第三章+地球重力场与地球形状的基本理论
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地球椭球基本参数及其相互关系
• 地球椭球5参数。 • 推导V和W的关系。 • 关于地球几何参数引入的3个符号和2个
辅助函数要记牢。
思考题
• 地球椭球5参数是哪些？ • 关于地球几何参数引入的3个符号和2个
辅助函数的意义是什么？如何定义的？
第三章 知识点总结
9、（1）正常椭球和水准椭球(不加区别)， 总地球椭球（全球范围内与大地体最为密合 ＋重心合＋起始子午面合＋轴合）
与大地体最为密合含义是大地水准面差距平 方和最小 （2）正常椭球（10 总地球椭球的一种，用 陆地资料确定的），用四参数描述＋4合 四个参数：长轴＋扁率＋二阶主球谐系数＋地 球行重力常数 （3）参考椭球（全国或某地区范围内与大地体 最为密合）
第三章 知识点总结
第3章 地球重力场及地球形状 的基本理论
1、地球基本参数：几何参数、物理参数
2、重力＝引力和离心力(5)
特点：
重力位＝引力位和离心力位(10) 1、不同位置重力 位不同
W f
dm 2
x2 y2
r
2
2、无法得到
3、重力位＝正常重力位＋扰动位 (10) 重力＝正常重力＋重力异常 (10)
1 1 e2
e'2
sin 2
B
V W 1 1 e2
W 1 e'2
1 e2 1 e'2 e'2 sin2 B
1 e2 1 e'2 cos2 B
V 1 e2
推导：
e2 2 2
a
a
b
2
(a b)2 a2
a2
2ab b2 a2
2a2 2ab a2
辅助函数要记牢。
思考题
• 地球椭球5参数是哪些？ • 关于地球几何参数引入的3个符号和2个
辅助函数的意义是什么？如何定义的？
第三章 知识点总结
9、（1）正常椭球和水准椭球(不加区别)， 总地球椭球（全球范围内与大地体最为密合 ＋重心合＋起始子午面合＋轴合）
与大地体最为密合含义是大地水准面差距平 方和最小 （2）正常椭球（10 总地球椭球的一种，用 陆地资料确定的），用四参数描述＋4合 四个参数：长轴＋扁率＋二阶主球谐系数＋地 球行重力常数 （3）参考椭球（全国或某地区范围内与大地体 最为密合）
第三章 知识点总结
第3章 地球重力场及地球形状 的基本理论
1、地球基本参数：几何参数、物理参数
2、重力＝引力和离心力(5)
特点：
重力位＝引力位和离心力位(10) 1、不同位置重力 位不同
W f
dm 2
x2 y2
r
2
2、无法得到
3、重力位＝正常重力位＋扰动位 (10) 重力＝正常重力＋重力异常 (10)
1 1 e2
e'2
sin 2
B
V W 1 1 e2
W 1 e'2
1 e2 1 e'2 e'2 sin2 B
1 e2 1 e'2 cos2 B
V 1 e2
推导：
e2 2 2
a
a
b
2
(a b)2 a2
a2
2ab b2 a2
2a2 2ab a2
第三章地球重力场及地球形状的基本理论1-PPT资料73页
第二节 地球重力场的基本原理
（3）引力位的物理意义 引力所做功等于位函数在终点和起点的函数值之差。 在某一位置处质体的引力位就是将单位质点从无穷远处移动到
该点所做功。
Q
A dVVQVQ0
Q0
Q
M
Q0
F
m
第二节 地球重力场的基本原理
2 离心力位
x r cos cos , y r cos sin , z r sin
空间点S的坐标（x,y,z)，地面质点M的坐标(xm,ym,zm)
则有
z
(Xm,ym,zm)
dm
Rψ
o
φm φ
λm λ
ρ
r S0
Se
y
(X，y，z) S
V f dm
x
第二节 地球重力场的基本原理
将 引力位函数
用级数展开，再代入 有:
再将
代入，按（R/r）合并集项得：
第二节 地球重力场的基本原理
（2） 位函数的性质 ① 位函数是标量函数，可对各分量求和，也可对某个质体进行积 分。 V＝V1＋V2＋·····＋ Vn 所以，地球总体的位函数应等于组成其质量的各基元分体位 函数dVi之和，对整个地球而言，则有
dm
V dV f
M
M
z
(Xm,ym,zm)
dm Rψ
(X，y，z) S
第二节 地球重力场的基本原理
讨论前三项： ① 先看v0
可见，V0就是把地球质量集中到地球质心处时的点的引力位。 ② 再讨论v1，ψ 为R,r之间的夹角
r x iyjz k Rxmiymjzmk
第二节 地球重力场的基本原理
上式两边同除以地球质量M，又因为
地球椭球基本参数及其相互关系
a b 1 e'2 c a 1 e'
2
b a 1 e2 a c 1 e2 e e' 1 e2
2
e' e 1 e'2 V W 1 e'
a 1 e'2 b
W V 1 e2
b 1 e2 a
e 2 2 2
2 2 2
1 V W 1 e2
W 1 e'
2
V 1 e2
推导：
e2 2 2
a 2 2 2 ( a b) a 2 ab b 2 2 2 a a 2 2 2 2 a 2 ab b a 2 a a2 2( a b ) a 2 b 2 a a2 2 e 2 e 2 2 2
第三章 知识点总结
3、正高系统（10 定义和特点） 水准面、大地水准面
特点： 1、唯一性 2、无法得到
4、正常高系统（10 定义和特点） 似大地水准面、通过用？代替？得到的正高 5、国家高程基准（10 56基准和85基准） 72.260和72.289
第三章 知识点总结
6、垂线偏差
垂线偏差的基本概念 和分量 （10） 测定方法（1）天文大地测量方法（7 原理） （2）重力测量方法（2） （3）天文重力方法（2） （4）GPS测量方法（10） 7、大地水准面差距 大地水准面差距的基本概念 和分量 （10） 高程异常定义和作用（10） 测定方法： 天文大地测量方法（8 重力测量方法（2） 空间大地测量方法（2） GPS 最小二乘配置（2） 9个参数）
e2
e'
2
1/298.3 1/298.257 1/298.257223563 0.00663421622966 0.006694684999588 0.0066943799013 0.006738525414683 0.006739501819473 0.00673949674227
2
b a 1 e2 a c 1 e2 e e' 1 e2
2
e' e 1 e'2 V W 1 e'
a 1 e'2 b
W V 1 e2
b 1 e2 a
e 2 2 2
2 2 2
1 V W 1 e2
W 1 e'
2
V 1 e2
推导：
e2 2 2
a 2 2 2 ( a b) a 2 ab b 2 2 2 a a 2 2 2 2 a 2 ab b a 2 a a2 2( a b ) a 2 b 2 a a2 2 e 2 e 2 2 2
第三章 知识点总结
3、正高系统（10 定义和特点） 水准面、大地水准面
特点： 1、唯一性 2、无法得到
4、正常高系统（10 定义和特点） 似大地水准面、通过用？代替？得到的正高 5、国家高程基准（10 56基准和85基准） 72.260和72.289
第三章 知识点总结
6、垂线偏差
垂线偏差的基本概念 和分量 （10） 测定方法（1）天文大地测量方法（7 原理） （2）重力测量方法（2） （3）天文重力方法（2） （4）GPS测量方法（10） 7、大地水准面差距 大地水准面差距的基本概念 和分量 （10） 高程异常定义和作用（10） 测定方法： 天文大地测量方法（8 重力测量方法（2） 空间大地测量方法（2） GPS 最小二乘配置（2） 9个参数）
e2
e'
2
1/298.3 1/298.257 1/298.257223563 0.00663421622966 0.006694684999588 0.0066943799013 0.006738525414683 0.006739501819473 0.00673949674227
地球重力场及地球形状的基本理论
A b
O C
a
3、球面三角形公式（单位球）
余切公式（四元素）
cot a sin c cos c cos B sin B cot A
cot a sin b cos b cos C sin C cot A
cot
A sin
C
cos C
cos b
sin
b cot
a
x y
si
1
nB
L
sinB L
1
cos
B
L
x1 y1
sinA cosc cosC sinB sinC cos B cosa sinB cosc cosC sinA sinC cos A cosb sinC cosb cos B sinA sinB cos A cosc
3 拉普拉斯方程
以测站为中心作单位半径的辅助球，ZO为法线，Z1O为垂线，μ 为 垂线偏差，η 为其在卯酉圈上（东西方向）的分量，ξ 为其在子午圈 上（南北方向）的分量。
BF
BF sin a OB BE BF sin A BD OB BD
BE
sin a sin b sin c sin A sin B sin C
单位球 sin a sin b sin c
R R R (半径为R) sin A sin B sin C
3、球面三角形公式（单位球）
cos A sin A
900-B-ξ
Q
A′
六、垂线偏差公式（天文经纬度的归算）
Z
第三章 1重力场基本理论
0 2
B− A A =f ( ) 4
2 2
若地球是旋转椭球体， 若地球是旋转椭球体，则有转动惯量
A = B ，将系数代入
M K ω 2r 3 2 则有： 则有： U = f [1 + 2 (1 − 3 cos θ ) + sin 2 θ ] r 2 fM 2r
式中： 式中：
KM = A − C
地球正常重力位的公式
g
水准面之间既不平行，也不相交和相切。 水准面之间既不平行，也不相交和相切。
重力的单位
•对于某一单位质点而言，作用其上的重力在数值上等 于使它产生的重力加速度的数值，所以重力即采用重 力加速度的量纲，单位是： 伽(Gal=cms－２)， ， 毫伽(mGal= Gal/1000=10－５ms－２) 微伽(µGal= mGal/1000=10－８m s－２) •地面点重力近似值 980Gal，赤道重力值 978Gal，两 极重力值 983Gal。由于地球的极曲率及周日运动的原 因，重力有从赤道向两极增大的趋势。 •地球上重力的大小与方向只与被吸引点的位置有关， 理论上应该是常数，但重力是随时间变化而变化，即 相同的点在不同的时刻所观测到的重力不相同。
四、地球的正常重力位
重力位
dm ω 2 2 W = f ⋅∫ + (x + y2 ) r 2 M
•要精确计算出地球重力位，必须知道地球表面的形状 及内部物质密度，但前者正是我们要研究的，后者分 布极其不规则，目前也无法知道，故根据上式不能精 确地求得地球的重力位，为此引进一个与其近似的地 球重力位——正常重力位。 •正常重力位是一个函数简单、不涉及地球形状和密度 便可直接计算得到的地球重力位的近似值的辅助重力 位。当知道了地球正常重力位，想法求出它同地球重 力位的差异(称扰动位)，便可求出大地水准面与这已 知形状(正常位水准面)的差异。最后解决确定地球重 力位和地球形状的问题。
B− A A =f ( ) 4
2 2
若地球是旋转椭球体， 若地球是旋转椭球体，则有转动惯量
A = B ，将系数代入
M K ω 2r 3 2 则有： 则有： U = f [1 + 2 (1 − 3 cos θ ) + sin 2 θ ] r 2 fM 2r
式中： 式中：
KM = A − C
地球正常重力位的公式
g
水准面之间既不平行，也不相交和相切。 水准面之间既不平行，也不相交和相切。
重力的单位
•对于某一单位质点而言，作用其上的重力在数值上等 于使它产生的重力加速度的数值，所以重力即采用重 力加速度的量纲，单位是： 伽(Gal=cms－２)， ， 毫伽(mGal= Gal/1000=10－５ms－２) 微伽(µGal= mGal/1000=10－８m s－２) •地面点重力近似值 980Gal，赤道重力值 978Gal，两 极重力值 983Gal。由于地球的极曲率及周日运动的原 因，重力有从赤道向两极增大的趋势。 •地球上重力的大小与方向只与被吸引点的位置有关， 理论上应该是常数，但重力是随时间变化而变化，即 相同的点在不同的时刻所观测到的重力不相同。
四、地球的正常重力位
重力位
dm ω 2 2 W = f ⋅∫ + (x + y2 ) r 2 M
•要精确计算出地球重力位，必须知道地球表面的形状 及内部物质密度，但前者正是我们要研究的，后者分 布极其不规则，目前也无法知道，故根据上式不能精 确地求得地球的重力位，为此引进一个与其近似的地 球重力位——正常重力位。 •正常重力位是一个函数简单、不涉及地球形状和密度 便可直接计算得到的地球重力位的近似值的辅助重力 位。当知道了地球正常重力位，想法求出它同地球重 力位的差异(称扰动位)，便可求出大地水准面与这已 知形状(正常位水准面)的差异。最后解决确定地球重 力位和地球形状的问题。
(武汉大学大地测量学课件)第三章 地球重力场及地球形状的基本理论
=M0
z
m
dm
定义坐标系：x 0 = y 0 = z 0 = 0 ，则有：
v0 =
f r
M
v1
=
f r3
( x ∫ xm dm
M
+
y∫
M
y m dm
+
z ∫ zm dm )
M
=
0
v2
=
f 2r 5
[( y 2
+
z2
−
2x2)A
+
(x2
+
z2
−
2 y 2 )B
+
(x2 + y2 − 2z 2 )C + 6 yzD + 6xzE + 6xyF ]
地球重力场的基本原理
3.2.3 重力位
重力是引力和离心力的合力，重力位W是引力位V和离心 力位Q之和：
W =V +Q
∫ W = f ⋅ dm + ω 2 (x2 + y2 )
r2
对三坐标轴求偏导数求得重力的分力或重力加速度分量：
gx
=
−
∂W ∂x
gy
=
−
∂W ∂y
g = − ∂W
z
∂z
= −(∂V ∂x
F
=
f
⋅
M ⋅m r2
P = mω 2ρ
gv
=
v F
+
v P
其它作用力（太阳、月亮）大多数情况下可忽略。
8
地球重力场的基本原理
3.2.2 引力位和离心力位
由理论力学可知，如果某一空间（有限或无限）的 任意一点都有一定力的作用，而力的大小与方向只与该 点的位置有关，则这一空间称为力场。就力场而言，具 有共同的特性，即力场所做的功与路径无关，只与起点 与终点有关。这样的力称为保守力。引力与离心力都是 保守力。
大地测量学基础-第3章地球重力场及地球形状的基本理论
M
zm2 )dm
M
M
• 地球正常(水准)椭球的基本参数(又称地球大地基准常数)也有4个。
它们是：
a, J2 , fM ,
•
其中：J 2
K a2
为引力位中二阶主球谐函数的系数, 与扁率有关。
五、正常椭球和水准椭球，总地球椭球与参考椭球
1、正常椭球和水准椭球
• 前已述及，与正常重力位相对应的水准面叫正常位水准面，它所 包围的形体是一个旋转椭球体。在物理大地测量中，该旋转椭球 体叫正常椭球，也叫水准椭球或等位椭球。
从赤道向两极增大的趋势——
赤道重力值约978Gal；
两极重力值 约983Gal；
除两极和赤道外其它地面点的重力近似值为 980Gal。
四、地球的正常重力位和正常重力
1、地球正常重力位 • 地球重力位包括引力位和离心力位，其计算公式为(3-53) :
W f
dm
2
(x2
y2)
Mr
2
• 式中第二项为离心力位，比较容易计算；第一项是引力位，无法 精确计算，因为我们无法准确知道地球内部物质密度分布以及地 球的真实形状。
• 为便于研究，人们将地球重力位分成两部分，即：
•
地球重力位 = 正常重力位 + 扰动位
• 正常重力位是正常引力位与离心力位之和，是一个函数简单、不 涉及地球真实形状和密度便可直接计算得到的地球重力位的近似 值的辅助重力位。地球重力位与正常重力位之差便是扰动位。
• 计算出正常重力位之后，若能想法求出它同地球重力位的差异 (扰动位)，便可求得大地水准面与这已知形状(正常位水准面)的 差异，从而确定地球重力位和地球形状。
gy
W y
( V y
Q y
zm2 )dm
M
M
• 地球正常(水准)椭球的基本参数(又称地球大地基准常数)也有4个。
它们是：
a, J2 , fM ,
•
其中：J 2
K a2
为引力位中二阶主球谐函数的系数, 与扁率有关。
五、正常椭球和水准椭球，总地球椭球与参考椭球
1、正常椭球和水准椭球
• 前已述及，与正常重力位相对应的水准面叫正常位水准面，它所 包围的形体是一个旋转椭球体。在物理大地测量中，该旋转椭球 体叫正常椭球，也叫水准椭球或等位椭球。
从赤道向两极增大的趋势——
赤道重力值约978Gal；
两极重力值 约983Gal；
除两极和赤道外其它地面点的重力近似值为 980Gal。
四、地球的正常重力位和正常重力
1、地球正常重力位 • 地球重力位包括引力位和离心力位，其计算公式为(3-53) :
W f
dm
2
(x2
y2)
Mr
2
• 式中第二项为离心力位，比较容易计算；第一项是引力位，无法 精确计算，因为我们无法准确知道地球内部物质密度分布以及地 球的真实形状。
• 为便于研究，人们将地球重力位分成两部分，即：
•
地球重力位 = 正常重力位 + 扰动位
• 正常重力位是正常引力位与离心力位之和，是一个函数简单、不 涉及地球真实形状和密度便可直接计算得到的地球重力位的近似 值的辅助重力位。地球重力位与正常重力位之差便是扰动位。
• 计算出正常重力位之后，若能想法求出它同地球重力位的差异 (扰动位)，便可求得大地水准面与这已知形状(正常位水准面)的 差异，从而确定地球重力位和地球形状。
gy
W y
( V y
Q y
大地测量学基础(第3章 地球重力场及地球型状的基本理论+2012.02.25 续1)
2
一、地球重力场模型
• 建立空间直角坐标系与球面极坐标系
2
r
R r
2
2
R
R r
2
2 Rr cos r [1 (
2
R r
)
2
2
R r
cos ]
l (
) 2
cos
1 2
1
V
1 r
(1 l )
f r
(1
1 2
l
3 8
l
2
5 16
l ) dm
2H R
3H R
2
2
)] 2 0
H R
3
0H
R
2
1 g 0 . 3086 H 0 . 72 10
7
H
2
0 0 . 3086 H
22
二、地球正常重力场
正常重力场参数
在物理大地测量中,正常椭球重力场可用4个基本参 数决定,即：
U0, A0 fM , A2 f ( A C ) fK M ,
3
V v 0 v1 v 2
v
i0
n
i
按(R/r)集项
3
一、地球重力场模型
v0
f r
f r
dm
M
f
M r
v1
M
R r
cos dm 0
v2
f r
M
(r )
R
R
2
( cos ) dm 2 2
2
3
1
v3
f r
大地测量学基础(第3章地球重力场及地球型状的基本理论
重力归化的三个主要目的： （1）求定大地水准面； （2）内插和外推重力值（需要先移去高频变 化，然后再恢复）； （3）研究地壳状态。
17
三、重力归算 重力归化包括以下步骤：
首先将大地水准面外部的地形质量全部去掉，或 者移到大地水准面以下去，然后再将重力测量结果从 地面降低到大地水准面上。
18
三、重力归算
2、对于正常椭球，除了确定其4个基本参数：a, J２， fM和ω外，也要定位和定向。正常椭球的定位是使其 中心和地球质心重合，正常椭球的定向是使其短轴与地 轴重合，起始子午面与起始天文子午面重合。
3、正常椭球面 是大地水准面的规则形状（一般指 旋转椭球面）。因此引入正常椭球后，地球重力位被分 成正常重力位和扰动位两部分，实际重力也被分成正常 重力和重力异常两部分。
p
1
M 0
T
p
N
1
cos 0
T
M：子午圈半径；N：夘酉圈半径
7
一、大地水准面差距和垂线偏差
6、 边值问题线性化
g W n
U 1 U U ne cos p n n
T
n
p
W n
p
U n
p g p p
8
一、大地水准面差距和垂线偏差
将p点正常重力展开为P0点的泰劳级数，并代入上式。
5）椭球的质心与地球质心重合
V
2V x 2
2V y 2
2V z 2
0
Lanplace 算子作用与 地球外部重力场=0
V |s = V0
lim V = 0
∞
1
一、大地水准面差距和垂线偏差
补充说明：
1、理论上除了确定其M和ω值外，其规则形状可以 任意选择。但考虑到实际使用的方便，又顾及几何大地 测量中采用旋转椭球的实际情况，目前都采用水准椭球 作为正常椭球。
17
三、重力归算 重力归化包括以下步骤：
首先将大地水准面外部的地形质量全部去掉，或 者移到大地水准面以下去，然后再将重力测量结果从 地面降低到大地水准面上。
18
三、重力归算
2、对于正常椭球，除了确定其4个基本参数：a, J２， fM和ω外，也要定位和定向。正常椭球的定位是使其 中心和地球质心重合，正常椭球的定向是使其短轴与地 轴重合，起始子午面与起始天文子午面重合。
3、正常椭球面 是大地水准面的规则形状（一般指 旋转椭球面）。因此引入正常椭球后，地球重力位被分 成正常重力位和扰动位两部分，实际重力也被分成正常 重力和重力异常两部分。
p
1
M 0
T
p
N
1
cos 0
T
M：子午圈半径；N：夘酉圈半径
7
一、大地水准面差距和垂线偏差
6、 边值问题线性化
g W n
U 1 U U ne cos p n n
T
n
p
W n
p
U n
p g p p
8
一、大地水准面差距和垂线偏差
将p点正常重力展开为P0点的泰劳级数，并代入上式。
5）椭球的质心与地球质心重合
V
2V x 2
2V y 2
2V z 2
0
Lanplace 算子作用与 地球外部重力场=0
V |s = V0
lim V = 0
∞
1
一、大地水准面差距和垂线偏差
补充说明：
1、理论上除了确定其M和ω值外，其规则形状可以 任意选择。但考虑到实际使用的方便，又顾及几何大地 测量中采用旋转椭球的实际情况，目前都采用水准椭球 作为正常椭球。
地球重力场PPT课件
S
离心加速度即向心加速度， 指向圆心。但此处与前一种 推导方法相差一个负号
r
S
y
o
φ
z
λ
S
x
e
x
y
地球重力场及地球形状的基本理论
由加速度求离心力位：
离心力位Q对各坐标轴的偏导数等于相应坐标轴上的加速度向量的负值。
Q
x Q
y
2x
x
2y
y
Q 0
z
故离心力位公式：
Q 2（x2 y2）
2
地球重力场及地球形状的基本理论
若设加速度的模a：
a ax2ay2az2
(a,x),(a,y),(a,z)为a与各坐标轴之间的夹角，则
ax =acos(a,x), ay=acos(a,y), az=acos(a,z)
地球重力场及地球形状的基本理论
④引力位的物理意义
引力所做功等于位函数在终点和起点的函数值之差。
Q
AdVVQ0VQ
Q0
地球重力场及地球形状的基本理论
位函数 ①位函数：通俗地讲，即在
一个参考坐标系中，位函数表示 被作用点的位能大小。
借助于位理论来研究地球重力场是非常方便的。
②位函数的性质
位函是标量函数，可对各分量求和，也可对某个质体进行 积分。
V＝V＋Q+…
其对三个坐标方向的一阶导数的数值等于作用力在该方向 上的分力大小。
S
质 点 引 力 位
x
z
m 1
r
m
( ,, )
o
(x, y, z) y
引力位
地球重力场及地球形状的基本理论
①质点M的引力位
对于质量为M的球体表面附近一点m，其引力
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0 An f
R n P0 ( cos θm )dm n
M
(n k )! A 2 f R n Pnk ( cos θm ) cos kλm dm (n k )! M
k n
k Bn 2
(n k )! f R n Pnk ( cos θm ) sin kλm dm , k 1,, n (n k )! M
27
地球重力场的基本原理
0 0 1 1 0 1 1 2 2 A0 , A1 , A1 , B1 , A2 , A2 , B2 , A2 , B2 现在需要求系数：
0 A0 fM 1 1 A10 A1 B1 0
A B 1 1 2 A f( C ) , A2 B2 =B2 0 2
cos KPnK (cos ), sin KP K (cos ) n
称为缔合球函数(其中，当k=n时称为扇球函数，当k≠n时称 为田球函数)
25
地球重力场的基本原理
用球谐函数表示的地球引力位的公式
V Vn
n 0 n 0
n
1 r
n 1
K
[ An Pn (cos )
第三章 地球重力场及形状的基本理论
1
地球重力场状基本理论
3.1.1 地球的概说（略） 3.1.2 地球运动概说 地球是太阳系中的一颗行星，它有自转和公转运动。 1、地球的自转 地球的自转即地球绕地轴由西向东旋转。
地球的绕地轴旋转360度的时间：太阳日、恒星日。 地球的自转速度：
2
地球重力场状基本理论
15
地球重力场的基本原理
当g与l相垂直时，那么dＷ=0，Ｗ＝常数
当给出不同的常数值，就得到一簇曲面，称为重力等 位面，也就是我们通常说的水准面。可见水准面有无 穷多个。其中，我们把完全静止的海水面所形成的重 力等位面，专称它为大地水准面。
如果令g与l夹角等于π，则有：
dW dl g
水准面之间既不平行，也不相交和相切。
地球重力场的基本原理
地球总体的位函数：
V
dV f
(M )
dm r
1、由牛顿第二定律可知：
F ma Mm F f 2 r
M a f 2 r
, 则有
dV M f 2 2、对位函数求导： dr r
dV a dr
11
地球重力场的基本原理
• 结论： 单位质点的物体在引力场中的加速度等于引力位 的导数，方向与径向方向相反。 • 推论： 位对被吸引点各坐标轴的偏导数等于相应坐标轴 上的加速度(或引力)向量的负值。
V V V ax , ay , az x y z
12
地球重力场的基本原理
离心力位
在离心力场中， dQ Pdl
dQ 2ldl
2
2
2
dl 2 Q
2
2
l2
ω2 2 Q (x2 y 2 ) r sin 2 2 2
13
设地球上的点坐标为: ( x, y, z ) 与 ( , , r ) 地球表面点坐标为: ( xm , ym , zm ) 与 ( m , m , R )
19
M
dm
地球重力场的基本原理
• 建立空间直角坐标系与球面极坐标系 R 2 R 2 2 2 2 r R 2 Rr cos r [1 ( ) 2 cos ] r r R R l ( ) 2 2 cos r r
16
地球重力场的基本原理
对于某一单位质点而言，作用其上的重力在数值上等于 使它产生的重力加速度的数值，所以重力即采用重力加速度 的量纲，单位是： 伽(Gal=cms－２)， 毫伽(mGal= Gal/1000=10－５ms－２) 微伽(μ Gal= mGal/1000=10－８m s－２) 1、地面点重力近似值 980Gal，赤道重力值 978Gal，两 极重力值 983Gal。由于地球的极曲率及周日运动的原因，重 力有从赤道向两极增大的趋势。 2、地球上重力的大小与方向只与被吸引点的位置有关， 理论上应该是常数，但重力是随时间变化而变化，即相同的 点在不同的时刻所观测到的重力不相同。
2
a
F M k2 2 m r
在相对运动中，行星相对于太阳运动的相对加速度：
M m 2 ( M m) a k ( 2 2) k r r r2
2
v2 2 4 2 r a , v r a 2 r T T
6
地球重力场状基本理论
考虑到M>>m
注意： f 、 G、 k2 在不同的教材都表示引力常数。
f Vn r
R n ( r ) Pn (cos )dm
24
地球重力场的基本原理
Vn r [ An Pn (cos ) ( An cos K Bn sin K ) Pn (cos )] n 1
K K K K 1
1
n
900
P 勒让德多项式中： n (cos ) 称为n阶主球函数(或带球 函数)， Pn K (cos ) 称为n阶K级的勒让德缔合函数(或伴随函 数)。 d k pn (cos ) Pn k (cos ) sin k d (cos ) k
0 2
B A A =f ( ) 4
地球重力场的基本原理
当选取前3项时，将重力位W写成U
U
n 0 2
1 r
[ An Pn (cos ) ( An cos KA Bn P sinθ)K ) f R (cos dm n 1
K K K 1
0 n n 0 n M
2
P (cos )] n
K
2
2
r 2 sin 2
f v2 [( y 2 z 2 2 x 2 ) A ( x 2 z 2 2 y 2 ) B 2r 5
( x 2 y 2 2 z 2 )C 6 yzD 6 xzE 6 xyF]
22
地球重力场的基本原理
用球谐函数表达地球引力位（方法2）
勒让德多项式
1 d n ( x 2 1) n Pn ( x) n 2 n! dxn
7
地球重力场的基本原理
3.2.1 引力与离心力
M m Ff 2 r
P m 2
g FP
其它作用力（太阳、月亮）大多数情况下可忽略。
8
地球重力场的基本原理
3.2.2 引力位和离心力位
由理论力学可知，如果某一空间（有限或无限）的 任意一点都有一定力的作用，而力的大小与方向只与该 点的位置有关，则这一空间称为力场。就力场而言，具 有共同的特性，即力场所做的功与路径无关，只与起点 与终点有关。这样的力称为保守力。引力与离心力都是 保守力。
2 2
21
地球重力场的基本原理
理论力学可知：物体的重心为
x0 1 M
xm dm , y0
M
1 M
y m dm , z0
M
x0
1 z m dm y M M z 0
0 0
定义坐标系：x0 y0 z0 0 ，则有：
v0 f M r
v1
f ( x xm dm y ym dm z z m dm) 0 3 r M M M
2、地球的公转 地球的公转满足开普勒三大行星运动定律 (1) 行星运动轨迹是椭圆，太阳位于其 椭圆的
一个焦点上
直角坐标方程： 极坐标方程： f 真近点角，p 为焦参数（半通径）
3
地球重力场状基本理论
(2) 行星运动在单位时间内扫过的面积相等； 在时间 t 内扫过的面积 s 相等，则面速度
可根据能量守恒定律导出。 (3) 行星运动的周期的平方1 , T 和 T1分别表示两行星轨道的长半径与轨道 运行周期。
1 (1 l ) 2 r
1
1
V
f 1 3 5 (1 l l 2 l 3 )dm r 2 8 16
n
V v0 v1 v2 vi
i 0
20
地球重力场的基本原理
f v0 r
v1 f r
M dm f r M
M
R cosdm 0 r
引力位：单位质点受物质M的引力作用产生的位能称为
引力位，或者说将单位质点从无穷远处移动到该点引力 所做的功。即：
dV a dr
9
地球重力场的基本原理
推导如下:
万有引力定律： 假设沿力线方向做功为 此功等于位能的减少， 积分则有： 因为r→∞, V=0。所以 C=0 ，则有
，则有
取 m=1，
10
2n 1 n Pn 1 ( x) xPn ( x) Pn 1 ( x) n 1 n 1
P ( x) xP0 ( x) 1
23
地球重力场的基本原理
P (cos ) 1 0 P (cos ) cos 1 3 1 2 P (cos ) cos 2 2 2 5 3 P (cos ) cos3 cos 3 2 2
14
地球重力场的基本原理
各分力的模：
g gx g y gz
2 2 2
方向余弦：
gy gx gz cos(g , x) , cos(g , y ) , cos(g , z ) g g g
重力位在任意方向的偏导数等于重力在该方向上的 分力：
W gl g cos(g , l ) l
f R 2 3 2 1 v2 ( ) ( cos )dm rM r 2 2
f R 3 5 3 3 v3 ( ) ( cos cos )dm rM r 2 2