第7章不等式 (4)

[学生用书P293(单独成册)])
1．(2018·嘉兴期中)不等式1≤|2x－1|＜2的解集为( )
A.∪ B．
C.∪D．(－∞，0]∪[1，＋∞)
解析：选C.由题意得，
，
解得：－＜x≤0或1≤x＜，
故不等式的解集是∪，
故选C.
2．(2018·温州高三第二次适应性考试)不等式|x－1|＋|x＋1|＜4的解集是( )
A．{x|x＞－2}
B．{x|x＜2}
C．{x|x＞0或x＜－2}
D．{x|－2＜x＜2}
解析：选D.根据题意，原不等式等价于
或或解之取并集即得原不等式的解集为{x|－2＜x＜2}．
3．(2018·绍兴高三质量检测)对任意实数x，若不等式|x＋2|＋|x＋1|＞k恒成立，则实数k的取值范围是( )
A．(－∞，0)∪[2，＋∞)
B．[－2，－1]∪(0，＋∞)
C．(－∞，1)
D．(－∞，1]
解析：选C.因为|x＋2|＋|x＋1|≥|x＋2－x－1|＝1，所以当且仅当k＜1时，不等式|x＋2|＋|x
＋1|＞k恒成立．
4．(2018·绍兴市诸暨市高考模拟)已知f(x)＝x2＋3x，若|x－a|≤1，则下列不等式一定成立的是( )
A．|f(x)－f(a)|≤3|a|＋3
B．|f(x)－f(a)|≤2|a|＋4
C．|f(x)－f(a)|≤|a|＋5
D．|f(x)－f(a)|≤2(|a|＋1)2
解析：选B.因为f(x)＝x2＋3x，所以f(x)－f(a)＝x2＋3x－(a2＋3a)＝(x－a)(x＋a＋3)，所以|f(x)－f(a)|＝|(x－a)(x＋a＋3)|＝|x－a||x＋a＋3|，因为|x－a|≤1，所以a－1≤x≤a＋1，所以2a＋2
≤x＋a＋3≤2a＋4，所以|f(x)－f(a)|＝|x－a||x＋a＋3|≤|2a＋4|≤2|a|＋4，故选B. 5．(2018·绍兴市柯桥区高三期中)已知x，y∈R，( )
A．若|x－y2|＋|x2＋y|≤1，则(x＋)2＋(y－)2≤
B．若|x－y2|＋|x2－y|≤1，则(x－)2＋(y－)2≤
C．若|x＋y2|＋|x2－y|≤1，则(x＋)2＋(y＋)2≤
D．若|x＋y2|＋|x2＋y|≤1，则(x－)2＋(y＋)2≤
解析：选B.对于A，|x－y2|＋|x2＋y|≤1，由(x＋)2＋(y－)2≤化简得x2＋x＋y2－y≤1，二者没
有对应关系；对于B，由(x2－y)＋(y2－x)≤|x2－y|＋|y2－x|＝|x－y2|＋|x2－y|≤1，
所以x2－x＋y2－y≤1，即(x－)2＋(y－)2≤，命题成立；对于C，|x＋y2|＋|x2－y|≤1，由(x＋)2＋(y＋)2≤化简得x2＋x＋y2＋y≤1，二者没有对应关系；对于D，|x＋y2|＋|x2＋y|≤1，化简(x－)2＋(y＋)2≤得x2－x＋y2＋y≤1，二者没有对应关系．
故选B.
6．不等式|x－1|＋|x＋2|≥5的解集为________．
解析：由得x≤－3；
由得无解；
由得x≥2.
即所求的解集为{x|x≤－3或x≥2}．
答案：{x|x≤－3或x≥2}
7．对于实数x，y，若|x－1|≤1，|y－2|≤1，则|x－2y＋1|的最大值为________．
解析：|x－2y＋1|＝|(x－1)－2(y－1)|≤|x－1|＋|2(y－2)＋2|≤1＋2|y－2|＋2≤5，即|x－2y＋1|的最大值为5.
答案：5
8．(2018·温州市高三高考模拟)若关于x的不等式|x|＋|x＋a|＜b的解集为(－2，1)，则实数
对(a，b)＝________．
解析：因为不等式|x|＋|x＋a|＜b的解集为(－2，1)，所以，解得a＝1，b＝3.
答案：(1，3)
9．(2018·绍兴市柯桥区高三模拟)对任意x∈R不等式x2＋2|x－a|≥a2恒成立，则实数a的取值范围是________．
解析：因为不等式x2＋2|x－a|≥a2对任意的x∈R恒成立，
①x≥a时，
(x＋a)(x－a)＋2(x－a)≥0，
(x－a)(x＋a＋2)≥0，
因为x－a≥0，因此只需x＋a＋2≥0，x≥－(a＋2)，
－(a＋2)≤a，解得a≥－1.
②x<a时，
(x＋a)(x－a)－2(x－a)≥0，
(x－a)(x－2＋a)≥0，
因为x－a<0，只需x≤2－a，2－a≥a，解得a≤1.
综上所述：－1≤a≤1.
答案：[－1，1]
10．(2018·宁波市六校联盟模拟)已知函数f(x)＝|x＋a|＋|x－2|.当a＝－4时，不等式f(x)≥6的解集为________；若f(x)≤|x－3|的解集包含[0，1]，则实数a的取值范围是________．
解析：当a＝－4时，f(x)≥6，即|x－4|＋|x－2|≥6，
即或
或，解得x≤0或x≥6.
所以原不等式的解集为(－∞，0]∪[6，＋∞)．
由题可得f(x)≤|x－3|在[0，1]上恒成立．
即|x＋a|＋2－x≤3－x在[0，1]上恒成立，
即－1－x≤a≤1－x在[0，1]上恒成立．即－1≤a≤0.
答案：(－∞，0]∪[6，＋∞)　[－1，0]
11．若函数f(x)＝|x＋1|＋2|x－a|的最小值为5，求实数a的值．
解：由于f(x)＝|x＋1|＋2|x－a|，
当a＞－1时，
f(x)＝
作出f(x)的大致图象如图所示，
由函数f(x)的图象可知f(a)＝5，
即a＋1＝5，所以a＝4.
同理，当a≤－1时，－a－1＝5，所以a＝－6.
所以实数a的值为4或－6.
12．(2018·九江第一次统考)已知函数f(x)＝|x－3|－|x－a|.
(1)当a＝2时，解不等式f(x)≤－；
(2)若存在实数x，使得不等式f(x)≥a成立，求实数a的取值范围．
解：(1)因为a＝2，所以f(x)＝|x－3|－|x－2|
＝所以f(x)≤－等价于
或或解得≤x<3或x≥3，所以不等式的解集为.
(2)由不等式的性质可知f(x)＝|x－3|－|x－a|≤|(x－3)－(x－a)|＝|a－3|，
所以若存在实数x，使得不等式f(x)≥a成立，则|a－3|≥a，解得a≤，
所以实数a的取值范围是.
1．(2017·高考浙江卷)已知a∈R，函数f(x)＝＋a在区间[1，4]上的最大值是5，则a的取值范围是________．
解析：因为x∈[1，4]，所以x＋∈[4，5]，①当a≤时，f(x)max＝|5－a|＋a＝5－a＋a＝5，符合题意；②当a>时，f(x)max＝|4－a|＋a＝2a－4＝5，所以a＝(矛盾)，故a的取值范围是.
答案：
2．(2018·浙江省五校协作体联考)已知函数f(x)＝|2x－a|＋a.
(1)若不等式f(x)≤6的解集为{x|－2≤x≤3}，求实数a的值；
(2)在(1)的条件下，若存在实数t，使f≤m－f(－t)成立，求实数m的取值范围．
解：(1)由|2x－a|＋a≤6，得|2x－a|≤6－a，所以a－6≤2x－a≤6－a，即a－3≤x≤3，所
以a－3＝－2，所以a＝1.
(2)因为f≤m－f(－t)，所以|t－1|＋|2t＋1|＋2≤m，
令y＝|t－1|＋|2t＋1|＋2，则y＝
所以y min＝，所以m≥.
3．(2018·杭州高考科目教学质检)已知函数f(x)＝|x－4|＋|x－a|(a<3)的最小值为2.
(1)解关于x的方程f(x)＝a；
(2)若存在x∈R，使f(x)－mx≤1成立，求实数m的取值范围．
解：(1)由f(x)＝|x－4|＋|x－a|≥|x－4－(x－a)|＝|a－4|(当(x－4)(x－a)≤0时取等号)，知|a－4|＝2，解得a＝6(舍去)或a＝2.
方程f(x)＝a即|x－4|＋|x－2|＝2，由绝对值的几何意义可知2≤x≤4.
(2)不等式f(x)－mx≤1即f(x)≤mx＋1，由题意知y＝f(x)的图象至少有一部分不在直线y＝mx ＋1的上方，作出对应的图象观察可知，m∈(－∞，－2)∪.
4．(2018·温州校级月考)已知函数f(x)＝x2＋|x－t|.
(1)当t＝1时，求不等式f(x)≥1的解集；
(2)设函数f(x)在[0，2]上的最小值为h(t)，求h(t)的表达式．
解：(1)当t＝1时，f(x)＝x2＋|x－1|.
因为f(x)≥1，
所以当x≥1时，x2＋x－1≥1，所以x≥1或x≤－2.
所以x≥1.
当x＜1时，x2－x＋1≥1，所以x≥1或x≤0.
所以x≤0.
综上：不等式的解集为{x|x≥1或x≤0}．
(2)因为f(x)＝x2＋|x－t|，x∈[0，2]，
所以当t≥2时，f(x)＝x2－x＋t，h(t)＝f＝t－，
当t≤0时，f(x)＝x2＋x－t，h(t)＝f(0)＝－t，
当0＜t＜2时，f(x)＝.
所以h(t)＝.所以h(t)＝.。