【附20套高考模拟试题】2020届浙江省嘉兴嘉善高级中学高考数学模拟试卷含答案
浙江省2020届高三高考模拟试题数学试卷及解析word版
浙江省2020届高三高考模拟试题数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知U＝R，集合A={x|x＜32}，集合B＝{y|y＞1}，则∁U（A∩B）＝（）A．[32，+∞)B．(−∞，1]∪[32，+∞)C．(1，32)D．(−∞，32)2．已知i是虚数单位，若z=3+i1−2i，则z的共轭复数z等于（）A．1−7i3B．1+7i3C．1−7i5D．1+7i53．若双曲线x2m−y2=1的焦距为4，则其渐近线方程为（）A．y=±√33x B．y=±√3x C．y=±√55x D．y=±√5x4．已知α，β是两个相交平面，其中l⊂α，则（）A．β内一定能找到与l平行的直线B．β内一定能找到与l垂直的直线C．若β内有一条直线与l平行，则该直线与α平行D．若β内有无数条直线与l垂直，则β与α垂直5．等差数列{a n}的公差为d，a1≠0，S n为数列{a n}的前n项和，则“d＝0”是“S2nS n∈Z”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件6．随机变量ξ的分布列如表：ξ﹣1012P13a b c其中a，b，c成等差数列，若E(ξ)=19，则D（ξ）＝（）A．181B．29C．89D．80817．若存在正实数y，使得xyy−x =15x+4y，则实数x的最大值为（）A．15B．54C．1D．48．从集合{A，B，C，D，E，F}和{1，2，3，4，5，6，7，8，9}中各任取2个元素排成一排（字母和数字均不能重复）．则每排中字母C 和数字4，7至少出现两个的不同排法种数为（ ） A ．85B ．95C ．2040D ．22809．已知三棱锥P ﹣ABC 的所有棱长为1．M 是底面△ABC 内部一个动点（包括边界），且M 到三个侧面P AB ，PBC ，P AC 的距离h 1，h 2，h 3成单调递增的等差数列，记PM 与AB ，BC ，AC 所成的角分别为α，β，γ，则下列正确的是（ ）A ．α＝βB ．β＝γC ．α＜βD ．β＜γ10．已知|2a →+b →|=2，a →⋅b →∈[−4，0]，则|a →|的取值范围是（ ） A ．[0，1]B ．[12，1]C ．[1，2]D ．[0，2]二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分． 11．若α∈(0，π2)，sinα=√63，则cosα＝ ，tan2α＝ ．12．一个长方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图所示，则该几何体与原长方体的体积之比是 ，剩余部分表面积是 ．13．若实数x ，y 满足{x +y −3≥02x −y +m ≤0y ≤4，若3x +y 的最大值为7，则m ＝ ．14．在二项式(√x +1ax 2)5(a ＞0)的展开式中x﹣5的系数与常数项相等，则a 的值是 ．15．设数列{a n }的前n 项和为S n ．若S 2＝6，a n +1＝3S n +2，n ∈N *，则a 2＝ ，S 5＝ ． 16．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ．已知a cos B ＝b cos A ，∠A =π6，边BC 上的中线长为4．则c ＝ ；AB →⋅BC →= ．17．如图，过椭圆C：x2a2+y2b2=1的左、右焦点F1，F2分别作斜率为2√2的直线交椭圆C上半部分于A，B两点，记△AOF1，△BOF2的面积分别为S1，S2，若S1：S2＝7：5，则椭圆C离心率为．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．（14分）已知函数f(x)=sin(2x+π3)+sin(2x−π3)+2cos2x，x∈R．（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递减区间；（2）求函数f（x）在区间[−π4，π2]上的最大值和最小值．19．（15分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1．（1）求证：AB1⊥平面A1BC1；（2）若D在B1C1上，满足B1D＝2DC1，求AD与平面A1BC1所成的角的正弦值．20．（15分）已知等比数列{a n}（其中n∈N*），前n项和记为S n，满足：S3=716，log2a n+1＝﹣1+log2a n．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{a n•log2a n}（n∈N*）的前n项和T n．21．（15分）已知抛物线C：y=12x2与直线l：y＝kx﹣1无交点，设点P为直线l上的动点，过P作抛物线C的两条切线，A，B为切点．（1）证明：直线AB恒过定点Q；（2）试求△P AB面积的最小值．22．（15分）已知a为常数，函数f（x）＝x（lnx﹣ax）有两个极值点x1，x2（x1＜x2）．（1）求a的取值范围；（2）证明：f(x1)−f(x2)＜12．一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【详解详析】∵U＝R，A={x|x＜32}，B＝{y|y＞1}，∴A∩B=(1，32)，∴∁U(A∩B)=(−∞，1]∪[32，+∞)．故选：B．2．【详解详析】∵z=3+i1−2i =(3+i)(1+2i)(1−2i)(1+2i)=15+75i，∴z=15−75i．故选：C．3．【详解详析】双曲线x2m−y2=1的焦距为4，可得m+1＝4，所以m＝3，所以双曲线的渐近线方程为：y=±√33x．故选：A．4．【详解详析】由α，β是两个相交平面，其中l⊂α，知：在A中，当l与α，β的交线相交时，β内不能找到与l平行的直线，故A错误；在B中，由直线与平面的位置关系知β内一定能找到与l垂直的直线，故B正确；在C中，β内有一条直线与l平行，则该直线与α平行或该直线在α内，故C错误；在D 中，β内有无数条直线与l 垂直，则β与α不一定垂直，故D 错误． 故选：B ．5．【详解详析】等差数列{a n }的公差为d ，a 1≠0，S n 为数列{a n }的前n 项和， “d ＝0”⇒“S 2n S n∈Z ”，当S2nS n∈Z 时，d 不一定为0，例如，数列1，3，5，7，9，11中，S 6S 3=1+3+5+7+9+111+3+5=4，d ＝2，故d ＝0”是“S 2n S n∈Z ”的充分不必要条件．故选：A ．6．【详解详析】∵a ，b ，c 成等差数列，E （ξ）=19， ∴由变量ξ的分布列，知：{a +b +c =232b =a +c (−1)×13+b +2c =19，解得a =13，b =29，c =19，∴D （ξ）＝（﹣1−19）2×13+（0−19）2×13+（1−19）2×29+（2−19）2×19=8081．故选：D ．7．【详解详析】∵xyy−x =15x+4y ， ∴4xy 2+（5x 2﹣1）y +x ＝0， ∴y 1•y 2=14＞0， ∴y 1+y 2=−5x 2−14x ≥0，∴{5x 2−1≥0x ＜0，或{5x 2−1≤0x ＞0， ∴0＜x ≤√55或x ≤−√55①， △＝（5x 2﹣1）2﹣16x 2≥0， ∴5x 2﹣1≥4x 或5x 2﹣1≤﹣4x ， 解得：﹣1≤x ≤15②，综上x 的取值范围是：0＜x ≤15；x的最大值是15，故选：A．8．【详解详析】根据题意，分2步进行分析：①，先在两个集合中选出4个元素，要求字母C和数字4，7至少出现两个，若字母C和数字4，7都出现，需要在字母A，B，D，E，F中选出1个字母，有5种选法，若字母C和数字4出现，需要在字母A，B，D，E，F中选出1个字母，在1、2、3、5、6、8、9中选出1个数字，有5×7＝35种选法，若字母C和数字7出现，需要在字母A，B，D，E，F中选出1个字母，在1、2、3、5、6、8、9中选出1个数字，有5×7＝35种选法，若数字4、7出现，需要在字母A，B，D，E，F中选出2个字母，有C52＝10种选法，则有5+35+35+10＝85种选法，②，将选出的4个元素全排列，有A44＝24种情况，则一共有85×24＝2040种不同排法；故选：C．9．【详解详析】依题意知正四面体P﹣ABC的顶点P在底面ABC的射影是正三角形ABC的中心O，由余弦定理可知，cosα＝cos∠PMO•cos＜MO，AB＞，其中＜MO，AB＞表示直线MO与AB的夹角，同理可以将β，γ转化，cosβ＝cos∠PMO•cos＜MO，BC＞，其中＜MO，BC＞表示直线MO与BC的夹角，cosγ＝cos∠PMO•cos＜MO，AC＞，其中＜MO，AC＞表示直线MO与AC的夹角，由于∠PMO是公共的，因此题意即比较OM与AB，BC，AC夹角的大小，设M到AB，BC，AC的距离为d1，d2，d3则d1＝sinℎ1θ，其中θ是正四面体相邻两个面所成角，sinθ=2√23，所以d1，d2，d3成单调递增的等差数列，然后在△ABC中解决问题由于d1＜d2＜d3，可知M在如图阴影区域（不包括边界）从图中可以看出，OM与BC所成角小于OM与AC所成角，所以β＜γ，故选：D．10．【详解详析】选择合适的基底．设m →=2a →+b →，则|m →|=2，b →=m →−2a →，a →⋅b →=a →⋅m →−2a →2∈[−4，0]， ∴（a →−14m →）2=a →2−12a →•m →+116m →2≤8+116m →2 |m →|2=m →2＝4，所以可得：m→28=12，配方可得12=18m →2≤2(a →−14m →)2≤4+18m →2=92，所以|a →−14m →|∈[12，32]， 则|a →|∈[0，2]． 故选：D ．二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分． 11．【详解详析】∵α∈(0，π2)，sinα=√63， ∴cosα=√1−sin 2α=√33，tanα=sinαcosα=√2，∴tan2α=2tanα1−tan 2α=√21−(√2)2=−2√2．故答案为：√33，﹣2√2．12．【详解详析】根据几何体的三视图转换为几何体为： 如图所示：该几何体为长方体切去一个角．故：V =2×1×1−13×12×2×1×1=53．所以：V 1V =532=56．S ＝2（1×2+1×2+1×1）−12(1×2+1×2+1×1)+12×√2×√2=9．故答案为：56，9．13．【详解详析】作出不等式组{x +y −3≥02x −y +m ≤0y ≤4对应的平面区域如图：（阴影部分）．令z ＝3x +y 得y ＝﹣3x +z ， 平移直线y ＝﹣3x +z ， 由图象可知当3x +y ＝7．由 {3x +y =7y =4，解得 {x =1y =4，即B （1，4），同时A 也在2x ﹣y +m ＝0上， 解得m ＝﹣2x +y ＝﹣2×1+4＝2． 故答案为：2．14．【详解详析】∵二项式(√x +1ax2)5(a ＞0)的展开式的通项公式为 T r +1=C 5r •(1a)r•x5−5r 2，令5−5r 2=−5，求得r ＝3，故展开式中x﹣5的系数为C 53•(1a )3；令5−5r 2=0，求得r ＝1，故展开式中的常数项为 C 51•1a =5a ， 由为C 53•(1a )3=5•1a ，可得a =√2，故答案为：√2．15．【详解详析】∵数列{a n }的前n 项和为S n ．S 2＝6，a n +1＝3S n +2，n ∈N *， ∴a 2＝3a 1+2，且a 1+a 2＝6，解得a 1＝1，a 2＝5，a 3＝3S 2+2＝3（1+5）+2＝20， a 4＝3S 3+2＝3（1+5+20）+2＝80， a 5＝3（1+5+20+80）+2＝320， ∴S 5＝1+5+20+80+320＝426． 故答案为：5，426．16．【详解详析】由a cos B ＝b cos A ，及正弦定理得sin A cos B ＝sin B cos A ， 所以sin （A ﹣B ）＝0， 故B ＝A =π6，所以由正弦定理可得c =√3a ，由余弦定理得16＝c 2+（a2）2﹣2c •a2•cos π6，解得c =8√217；可得a =8√77，可得AB →⋅BC →=−ac cos B =−8√77×8√217×√32=−967．故答案为：8√217，−967． 17．【详解详析】作点B 关于原点的对称点B 1，可得S △BOF 2=S△B′OF 1，则有S 1S2=|y A ||y B 1|=75，所以y A =−75y B 1．将直线AB 1方程x =√2y4−c ，代入椭圆方程后，{x =√24y −c x 2a 2+y 2b 2=1，整理可得：（b 2+8a 2）y 2﹣4√2b 2cy +8b 4＝0， 由韦达定理解得y A +y B 1=4√2b 2cb 2+8a 2，y A y B 1=−8b 4b 2+8a 2，三式联立，可解得离心率e =ca =12． 故答案为：12．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．【详解详析】（1）f （x ）＝sin2x +cos2x +1=√2sin(2x +π4)+1 所以最小正周期为π． 因为当π2+2kπ≤2x +π4≤3π2+2kπ时，f （x ）单调递减．所以单调递减区间是[π8+kπ，5π8+kπ]．（2）当x ∈[−π4，π2]时，2x +π4∈[−π4，5π4]，当2x +π4=π2函数取得最大值为√2+1，当2x +π4=−π4或5π4时，函数取得最小值，最小值为−√22×√2+1＝0．19．【详解详析】（1）在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝AA 1， 根据已知条件易得AB 1⊥A 1B ，由A 1C 1⊥面ABB 1A 1，得AB 1⊥A 1C 1， A 1B ∩A 1C 1＝A 1，以AB 1⊥平面A 1BC 1；（2）以A 1B 1，A 1C 1，A 1A 为x ，y ，z 轴建立直角坐标系，设AB ＝a ， 则A （0，0，a ），B （a ，0，a ），C 1(0，a ，0)，D(a3，2a 3，0)，所以AD →=(a3，2a 3，−a)，设平面A 1BC 1的法向量为n →，则n →=(1，0，−1)， 可计算得到cos ＜AD →，n →＞=2√77，所以AD 与平面A 1BC 1所成的角的正弦值为2√77． 20．【详解详析】（1）由题意，设等比数列{a n }的公比为q ， ∵log 2a n +1＝﹣1+log 2a n ， ∴log 2a n+1−log 2a n =log 2a n+1a n=−1，∴q =a n+1a n =12．由S 3=716，得a 1[1−(12)3]1−12=716，解得a 1=14．∴数列{a n }的通项公式为a n =12n+1．（2）由题意，设b n ＝a n •log 2a n ，则b n =−n+12n+1． ∴T n ＝b 1+b 2+…+b n =−(222+323+⋯+n+12n+1) 故−T n =222+323+⋯+n+12n+1，−T n2=223+⋯+n2n+1+n+12n+2．两式相减，可得−T n2=12+123+⋯+12n+1−n+12n+2=34−n+32n+2．∴T n=n+32n+1−32．21．【详解详析】（1）由y=12x2求导得y′＝x，设A（x1，y1），B（x2，y2），其中y1=12x12，y2=12x22则k P A＝x1，P A：y﹣y1＝x1（x﹣x1），设P（x0，kx0﹣1），代入P A直线方程得kx0﹣1+y1＝x1x0，PB直线方程同理，代入可得kx0﹣1+y2＝x2x0，所以直线AB：kx0﹣1+y＝xx0，即x0（k﹣x）﹣1+y＝0，所以过定点（k，1）；（2）直线l方程与抛物线方程联立，得到x2﹣2kx+2＝0，由于无交点解△可得k2＜2．将AB：y＝xx0﹣kx0+1代入y=12x2，得12x2−xx0+kx0−1=0，所以△=x02−2kx0+2＞0，|AB|=2√1+x02√△，设点P到直线AB的距离是d，则d=02√1+x02，所以S△PAB=12|AB|d=(x02−2kx0+2)32=[(x0−k)2+2−k2]32，所以面积最小值为(2−k2)32．22．【详解详析】（1）求导得f′（x）＝lnx+1﹣2ax（x＞0），由题意可得函数g（x）＝lnx+1﹣2ax有且只有两个零点．∵g′(x)=1x −2a=1−2axx．当a≤0时，g′（x）＞0，f′（x）单调递增，因此g（x）＝f′（x）至多有一个零点，不符合题意，舍去；当a＞0时，令g′（x）＝0，解得x=12a，所以x∈(0，12a )，g′(x)＞0，g(x)单调递增，x∈(12a，+∞)，g′(x)＜0，g(x)单调递减．所以x=12a 是g（x）的极大值点，则g(12a)＞0，解得0＜a＜12；（2）g（x）＝0有两个根x1，x2，且x1＜12a＜x2，又g（1）＝1﹣2a＞0，所以x1＜1＜12a＜x2，从而可知f（x）在区间（0，x1）上递减，在区间（x1，x2）上递增，在区间（x2，+∞）上递减．所以f(x1)＜f(1)=−a＜0，f(x2)＞f(1)=−a＞−1，2．所以f(x1)−f(x2)＜12。
【精品高考数学】[2020年浙江高考仿真模拟卷-数学]+答案
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2020年浙江高考仿真模拟卷数学2020.4一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合，，则（）A．B．C．D．2．若复数，则在复平面内对应的点位于 ( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．我国南北朝时期数学家祖暅，提出了著名的祖暅原理：“缘幂势既同，则积不容异也”．“幂”是截面积，“势”是几何体的高，意思是两等高几何体，若在每一等高处的截面积都相等，则两几何体体积相等．已知某不规则几何体与右侧三视图所对应的几何体满足“幂势既同”，其中俯视图中的圆弧为圆周，则该不规则几何体的体积为（）A．B．C．D．4．已知双曲线的一条渐近线过点，则C的离心率为A．B．C．D．35函数的部分图象大致是（）A．B．C．D．6．已知α，β，γ为平面，是直线，若α∩β＝，则“α⊥γ，β⊥γ”是“⊥γ”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件7．已知随机变量的分布列如下表：X -1 0 1P a b c其中.若的方差对所有都成立，则( )A． B． C． D．8．如图，平面四边形中，，是，中点，，，，将沿对角线折起至，使平面平面，则四面体中，下列结论不正确的是（）A．平面B．异面直线与所成的角为C．异面直线与所成的角为D．直线与平面所成的角为9．已知是边长为的正三角形，且，，设，当函数的最大值为-2时，（）A．B．C．D．10．已知等差数列满足，，数列满足，记数列的前项和为，若对于任意的，，不等式恒成立，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．非选择题部分（共110分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.11．《九章算术》第七章“盈不足”中第一题：“今有共买物，人出八，盈三钱；人出七，不足四，问人数物价各几何？”借用我们现在的说法可以表述为：有几个人合买一件物品，每人出8元，则付完钱后还多3元；若每人出7元，则还差4元才够付款.问他们的人数和物品价格？答：一共有_____人；所合买的物品价格为_______元．12．在平面直角坐标系中，不等式组所表示的平面区域的面积等于______，的取值范围是______.13．在 ABC 中，C＝45°，AB＝6 ，D 为 BC 边上的点，且AD＝5，BD＝3 ，则cos B＝_____ ，AC＝_____．14．若的展开式中，的系数为6，则______，常数项的值为______．15．已知奇函数是定义在R上的单调函数，若函数恰有4个零点，则a的取值范围是______．16．某校举行“我爱我的祖国”征文比赛，从名获得一等奖的同学中选出名同学发表获奖感言，要求甲、乙两名同学至少有一人参加，则不同发言顺序的种数为_____．（用数字作答）17．如图，，分别是椭圆的左、右顶点，圆的半径为2，过点作圆的切线，切点为，在轴的上方交椭圆于点，则_______．三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18．已知函数.（Ⅰ）求的最小正周期；（Ⅱ）求在区间[]上的最大值和最小值.19．如图，三棱柱中，分别为棱的中点.（1）在上确定点M，使平面，并说明理由.（2）若侧面侧面，求直线与平面所成角的正弦值.20．已知等差数列的前项和为，，公差，且，，成等比数列，数列满足，的前项和为.（Ⅰ）求数列和的通项公式；（Ⅱ）记，试比较与的大小.21．已知抛物线，准线方程为，直线过定点，且与抛物线交于两点，为坐标原点．(1)求抛物线方程；(2)是否为定值，若是，求出这个定值；若不是，请说明理由；(3)当时，设，记，求的最小值及取最小值时对应的．22．已知函数．(1)求函数的单调区间；(2)若不等式时恒成立，求的取值范围．2020年浙江高考仿真模拟卷数学2020.4一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合，，则（）A．B．C．D．【解析】选B.2．若复数，则在复平面内对应的点位于 ( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解析】＝，对应的点为（），在第四象限故选：D3．我国南北朝时期数学家祖暅，提出了著名的祖暅原理：“缘幂势既同，则积不容异也”．“幂”是截面积，“势”是几何体的高，意思是两等高几何体，若在每一等高处的截面积都相等，则两几何体体积相等．已知某不规则几何体与右侧三视图所对应的几何体满足“幂势既同”，其中俯视图中的圆弧为圆周，则该不规则几何体的体积为（）A．B．C．D．【解析】根据三视图知，该几何体是三棱锥与圆锥体的组合体，如图所示；则该组合体的体积为；所以对应不规则几何体的体积为．故选：B．4．已知双曲线的一条渐近线过点，则C的离心率为A．B．C．D．3 【解析】双曲线的渐近线方程为，由题意可得，可得，则双曲线的离心率为．故选：C．5函数的部分图象大致是（）A．B．C．D．【解析】由题知，的定义域为，且，所以是奇函数，排除C和D，将代入得，排除B,故选A.6．已知α，β，γ为平面，是直线，若α∩β＝，则“α⊥γ，β⊥γ”是“⊥γ”的( ) A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解析】由α⊥γ，β⊥γ，在γ内任取一点P，过P作a垂直于α，γ的交线，则a⊥α，又α，则a⊥，同理，在γ内过P作b垂直于β，γ的交线，则b⊥，可推出l⊥γ，反过来，若l⊥γ，α∩β＝l，根据面面垂直的判定定理，可知α⊥γ，β⊥γ，故“α⊥γ，β⊥γ”是“l⊥γ”的充要条件，故选：C．7．已知随机变量的分布列如下表：X -1 0 1P a b c其中.若的方差对所有都成立，则( )A． B． C． D．【解析】由的分布列可得：的期望为，，所以的方差，因为所以当且仅当时，取最大值，又对所有都成立，所以只需，解得，所以.故选D8．如图，平面四边形中，，是，中点，，，，将沿对角线折起至，使平面平面，则四面体中，下列结论不正确的是（）A．平面B．异面直线与所成的角为C．异面直线与所成的角为D．直线与平面所成的角为【解析】A选项：因为，分别为和两边中点，所以，即平面，A正确；B选项：因为平面平面，交线为，且，所以平面，即，故B正确；C选项：取边中点，连接，，则，所以为异面直线与所成角，又，，，即，故C错误，D选项：因为平面平面，连接，则所以平面，连接FC，所以为异面直线与所成角，又，∴,又， sin=，∴,D正确，故选C.9．已知是边长为的正三角形，且，，设，当函数的最大值为-2时，（）A．B．C．D．【解析】由题得，=，所以当时，的最大值为.故选：C10．已知等差数列满足，，数列满足，记数列的前项和为，若对于任意的，，不等式恒成立，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．【解析】由题意得，则，等差数列的公差，.由，得，则不等式恒成立等价于恒成立，而，问题等价于对任意的，恒成立.设，，则，即，解得或.故选:A.非选择题部分（共110分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.11．《九章算术》第七章“盈不足”中第一题：“今有共买物，人出八，盈三钱；人出七，不足四，问人数物价各几何？”借用我们现在的说法可以表述为：有几个人合买一件物品，每人出8元，则付完钱后还多3元；若每人出7元，则还差4元才够付款.问他们的人数和物品价格？答：一共有_____人；所合买的物品价格为_______元．【解析】设共有人，由题意知，解得，可知商品价格为53元.即共有7人，商品价格为53元.12．在平面直角坐标系中，不等式组所表示的平面区域的面积等于______，的取值范围是______.【解析】不等式组表示的可行域如图，三条直线围成的三角形，可得C（1，0），可得B（1，4），解得A（0，1）区域面积为：×4×1＝2．目标函数,根据图像得到过点A时取得最小值1，过点B时取得最大值6.故答案为：(1)2;(2).13．在 ABC 中，C＝45°，AB＝6 ，D 为 BC 边上的点，且AD＝5，BD＝3 ，则cos B＝_____ ，AC＝_____．【解析】∵AB＝6，AD＝5，BD＝3，在△ABD中，余弦定理cos B，∴sin B．正弦定理：，可得：AC．故答案为：，．14．若的展开式中，的系数为6，则______，常数项的值为______．【解析】的展开式的通项公式为，令，求得，可得的系数为，．令，求得，可得常数项的值为，故答案为：1；15．15．已知奇函数是定义在R上的单调函数，若函数恰有4个零点，则a的取值范围是______．【解析】由题意，因为，是偶函数，若恰有4个零点，等价为当时，有两个不同的零点，是奇函数，由，得，是单调函数，，即，当时，有两个根即可，当时，等价为，，设，要使当时，有两个根，则，即，即实数a的取值范围是，故答案为：16．某校举行“我爱我的祖国”征文比赛，从名获得一等奖的同学中选出名同学发表获奖感言，要求甲、乙两名同学至少有一人参加，则不同发言顺序的种数为_____．（用数字作答）【解析】第一步：先选人，甲、乙至少有一人参加，用间接法，有第二步，将人排序，有故不同发言顺序的种数为.故答案为：17．如图，，分别是椭圆的左、右顶点，圆的半径为2，过点作圆的切线，切点为，在轴的上方交椭圆于点，则_______．【解析】连结，可得是边长为2的等边三角形，所以，可得直线的斜率，直线的斜率为，因此，直线的方程为，直线的方程为，设，由解得，因为圆与直线相切于点，所以，因此，故直线的斜率，因此直线的方程为，代入椭圆方程，消去得，解得或，因为直线交椭圆于与点，设，可得，由此可得.故答案为三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18．已知函数.（Ⅰ）求的最小正周期；（Ⅱ）求在区间[]上的最大值和最小值.【解析】解(Ⅰ)====.所以的最小正周期为.（Ⅱ）因为,所以.于是,当,即时,取得最大值;当,即时,取得最小值.19．如图，三棱柱中，分别为棱的中点.（1）在上确定点M，使平面，并说明理由.（2）若侧面侧面，求直线与平面所成角的正弦值.【解析】(1)取BC中点M,连接AM,则AM∥平面PQB1；如图所示，取BB1中点N，连结AM,AN，为平行四边形，点N,P为中点，则，由线面平行的判定定理可得平面PQB1，同理可得，平面PQB 1，据此可得平面AMN∥平面PQB1，故平面.(2)作QO⊥平面ABB1A1,与A1A延长线交于O,则，，，，，，.作PN∥C1A1,则直线A1C1与平面PQB1所成角即直线PN与平面PQB1所成角，.设N到平面PQB1的距离为h,则，∴直线A1C1与平面PQB1所成角的正弦值为：.20．已知等差数列的前项和为，，公差，且，，成等比数列，数列满足，的前项和为.（Ⅰ）求数列和的通项公式；（Ⅱ）记，试比较与的大小.【解析】（Ⅰ）由已知得，即，又，∴，∴，.由得.时，.∴，显然也满足，∴.（Ⅱ），，，当时，，，当时，，，当时，，∴.综上，当时，；当时.21．已知抛物线，准线方程为，直线过定点，且与抛物线交于两点，为坐标原点．(1)求抛物线方程；(2)是否为定值，若是，求出这个定值；若不是，请说明理由；(3)当时，设，记，求的最小值及取最小值时对应的．【解析】（1）……①（2）设，据题意知直线的斜率存在，设②联立①②得，=.由于T（0，t）为定点，故t为定值，为定值. （3）,,,,由（2）知，，且，又，当时，，，，；当时，，符合上式.，令，则，，当即时，22．已知函数．(1)求函数的单调区间；(2)若不等式时恒成立，求的取值范围．【解析】（l），①若，，在上单调递增；②若,当时，，当时，，所以是函数的单调递增区间，是函数的单调减区间，综上所述，当时，的单调递增区间为；当时，的单调递增区间为，单调递减区间为.（2）由题意可知，不等式可转化为在时恒成立，令，，①若，则，在上单调递减，所以，不等式恒成立等价于，即；②若，则，当时，，当时，，在上单调递减，在上单调递增，所以，不符合题意；③若，当时，，在上单调递增，所以，不符合题意；综上所述，.。
2020年高考数学模拟试题带答案
2020 年高考模拟试题 理科数学一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1、若集合 A＝{－1,1}，B＝{0,2}，则集合{z|z＝x＋y，x∈A，y∈B}中的元素的个数 为A.5B.4C.3D.22、复数在复平面上对应的点位于A 第一象限B 第二象限C 第三象限D 第四象限3、小波通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷一点，若此点到圆心的距离大于 ，则周末去看电影；若此点到圆心的距离小于 ，则去打篮球； 否则，在家看书.则小波周末不在家看书的概率为A.B.C.D.JPA．B．C．8、已知数列 为等比数列， 是是它的前 n 项和,若D． ，且 与 2 的等差中项为 ，则A.35B.33C.31D.299、某大学的 8 名同学准备拼车去旅游，其中大一、大二、大三、大四每个年级各两名，分乘甲、乙两辆汽车，每车限坐 4 名同学（乘同一辆车的 4 名同学不考虑位置）， 其中大一的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘坐甲车的 4 名同学中恰有 2 名同学是来自同一年级的乘坐方式共有A.24 种B.18 种C.48 种D.36 种10 如图，在矩形 OABC 中，点 E、F 分别在线段 AB、BC上，且满足，，若（），则4、函数如图示，则将 图象解析式为的部分图象 的图象向右平移 个单位后，得到的A.B.5、已知，A.B.C.，，则C.D. D.6、函数的最小正周期是A.B.C.D.11、如图，F1，F2 分别是双曲线 C：(a，b＞0)的左右焦点，B 是虚轴的端点，直线 F1B 与 C 的两条渐近线分别交于 P，Q 两点，线段 PQ 的垂直平分线与 x 轴交于点 M，若|MF2|＝|F1F2|，则 C 的离心率是A.B.C.D.12、函数 f（x）＝2x|log0.5x|－1 的零点个数为A.1B.2C.3D.4二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.请把正确答案填在题中横线上A.πB.C.7、函数 y=的图象大致是D.2π13、设θ为第二象限角，若，则 sin θ＋cos θ＝__________14、(a+x）4 的展开式中 x3 的系数等于 8，则实数 a=_________15、已知曲线 y x ln x 在点 1,1 处的切线与曲线 y ax2 a 2 x 1 相切,则 a=16、若 x ，则函数 y tan 2x tan3 x 的最大值为42三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第 17~21 题为必考题，每个试题考生都必须作答；第 22、23 题为选考题，考生依据要求作答.17、已知数列 的前 项和为 ，且，对任意 N ，都有.（1）求数列 的通项公式；（2）若数列 满足，求数列 的前 项和 .18、如图，四棱锥 P－ABCD 中，PA⊥底面 ABCD，BC＝CD＝2，AC＝4，∠ACB＝∠ACD＝ ，F 为 PC 的中点，AF⊥PB。
【附20套高考模拟试题】2020届浙江省普通高等学校高考科目模拟考试数学试题1高考数学模拟试卷含答案
2020届浙江省普通高等学校高考科目模拟考试数学试题1高考数学模拟试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．将5名教师分配到甲、乙、丙三所学校任教，其中甲校至少分配两名教师，其它两所学校至少分配一名教师，则不同的分配方案共有几种（ ） A ．60B ．80C ．150D ．3602．在ABC ∆中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若1cos 2b a Cc =+，则角A 为 A ．60︒ B ．120︒C ．45︒D ．135︒3．若圆C ：x 2+y 2﹣4x ﹣4y ﹣10＝0上至少有三个不同的点到直线l ：x ﹣y+m ＝0的距离为，则m 的取值范围是（ ） A ．B ．C ．[﹣2，2]D ．（﹣2，2）4．设函数，则下列结论正确的是（ ）A ．的值域为B ．是偶函数C ．不是周期函数 D ．是单调函数5．将三颗骰子各掷一次,设事件A =“三个点数互不相同”, B =“至多出现一个奇数”,则概率()P A B ⋂等于( )A ．14B ．3536 C ．518 D ．5126．已知圆柱的上、下底面的中心分别为1O ，2O ，过直线12O O 的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为 A ．122π B ．12π C ．82πD ．10π7．已知抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点为F ，准线为l ，点M ，N 分别在抛物线C 上，且30MF NF +=u u u r u u u r，直线MN 交l 于点P ，'NN l ⊥，垂足为'N .若'MN P ∆的面积为3F 到l 的距离为（ ） A ．12B ．10C ．8D ．68．在等差数列{}n a 中，若981a a <-，且它的前n 项和n S 有最小值，则当0n S >时，n 的最小值为（） A ．14 B ．15 C ．16 D ．179．函数()sin (0)3f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期为π，若将函数()f x 的图像向右平移6π个单位，得到函数()g x 的图像，则()g x 的解析式为（ ）A ．()sin 46g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭B ．()sin 43g x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭C ．()sin 26g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ D ．()sin 2g x x = 10．据有关文献记载：我国古代一座9层塔共挂了126盏灯，且相邻两层中的下一层灯数比上一层灯数都多n （n 为常数）盏，底层的灯数是顶层的13倍，则塔的底层共有灯（ ） A ．2盏 B ．3盏 C ．26盏 D ．27盏11．已知变量1x ，()()20,0x m m ∈>，且12x x <，若2112xxx x <恒成立，则m 的最大值为（ ）A ．eBC ．1eD ．112．已知{}{}0,1,2,1,1,3,5a b ∈∈-，则函数()22f x ax bx =-在区间()1,+∞上为增函数的概率是( )A ．512 B ．13 C ．14 D ．16二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
【附20套高考模拟试题】2020届浙江省普通高等学校高考科目模拟考试数学试题5高考数学模拟试卷含答案
2020届浙江省普通高等学校高考科目模拟考试数学试题5高考数学模拟试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知x ，y 满足约束条件0,2,0,x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩若z ＝ax ＋y 的最大值为4，则a ＝ ( )A ．3B ．2C ．－2D ．－32．已知双曲线的中心在原点且一个焦点为(7,0)F ，直线1y x =-与其相交于M ，N 两点，若MN 中点的横坐标为23-，则此双曲线的方程是 A ．22134x y -= B ．22143x y -= C ．22152x y -= D ．22125x y -=3．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A ．8012π+B ．8013.5π+C ．5913.5π+D ．5912π+4．三棱锥S ABC -中，SA ⊥底面ABC ，若3SA AB BC AC ====，则该三棱锥外接球的表面积为（ ）A ．18πB ．212πC ．21πD ．42π551+的双曲线为“黄金双曲线”51+的双曲线为“亚黄金双曲线”.若双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>为“黄金双曲线”，则22b a =（ ）A 51B ．51+C 51D ．51-6．已知双曲线E ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，以坐标原点O 为圆心，1OF 的长为半径作圆，O e 与E 在第一象限交于点P ，若直线1PF 的倾斜角为θ且3sin 24θ=，则双曲线E 的离心率为（ ）A ．2B ．43 C ．2D ．47．已知抛物线1C ：22(0)y px p =>的焦点F 为双曲线2C ：2213y x -=的顶点，过点F 的直线与抛物线1C 相交于M 、N 两点，点A 在x 轴上，且满足8MN =，若AM AN =，则AMN ∆的面积为( ) A ．36B ．63C ．62D ．828．已知双曲线2222:1x y C a b -=(,0)a b >满足52b a =,且与椭圆221123x y +=有公共焦点，则双曲线C 的方程为A ．22145x y -=B ．221810x y -=C ．22154x y -=D ．22143x y -=9．《九章算术》卷第六《均输》中，有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何？”若将这五人从上到下分别记为甲、乙、丙、丁、戊，且五人所得依次成等差数列，则乙与丙两人共分得（ ）A ．83钱 B ．72钱 C ．136钱D ．3钱10．设函数()23211(22)32xf x x x e x x =-+--的极值点的最大值为0x ，若0(,1)x n n ∈+，则整数n 的值为（ ） A ．-2B ．-1C ．0D ．111．若关于x 的方程2||4x kx x =+有4个不同的实数根，则k 的取值范围是（ ） A ．1(0,)4 B ．(1,4)C ．1(,)4+∞D ．1(,4)412．如图，在四个图形中，二次函数2y ax bx =+与指数函数()xby a=的图像只可能是（ ）A ．B ．C ．D ． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020年浙江省高考数学模拟试卷及答案
2020年浙江省高考数学模拟试卷一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）1．（4分）已知A ＝{x ∈N *|x ≤3}，B ＝{x |x 2﹣4x ≤0}，则A ∩B ＝（ ） A ．{1，2，3}B ．{1，2}C ．（0，3]D ．（3，4]2．（4分）设i 为虚数单位，复数z =2+3ii，则z 的共轭复数是（ ） A ．3﹣2iB ．3+2iC ．﹣3﹣2iD ．﹣3+2i3．（4分）设变量x ，y 满足约束条件{x +y ≥1，2x −y ≤2，x −y +1≥0，则z ＝（x ﹣3）2+y 2的最小值为（ ）A ．2B ．4√55C ．4D ．1654．（4分）已知α为任意角，则“cos2α=13”是“sin α=√33”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要5．（4分）函数f （x ）＝x 2+e |x |的图象只可能是（ ）A ．B ．C ．D ．6．（4分）如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，P 为线段AD 的中点，Q 为线段B 1C 1的动点，则下列说法中错误的是（ ）A ．线段PQ 与平面CDD 1C 1可能平行B ．当Q 为线段B 1C 1的中点时，线段PQ 与DD 1所成角为π4C ．PQ ≥√2ABD ．CD 1与PQ 不可能垂直7．（4分）已知0＜a ＜23，随机变量ξ的分布列如图：则当a 增大时，ξ的期望E （ξ）变化情况是（ ）ξ ﹣10 1 P13abA ．E （ξ）增大B ．E （ξ）减小C ．E （ξ）先增后减D ．E （ξ）先减后增8．（4分）已知函数f(x)={x 2+4x +2，x ≤0log 2x ，x ＞0，且方程f （x ）＝a 有三个不同的实数根x 1，x 2，x 3，则x 1+x 2+x 3的取值范围为（ ） A ．(−154，0]B ．(−154，2]C ．[﹣4，+∞）D ．[﹣4，2）9．（4分）如图，在三棱台ABC ﹣A 1B 1C 1中，M 是棱A 1C 1上的点，记直线AM 与直线BC 所成的角为α，直线AM 与平面ABC 所成的角为β，二面角M ﹣AC ﹣B 的平面角为γ．则（ ）A ．α≥β，β≤γB ．α≤β，β≤γC ．α≥β，β≥γD ．α≤β，β≥γ10．（4分）设数列{a n }满足a n +1＝a n 2+2a n ﹣2（n ∈N *），若存在常数λ，使得a n ≤λ恒成立，则λ的最小值是（ ） A ．﹣3B ．﹣2C ．﹣1D ．1二．填空题（共7小题，满分36分）11．（6分）过点P （1，1）作直线l 与双曲线x 2−y 22=λ交于A ，B 两点，若点P 恰为线段AB 的中点，则实数λ的取值范围是 ．12．（6分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 ．13．（6分）已知（1﹣x ）6＝a 0+a 1x +a 2x 2+…+a 6x 6，则a 2＝ ，a 0﹣a 1+a 2﹣a 3+a 4﹣a 5+a 6＝ ． 14．（6分）在△ABC 中，a ＝1，cos C =34，△ABC 的面积为√74，则c ＝ ． 15．（4分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 2a +y 2b =1（a ＞b ＞0）的上、下顶点分别为B 2，B 1，若一个半径为√2b ，过点B 1，B 2的圆M 与椭圆的一个交点为P （异于顶点B 1，B 2），且|k PB 1−kPB 2|=89，则椭圆的离心率为 ．16．（4分）如图，在平面四边形ABCD 中，AB ⊥BC ，AD ⊥CD ，∠BCD ＝60°， CB ＝CD ＝2√3．若点M 为边BC 上的动点，则AM →•DM →的最小值为 ．17．（4分）设f （x ）是定义在（0，+∞）上的可导函数，且满足f （x ）+xf '（x ）＞0，则不等式f （x +1）＞（x ﹣1）f （x 2﹣1）的解集为 三．解答题（共5小题，满分74分）18．（14分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且b ﹣c ＝1，cos A =13，△ABC 的面积为2√2．（Ⅰ）求a 及sin C 的值； （Ⅱ）求cos （2A −π6）的值．19．（15分）如图，三棱锥D ﹣ABC 中，AD ＝CD ，AB ＝BC ＝4√2，AB ⊥BC ． （1）求证：AC ⊥BD ；（2）若二面角D ﹣AC ﹣B 的大小为150°且BD ＝4√7时，求直线BM 与面ABC 所成角的正弦值．20．（15分）在等差数列{a n }和正项等比数列{b n }中，a 1＝1，b 1＝2，且b 1，a 2，b 2成等差数列，数列{b n }的前n 项和为Sn ，且S 3＝14． （1）求数列{a n }，{b n }的通项公式；（2）令c n =a b n ，（﹣1）n d n ＝n c n +n ，求数列{d n }的前项和为T n ．21．（15分）已知抛物线y2＝x上的动点M（x0，y0），过M分别作两条直线交抛物线于P、Q两点，交直线x＝t于A、B两点．（1）若点M纵坐标为√2，求M与焦点的距离；（2）若t＝﹣1，P（1，1），Q（1，﹣1），求证：y A•y B为常数；（3）是否存在t，使得y A•y B＝1且y P•y Q为常数？若存在，求出t的所有可能值，若不存在，请说明理由．22．（15分）设函数f（x）＝e x cos x，g（x）＝e2x﹣2ax．（1）当x∈[0，π3]时，求f（x）的值域；（2）当x∈[0，+∞）时，不等式g(x)≥f′(x)e2x恒成立（f'（x）是f（x）的导函数），求实数a的取值范围．2020年浙江省高考数学模拟试卷参考答案与试题解析一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）1．（4分）已知A ＝{x ∈N *|x ≤3}，B ＝{x |x 2﹣4x ≤0}，则A ∩B ＝（ ） A ．{1，2，3}B ．{1，2}C ．（0，3]D ．（3，4]【解答】解：由题意得：A ＝{x ∈N *|x ≤3}＝{1，2，3}，B ＝{x |x 2﹣4x ≤0}＝{x |0≤x ≤4}， ∴所以A ∩B ＝{1，2，3}， 故选：A ．2．（4分）设i 为虚数单位，复数z =2+3ii，则z 的共轭复数是（ ） A ．3﹣2iB ．3+2iC ．﹣3﹣2iD ．﹣3+2i【解答】解：∵z =2+3i i =(2+3i)(−i)−i2=3−2i ， ∴z =3+2i ． 故选：B ．3．（4分）设变量x ，y 满足约束条件{x +y ≥1，2x −y ≤2，x −y +1≥0，则z ＝（x ﹣3）2+y 2的最小值为（ ）A ．2B ．4√55C ．4D ．165【解答】解：画出变量x ，y 满足约束条件{x +y ≥1，2x −y ≤2，x −y +1≥0，的可行域，可发现z ＝（x ﹣3）2+y 2的最小值是（3，0）到2x ﹣y ﹣2＝0距离的平方． 取得最小值：(6−24+1)2=165．故选：D ．4．（4分）已知α为任意角，则“cos2α=13”是“sin α=√33”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要【解答】解：若cos2α=13，则cos2α＝1﹣2sin 2α，sin α=±√33，则cos2α=13”是“sin α=√33”的不充分条件；若sin α=√33，则cos2α＝1﹣2sin 2α，cos2α=13，则cos2α=13”是“sin α=√33”的必要条件； 综上所述：“cos2α=13”是“sin α=√33”的必要不充分条件．故选：B ．5．（4分）函数f （x ）＝x 2+e |x |的图象只可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【解答】解：因为对于任意的x ∈R ，f （x ）＝x 2+e |x |＞0恒成立，所以排除A ，B ， 由于f （0）＝02+e |0|＝1，则排除D ， 故选：C ．6．（4分）如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，P 为线段AD 的中点，Q 为线段B 1C 1的动点，则下列说法中错误的是（ ）A ．线段PQ 与平面CDD 1C 1可能平行B ．当Q 为线段B 1C 1的中点时，线段PQ 与DD 1所成角为π4C ．PQ ≥√2ABD ．CD 1与PQ 不可能垂直【解答】解：在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，P 为线段AD 的中点，Q 为线段B 1C 1的动点， 在A 中，当Q 为线段B 1C 1中点时，线段PQ 与平面CDD 1C 1平行，故A 正确； 在C 中，当Q 为线段B 1C 1的中点时，PQ ∥DC 1， ∴线段PQ 与DD 1所成角为∠C 1DD 1=π4，故B 正确；在C 中，PQ ≥√2AB ，当且仅当Q 为线段B 1C 1的中点时取等号，故C 正确； 在D 中，当Q 为线段B 1C 1的中点时，PQ ∥DC 1，CD 1与PQ 垂直，故D 错误． 故选：D ．7．（4分）已知0＜a ＜23，随机变量ξ的分布列如图：则当a 增大时，ξ的期望E （ξ）变化情况是（ ）ξ ﹣10 1 P13abA ．E （ξ）增大B ．E （ξ）减小C ．E （ξ）先增后减D ．E （ξ）先减后增【解答】解：依题可知{E(ξ)=−13+b a +b =23，∴E(ξ)=−13+23−a ，∴当a 增大时，ξ的期望E （ξ）减小．故选：B ．8．（4分）已知函数f(x)={x 2+4x +2，x ≤0log 2x ，x ＞0，且方程f （x ）＝a 有三个不同的实数根x 1，x 2，x 3，则x 1+x 2+x 3的取值范围为（ ） A ．(−154，0] B ．(−154，2] C ．[﹣4，+∞） D ．[﹣4，2）【解答】解：作出函数f （x ）的图象，方程f （x ）＝a 有三个不同的实数根 即等价于函数y ＝f （x ）的图象与直线y ＝a 有三个交点A ，B ，C ，故有﹣2＜a ≤2， 不妨设x 1＜x 2＜x 3，因为点A ，B 关于直线x ＝﹣2对称，所以x 1+x 2＝﹣4， ﹣2＜log 2x 3≤2，即14＜x 3≤4，故−154＜x 1+x 2+x 3≤0．故选：A ．9．（4分）如图，在三棱台ABC ﹣A 1B 1C 1中，M 是棱A 1C 1上的点，记直线AM 与直线BC 所成的角为α，直线AM 与平面ABC 所成的角为β，二面角M ﹣AC ﹣B 的平面角为γ．则（ ）A ．α≥β，β≤γB ．α≤β，β≤γC ．α≥β，β≥γD ．α≤β，β≥γ【解答】解：∵在三棱台ABC ﹣A 1B 1C 1中，M 是棱A 1C 1上的点， 记直线AM 与直线BC 所成的角为α，直线AM 与平面ABC 所成的角为β， 二面角M ﹣AC ﹣B 的平面角为γ． ∴根据最小角定理得α≥β， 根据最大角定理得β≤γ． 故选：A ．10．（4分）设数列{a n }满足a n +1＝a n 2+2a n ﹣2（n ∈N *），若存在常数λ，使得a n ≤λ恒成立，则λ的最小值是（ ） A ．﹣3B ．﹣2C ．﹣1D ．1【解答】解：a n+1−a n =a n 2+a n −2=(a n +2)(a n −1)，若a n ＜﹣2，则a n +1＞a n ，则该数列单调递增，所以无限趋于﹣2．若a n ＝﹣2，则a n +1＝a n ，则该数列为常数列，即a n ＝2．所以，综上所述，λ≥﹣2．∴λ的最小值是﹣2．故选：B ． 二．填空题（共7小题，满分36分）11．（6分）过点P （1，1）作直线l 与双曲线x 2−y 22=λ交于A ，B 两点，若点P 恰为线段AB 的中点，则实数λ的取值范围是 （﹣∞，0）∪（0，12） ．【解答】解：设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），代入双曲线可得：{x 12−y 122=λx 22−y 222=λ，两式相减可得：y 1−y 2x 1−x 2=2(x 1+x 2)y 1+y 2，而由题意可得，x 1+x 2＝2×1＝2，y 1+y 2＝2×1＝2， 所以直线AB 的斜率k =y 1−y 2x 1−x 2=2×22=2，所以直线AB 的方程为：y ﹣1＝2（x ﹣1），即y ＝2x ﹣1，代入双曲线的方程可得：2x 2﹣4x +1+2λ＝0，因为直线与双曲线由两个交点，所以△＞0，且λ≠0，即△＝16﹣4×2×（1+2λ）＞0，解得：λ＜12， 所以实数λ的取值范围是（﹣∞，0）∪（0，12），故答案为：（﹣∞，0）∪（0，12）．12．（6分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 9 ．【解答】解：根据几何体的三视图转换为几何体为： 下底面为直角梯形，高为3的四棱锥体， 如图所示：所以：V =13×12(2+4)×3×3=9， 故答案为：913．（6分）已知（1﹣x ）6＝a 0+a 1x +a 2x 2+…+a 6x 6，则a 2＝ 15 ，a 0﹣a 1+a 2﹣a 3+a 4﹣a 5+a 6＝ 64 ．【解答】解：由（1﹣x ）6的通项为T r+1=C 6r (−x)r 可得，令r ＝2，即x 2项的系数a 2为C 62=15，即a 2＝15，由（1﹣x ）6＝a 0+a 1x +a 2x 2+…+a 6x 6，取x ＝﹣1，得a 0﹣a 1+a 2﹣a 3+a 4﹣a 5+a 6＝[1﹣（﹣1）]6＝64，故答案为：15，64． 14．（6分）在△ABC 中，a ＝1，cos C =34，△ABC 的面积为√74，则c ＝ √2 ． 【解答】解：∵a ＝1，cos C =34，△ABC 的面积为√74， ∴sin C =√1−cos 2C =√74，可得√74=12ab sin C =√78ab ，解得ab ＝2，∴b ＝2，∴由余弦定理可得c =2+b 2−2abcosC =√12+22−2×1×2×34=√2． 故答案为：√2．15．（4分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的上、下顶点分别为B 2，B 1，若一个半径为√2b ，过点B 1，B 2的圆M 与椭圆的一个交点为P （异于顶点B 1，B 2），且|k PB 1−kPB 2|=89，则椭圆的离心率为2√23． 【解答】解：设P （x 0，y 0），B 1（0，﹣b ），B 2（0，+b ），由|kPB 1−kPB 2|=89，|y 0−b x 0−y 0+b x 0|=89，∴|x 0|=94b ，由题意得圆M 的圆心在x 轴上，设圆心（t ，0），由题意知：t 2+b 2＝2b 2∴t 2＝b 2， ∴MP 2＝2b 2＝（x 0﹣t ）2+y 02，∴y 02=716b 2，P 在椭圆上，所以81b 216a +716=1， ∴a 2＝9b 2＝9（a 2﹣c 2），∴e 2=89，所以离心率为2√23，故答案为：2√23． 16．（4分）如图，在平面四边形ABCD 中，AB ⊥BC ，AD ⊥CD ，∠BCD ＝60°，CB ＝CD ＝2√3．若点M 为边BC 上的动点，则AM →•DM →的最小值为214．【解答】解：如图所示：以B 为原点，以BA 所在的直线为x 轴，以BC 所在的直线为y 轴，过点D 做DP ⊥x 轴，过点D 做DQ ⊥y 轴，∵AB ⊥BC ，AD ⊥CD ，∠BAD ＝120°，CB =CD =2√3， ∴B （0，0），A （2，0），C （0，2√3），D （3，√3），设M （0，a ），则AM →=（﹣2，a ），DM →=（﹣3，a −√3），故AM →•DM →=6+a （a −√3）=(a −√32)2+214≥214， 故答案为：214．17．（4分）设f （x ）是定义在（0，+∞）上的可导函数，且满足f （x ）+xf '（x ）＞0，则不等式f （x +1）＞（x ﹣1）f （x 2﹣1）的解集为 （1，2）【解答】解：令g （x ）＝xf （x ），x ∈（0，+∞）．g ′（x ）＝f （x ）+xf '（x ）＞0， ∴函数g （x ）在x ∈（0，+∞）上单调递增．不等式f （x +1）＞（x ﹣1）f （x 2﹣1）即不等式（x +1）f （x +1）＞（x 2﹣1）f （x 2﹣1），x +1＞0． ∴x +1＞x 2﹣1＞0，解得：1＜x ＜2．∴不等式f （x +1）＞（x ﹣1）f （x 2﹣1）的解集为（1，2）．故答案为：（1，2）．三．解答题（共5小题，满分74分）18．（14分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且b ﹣c ＝1，cos A =13，△ABC 的面积为2√2．（Ⅰ）求a 及sin C 的值； （Ⅱ）求cos （2A −π6）的值．【解答】解：（Ⅰ）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且b ﹣c ＝1，cos A =13， ∴sin A =√1−cos 2A =2√23， ∵△ABC 的面积为12bc •sin A =bc 2•2√23=√23bc ＝2√2，∴bc ＝6，∴b ＝3，c ＝2， ∴a =√b 2+c 2−2bc ⋅cosA =√9+4−2⋅3⋅2⋅13=3． 再根据正弦定理可得a sinA=c sinC，即2√23=2sinC，∴sin C =4√29． （Ⅱ）∴sin2A ＝2sin A cos A =4√29，cos2A ＝2cos 2A ﹣1=−79， 故 cos （2A −π6）＝cos2A cos π6+sin2A sinπ6=−79•√32+4√29•12=4√2−7√318． 19．（15分）如图，三棱锥D ﹣ABC 中，AD ＝CD ，AB ＝BC ＝4√2，AB ⊥BC ． （1）求证：AC ⊥BD ；（2）若二面角D ﹣AC ﹣B 的大小为150°且BD ＝4√7时，求直线BM 与面ABC 所成角的正弦值．【解答】解：（1）证明：取AC 中点O ，连结BO ，DO ， ∵AD ＝CD ，AB ＝BC ，∴AC ⊥BO ，AC ⊥DO ， ∵BO ∩DO ＝O ，∴AC ⊥平面BOD ， 又BD ⊂平面BOD ，∴AC ⊥BD ．（2）解：由（1）知∠BOD 是二面角D ﹣AC ﹣B 的平面角，∴∠BOD ＝150°， ∵AC ⊥平面BOD ，∴平面BOD ⊥平面ABC ， 在平面BOD 内作Oz ⊥OB ，则Oz ⊥平面ABC ，以O 为原点，OB 为x 轴，OC 为y 轴，OD 为z 轴，建立空间直角坐标系， 由题意得OB ＝4，在△BOD 中由余弦定理得OD ＝4√3，∴A （0，﹣4，0），B （4，0，0），C （0，4，0），D （﹣6，0，2√3），∴M （﹣3，2，√3），BM →=（﹣7，2，√3），平面ABC 的法向量n →=（0，0，1），设直线BM 与面ABC 所成角为θ，则直线BM 与面ABC 所成角的正弦值为：sin θ=|n →⋅BM →||n →|⋅|BM →|=√356=√4228．20．（15分）在等差数列{a n }和正项等比数列{b n }中，a 1＝1，b 1＝2，且b 1，a 2，b 2成等差数列，数列{b n }的前n 项和为Sn ，且S 3＝14．（1）求数列{a n }，{b n }的通项公式；（2）令c n =a b n ，（﹣1）n d n ＝n c n +n ，求数列{d n }的前项和为T n ．【解答】解：（1）等差数列{a n }的公差设为d ，正项等比数列{b n }的公比设为q ，q ＞0，a 1＝1，b 1＝2，且b 1，a 2，b 2成等差数列，可得2a 2＝b 1+b 2，即2（1+d ）＝2+2q ，即d ＝q ，数列{b n }的前n 项和为S n ，且S 3＝14，可得2+2q +2q 2＝14，解得q ＝2，d ＝2，则a n ＝2n ﹣1，b n ＝2n ；（2）c n =a b n =2n +1﹣1，（﹣1）n d n ＝n c n +n ＝n •2n +1，则d n ＝2n •（﹣2）n ，前项和为T n ＝2•（﹣2）+4•4+6•（﹣8）+…+2n •（﹣2）n ，﹣2T n ＝2•4+4•（﹣8）+6•16+…+2n •（﹣2）n +1，相减可得3T n ＝﹣4+2（4+（﹣8）+…+（﹣2）n ）﹣2n •（﹣2）n +1＝﹣4+2•4(1−(−2)n−1)1−(−2)−2n •（﹣2）n +1，化简可得T n =−49−6n+29•（﹣2）n +1． 21．（15分）已知抛物线y 2＝x 上的动点M （x 0，y 0），过M 分别作两条直线交抛物线于P 、Q 两点，交直线x ＝t 于A 、B 两点．（1）若点M 纵坐标为√2，求M 与焦点的距离；（2）若t ＝﹣1，P （1，1），Q （1，﹣1），求证：y A •y B 为常数；（3）是否存在t ，使得y A •y B ＝1且y P •y Q 为常数？若存在，求出t 的所有可能值，若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）解：∵抛物线y 2＝x 上的动点M （x 0，y 0），过M 分别作两条直线交抛物线于P 、Q 两点，交直线x ＝t 于A 、B 两点．点M 纵坐标为√2， ∴点M 的横坐标x M ＝（√2）2＝2，∵y 2＝x ，∴p =12，∴M 与焦点的距离为MF =x M +p 2=2+14=94．（2）证明：设M （y 02，y 0），直线PM ：y ﹣1=y 0−1y 02−1（x ﹣1），当x ＝﹣1时，y A =y 0−1y 0+1，直线QM ：y +1=y 0+1y 02−1（x ﹣1），x ＝﹣1时，y B =−y 0−1y 0−1，∴y A y B ＝﹣1， ∴y A •y B 为常数﹣1．（3）解：设M （y 02，y 0），A （t ，y A ），直线MA ：y ﹣y 0=y 0−y A y 02−t （x ﹣y 02）， 联立y 2＝x ，得y 2−y 02−t y 0−y A y +y 02−t y 0−y A y 0−y 02=0，∴y 0+y p =y 02−t y 0−y A ，即y P =y 0y A −t y 0−y A， 同理得y Q =y 0y B −1y 0−y B，∵y A •y B ＝1，∴y P y Q =y 02−ty 0(y A +y B )+t 2y 02−y 0(y A +y B )+1， 要使y P y Q 为常数，即t ＝1，此时y P y Q 为常数1，∴存在t ＝1，使得y A •y B ＝1且y P •y Q 为常数1．22．（15分）设函数f （x ）＝e x cos x ，g （x ）＝e 2x ﹣2ax ．（1）当x ∈[0，π3]时，求f （x ）的值域；（2）当x ∈[0，+∞）时，不等式g(x)≥f′(x)e 2x 恒成立（f '（x ）是f （x ）的导函数），求实数a 的取值范围． 【解答】解：（1）由题可得f '（x ）＝e x cos x ﹣e x sin x ＝e x （cos x ﹣sin x ）．令f '（x ）＝e x （cos x ﹣sin x ）＝0，得x =π4∈[0，π3]． 当x ∈(0，π4)时，f '（x ）＞0，当x ∈(π4，π3)时，f '（x ）＜0，所以f(x)max =f(π4)=√22e π4，f(x)min =min{f(0)，f(π3)}．因为f(π3)=e π32＞e 332=e 2＞1=f(0)，所以f （x ）min ＝1， 所以f （x ）的值域为[1，√22e π4]． （2）由g(x)≥f′(x)e 2x 得e 2x −2ax ≥cosx−sinx e x ， 即sinx−cosxe +e 2x −2ax ≥0．设ℎ(x)=sinx−cosx e x +e 2x −2ax ，则ℎ′(x)=2cosx e x +2e 2x −2a ． 设φ（x ）＝h '（x ），则φ′(x)=4e 3x −2√2sin(x+π4)e x． 当x ∈[0，+∞）时，4e 3x ≥4，2√2sin(x +π4≤2√2)，所以φ'（x ）＞0． 所以φ（x ）即h '（x ）在[0，+∞）上单调递增，则h '（x ）≥h '（0）＝4﹣2a ．若a ≤2，则h '（x ）≥h '（0）＝4﹣2a ≥0，所以h （x ）在[0，+∞）上单调递增．所以h （xa ＞2）≥h （0）＝0恒成立，符合题意．若，则h '（0）＝4﹣2a ＜0，必存在正实数x 0，满足：当x ∈（0，x 0）时，h '（x ）＜0，h （x ）单调递减，此时h （x ）＜h （0）＝0，不符合题意综上所述，a 的取值范围是（﹣∞，2]．。
2020高考数学模拟试题带答案
2020年高考模拟试题理科数学一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1、若集合A＝{－1,1}，B＝{0,2}，则集合{z|z＝x＋y，x∈A，y∈B}中的元素的个数为A.5B.4C.3D.22、复数在复平面上对应的点位于A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限3、小波通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷一点，若此点到圆心的距离大于，则周末去看电影；若此点到圆心的距离小于，则去打篮球；否则，在家看书.则小波周末不在家看书的概率为A. 1417B.1316C.1516D. 9134、函数的部分图象如图示，则将的图象向右平移个单位后，得到的图象解析式为A. B. C. D.5、已知，，，则A. B. C. D.6、函数的最小正周期是A.πB. π2C. π4D.2π7、函数y=的图象大致是A．B．C．D．8、已知数列为等比数列，是是它的前n项和,若，且与2的等差中项为，则A.35B.33C.31D.299、某大学的8名同学准备拼车去旅游，其中大一、大二、大三、大四每个年级各两名，分乘甲、乙两辆汽车，每车限坐4名同学（乘同一辆车的4名同学不考虑位置），其中大一的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘坐甲车的4名同学中恰有2名同学是来自同一年级的乘坐方式共有A.24种B.18种C.48种D.36种10如图，在矩形OABC中，点E、F分别在线段AB、BC上，且满足，，若（），则A.23B . 32C. 12D.3411、如图，F1，F2分别是双曲线C：(a，b＞0)的左右焦点，B是虚轴的端点，直线F1B与C的两条渐近线分别交于P，Q两点，线段PQ的垂直平分线与x轴交于点M，若|MF2|＝|F1F2|，则C的离心率是A. B. C. D.12、函数f（x）＝2x|log0.5x|－1的零点个数为A.1B.2C.3D.4二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把正确答案填在题中横线上13、设θ为第二象限角，若，则sin θ＋cos θ＝__________14、(a+x）4的展开式中x3的系数等于8，则实数a=_________15、已知曲线在点处的切线与曲线相切,则a=lny x x=+()1,1()221y ax a x=+++16、若42x ππ<<，则函数3tan 2tan y x x =的最大值为三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答；第22、23题为选考题，考生依据要求作答. 17、已知数列的前项和为，且，对任意N ，都有.（1）求数列的通项公式； （2）若数列满足，求数列的前项和.18、如图，四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，BC ＝CD ＝2，AC ＝4，∠ACB ＝∠ACD ＝，F 为PC 的中点，AF ⊥PB 。
2020年浙江省高考数学模拟试卷及答案
2020年浙江省高考数学模拟试卷一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）1．（4分）已知A ＝{x ∈N *|x ≤3}，B ＝{x|x 2﹣4x ≤0}，则A ∩B ＝（）A ．{1，2，3}B ．{1，2}C ．（0，3]D ．（3，4]2．（4分）设i 为虚数单位，复数??=2+3??，则z 的共轭复数是（）A ．3﹣2iB ．3+2iC ．﹣3﹣2iD ．﹣3+2i3．（4分）设变量x ，y 满足约束条件{+??≥1，2??-??≤2，-??+1≥0，则z ＝（x ﹣3）2+y 2的最小值为（）A ．2B ．4√55C ．4D ．1654．（4分）已知α为任意角，则“cos2α＝13”是“sin α＝√33”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要5．（4分）函数f （x ）＝x 2+e |x|的图象只可能是（）A ．B ．C ．D ．6．（4分）如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，P 为线段AD 的中点，Q 为线段B 1C 1的动点，则下列说法中错误的是（）A ．线段PQ 与平面CDD 1C 1可能平行B ．当Q 为线段B 1C 1的中点时，线段PQ 与DD 1所成角为4C ．≥√2D ．CD 1与PQ 不可能垂直7．（4分）已知0＜??＜23，随机变量ξ的分布列如图：则当a增大时，ξ的期望E（ξ）变化情况是（）ξ﹣101P13a bA．E（ξ）增大B．E（ξ）减小C．E（ξ）先增后减D．E（ξ）先减后增8．（4分）已知函数??(??)={2+4??+2，??≤02??，??＞0，且方程f（x）＝a有三个不同的实数根x1，x2，x3，则x1+x2+x3的取值范围为（）A．(-154，0]B．(-154，2]C．[﹣4，+∞）D．[﹣4，2）9．（4分）如图，在三棱台ABC﹣A1B1C1中，M是棱A1C1上的点，记直线AM与直线BC所成的角为α，直线AM与平面ABC所成的角为β，二面角M﹣AC﹣B的平面角为γ．则（）A．α≥β，β≤γB．α≤β，β≤γC．α≥β，β≥γD．α≤β，β≥γ10．（4分）设数列{a n}满足a n+1＝a n2+2a n﹣2（n∈N*），若存在常数λ，使得a n≤λ恒成立，则λ的最小值是（）A．﹣3B．﹣2C．﹣1D．1二．填空题（共7小题，满分36分）11．（6分）过点P（1，1）作直线l与双曲线??2-22=??交于A，B两点，若点P恰为线段AB的中点，则实数λ的取值范围是．12．（6分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为．13．（6分）已知（1﹣x）6＝a0+a1x+a2x2+…+a6x6，则a2＝，a0﹣a1+a2﹣a3+a4﹣a5+a6＝．14．（6分）在△ABC中，a＝1，cosC=34，△ABC的面积为√74，则c＝．15．（4分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆22+??2??2=1（a＞b＞0）的上、下顶点分别为B2，B1，若一个半径为√2b，过点B1，B2的圆M与椭圆的一个交点为P（异于顶点B1，B2），且|k1-k2|=89，则椭圆的离心率为．16．（4分）如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BCD＝60°，CB＝CD＝2√3．若点M为边BC上的动点，则→→的最小值为．17．（4分）设f（x）是定义在（0，+∞）上的可导函数，且满足f（x）+xf'（x）＞0，则不等式f（x+1）＞（x﹣1）f（x2﹣1）的解集为三．解答题（共5小题，满分74分）18．（14分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且b﹣c＝1，cosA=13，△ABC的面积为2√2．（Ⅰ）求a及sinC的值；（Ⅱ）求cos（2A-6）的值．19．（15分）如图，三棱锥D﹣ABC中，AD＝CD，AB＝BC＝4√2，AB⊥BC．（1）求证：AC⊥BD；（2）若二面角D﹣AC﹣B的大小为150°且BD＝4√7时，求直线BM与面ABC所成角的正弦值．20．（15分）在等差数列{a n}和正项等比数列{b n}中，a1＝1，b1＝2，且b1，a2，b2成等差数列，数列{b n}的前n项和为Sn，且S3＝14．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）令??=????，（﹣1）n d n＝nc n+n，求数列{d n}的前项和为T n．21．（15分）已知抛物线y2＝x上的动点M（x0，y0），过M分别作两条直线交抛物线于P、Q两点，交直线x＝t于A、B两点．（1）若点M纵坐标为√2，求M与焦点的距离；（2）若t＝﹣1，P（1，1），Q（1，﹣1），求证：y A y B为常数；（3）是否存在t，使得y A y B＝1且y P?y Q为常数？若存在，求出t的所有可能值，若不存在，请说明理由．22．（15分）设函数f（x）＝e x cosx，g（x）＝e2x﹣2ax．（1）当??∈[0，]时，求f（x）的值域；3恒成立（f'（x）是f（x）的导函数），求实数a的取值范围．（2）当x∈[0，+∞）时，不等式??(??)≥′(??)2??2020年浙江省高考数学模拟试卷参考答案与试题解析一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）1．（4分）已知A ＝{x ∈N *|x ≤3}，B ＝{x|x 2﹣4x ≤0}，则A ∩B ＝（）A ．{1，2，3}B ．{1，2}C ．（0，3]D ．（3，4]【解答】解：由题意得：A ＝{x ∈N *|x ≤3}＝{1，2，3}，B ＝{x|x 2﹣4x ≤0}＝{x|0≤x ≤4}，∴所以A ∩B ＝{1，2，3}，故选：A ．2．（4分）设i 为虚数单位，复数??=2+3??，则z 的共轭复数是（）A ．3﹣2iB ．3+2iC ．﹣3﹣2iD ．﹣3+2i【解答】解：∵??=2+3??=(2+3??)(-??)-??2=3-2??，∴??=3+2??．故选：B ．3．（4分）设变量x ，y 满足约束条件{+??≥1，2??-??≤2，-??+1≥0，则z ＝（x ﹣3）2+y 2的最小值为（）A ．2B ．4√55C ．4D ．165【解答】解：画出变量x ，y 满足约束条件{+??≥1，2??-??≤2，-??+1≥0，的可行域，可发现z ＝（x ﹣3）2+y 2的最小值是（3，0）到2x ﹣y ﹣2＝0距离的平方．取得最小值：(6-2√4+1)2=165．故选：D ．4．（4分）已知α为任意角，则“cos2α＝13”是“sin α＝√33”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要【解答】解：若cos2α＝13，则cos2α＝1﹣2sin 2α，sin α＝±√33，则cos2α＝13”是“sin α＝√33”的不充分条件；若sin α＝√33，则cos2α＝1﹣2sin 2α，cos2α＝13，则cos2α＝13”是“sin α＝√33”的必要条件；综上所述：“cos2α＝13”是“sin α＝√33”的必要不充分条件．故选：B ．5．（4分）函数f（x）＝x2+e|x|的图象只可能是（）A．B．C．D．【解答】解：因为对于任意的x∈R，f（x）＝x2+e|x|＞0恒成立，所以排除A，B，由于f（0）＝02+e|0|＝1，则排除D，故选：C．6．（4分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为线段AD的中点，Q为线段B1C1的动点，则下列说法中错误的是（）A．线段PQ与平面CDD1C1可能平行B．当Q为线段B1C1的中点时，线段PQ与DD1所成角为4C．≥√2D．CD1与PQ不可能垂直【解答】解：在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为线段AD的中点，Q为线段B1C1的动点，在A中，当Q为线段B1C1中点时，线段PQ与平面CDD1C1平行，故A正确；在C中，当Q为线段B1C1的中点时，PQ∥DC1，∴线段PQ与DD1所成角为∠C1DD1=4，故B正确；在C中，PQ≥√2AB，当且仅当Q为线段B1C1的中点时取等号，故C正确；在D中，当Q为线段B1C1的中点时，PQ∥DC1，CD1与PQ垂直，故D错误．故选：D．7．（4分）已知0＜??＜23，随机变量ξ的分布列如图：则当a增大时，ξ的期望E（ξ）变化情况是（）ξ﹣101P13a b A．E（ξ）增大B．E（ξ）减小C．E（ξ）先增后减D．E（ξ）先减后增【解答】解：依题可知{()=-13+??+??=23，∴??(??)=-13+23-??，∴当a 增大时，ξ的期望E （ξ）减小．故选：B ．8．（4分）已知函数??(??)={2+4??+2，??≤02??，??＞0，且方程f （x ）＝a 有三个不同的实数根x 1，x 2，x 3，则x 1+x 2+x 3的取值范围为（）A ．(-154，0]B ．(-154，2]C ．[﹣4，+∞）D ．[﹣4，2）【解答】解：作出函数f （x ）的图象，方程f （x ）＝a 有三个不同的实数根即等价于函数y ＝f （x ）的图象与直线y ＝a 有三个交点A ，B ，C ，故有﹣2＜a ≤2，不妨设x 1＜x 2＜x 3，因为点A ，B 关于直线x ＝﹣2对称，所以x 1+x 2＝﹣4，﹣2＜log 2x 3≤2，即14＜x 3≤4，故-154＜x 1+x 2+x 3≤0．故选：A ．9．（4分）如图，在三棱台ABC ﹣A 1B 1C 1中，M 是棱A 1C 1上的点，记直线AM 与直线BC 所成的角为α，直线AM 与平面ABC 所成的角为β，二面角M ﹣AC ﹣B 的平面角为γ．则（）A ．α≥β，β≤γB ．α≤β，β≤γC ．α≥β，β≥γD ．α≤β，β≥γ【解答】解：∵在三棱台ABC ﹣A 1B 1C 1中，M 是棱A 1C 1上的点，记直线AM 与直线BC 所成的角为α，直线AM 与平面ABC 所成的角为β，二面角M ﹣AC ﹣B 的平面角为γ．∴根据最小角定理得α≥β，根据最大角定理得β≤γ．故选：A ．10．（4分）设数列{a n }满足a n+1＝a n 2+2a n ﹣2（n ∈N *），若存在常数λ，使得a n ≤λ恒成立，则λ的最小值是（）A ．﹣3B ．﹣2C ．﹣1D ．1【解答】解：??+1-????=????2+????-2=(????+2)(????-1)，若a n ＜﹣2，则a n+1＞a n ，则该数列单调递增，所以无限趋于﹣2．若a n ＝﹣2，则a n+1＝a n ，则该数列为常数列，即a n ＝2．所以，综上所述，λ≥﹣2．∴λ的最小值是﹣2．故选：B．二．填空题（共7小题，满分36分）11．（6分）过点P（1，1）作直线l与双曲线??2-22=??交于A，B两点，若点P恰为线段AB的中点，则实数λ的取值范围是（﹣∞，0）∪（0，12）．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），代入双曲线可得：{12-122=??22-222=??，两式相减可得：1-??2??1-??2=2(??1+??2)??1+??2，而由题意可得，x1+x2＝2×1＝2，y1+y2＝2×1＝2，所以直线AB的斜率k=1-??21-??2=2×２2=2，所以直线AB的方程为：y﹣1＝2（x﹣1），即y＝2x﹣1，代入双曲线的方程可得：2x2﹣4x+1+2λ＝0，因为直线与双曲线由两个交点，所以△＞0，且λ≠0，即△＝16﹣4×2×（1+2λ）＞0，解得：??＜12，所以实数λ的取值范围是（﹣∞，0）∪（0，12），故答案为：（﹣∞，0）∪（0，12）．12．（6分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为9．【解答】解：根据几何体的三视图转换为几何体为：下底面为直角梯形，高为3的四棱锥体，如图所示：所以：V=13×12(2+4)×3×3=9，故答案为：913．（6分）已知（1﹣x）6＝a0+a1x+a2x2+…+a6x6，则a2＝15，a0﹣a1+a2﹣a3+a4﹣a5+a6＝64．【解答】解：由（1﹣x）6的通项为??+1=??6(-??)??可得，令r＝2，即x2项的系数a2为??62=15，即a2＝15，由（1﹣x）6＝a0+a1x+a2x2+…+a6x6，取x＝﹣1，得a0﹣a1+a2﹣a3+a4﹣a5+a6＝[1﹣（﹣1）]6＝64，故答案为：15，64．14．（6分）在△ABC中，a＝1，cosC=34，△ABC的面积为√74，则c＝√2．【解答】解：∵a＝1，cosC=34，△ABC的面积为√74，∴sinC=√１-2??=√74，可得√74=12absinC=√78ab，解得ab＝2，∴b＝2，∴由余弦定理可得c=√??2+??2-2=√12+22-2×1×2×34=√2．故答案为：√2．15．（4分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆22+??2??2=1（a＞b＞0）的上、下顶点分别为B2，B1，若一个半径为√2b，过点B1，B2的圆M与椭圆的一个交点为P（异于顶点B1，B2），且|k1-k2|=89，则椭圆的离心率为2√23．【解答】解：设P（x0，y0），B1（0，﹣b），B2（0，+b），由|k1-k2|=89，|0-??-??0+????0|=89，∴|x0|=94b，由题意得圆M的圆心在x轴上，设圆心（t，0），由题意知：t2+b2＝2b2∴t2＝b2，∴MP2＝2b2＝（x0﹣t）2+y02，∴y02=716??2，P在椭圆上，所以81??216??2+716=1，∴a2＝9b2＝9（a2﹣c2），∴e2=89，所以离心率为2√23，故答案为：2√23．16．（4分）如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BCD＝60°，CB＝CD＝2√3．若点M为边BC上的动点，则→→的最小值为214．【解答】解：如图所示：以B为原点，以BA所在的直线为x轴，以BC所在的直线为y轴，过点D做DP⊥x轴，过点D做DQ⊥y轴，∵AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD＝120°，==2√3，∴B（0，0），A（2，0），C（0，2√3），D（3，√3），设M（0，a），则→=（﹣2，a），→=（﹣3，a-√3），故→→=6+a（a-√3）=(??-√32)2+214≥214，故答案为：214．17．（4分）设f（x）是定义在（0，+∞）上的可导函数，且满足f（x）+xf'（x）＞0，则不等式f（x+1）＞（x﹣1）f（x2﹣1）的解集为（1，2）【解答】解：令g（x）＝xf（x），x∈（0，+∞）．g′（x）＝f（x）+xf'（x）＞0，∴函数g（x）在x∈（0，+∞）上单调递增．不等式f（x+1）＞（x﹣1）f（x2﹣1）即不等式（x+1）f（x+1）＞（x2﹣1）f（x2﹣1），x+1＞0．∴x+1＞x2﹣1＞0，解得：1＜x＜2．∴不等式f（x+1）＞（x﹣1）f（x2﹣1）的解集为（1，2）．故答案为：（1，2）．三．解答题（共5小题，满分74分）18．（14分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且b﹣c＝1，cosA=13，△ABC的面积为2√2．（Ⅰ）求a及sinC的值；（Ⅱ）求cos（2A-6）的值．【解答】解：（Ⅰ）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且b﹣c＝1，cosA=13，∴sinA=√１-2=2√23，∵△ABC的面积为12bc?sinA=22√23=√23bc＝2√2，∴bc＝6，∴b＝3，c＝2，∴a=√??2+??2-2=√9+4-2?3?2?13=3．再根据正弦定理可得=??，即32√23=2，∴sinC=4√29．（Ⅱ）∴sin2A＝2sinAcosA=4√29，cos2A＝2cos2A﹣1=-79，故cos（2A-6）＝cos2Acos6+sin2Asin??6=-79√32+4√29?12=4√2-7√318．19．（15分）如图，三棱锥D﹣ABC中，AD＝CD，AB＝BC＝4√2，AB⊥BC．（1）求证：AC⊥BD；（2）若二面角D﹣AC﹣B的大小为150°且BD＝4√7时，求直线BM与面ABC所成角的正弦值．【解答】解：（1）证明：取AC中点O，连结BO，DO，∵AD＝CD，AB＝BC，∴AC⊥BO，AC⊥DO，∵BO∩DO＝O，∴AC⊥平面BOD，又BD?平面BOD，∴AC⊥BD．（2）解：由（1）知∠BOD是二面角D﹣AC﹣B的平面角，∴∠BOD＝150°，∵AC⊥平面BOD，∴平面BOD⊥平面ABC，在平面BOD内作Oz⊥OB，则Oz⊥平面ABC，以O为原点，OB为x轴，OC为y轴，OD为z轴，建立空间直角坐标系，由题意得OB＝4，在△BOD中由余弦定理得OD＝4√3，∴A（0，﹣4，0），B（4，0，0），C（0，4，0），D（﹣6，0，2√3），∴M（﹣3，2，√3），→=（﹣7，2，√3），平面ABC 的法向量??→=（0，0，1），设直线BM 与面ABC 所成角为θ，则直线BM 与面ABC 所成角的正弦值为：sin θ＝|??→→||??→|?|→|=√3√56=√4228．20．（15分）在等差数列{a n }和正项等比数列{b n }中，a 1＝1，b 1＝2，且b 1，a 2，b 2成等差数列，数列{b n }的前n 项和为Sn ，且S 3＝14．（1）求数列{a n }，{b n }的通项公式；（2）令??=????，（﹣1）nd n ＝nc n +n ，求数列{d n }的前项和为T n ．【解答】解：（1）等差数列{a n }的公差设为d ，正项等比数列{b n }的公比设为q ，q ＞0，a 1＝1，b 1＝2，且b 1，a 2，b 2成等差数列，可得2a 2＝b 1+b 2，即2（1+d ）＝2+2q ，即d ＝q ，数列{b n }的前n 项和为S n ，且S 3＝14，可得2+2q+2q 2＝14，解得q ＝2，d ＝2，则a n ＝2n ﹣1，b n ＝2n ；（2）??=?????=2n +1﹣1，（﹣1）n d n ＝nc n +n ＝n?2n+1，则d n ＝2n?（﹣2）n ，前项和为T n ＝2?（﹣2）+4?4+6?（﹣8）+…+2n?（﹣2）n ，﹣2T n ＝2?4+4?（﹣8）+6?16+…+2n?（﹣2）n+1，相减可得3T n ＝﹣4+2（4+（﹣8）+…+（﹣2）n ）﹣2n?（﹣2）n+1＝﹣4+2?4(1-(-2)-1)1-(-2)-2n?（﹣2）n+1，化简可得T n =-49-6??+29（﹣2）n+1．21．（15分）已知抛物线y 2＝x 上的动点M （x 0，y 0），过M 分别作两条直线交抛物线于P 、Q 两点，交直线x ＝t 于A 、B 两点．（1）若点M 纵坐标为√2，求M 与焦点的距离；（2）若t ＝﹣1，P （1，1），Q （1，﹣1），求证：y A y B 为常数；（3）是否存在t ，使得y A y B ＝1且y P ?y Q 为常数？若存在，求出t 的所有可能值，若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）解：∵抛物线y 2＝x 上的动点M （x 0，y 0），过M 分别作两条直线交抛物线于P 、Q 两点，交直线x ＝t 于A 、B 两点．点M 纵坐标为√2，∴点M 的横坐标x M ＝（√2）2＝2，∵y 2＝x ，∴p=12，∴M 与焦点的距离为MF =??+2=2+14=94．（2）证明：设M （??02，??0），直线PM ：y ﹣1=0-102-1（x ﹣1），当x ＝﹣1时，??=0-10+1，直线QM ：y+1=??0+102-1（x ﹣1），x ＝﹣1时，y B =-??0-1??0-1，∴y A y B ＝﹣1，∴y A y B 为常数﹣1．（3）解：设M （??02，??0），A （t ，y A ），直线MA ：y ﹣y 0=0-????02-??（x ﹣y 02），联立y 2＝x ，得??2-02-??0-??????+??02-????0-??????0-??02=0，∴y 0+y p =??02-????0-????，即y P =??0????-????0-????，同理得y Q =0????-10-????，∵y A ?y B ＝1，∴y P y Q =??02-0(????+????)+??202-??0(????+????)+1，要使y P y Q 为常数，即t ＝1，此时y P y Q 为常数1，∴存在t ＝1，使得y A ?y B ＝1且y P ?y Q 为常数1．22．（15分）设函数f （x ）＝e x cosx ，g （x ）＝e 2x﹣2ax ．（1）当??∈[0，3]时，求f （x ）的值域；（2）当x ∈[0，+∞）时，不等式??(??)≥′(??)2??恒成立（f'（x ）是f （x ）的导函数），求实数a 的取值范围．【解答】解：（1）由题可得f '（x ）＝e x cosx ﹣e x sinx ＝e x （cosx ﹣sinx ）．令f'（x ）＝e x （cosx ﹣sin x ）＝0，得??=4∈[0，??3]．当??∈(0，4)时，f'（x ）＞0，当??∈(??4，??3)时，f'（x ）＜0，所以??(??)=??(4)=√22??4，??(??)={??(0)，??(??3)}．因为??(3)=??32＞??332=??2＞1=??(0)，所以f （x ）min ＝1，所以f （x ）的值域为[1，√224]．（2）由??(??)≥′(??)2??得??2??-2≥-，即-+??2??-2≥0．设(??)=-+??2??-2，则?′(??)=2????+2??2??-2??．设φ（x ）＝h'（x ），则??′(??)=4??3??-2√2(??+4)．当x ∈[0，+∞）时，4e 3x ≥4，2√2(??+4≤2√2)，所以φ'（x ）＞0．所以φ（x ）即h'（x ）在[0，+∞）上单调递增，则h'（x ）≥h'（0）＝4﹣2a ．若a ≤2，则h'（x ）≥h'（0）＝4﹣2a ≥0，所以h （x ）在[0，+∞）上单调递增．所以h （xa ＞2）≥h （0）＝0恒成立，符合题意．若，则h'（0）＝4﹣2a ＜0，必存在正实数x 0，满足：当x ∈（0，x 0）时，h'（x ）＜0，h （x ）单调递减，此时h （x ）＜h （0）＝0，不符合题意综上所述，a 的取值范围是（﹣∞，2]．。
2020届浙江省高三高考模拟数学试题
2020届浙江省高三高考模拟数学试题(解析版)(总20页) -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除2020届浙江省高三高考模拟数学试题一、单选题1．已知U ＝R ，集合3{|}2A x x =＜，集合B ＝{y |y ＞1}，则∁U （A ∩B ）＝（ ）A ．32⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭， B ．][312⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭，， C ．312⎛⎫ ⎪⎝⎭，D ．32⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭， 【答案】B【解析】根据交集和补集的定义，先求解A B ⋂,继而得到∁U （A ∩B ） 【详解】∵U ＝R ，3{|}2A x x =＜，B ＝{y |y ＞1}，∴312A B ⎛⎫⋂= ⎪⎝⎭，，∴()][312U A B ⎛⎫⋂=-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭，，． 故选：B ． 【点睛】本题考查了集合的交集和补集运算，考查了学生概念理解，数学运算的能力，属于基础题.2．已知i 是虚数单位，若312iz i +=-，则z 的共轭复数z 等于（ ） A ．173i- B ．173i + C ．175i - D ．175i +【答案】C【解析】先利用复数的除法运算化简z ，从而得到z 【详解】∵()()()()31231712121255i iiz ii i i+++===+--+，∴1755z i =-．故选：C．【点睛】本题考查了复数的除法运算以及共轭复数的概念，考查了学生概念理解、数学运算的能力，属于基础题.3．若双曲线221xym-=的焦距为4，则其渐近线方程为（）A．y x=B．y=C．y x=±D．y=【答案】A【解析】利用题设的焦距求解m, 由题设，双曲线的焦点在x轴上，故渐近线方程为：by xa=±即得解.【详解】双曲线221xym-=的焦距为4，可得m+1＝4，所以m＝3，由题设，双曲线的焦点在x轴上，故渐近线方程为：b y xa =±所以双曲线的渐近线方程为：y3=±x．故选：A．【点睛】本题考查了双曲线的方程及性质，考查了学生概念理解，数学运算的能力，属于基础题.4．已知α，β是两个相交平面，其中l⊂α，则（）A．β内一定能找到与l平行的直线B ．β内一定能找到与l 垂直的直线C ．若β内有一条直线与l 平行，则该直线与α平行D ．若β内有无数条直线与l 垂直，则β与α垂直 【答案】B【解析】当l 与α，β的交线相交时，β内不能找到与l 平行的直线；由直线与平面的位置关系知β内一定能找到与l 垂直的直线；β内有一条直线与l 平行，则该直线与α平行或该直线在α内；β内有无数条直线与l 垂直，则β与α不一定垂直. 【详解】由α，β是两个相交平面，其中l ⊂α，知：在A 中，当l 与α，β的交线相交时，β内不能找到与l 平行的直线，故A 错误；在B 中，由直线与平面的位置关系知β内一定能找到与l 垂直的直线，故B 正确；在C 中，β内有一条直线与l 平行，则该直线与α平行或该直线在α内，故C 错误；在D 中，β内有无数条直线与l 垂直，则β与α不一定垂直，故D 错误． 故选：B ． 【点睛】本题考查了直线和平面的位置关系概念辨析，考查了学生概念理解，逻辑推理，空间想象的能力，属于中档题.5．等差数列{a n }的公差为d ，a 1≠0，S n 为数列{a n }的前n 项和，则“d ＝0”是“2nnS S Z ”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若d ＝0，则{a n }为常数列，可证得充分性成立；当2nnS S ∈Z 时，可构造反例，必要性不成立. 【详解】等差数列{a n }的公差为d ，a 1≠0，S n 为数列{a n }的前n 项和， 若d ＝0，则{a n }为常数列，故a n =1a ，即2112,n n S na S na ==⇒“2nnS S ∈Z ”， 当2nnS S ∈Z 时，d 不一定为0， 例如，数列1，3，5，7，9，11中，631357911135S S +++++==++4，d ＝2， 故d ＝0是2nnS S ∈Z 的充分不必要条件． 故选：A ． 【点睛】本题考查了充分必要条件和等差数列的性质，考查了学生概念理解，逻辑推理，数学运算的能力，属于中档题. 6．随机变量ξ的分布列如表：其中a ，b ，c 成等差数列，若()19E ξ=，则D （ξ）＝（ ）A ．181B ．29 C ．89D ．8081【答案】D【解析】根据a ，b ，c 成等差数列，分布列的概率和为1，()19E ξ=，构造等量关系，求解a ，b ，c ，利用方差的公式即得解. 【详解】∵a ，b ，c 成等差数列，E （ξ）19=， ∴由变量ξ的分布列，知：()232111239a b c b a c b c ⎧++=⎪⎪=+⎨⎪⎪-⨯++=⎩， 解得a 13=，b 29=，c 19=，∴D （ξ）＝（﹣119-）213⨯+（019-）213⨯+（119-）229⨯+（219-）2180981⨯=． 故选：D ． 【点睛】本题考查了利用随机变量的分布列研究随机变量的期望和方差，考查了学生综合分析，概念理解，数学运算的能力，7．若存在正实数y ，使得154xy y x x y =-+，则实数x 的最大值为（ ） A ．15B ．54C ．1D ．4【答案】A【解析】转化154xy y x x y=-+为4xy 2+（5x 2﹣1）y +x ＝0，以y 为自变量的方程有正根，根据根与系数关系确定实数x 的范围即可. 【详解】∵154xyy x x y=-+，∴4xy2+（5x2﹣1）y+x＝0，∴y1•y214=＞0，∴y1+y22514xx-=-≥0，∴2510xx⎧-≥⎨⎩＜，或2510xx⎧-≤⎨⎩＞，∴0＜x≤x≤①，△＝（5x2﹣1）2﹣16x2≥0，∴5x2﹣1≥4x或5x2﹣1≤﹣4x，解得：﹣1≤x15≤②，综上x的取值范围是：0＜x15≤；x的最大值是15，故选：A．【点睛】本题考查了一元二次方程根的分布问题，考查了学生综合分析，转化化归，数学运算的能力，属于中档题.8．从集合{A，B，C，D，E，F}和{1，2，3，4，5，6，7，8，9}中各任取2个元素排成一排（字母和数字均不能重复）．则每排中字母C和数字4，7至少出现两个的不同排法种数为（）A．85 B．95 C．2040 D．2280【答案】C【解析】根据题意，分2步进行分析：先在两个集合中选出4个元素，要求字母C和数字4，7至少出现两个，再将选出的4个元素全排列，即得解.【详解】根据题意，分2步进行分析：①，先在两个集合中选出4个元素，要求字母C和数字4，7至少出现两个，若字母C和数字4，7都出现，需要在字母A，B，D，E，F中选出1个字母，有5种选法，若字母C和数字4出现，需要在字母A，B，D，E，F中选出1个字母，在1、2、3、5、6、8、9中选出1个数字，有5×7＝35种选法，若字母C和数字7出现，需要在字母A，B，D，E，F中选出1个字母，在1、2、3、5、6、8、9中选出1个数字，有5×7＝35种选法，若数字4、7出现，需要在字母A，B，D，E，F中选出2个字母，有C52＝10种选法，则有5+35+35+10＝85种选法，②，将选出的4个元素全排列，有A44＝24种情况，则一共有85×24＝2040种不同排法；故选：C．【点睛】本题考查了排列组合综合，考查了学生综合分析，转化化归，分类讨论的能力，属于中档题.9．已知三棱锥P﹣ABC的所有棱长为1．M是底面△ABC内部一个动点（包括边界），且M到三个侧面PAB，PBC，PAC的距离h1，h2，h3成单调递增的等差数列，记PM与AB，BC，AC所成的角分别为α，β，γ，则下列正确的是（）A．α＝βB．β＝γC．α＜βD．β＜γ【答案】D【解析】PM与AB，BC，AC所成的角分别为α，β，γ，即比较OM与AB，BC，AC夹角的大小，然后在△ABC中解决问题, 由于d1＜d2＜d3，可知M在如图阴影区域（不包括边界）从图中可以看出，OM与BC所成角小于OM与AC所成角,即得解.【详解】依题意知正四面体P﹣ABC的顶点P在底面ABC的射影是正三角形ABC的中心O，由余弦定理可知，cosα＝cos∠PMO•cos＜MO，AB＞，其中＜MO，AB＞表示直线MO与AB 的夹角，同理可以将β，γ转化，cosβ＝cos∠PMO•cos＜MO，BC＞，其中＜MO，BC＞表示直线MO与BC 的夹角，cosγ＝cos ∠PMO •cos ＜MO ，AC ＞，其中＜MO ，AC ＞表示直线MO 与AC 的夹角，由于∠PMO 是公共的，因此题意即比较OM 与AB ，BC ，AC 夹角的大小， 设M 到AB ，BC ，AC 的距离为d 1，d 2，d 3 则d 1＝sin 1h θ，其中θ是正四面体相邻两个面所成角，sinθ223=， 所以d 1，d 2，d 3成单调递增的等差数列，然后在△ABC 中解决问题由于d 1＜d 2＜d 3，可知M 在如图阴影区域（不包括边界）从图中可以看出，OM 与BC 所成角小于OM 与AC 所成角，所以β＜γ， 故选：D ． 【点睛】本题考查了空间中角度问题综合，考查了学生空间想象，逻辑推理，数学运算能力，属于较难题.10．已知[]2240a b a b +=⋅∈-，，，则a 的取值范围是（ ） A ．[0，1]B ．112⎡⎤⎢⎥⎣⎦， C ．[1，2] D ．[0，2]【答案】D【解析】设2m a b =+，可得[]2240a b a m a ⋅=⋅-∈-，，构造（14a m -）2≤22116m +，结合2m =，可得113422a m ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，，根据向量减法的模长不等式可得解. 【详解】设2m a b =+，则2m =，[]22240b m a a b a m a =-⋅=⋅-∈-，，，∴（14a m -）2212a a =-•2116m m +≤22116m +|m |2m=2＝4，所以可得：2182m =，配方可得222111192()428482m a m m =≤-≤+=， 所以113422a m ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，，又111||||||||||||444a m a m a m -≤-≤+则a ∈[0，2]． 故选：D ． 【点睛】本题考查了向量的运算综合，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.二、填空题11．若02πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，3sin α=，则cosα＝_____，tan 2α＝_____．【答案】3﹣【解析】根据cosα21sin α=-，可得解cosα，由tanαsin cos αα=，再利用二倍角公式解得tan 2α. 【详解】∵02πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，6sin α=， ∴cosα231sin α=-=，tanα2sin cos αα==，∴tan 2α2222211(2)tan tan αα⨯===---22．故答案为：33，﹣22． 【点睛】本题考查了同角三角函数变换，二倍角公式，考查了学生概念理解，转化化归，数学运算的能力，属于基础题.12．一个长方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图所示，则该几何体与原长方体的体积之比是_____，剩余部分表面积是_____．【答案】569【解析】根据几何体的三视图可知该几何体为长方体切去一个角，计算对应体积比和表面积即可. 【详解】根据几何体的三视图转换为几何体为： 如图所示：该几何体为长方体切去一个角．故：V 115211211323=⨯⨯-⨯⨯⨯⨯=．所以：155326V V ==．S ＝2（1×2+1×2+1×1）()111212112222-⨯+⨯+⨯+=9． 故答案为：596，．【点睛】本题考查了由三视图还原几何体及相关的体积、表面积计算，考查了学生空间想象，转化化归，数学运算的能力，属于中档题.13．若实数x ，y 满足30204x y x y m y +-≥⎧⎪-+≤⎨⎪≤⎩，若z=3x +y 的最大值为7，则m ＝_____． 【答案】2【解析】作出不等式组对应的平面区域，转化z ＝3x +y 得y ＝﹣3x +z ，当直线的截距最大时，z 最大，数形结合得到过B 点时，直线截距最大，联立求得B 点坐标，代入即得解. 【详解】作出不等式组30204x y x y m y +-≥⎧⎪-+≤⎨⎪≤⎩对应的平面区域如图：（阴影部分）令z ＝3x +y 得y ＝﹣3x +z ， 平移直线y ＝﹣3x +z ， 由图象可知当3x +y ＝7．由 374x y y +=⎧⎨=⎩，解得 14x y =⎧⎨=⎩，即B （1，4）， 同时B 也在2x ﹣y +m ＝0上， 解得m ＝﹣2x +y ＝﹣2×1+4＝2． 故答案为：2． 【点睛】本题考查的是含参的线性规划问题，考查了学生转化化归，数形结合，数学运算的能力，属于中档题. 14．在二项式()521()0x a ax＞的展开式中x ﹣5的系数与常数项相等，则a 的值是_____． 2【解析】写出二项式()521()0x a ax＞的展开式的通项公式，求出x ﹣5的系数与常数项，令其相等，即得解. 【详解】∵二项式()521()0x a ax ＞的展开式的通项公式为 T r +15r C =•1ra ⎛⎫ ⎪⎝⎭•552r x -， 令552r -=-5，求得r ＝3，故展开式中x ﹣5的系数为35C •31a ⎛⎫⎪⎝⎭；令552r -=0，求得r ＝1，故展开式中的常数项为 15C •15a a=，由为35C •31a ⎛⎫= ⎪⎝⎭5•1a ，可得a =【点睛】本题考查了二项式定理的应用，考查了学生概念理解，转化划归，数学运算的能力，属于基础题.15．设数列{a n }的前n 项和为S n ．若S 2＝6，a n +1＝3S n +2，n ∈N ，则a 2＝_____，S 5＝_____． 【答案】5 426【解析】代入n =1，与S 2＝6联立求解得到a 1，a 2，依次代入n =3,4,5计算即得解. 【详解】∵数列{a n }的前n 项和为S n ．S 2＝6，a n +1＝3S n +2，n ∈N ， ∴a 2＝3a 1+2，且a 1+a 2＝6，解得a 1＝1，a 2＝5，a 3＝3S 2+2＝3（1+5）+2＝20， a 4＝3S 3+2＝3（1+5+20）+2＝80， a 5＝3（1+5+20+80）+2＝320， ∴S 5＝1+5+20+80+320＝426． 故答案为：5，426． 【点睛】本题考查了项和关系，考查了学生概念理解，数学运算的能力，属于基础题.16．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ．已知acosB ＝bcosA ，6A π∠=，边BC 上的中线长为4．则c ＝_____；AB BC ⋅=_____．967-【解析】由正弦定理得sinAcosB ＝sinBcosA ，计算可得B ＝A 6π=，由正弦定理可得c =，再结合余弦定理，可求解c ,a ,从而可求解.AB BC ⋅ 【详解】由acosB ＝bcosA ，及正弦定理得sinAcosB ＝sinBcosA ， 所以sin （A ﹣B ）＝0， 故B ＝A 6π=，所以由正弦定理可得c =， 由余弦定理得16＝c 2+（2a ）2﹣2c •2a •cos 6π，解得c 7=；可得a =，可得AB BC ⋅=-accosB 967==-．967-．【点睛】本题考查了正弦、余弦定理的综合应用，考查了学生综合分析，转化化归，数学运算的能力，属于中档题.17．如图，过椭圆22221x y C a b+=：的左、右焦点F 1，F 2分别作斜率为直线交椭圆C 上半部分于A ，B 两点，记△AOF 1，△BOF 2的面积分别为S 1，S 2，若S 1：S 2＝7：5，则椭圆C 离心率为_____．【答案】12【解析】作点B关于原点的对称点B 1，可得S21'BOF B OF S=，则有112A B y S S y =，即175A B y y =-，将直线AB 1方程2y x c =-与椭圆联立，得到韦达定理，三式联立，可解得离心率. 【详解】作点B 关于原点的对称点B 1，可得S 21'BOF B OF S=，则有11275A B y S S y ==，所以175A B y y =-． 将直线AB 1方程24x c =-，代入椭圆方程后，2222241x y c x y a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩， 整理可得：（b 2+8a 2）y 2﹣2b 2cy +8b 4＝0，由韦达定理解得1222428A B b cy y b a+=+，142288A B b y y b a -=+， 三式联立，可解得离心率12c e a ==． 故答案为：12．【点睛】本题考查了圆锥曲线的性质综合，考查了学生综合分析，数形结合，数学运算的能力，属于中档题.三、解答题18．已知函数()222233f x sin x sin x cos x x R ππ⎛⎫⎛⎫=++-+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，． （1）求函数f （x ）的最小正周期和单调递减区间；（2）求函数f （x ）在区间42ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上的最大值和最小值．【答案】（1）最小正周期为π，588k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，，k Z ∈； （2）最大值1，最小值为0．【解析】（1）利用正弦、余弦的和差角公式以及辅助角公式化简得到f（x ）214x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，利用正弦型函数的周期和单调性公式即得解.（2）可计算得到52444x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，，结合正弦函数的图像和单调性，可得解. 【详解】（1）()222233f x sin x sin x cos x ππ⎛⎫⎛⎫=++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭sin 2coscos 2sinsin 2coscos 2sincos 213333x x x x x ππππ=++-++＝sin 2x +cos 2x +1214x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭所以最小正周期为π． 因为当3222242k x k πππππ+≤+≤+时，f （x ）单调递减． 解得：588k x k ππππ+≤≤+所以单调递减区间是588k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，，k Z ∈（2）当42x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，时，52444x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，，利用正弦函数的图像和单调性， 当2x 42ππ+=函数取得最大值为21+，当2x 44ππ+=-或54π时，函数取得最小值，最小值为222-⨯+1＝0． 【点睛】本题考查了三角函数的性质综合，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于基础题.19．如图，在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝AA 1．（1）求证：AB 1⊥平面A 1BC 1；（2）若D 在B 1C 1上，满足B 1D ＝2DC 1，求AD 与平面A 1BC 1所成的角的正弦值．【答案】（1）见解析； （2）277. 【解析】（1）先证明AB 1⊥A 1B ，AB 1⊥A 1C 1，进而得证结论；（2）以A 1B 1，A 1C 1，A 1A 为x ，y ，z 轴如图建立空间直角坐标系，求解平面A 1BC 1的法向量为n ,利用线面角的向量公式，即得解. 【详解】（1）在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝AA 1， 根据已知条件易得AB 1⊥A 1B ， 由A 1C 1⊥面ABB 1A 1，得AB 1⊥A 1C 1， A 1B ∩A 1C 1＝A 1， 故AB 1⊥平面A 1BC 1；（2）以A 1B 1，A 1C 1，A 1A 为x ，y ，z 轴如图建立空间直角坐标系，设AB ＝a ，则A （0，0，a ），B （a ，0，a ），()1200033a a C a D ⎛⎫⎪⎝⎭，，，，，， 所以233a a AD a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，，， 设平面A 1BC 1的法向量为n 111(,,),(,0,),(0,,0)x y z A B a a AC a ===11100n A B ax az n A C ay ⎧⋅=+=⎪∴⎨⋅==⎪⎩，令1x = 则()101n =-，，， 可计算得到cos AD n ＜，＞277||||AD n AD n ⋅==所以AD 与平面A 1BC 1所成的角的正弦值为77． 【点睛】本题考查了立体几何和空间向量综合，考查了学生空间想象，逻辑推理，数学运算的能力，属于中档题.20．已知等比数列{a n }（其中n ∈N ），前n 项和记为S n ，满足：3716S =，log 2a n +1＝﹣1+log 2a n ．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）求数列{a n •log 2a n }（n ∈N ）的前n 项和T n ．【答案】（1）112n n a +=； （2）13322n n ++-. 【解析】（1）由log 2a n +1＝﹣1+log 2a n 得到112n n a q a +==，再结合3716S =，得到114a =，即得解； （2）代入可得112n n n b ++=-，乘公比错位相减法求和，即得解. 【详解】 （1）由题意，设等比数列{a n }的公比为q ，∵log 2a n +1＝﹣1+log 2a n ， ∴121221n n n n a log a log a log a ++-==-，∴112n n a q a +==． 由3716S =，得311[1)7211612a ⎛⎤- ⎥⎝⎦=-，解得114a =． ∴数列{a n }的通项公式为112n n a +=． （2）由题意，设b n ＝a n •log 2a n ，则112n n n b ++=-． ∴T n ＝b 1+b 2+…+b n 231231222n n ++⎛⎫=-+++ ⎪⎝⎭故231231222n n n T ++-=+++， 312212222n n n T n n +++-=+++． 两式相减，可得31221111332222242n n n n T n n +++++-=+++-=-． ∴13322n n n T ++=-． 【点睛】本题考查了数列综合，考查了等比数列的通项公式，乘公比错位相减法求和，考查了学生转化划归，综合分析，数学运算的能力，属于中档题. 21．已知抛物线212C y x =：与直线l ：y ＝kx ﹣1无交点，设点P 为直线l 上的动点，过P 作抛物线C 的两条切线，A ，B 为切点．（1）证明：直线AB 恒过定点Q ；（2）试求△PAB 面积的最小值．【答案】（1）见解析； （2）322(2)k -.【解析】（1）借助导数，可求得在A ，B 两点的切线方程PA ，PB ，由于P 点在两条切线上，结合方程，可得直线AB ：kx 0﹣1+y ＝xx 0，可得定点. （2）将直线AB 与抛物线联立，利用弦长公式，点到直线距离公式表示三角形的底和高，继而表示面积，配方，求解最小值，即可.【详解】（1）由212y x =求导得y ′＝x ， 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），其中2211221122y x y x ==， 则k PA ＝x 1，PA ：y ﹣y 1＝x 1（x ﹣x 1），设P （x 0，kx 0﹣1），代入PA 直线方程得kx 0﹣1+y 1＝x 1x 0，PB 直线方程同理，代入可得kx 0﹣1+y 2＝x 2x 0，所以直线AB ：kx 0﹣1+y ＝xx 0，即x 0（k ﹣x ）﹣1+y ＝0，所以过定点（k ，1）；（2）直线l 方程与抛物线方程联立，得到x 2﹣2kx +2＝0，由于△<0,∴k 2＜2．将AB ：y ＝xx 0﹣kx 0+1代入212y x =， 得2001102x xx kx -+-=， 所以200220x kx =-+＞，AB =，设点P 到直线AB 的距离是d ，则d =， 所以()33222220001(22)[2]2PAB S AB d x kx x k k ==-+=-+-， 所以面积最小值为322(2)k -．【点睛】本题考查了直线和抛物线综合，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.22．已知a 为常数，函数f （x ）＝x （lnx ﹣ax ）有两个极值点x 1，x 2（x 1＜x 2）．（1）求a 的取值范围；（2）证明：()()1212f x f x -＜． 【答案】（1）102a ＜＜； （2）见解析.【解析】（1）对f （x ）求导，对a ≤0，a ＞0两种情况分析函数的单调性，研究有两个极值点限制条件;（2）根据（1）中单调性的分析，可得1212x x a ＜＜，又g （1）＝1﹣2a ＞0，所以12112x x a＜＜＜，结合单调性，以及范围边界点的函数值，可得()()12f x f x ，的范围，从而可得证.【详解】（1）求导得f ′（x ）＝lnx +1﹣2ax （x ＞0），由题意可得函数g （x ）＝lnx +1﹣2ax 有且只有两个零点．∵()1122ax g x a x x='-=-． 当a ≤0时，g ′（x ）＞0，f ′（x ）单调递增，因此g （x ）＝f ′（x ）至多有一个零点，不符合题意，舍去； 当a ＞0时，令g ′（x ）＝0，解得12x a=， 所以()()1002x g x g x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭'，，＞，单调递增， ()()102x g x g x a ⎛⎫∈+∞⎪' ⎝⎭，，＜，单调递减． 所以12x a=是g （x ）的极大值点， 则102g a ⎛⎫ ⎪⎝⎭＞，解得102a ＜＜； （2）g （x ）＝0有两个根x 1，x 2，且1212x x a ＜＜， 又g （1）＝1﹣2a ＞0，所以12112x x a＜＜＜， 从而可知f （x ）在区间（0，x 1）上递减，在区间（x 1，x 2）上递增，在区间（x 2，+∞）上递减．所以()()()()1211012f x f a f x f a =-=--＜＜，＞＞， 所以()()1212f x f x -＜．【点睛】本题考查了函数与导数综合，考查了学生综合分析，转化划归，分类讨论，数学运算的能力，属于较难题.。
【精品】2020届高考数学模拟试卷(浙江省)
2020届高考数学模拟试卷（浙江省）一、单选题1．已知双曲线的左顶点与抛物线的22(0)y px p =>的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(2,1)--，则双曲线的虚轴长为（ ） A ．1B ．2C ．4D．2．若43()5a =，33()5b =，335c log =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．c ＞b ＞aB ．c ＞a ＞bC ．a ＞b ＞cD ．b ＞a ＞c3．已知向量a ，b 满足()1,1a =，1b =，且22b a -=，则向量a 与b 的夹角的余弦值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．54．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若471027aa a ++=，则13(S = )A ．52B ．78C ．117D ．2085．在复平面内，复数z=(1-i)（i 是虚数单位）对应的点位于 A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限6．函数()()23cos 2cos x xf x x x ππ⎛⎫++ ⎪⎝⎭=-++在[],ππ-的图象大致为（ ） A ． B ．C ．D ．7．已知集合{}2|430,{|215}M x x x N x x =-+<=+<，则M N ⋃=（ ） A ．{}|3x x > B ．{}|2x x > C ．{}|3x x < D ．{}|2x x <8．函数()()221f x x a x =-+- 与()11a g x x -=+这两个函数在区间[]12，上都是减函数的一个充分不必要条件是实数a 的范围是 ( )A ．()()2,11,2--⋃B ．()()1,00,2-⋃C ．()1,2D ．(]1,29．下列命题中错误的是（ ）A ．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βB ．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βC ．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β=l ，那么l ⊥平面γD ．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β 10．设数列｛n a ｝的前n 项和n s =2n ，则8a 的值为 A ．15 B ．16C ．49D ．64二、双空题11．如图，高尔顿板是英国生物统计学家高尔顿设计的用来研究随机现象的模型，它是在一块竖起的木板上钉上一排排互相平行，水平间隔相等的圆柱形铁钉，并且每一排钉子数目都比上一排多一个，一排中各个钉子恰好对准上面一排两相邻铁钉的正中央，从入口处放入一个直径略小于两颗钉子间隔的小球，当小球从两钉之间的间隙下落时，由于碰到下一排铁钉，它将以相等的可能性向左或向右落下，接着小球再通过两钉的间隙，又碰到下一排铁钉，如此继续下去，在最底层的5个出口处各放置一个容器接住小球，那么，小球落入1号容器的概率是______，若取4个小球进行试验，设其中落入4号容器的小球个数为x ，则x 的数学期望是______.12．计算cos 75=________；sin14cos16sin 76cos74+的值是_________. 13．已知6625601256(1)(2)x x a a x a x a x a x +-+=+++++，则6a =_____，01256a a a a a +++++=_______.14．设变量x 、y 满足约束条件202010x y x y x y +-≤⎧⎪-+≥⎪⎨≥-⎪⎪≥⎩，则目标函数24=y x z 的最大值为______，最小值为______.三、填空题15．设,,a b c 是正实数，满足b c a +≤，则()2bca b +的最大值为_______．16．已知点A 是抛物线214y x =的对称轴与其准线的交点，点F 为该抛物线的焦点，点P 在抛物线上且满足||||PF m PA =，当m 取最小值时，点P 恰好在以A ，F 为焦点的双曲线上，则该双曲线的离心率为__________.17．3476A C -=______．四、解答题18．设函数()1xaf x e x=+-，()0,x ∈+∞，e 为自然对数的底数. （1）讨论()f x 的极值点个数； （2）当12a ≥，()0,x ∈+∞时，证明：()()1a x f x x-<. 19．（本小题满分13分）已知椭圆：（）的右焦点为，且过点(2√3,0)． （Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）设直线l:y =x +m(m ∈R)与椭圆交于不同两点、，且|AB|=3√2．若点P(x 0,2)满足|PA⃗⃗⃗⃗⃗ |=|PB ⃗⃗⃗⃗⃗ |，求x 0的值． 20．已知函数()2sin 3f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭.（1）若点(1,P 在角α的终边上,求sin α和6f πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值； （2）求使()1f x ≥成立的x 的取值集合； （3）若对任意实数,32x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，不等式()2f x m -<恒成立，求实数m 的取值范围. 21．已知四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PCD ⊥平面ABCD ，E 为PB 上任意一点，O 为菱形对角线的交点，如图所示． （1）求证：平面EAC ⊥平面PBD ；（2）若60BAD ∠=︒，当四棱锥的体积被平面EAC 分成3:1两部分时，若二面角B AE C --的大小为45︒，求:PD AD 的值．22．冠状病毒是一个大型病毒家族，已知可引起感冒以及中东呼吸综合征(MERS )和严重急性呼吸综合征(SARS )等较严重疾病.而今年出现的新型冠状病毒(nCoV )是以前从未在人体中发现的冠状病毒新毒株.人感染了新型冠状病毒后常见体征有呼吸道症状､发热､咳嗽､气促和呼吸困难等.在较严重病例中，感染可导致肺炎､严重急性呼吸综合征､肾衰竭，甚至死亡.某医院为筛查冠状病毒，需要检验血液是否为阳性，现有()*n n ∈N 份血液样本，有以下两种检验方式：方式一：逐份检验，则需要检验n 次.方式二：混合检验，将其中*(k k N ∈且k ≥2)份血液样本分别取样混合在一起检验.若检验结果为阴性，这k 份的血液全为阴性，因而这k 份血液样本只要检验一次就够了，如果检验结果为阳性，为了明确这k 份血液究竟哪几份为阳性，就要对这k 份再逐份检验，此时这k 份血液的检验次数总共为k +1.假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是独立的，且每份样本是阳性结果的概率为p (0<p <1).现取其中*(k k N ∈且k ≥2)份血液样本，记采用逐份检验，方式，样本需要检验的总次数为1ξ，采用混合检验方式，样本需要检验的总次数为2ξ. （1）若12()()E E ξξ=，试求p 关于k 的函数关系式p =f (k ). （2）若p 与干扰素计量n x 相关，其中12,,,,(n x x x n ≥2)是不同的正实数，满足x 1=1且13122311()n nn n x x e ex x -++-=-. (i )求证：数列{}n x 为等比数列； (ii )当1p =次数的期望值更少，求k 的最大值.参考答案1．B根据交点坐标可确定准线，从而求得p ；利用双曲线左顶点与抛物线焦点的距离可求得a ；将交点坐标代入渐近线方程可求得b ，进而得到所求虚轴长. 由题意知：22p-=- 4p ∴= 设双曲线方程为：()222210,0x y a b a b -=>>，则其渐近线方程为：b y x a =±242pa a ∴+=+= 2a ∴= 将()2,1--代入渐近线方程b y x a=得：1b -=-，即1b = 将()2,1--代入渐近线方程b y x a=-得：1b =-，舍去∴双曲线的虚轴长为：22b =本题正确选项：B本题考查抛物线、双曲线性质的应用问题，属于基础题. 2．D已知43()5a =，33()5b =，底数相同，故可以构造函数3()5xy = ，这个函数是减函数，x 越大函数值越小，故0b a >＞ ，而335c log =，底数和真数异侧，故0c < ，故得到b ＞a ＞c. 故答案选D. 3．A先求出向量a 的模，然后对22b a -=两边平方，得到向量的数量积，最后根据夹角公式求解.解：因为()1,1a =，所以=2a ， 因为22b a -=，所以22442b a b a -⋅+=，即22442b a b a -⋅+=，因为=2a ，1b =，所以4422a b -⋅+=，得1a b ⋅=，设向量a 与b 的夹角为θ，则cos 22a b a bθ⋅===， 故选：A此题考查平面向量的夹角的计算，属于基础题. 4．C由等差数列{}n a 的性质可得：471073aa a a ++=，解得7.a 再利用求和公式即可得出． 由等差数列{}n a 的性质可得：47107273aa a a ++==，解得79a =．则()11313713131172a a S a +===．故选C ．本题考查了等差数列的通项公式性质及其求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 5．C由复数与复平面内的点一一对应，即可求出结果. 由1z i =-知其对应点为()1,1P -，而点P 在第三象限；故正确答案为C本题考查复数的几何意义，熟记几何意义即可，属于基础题型. 6．D化简函数的解析式，判断函数的奇偶性，排除选项，通过特殊值判断选项即可．函数()()223cos sin 2cos cos x xx x f x x x x x ππ⎛⎫++ ⎪+⎝⎭==-+++，函数是奇函数，排除选项A ， 当2x π=时，()21204f x ππ+=>，排除选项C ：当x π=时，()201f x ππ=>-，排除选项B .所以函数的图象只有D 满足 故选：D .本题考查函数的图象的判断与应用，诱导公式的应用，考查转化思想以及计算能力． 7．C利用一元二次不等式的解法化简集合M ，再由交集的意义,取M 、N 的公共部分,可得答案. 因为{}2|430{|13}M x x x x x =-+<=<<,215x +<的解为2x <，,则{}{}|215|2N x x x x =+<=<,由交集的意义,可得{}|3M N x x =<.故选C.本题考查交集的运算,这是集合内容的基本要求,注意计算必须准确,其次集合的形式表示必须正确. 8．C根据二次函数和反比例函数的性质得a-1且a-1>0，取交集即可. 函数()()221f x x a x =-+- 与()11a g x x -=+这两个函数在区间[]12，上都是减函数 则根据二次函数的性质得到a-11≤,根据反比例函数的性质得到a-1>0两者取交集得到12a <≤,充分不必要条件是实数a 的范围比12a <≤这一范围小就可以了. 故可以是：()1,2.故答案为：C这个题目考查了函数单调性的应用，考查了二次函数的性质，反比例函数的性质，难度中档；注意二次函数的单调性和对称轴有关，反比例和x 的系数有关. 9．D 由题意可知：A 、结合实物：教室的门面与地面垂直，门面的上棱对应的直线就与地面平行，故此命题成立；B 、假若平面α内存在直线垂直于平面β，根据面面垂直的判定定理可知两平面垂直．故此命题成立；C 、结合面面垂直的性质可以分别在α、β内作异于l 的直线垂直于交线，再由线面垂直的性质定理可知所作的垂线平行，进而得到线面平行再由线面平行的性质可知所作的直线与l 平行，又∵两条平行线中的一条垂直于平面那么另一条也垂直于平面，故命题成立；D 、举反例：教室内侧墙面与地面垂直，而侧墙面内有很多直线是不垂直与地面的．故此命题错误． 故选D ． 10．A利用887a S S =-求解即可. 因为数列｛｝的前n 项和n s =2n ，所以878644915a S S =-=-=， 故选：A.本题主要考查本题主要考查数列的通项公式与前n 项和公式之间的关系，属于中档题. 已知数列前n 项和，求数列通项公式，常用公式11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩.11．1161 要使小球落入1号容器，则每一层小球必须向左，而每一层小球向左、向右的概率均为12；小球落入4号容器，则四层中小球有三层向右，一层向左，故每个小球落入4号容器的概率为34411()24C =，写出随机变量所有可能的取值，再算出相应的概率，利用期望公式计算即可.要使小球落入1号容器，则每一层小球必须向左，故概率为411216⎛⎫= ⎪⎝⎭；小球落入4号容器，则四层中小球有三层向右，一层向左，故每个小球落入4号容器的概率为34411()24C =，由题意知，0,1,2,3,4x =. 4181(0)(1)4256P x ==-=，13411108(1)(1)44256P x C ==⨯⨯-=; 22241154(2)()(1)44256P x C ==-=，33141112(3)()(1)44256P x C ==-=；44411(4)()4256P x C ===. 10854121()12341256256256256E x =⨯+⨯+⨯+⨯=.故答案为： (1). 116； (2). 1 本题考查独立事件的概率以及离散型随机变量的期望，考查学生的运算求解能力，是一道中档题. 1212空1；根据两角和的余弦公式，结合特殊角的三角函数值进行求解即可；空2：根据诱导公式，逆用两角和的正弦公式，结合特殊角的三角函数值进行求解即可. 空1：231cos 75cos(4530)cos 45cos30sin 45sin 3022224=+=-=⨯-⨯= 空2：1sin14cos16sin 76cos74sin14cos16cos14sin16sin(1416)sin 30.2+=+=+==；12本题考查了余弦两角和公式的应用，考查了逆用两角和的正弦公式求值，考查了特殊角的三角函数值，考查了数学运算能力. 13．0 665根据其特点可知6a 为6x 的系数，把第二问所求去掉绝对值符号发现各项为负，令1x =即可求解． 因为6625601256(1)(2)x x a a x a x a x a x +-+=+++⋯++，令1x =可得：660125623665a a a a a +++⋯⋯++=-=-. 所以：666660a C C =-=；060066263a C C =-⋅=-； 1511662186a C C =-=-； 22422662225a x C C +=-=-；……5556626a C C =-⋅=-； 60666620a C C =-⋅=；故0125601256665a a a a a a a a a a +++++=------=.故答案为：0，665.本题主要考查二项式定理的应用，注意根据题意，分析所给代数式的特点，通过给二项式的x 赋值，求展开式的系数和，可以简便的求出答案，属于中档题． 14．8116作出不等式组所表示的可行域，平移直线2t y x =-，观察该直线在y 轴截距最大和最小时对应的最优解，代入目标函数计算即可得解.作出不等式组202010x y x y x y +-≤⎧⎪-+≥⎪⎨≥-⎪⎪≥⎩所表示的可行域如下图所示：联立120x x y =-⎧⎨-+=⎩，解得11x y =-⎧⎨=⎩，即点()1,1C -；联立200x y y +-=⎧⎨=⎩，解得20x y =⎧⎨=⎩，即点()2,0A .令2t y x =-，则22224yy x t x z -===，平移直线2t y x =-，当直线2t y x =-经过可行域的顶点A 时，直线2t y x =-在y 轴上的截距最小，此时z 取最小值，即022min 1216z -⨯==； 当直线2t y x =-经过可行域的顶点C 时，直线2t y x =-在y 轴上的截距最大，此时z 取最大值，即()121max 28z -⨯-==.故答案为：8；116. 本题考查指数型线性目标函数最值的求解，一般利用平移直线的方法找出最优解，考查数形结合思想的应用，属于基础题. 15．18由题意可得2222()(2)4448a b b c b bc c bc bc +≥+=++≥=，当且仅当224b c =且+=b c a ，即2bc 且+=b c a 时等号成立。
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19．（12 分）如图, 是直角
斜边 上一点,
．
若
，求角 的大小；若
，且
，求 的长．
2 20．（12 分）某市有 A, B, C, D 四个景点，一位游客来该市游览，已知该游客游览 A 的概率为 3 ，游览 B 、
1 C 和 D 的概率都是 2 ，且该游客是否游览这四个景点相互独立.求该游客至多游览一个景点的概率；用随
6．设{an}是首项为 a1 ，公差为 2 的等差数列，Sn 为其前 n 项和，若 S1, S2 , S4 成等比数列，则 a1 （ ）
A．8 B． 8 C．1 D． 1
7．已知幂函数
f
x
xa
的图象过点
3,
1 3
，则函数
g
x
2x
1
f
x
在区间
1 2
, 2
上的最小值是
（）
A． 1 B．0
3 C． 2 D． 2
22．（10 分）如图，已知 AD 是△ABC 内角 BAC 的角平分线．
AC 1，求 AD 的长．
AB DB 用正弦定理证明： AC DC ；若 BAC 120 ， AB 2 ，
参考答案
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 1．A 2．A 3．C 4．A 5．A 6．D 7．B 8．A 9．C 10．C 11．C 12．B 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13．11,60,61
C． 0,
5
5
1,
D．
0,
5
5
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
13．中国古代数学名草《周髀算经》曾记载有“勾股各自乘，并而开方除之”，用符号表示为
a2 b2 c2 a,b, c N* ，我们把 a,b, c 叫做勾股数.下列给出几组勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，
b f
0.20.3
，c
f
2 3
1
，则
a，b，c
的大小关系是（
）
A． b c a
B． c b a
C． b a c D． c a b
5．我国古代数学家提出的“中国剩余定理”又称“孙子定理”，它在世界数学史上具有光辉的一页，堪称数 学史上名垂百世的成就，而且一直启发和指引着历代数学家们．定理涉及的是数的整除问题，其数学思想 在近代数学、当代密码学研究及日常生活都有着广泛应用，为世界数学的发展做出了巨大贡献，现有这样 一个整除问题：将 到 这 个整数中能被 除余 且被 除余 的数按从小到大的顺序排成一列，构成 数列 ，那么此数列的项数为（ ） A． B． C． D．
方程为
，直线 的参数方程为：
( 为参数)，点 的极坐标为
，设直线 与
曲线 相交于 两点．写出曲线 的直角坐标方程和直线 的普通方程；求
的值．
18．（12 分）已知 f (x) (x 1)ex a(x2 1), x [1, ) .讨论 f (x) 的单调性；若 f (x) 2a ln x ，求 实数 a 的取值范围.
A． 6 B． 4 C． 3 D． 2
11．若
，且
，则
的值为（ ）
A． B．
C．
D．
12．已知函数
f
x
sin
2
x
1,
x
0
的图象上关于 y 轴对称的点至多有 2 对，则实数 a 的
loga x a 0,且a 1, x 0
取值范围可以是（ ）
A．
1 5
,1
1,
B．
5 5
,1
1,
机变量 X 表示该游客游览的景点的个数，求 X 的概率分布和数学期望 E X .
21．（12 分）设函数 f (x) kax ax （ a 0 且 a 1）是定义域为 R 的奇函数．若 f (1) 0 ，试求不等
3 式 f (x2 2x) f (x 4) 0 的解集；若 f (1) 2 ，且 g(x) a2x a2x 4 f (x) ，求 g(x) 在[1, )上 的最小值及取得最小值时的 x 的值．
2020 届浙江省嘉兴嘉善高级中学高考数学模拟试卷
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。
1．函数
f
x
3
sin
2 3
2x
的一个单调递增区间是
A．
7 12
,
13 12
B．
12
,
7 12
C．
2
,
2
D．
5 6
,
25；9，40，41，以此类推，可猜测第 5 组股数的三个数依次是__________．
4x x2 , x 0,
f x {
14．已知函数
3 , x 0, x
若函数 g x f x 3x b 有三个零点，则实数 b 的取值范围为
__________．
15．定义在 上的函数
，对任意
,都有
8．已知函数
g
x
cos
3
x
sin
6
x
，设函数
f
x
1 4
x2
g
x
，函数
f
x 的导函数为
f ' x ，则函数 f ' x 的图像大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
x 0
9．己知
M
4,
0
,
N
0,
4
，点
P
x,
y
的坐标
x,
y
满足
y
0
，则 MPNP 的最小值为
3x 4 y 12 0
（ ）．
2 A． 5
6
2．已知函数 f（x）=x2-ln|x|，则函数 y=f（x）的大致图象是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．已知函数
f
(x)
sin(x )（
0 ，|
|
2
）满足
f
4
x
f
4
x
，f
2
x
f
(x) ，
且在
0,π8
上是单调函数，则
的值可能是（
）
A．3 B．4 C．5 D．6
4．已知定义在 R 上的偶函数 f x 满足：当 x 0, 时， f x 2018x ，若 a f ln3e ，
4
196
B． 25 C． 25
3x m n, x m
f (x) {x m n, m x n 2
3x m n, x n
D．
2
10．如图，正方体 ABCD A1B1C1D1 中， E ， F ， M ， N 分别为 BC ，CC1 ， A1D1 ，C1D1 的中点，则
直线 EF ， MN 所成角的大小为（ ）
__________．
且
,则
16．在△ABC 中，角
A ，B ，C
的对边分别为 a
，b
，c
，若
bcosC ccosB
1 cos2C 1 cos2B
，C
是锐角3
，则
△ABC
的面积为______．
三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12 分）在直角坐标系中，以原点 为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线 的极坐标