揭阳市河婆中学2016届高三8月月考(理数)

揭阳市河婆中学2016届高三8月月考数学（理科）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知i 为虚数单位，复数z =()12i i +对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．设cos(α＋π)＝32(π<α<23π)，那么sin(απ-2)的值为( )A.12B.32 C ．－32 D ．－123.我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（ ） A ．1365石 B ．338石 C ．169石 D ．134石4．已知命题:,p m n 为直线，α为平面，若//,,m n n ⊂α则//m α;命题:q 若,>a b 则>ac bc , 则下列命题为真命题的是（ ） A ．p 或q B ．⌝p 或qC ．⌝p 且qD ．p 且q5．已知双曲线22221(0,0)x y a b a -=>>的一个焦点与抛物线212y x =的焦点重合，且双曲）A ．2212718x y -= B ．2211827y x -= C ．2211224x y -= D ．22136x y -= 6、若正数,x y 满足35x y xy +=,则34x y +的最小值是（ ）A ．6B ．5C ．245 D ．2857．将4个颜色互不相同的球全部放入编号为1,2的两个盒子里，使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号，则不同的放球方法有( ) A ．10种 B ．20种 C ．36种 D ．52种8、在△ABC 中，内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，若22a b -，sin C B =，则A =（ ）A ．060 B ．0150 C ． 030 D ．0120 9.如下图所示，该程序运行后输出的结果为 ( )A ．14B ．16C ．18D ．6410．某几何体的三视图如图所示，图中的四边形都是边长为4的正方形，其中正视图、侧视图中的两条虚线互相垂直，则该几何体的表面积是（ ）A ． 92B ．C ． 80D ．11．二项式1(nx-展开式中含有2x 项，则n 可能的取值是（ ） A ．5 B ．6 C ．7 D ．812．用C （A ）表示非空集合A 中元素的个数，定义A*B=，若A={1，2}，B={x|（x 2+ax ）（x 2+ax+2）=0}，且A*B=1，设实数a 的所有可能取值构成集合S ，则C （S ）=（ ）A 。

1B ．2C ．3D ．4第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。

第13题～第21题为必考题，每个考生都必须做答。

第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答。

二．填空题：本大题共4小题，每小题5分。

13.函数2lg(23)y x x =--+的定义域是________(用区间表示)．14.在等腰ABC ∆中，90,2,2,BAC AB AC BC BD ∠====3AC AE =，则A D B E ⋅ 的值为________15.若,x y 满足约束条件：02323x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩；则x y -的取值范围为_____16.已知数列{n a }通项公式为n a ＝－n ＋p ，数列{n b }通项公式为n b ＝52n －，设n c ＝(),(),n n n n n na ab b a b ⎧⎨⎩≤＞若在数列{n c }中，8c ＞n c （n ∈N ﹡,n≠8），则实数p 的取值范围是_______.三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17.（本小题满分12分）设{}n a 是公比q 大于1的等比数列，n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知37S =，且1233,3,4a a a ++构成等差数列. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）令31ln ()n n b a n N *+=∈，求数列{}n b 的前n 项和n T .18. （本小题满分１2分）如图，在长方体1111ABCD A BC D -中，AD =1AA =1，2AB =，点E 是线段AB 中点.(1)求证：1D E CE ⊥;(2)求二面角1D EC D --的大小的余弦值；19．（本小题满分12分）某数学老师对本校2013届高三学生的高考数学成绩按1:200进行分层抽样抽取了20名学生的成绩，并用茎叶图记录分数如图所示，但部分数据不小心丢失，同时得到如下所示的频率分布表：（1）求表中a ，b 的值及分数在[90,100)范围内的学生人数，并估计这次考试全校学生数学成绩的及格率（分数在[90,150）内为及格）：（2）从成绩在[100,130)范围内的学生中随机选4人，设其中成绩在[100,110)内的人数为X ，求X 的分布列及数学期望.20.(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy 中，已知点(A ，B ，E 为动点，且直线EA 与直线EB 的斜率之积为12-. （1）求动点E 的轨迹C 的方程；（2）设过点(1,0)F 的直线l 与曲线C 相交于不同的两点M ，N .若点P 在y 轴上，且PM PN =，求点P 的纵坐标的取值范围.21. （本小题满分12分）已知函数2()ln x f x a x x a =+-，1a >.(1)求证函数()f x 在(0，＋∞)上单调递增； (2)若函数1()3y f x b b=-+-有四个零点，求b 的取值范围； (3)若对于任意的x ∈[－1,1]时，都有()f x 21e ≤-恒成立，求a 的取值范围．选做题：请考生从第22、23、24题中任选一题做答，并按要求在答题卷上相应位置做好标志．多答按所答的首题进行评分．22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图所示，AC 为⊙O 的直径，D 为弧BC 的中点，E 为BC 的中点． （I ）求证：DE ∥AB ；（Ⅱ）求证：CD AD BC AC ∙=∙223．（本题满分10分）选修4—4:坐标系与参数方程. 在直角坐标系xOy 中,圆C 的参数方程1cos (sin x y ϕϕϕ=+⎧⎨=⎩为参数).以O 为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.(Ⅰ)求圆C 的极坐标方程； (Ⅱ)射线:4OM πθ=与圆C 的交点为O 、P 两点，求P 点的极坐标.24。

（本大题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()3f x x x a =---．()1当2a =时，解不等式()12f x ≤-；()2若存在实数a ，使得不等式()f x a ≥成立，求实数a 的取值范围．数学（理科）参考答案一、选择题：BACBD BACAB DC 二、填空题:13. (3,1)-．14.43-15.[3,0]- 16。

(12,17).10.解：由已知中的三视图，可知该几何体是一个正方体挖去一个四棱锥所得的几何体，正方体的边长为4，故每个侧面的面积为：4×4=16，棱锥的侧高为：2，故每个侧面的面积为：×4×2=4，故该几何体的表面积S=5×16+4×4=，故选：B ． 12.解：由于（x 2+ax ）（x 2+ax+2）=0等价于x 2+ax=0 ① 或x 2+ax+2=0 ②，又由A={1，2}，且A*B=1，∴集合B 要么是单元素集合，要么是三元素集合， 1°集合B 是单元素集合，则方程①有两相等实根，②无实数根，∴a=0； 2°集合B 是三元素集合，则方程①有两不相等实根，②有两个相等且异于①的实数根，即，解得a=±2，综上所述a=0或a=±2，∴C （S ）=3．故选：C ．三解答题：17解：（1）由已知得1231327(3)(4)6a a a a a a ++=⎧⎨+++=⎩，即211121117(76a a q a q a a q a q⎧++=⎪⎨++=⎪⎩， 结合1q >解得112a q =⎧⎨=⎩………5分 ∴ 1112n n n a a q --==…………6分（2）由（1）得，331ln ln 23ln 2n n n b a n +===，∴13ln 2n n b b +-=，∴{}n b 是以13ln 2b =为首项，公差3ln 2d =的等差数列，∴112()(3ln 23ln 2) (22)n n n n b b n n T b b b ++=+++== 即3(1)ln 22n n n T +=…………12分18.解：(１) 证明：1DD ⊥ 面ABCD ，CE ⊂面ABCD 所以，1DD ⊥ CE ………１分Rt DAE ∆中，1AD =，1AE =DE ……………3分同理：CE =，又2CD = ，222CD CE DE =+ DE CE ⊥………………4分DE CE E = 所以，CE ⊥面1D DE ……5分 又1D E ⊂面1D EC所以，1D E CE ⊥……6分(２)解法一 由（１）证可知ED D 1∠是所求二面角1D EC D --的平面角…………8分在ED D RT 1∆中，11=DD ，2=DE ；故，2t an 1∠D 分即二面角1D EC D --的大小的余弦值为3分解法二：利用向量法设平面E CD 1的法向量为)1,,(y x =，由(１)得,1(1=D )0,1,1(-=CE011=-+=⋅y x E D m 且0=-=⋅y x CE m解得：21==y x ,即)1,21,21(=m ；………9分 又平面CDE 的法向量为)1,0,0(1=DD ，36114141111=⋅++==∴ 所以，二面角1D EC D --分 19.解析：（1）由茎叶图可知分数在[50,70)范围内的有2人，在[110,130) 范围内的有3人， ∴a=20.1,20= b=3；分数在[70,90)内的人数20×0.25=5，结合茎叶图可得分数在[70,80)内的人数为2，所以分数在[90,100)范围内的学生人数为4，故数学成绩及格的学生为13人，所以估计这次考试全校学生数学成绩的及格率为1320×100%=65%. （2）由茎叶图可知分数在[100,130)范围内的有7人，分数在[100,110)范围内的有4人，则随机变量X 的所有可能取值为1,2,3,4.相应的概率为：P(X=1)=134347C C C =435 ；P(X=2)=224347C C C =1835 ；P(X=3)=314347C C C =1235；P(X=4)=404347C C C =135. E(X)=1×35+2×35+3×35+4×35=720解：（１）设动点E 的坐标为(,),x y y ≠12=-，整理得221(2x y x +=≠.……………………2分所以动点E 的轨迹C的方程为221(2x y x +=≠. ………………………3分（２）当直线l 的斜率不存在时，满足条件的点P 的纵坐标为0. ……………4分 当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为(1)y k x =-.将(1)y k x =-代入2212x y +=并整理得，2222(21)4220k x k x k +-+-=. 2880k ∆=+>. ………………6分设11(,)M x y ，22(,)N x y ，则2122421k x x k +=+， . 设MN 的中点为Q ，则22221Q k x k =+，2(1)21Q Q k y k x k =-=-+， 所以2222(,)2121k kQ k k -++………8分 由题意可知0k ≠， 又直线MN 的垂直平分线的方程为22212()2121kk y x k k k +=--++.令0x =解得211212P k y k k k==++………9分当0k >时，因为12k k +≥0P y <≤=；.………10分 当0k <时，因为12k k +≤-，所以0P y >≥= .………11分 综上所述，点P纵坐标的取值范围是[44-. .……12分 21. 解：(1)证明∵f (x )＝a x ＋x 2－x ln a ，∴f ′(x )＝a x ·ln a ＋2x －ln a ＝(a x －1)ln a ＋2x . ……………2分∵a >1，x >0，∴a x －1>0，ln a >0,2x >0，∴当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )>0， 即函数f (x )在区间(0，＋∞)上单调递增………4分(2)解：由(1)知当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )<0，∴f (x )在(－∞，0]上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增．∴f (x )取得最小值为f (0)＝1………………5分由1()f x b b-+－3＝0，得f (x )＝b －1b ＋3或f (x )＝b －1b －3，∴要使函数y ＝1()f x b b -+－3有四个零点，只需131131b bb b⎧-+>⎪⎪⎨⎪-->⎪⎩………………7分即b －1b >4，即b 2－4b －1b >0，解得b >2＋5或2－5<b <0.故b 的取值范围是(2－5，0)∪(2＋5，＋∞)……8分(3)解：由(1)知f (x )在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增， f (－1)＝1a ＋1＋ln a ，f (1)＝a ＋1－ln a ，∴f (1)－f (－1)＝a －1a－2ln a令H (x )＝x －1x －2ln x (x >0)，则H ′(x )＝1＋1x 2－2x ＝x 2－2x ＋1x 2＝(x －1)2x 2>0，∴H (x )在(0，＋∞)上单调递增．∵a >1，∴H (a )>H (1)＝0. ∴f (1)>f (－1) ∴|f (x )|的最大值为 f (1)＝a ＋1－ln a ，………………10分 ∴要使()f x 22e ≤-恒成立，只需a ＋1－ln a ≤e 2－2即可令h (a )＝a －ln a (a >1)，h ′(a )＝1－1a >0，∴h (a )在(1，＋∞)上单调递增．∵h (e 2)＝e 2－1，∴只需h (a )≤h (e 2)，即1<a ≤e 2. 故a 的取值范围是(1，e 2]………12分22．解：（Ⅰ）连接BD ，因为D 为弧BC 的中点，所以BD DC =．因为E 为BC 的中点，所以DE BC ⊥．因为AC 为圆的直径，所以90ABC ∠=︒，所以//AB DE ．…5分 （Ⅱ）因为D 为弧BC 的中点，所以BAD DAC ∠=∠，又BAD DCB ∠=∠,则BCD DAC ∠=∠．又因为A D D C ⊥，DE CE ⊥，所以D A C ∆∽ECD ∆． 所以AC ADCD CE=，AD CD AC CE ⋅=⋅ ,2AD CD AC BC ∴⋅=⋅. …10分23．解：(Ⅰ)圆C 的普通方程是221y 1x -+=()，又cos ,sin x y ρθρθ== 所以圆C 的极坐标方程是2cos ρθ= ………………………5分 (Ⅱ)因为射线:4OM πθ=的普通方程为,0y x x =≥ 联立方程组22,01y 1y x x x =≥⎧⎨-+=⎩()消去y 并整理得20x x -= 解得1x =或0x =，所以P 点的坐标为(1,1)所以P点的极坐标为)4π………………………10分解法2：把4πθ=代入2cos ρθ=得2cos4πρ==所以P点的极坐标为)4π………………………10分24.解:(1)2a = 1(2)()3252(23)1(3)x f x x x x x x ≤⎧⎪∴=---=-<<⎨⎪-≥⎩………1分1()2f x ∴≤-等价于2112x <⎧⎪⎨≤-⎪⎩或152223x x ⎧-≤-⎪⎨⎪<<⎩或3112x ≥⎧⎪⎨-≤-⎪⎩………3分 解得1134x ≤<或3x ≥，所以不等式的解集为11{|}4x x ≥………5分 (2)由不等式性质可知()3(3)()=3f x x x a x x a a =---≤----………8分∴若存在实数x ，使得不等式()f x a ≥成立，则3a a -≥，解得32a ≤∴实数a 的取值范围是3(,]2-∞………10分。