201x届高考数学一轮复习 第九章 统计、统计案例 第4讲 随机事件的概率 文 新人教版
高考数学一轮复习第九章第四节随机事件的概率课件理北师大版
B．两次都中靶
( D)
C．只有一次中靶
D．两次都不中靶
解析：两次中“至少有一次中靶”即“一次中靶或两次中靶”，与该事
件不能同时发生的是“两次都不中靶”．
2．(2021·济南模拟)将一个骰子抛掷一次，设事件A表示向上的一面出现 的点数不超过3，事件B表示向上的一面出现的点数不小于4，事件C表示 向上的一面出现奇数点，则( A ) A．A与B是对立事件 B．A与B是互斥而非对立事件 C．B与C是互斥而非对立事件 D．B与C是对立事件 解析：由题意知，事件A包含的基本事件为向上的点数为1，2，3，事件 B包含的基本事件为向上的点数为4，5，6，事件C包含的点数为1，3， 5，A与B是对立事件．
2．概率的几个基本性质 (1)概率的取值范围：__0_≤__P__(A_)_≤__1__． (2)必然事件的概率P(E)＝_____1____． (3)不可能事件的概率P(F)＝____0_____． (4)互斥事件概率的加法公式 ①如果事件A与事件B互斥，则P(A＋B)＝__P_(A__)＋__P__(B_)_． ②若事件B与事件A互为对立事件，则P(A)＝__1_－__P_(B__) _．
满意情况 人数
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
不满意 200
比较满意 n
满意 2 100
非常满意 1 000
根据表中数据，估计在网上购物的消费者群体中对网上购物“比较满意”
或“满意”的概率是( C )
A．175
B．25
C．1151
D．1135
解析：由题意，n＝4 500－200－2 100－1 000＝1 200，所以对网上购物
2．事件的关系与运算
定义
符号表示
包含关系
如果事件 A 发生，则事件 B 一定发生，这 时称事件 B ___包__含____事件 A(或称事件 A 包 含于事件 B)
高考一轮复习第9章计数原理概率随机变量及其分布第4讲随机事件的概率
第四讲 随机事件的概率知识梳理·双基自测 知识梳理知识点一 随机事件和确定事件(1)在条件S 下，__必然要发生__的事件，叫做相对于条件S 的必然事件，简称必然事件． (2)在条件S 下，__不可能发生__的事件，叫做相对于条件S 的不可能事件，简称不可能事件． (3)必然事件和不可能事件统称为相对于条件S 的确定事件，简称确定事件．(4)在条件S 下，__可能发生也可能不发生__的事件，叫做相对于条件S 的随机事件，简称随机事件． 知识点二 概率与频率(1)概率与频率的概念：在相同的条件S 下重复n 次试验，观察某一事件A 是否出现，称n 次试验中事件A 出现的次数n A 为事件A 出现的__频数__，称事件A 出现的比例f n (A)＝n An为事件A 出现的__频率__．(2)概率与频率的关系：对于给定的随机事件A ，由于事件A 发生的频率f n (A)随着试验次数的增加稳定于概率P(A)，因此可以用__频率f n (A)__来估计概率P(A)．知识点三 互斥事件与对立事件 事件的关系与运算 定义符号表示 包含 关系 若事件A__发生__，则事件B__一定发生__，这时称事件B 包含事件A(或称事件A 包含于事件B) __B ⊇A__ __(或A ⊆B)__ 相等 关系 若B ⊇A ，且__A ⊇B__，则称事件A 与事件B 相等 __A ＝B__ 并事件 (和事件) 若某事件发生__当且仅当事件A 发生或事件B 发生__，则称此事件为事件A 与事件B 的并事件(或和事件) __A ∪B__ __(或A ＋B)__ 交事件 (积事件) 若某事件发生__当且仅当事件A 发生且事件B 发生__，则称此事件为事件A 与事件B 的交事件(或积事件) __A∩B __ __(或AB)__ 互斥 事件 若A∩B 为__不可能__事件，则称事件A 与事件B 互斥 __A∩B＝∅__ 对立 事件 若A∩B 为__不可能__事件，A ∪B 为__必然事件__，则称事件A 与事件B 互为对立事件__A∩B＝∅，__ __且A ∪B ＝Ω__重要结论概率的几个基本性质(1)概率的取值范围：__0≤P(A)≤1__． (2)必然事件的概率：P(A)＝__1__． (3)不可能事件的概率：P(A)＝__0__．(4)概率的加法公式：若事件A 与事件B 互斥，则P(A ∪B)＝__P(A)＋P(B)__．(5)对立事件的概率：若事件A 与事件B 互为对立事件，则A ∪B 为必然事件．P(A ∪B)＝__1__，P(A)＝__1－P(B)__．双基自测题组一 走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)事件发生的频率与概率是相同的．( × ) (2)在大量重复试验中，概率是频率的稳定值．( √ ) (3)两个事件的和事件是指两个事件都得发生．( × )(4)掷一枚硬币两次，出现“两个正面”“一正一反”“两个反面”，这三个结果是等可能的．( × )(5)对立事件肯定是互斥事件、互斥事件不一定是对立事件．( √ ) 题组二 走进教材2．(P 121T4)一个人打靶时连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的对立事件是( D ) A ．至多有一次中靶 B ．两次都中靶 C ．只有一次中靶D ．两次都不中靶[解析] “至少有一次中靶”的对立事件是“两次都不中靶”．故选D ． 3．(P 133T4)同时掷两个骰子，向上点数不相同的概率为__56__．[解析] 掷两个骰子一次，向上的点数共6×6＝36(种)可能的结果，其中点数相同的结果共有6种，所以点数不相同的概率P ＝1－636＝56．题组三 走向高考4．(2018·课标全国卷Ⅲ)若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为( B )A ．0.3B ．0.4C ．0.6D ．0.7[解析] 设事件A 为“不用现金支付”，事件B 为“既用现金支付也用非现金支付”，事件C 为“只用现金支付”，则P(A)＝1－P(B)－P(C)＝1－0.15－0.45＝0.4故选B ．5．(2020·新课标Ⅰ)设O 为正方形ABCD 的中心，在O ，A ，B ，C ，D 中任取3点，则取到的3点共线的概率为( A )A ．15B ．25C ．12D ．45[解析] O ，A ，B ，C ，D 中任取3点，共有 C 35＝10种，即OAB ，OAC ，OAD ，OBC ，OBD ，OCD ，ABC ，ABD ，ACD ，BCD 十种， 其中共线为A ，O ，C 和B ，O ，D 两种， 故取到的3点共线的概率为P ＝210＝15，故选A ．考点突破·互动探究考点一 随机事件的关系——自主练透例1 (1)(2020·辽宁六校协作体期中)从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是( C )A ．“至少有1个白球”和“都是红球”B ．“至少有2个白球”和“至多有1个红球”C ．“恰有1个白球”和“恰有2个白球”D ．“至多有1个白球”和“都是红球”(2)(2021·中山模拟)从1,2,3,4,5这5个数中任取两个数，其中： ①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数； ②至少有一个是奇数和两个都是奇数； ③至少有一个是奇数和两个都是偶数； ④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数． 上述事件中，是对立事件的是( C ) A ．① B ．②④ C ．③D ．①③(3)设条件甲：“事件A 与事件B 是对立事件”，结论乙：“概率满足P(A)＋P(B)＝1”，则甲是乙的( A )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[解析] (1)对于选项A ，“至少有1个白球”和“都是红球”是对立事件，不符合题意；对于选项B ，“至少有2个白球”表示取出2个球都是白色的，而“至多有1个红球”表示取出的球1个红球1个白球，或者2个都是白球，二者不是互斥事件，不符合题意；对于选项C ，“恰有1个白球”表示取出2个球1个红球1个白球，与“恰有2个白球”是互斥而不对立的两个事件，符合题意；对于选项D ，“至多有1个白球”表示取出的2个球1个红球1个白球，或者2个都是红球，与“都是红球”不是互斥事件，不符合题意．故选C ．(2)从1,2,3,4,5这5个数中任取两个数有3种情况：一奇一偶，2个奇数，2个偶数．其中“至少有一个是奇数”包含一奇一偶或2个奇数这两种情况，它与两个都是偶数是对立事件．又①中的事件可以同时发生，不是对立事件，故选C ．(3)若事件A 与事件B 是对立事件，则A ∪B 为必然事件，再由概率的加法公式得P(A)＋P(B)＝1；投掷一枚硬币3次，满足P(A)＋P(B)＝1，但A ，B 不一定是对立事件，如：事件A ：“至少出现一次正面”，事件B ：“出现3次正面”，则P(A)＝78，P(B)＝18，满足P(A)＋P(B)＝1，但A ，B 不是对立事件，故甲是乙的充分不必要条件．名师点拨(1)准确把握互斥事件与对立事件的概念：①互斥事件是不可能同时发生的事件，但也可以同时不发生；②对立事件是特殊的互斥事件，特殊在对立的两个事件不可能都不发生，既有且仅有一个发生．(2)判别互斥事件、对立事件一般用定义判断，不可能同时发生的两个事件为互斥事件；两个事件，若有且仅有一个发生，则这两个事件为对立事件，对立事件一定是互斥事件．〔变式训练1〕(2021·宁夏检测)抽查10件产品，设事件A 为“至少有2件次品”，则事件A 的对立事件为( B ) A ．至多有2件次品 B ．至多有1件次品 C ．至多有2件正品D ．至少有2件正品[解析] ∵“至少有n 个”的反面是“至多有n －1个”，又∵事件A“至少有2件次品”，∴事件A 的对立事件为“至多有1件次品”．考点二 随机事件的概率——多维探究 角度1 频率与概率例2 (2018·北京高考)电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表： 电影类型 第一类 第二类 第三类 第四类 第五类 第六类 电影部数 140 50 300 200 800 510 好评率0.40.20.150.250.20.1(1)从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率； (2)随机选取1部电影，估计这部电影没有获得好评的概率；(3)电影公司为增加投资回报，拟改变投资策略，这将导致不同类型电影的好评率发生变化．假设表格中只有两类电影的好评率数据发生变化．那么哪类电影的好评率增加0.1，哪类电影的好评率减少0.1，使得获得好评的电影总部数与样本中的电影总部数的比值达到最大？(只需写出结论)[解析] (1)由题意知，样本中电影的总部数是140＋50＋300＋200＋800＋510＝2 000， 第四类电影中获得好评的电影部数是200×0.25＝50． 故所求概率为502 000＝0.025．(2)由题意知，样本中获得好评的电影部数是140×0.4＋50×0.2＋300×0.15＋200×0.25＋800×0.2＋510×0.1 ＝56＋10＋45＋50＋160＋51 ＝372．故所求概率估计为1－3722 000＝0.814．(3)增加第五类电影的好评率，减少第二类电影的好评率． 角度2 统计与概率例3 (2021·云南名校适应性月考)下边茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中有一个数字被污损，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率是( A )甲 乙 9 8 8 3 3 7 2 1 09● 9A ．45B ．25C ．910D ．710[解析] 记其中被污损的数字为x ，由题知甲的5次综合测评的平均成绩是15×(80×2＋90×3＋8＋9＋2＋1＋0)＝90，乙的5次综合测评的平均成绩是15×(80×3＋90×2＋3＋3＋7＋x ＋9)＝442＋x 5， 令90＞442＋x 5，解得x ＜8，即x 的取值可以是0～7，因此甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率是810＝45．故选A ．名师点拨概率和频率的关系概率可看成频率在理论上的稳定值，它从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小，它是频率的科学抽象，当试验次数越来越多时频率向概率靠近，只要次数足够多，所得频率就近似地当作随机事件的概率．〔变式训练2〕(1)(2021·黑龙江大庆质检)某公司欲派甲、乙、丙3人到A ，B 两个城市出差，每人只去1个城市，且每个城市必须有人去，则A 城市恰好只有甲去的概率为( B )A ．15B ．16C ．13D ．14(2)(2021·吉林模拟)某超市随机选取1 000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“√”表示购买，“×”表示未购买．②估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率；③如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大？[解析] (1)总的派法有：(甲、乙A)，(丙B)；(甲、乙B)，(丙A)；(甲、丙A)，(乙B)；(甲、丙B)，(乙A)；(乙、丙A)，(甲B)；(乙、丙B)，(甲A)，共6种(或C 23A 22＝6(种))，A 城市恰好只有甲去有一种，故所求概率P ＝16．(2)①从统计表可以看出，在这1 000位顾客中有200位顾客同时购买了乙和丙，所以顾客同时购买乙和丙的概率可以估计为2001 000＝0.2．②从统计表可以看出，在这1 000位顾客中有100位顾客同时购买了甲、丙、丁，另有200位顾客同时购买了甲、乙、丙，其他顾客最多购买了2种商品，所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率可以估计为100＋2001 000＝0.3．③与①同理．可得：顾客同时购买甲和乙的概率可以估计为2001 000＝0.2，顾客同时购买甲和丙的概率可以估计为100＋200＋3001 000＝0.6，顾客同时购买甲和丁的概率可以估计为1001 000＝0.1．所以，如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买丙的可能性最大． 考点三 互斥事件、对立事件的概率——师生共研例4 (1)某商场有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得．1 000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个．设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A 、B 、C ．求：①P(A)，P(B)，P(C)； ②1张奖券的中奖概率；③1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率．(2)(2021·河南新乡模拟)从5个同类产品(其中3个正品，2个次品)中，任意抽取2个，下列事件发生概率为910的是( C )A ．2个都是正品B ．恰有1个是正品C ．至少有1个正品D ．至多有1个正品[解析] (1)①P(A)＝11 000，P(B)＝101 000＝1100，P(C)＝501 000＝120．②因为事件A ，B ，C 两两互斥，所以P(A ∪B ∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝11 000＋1100＋120＝611 000．故1张奖券的中奖概率为611 000．③P(A ∪B )＝1－P(A ＋B)＝1－⎝⎛⎭⎪⎫11 000＋1100＝9891 000．故1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为9891 000．(2)从5个产品中任取2个的取法有C 25＝10种，其中2个都是正品的取法有C 23＝3种，故2个都是正品的概率P 1＝310；其对立事件是“至多有1个正品”，概率为P 2＝1－P 1＝1－310＝710．恰有1个正品的取法有C 13·C 12＝6种，故恰有1个正品的概率P 3＝610＝35．至少有1个正品的概率P 4＝P 1＋P 3＝310＋610＝910．名师点拨求复杂的互斥事件的概率的两种方法(1)直接求解法，将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和，运用互斥事件的概率求和公式计算．(2)间接求法，先求此事件的对立事件的概率，再用公式P(A)＝1－P(A)，即运用逆向思维(正难则反)．特别是“至多”“至少”型题目，用间接求法就显得较简便．〔变式训练3〕(1)(2020·西安二模)2021年某省新高考将实行“3＋1＋2”模式，即语文、数学、外语必选，物理、历史二选一，政治、地理、化学、生物四选二，共有12种选课模式．某同学已选了物理，记事件A：“他选择政治和地理”，事件B：“他选择化学和地理”，则事件A与事件B( A )A．是互斥事件，不是对立事件B．是对立事件，不是互斥事件C．既是互斥事件，也是对立事件D．既不是互斥事件也不是对立事件(2)根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3．则该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的一种的概率为__0.8__；该地1位车主甲、乙两种保险都不购买的概率为__0.2__．[解析](1)2021年某省新高考将实行“3 ＋1＋2”模式，即语文、数学、外语必选，物理、历史二选一，政治、地理、化学、生物四选二，共有12种选课模式．某同学已选了物理，记事件A：“他选择政治和地理”，事件B：“他选择化学和地理”，则事件A与事件B不能同时发生，但能同时不发生，故事件A和B是互斥事件，但不是对立事件，故A正确．故选A．(2)记A表示事件：该车主购买甲种保险；B表示事件：该车主购买乙种保险但不购买甲种保险；C表示事件：该车主至少购买甲、乙两种保险中的一种；D表示事件：该车主甲、乙两种保险都不购买．①由题意得P(A)＝0.5，P(B)＝0.3，又C＝A∪B，所以P(C)＝P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.5＋0.3＝0.8．②因为D与C是对立事件，所以P(D)＝1－P(C)＝1－0.8＝0.2．名师讲坛·素养提升用正难则反的思想求对立事件的概率例5 (1)(2020·浙江湖州期末，改编)现有5个不同编号的小球，其中黑色球2个，白色球2个，红色球1个，若将其随机排成一列，则相同颜色的球都不相邻的概率是__45__．(2)(2021·洛阳模拟)经统计，在某储蓄所一个营业窗口等候的人数及相应的概率如下：排队人数0 1 2 3 4 5人及5人以上概率0.1 0.16 0.3 0.3 0.1 0.04求：(1)至多2人排队等候的概率是多少？(2)至少3人排队等候的概率是多少？[解析](1)“相同颜色的球不都相邻”的对立事件为“相同颜色的球都相邻”，记为事件A．因5个不同编号的小球排列有A55＝120种排法，“相同颜色的球都相邻”的排法有A22A22A33＝24种排法，∴所求概率P＝|－P(A)|＝1－24120＝45．(2)记“无人排队等候”为事件A，“1人排队等候”为事件B，“2人排队等候”为事件C，“3人排队等候”为事件D，“4人排队等候”为事件E，“5人及5人以上排队等候”为事件F，则事件A，B，C，D，E，F互斥．①记“至多2人排队等候”为事件G，则G＝A∪B∪C，所以P(G)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56．②解法一：记“至少3人排队等候”为事件H，则H＝D∪E∪F，所以P(H)＝P(D∪E∪F)＝P(D)＋P(E)＋P(F)＝0.3＋0.1＋0.04＝0.44．解法二：记“至少3人排队等候”为事件H，则其对立事件为事件G，所以P(H)＝1－P(G)＝0.44．名师点拨“正难则反”的思想是一种常见的数学思想，如反证法、补集的思想都是“正难则反”思想的体现．在解决问题时，如果从问题的正面入手比较复杂或不易解决，那么尝试采用“正难则反”思想往往会起到事半功倍的效果，大大降低题目的难度．在求对立事件的概率时，经常应用“正难则反”的思想，即若事件A与事件B互为对立事件，在求P(A)或P(B)时，利用公式P(A)＝1－P(B)先求容易的一个，再求另一个．〔变式训练4〕某超市为了了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示．一次购物量1至4件5至8件9至12件13至16件17件及以上顾客数(人) x 30 25 y 10结算时间(分钟/人)1 1.52 2.5 3(1)确定x，y的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；(2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率．(将频率视为概率)[解析](1)由已知得25＋y＋10＝55，x＋30＝45，所以x＝15，y＝ 20．该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为100的简单随机样本，顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计，其估计值为1×15＋1.5×30＋2×25＋2.5×20＋3×10100＝1.9(分钟)．(2)记A为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟”，A1，A2分别表示事件“该顾客一次购物的结算时间为2.5分钟”，“该顾客一次购物的结算时间为3分钟”，将频率视为概率得P(A1)＝20100＝1 5，P(A2)＝10100＝110．P(A)＝1－P(A1)－P(A2)＝1－15－110＝710．故一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率为710．。
2024届高考数学一轮总复习第九章计数原理概率随机变量及其分布第四讲随机事件与概率课件
行随机事件的并、交运算 件的有关概念和频率很少直接考查
1.频率与概率
(1)在相同的条件 S 下重复 n 次试验，观察某一事件 A 是否出 现，称 n 次试验中事件 A 出现的次数 nA 为事件 A 出现的频数，称 事件 A 出现的比例 fn(A)＝nnA为事件 A 出现的频率.
(2)对于给定的随机事件 A，由于事件 A 发生的频率 fn(A)随着 试验次数的增加会逐渐稳定于概率 P(A)，因此可以用频率 fn(A)来 估计概率 P(A).
最高气温 [10，15) [15，20) [20，25) [25，30) [30，35) [35，40]
天数
2
16
36
25
7
4
以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的
概率.
(1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过 300 瓶的概率； (2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为 Y(单位：元)，当六月
0.6.
(2)当这种酸奶一天的进货量为 450 瓶时， 若最高气温低于 20 ℃，则 Y＝200×6＋(450－200)×2－450× 4＝－100； 若最高气温位于区间[20，25)，则 Y＝300×6＋(450－300)× 2－450×4＝300； 若最高气温不低于 25 ℃， 则 Y＝450×(6－4)＝900，
份这种酸奶一天的进货量为 450 瓶时，写出 Y 的所有可能值，并
估计 Y 大于零的概率.
解：(1)这种酸奶一天的需求量不超过 300 瓶，当且仅当最高 气温低于 25 ℃，由表中数据可知，最高气温低于 25 ℃的频率为
2＋1960＋36＝0.6. 所以这种酸奶一天的需求量不超过 300 瓶的概率的估计值为
比值.
近年届高考数学一轮复习第九章概率、统计与算法第2讲随机事件的概率、古典概型与几何概型演练直击高考文
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第2讲随机事件的概率、古典概型与几何概型1．先后抛掷硬币三次，则至少一次正面朝上的概率是________．解析:至少一次正面朝上的对立事件的概率为错误!，故P＝1－错误!＝错误!。
答案:782. 如图，在一不规则区域内，有一边长为1米的正方形,向区域内随机地撒1 000 颗黄豆，数得落在正方形区域内（含边界)的黄豆数为375颗，以此实验数据为依据，可以估计出该不规则图形的面积为________平方米．解析:设该不规则图形的面积为x平方米,向区域内随机地撒1 000颗黄豆，数得落在正方形区域内(含边界）的黄豆数为375,所以根据几何概型的概率计算公式可知错误!＝错误!，解得x＝错误!.答案:错误!3．已知函数f（x）＝x2－x－2，x∈［－5，5］，若从区间[－5，5]内随机抽取一个实数x,则所取的x0满足f(x0)≤0的概率为________．解析：令x2－x－2≤0，解得－1≤x≤2,由几何概型的概率计算公式得P＝错误!＝错误!＝0。
3。
答案：0。
34．从2,3，8,9中任取两个不同的数字，分别记为a,b，则log a b为整数的概率是__________．解析：从2,3，8，9中任取两个不同的数字，(a，b）的所有可能结果有（2，3)，(2,8），(2，9）,（3，2)，（3，8),（3,9)，(8，2),(8，3），（8，9)，(9，2），(9，3），(9,8）,共12种,其中log28＝3，log39＝2为整数，所以log a b为整数的概率为错误!.答案:错误!5．围棋盒子中有多粒黑子和白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率为17，都是白子的概率是错误!，则从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是________．解析：设“从中取出2粒都是黑子"为事件A，“从中取出2粒都是白子”为事件B,“任意取出2粒恰好是同一色”为事件C,则C＝A＋B,且事件A与B互斥．所以P（C）＝P（A)＋P（B）＝错误!＋错误!＝错误!。
[精品课件]2019届高考数学一轮复习 第九章 统计、统计案例 第4讲 随机事件的概率课件 文 新人教版
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(3)由所给数据得 保费 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a 频率 0.30 0.25 0.15 0.15 0.10 0.05
调查的 200 名续保人的平均保费为 0.85a×0.30＋a×0.25＋ 1.25a×0.15＋1.5a×0.15＋1.75a×0.10＋2a×0.05＝1.192 5a.
名称
条件
结论
符号表示
包含关系 A 发生⇒B 发生
事件 B 包含 A(或称事件 A 事件 B)
事件 B⊇A(或 A⊆
包含于
B)
相等关系 若 B⊇A 且 A⊇B 事件 A 与事件 B 相等 A＝B
并(和)事 A 发生或 B 发生
件
事件 A 与事件 B 的并事 A∪B
件(或和事件)
(或 A＋B)
交(积)事 A 发生且 B 发生
[解析] ①错，不一定是 10 件次品；②错，37是频率而非概率； ③错，频率不等于概率，这是两个不同的概念．
[答案] 0
题型一 随机事件的关系(基础拿分题、自主练透)
例 1 (1)从 1,2,3，…，7 这 7 个数中任取两个数，其中：
①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数；
②至少有一个是奇数和两个都是奇数；
③至少有一个是奇数和两个都是偶数；
④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数．
上述事件中，是对立事件的是( )
A．①
B．②④
C．③
D．①③
(2)设条件甲：“事件 A 与事件 B 是对立事件”，结论乙：“概 率满足 P(A)＋P(B)＝1”，则甲是乙的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
(2)称相邻的两个日期为“互邻日期对”(如 1 日与 2 日，2 日与 3 日等)这样，在 4 月份中，前一天为晴天的互邻日期对有 16 个，其中 后一天不下雨的有 14 个，所以晴天的次日不下雨的频率为78，以频率 估计概率，运动会期间不下雨的概率为78.
近年届高考数学一轮复习第九章统计、统计案例课堂达标52随机事件的概率文新人教版(2021年整理)
2019届高考数学一轮复习第九章统计、统计案例课堂达标52 随机事件的概率文新人教版编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2019届高考数学一轮复习第九章统计、统计案例课堂达标52 随机事件的概率文新人教版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
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课堂达标（五十二）随机事件的概率［A基础巩固练]1．若在同等条件下进行n次重复试验得到某个事件A发生的频率f（n),则随着n的逐渐增加，有（)A．f(n）与某个常数相等B．f（n)与某个常数的差逐渐减小C．f（n）与某个常数差的绝对值逐渐减小D．f(n）在某个常数附近摆动并趋于稳定［解析］随着n的增大，频率f（n)会在概率附近摆动并趋于稳定,这也是频率与概率的关系．[答案］D2．掷一个骰子的试验，事件A表示“小于5的偶数点出现”，事件B表示“小于5的点数出现”,则这次试验中，事件A∪错误!发生的概率为（）A.错误!B.错误!C.错误!D.错误![解析］由于事件总数为6，故P（A)＝错误!＝错误!。
P(B）＝错误!＝错误!，从而P（B)＝1－P(B）＝1－错误!＝错误!，且A与错误!互斥，故P（A＋错误!）＝P(A)＋P(错误!)＝错误!＋错误!＝错误!。
故选C.［答案]C3．从装有红球和绿球的口袋内任取2球(已知口袋中的红球、绿球数都大于2），那么互斥而不对立的两个事件是（)A．至少有一个是红球，至少有一个是绿球B．恰有一个红球，恰有两个绿球C．至少有一个红球，都是红球D．至少有一个红球，都是绿球［解析]选项A、C中两事件可以同时发生，故不是互斥事件；选项B 中两事件不可能同时发生，因此是互斥的，但两事件不对立；选项D中的两事件是对立事件．[答案］B4．下列四个命题：①对立事件一定是互斥事件；②若A，B为两个事件,则P（A∪B)＝P(A）＋P(B）；③若事件A，B，C两两互斥，则P(A）＋P(B）＋P（C)＝1；④若事件A,B满足P（A）＋P(B）＝1，则A,B是对立事件．其中错误命题的个数是（）A．0 B．1C．2 D．3[解析］①正确；②公式成立的条件是A，B互斥，故错误;③A∪B∪C 不一定为全部事件，故错误；④A，B不一定为互斥事件，故错误．[答案]D5．（2018·襄阳模拟）有一个游戏,其规则是甲、乙、丙、丁四个人从同一地点随机地向东、南、西、北四个方向前进，每人一个方向．事件“甲向南”与事件“乙向南"是( )A．互斥但非对立事件B．对立事件C．相互独立事件D．以上都不对[解析]由于每人一个方向,故“甲向南”意味着“乙向南”是不可能的，故是互斥事件，但不是对立事件,故选A.[答案］A6．从3个红球、2个白球中随机取出2个球,则取出的2个球不全是红球的概率是（）A。
2024年高考数学一轮复习(新高考版)《统计与统计分析》课件ppt
i＝1
7
xiyi－7
i＝1
所以b^ ＝
7
x
·y
＝452－7×42×8 70＋7m＋n，
x2i －7 x 2
i＝1
123456
^
即 m＋n＝43－7b，
①
因为经验回归直线恒过点( x ， y )，
所以70＋7m＋n＝4b^ ＋4，
^
即 m＋n＝28b－42，
②
由①②，得b^ ＝177，m＋n＝26，
123456
参考公式：对于一组数据(u1，v1)，(u2，v2)，…，(un，vn)，其经验回归
^^
^
^
方程v＝βu＋α的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为β＝
n
n
ui－ u vi－ v uivi－n u ·v
i＝1
n
u
i－
u
2
i＝1
i＝1
^
^
＝
，α＝ v －β u .
n
u2i －n u 2
月劳动时间(单位：小时)，并建立了人均月劳动时间y关于月份x的经验回
^^
归方程 y＝bx＋4，y与x的原始数据如表所示：
月份x
123 4 5 6 7
人均月劳动时间y 8 9 m 12 n 19 22
7
由于某些原因导致部分数据丢失，但已知 xiyi＝452.
i＝1
123456
(1)求m，n的值；
n
xiyi－n x ·y
x2i －8 x 2
i＝1
^
^
d＝ t －c x ＝2.1－0.4×4.5＝0.3，
^
所以t＝0.4x＋0.3，
^
即y＝e0.4x＋0.3.
届高考数学一轮复习讲义课件：随机事件的概率与古典概型(共59张PPT)精选全文
第一节 随机事件的概率与古典概型 第一节 随机事件的概率与古典概型 第一节 随机事件的概率与古典概型 第一节 随机事件的概率与古典概型 第一节 随机事件的概率与古典概型 第一节 随机事件的概率与古典概型 第一节 随机事件的概率与古典概型 第一节 随机事件的概率与古典概型 第一节 随机事件的概率与古典概型 第一节 随机事件的概率与古典概型 第一节 随机事件的概率与古典概型 第一节 随机事件的概率与古典概型 第一节 随机事件的概率与古典概型 第一节 随机事件的概率与古典概型
变式迁移 1 指出下列两个随机事件中的一次试验是什么？一共进行了几 次试验？ (1)同一枚质地均匀的硬币抛 10 次，有 10 次正面朝上； (2)姚明在本赛季共罚球 87 次，有 69 次投球命中．
解析 (1)抛一次硬币就是一次试验，一共进行了 10 次试验． (2)罚一次球就是一次试验，一共进行了 87 次试验.
典例对对碰
题型一 对随机实验的理解 例 1.下列随机事件中，一次试验是指什么？它们各有几次试验？ (1)一天中，从北京开往沈阳的 7 列列车，全部正点到达； (2)抛 10 次质地均匀的硬币，硬币落地时 5 次正面向上． 分析 关键看这两个事件的条件是什么．
解析 (1)一列列车开出，就是一次试验，共有 7 次试验．(2)抛
4．事件与集合的关系 (1)包含事件． 如果事件 A 发生，则事件 B 一定发生，这时我们就说事件 B 包含事件 A，记作 B⊇A(A⊆B)． ①与集合比，B 包含 A，可用图所示．
②不可能事件记作∅，显然 C⊇∅(C 为任一事件)． ③事件 A 也包含于事件 A，即 A⊆A. 例如：在投掷骰子的试验中，{出现 1 点}⊆{出现的点数为奇数}．
高考数学一轮复习第九章概率统计与统计案例第四节概率与统计的综合问题课件文北师大版
根据前五个年级的数据，利用最小二乘法求出 y 关于 x 的线性回归方程，并根据方程
预测六年级学生的近视率．
n
－－
∑xiyi－nxy
附：回归直线 y＝bx＋a 的斜率和截距的最小二乘法，估计公式分别为 b＝i＝n1
最近青少年的视力健康问题引起习主席的高度重视，某地区为了解当地 24 所小学， 24 所初中和 12 所高中的学生的视力状况，准备采用分层抽样的方法从这些学校中随 机抽取 5 所学校对学生进行视力调查． (1)若从所抽取的 5 所学校中再随机抽取 3 所学校进行问卷调查，求抽到的这 3 所学 校中，小学、初中、高中分别有一所的概率； (2)若某小学被抽中，调查得到了该小学前五个年级近视率 y 的数据如下表：
(1)求甲在比赛中得分的均值和方差； (2)从甲比赛得分在 20 分以下的 6 场比赛中随机抽取 2 场进行失误分析，求抽到 2 场 都不超过均值的概率．
解析：(1)甲在比赛中得分的均值x－＝18×(7＋8＋10＋15＋17＋19＋21＋23)＝15，方差 s2＝18×[(－8)2＋(－7)2＋(－5)2＋02＋22＋42＋62＋82]＝32.25. (2)甲得分在 20 分以下的 6 场比赛分别为：7，8，10，15，17，19. 从中随机抽取 2 场，这 2 场比赛的得分如下： (7，8)，(7，10)，(7，15)，(7，17)，(7，19)，(8，10)，(8，15)，(8，17)，(8，19)， (10，15)，(10，17)，(10，19)，(15，17)，(15，19)，(17，19)，共 15 种， 其中抽到 2 场都不超过均值的情形是： (7，8)，(7，10)，(7，15)，(8，10)，(8，15)，(10，15)，共 6 种，所以所求概率 P ＝165＝25.
2020版高考数学一轮复习-第4讲随机事件的概率教案(理)(含解析)新人教A版
第4讲随机事件的概率基础知识整合1．概率(1)在相同条件下，大量重复进行同一试验时，随机事件A发生的频率会在某个常数附近摆动，即随机事件A发生的频率具有□01稳定性．我们把这个常数叫做随机事件A的□02概率，03P(A)．记作□04概率是一个确定(2)频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，但频率是随机的，而□的值，因此，人们用□05概率来反映随机事件发生的可能性的大小，有时也用□06频率作为随机事件概率的估计值．(3)概率的几个基本性质①概率的取值范围：□070≤P(A)≤1.②必然事件的概率：P(A)＝□081.③不可能事件的概率：P(A)＝□090.④概率的加法公式如果事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝□10P(A)＋P(B)．⑤对立事件的概率若事件A与事件B互为对立事件，则A∪B为必然事件．P(A∪B)＝□111，P(A)＝□121－P(B)．2．事件的关系与运算1．从集合的角度理解互斥事件和对立事件(1)几个事件彼此互斥，是指由各个事件所含的结果组成的集合的交集为空集．(2)事件A的对立事件A所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集．2．概率加法公式的推广当一个事件包含多个结果且各个结果彼此互斥时，要用到概率加法公式的推广，即P(A1∪A2∪…∪A n)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(A n)．1．有一个游戏，其规则是甲、乙、丙、丁四个人从同一地点随机地向东、南、西、北四个方向前进，每人一个方向．事件“甲向南”与事件“乙向南”是( ) A．互斥事件但非对立事件B．对立事件但非互斥事件C．互斥事件也是对立事件D ．以上都不对答案 A解析 由于每人一个方向，故“甲向南”意味着“乙向南”是不可能的，故是互斥事件，但不是对立事件．故选A.2．(2019·宁夏检测)抽查10件产品，设事件A 为“至少有2件次品”，则事件A 的对立事件为( )A ．至多有2件次品B ．至多有1件次品C ．至多有2件正品D ．至少有2件正品答案 B解析 ∵“至少有n 个”的反面是“至多有n －1个”，又∵事件A “至少有2件次品”，∴事件A 的对立事件为“至多有1件次品”．3．某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛，事件“至少有一名女生”与事件“全是男生”( )A ．是互斥事件，不是对立事件B ．是对立事件，不是互斥事件C ．既是互斥事件，也是对立事件D ．既不是互斥事件，也不是对立事件答案 C4．某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品，在正常生产情况下，出现乙级品和丙级品的概率分别是0.05和0.03，则抽检一件是正品(甲级品)的概率为( )A ．0.95B ．0.97C ．0.92D ．0.08答案 C解析 记抽检的产品是甲级品为事件A ，是乙级品为事件B ，是丙级品为事件C ，这三个事件彼此互斥，因此所求概率为P (A )＝1－P (B )－P (C )＝1－0.05－0.03＝0.92.5．一个地区从某年起几年之内的新生婴儿数及其中的男婴数如下：这一地区男婴出生的概率约是________(保留四位小数)．答案 0.5173解析 男婴出生的频率依次约是：0.5200,0.5173,0.5173,0.5173.由于这些频率非常接近0.5173，因此这一地区男婴出生的概率约为0.5173.6．在一次班级聚会上，某班到会的女同学比男同学多6人，从这些同学中随机挑选一人表演节目．若选到女同学的概率为23，则这班参加聚会的同学的人数为________． 答案 18解析 设女同学有x 人，则该班到会的共有(2x －6)人，所以x 2x －6＝23，得x ＝12，故该班参加聚会的同学有18人．核心考向突破考向一 事件的概念例1 从6件正品与3件次品中任取3件，观察正品件数与次品件数，判断下列每对事件是不是互斥事件；如果是，再判断它们是不是对立事件．(1)“恰好有1件次品”和“恰好有2件次品”；(2)“至少有1件次品”和“全是次品”；(3)“至少有2件次品”和“至多有1件次品”．解 从6件正品与3件次品中任取3件，共有4种情况：①3件全是正品；②2件正品1件次品；③1件正品2件次品；④全是次品．(1)“恰好有1件次品”即“2件正品1件次品”；“恰好有2件次品”即“1件正品2件次品”，它们是互斥事件但不是对立事件．(2)“至少有1件次品”包括“2件正品1件次品”“1件正品2件次品”“全是次品”3种情况，它与“全是次品”既不是互斥事件也不是对立事件．(3)“至少有2件次品”包括”1件正品2件次品”“全是次品”2种情况；“至多有1件次品”包括“2件正品1件次品”“全是正品”2种情况，它们既是互斥事件也是对立事件．触类旁通事件间关系的判断方法对互斥事件要把握住不能同时发生，而对于对立事件除不能同时发生外，其并事件应为必然事件，这些也可类比集合进行理解，具体应用时，可把所有试验结果写出来，看所求事件包含哪几个试验结果，从而断定所给事件的关系．即时训练 1.(2019·湖北十市联考)从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是( )A ．“至少有一个黑球”与“都是黑球”B ．“至少有一个黑球”与“都是红球”C ．“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”D ．“恰有一个黑球”与“恰有两个黑球”答案 D解析 A 中的两个事件是包含关系，不是互斥事件；B 中的两个事件是对立事件；C 中的两个事件都包含“一个黑球一个红球”的事件，不是互斥关系；D 中的两个事件是互斥而不对立的关系．考向二 随机事件的概率与频率例2 (2018·北京高考)电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值．(1)从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；(2)随机选取1部电影，估计这部电影没有获得好评的概率；(3)电影公司为增加投资回报，拟改变投资策略，这将导致不同类型电影的好评率发生变化．假设表格中只有两类电影的好评率数据发生变化，那么哪类电影的好评率增加0.1，哪类电影的好评率减少0.1，使得获得好评的电影总部数与样本中的电影总部数的比值达到最大？(只需写出结论)解 (1)由题意知，样本中电影的总部数是140＋50＋300＋200＋800＋510＝2000. 第四类电影中获得好评的电影部数是200×0.25＝50， 故所求概率为502000＝0.025. (2)设“随机选取1部电影，这部电影没有获得好评”为事件B .没有获得好评的电影共有140×0.6＋50×0.8＋300×0.85＋200×0.75＋800×0.8＋510×0.9＝1628(部)．由古典概型概率公式得P (B )＝16282000＝0.814. (3)增加第五类电影的好评率，减少第二类电影的好评率．触类旁通概率和频率的关系概率可看成频率在理论上的稳定值，它从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小，它是频率的科学抽象，当试验次数越来越多时频率向概率靠近，只要次数足够多，所得频率就近似地当作随机事件的概率．即时训练 2.(2017·全国卷Ⅲ)某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20,25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率．(1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y (单位：元)．当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y 的所有可能值，并估计Y 大于零的概率．解 (1)这种酸奶一天的需求量不超过300瓶，当且仅当最高气温低于25，由表格数据知，最高气温低于25的频率为2＋16＋3690＝0.6，所以这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率的估计值为0.6.(2)当这种酸奶一天的进货量为450瓶时，若最高气温不低于25，则Y ＝6×450－4×450＝900；若最高气温位于区间[20,25)，则Y ＝6×300＋2(450－300)－4×450＝300；若最高气温低于20，则Y ＝6×200＋2(450－200)－4×450＝－100，所以，Y 的所有可能值为900,300，－100.Y 大于零当且仅当最高气温不低于20，由表格数据知，最高气温不低于20的频率为36＋25＋7＋490＝0.8，因此Y 大于零的概率的估计值为0.8. 考向三 互斥、对立事件的概率角度1 互斥事件的概率 例3 (2019·唐山模拟)某保险公司利用简单随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下：(1)若每辆车的投保金额均为2800元，估计赔付金额大于投保金额的概率；(2)在样本车辆中，车主是新司机的占10%，在赔付金额为4000元的样本车辆中，车主是新司机的占20%，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为4000元的概率．解 (1)设A 表示事件“赔付金额为3000元”，B 表示事件“赔付金额为4000元”，以频率估计概率，得P (A )＝1501000＝0.15，P (B )＝1201000＝0.12. 由于投保金额为2800元，赔付金额大于投保金额对应的情形是3000元和4000元， 所以其概率为P (A )＋P (B )＝0.15＋0.12＝0.27.(2)设C 表示事件“投保车辆中新司机获赔4000元”．由已知，样本车辆中车主为新司机的有0.1×1000＝100(辆)，而赔付金额为4000元的车辆中，车主为新司机的有0.2×120＝24(辆)，所以样本车辆中新司机车主获赔金额为4000元的频率为24100＝0.24， 由频率估计概率得P (C )＝0.24.角度2 对立事件的概率例4 (2019·扬州模拟)某超市为了了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示．已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%.(1)确定x ，y 的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；(2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率(将频率视为概率)．解 (1)由已知得25＋y ＋10＝55，x ＋30＝45，所以x ＝15，y ＝20.该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为100的简单随机样本，顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计，其估计值为1×15＋1.5×30＋2×25＋2.5×20＋3×10100＝1.9(分钟)． (2)记A 为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟”，A 1，A 2分别表示事件“该顾客一次购物的结算时间为2.5分钟”，“该顾客一次购物的结算时间为3分钟”，将频率视为概率得P (A 1)＝20100＝15，P (A 2)＝10100＝110. P (A )＝1－P (A 1)－P (A 2)＝1－15－110＝710.故一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率为710.触类旁通求复杂的互斥事件的概率的一般方法(1)直接法：将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率求和，运用互斥事件的概率求和公式计算． 2间接法：先求此事件的对立事件的概率，再用公式P A ＝1－P A ，即运用逆向思维，特别是“至少”“至多”型题目，用间接法就显得较简便.即时训练 3.某商场有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得，1000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个．设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A ，B ，C ，求：(1)P (A )，P (B )，P (C )；(2)1张奖券的中奖概率；(3)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率．解 (1)P (A )＝11000，P (B )＝101000＝1100，P (C )＝501000＝120. (2)1张奖券中奖包含中特等奖、一等奖、二等奖．设“1张奖券中奖”这个事件为M ，则M ＝A ∪B ∪C .∵A ，B ，C 两两互斥，∴P (M )＝P (A ∪B ∪C )＝P (A )＋P (B )＋P (C )＝11000＋1100＋120＝611000. 故1张奖券的中奖概率为611000. (3)设“1张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件N ，则事件N 与“1张奖券中特等奖或中一等奖”为对立事件，P (N )＝1－P (A ∪B )＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫11000＋1100＝9891000. 故1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为9891000.。
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事件 对于条件 S 的不可能事件 随机 在条件 S 下， 可能发生也可能不发生 的事件叫 事件 做相对于条件 S 的随机事件
2．概率与频率
(1)在相同的条件 S 下重复 n 次试验，观察某一事件 A 是否出现，
第九章 统计、统计案例、概率
•第4讲 随机事件的概率
◆高考导航·顺风启程◆
最新考纲
常见题型
1.了解随机事件发生的不确定性和频率 以选择题、填空题为主考
的稳定性，了解概率的意义及频率与概 查互斥事件和对立事件
率的区别．
的概率，难度不大、中、
2.了解两个互斥事件的概率加法公式. 低档题目
[知识梳理] 1．事件的分类
(2)若事件 A 与事件 B 是对立事件，则 A∪B 为必然事件，再由 概率的加法公式得 P(A)＋P(B)＝1.设掷一枚硬币 3 次，事件 A：“至 少出现一次正面”，事件 B：“3 次出现正面”，则 P(A)＝78，P(B) ＝18，满足 P(A)＋P(B)＝1，但 A，B 不是对立事件．
(3)至多有一张移动卡包含“一张移动卡，一张联通卡”、“两 张全是联通卡”两个事件，它是“2 张全是移动卡”的对立事件．
名称
条件
结论
符号表示
包含关系 A 发生⇒B 发生
事件 B 包含 A(或称事件 A 事件 B)
事件 B⊇A(或 A⊆
包含于
B)
相等关系 若 B⊇A 且 A⊇B 事件 A 与事件 B 相等 A＝B
并(和)事 A 发生或 B 发生
件
事件 A 与事件 B 的并事 A∪B
件(或和事件)
(或 A＋B)
交(积)事 A 发生且 B 发生
[知识感悟] 1．易将概率与频率混淆，频率随着试验次数变化而变化，而概 率是一个常数． 2．互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件除要求 这两个事件不同时发生外，还要求二者之一必须有一个发生，因此， 对立事件是互斥事件的特殊情况，而互斥事件未必是对立事件．
[知识自测] 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)事件发生频率与概率是相同的．( ) (2)随机事件和随机试验是一回事．( ) (3)在大量重复试验中，概率是频率的稳定值．( ) (4)两个事件的和事件是指两个事件都得发生．( ) (5) 对 立 事 件 一 定 是 互 斥 事 件 ， 互 斥 事 件 不 一 定 是 对 立 事 件．( ) (6)两互斥事件的概率和为 1.( ) [答案] (1)× (2)× (3)√ (4)× (5)√ (6)×
2．甲：A1，A2 是互斥事件；乙：A1，A2 是对立事件，那么( ) A．甲是乙的充分但不必要条件 B．甲是乙的必要但不充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件 [解析] 两个事件是对立事件，则它们一定互斥， 反之不一定成立． [答案] B
3．给出下列三个命题，其中正确命题有______个． ①有一大批产品，已知次品率为 10%，从中任取 100 件，必有 10 件是次品； ②做 7 次抛硬币的试验，要 3 次出现正面，因此正面出现的概率 是37； ③随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率．
[答案] (1)C (2)A (3)A
方法感悟 判断互斥、对立事件的 2 种方法 (1)定义法 判断互斥事件、对立事件一般用定义判断，不可能同时发生的两 个事件为互斥事件；两个事件，若有且仅有一个发生，则这两事件为 对立事件，对立事件一定是互斥事件．
(3)在 5 张电话卡中，有 3 张移动卡和 2 张联通卡，从中任取 2
张，若事件“2 张全是移动卡”的概率是130，那么概率是170的事件是
() A．至多有一张移动卡
B．恰有一张移动卡
C．都不是移动卡
D．至少有一张移动卡
[解析] (1)③中“至少有一个是奇数”即“两个奇数或一奇一 偶”，而从 1～7 中任取两个数根据取到数的奇偶性可认为共有三个 事件：“两个都是奇数”、“一奇一偶”、“两个都是偶数”，故“至 少有一个是奇数”与“两个都是偶数”是对立事件，易知其余都不是 对立事件．
[解析] ①错，不一定是 10 件次品；②错，37是频率而非概率； ③错，频率不等于概率，这是两个不同的概念．
[答案] 0
题型一 随机事件的关系(基础拿分题、自主练透)
例 1 (1)从 1,2,3，…，7 这 7 个数中任取两个数，其中：
①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数；
②至少有一个是奇数和两个都是奇数；
③至少有一个是奇数和两个都是偶数；
④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数．
上述事件中，是对立事件的是( )
A．①
B．②④
C．③
D．①③
(2)设条件甲：“事件 A 与事件 B 是对立事件”，结论乙：“概 率满足 P(A)＋P(B)＝1”，则甲是乙的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
件
事件 A 与事件 B 的交事 A∩B(或 AB)
件(或积事件)
A∩B 为 不可能
互斥事件
事件 A 与事件 B 互斥 A∩B＝∅
事件
A∩B 为 不可能
事件 A 与事件 B 互为对 A∩B＝∅，
对立事件 事件，A∪B 为必然
立事件
P(A∪B)＝1
事件
4．概率的几个基本性质 (1)概率的取值范围： 0≤P(A)≤1 . (2)必然事件的概率：P(A)＝ 1 . (3)不可能事件的概率：P(A)＝ 0 . (4)概率的加法公式 如果事件 A 与事件 B 互斥，则 P(A∪B)＝ P(A)＋P(B) . (5)对立事件的概率 若事件 A 与事件 B 互为对立事件，则 A∪B 为必然事件． P(A∪B)＝ 1 ，P(A)＝ 1－P(B) .
称 n 次试验中事件 A 出现的次数 nA 为事件 A 出现的频数，称事件 A
出现的比例 fn(A)＝
nA n
为事件 A 出现的频率．
(2)对于给定的随机事件 A，由于事件 A 发生的频率 fn(A)随着试
验次数的增加稳定于概率 P(A)，因此可以用 频率 fn(A) 来估计概
率 P(A)．
3．事件的关系与运算