人教版九年级圆的性质知识点
九年级圆的知识点讲义
九年级圆的知识点讲义1. 什么是圆？圆是平面上所有到一个固定点距离都相等的点的集合。
这个固定点称为圆心，到圆心的距离称为半径。
2. 圆的基本要素圆的基本要素包括圆心、半径、直径、弧和弦。
- 圆心：圆的中心点，用字母O表示。
- 半径：从圆心到圆上任意一点的距离，用字母r表示。
- 直径：穿过圆心的线段，并且两个端点都在圆上，直径的长度是半径的两倍，用字母d表示。
- 弧：圆上两点间的一段弯曲部分。
- 弦：圆上任意两点间直线段。
3. 圆的性质（1）半径相等性质：圆上任意两点之间的半径都相等。
（2）直径长为两倍性质：圆的直径长等于其半径的两倍，即d=2r。
（3）弧长和弧度性质：圆的弧长与圆心角的度数成正比，弧长等于圆周率π乘以半径的长度，用公式l = πr表示。
（4）圆周率π：π是一个无理数，大约等于3.14，用来计算圆的周长和面积。
4. 圆的坐标系表示圆可以在平面直角坐标系中表示为一个方程。
以圆心坐标为（h，k），半径为r的圆表示为：(x - h)² + (y - k)² = r²5. 圆的相关公式和定理（1）周长计算公式：圆的周长等于直径乘以π，或等于2倍半径乘以π，用公式C = πd或C = 2πr表示。
（2）面积计算公式：圆的面积等于半径的平方乘以π，用公式A = πr²表示。
（3）相交弧的性质：当两个圆相交时，它们的相交弧的度数之和等于360度。
（4）切线和半径垂直定理：切线和半径之间的夹角是直角。
6. 圆的应用圆在生活和科学中有广泛的应用，例如建筑结构中的圆形拱门、运动学中的圆周运动、天文学中的星体运动轨迹等等。
以上就是九年级圆的知识点讲义。
希望这份讲义能够帮助你更好地理解和掌握圆的相关知识。
人教版-数学-九年级上册-知识归纳：圆
知识归纳：圆本章重点1．圆的定义：(1)线段OA绕着它的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的封闭曲线，叫做圆．(2)圆是到定点的距离等于定长的点的集合．2．判定一个点P是否在⊙O上．设⊙O的半径为R，OP＝d，则有d>r点P在⊙O 外；d＝r点P在⊙O 上；d<r点P在⊙O 内．3．与圆有关的角(1)圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角．圆心角的性质：圆心角的度数等于它所对的弧的度数．(2)圆周角：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角．圆周角的性质：①圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半．②同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等．③90°的圆周角所对的弦为直径；半圆或直径所对的圆周角为直角．④如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．⑤圆内接四边形的对角互补；外角等于它的内对角．(3)弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫弦切角．弦切角的性质：弦切角等于它夹的弧所对的圆周角．弦切角的度数等于它夹的弧的度数的一半．4．圆的性质：(1)旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是中心对称图形，对称中心是圆心．在同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，这四组量中的任意一组相等，那么它所对应的其他各组分别相等．(2)轴对称：圆是轴对称图形，经过圆心的任一直线都是它的对称轴．垂径定理及推论：(1)垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．(2)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．(3)弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧．(4)平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心，且垂直平分此弦．(5)平行弦夹的弧相等．5．三角形的内心、外心、重心、垂心(1)三角形的内心：是三角形三个角平分线的交点，它是三角形内切圆的圆心，在三角形内部，它到三角形三边的距离相等，通常用“I”表示．(2)三角形的外心：是三角形三边中垂线的交点，它是三角形外接圆的圆心，锐角三角形外心在三角形内部，直角三角形的外心是斜边中点，钝角三角形外心在三角形外部，三角形外心到三角形三个顶点的距离相等，通常用O表示．(3)三角形重心：是三角形三边中线的交点，在三角形内部；它到顶点的距离是到对边中点距离的2倍，通常用G表示．(4)垂心：是三角形三边高线的交点．6．切线的判定、性质：(1)切线的判定：①经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．②到圆心的距离d等于圆的半径的直线是圆的切线．(2)切线的性质：①圆的切线垂直于过切点的半径．②经过圆心作圆的切线的垂线经过切点．③经过切点作切线的垂线经过圆心．(3)切线长：从圆外一点作圆的切线，这一点和切点之间的线段的长度叫做切线长．(4)切线长定理：从圆外一点作圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角．7．圆内接四边形和外切四边形(1)四个点都在圆上的四边形叫圆的内接四边形，圆内接四边形对角互补，外角等于内对角．(2)各边都和圆相切的四边形叫圆外切四边形，圆外切四边形对边之和相等．8．直线和圆的位置关系：设⊙O 半径为R，点O到直线l的距离为d．(1)直线和圆没有公共点直线和圆相离d>R．(2)直线和⊙O有唯一公共点直线l和⊙O相切d＝R．(3)直线l和⊙O 有两个公共点直线l和⊙O 相交d<R．9．两圆的性质：(1)两个圆是一个轴对称图形，对称轴是两圆连心线．(2)相交两圆的连心线垂直平分公共弦，相切两圆的连心线经过切点．10．圆中有关计算：圆的面积公式：，周长C＝2πR．圆心角为n°、半径为R的弧长．圆心角为n°，半径为R，弧长为l的扇形的面积．弓形的面积要转化为扇形和三角形的面积和、差来计算．圆柱的侧面图是一个矩形，底面半径为R，母线长为l的圆柱的体积为，侧面积为2πRl，全面积为．圆锥的侧面展开图为扇形，底面半径为R，母线长为l，高为h的圆锥的侧面积为πRl ，全面积为，母线长、圆锥高、底面圆的半径之间有．重点、热点垂径定理及推论；圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理. 运用圆内接四边形的性质解有关计算和证明题.。
九年级第三章圆知识点总结
九年级第三章圆知识点总结九年级的数学学科中，第三章圆是一个重要的知识点。
圆是一个几何图形，是由平面上的所有与定点距离相等的点组成的。
在这个章节中，学生需要掌握圆的性质、圆的表达式和圆与直线的关系等内容。
下面将从不同的角度对这些知识点进行总结。
一、圆的定义和性质圆是一个几何图形，它由平面上的所有与定点距离相等的点组成。
圆的性质有以下几点：1. 圆的半径：圆的半径是从圆心到圆周上任意一点的距离，用字母r表示。
2. 圆的直径：圆的直径是通过圆心并在圆上的一条直线段，它的长度是圆的两倍，用字母d表示。
3. 圆的周长：圆的周长是圆周上的一段弧所对应的长度，用字母C表示。
圆的周长可以通过公式C = 2πr来计算，其中π是一个常数，约等于3.14。
4. 圆的面积：圆的面积是圆内部所包围的区域的大小，用字母A表示。
圆的面积可以通过公式A = πr^2来计算。
二、圆的表达式在数学中，我们常常需要用到圆的表达式来描述一个圆。
圆的表达式一般有两种形式：标准方程和一般方程。
1. 标准方程：标准方程是以圆心和半径为依据的表达式形式。
标准方程的一般形式为：(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2，其中(a, b)为圆心的坐标，r为半径的长度。
2. 一般方程：一般方程是以圆的一般性质为依据的表达式形式。
一般方程的一般形式为：x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0，其中D、E、F为常数。
三、圆与直线的关系圆与直线之间有一些重要的关系。
下面将介绍一些常见的关系：1. 切线：切线是与圆相切并且只与圆相交于切点的直线。
切线与半径的关系是垂直关系，切线与圆的切点处的切线段等于半径的长度。
2. 弦：弦是连接圆上任意两点的直线段。
弦的长度小于等于直径的长度。
3. 弧：弧是圆上的一段曲线。
圆周上的任意两点可以确定一个弧。
4. 正切线：正切线是一条通过圆外一点且与圆相切的直线。
正切线的长度等于该点到圆心的距离。
综上所述，九年级第三章圆是一个重要且有趣的数学知识点。
九年级数学上人教版《圆》课堂笔记
《圆》课堂笔记一、基本概念1.圆：所有点到定点的距离等于定长的点的集合。
定点称为圆心，定长称为半径。
2.弦：连接圆上任意两点的线段。
最长的弦是直径。
3.弧：圆上两点之间的部分。
弧分为优弧和劣弧。
4.圆心角：顶点在圆心，两边与圆相交的角。
5.圆周角：顶点在圆上，两边与圆相交的角。
二、圆的性质1.圆的对称性：圆关于经过圆心的任意直线对称。
2.垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧。
3.圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。
反之，如果两弦相等，那么它们所对的圆心角也相等，所对的弧也相等。
4.圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。
5.切线性质：切线垂直于过切点的半径。
切线与圆心的距离等于圆的半径。
切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。
6.圆内接四边形性质：圆内接四边形的对角互补。
三、重要公式和定理1.圆的周长公式：C = 2πr（r为半径）。
2.圆的面积公式：S = πr²（r为半径）。
3.扇形面积公式：S = (nπr²) / 360（n为圆心角度数，r为半径）。
4.圆锥侧面积公式：S = πrl（r为底面半径，l为母线长）。
5.圆的切线判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
6.切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。
7.垂径定理推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧。
8.圆心角、弧、弦的关系推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。
9.圆周角定理推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。
10.切线性质推论：圆的切线垂直于过切点的半径。
人教版九年级数学第二十四章《圆》单元知识点总结
人教版九年级数学第二十四章《圆》单元知识点总结1.弦弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦. 直径：经过圆心的弦叫做直径.弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距.2.弧:圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.以A、B为端点的弧记作，读作“圆弧AB”或“弧AB”.①半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆；②优弧：大于半圆的弧叫做优弧；③劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧.3.同心圆与等圆圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆.圆心不同，半径相等的两个圆叫做等圆.同圆或等圆的半径相等.4.等弧在同圆或等圆中，能够完全重合的弧叫做等弧.5、弧、弦、圆心角的关系(1)圆心角定义如图所示，∠AOB的顶点在圆心，像这样顶点在圆心的角叫做圆心角．(2)定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．推论：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦也相等．在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等．6、圆周角（1）圆周角定义：像图中∠AEB、∠ADB、∠ACB这样的角，它们的顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．（2）.圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．（3）.圆周角定理的推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．要点诠释：(1)圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交.(2)圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中.7.圆内接四边形：（1）定义: 圆内接四边形：顶点都在圆上的四边形，叫圆内接四边形．（2）性质：圆内接四边形对角互补，外角等于内对角（即它的一个外角等于它相邻内角的对角）．8.弦、弧、圆心角、弦心距的关系：在同圆或等圆中，弦，弧，圆心角，弦心距等几何量之间是相互关联的，即它们中间只要有一组量相等，(例如圆心角相等)，那么其它各组量也分别相等(即相对应的弦、弦心距以及弦所对的弧也分别相等)。
九年级圆的知识点总结
九年级圆的知识点总结一、圆的基本定义1. 圆的定义：平面上所有与给定点（圆心）距离相等的点的集合。
2. 圆心（O）：圆心是圆的中心点，所有圆上的点到圆心的距离都等于半径。
3. 半径（r）：圆心到圆上任意一点的距离。
4. 直径（d）：通过圆心的最长弦，是半径的两倍长度。
5. 弦（c）：连接圆上任意两点的线段。
6. 弧（a）：圆上两点之间的圆周部分。
7. 优弧：大于半圆的弧。
8. 劣弧：小于半圆的弧。
9. 半圆：圆的一半，由直径所界定的弧。
10. 切线（t）：与圆只有一个公共点的直线。
二、圆的性质1. 所有半径的长度相等。
2. 直径是圆内最长的弦。
3. 圆的任意两点之间的弧，优弧总是大于劣弧。
4. 切线与半径相交于圆外的一点，形成直角。
5. 圆周角定理：圆周上任意一点引出的两条半径与圆周所形成的角，其大小是圆心角的一半。
6. 圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。
三、圆的计算公式1. 圆的周长（C）：C = πd = 2πr2. 圆的面积（A）：A = πr²3. 扇形面积：S = (θ/360) × πr²，其中θ是扇形的中心角的度数。
4. 弓形面积：S = (θ/360) × πr² - (θ/360) × rθ/2，其中θ是弓形的中心角的度数。
四、圆的应用问题1. 圆与直线的关系：相交、相切、相离。
2. 圆与圆的关系：内含、外离、相交、内切、外切。
3. 圆的切线问题：求切线长度、切点坐标等。
4. 圆的弦长问题：根据圆心距、半径、弦心距等求弦长。
5. 圆的面积问题：根据圆的半径、直径、周长等求面积。
五、圆的作图方法1. 用圆规画圆：确定圆心和半径，旋转圆规即可画出圆。
2. 作圆的切线：通过圆外一点作圆的切线，需要利用圆心到切点的垂线与切线垂直的性质。
3. 作圆的中垂线：连接圆上任意两点，作其中点的垂线，即为圆的中垂线。
九年级数学圆的知识点
九年级数学圆的知识点在九年级的数学学习中，圆是一个重要的概念。
掌握圆的基本知识点对于学生正确理解和应用数学知识至关重要。
本文将介绍九年级数学圆的知识点，包括圆的定义、性质、公式以及与圆相关的几何图形等。
让我们一起来详细了解吧。
1. 圆的定义在九年级数学中，我们定义圆为平面上到一个固定点距离相等的所有点的集合。
这个固定点叫做圆心，到圆心的距离叫做半径。
圆由圆心和半径唯一确定。
2. 圆的性质- 半径相等的两个圆是相等的。
- 圆上任意两点到圆心的距离相等。
- 圆的直径是通过圆心的一条线段，它的长度是半径的两倍。
- 圆的周长是圆周长的一半，用公式C = 2πr表示，其中C表示周长，r表示半径。
- 圆的面积由公式A = πr²给出，其中A表示面积。
3. 圆与直线的关系- 圆内的点到圆心的距离小于半径，称为圆内部的点；到圆心的距离等于半径，称为圆上的点；到圆心的距离大于半径，称为圆外的点。
- 切线是与圆只有一个交点的直线。
- 弦是连接圆上两点的线段。
直径是一种特殊的弦，它通过圆心。
- 弧是圆上的一段弯曲的部分。
4. 弧与角的关系- 弧长是弧上的一段长度。
圆的弧长公式为L = 2πr，其中L表示弧长，r表示半径。
- 圆心角是以圆心为顶点的角，它所对的弧长是整个圆的弧长的一部分。
- 弦与其所对的弧所夹的圆心角相等。
5. 圆与其他几何图形的关系- 正方形的内接圆是正方形内接圆周围的正方形。
- 正方形的外接圆是正方形外接圆周围的正方形。
- 直角三角形的内切圆是三角形内接圆周围的圆。
- 直角三角形的外接圆是三角形外接圆周围的圆。
除了上述的知识点，还有关于圆的弦的性质、圆与切线的性质、圆的切线与切点定理、切线长的性质等内容需要学生在九年级进行深入的学习和理解。
通过掌握圆的相关知识点，可以帮助学生在解决几何问题、计算圆的周长和面积等方面得到更好的应用。
总结起来，九年级的数学圆的知识点主要包括圆的定义、性质、公式以及圆与其他几何图形的关系等。
初中九年级圆的知识点详解
初中九年级圆的知识点详解在初中九年级数学课程中，圆是一个重要的几何概念。
我们将在本文中详细解释圆的知识点，包括定义、性质和常见的相关公式。
一、圆的定义圆是一个平面上所有到圆心距离都相等的点的集合。
这个距离被称为半径，用字母r表示。
圆的圆心和半径是确定一个圆的基本要素。
二、圆的性质1. 圆的直径和半径关系：圆的直径是通过圆心，并且两个端点在圆上的线段，它的长度是半径的两倍，即直径d=2r。
2. 圆的周长和面积：圆的周长是指圆上一周的长度，用字母C表示，它可以通过公式C=2πr来计算，其中π≈3.14是一个无理数，代表圆周率。
圆的面积是指圆内部的区域，用字母A表示，它可以通过公式A=πr²来计算。
3. 圆的切线和法线：圆上的切线是与圆切于一点的直线，切线与半径的夹角为90度。
圆上的法线是与圆相交于一点，并且与切线垂直的直线。
4. 圆的弧度制和度制：在解决一些圆相关问题时，我们通常使用弧度制来度量角度。
弧度制的角度是通过圆的弧长和半径之间的比值来定义的。
一个完整的圆的弧长等于2πr，所以一个完整圆的角度为360°。
三、常见的圆相关公式1. 圆的周长公式：C = 2πr2. 圆的面积公式：A = πr²3. 圆的弧长公式：L = 2πr(θ/360°)，其中θ是所对应的圆心角的角度。
4. 扇形面积公式：S = 0.5r²(θ/360°)，其中θ是所对应的圆心角的角度。
五、相关解题方法1. 已知圆的半径求周长和面积：根据上述公式直接计算即可。
2. 已知圆的周长求半径和面积：由C=2πr可得r=C/(2π)，再带入A=πr²即可计算面积。
3. 已知圆的面积求半径和周长：由A=πr²可得r=√(A/π)，再带入C=2πr即可计算周长。
4. 已知圆心角和半径求弧长和扇形面积：根据相应的公式计算即可。
六、例题解析1. 已知一个圆的半径为5cm，求其周长和面积。
九年级圆知识点归纳总结
九年级圆知识点归纳总结圆是数学中的一个基本几何概念，在九年级的几何学学习中占据重要的地位。
了解和掌握圆的相关知识点对于解决与圆相关的问题至关重要。
本文将对九年级圆的知识点进行归纳总结，帮助学生们更好地理解和应用这些知识。
一、圆的定义与性质1. 圆的定义：圆是一个平面上所有到圆心的距离都相等的点的轨迹。
2. 圆的要素：圆心、半径。
3. 圆的性质：- 圆上的任意一点到圆心的距离都相等。
- 圆的直径是通过圆心的一条线段，它的长度等于圆的半径的两倍。
- 圆的周长是圆周上的任意一点至邻近点的距离之和，也可以通过公式C=2πr计算（其中C表示圆的周长，r表示半径）。
- 圆的面积是圆内所有点构成的区域，可以通过公式A=πr²计算（其中A表示圆的面积）。
二、圆与直线的关系1. 切线：切线是与圆相切于一点的直线，且与半径垂直。
2. 弦：弦是圆上任意两点所确定的线段。
3. 弧：弧是圆周上两点之间的一段弧线。
4. 弧度与弧长的关系：弧度是角度的一种衡量单位，可以用弧长与半径之比来表示。
弧度制中一周对应的弧长等于圆的周长，即2πr。
三、圆的角关系1. 圆心角：由半径的两条边所夹的角称为圆心角。
2. 圆周角：由两条弧线所夹的角称为圆周角。
3. 圆心角与弧度的关系：圆心角的度数等于它所对应的弧度的长度。
四、圆的相交关系1. 相离：两个圆没有任何交点。
2. 外切：两个圆相切于一点，且其中一个圆位于另一个圆的外部。
3. 内切：两个圆相切于一点，且其中一个圆位于另一个圆的内部。
4. 相交：两个圆有两个交点。
五、圆的应用1. 利用圆求解问题：通过已知条件和圆的性质，可以解决与圆相关的实际问题，如求解圆的面积、周长等。
2. 圆的建模：在数学建模中，圆的概念具有广泛应用，可用于描述自然界中的许多现象和实际问题，如行星运动、电子轨道等。
六、圆的常见误区与解决方法1. 误区一：将弦与半径混淆。
解决方法：理解弦是由圆上的两点所确定的线段，半径是由圆心到圆上一点的线段。
第二十四章圆(完整知识点)人教版九年级数学上册
第二十四章 圆一、圆的有关概念及表示方法 （一）圆的定义1、描述性定义：在一个平面内，线段OA 绕它固定的一个端点O 旋转一周，另一个端点A 所形成的图形叫做圆。
其固定的端点O 叫做圆心，线段OA 叫做半径。
2、集合性定义：圆可以看成是所有到定点（圆心）的距离等于定长（半径）的点的集合。
（二）圆的表示方法：以点O 为圆心的圆，记作⨀O ，读作“圆O ”。
（三）圆具有的特性1、圆上各点到定点（圆心O ）的距离都等于定长（半径r ）。
2、到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上。
注：（1）确定一个圆需要两个因素：圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小。
（2）同一个圆中的所有半径都相等，所以圆上任意两点和圆心[三点不共线(直径)]构成的三角形都是等腰三角形。
（四）圆的有关概念1、弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径，直径是最长的弦。
以AC 为端点的弦，记作：弦AC 。
注：圆中有无数条弦，其中直径是最长的弦，但弦不一定是直径。
2、弧2.1圆上任意两点间的部分叫做圆弧、简称弧。
以A 、B 为端点的弧记作⨀AB ，读作“圆弧AB ”或“弧AB ”。
2.2圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。
大于半圆的弧叫做优弧，如图中的⨀ABC 。
小于半圆的弧叫做劣弧，如图中的⨀AC。
注：（1）在一个圆中，任意一条弦都对着两条弧，任意一条弧只对着一条弦。
（2）弧包括优弧、劣弧、半圆；半圆既不是劣弧，也不是优弧。
3、同圆或等圆：能够重合的两个圆叫做等圆。
同圆或等圆的半径相等。
4、等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。
等弧是全等的，不仅仅是弧的长度相等。
5、同心圆：圆心相同，半径不相等的圆叫做同心圆。
二、圆的有关性质 （一）垂直于弦的直径1、圆的轴对称性：圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴。
名称 文字语言 符号语言 图示垂径 定理 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。
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学生姓名： 就读年级： 九年级 任课教师： 教导处签名： 日期： 2017 年 10月 21 日圆的有关性质课题圆的有关性质教学目标1、在探索的过程中，能从两种不同的角度理解圆的概念2、了解弦、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等于圆有关的概念，理解概念之间的区别与联系。
3、能够通过图形直观地认识弦、弧等概念，能够从具体图形中识别出与圆有关的一些元素。
知识要点及重难点重点：圆的概念的解析与应用难点：圆的有关概念的解析作业评价○好○很好○一般○差备注：作业布置学生课后评价（学生填写）学生对本次课的评价：1、学习心情：□愉悦□紧张□沉闷2、学习收获：□很大□一般□没有3、教学流程：□清晰□一般□混乱4、其它：。
家长反馈签名：日期：年月日一、课前复习1、旋转2、中心对称3、中心对称图形4、求关于原点对称的点的坐标二、新课导入初中阶段我们有几种几何是必须掌握的：三角形，四边形，圆。
关于前两个已经在前期的学习中接触过了，那么本章我们将重点学习圆的相关性质以及相关的知识点，本章也是中考内容中的重点部分，所以需要打起精神，认真将知识点掌握并灵活应用起来。
三、新课讲授圆的有关性质知识点1圆的定义以及表示方法（重点；理解）1、描述性定义在一个平面内，线段OA绕它固定一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆，其中固定的端点O 叫做圆心，线段OA叫做半径。
2、集合性定义圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；3、圆的表示方法以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”命题1圆的定义的理解例1：下列条件中，能确定圆的是（）A. 以已知点O为圆心B. 以1cm长为半径C. 经过已知点A，且半径为2cmD. 以点O为圆心，1cm为半径针对练习：1、与已知点A的距离为3cm的点所组成的平面图形是______.命题点2判断四点共圆的问题例2：矩形的四个顶点能否在同一个圆上?如果不在,说明理由;如果在,指出这个圆的圆心和半径.已知,四边形ABCD是矩形,判断A、B、C、D这四个点能否在同一个圆上?如果不在,说明理由;如果在,指出这个圆的圆心和半径。
证明：连接AC,BD∵四边形ABCD是矩形对角线AC与BD交于点O∴ AO=CO=12×ACBO=DO=12×BD∵四边形ABCD是矩形∴ AC=BD (矩形的对角线相等)∵ AO=CO=12×ACBO=DO=12×BD AC=BD∴ AO=BO=CO=DO∵ AO=BO=CO=DO∴ A、B、C、D这四个点在以点O为圆心,OA为半径的同一个圆上针对练习：1、如图，四边形ABCD的一组对角∠ABC、∠ADC都是直角。
求证：A. B. C. D四点在同一个圆上。
知识点2圆的有关概念（重点；理解）（1）弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦（2）直径：经过圆心的弦叫做直径，并且直径是同一圆中最长的弦，直径等于半径的2倍．（3）弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，以为端点的弧记作，读作弧AB。
（4）半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫做半圆。
（5）等圆：能够重合的两个圆叫做等圆。
（6）等弧：在同圆或等圆中，能够重合的弧叫做等弧。
命题3：圆的有关概念的应用例3：下列说法正确的是（）A长度相等的弧叫做等弧B半圆不是弧C直径是弦D过圆心的线段是直径解析：主要考查对先、弧、等弧以及直径的概念的理解。
类型题圆的半径的应用考查角度1：利用同圆的半径相等求角度例1：如图,AB是O的直径,C是O上一点,∠BOC=44∘，则∠A的度数为___度。
解析：利用同圆半径相等，所对的角也相等。
针对练习：1、如图，AB是O的直径，D. C在O上，AD∥OC，∠DAB=60∘，连接AC，则∠DAC等于（）A. 15∘B. 30∘C. 45∘D. 60∘考查角度2：利用同圆的半径相等比较线段大小2、如图,正方形ABCD的边长为1,其中DEˆ,EFˆ,FGˆ的圆心依次是点A，B，C. 连接GB和FD，则GB与FD的关系是___.解析：根据同圆的半径相等可以得BC=DC，CG=CF，又∠FCD=∠GCB=90°由此可以得到则△FCD≌△GCB，由此推出GB=FD，∠G=∠F，∴∠G+∠CDF=∠F+∠CDF=90°，由此即GB与FD的关系．针对练习：2、如图所示：点M、G、D在半圆O上，四边形OEDF、HMNO均为矩形，EF=b，NH=c，则b与c之间的大小关系是（）A. b>cB. b=cC. c>bD. b与c的大小不能确定考查角度3：利用同源半径向更解决实际问题例3：如图，某部队在灯塔A的周围进行爆破作业，A的周围3km内的水域为危险区域，有一渔船误入离A处2km的B处，为了尽快驶离危险区域，该船应沿哪条航线方向航行?为什么?解析：该船应沿航线AB方向航行离开危险区域理由如下：如图，设航线AB交⊙A于点C，在⊙A上任取一点D(不包括C关于A的对称点)连接AD、BD；在△ABD中，∵AB+BD>AD，AD=AC=AB+BC，∴AB+BD>AB+BC，∴BD>BC.答：应沿AB的方向航行。
针对练习：3、由于过度采伐森林和破坏植被，我国部分地区频频遭受沙尘暴的侵袭.近日，A城气象局测得沙尘暴中心在A 城的正西方向240km的B处，以每小时12km的速度向北偏东60°的方向移动，距沙尘暴中心150km的范围为受影响区域.（1）A城是否受到这次沙尘暴影响？为什么?（2）若A城受到这次沙尘暴影响，那么遭受影响的时间有多长?垂直于弦的直径知识点1：圆的对称性（了解）圆既是中心对称图形，又是轴对称图形，也是旋转对称图形。
知识点2：垂径定理及其推论（重点，难点；掌握）垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
命题点1：利用垂径定理判定结论例1：在O上作一条弦AB,再作一条与弦AB垂直的直径CD,CD与AB交于点E,则下列结论中不一定正确是( )A. AE=BEB. ACˆ=BCˆC. CE=EOD. ADˆ=BDˆ解析：据垂径定理，垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两段弧得出结论．针对练习：1、如图,已知直径MN⊥弦AB,垂足为C,下列结论：①AC=BC;②ANˆ=BNˆ;③AMˆ=BMˆ;④AM=BM.其中正确的个数为()A. 1B. 2C. 3D. 4命题点2：利用垂径定理求弦长或半径例2：如图，AB为O的弦，O的半径为5，OC⊥AB于点D，交O于点C，且CD=1，则弦AB的长是___.解析：连接AO，得到直角三角形，再求出OD的长，就可以利用勾股定理求解．针对练习：2、(2014⋅毕节地区)如图，已知的半径为13，弦AB长为24，则点O到AB的距离是（）A. 6B. 5C. 4D. 3类型题1：应用垂径定理解决最值问题考查角度1：利用垂径定理和垂线最短解决问题例1：如图，⊙ O 的直径是 10 ，弦 AB ＝ 8 ， P 是弦上的一个动点，那么 OP 长的取值范围是_______．解析：找到最短与最长的点所在的位置，根据勾股定理可求出长度针对练习1、如图，⊙O的半径为5，弦AB的长为6，M是AB上的动点，则线段OM长的最小值为（）A. 2B. 3C. 4D. 5考查角度2：利用垂径定理解决线段和最短问题例2：如图，AB、CD是半径为5的⊙O的两条弦，AB=8，CD=6，MN是直径，AB⊥MN于点E，CD⊥MN于点F，P为EF上的任意一点，则PA+PC的最小值为______.解析：A、B两点关于MN对称，因而PA+PC=PB+PC，即当B、C、P在一条直线上时，PA+PC的最小，即BC的值就是PA+PC的最小值解：连接OA，OB，OC，作CH垂直于AB于H.根据垂径定理,得到BE=12AB=4,CF=12CD=3，∴OE=OB2−BE2−−−−−−−−−√=52−42−−−−−−=3，OF=OC2−CF2−−−−−−−−−−√=52−32−−−−−−=4，∴CH=OE+OF=3+4=7，BH=BE+EH=BE+CF=4+3=7，在直角△BCH中根据勾股定理得到BC=72，则PA+PC的最小值为72故答案为：72针对练习：2、在⊙O中,AB是⊙O的直径,AB=8cm,ACˆ=CDˆ=BDˆ，M是AB上一动点，CM+DM的最小值是______cm.类型题2：利用垂径定理解决实际问题例2、把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图，已知圆心为O，EF=CD=16厘米，则⊙O的半径为多少厘米?解析：如图，过点O作OM⊥AD于点M，连接OF，设OF=x，则OM是16-x，MF=8，然后在直角三角形MOF中利用勾股定理求得OF的长即可．针对练习：2、温州是著名水乡,河流遍布整个城市。
某河流上建有一座美丽的石拱桥(如图).已知桥拱半径OC为5m,水面宽AB为4√6m,则石拱桥的桥顶到水面的距离CD为（）A. 4√6mB. 7mC. 5+√6mD. 6m类型题3：垂径定理与平面直角坐标系的综合应用例3：如图,在平面直角坐标系中,点O为坐标原点,点P在第一象限,⊙P与x轴交于O,A两点,点A的坐标为(6,0),⊙P的半径为√13，则点P的坐标为______.解析：过点P作PD⊥x轴于点D，连接OP，先由垂径定理求出OD的长，再根据勾股定理求出PD的长，故可得出答案．针对练习：3、半径为6的⊙E在直角坐标系中,与x轴交于A,B两点,与y轴交于C,D两点,已知C(0,3）,D（0,-7）,求圆心E 的坐标类型题4：利用分类讨论解圆中的计算问题例4：已知AB，CD为⊙O的两条平行弦，⊙O的半径为5cm，AB=8cm，CD=6cm，求弦AB，CD间的距离. 解析：本题考查了两条平行弦之间的间距问题，解题的关键是进行分组讨论；第一种情况是两弦位于圆心同侧时，两弦的间距是弦心距的差的绝对值，过圆心作弦的垂线，再连结圆心与弦的一个端点，应用垂径定理和勾股定理进行计算即可；第二种情况是两弦位于圆心的两侧时，两弦的间距是弦心距的和，同理即可得出结果.解：①当弦A和CD在圆心同侧时，如图①，过点O作OF⊥CD，垂足为F，交AB于点E，连接OA，OC.∵AB∥CD，∴OE⊥AB，∵AB=8cm，CD=6cm，∴AE=4cm，CF=3cm，∵OA=OC=5cm，∴EO=3cm，OF=4cm，∴EF=OF-OE=1cm.②当弦A和CD在圆心异侧时，如图②，过点O作OE⊥AB于点E，反向延长OE交AD于点F，连接OA，OC，∵AB∥CD，∴OF⊥CD，∵AB=8cm，CD=6cm，∴AE=4cm，CF=3cm，∵OA=OC=5cm，∴EO=3cm，OF=4cm，∴EF=OF+OE=7cm．所以AB，CD之间的距离是1cm或7cm.弧、弦、圆心角知识点弧、弦、圆心角之间的关系圆心角：我们把顶点在圆心的角叫做圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等。