数
1、定义：
按“逢十六进一”的原则进行计数，称为十六进制数，即每位上计满16时向高位进一。
2、特点：
每个数的数位上只能是０、１、2、3、4、5、6、7、8、9、A、B、C、D、E、F十六个数码；十六进制数中最大数字是F，即15，最小数字是０；基数为16；
比如：(109)16与(2FDE)16是两个十六进制数。
3、十六进制数的位权表示：
(109．13)16＝1x 162＋0x161＋9x 160＋1x16－1 ＋3x 16－2
(2FDE)16＝2x 163＋15x 162＋13x 161＋14x 160
六、常用计数制间的对应关系
二进制数、八进制数、十六进制数及十进制数是现代数字系统中常用的四种数制，这几种进位制计数制之间的对应关系如表1所列。
表1 常用计数制数的表示方法
十进制小数转换成非十进制小数采用“进位法”，即乘基数取整数。
把十进制小数不断的用其它进制的基数去乘，直到小数的当前值等于0或满足所要求的精度为止，最后所得到的积的整数部分由上而下排列即为所求。
2、非十进制数转换成十进制数
非十进制数转换成十制数采用“位权法”，即把各非十进制数按位权展开，然后求和。
3、二、八、十进制数之间转换
（1）二进制数与八进制数之间的转换转换方法
①把二进制数转换为八进制数时，按“三位并一位”的方法进行。
以小数点为界，将整数部分从右向左每三位一组，最高位不足三位时，添0补足三位；小数部分从左向右，每三位一组，最低有效位不足三位时，添0补足三位。
然后，将各组的三位二进制数按权展开后相加，得到一位八进制数。
②将八进制数转换成二进数时，采用“一位拆三位”的方法进行。
即把八进制数每位上的数用相应的三位二进制数表示。
③二进制数与十六进制数之间的转换转换方法
a、把二进制数转换为十六进制数时，按“四位并一位”的方法进行。
以小数点为界，将整数部分从右向左每四位一组，最高位不足四位时，添0补足四位；小数部分从左向右，每四位一组最低有效位不足四位时，添0补足四位。
然后，将各组的四位二进制数按权展开后相加，得到一位十六进制数。
b、将十六进制数转换成二进数时，采用“一位拆四位”的方法进行。
即把十六进制数每位上的数用相应的四位二进制数表示。