2018-2019高中数学新同步学案选修4-2江苏专用版：2.4 2.4.1逆矩阵的概念 Word版含答案
高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学选修4-2 2.2.5 投影变换》
二阶矩阵与平面列向量的乘法教学目标：1会用矩阵表示一些实际问题，了解矩阵的相关知识，如行、列、元素、零矩阵的意义和表示2掌握二阶矩阵与平面列向量的乘法规则，理解矩阵对应着向量集合到向量集合的映射知识要点：1矩阵的有关概念在数学中，我们把形如错误!，错误!，错误!这样的数字或字母称做矩阵，一般地，我们用或者a i来表示矩阵，其中i，分别表示元素a i所在的行与列；2矩阵的相等对于两个矩阵A，B，只有当A，B的与分别，并且的元素也分别时，A和B才相等，此时记作A＝B与列矩阵错误!的乘法规则错误!错误!＝错误!与列向量错误!的乘法规则错误!错误!＝错误!5平面向量的变换一般地，对于平面上的任意一个点向量，，按照对应法则T，总能对应惟一的一个平面点向量′，′，则称T 为一个变换，简记为：T：，→′，′或T：错误!→错误!6由二阶矩阵与平面列向量的乘积确定的平面向量的变换一般地，对于平面向量的变换T，如果变换规则为T：错误!→错误!＝错误!，那么根据二阶矩阵与列向量的乘法规则可以改写为T：错误!→错误!＝错误!错误!的矩阵形式，反之亦然a，b，c，d∈R由矩阵M确定的变换T，通常记作T M根据变换的定义，它是平面内点集到其自身的一个映射当α＝错误!表示某个平面图形F上的任意一点时，这些点就组成了图形F，它在T M的作用下，将得到一个新的图形F′——原象集F的象集F′典例分析：类型一用矩阵表示图形例1 用矩阵表示如图2-1-1中的直角△ABC，其中A－4，0，B0，2，C1，0若像例1中那样用矩阵M＝错误!表示平面中的图形，那么该图形有什么几何特征？【解】矩阵M＝错误!表示由点0，0，1，2，3，2，2，0四个点构成的一个平行四边形类型二矩阵相等例2 已知A=342x-⎡⎤⎣⎦, B=12yz-⎡⎤⎣⎦，若A=B,试求,,类型三二阶矩阵与平面列向量的乘法运算例3 1错误!错误!；2错误!错误!；3错误!错误!；4错误!错误!本例中123运算结果所表示的几何意义是什么？【解】1在矩阵错误!作用下，列向量错误!变成错误!，此时点P5，7变成了关于轴对称的点P′5，－7 2在矩阵错误!作用下，列向量错误!保持不变3在矩阵错误!作用下，列向量错误!变成了向量错误!类型四矩阵的变换例4 1已知变换错误!→错误!＝错误!错误!，试将它写成坐标变换的形式；2已知变换错误!→错误!＝错误!，试将它写成矩阵的乘法形式分析：1将矩阵的乘法形式的变换写成坐标变换的形式，只需根据矩阵与列向量的乘法规则将矩阵的乘法进行运算即可2将坐标变换的形式写成矩阵的乘法形式，关键是找到矩阵错误!，使错误!＝错误!错误!已知变换错误!→错误!＝错误!，试将它写成矩阵的乘法形式类型五在二阶矩阵对应的变换作用下点的坐标的确定与应用例5已知变换T：平面上的点P2，－1，Q－1，2分别变换成P15，－6，Q12，0，求变换矩阵A巩固练习：课本P10-11 课堂小结：1矩阵概念；2乘法法则；3平面变换。
高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学选修4-2 2.1.1 矩阵的概念》4
一、教材分析1地位与作用本节课是苏教版普通高中课程标准实验教科书选修4-2第一章《二阶矩阵和平面向量》的第1节内容。
本节内容教材共分为一课时，主要研究矩阵的概念和矩阵的表示。
2学情分析学生在学习本节内容之前，没有接触过矩阵的任何知识，但学生对数列已经比较熟悉，这为学生学习矩阵做了很好的铺垫。
所以本节课我从学生所熟悉的数阵，通过学生的自主探究，小组合作探究，教师点评等环节完成本节知识的学习。
二、教学目标1知识与技能⑴理解矩阵的概念；⑵掌握矩阵的表示；⑶会用矩阵的相等解决一些简单的矩阵问题；2过程与方法本节课以数列为背景引入数阵的概念，让学生明白矩阵的学习背景，随后通过学生的自主学习与小组活动，探究矩阵的表示和矩阵相等问题。
设置分层例题与分层练习，夯实基础，提升能力。
3情感态度与价值观通过矩阵的学习，加深学生对数学知识之间联系的认识，体会数形结合思想、类比思想，体会数学知识抽象性、概括性和应用性，促使学生形成学数学、用数学的思维和意识。
课堂中不断培养学生自主学习、主动探索，勤于观察、思考，善于总结的态度，并提高参与意识和合作精神。
三、教学重难点重点：理解矩阵的概念；掌握矩阵的表示；会用矩阵的相等解决一些简单的矩阵问题；难点：掌握矩阵的表示；会用矩阵的相等解决一些简单的矩阵问题；四、教学准备实物投影仪，多媒体课件。
五、例题讲解：例1．用矩阵表示△ABC，其中A－1,0，B0，2，C2，0．例2．设31,422x yA Bz⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦，若A = B，求，，．例3．已知n阶矩阵1122121247712j nj ni i i j inn n n j nna aa aAa a a aa a a a⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，其中每行、每列都是等差数列，ija表示位于第i行第列的数．1写出45a的值； 2 写出ij a的计算公式．六、板书设计：。
2019-2020数学新同步套餐苏教江苏专用版选修4-2学案：2.2 2.2.4+2.2.5+2.2.6旋转变换 投影变换 切变变换 Wo
2.2.4 旋转变换 2.2.5 投影变换 2.2.6 切变变换1.掌握旋转、投影、切变变换的特点，熟知常用的这三种变换矩阵的特点.2.了解旋转、投影、切变变换的矩阵表示及其几何意义.[基础·初探]1.旋转变换(1)旋转变换的定义：将一个图形F 绕某个定点O 旋转角度θ所得图形F ′的变换称为旋转变换，其中点O 称为旋转中心，角度θ称为旋转角.(2)旋转变换矩阵：当旋转中心为坐标原点O 且逆时针旋转θ角时，旋转变换的矩阵为⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos θ －sin θsin θ cos θ，像⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos θ －sin θsin θ cos θ这样的矩阵称为旋转变换矩阵.(3)旋转变换的特点：①旋转变换只改变几何图形的相对位置，不会改变几何图形的形状. ②旋转中心在旋转过程中保持不变.③图形的旋转由旋转中心和旋转的角度所决定.④绕定点旋转180°的变换相当于关于定点作中心反射变换. 2.投影变换(1)定义：将平面图形投影到某条直线(或点)的变换，称为投影变换. (2)投影变换矩阵：像⎣⎢⎡⎦⎥⎤1000，⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 010这类将平面内图形投影到某条直线(或某个点)上的矩阵，称为投影变换矩阵.(3)投影变换的特点：投影变换是线性变换，是映射，但不是一一映射. 3.切变变换(1)定义：保持图形的面积大小不变而点间距离和线间夹角可以改变，且点沿坐标轴运动的变换叫做切变变换.(2)切变变换矩阵一般地，在平面直角坐标系xOy 内，将任一点P (x ，y )沿着x 轴(或y 轴)方向平移|ky |(或 |kx |)个单位变成点P ′(x ′，y ′)，(其中k 是非零常数)，对应的变换矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 k 01或⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 0k1(k ∈R ，k ≠0)，称为切变变换矩阵. (3)切变变换的矩阵表示及其几何意义 ①矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤1k 01(k ∈R ，k ≠0)把平面上的点P (x ，y )沿x 轴方向平移|ky |个单位：当ky ＞0时，沿x 轴正方向移动；当ky ＜0时，沿x 轴负方向移动；当ky ＝0时，位置不变.在此变换作用下，x 轴上的点为不动点.②矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤10k1(k ∈R ，k ≠0)把平面上的点P (x ，y )沿y 轴方向平移|kx |个单位：当kx ＞0时，沿y 轴正方向移动；当kx ＜0时，沿y 轴负方向移动；当kx ＝0时，位置不变.在此变换作用下，y 轴上的点为不动点.[思考·探究]1.如何理解旋转变换的矩阵表示及其几何意义？【提示】 旋转变换所对应的矩阵表示为 ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤cos θ －sin θsin θ cos θ，这里θ为一个实数，叫做旋转角，旋转中心一般取作原点.当θ＞0时，旋转的方向是逆时针；当θ＜0时，旋转的方向则是顺时针，我们一般只讨论逆时针方向.2.线性变换对单位正方形表示的区域有哪些作用？【提示】 (1)恒等变换，关于x 轴、y 轴的反射变换以及旋转变换，变换前后正方形区域的形状都未发生改变，只是位置发生了变化.(2)切变变换把原来的正方形区域变成了一边不动，另一边平移了的平行四边形.(3)投影变换把正方形区域变成了线段.[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1： 解惑： 疑问2： 解惑： 疑问3： 解惑：线？曲线方程是什么？【精彩点拨】 根据题设条件找到旋转角θ，求出旋转变换矩阵，从而求出曲线方程，判断曲线类型.【自主解答】 将曲线xy ＝1绕坐标原点顺时针旋转90°，相当于逆时针旋转270°，故旋转变换矩阵为M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤cos 270° －sin 270°sin 270° cos 270°＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 0 1－1 0， 设P (x 0，y 0)为曲线xy ＝1上任意一点，在矩阵M 作用下对应点为P ′(x 0′，y 0′)则⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x 0′y 0′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 0 1－1 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤x0y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ y 0－x 0，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 0′＝y 0，y 0′＝－x 0，故x 0′y 0′＝－x 0y 0＝－1.因此曲线xy ＝1在矩阵M 的作用下变成曲线 xy ＝－1，如图所示.求旋转变换下曲线的方程的关键是搞清旋转方向，找准旋转角，求出旋转变换矩阵，进而用代入法(相关点法)求出曲线方程.若将本例中“旋转90°”变成“旋转45°”情况如何？ 【解】 由题意得旋转变换矩阵为 M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤cos （－45°） －sin （－45°）sin （－45°）cos （－45°）＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 22 22－2222. 在曲线xy ＝1上任取一点P (x ，y )，设其在此旋转变换作用下得到点P ′(x ′，y ′)，则⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 22 22－22 22⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′，即⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝22（x ＋y ），y ′＝－22（x －y ），所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22（x ′－y ′），y ＝22（x ′＋y ′）.将其代入xy ＝1中得：⎣⎢⎡⎦⎥⎤22（x ′－y ′）·⎣⎢⎡⎦⎥⎤22（x ′＋y ′）＝1. 即x ′22－y ′22＝1，因此曲线xy ＝1，在矩阵的作用下变成曲线x 22－y 22＝1.y ＝x的方向投影到x 轴上.试求：(1)点A (3，2)在这个投影变换作用下得到的点A ′的坐标； (2)这个投影变换对应的变换矩阵.【导学号：30650016】【精彩点拨】 根据题设条件画出图形，数形结合求解.【自主解答】 (1)如图所示，点A (3，2)在这个投影变换作用下得到的点A ′的坐标为(1，0).(2)设点(x ，y )是平面直角坐标系xOy 内的任意一点，则它在这个投影变换作用下得到的点为(x －y ，0)，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y →⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －y 0， 从而可知所求的变换矩阵为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －10 0.1.矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 0确定的投影变换，将坐标平面上的所有点垂直投影到x 轴上，即(x ，y )―→(x ，0)；矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 01 0确定的投影变换，将坐标平面上的所有点沿垂直于x 轴方向投影到直线y ＝x 上，即(x ，y )―→(x ，x )；矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 00 1确定的投影变换，将坐标平面上的所有点垂直投影到y 轴上，即(x ，y )―→(0，y ).2.求解该类问题常用数形结合思想求解.(1)矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤1000，⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 100，⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 010，⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 001对应的变换的几何意义是什么？ (2)矩阵⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 12 －12－12 12，⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 1212 12对应的变换的几何意义是什么？ 【解】 (1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 0对应变换的几何意义在于其将平面上的点沿垂直于x 轴的方向投影到x 轴上.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 10 0对应变换的几何意义在于其将平面上的点沿平行于直线x ＋y ＝0的方向投影到x 轴上.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 01 0对应变换的几何意义在于其将平面上的点沿垂直于x 轴的方向投影到直线y ＝x 上.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 00 1对应变换的几何意义在于其将平面上的点沿垂直于y 轴的方向投影到y 轴上.(2)⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 －12－1212对应变换的几何意义在于其将平面上的点沿垂直于直线x ＋y ＝0的方向投影到直线x ＋y ＝0上.⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 121212对应变换的几何意义在于其将平面上的点沿垂直于直线y ＝x 的方向投影到直线y ＝x 上.如图2-2-2所示，已知矩形ABCD ，试求在矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤130 1对应的变换作用下的图形，并指出矩形区域ABCD 在变换过程中的不变线段.【导学号：30650017】图2-2-2【精彩点拨】 由于本变换对应的是线性变换，只需研究矩形的端点的变换情况，从而得解.【自主解答】 因为矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 30 1对应的是线性变换，只需研究矩形的端点的变换情况即可，而⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 30 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－2－1，⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 30 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤41， ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 30 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 30 1⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－2－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－5－1. 从而矩形ABCD 在矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 30 1作用下变成了平行四边形A ′B ′C ′D ′.这里A ′(－2，－1)、B ′(4，1)、C ′(1，1)、D ′(－5，－1)，即原图形上任意一点(x ，y )沿x 轴方向平移|3y |个单位，而纵坐标不变.如图所示，线段EF 为该切变变换下的不变线段.矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 k 0 1(k ∈R ，k ≠0)确定的变换为沿x 轴方向平移|ky |个单位的切变变换；而⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 0k 1(k ∈R ，k ≠0).确定的变换为沿y 轴方向平移|kx |个单位的切变变换，不要将二者混淆.如图2-2-3(1)、(2)所示，已知正方形ABCD 在变换T 作用下变成平行四边形A ′B ′C ′D ′，试求变换T 对应的矩阵M.图2-2-3【解】 由图知，A (0，0)变换为A ′(0，0)，B (1，0)变换为B ′(1，1)，C (1，1)变换为C ′(1，2)，D (0，1)变换为D ′(0，1)，从而可知变换T 是沿y 轴正方向平移1个单位的切变变换，在此变换下，y 轴上的点为不动点，故可得M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 01 1. [真题链接赏析](教材第34页习题2.2第8题)已知曲线xy ＝1，将它绕坐标原点顺时针旋转90°后，会得到什么曲线？曲线方程是什么？已知椭圆Γ：x 2＋y 214＝1，试求该曲线绕逆时针方向旋转90°后所得到的曲线，画出示意图.【命题意图】 本题主要考查旋转变换，同时考查了函数方程思想及运算求解能力.【解】 设椭圆与坐标轴的交点分别为A (－1，0)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12，C (1，0)，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12(如图).因为绕原点逆时针旋转90°的变换所对应的矩阵为 M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤cos 90° －sin 90°sin 90° cos 90°＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0. 这样⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0－1， ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 0－12＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤120， ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤10＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤01， ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 012＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－12 0. 点A ，B ，C ，D 在旋转变换M 的作用下分别变为点A ′(0，－1)、B ′⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0、C ′(0，1)、D ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0，从而椭圆曲线Γ：x 2＋y 214＝1在逆时针旋转90°后所成的曲线为椭圆曲线Γ′：x 214＋y 2＝1.1.旋转中心为坐标原点且逆时针旋转π4的旋转变换的变换矩阵为________.【导学号：30650018】【解析】矩阵为⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos π4 －sin π4sin π4cos π4 ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤22 －2222 22. 【答案】⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤22 －2222 22 2.已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 00 1对应的投影变换把椭圆变成________.【解析】 设椭圆上任意一点P (x ，y )在投影变换下对应点P ′(x ′，y ′)， 则⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 00 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0y ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝0，y ′＝y .椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1中，－b ≤y ≤b ， ∴投影后的曲线方程为x ＝0(－b ≤y ≤b )，为一条线段. 【答案】 线段3.直线y ＝3x 在矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 11 0对应的变换作用下所得的几何图形的方程为________.【解析】 设直线y ＝3x 上任意一点为P (x ，y )，在线性变换下的像为P ′(x ′，y ′)，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 11 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤y x ， 即⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝y ，y ′＝x ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝y ′，y ＝x ′.代入y ＝3x ，得x ′＝3y ′，即y ′＝13x ′， ∴变换后的图形为直线y ＝13x .【答案】 y ＝13x4.在矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 201对应的变换作用下，点(2，1)将会变为________，这是一种________变换.【导学号：30650019】【解析】 由⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 20 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤21＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤41可知点(2，1)在矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 20 1对应的变换作用下，变为点(4，1)，从而可知该变换为切变变换.【答案】 点(4，1) 切变我还有这些不足：(1)(2) 我的课下提升方案：(1)(2)。
2018-2019学年北师大版高中数学选修4-4同步配套(课件+练习)：2.1
S随堂演练 UITANGYANLIAN
【做一做 2】
已知 P(x,y)是曲线
������ ������
= =
2sin+������cos������,(������为参数)
上任意一点, 求 (������-5)2 + (������ + 4)2的最大值.
解:由题意,设 d2=(x-5)2+(y+4)2=(2+cos α-5)2+(sin α+4)2=8sin α-6cos α+26=10sin(α-φ)+26,其中 φ 为锐角,tan φ= 34.
【做一做 1】
已知参数方程
������ ������
= =
22csions������������,(������为参数,
������∈[0,2π)).判
断点 A(1, 3)和������(2,1)是否在方程的曲线上.
分析:把A,B两点的坐标分别代入方程验证即可.
解:把 A,B 两点的坐标分别代入方程,
题型一 题型二 题型三
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Z D 知识梳理 HISHISHULI
典例透析
IANLITOUXI
S随堂演练 UITANGYANLIAN
解:设点M的坐标为(x,y),∠AOP=θ.
因为点P在圆x2+y2=16上,过点P分别作x轴、y轴的垂线可得点P
的坐标为(4cos θ,4sin θ),又A(12,0),所以由中点坐标公式得点M的坐
(2)试求当 t=-3 时,曲线 C 上的点的坐标.
分析:将坐标分别代入参数方程进行判断.
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Z D 知识梳理 HISHISHULI
典例透析
高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学选修4-2 2.4.2 二阶矩阵与二元一次方程组》
二阶矩阵与二元一次方程组无锡市第六高级中学 辛志立学习目标1、 了解二阶行列式的定义，会用二阶行列式求逆矩阵和解方程组。
2、 能用变换与映射的观点认识解线性方程组解的意义。
3、 会用系数矩阵的逆矩阵求解方程组。
4、 体会数学史，通过数学史理解数学结构与数学知识的形成。
学习过程：一、故事引入：英女王很喜欢《爱丽丝漫游仙境》，写信给作者，希望能够得到他的下一部著作。
却等来了《行列式基础论述》。
原来童话作者是数学家。
行列式是什么？有什么用？日本数学家关孝和（行列式创立者之一）：用行列式解决方程组问题。
二、新知讲授：我们怎样解方程？时引入记号：于是，方程的根就能写成：111222a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩①②21212121212121::a a a x b a y c a a a a x b a y c a ⨯+=⎧⎨⨯+=⎩①②()12211221-a b a b y a c a c =-⇒两式相减21212121212121::b a b x b b y c b b a b x b b y c b ⨯+=⎧⎨⨯+=⎩①②()12211221-a b a b x c b c b =-⇒两式相减1221122112211221--c b c b x a b a b a c a c y a b a b -⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩12210a b a b -≠11122122a b a b a b a b =-122112c b c b x a b a b -=-D =x D 12211221a c a c y a b a b -=-y D其中莱布尼兹（行列式发明者之一）使用并给出了行列式，还给出方程组的系数行列式为零的条件。
行列式出现于线性方程组的求解，它最早是一种速记的表达式，现在已经是数学中一种非常有用的工具。
我们也来尝试一下行列式的计算例一：1、计算（1）3526-- （2）aa a a cos sin sin cos -2、若1122-y x =yy x x -，求的值。
高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学选修4-2 2.2.1 恒等变换》
课题：反射变换讲授人：顾修炼学习目标 ：1、理解可以用矩阵来表示平面中常见的几何变换。
2、掌握反射变换的几何意义及其矩阵表示。
3、从几何上理解二阶矩阵对应的几何变换是线性变换，并证明二阶非零矩阵对应的变换把直线变成直线（或点）。
学习过程：一、预习：（一）阅读教材，解决下列问题：问题：求圆C ：()()22222x y -+-=在矩阵1001M -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦作用下变换所得的几何图形。
反思：两个几何图形有何特点？归纳：利用求轨迹思想，设所求图形上任一点（,），通过矩阵变换到圆C 上去。
问1：若将一个平面图形F 在矩阵M 1的作用变换下得到关于轴对称的几何图形F ＇，则如何来求出这个矩阵M 1呢？问2：我们能否找出其它类似的变换矩阵呢？归纳：通过点间关系，确定矩阵。
练习1、求出曲线2y x =在矩阵M=1001⎡⎤⎢⎥-⎣⎦作用下变换所得的图形。
2、求出曲线()lg 0y x x =在矩阵M=0110⎡⎤⎢⎥⎣⎦作用下变换得到的曲线。
（二）知识介绍1反射变换2反射变换矩阵 3基本概念（轴反射、反射轴、反射点）实质：对称（三）例题求直线:270x y +-=在矩阵M=3011⎡⎤⎢⎥-⎣⎦作用下变换得到的曲线。
思考1：若矩阵M=3011⎡⎤⎢⎥-⎣⎦改为矩阵A=3111⎡⎤⎢⎥-⎣⎦，则变换得到的曲线是什么？思考2：我们从中能猜想什么结论？归纳：利用以点盖线思想，将抽象的线的问题转化到具体的点来研究。
3、变式训练：设a,b∈R，若M=1ab⎡⎤⎢⎥-⎣⎦所定义的线性变换把直线：270x y+-=变换成另一直线＇：70x y+-=，求a，b的值。
（四）课堂小结1知识：反射变换，反射变换矩阵，反射点，反射轴；2思维：以点盖线思想；3实质：反射变换实质是对称变换；（五）作业教材P34 6、9。
2019-2020学年高二数学苏教版选修4-2教师用书：2.4.2二阶矩阵与二元一次方程组.2 Word版含答案
2.4.2 二阶矩阵与二元一次方程组1.能用变换与映射的观点认识线性方程组的意义.2.会通过具体的系数矩阵，从几何上说明线性方程组解的存在性、惟一性.3.了解二阶行列式的定义，会用二阶行列式求解矩阵.1.二阶行列式 将矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b cd 两边的“”改为“| |”，把⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b cd 称为二阶行列式，它的运算结果是一个数值(或多项式)，记为det(A )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab cd ＝ad －bc .2.二阶行列式与二元一次方程组关于x ，y 的二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋by ＝m ，cx ＋dy ＝n ，将⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d 记为D ，将⎪⎪⎪⎪⎪⎪m b n d 记为D x，将⎪⎪⎪⎪⎪⎪a m c n 记为D y，则当D ≠0时方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝DxD y ＝Dy D. 3.二元一次方程组与逆矩阵及几何变换关于x ，y 的二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋by ＝m ，cx ＋dy ＝n.(1)逆矩阵与二元一次方程组令A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd 为系数矩阵，X ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y 为待求向量，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤m n 是经A 将X 变换后的向量，则上述二元一次方程组可记为以下矩阵方程：AX ＝B ，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤m n . 当A 是可逆矩阵时，上式两边同时左乘A －1，则有X ＝A －1B ，其中A－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤d ad －bc －bad －bc －c ad －bc a ad －bc .(2)二元一次方程组与几何变换从几何变换的角度看，解这个方程组实际上就是已知变换矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b cd 和变换后的象⎣⎢⎡⎦⎥⎤m n ，去求在这个变换的作用下的原象.1.二阶矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd 与二阶行列式⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab cd 的主要区别是什么？【提示】 二阶矩阵对应的是变换，是4个数构成的数的方阵，而行列式⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d ＝ad －bc 则是一个数.写法上也不同，二阶矩阵是用括号，二阶行列式用绝对值号或两竖线表示.二阶矩阵反应的是变换，二阶行列式是用来判断矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd 是否可逆的.2.二元一次方程组的系数矩阵满足什么条件时，方程组有惟一解？【提示】 当关于x 、y 的二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋by ＝m cx ＋dy ＝n 的系数矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d 是可逆的，则方程组有惟一解⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤m n . 3.结合上一节试总结求逆矩阵的常用方法有哪几种？【提示】 (1)待定矩阵法：利用AA －1＝E 得到方程组，再用行列式法解方程组即可.(2)行列式法：若A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ，且det(A )≠0，则A－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤d det （A ） －bdet （A ）－c det （A ） a det （A ）.预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1： 解惑： 疑问2： 解惑： 疑问3： 解惑：利用行列式解方程组⎩⎪⎨⎪3x ＋4y －1＝0.【导学号：30650040】【精彩点拨】将方程化成一般形式→求出D ，Dx 、Dy →求解【自主解答】 先将方程组改写成一般形式⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝－1，3x ＋4y ＝1. 因为D ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 23 4＝－2≠0，此方程组存在惟一解.又D x ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－1 2 14＝－6，D y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 －13 1＝4， 所以x ＝Dx D＝3，y ＝DyD＝－2. 故该方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－2.利用行列式解方程组的一般思路：先将方程组化成一般形式⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋by ＝m ，cx ＋dy ＝n.再分别求出D ，D x ，D y 然后用求解公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝DxDy ＝Dy D求解.利用行列式解方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x －3y －1＝0，－x ＋4y －3＝0.【解】 先将方程组写成一般形式⎩⎪⎨⎪⎧3x －3y ＝1，－x ＋4y ＝3.因为D ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪3 －3－1 4＝3×4－(－3)×(－1)＝9≠0，此方程组有惟一解.又D x ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 －33 4＝1×4－(－3)×3＝13，D y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪3 1－1 3＝3×3－1×(－1)＝10.所以x ＝Dx D ＝139，y ＝Dy D ＝109. 故该方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝139，y ＝109.利用行列式知识求矩阵A ＝⎣⎢⎦⎥1 2的逆矩阵A －1.【精彩点拨】 法一：(待定矩阵法)设待求矩阵用行列式解方程组→A －1法二：(用行列式法)计算det （A ）→A －1 【自主解答】 法一 (待定矩阵法)设A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤4 －11 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b cd ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤4a －c 4b －d a ＋2c b ＋2d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 001，故⎩⎪⎨⎪⎧4a －c ＝1，a ＋2c ＝0，⎩⎪⎨⎪⎧4b －d ＝0，b ＋2d ＝1.先将a ，c 看成未知数，则D ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪4 －11 2＝9≠0. D a ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 －10 2＝2，D c ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪4 110＝－1， 所以a ＝29，c ＝－19，同理可得：b ＝19，d ＝49，故A－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 29 19－19 49. 法二 (用行列式法求逆矩阵)∵det(A )＝4×2－1×(－1)＝9≠0，∴A 可逆，∴A－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 29 19－19 49.利用行列式知识求逆矩阵，有两种情况，其一，是利用待定矩阵法时，对构建的方程组求解时用行列式知识；其二是计算det(A )时用.判断下列矩阵是否有逆矩阵，若有，求出逆矩阵.【导学号：30650041】(1)A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 143；(2)B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a311.【解】 (1)∵det(A )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2143＝2×3－4×1＝2，∴A 存在逆矩阵，且A－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤32 －12－42 22＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 32 －12－2 1.(2)∵det(B )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a311＝a －3，当a ＝3时，B 不存在逆矩阵； 当a ≠3时，B 存在逆矩阵，其逆矩阵B －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1a －3 －3a －3－1a －3 a a －3.【精彩点拨】A －1→得解【自主解答】 令A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 234，X ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ， B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 1，AX ＝B ，因为： A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤4－2 －2－2－3－2 1－2＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－2 132 －12，所以X ＝A －1B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－2 132－12⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3－2.故⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－2.利用逆矩阵的知识解方程组一般思路；先由方程组找到A ，X ，B ，找到其对应的矩阵方程AX ＝B ，再求出A －1然后由X ＝A －1B ，求出x ，y 即可.利用逆矩阵知识解变式1中的方程组.【解】 令A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3 －3－1 4，X ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，AX ＝B ，因为A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤49 1319 13， 所以X ＝A－1B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤49 1319 13⎣⎢⎡⎦⎥⎤13＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤139109. 故⎩⎪⎨⎪⎧x ＝139，y ＝109.已知二元一次方程组AX ＝B ，A ＝⎣⎢⎦⎥01，B ＝⎣⎢⎦⎥2，X ＝⎣⎢⎦⎥y ，试从几何变换的角度研究方程组解的情况.【精彩点拨】 找到矩阵A 对应的几何变换→判断几何变换的逆变换情况→方程组解的存在情况【自主解答】 对方程AX ＝B ，由于A 对应的是将平面上的点(向量)保持纵坐标不变，而将横坐标依纵坐标的比例增加，且(x ，y )→(x ＋2y ，y )的切变变换，因此，它存在惟一的逆变换：将平面上的点(向量)保持纵坐标不变，横坐标依纵坐标的比例减少，且(x ，y )→(x －2y ，y )的切变变换，即A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －20 1，于是原方程组的解X ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y 为向量B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤32在变换矩阵A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －20 1对应的变换作用之后的向量，即X ＝A－1B .由于矩阵A －1是惟一存在的，因此⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y 也是惟一存在的，且A －1B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －20 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤32＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 2，故原方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝2.从几何变换的角度研究方程组解的情况，关键是找到系数矩阵A 对应的几何变换，将方程组解的情况转化为判断几何变换的逆变换的存在情况研究.若将本例中A 变为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 1212 12，情况如何？ 【解】 矩阵A 对应的是投影变换，它把平面上的点垂直投影到直线y ＝x 上.于是，该方程组的求解就转化为已知投影变换的象B ，试求它的原象，注意到当B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤32时，它不在直线y ＝x 上，故它没有原象，也即方程组无解.(教材第61页例7)利用逆矩阵的知识解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y －1＝0，4x ＋5y －6＝0.利用矩阵解二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ＝2，4x ＋2y ＝3.【命题意图】 本题主要考查逆矩阵的求法及运算求解能力. 【解】 方程组可写为⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 14 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤23， 系数行列式为3×2－4×1＝2≠0，方程组有惟一解.利用矩阵求逆公式得⎣⎢⎡⎦⎥⎤3142－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 －12－2 32， 因此原方程组的解为⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 －12－2 32 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤23＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1212即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝12.1.已知⎪⎪⎪⎪⎪⎪2x －13x 1＝－5，则x 的值为________.【导学号：30650042】【解析】 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪2x －13x 1＝2x －(－3x )＝5x ＝－5， ∴x ＝－1. 【答案】 －12.二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＝32x －y ＝1的解是________.【解析】 二元一次方程组改写为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －32 －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤31，设A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －32 －1.则det(A )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 －32 －1＝5，∴A－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－15 35－25 15. ∴⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝A－1⎣⎢⎡⎦⎥⎤31＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－15 35－25 15⎣⎢⎡⎦⎥⎤31＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 0－1. ∴方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＝3，2x －y ＝1的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝－1.【答案】 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0y ＝－13.若二阶矩阵X ，满足⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －23 1X ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 2－1 1则X ＝________.【解析】 因为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －23 1X ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3 2－1 1，⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 －23 1＝7≠0，所以X ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －23 1－1⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3 2－1 1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 17 27－37 17⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3 2－1 1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 1747－107 －57.【答案】 ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 17 47－107 －57 4.已知某点在矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1002对应的变换作用下得到点(2，1)，则该点坐标为________.【导学号：30650043】【解析】 设该点的坐标为(x ，y )，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤21，因为⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 00 2＝2≠0，所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 2可逆，所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 2－1⎣⎢⎡⎦⎥⎤21＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 212，所以所求点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，12. 【答案】 ⎝⎛⎭⎪⎫2，12我还有这些不足：(1) (2) 我的课下提升方案：(1) (2)。
江苏专用版2018_2019学年高中数学4.4.1参数方程的意义学案苏教版选修4_4201
4.4.1 参数方程的意义1．理解曲线参数方程的概念，能选取适当的参数建立参数方程．2．通过常见曲线的参数方程的研究，了解某些参数的几何意义和物理意义．[基础·初探]1．参数方程的定义一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线C上任意一点P的坐标x和y都可以表示为某个变量t的函数Error!反过来，对于t的每一个允许值，由函数式Error!所确定的点P(x，y)都在这条曲线上，那么方程Error!叫做曲线C的参数方程，变量t是参变数，简称参数．2．求参数方程的一般步骤(1)建立直角坐标系，设曲线上任意一点M的坐标为(x，y)；(2)选取适当的参数；(3)根据已知条件、图形的几何性质、物理意义等，建立点M的坐标与参数的函数关系式；(4)证明所求得的参数方程就是所求曲线的方程(通常省略不写)．[思考·探究]1．从参数方程的概念来看，参数t的作用是什么？什么样的量可以当参数？【提示】 参数t是联系变数x，y的桥梁；可以是一个有物理意义或几何意义的变数，也可以是没有明显实际意义的变数．2．在选择参数时，要注意什么？【提示】 在选择参数时，要注意以下几点：①参数与动点坐标x，y有函数关系，且x，y便于用参数表示；②选择的参数要便于使问题中的条件明析化；③对于所选定的参数，要注意其取值范围，并能确定参数对x，y取值范围的制约；④若求轨迹，应尽量使所得的参数方程便于消参．[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_____________________________________________________解惑：_____________________________________________________疑问2：_____________________________________________________解惑：_____________________________________________________疑问3：_____________________________________________________解惑：_____________________________________________________疑问4：_____________________________________________________解惑：_____________________________________________________点与曲线的位置(1)判断点M1(0,1)，M2(5,4)与曲线C的位置关系；(2)已知点M3(6，a)在曲线C上，求a的值．【自主解答】 (1)把点M1(0,1)代入，得Error!解得t＝0，故点M1在曲线C上，把点M2(5,4)代入，得Error!这个方程组无解，因此点M2(5,4)不在曲线C上，(2)因为点M3(6，a)在曲线C上，所以Error!解得Error!故a＝9.[再练一题]1．已知某条曲线C的参数方程为Error!(其中t为参数，a∈R)，点M(5,4)在该曲线上，求常数a.【解】 ∵点M(5,4)在曲线C上，∴Error!解得：Error!∴a的值为1.求曲线的轨迹方程图441【自主解答】 法一 设P 点的坐标为(x ，y )，过P 点作x 轴的垂线交x 轴于Q . 如图所示，则Rt △OAB ≌Rt △QBP .取OB ＝t ，t 为参数(0＜t ＜a )． ∵OA ＝， a 2－t 2∴BQ ＝.a 2－t 2∴点P 在第一象限的轨迹的参数方程为 Error!(0＜t ＜a )．法二 设点P 的坐标为(x ，y )，过点P 作x 轴的垂线交x 轴于点Q ，如图所示． 取∠QBP ＝θ，θ为参数(0＜θ＜)，π2则∠ABO ＝－θ. π2在Rt △OAB 中，OB ＝a cos(－θ)＝a sin θ. π2在Rt △QBP 中，BQ ＝a cos θ，PQ ＝a sin θ. ∴点P 在第一象限的轨迹的参数方程为 Error!(θ为参数，0＜θ＜)． π2求动点的轨迹方程，是解析几何中常见的题型之一，通常可用解析法寻找变量之间的关系，列出等式，得到曲线的方程．当变量之间的关系不容易用等式表示时，可以引入参数，使变量之间通过参数联系在一起，从而得到曲线的参数方程．[再练一题]2．设质点沿以原点为圆心，半径为2的圆做匀角速运动，角速度为rad/s.试以时间π60t 为参数，建立质点运动轨迹的参数方程．【解】 如图所示，运动开始时质点位于点A 处，此时t ＝0，设动点M (x ，y )对应时刻t ，由图可知Error!又θ＝t (t 以s 为单位)， π60故参数方程为Error!(t 为参数，t ≥0)．[真题链接赏析] (教材第56页习题4.4第1题)物体从高处以初速度v 0(m/s)沿水平方向抛出．以抛出点为原点，水平直线为x 轴，写出物体所经路线的参数方程，并求出它的普通方程． 已知动点P 、Q 都在曲线C ：Error!(t 为参数)上，对应参数分别为t ＝α与t ＝2α(0＜α＜2π)，M 为PQ 的中点．(1)求M 的轨迹的参数方程；(2)将M 到坐标原点的距离d 表示为α的函数，并判断M 的轨迹是否过坐标原点． 【命题意图】 本题考查参数方程及轨迹方程，主要考查逻辑思维能力和运算求解能力． 【解】 (1)依题意有P (2cos α，2sin α)，Q (2cos 2α，2sin 2α)，因此M (cos α＋cos 2α，sin α＋sin 2α)．M 的轨迹的参数方程为Error!(α为参数，0＜α＜2π)．(2)M 点到坐标原点的距离d ＝＝(0＜α＜2π)．x 2＋y 22＋2cos α当α＝π时，d ＝0，故M 的轨迹过坐标原点．1．已知曲线Error!(θ为参数，0≤θ＜2π)．下列各点A (1,3)，B (2,2)，C (－3,5)，其中在曲线上的点是________．【解析】 将A 点坐标代入方程得：θ＝0或π，将B 、C 点坐标代入方程，方程无解，故A 点在曲线上．【答案】 A (1,3)2．椭圆Error!的焦点坐标为________． 【解析】 把椭圆方程化为普通方程，得＋＝1.则a 2＝25，b 2＝16，所以c 2＝9.椭x 225y 216圆的焦点为(－3,0)和(3,0)．【答案】 (－3,0)和(3,0)3．椭圆＋y 2＝1的一个参数方程为______．x －2 24【解析】 设＝cos θ，y ＝sin θ，所以椭圆的一个参数方程为Error!(θ为参数)．x －22【答案】 Error!4．参数方程Error!(θ为参数)表示的曲线是________． 【答案】 线段我还有这些不足：(1)_____________________________________________________ (2)_____________________________________________________ 我的课下提升方案：(1)_____________________________________________________ (2)_____________________________________________________。
高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学选修4-2 2.4.1 逆矩阵的概念》7
逆变换与逆矩阵教学目标、重难点：1理解逆矩阵的概念，了解逆变换的概念2能判断一个矩阵是否存在逆矩阵，掌握六种变换除了投影变换不存在逆变换，其他的都有逆变换的结论。
3能求一个二阶矩阵以及两个二阶矩阵乘积的逆矩阵。
4理解二阶矩阵消去律的条件。
一、新课引入1．逆矩阵的定义对于二阶矩阵A、B，若有AB＝BA＝E，则称A是可逆的，B称为A的逆矩阵，记为A－12．逆矩阵的性质1若二阶矩阵A、B均可逆，则AB也可逆，且AB－1＝B－1A－12已知A、B、C为二阶矩阵且AB＝AC，若A存在逆矩阵，则B＝C3．逆矩阵的求法1待定系数法．2公式法：对于二阶矩阵A＝错误!，若ad－bc≠0，则A必可逆，且A－1＝错误!3逆变换法．二、典型例题[例1]求矩阵A＝错误!的逆矩阵．[思路点拨]设出逆矩阵，利用待定系数法求解或直接利用公式法求解．[精解详析]法一：待定系数法：设A－1＝错误!，则错误!错误!＝错误!即错误!＝错误!，故错误!错误!解得＝－1，＝2，＝2，w＝－3，从而A 的逆矩阵为A －1＝错误!法二：公式法：若⎢⎣⎡=c a A ⎥⎦⎤d b （ad －bc ≠0），则 A －1＝错误!∴A －1＝错误!用待定系数法求逆矩阵时，先设出矩阵A 的逆矩阵A －1，再由AA －1＝E 得相等矩阵，最后利用相等矩阵的概念求出A －1例2（1）已知矩阵A ＝错误!，求A －1解：矩阵A 对应的变换是旋转变换R 240°，它的逆变换是R －240°∴A －1＝错误!＝错误!（2）已知矩阵A ＝错误!，求A －1解：因矩阵A 所对应的变换为伸缩变换，所以A －1＝错误!例2是通过几何变换来求解二阶矩阵的逆矩阵。
这些矩阵是我们已学过的六种矩阵。
例3 若矩阵A ＝错误!，B ＝错误!，求矩阵AB 的逆矩阵．[思路点拨] 根据公式AB －1＝B －1A －1，先求出B －1、A －1，再利用矩阵乘法求解．[精解详析] 因为矩阵A 所对应的变换为伸缩变换， 所以A －1＝错误!而矩阵B 对应的变换为切变变换，其逆矩阵B －1＝错误!，∴AB －1＝B －1A －1＝错误!错误!＝错误!1要避免犯如下错误AB －1＝A －1B －12此题也可以先求出AB 再求其逆．三、高考集锦1．江苏高考已知矩阵A ＝错误!，B ＝错误!，求矩阵A －1B 解：设矩阵A 的逆矩阵为错误!，则错误! 错误!＝错误!，即错误!＝错误! 故a ＝－1，b ＝0，c ＝0，d ＝错误!，从而A 的逆矩阵为A －1＝错误!， 所以A －1B ＝错误! 错误!＝错误!2 （2021年高考题）：已知矩阵⎢⎣⎡=12A ⎥⎦⎤23 (1) 求A 的逆矩阵1-A(2) 若点P 在矩阵A 对应的变换作用下得到点)1,3(P '，求点P 的坐标。
2018-2019数学新学案同步精致讲义选修2-1苏教版：第2章 圆锥曲线与方程 2.4.1
§2.4 抛物线 2.4.1 抛物线的标准方程学习目标 1.掌握抛物线的标准方程.2.明确抛物线标准方程中p 的几何意义，并能解决简单的求抛物线标准方程问题．知识点 抛物线的标准方程 思考 抛物线的标准方程有何特点？答案 (1)对称轴为坐标轴；(2)p 为大于0的常数，其几何意义表示焦点到准线的距离；(3)准线与对称轴垂直，垂足与焦点关于原点对称；(4)焦点、准线到原点的距离都等于p2.梳理 由于抛物线焦点位置不同，方程也就不同，故抛物线的标准方程有以下几种形式：y 2＝2px (p >0)，y 2＝－2px (p >0)，x 2＝2py (p >0)，x 2＝－2py (p >0)．现将这四种抛物线对应的图形、标准方程、焦点坐标及准线方程列表如下：1．抛物线的方程都是y 关于x 的二次函数．(×) 2．方程x 2＝2py (p ＞0)表示开口向上的抛物线．(√) 3．抛物线的焦点到准线的距离为p .(√) 4．抛物线的开口方向由一次项确定．(√)类型一 由抛物线的标准方程求焦点坐标和准线方程例1 已知抛物线的方程y ＝ax 2(a ≠0)，求它的焦点坐标和准线方程． 解 将抛物线方程化为标准方程x 2＝1a y (a ≠0)，则抛物线焦点在y 轴上， (1)当a ＞0时，p ＝12a ，∴焦点坐标F ⎝⎛⎭⎫0，14a ， 准线方程y ＝－14a .(2)当a ＜0时，p ＝－12a ，∴焦点坐标F ⎝⎛⎭⎫0，14a ， 准线方程y ＝－14a，综合(1)(2)知抛物线y ＝ax 2(a ≠0)的焦点坐标是F ⎝⎛⎭⎫0，14a ，准线方程是y ＝－14a. 反思与感悟 根据抛物线的方程求焦点坐标和准线方程时，应首先把方程化为标准形式，再分清抛物线是四种中的哪一种，然后写出焦点及准线方程．跟踪训练1 (1)若抛物线y 2＝2px 的焦点坐标为(1,0)，则p ＝________；准线方程为________． 答案 2 x ＝－1解析 因为抛物线的焦点坐标为(1,0)，所以p 2＝1，p ＝2，准线方程为x ＝－p2＝－1.(2)求下列抛物线的焦点坐标和准线方程． ①y 2＝40x ；②4x 2＝y ；③3y 2＝5x ；④6y 2＋11x ＝0. 解 ①焦点坐标为(10,0)，准线方程为x ＝－10. ②由4x 2＝y 得x 2＝14y .∵2p ＝14，∴p ＝18.∴焦点坐标为⎝⎛⎭⎫0，116，准线方程为y ＝－116. ③由3y 2＝5x ，得y 2＝53x .∵2p ＝53，∴p ＝56.∴焦点坐标为⎝⎛⎭⎫512，0，准线方程为x ＝－512. ④由6y 2＋11x ＝0，得y 2＝－116x ，故焦点坐标为⎝⎛⎭⎫－1124，0，准线方程为x ＝1124. 类型二 求解抛物线的标准方程例2 根据下列条件分别求抛物线的标准方程． (1)抛物线的焦点是双曲线16x 2－9y 2＝144的左顶点；(2)抛物线的焦点F 在x 轴上，直线y ＝－3与抛物线交于点A ，AF ＝5. 解 (1)双曲线方程可化为x 29－y 216＝1，左顶点为(－3,0)，由题意设抛物线方程为y 2＝－2px (p >0)且－p2＝－3，∴p ＝6，∴抛物线的方程为y 2＝－12x .(2)设所求焦点在x 轴上的抛物线的方程为y 2＝2px (p ≠0)，A (m ，－3)，由抛物线定义得5＝AF ＝⎪⎪⎪⎪m ＋p 2. 又(－3)2＝2pm ，∴p ＝±1或p ＝±9， 故所求抛物线方程为y 2＝±2x 或y 2＝±18x . 反思与感悟 抛物线标准方程的求法(1)定义法：建立适当坐标系，利用抛物线的定义列出动点满足的条件，列出方程，进行化简，根据定义求出p ，最后写出标准方程．(2)待定系数法：由于标准方程有四种形式，因而在求方程时应首先确定焦点在哪一个半轴上，进而确定方程的形式，然后再利用已知条件确定p 的值．跟踪训练2 已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x 轴，抛物线上的点M (－3，m )到焦点的距离等于5，求抛物线的方程和m 的值，并写出抛物线的焦点坐标和准线方程． 解 设抛物线方程为y 2＝－2px (p >0)， 则焦点F ⎝⎛⎭⎫－p2，0，由题意， 得⎩⎪⎨⎪⎧m 2＝6p ， m 2＋⎝⎛⎭⎫－3＋p 22＝5，解得⎩⎨⎧ p ＝4，m ＝26或⎩⎨⎧p ＝4，m ＝－2 6.故所求的抛物线方程为y 2＝－8x ，m ＝±2 6. 抛物线的焦点坐标为(－2,0)，准线方程为x ＝2. 类型三 抛物线在实际生活中的应用例3 河上有一抛物线形拱桥，当水面距拱桥顶5m 时，水面宽为8m ，一小船宽4m ，高2m ，载货后船露出水面上的部分高34m ，问：水面上涨到与抛物线拱桥拱顶相距多少米时，小船开始不能通航？解 如图，以拱桥的拱顶为原点，以过拱顶且平行于水面的直线为x 轴，建立平面直角坐标系．设抛物线方程为x 2＝－2py (p >0)，由题意可知，点B (4，－5)在抛物线上，故p ＝85，得x 2＝－165y .当船面两侧和抛物线接触时，船不能通航，设此时船面宽为AA ′，则A (2，y A )，由22＝－165y A ，得y A ＝－54.又知船面露出水面上的部分高为34m ，所以h ＝|y A |＋34＝2(m)．所以水面上涨到与抛物线形拱桥拱顶相距2m 时，小船开始不能通航．反思与感悟 涉及拱桥、隧道的问题，通常需建立适当的平面直角坐标系，利用抛物线的标准方程进行求解．跟踪训练3 喷灌的喷头装在直立管柱OA 的顶点A 处，喷出水流的最高点B 高5m ，且与OA 所在的直线相距4m ，水流落在以O 为圆心，半径为9m 的圆上，则管柱OA 的长是多少？解 如图所示，以点B 为坐标原点，过点B 与地面平行的直线为x 轴，建立直角坐标系，设水流所形成的抛物线的方程为x 2＝－2py (p >0)，因为点C (5，－5)在抛物线上，所以25＝－2p ·(－5)，因此2p ＝5，所以抛物线的方程为x 2＝－5y ，点A (－4，y 0)在抛物线上，所以16＝－5y 0， 即y 0＝－165，所以OA 的长为5－165＝1.8(m)．所以管柱OA 的长为1.8m.1．已知抛物线的准线方程为x ＝7，则抛物线的标准方程为________． 答案 y 2＝－28x解析 可设抛物线方程为y 2＝－2px (p >0)，由准线方程为x ＝7知，p2＝7，即p ＝14.故抛物线的标准方程为y 2＝－28x .2．已知点(－2,3)与抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点的距离是5，则p 的值为________． 答案 4解析 焦点的坐标为⎝⎛⎭⎫p 2，0，由两点间的距离公式得⎝⎛⎭⎫－2－p 22＋32＝5⇒p ＝4.3．若抛物线y 2＝2px (p >0)上的动点Q 到焦点的距离的最小值为1，则p ＝________. 答案 2解析 因为抛物线上的动点到焦点的距离为动点到准线的距离，所以抛物线上的动点到焦点的最短距离为顶点到准线的距离，即p2＝1，p ＝2.4．若抛物线y 2＝2px (p >0)的准线经过双曲线x 2－y 2＝1的一个焦点，则p ＝________. 答案 2 2解析 抛物线y 2＝2px (p >0)的准线方程是x ＝－p2，因为抛物线y 2＝2px (p >0)的准线经过双曲线x 2－y 2＝1的一个焦点F 1(－2，0)， 所以－p2＝－2，解得p ＝2 2.5．已知M 为抛物线y 2＝4x 上一动点，F 为抛物线的焦点，定点N (2,3)，则MN ＋MF 的最小值为________． 答案10解析 将x ＝2代入抛物线方程，得y ＝±2 2. ∵3>22，∴点N 在抛物线的外部． MN ＋MF ≥NF ，而F (1,0)， 则NF ＝(2－1)2＋32＝10，∴MN ＋MF ≥10，当N ，M ，F 三点共线时有最小值，最小值为10.1．焦点在x 轴上的抛物线，其标准方程可以统设为y 2＝mx (m ≠0)，此时焦点为F ⎝⎛⎭⎫m 4，0，准线方程为x ＝－m4；焦点在y 轴上的抛物线，其标准方程可以统设为x 2＝my (m ≠0)，此时焦点为F ⎝⎛⎭⎫0，m 4，准线方程为y ＝－m 4. 2．设M 是抛物线上一点，焦点为F ，则线段MF 叫做抛物线的焦半径．若M (x 0，y 0)在抛物线y 2＝2px (p >0)上，则根据抛物线的定义，抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离可以相互转化，所以焦半径MF ＝x 0＋p2.一、填空题1．抛物线y ＝14x 2的准线方程是________．答案 y ＝－1解析 由y ＝14x 2，得x 2＝4y ，则抛物线的焦点在y 轴正半轴上，且2p ＝4，即p ＝2，因此准线方程为y ＝－p2＝－1.2．以坐标原点为顶点，(－1,0)为焦点的抛物线的方程为____________________． 答案 y 2＝－4x解析 由题意可设抛物线的方程为y 2＝－2px (p >0)， 则有－p2＝－1，得p ＝2，所以抛物线的方程为y 2＝－4x .3．经过点P (4，－2)的抛物线的标准方程为________． 答案 y 2＝x 或x 2＝－8y解析 设所求抛物线的标准方程为y 2＝2mx (m ≠0)或x 2＝2ny (n ≠0)， 代入点P (4，－2)，解得m ＝12或n ＝－4，所以所求抛物线的标准方程为y 2＝x 或x 2＝－8y .4．以双曲线x 216－y 29＝1的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为________．答案 y 2＝16x解析 ∵双曲线的方程为x 216－y 29＝1，∴右顶点为(4,0)．设抛物线的标准方程为y 2＝2px (p >0)， 则p2＝4，即p ＝8， ∴抛物线的标准方程为y 2＝16x .5．已知抛物线C 1：y ＝2x 2与抛物线C 2关于直线y ＝x 对称，则C 2的准线方程是________． 答案 x ＝－18解析 y ＝2x 2关于y ＝x 对称的曲线为抛物线y 2＝12x ，其准线方程为x ＝－18.6．已知一个圆的圆心C 在抛物线y 2＝4x 上，并且与x 轴、抛物线的准线都相切，则此圆的半径为________． 答案 2解析 设圆心C (x 0，y 0)，则y 20＝4x 0，① 依题意得，半径r ＝|y 0|＝|x 0＋1|，② 由①②得x 0＝1， 故圆的半径r ＝2.7．顶点在原点，对称轴是y 轴，并且顶点与焦点的距离等于3的抛物线的标准方程是________． 答案 x 2＝±12y解析 因为顶点与焦点距离等于3， ∴2p ＝12， 又∵对称轴是y 轴， ∴抛物线的方程为x 2＝±12y .8．抛物线方程为7x ＋4y 2＝0，则焦点坐标为________．答案 ⎝⎛⎭⎫－716，0 解析 方程化为y 2＝－74x ，抛物线开口向左，2p ＝74，p 2＝716，故焦点坐标为⎝⎛⎭⎫－716，0. 9．设抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点A (0,2)．若线段F A 的中点B 在抛物线上，则点B 到该抛物线准线的距离为________． 答案324解析 如图所示，由已知，得点B 的纵坐标为1，横坐标为p4，即B ⎝⎛⎭⎫p 4，1.将其代入y 2＝2px ，得1＝2p ×p 4，解得p ＝2，故点B 到准线的距离为p 2＋p 4＝34p ＝324.10．设O 为坐标原点，F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，A 为抛物线上一点，若OA →·AF →＝－4，则点A 的坐标为________． 答案 (1,2)或(1，－2)解析 设A (x 0，y 0)，F (1,0)，OA →＝(x 0，y 0)， AF →＝(1－x 0，－y 0)，OA →·AF →＝x 0(1－x 0)－y 20＝－4.∵y 20＝4x 0，∴x 0－x 20－4x 0＋4＝0，即x 20＋3x 0－4＝0，x 0＝1或x 0＝－4(舍)． ∴x 0＝1，y 0＝±2.则点A 的坐标为(1,2)或(1，－2)．11．若点P 在抛物线y 2＝x 上，点Q 在圆(x －3)2＋y 2＝1上，则PQ 的最小值是________． 答案112－1 解析 设圆(x －3)2＋y 2＝1的圆心为O ′(3,0)， 要求PQ 的最小值，只需求PO ′的最小值． 设点P 坐标为(y 20，y 0)，则PO ′＝(y 20－3)2＋y 20＝y 40－5y 20＋9＝⎝⎛⎭⎫y 20－522＋114， ∴PO ′的最小值为112，从而PQ 的最小值为112－1.二、解答题12．已知抛物线的顶点在原点，它的准线过x 2a 2－y 2b 2＝1的一个焦点，而且与x 轴垂直．又抛物线与此双曲线交于点⎝⎛⎭⎫32，6，求抛物线和双曲线的方程．解 因为交点在第一象限，抛物线的顶点在原点，其准线垂直于x 轴，所以可设抛物线方程为y 2＝2px (p >0)，将点⎝⎛⎭⎫32，6代入方程得p ＝2，所以抛物线方程为y 2＝4x .准线方程为x ＝－1，由此可知双曲线方程中c ＝1，焦点为(－1,0)，(1,0)，点⎝⎛⎭⎫32，6到两焦点距离之差2a ＝1，所以双曲线的标准方程为x 214－y 234＝1.13．已知抛物线C 的顶点在原点，焦点F 在x 轴的正半轴上，设A ，B 是抛物线C 上的两个动点(AB 不垂直于x 轴)，且AF ＋BF ＝8，线段AB 的垂直平分线恒经过点Q (6,0)，求抛物线的方程．解 设抛物线的方程为y 2＝2px (p >0), 则其准线方程为x ＝－p2.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∵AF ＋BF ＝8，∴x 1＋p 2＋x 2＋p2＝8，即x 1＋x 2＝8－p .∵Q (6,0)在线段AB 的中垂线上，∴QA ＝QB ， 即(6－x 1)2＋(－y 1)2＝(6－x 2)2＋(－y 2)2，又y 21＝2px 1，y 22＝2px 2，∴(x 1－x 2)(x 1＋x 2－12＋2p )＝0. ∵AB 与x 轴不垂直，∴x 1≠x 2.故x 1＋x 2－12＋2p ＝8－p －12＋2p ＝0，即p ＝4. 从而抛物线方程为y 2＝8x . 三、探究与拓展14．已知F 是抛物线y 2＝x 的焦点，A ，B 是该抛物线上的两点，AF ＋BF ＝3，则线段AB 的中点到y 轴的距离为________． 答案 54解析 设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )， ∵AF ＋BF ＝x A ＋x B ＋12＝3，∴x A ＋x B ＝52.∴线段AB 的中点到y 轴的距离为x A ＋x B 2＝54.15．设点P 是抛物线y 2＝4x 上的一个动点．(1)求点P 到A (－1,1)的距离与点P 到直线x ＝－1的距离之和的最小值； (2)若B (3,2)，求PB ＋PF 的最小值． 解 (1)如图，抛物线的焦点为F (1,0)，准线为x ＝－1，由抛物线的定义知点P 到直线x ＝－1的距离等于点P 到焦点F 的距离．于是，问题转化为在曲线上求一点P ，使点P 到点A (－1，1)的距离与点P 到F (1,0)的距离之和最小．显然，连结AF 交曲线于点P ，故最小值为22＋12＝ 5. (2)如图，过点B 作BQ 垂直准线于点Q ，交抛物线于点P 1，此时，P 1Q ＝P 1F ，那么PB ＋PF ≥P 1B ＋P 1Q ＝BQ ＝4，即最小值为4.。
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2.4.1 逆矩阵的概念
1.理解逆矩阵的意义并掌握二阶矩阵存在逆矩阵的条件.
2.会证明逆矩阵的惟一性和(AB )－1＝B －1A －1等简单性质.
3.会从几何变换的角度求出AB 的逆矩阵.
[基础·初探]
1.逆变换
二阶矩阵A 对应着平面上的一个几何变换，它把点(x ，y )变换到点(x ′，y ′).反过来，如果已知变换后的结果(x ′，y ′)，有的变换能“找到回家的路”，让它变回到原来的(x ，y )，我们称它为原变换的逆变换.
2.逆矩阵
对于二阶矩阵A ，B ，若AB ＝BA ＝E ，则称A 是可逆的，B 称为A 的逆矩阵，记作：A －1＝B .
3.逆矩阵的性质
(1)若二阶矩阵A 存在逆矩阵B ，则逆矩阵是惟一的.
(2)若二阶矩阵A ，B 均存在逆矩阵，则AB 也存在逆矩阵，且(AB )－1＝B －1A －1.
(3)已知A ，B ，C 为二阶矩阵，且AB ＝AC ，若矩阵A 存在逆矩阵，则B ＝
C .
4.逆矩阵的求法
一般地，对于二阶矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤a b c d ，当ad －bc ≠0，矩阵A 可逆，且它的逆
矩阵
A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦
⎥⎥⎤d ad －bc －b ad －bc －c ad －bc a ad －bc . [思考·探究]
1.2.2节中六种常见的平面变换哪几个存在逆变换？哪几个不存在？为什
么？
【提示】 恒等、反射、伸压、旋转、切变变换存在逆变换，而投影变换不
存在；因为只有一一映射的变换才存在逆变换，而恒等、反射、伸压、旋转、切
变变换为一一映射、投影变换不是一一映射.
2.是否每个二阶矩阵都可逆？
【提示】 不是，只有当⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d 中ad －bc ≠0时，才可逆，如当A ＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤1 00 0，因为1×0－0×0＝0，
找不到二阶矩阵B ，使得BA ＝AB ＝E 成立，
故A ＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤1 00 0不可逆. 3.若二阶矩阵A ，B ，C 都是可逆矩阵，如何求(ACB )－1?
【提示】 根据逆矩阵的性质及矩阵乘法的结合律得：
(ACB )－1＝[]（AC ）B －1＝B －1(AC )－1＝B －1C －1A －1.
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1： 解惑： 疑问2： 解惑： 疑问3：
解惑：
求出来；若不存在，请说明理由. (1)A ＝⎣
⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 12；(2)B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －20 1； (3)C ＝⎣⎢⎢⎡⎦
⎥⎥⎤1
2 1212 12；(4)D ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0. 【导学号：30650035】 【精彩点拨】 矩阵→对应的几何变换→
判断是否存在逆变换→若存在写出逆变换→逆矩阵
【自主解答】 (1)矩阵A 对应的是伸压变换，它将平面内点的横坐标保持
不变，纵坐标沿y 轴方向压缩为原来的12，因此，它存在逆变换：将平面内的点
的横坐标保持不变，纵坐标沿y 轴方向伸长为原来的2倍，所对应的变换矩阵记为
A －1＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤1 00 2. (2)矩阵B 对应的是切变变换，它将平面内点的纵坐标保持不变，横坐标依
纵坐标的比例减少，且(x ，y )→(x －2y ，y ).它存在逆变换：将平面内点的纵坐标保持不变，横坐标依纵坐标的比例增加，且(x ，y )→(x ＋2y ，y )，所对应的变换矩。