讲义-圆的周长和面积-六年级
六年级上册数学培优奥数讲义-第11讲 圆的周长
第11讲圆的周长知识装备1、圆的周长公式：C＝2πr或C＝πd；半圆的周长＝πr＋2r或πd÷2＋d。
2、在计算周长时，要找清楚哪些是需要求的部分，再灵活运用圆的周长公式进行计算。
初级挑战1求下面图形中阴影部分的周长。
（单位：厘米）（1）（2）思维点拨：（1）是一个半圆，它的周长除了半圆弧的长，还要加上（）。
（2）是一个长方形和一个半圆组合而成的图形，它的周长由长方形的（）条长、（）条宽和1个半圆弧组成。
答案：（1）周长是：8＋π×8÷2＝20.56（厘米）；（2）由图可知，长方形的宽就是半圆的半径，即12÷2＝6（厘米），所以周长是：12＋6×2＋π×12÷2＝42.84（厘米）。
求下面图形中阴影部分的周长。
（单位：厘米）（1） （2）答案：（1）π×6×2×43＋6×2＝40.26（厘米）；（2）正方形内四叶草的周长可看成是由2个以正方形的边长为直径的圆的周长。
因此为：π×32×2＝200.96（厘米）。
初级挑战2如下图所示，外面一个圆的周长与里面两个圆的周长之和相比，哪个长？请说明理由。
思维点拨： 假设里面两个较小的圆的直径分别为d 1和d 2，外面大圆的直径是d ，那么d ＝d 1＋d 2。
外面大圆的周长用字母表示是（ ），里面两个小圆的周长和＝（ ）＋（ ），比较它们的大小即可。
答案：假设里面两个较小的圆的直径分别为d 1和d 2，外面大圆的直径是d ，那么d ＝d 1＋d 2。
外面大圆的周长用字母表示是C ＝πd ，里面两个小圆的周长和是C＝πd 1＋πd 2＝π（d 1＋d 2）＝πd ，所以外面一个圆的周长和里面两个圆的周长之和相等。
1、如下图，小明和小刚同时从A点以同样的速度出发，小明沿大圆周走到B点，小刚沿小圆周走到B点，他们谁先到达B点？为什么？答案：同时到达。
学大精品讲义六上数学(含答案)第六讲 圆的周长和面积
第六讲圆的周长和面积一、知识梳理圆的认识：圆中心的一点叫做圆心，圆心一般用字母“o”表示；连接圆心和圆上任意一点的线段叫做半径，半径一般用字母“r”表示；通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径，直径一般用字母“d”表示。
圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小。
圆周率：圆的周长和直径的比值，用字母π表示。
（π≈3.14）圆的面积：圆所占平面的大小叫圆的面积，圆的面积一般用字母“Ｓ”表示, S =πr².圆环的面积计算公式：S =πR²-πr²=π(R²-r²)扇形的面积公式：S =πr 2 ⨯n 360二、方法归纳1.设数法：当题目中半径未知时，求两个圆周长或面积的比可用设数法。
2.整体法（整体思想）：在解决圆中方问题时，圆的直径即是正方形对角线，这时求出半径的平方当作一个整体。
三、课堂精讲例1. 填表【规律方法】理解公式的推倒过程，直接套公式进行计算。
【搭配课堂训练题】【难度分级】 A1.求下面各圆的面积。
（1）d = 10dm （2）C = 18.84m2.一个圆和一个正方形的周长都是25.12 厘米，它们的面积（）A．正方形大 B．圆大 C．一样大3.（2013 中大附中）圆的半径从 8cm 减少到 6cm,圆的面积减少了（）A. 4 π平方厘米B.28 平方厘米C.28 π平方厘米4.一只挂钟的分针长 80mm，分针的针尖 1 小时走（）毫米。
5.（2017 玉岩天健）一个圆环，外圆直径是 10cm，内圆直径是 6cm，这个圆环的面积是（）。
6.（2016 白云广雅）自行车车轮向前滚动两周走过的距离是 a 米，车轮的周长是（）米，直径是（）米。
例2．小乌龟和小白兔又要比赛了，这一次小白兔沿大圆跑一圈，小乌龟沿两个小圆“∞”跑一圈，谁跑的路程长呢？好好想一想。
O5cm【规律方法】设数法计算。
【搭配课堂训练题】【难度分级】 A7.（2016 应元二中）一个圆的半径增加10%，则周长增加（）%。
《圆的周长》讲义
通过这个公式，我们可以计算出任意 直径的圆的周长，或者已知圆的周长 时求出其直径。
圆周率的历史和应用
历史发展
圆周率的应用历史悠久，早在古代文明时期，人们就开始使 用圆周率来计算圆的周长和面积。随着数学的发展，圆周率 的精度也不断提高。
现代应用
在现代科学和工程领域，圆周率的应用非常广泛。例如，在 机械制造、建筑设计、物理学、天文学等领域中，都需要用 到圆周率来计算圆的周长、面积、体积等。同时，高精度测 量和计算也要求圆周率的值更加精确。
圆的周长的相关公式
圆的周长公式
01
C=2πr，其中C表示圆的周长，r表示圆的半径。这个公式是计
算圆周长的基本公式。
圆的周长与直径的关系公式
02
C=πd，其中C表示圆的周长，d表示圆的直径。这个公式描述
了圆的周长与其直径之间的比例关系。
圆的周长与半径的关系公式
03
C=2πr，其中C表示圆的周长，r表示圆的半径。这个公式描述
了圆的周长与其半径之间的直接关系。
圆的周长的其他性质
圆的周长的对称性
圆的周长是对称的，即无论从哪个方向测量，其结果都是相同的。这是由于圆的几何特 性所决定的。
圆的周长的连续性
圆的周长是连续的，这意味着在圆上任意两点之间都可以画出一条唯一的曲线，其长度 等于这两点之间的距离。这是由于圆的定义所决定的。
05
圆的周长的相关定理和公式
圆的周长的相关定理
圆的周长定理
圆的周长等于2π乘以半径。这个定理是圆的基本性质之一，也是 计算圆周长的基础。
圆的周长与直径的关系
圆的周长与直径成正比，比例系数为π。这意味着，如果一个圆的 直径增加，其周长也会相应增加。
六年级奥数第12讲圆的周长与面积
学生课程讲义
有关圆的计算是指与圆有关的图形的周长和面积的计算,其中组合图形的面积是学习的重点。
在进行组合图形计算时,必须掌握有关概念、公式,要仔细观察、认真思考,看清组合图形是由哪几个基本图形组成的,看清题目的已知条件和问题,要注意找出图中的隐蔽条件与已知条件和问题的联系。
圆的周长:当一条线段绕着它的一个端点O,在平面上旋转一周时,它的另一个端点所画的封闭曲线叫做圆,端点O就是这个圆的圆心,这条封闭曲线的长度就是这个圆的周长,用C来表示,连接圆心到圆上任意一点的线段叫半径,一般用字母r来表示,通过圆并且两端都在圆上的
线段叫直径,用字母d表示,用
S
表示圆的面积,于是有下列公式
d=2r C=πd=2πr
S=πr2(其中π是圆周率,取π=3.14)
圆上两点间的部分叫做弧,这两点与圆心连接所得两条半径的夹角叫做圆心角,一般用n 表示圆心角的度数,用L表示弧长,则L=n
180
πr
圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫做扇形,则S=n
360πr2=1
2
Lr
【例1】计算图中阴影部分的面积。
（单位：
厘米）
【例2】求图中外圆的周长。
（单位：分米）
【例3】已知AC=AB,求图中阴影部分的周长。
六年级上册秋季奥数培优讲义——6-01-圆的周长和面积1-讲义-学生
第1讲 圆的周长和面积【学习目标】1、进一步学习圆的周长计算；2、进一步学习圆的面积计算。
【知识梳理】1、周长：围成圆的曲线的长度叫做圆的周长。
公式：C=πd 或 C=2πd2、面积：圆所占面积的大小叫圆的面积。
公式：Ｓ＝πｒ²3、半圆的周长公式：Ｃ＝πd ÷2＋d 或 Ｃ＝πr ＋2r圆周长的一半=πr4、半圆的面积：公式为：Ｓ＝πｒ²÷2（半圆面积＝圆的面积÷2）5、圆环的面积：S=πR ²－πｒ² 或 S=π（R ²－ｒ²）（其中R ＝r ＋环的宽度）。
6、扇形弧长：扇形中的曲线部分线条的长度，用L 表示弧长，L=r 180n π。
扇形面积：扇形的面积S=3602r n π（n 是扇形圆心角的度数）。
【典例精析】【例1】如图，有三根直径都是2分米的圆柱形木材，想用一根绳子把它们捆成一捆，捆三圈最短需要分米长的绳子。
（打结处强长不计，工取3.14)【趁热打铁-1】如图，春节时，商店出售直径为10厘米的图柱形礼花。
每7个用彩带捆成一捆，每捆需要彩带________厘米。
（接头不计，π取3.14)【例2】将两个半径分别为3cm 、5cm 的半圆如图放置,求涂色部分的周长.【趁热打铁-2】右图中每个小圆的半径是1厘米，阴影部分的周长是_____厘米(π=3.14)。
【例3】如图是有4个41扇形和1个正方形构成，如果正方形的边长为2，求这个图的周长。
【趁热打铁-3】有一只狗被拴在一建筑物的墙角A 处，这个建筑物是底面边长为8m 的正方形，栓狗的绳子长20米，现在狗从P 点出发（如图），将绳子拉紧按顺时针方向跑，可跑多少米？【例4】如右图把圆分成若干，等份拼剪拼成一个近似的长方形，已知长方形的宽为5厘米，长是厘米。
【趁热打铁-4】如图，把半径为3dm的圆分成若干等分后，拼成一个近似的长方形，则这个长方形的长是 dm，宽是 dm，该长方形的周长是 dm，面积是 dm²，该圆的周长是 dm，面积是 dm²。
六年级上册数学教案-第八讲圆的周长、面积人教版
六年级上册数学教案第八讲圆的周长、面积人教版作为一名经验丰富的教师，我深知教案的重要性，下面是我为六年级上册数学教案第八讲“圆的周长、面积”所做的准备。
一、教学内容本节课的教学内容主要包括人教版六年级上册数学教材第107页至109页的圆的周长和面积的相关知识。
具体包括圆的周长的计算方法、圆的面积的计算方法以及圆的周长和面积的实际应用。
二、教学目标通过本节课的学习，使学生能够理解圆的周长和面积的概念，掌握计算圆的周长和面积的方法，并能运用所学的知识解决实际问题。
三、教学难点与重点本节课的重点是圆的周长和面积的计算方法，难点是理解圆的周长和面积的概念以及如何运用所学的知识解决实际问题。
四、教具与学具准备教具包括黑板、粉笔、圆规、直尺、多媒体教学设备等。
学具包括练习本、圆规、直尺等。
五、教学过程1. 情景引入：以一个圆形桌面为例，让学生观察并思考如何计算这个桌面的周长和面积。
2. 讲解圆的周长：使用圆规和直尺在黑板上画出一个圆形，然后向学生讲解圆的周长的概念和计算方法。
3. 讲解圆的面积：同样使用圆规和直尺在黑板上画出一个圆形，然后向学生讲解圆的面积的概念和计算方法。
4. 例题讲解：出示一些关于圆的周长和面积的例题，引导学生运用所学的知识解决问题。
5. 随堂练习：让学生运用所学的知识解决一些关于圆的周长和面积的实际问题。
六、板书设计板书设计主要包括圆的周长的计算方法和圆的面积的计算方法。
七、作业设计1. 请计算下面圆的周长和面积。
(1) 半径为5厘米的圆；(2) 直径为10厘米的圆。
答案：(1) 周长：10π厘米，面积：25π平方厘米；(2) 周长：10π厘米，面积：25π平方厘米。
八、课后反思及拓展延伸本节课通过讲解和练习，使学生掌握了圆的周长和面积的计算方法，并能运用所学的知识解决实际问题。
但在教学过程中，我发现部分学生对于圆的周长和面积的概念理解不够深入，需要在今后的教学中加强引导和讲解。
同时，可以拓展延伸一些关于圆的周长和面积的更深入的知识，如圆的周长和面积的公式推导等。
六年级圆的周长和面积
圆及圆的周长一、圆的认识1、圆的定义：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。
如图，用圆规画圆时，针尖所在的点叫做圆心，一般用字母O表示。
连接圆心和圆上任意一点的线段叫做半径，一般用字母r表示，半径的长度就是圆规两个角之间的距离。
通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径，一般用字母d表示。
在同一个圆里，有无数条直径，且所有的直径都相等。
在同一个圆里，有无数条半径，且所有的半径都相等。
直径与半径的关系：d=2r2、圆的对称性如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能够完全重合，这个图形是轴对称图形。
折痕所在的这条直线叫做对称轴。
如下图：练习：判断对错（1）半径的长短决定圆的大小。
（）（2）圆心决定圆的位置。
（）（3）同一个圆的直径是半径的2倍。
（）（4）圆的半径都相等。
（）3、圆的周长圆的周长测量方法：A、用一根线，绕圆一周，减去多余的部分，再拉直量出它的长度，即可得出圆的周长。
B、把圆放在直尺上滚动一周，直接量出圆的周长。
以下是通过上述方法测得的圆的周长与直径的大致关系：周长C（厘米）直径d（厘米））的比值（保留两位小数dC3.1421 3.14 9.53 3.16 12.64 3.1515.85 3.1631.410 3.14其实，早就有人研究了周长与直径的关系，发现任意一个圆的周长与它的直径的比值是一个固定的数，我们把它叫做圆周率，用字母π表示。
它是一个无限不循环小数， π但在实际应用中常常只取它的近似值，例如π。
⋅⋅⋅⋅⋅≈1415926535.314.3≈如果用C 表示圆的周长，就有：C=πd 或C=2πr例1 求下列圆的周长练习：1、求下列圆的周长2、在一个长10厘米，宽8厘米的长方形中画一个最大的圆，这个圆的周长是（ ）厘米。
3、大圆直径是小圆直径的3倍，大圆周长是小圆周长的（）倍。
4、看图填空（单位：cm ）正方形的周长是（）cm ，圆的周长是（）cm 。
其中一个圆的周长是（ ）cm ，长方形的周长是（ ）cm 。
六年级-上册-圆的周长和面积
）×（
）
所以圆面积＝（ ）×（ ）＝（ ）
分的份数越多，拼成的图形越接近长方形。
从上图中可以看出圆的半径是r，长方形的宽近似
（ 圆的半径 )，长近似 ( 圆周长的一半 因为长方形的面积＝（ 长
)。 ）×（ 宽 ）
所以圆面积＝（πr ）×（ r ）＝（ πr² ）
如果用S表示圆的面积，那么圆的面积计算公式就是 ：S＝πr²
推导过程：长方形的面积=长×宽 平形四边形的面积=底×高
这个方法叫做 “割补法”
八 等 分
十 六 等 分
以拼成的近似平行四边形为例： 圆面8等分时： 圆面16等分时： 圆面32等分时：
分的份数越多，拼成的图形越接近ห้องสมุดไป่ตู้方形。
从上图中可以看出圆的半径是r，长方形的宽
近似（
)，长近似于
(
)。
因为长方形的面积＝（
探究圆周长与直径的关系
让我们来做一个实验：找一些圆形 的物品，分别量出它们的周长和直 径，并算出周长和直径的比值，把 结果填入下表中，看看有什么发现。
圆片编号 周长（cm） 直径（cm） 周长➗直径的商 （保留两位小数）
茶杯盖
28.3
9
光盘
37.85
12
1元硬币
7.85
2.5
探究圆周长与直径的关系
6×4＋3.14×6＝42.84(cm) 42.84×3＋12＝140.52(cm)
能力提升
2．如图，正方形的面积是18 cm2，这个圆的面积 是多少平方厘米？
能力提升
2．如图，正方形的面积是18 cm2，这个圆的面积 是多少平方厘米？
3.14×18＝56.52(cm2)
能力提升
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第一讲 圆的周长、面积
重点：圆周长、面积和弧、圆心角
难点：圆的周长和面积计算方法
知识概括 一、圆的周长：围成圆的曲线的长度。
1、圆的周长总是直径的3倍多一些，这个比值是一个固定的数。
我们把圆的周长和直径的比值叫做圆周率，用字母π表示。
圆周率是一个无限不循环小数。
在计算时，取3.14（约等于）。
世界上第一个把圆周率算出来的人是我国的数学家祖冲之。
（约1500年前，数学家和天文学家祖冲之，他计算出圆周率在3.1415926和3.1415927之间，是世界上第一把圆周率的值精确到7位小数的人。
）
2、如果用字母C 表示周长，那么就有：C=πd 或者 C =2πr
3、圆是轴对称图形。
二、圆的面积：圆所占面积的大小。
1、用纸片剪成一个圆，把圆分成若干等份（偶数），剪开后，用这些近似等腰三角形的小纸片拼在一起。
我们发现份数越多，拼成的图形越接近于长方形。
长方形的宽为r ，长为2C , 故面积为S =22r C r π=⨯ 2、圆的面积也可以写成：π
π4412
2C S d S ==， ①试想：半圆的周长和面积？
②圆的直径、周长、面积随着半径的变化有何规律？
三、弧、扇形、圆心角
1、弧：圆上A 、B 两点之间的部分叫“弧AB ”
扇形：一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形。
圆心角：顶点在圆心的角。
扇形大小和圆心角有关。
【例题1】
判断是否：
1、圆的半径有无数条。
…………………………………………………………（）
2、圆的直径是半径的2倍。
……………………………………………………（）
3、圆有无数条对称轴。
………………………………………………………（）
4、圆的半径都相等。
…………………………………………………………（）
5、直径4厘米的圆与半径2厘米的圆一样大。
………………………………（）
6、半径2分米的圆的周长和面积一样大。
…………………………………（）
7、圆周率就是圆的周长除以它的直径所得的商。
（）
8、圆的直径越大，圆周率越大。
（）
9、圆的半径是3cm,周长是9.42cm.( )
【例题2】
圆的半径扩大5倍，直径扩大（）倍，周长扩大（）倍；面积扩大（）倍
【例题3】
小圆半径6厘米，大圆半径8厘米。
大圆和小圆半径的比是（）；直径的比是（）；周长的比是（）；面积的比是（）。
把它们组成一个圆环，圆环的面积是多少？
【例题4】
一根铁丝正好围成一个直径2米的圆，这根铁丝长（）米；如果改围成一个正方形，正方形的边长是（）米，面积是（）平方米
【例题5】
一辆自行车轮胎外直径50厘米，如果自行车每分钟转120周，这辆自行车每小时能行多少千米？
（得数保留整千米）
作业评级：__________
一、细心填写：
1、画圆时固定的一点是圆的（），（）叫做半径，（）叫做直径。
2、圆的周长总是直径的（）倍多一些，它是一个固定不变的数，把它叫做（），用字母（）表示。
1500多年前，我国伟大的数学家（），就精确地计算出它的值在（）和（）之间。
3、（）叫做圆的周长。
（
）叫做圆的面积。
把一个圆沿半径平均分成若干份后可以拼成一个近似长方形，这个长方形的长等于（），宽等于（）。
从而得到圆的面积计算公式是（）。
4、用圆规画一个直径10厘米的圆，圆规两脚间的距离应是（）厘米。
5、用铁丝在一个半径25厘米的圆柱形水桶外面加一圈箍，接头处多用5厘米，共需要（）厘米长的铁丝。
6、一个圆的周长总是它半径的（）倍。
二、谨慎选择：
1、画圆时，（）决定圆的位置，（）决定圆的大小。
A 圆规
B 半径
C 圆心
D 无法确定
2、周长相等的长方形、正方形和圆，（）面积最大。
A 长方形
B 正方形
C 圆
D 无法确定
3、小圆半径4厘米，大圆半径6厘米，大、小圆直径的比是（）；
大、小圆周长的比是（）；大、小圆面积的比是（）。
A 2:3
B 3:2
C 4:9
D 9:4
4、把一个直径10厘米圆分成两个相等的半圆，两个半圆的周长的和是（）
A 31.4
B 62.8
C 41.4
D 51.4
5、一根铁丝正好围成一个直径8分米的圆，如果围成正方形，它的边长是（）
A 25.12分米
B 12.56分米
C 6.28分米
D 3.14分米
三、解决问题
1、一捆铁丝500圈，每圈直径40 厘米。
这捆铁丝长多少米？
2、学校圆形大钟的时针长80厘米，它的针尖转动一周走过的路程是多少米？
3、两个圆半径的和12厘米，一个圆直径10厘米，另一个圆的面积多少？。