第12课时 周期函数

课题：函数的周期性教学目标：掌握周期函数的定义及最小正周期的意义 教学重点：了解常见的具有周期性的抽象函数（一） 主要知识：1.周期函数的定义：对于()f x 定义域内的每一个x ，都存在非零常数T ，使得()()f x T f x +=恒成立，则称函数()f x 具有周期性，T 叫做()f x 的一个周期，则kT （,0k Z k ∈≠）也是()f x 的周期，所有周期中的最小正数叫()f x 的最小正周期.2.几种特殊的抽象函数：具有周期性的抽象函数：函数()y f x =满足对定义域内任一实数x （其中a 为常数）,① ()()f x f x a =+，则()y f x =是以T a =为周期的周期函数； ②()()f x a f x +=-，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数；③()()1f x a f x +=±，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数；④()()f x a f x a +=-，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数；⑤1()()1()f x f x a f x -+=+，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数. ⑥1()()1()f x f x a f x -+=-+，则()x f 是以4T a =为周期的周期函数.⑦1()()1()f x f x a f x ++=-，则()x f 是以4T a =为周期的周期函数.⑧函数()y f x =满足()()f a x f a x +=-（0a >），若()f x 为奇函数，则其周期为4T a =， 若()f x 为偶函数，则其周期为2T a =.⑨函数()y f x =()x R ∈的图象关于直线x a =和x b =()a b <都对称，则函数()f x 是以 ()2b a -为周期的周期函数；⑩函数()y f x =()x R ∈的图象关于两点()0,A a y 、()0,B b y ()a b <都对称，则函数()f x 是以()2b a -为周期的周期函数；⑾函数()y f x =()x R ∈的图象关于()0,A a y 和直线x b =()a b <都对称，则函数()f x 是以()4b a -为周期的周期函数；（二）主要方法：1.判断一个函数是否是周期函数要抓住两点：一是对定义域中任意的x 恒有()()f x T f x +=;二是能找到适合这一等式的非零常数T ，一般来说，周期函数的定义域均为无限集.2.解决周期函数问题时，要注意灵活运用以上结论，同时要重视数形结合思想方法的运用，还要注意根据所要解决的问题的特征来进行赋值。

（三）典例分析：问题1．(06山东)已知定义在R 上的奇函数()f x 满足(2)()f x f x +=-，则(6)f 的值为 .A 1- .B 0 .C 1 .D 2()2已知函数()f x 是周期为2的函数，当11x -<<时，2()1f x x =+，当1921x << 时，()f x 的解析式是()3 ()x f 是定义在R 上的以2为周期的函数，对k Z ∈，用k I 表示区间(]21,21kk -+，已知当0x I ∈时，()2f x x =，求()x f 在k I 上的解析式。

问题3．()1（04福建）定义在R 上的函数()x f 满足()()2+=x f x f ，当[]5,3∈x 时，()42--=x x f ，则 .A sin cos66f f ππ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； .B ()()sin 1cos1f f >； .C 22cossin 33f f ππ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ .D ()()cos 2sin 2f f >()2（05天津文） 设()f x 是定义在R 上以6为周期的函数，()f x 在(0,3)内单调递减，且()y f x =的图像关于直线3x =对称，则下面正确的结论是 .A (1.5)(3.5)(6.5)f f f << .B (3.5)(1.5)(6.5)f f f << .C (6.5)(3.5)(1.5)f f f << .D (3.5)(6.5)(1.5)f f f <<问题4．定义在R 上的函数()x f ，对任意R x ∈，有()()()()y f x f y x f y x f 2=-++，且()00≠f ，()1求证：()10=f ；()2判断()x f 的奇偶性；()3若存在非零常数c ,使02=⎪⎭⎫⎝⎛c f ，①证明对任意R x ∈都有()()x f c x f -=+成立； ②函数()x f 是不是周期函数，为什么？问题5．（01全国）设()f x 是定义在R 上的偶函数，其图象关于直线1x =对称，对任意的121,0,2x x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，都有1212()()()f x x f x f x +=⋅.()1设(1)2f =，求1()2f 、1()4f ；()2证明：()f x 是周期函数.()3记⎪⎭⎫ ⎝⎛+=n n f a n212，求lim (ln )n n a →∞.（四）巩固练习：1.（03北京春）若存在常数0p >，使得函数()f x 满足()()2p f px f px =-()x R ∈，()f x 的一个正周期为2.设函数()fx （x R ∈）是以3为周期的奇函数，且()()11,2f f a >=，则.A 2a > .B 2a <- .C 1a > .D 1a <-3.函数()f x 既是定义域为R 的偶函数，又是以2为周期的周期函数，若()f x 在[]1,0-上是减函数，那么()f x 在[]2,3上是.A 增函数 .B 减函数 .C 先增后减函数 .D 先减后增函数4.设1()1x f x x -=+，记(){[()]}n n ff x f f f f x =⋅⋅⋅个，则2007()f x =（五）课后作业：1.已知函数()f x 是以2为周期的周期函数，且当()0,1x ∈时，()21x f x =-，则2(log 10)f 的值为 .A35.B 85.C 38-.D 532.设偶函数()f x 对任意x R ∈，都有1(3)()f x f x +=-，且当[]3,2x ∈--时，()2f x x =，则(113.5)f = .A 27-.B 27.C 15-.D153.设函数()f x 是定义在R 上的奇函数，对于任意的x R ∈，都有1()(1)1()f x f x f x -+=+，当0x <≤1时，()2f x x =，则(11.5)f = .A 1- .B 1 .C12.D 12-3.已知()f x 是定义在实数集R 上的函数，满足(2)()f x f x +=-，且[0,2]x ∈时，2()2f x x x =-.()1求[2,0]x ∈-时，()f x 的表达式；()2证明()f x 是R 上的奇函数．4.（05朝阳模拟）已知函数()f x 的图象关于点3,04⎛⎫- ⎪⎝⎭对称，且满足3()()2f x f x =-+，又(1)1f -=，(0)2f =-，求(1)(2)(3)f f f +++…(2006)f +的值（六）走向高考：1.（05福建）)(x f 是定义在R 上的以3为周期的奇函数，且0)2(=f 在区间()0,6内解的个数的最小值是 .A 2 .B 3 .C 4 .D 52.（07安徽）定义在R 上的函数()f x 既是奇函数，又是周期函数，T 是它的一个正周期．若将方程()0f x =在闭区间[]T T -，上的根的个数记为n ，则n 可能为.A 0.B 1 .C 3 .D 53. (96全国)已知函数)(x f 为R 上的奇函数，且满足(2)()f x f x +=-，当01x ≤<时，()f x x =，则(7.5)f 等于( ).A 0.5 .B 0.5- .C 1.5 .D 1.5-4.（06安徽）函数()fx 对于任意实数x 满足条件()()12f x f x +=，若()15f =-，则()()5ff =5. (06福建文）已知()f x 是周期为2的奇函数，当01x <<时，()lg .f x x =设63(),(),52a f b f ==5(),2c f =则.A a b c << .B b a c << .C c b a <<.D c a b <<6.（04天津）定义在R 上的函数)(x f 既是偶函数又是周期函数，若)(x f 的最小正周期是π，且当]2,0[π∈x 时，x x f sin )(=，则)35(πf 的值为.A 21-.B 21 .C 23-.D237.（05天津）设)(x f 是定义在R 上的奇函数，且)(x f y =的图象关于直线21=x对称，则(1)(2)(3)(4)(5)f f f f f ++++=8.（05广东）设函数()f x 在(,)-∞+∞上满足(2)(2)f x f x -=+，(7)(7)f x f x -=+，且在闭区间[]0,7上，只有(1)(3)0f f ==． （Ⅰ）试判断函数()y f x =的奇偶性；（Ⅱ）试求方程()0f x =在闭区间[]2005,2005-上的根的个数，并证明你的结论。