几种不同增长函数模型
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几类不同增长的函数模型
几类不同增长的函数模型在我们的日常生活和各种科学领域中，函数模型扮演着极其重要的角色。
它们能够帮助我们理解和预测事物的变化趋势，为决策提供有力的依据。
今天，咱们就来聊聊几类常见的不同增长的函数模型。
首先，咱们来谈谈线性函数模型。
这可以说是最简单直观的一种了。
线性函数的表达式通常是 y ＝ kx ＋ b，其中 k 是斜率，b 是截距。
斜率 k 决定了函数的增长速度，如果 k 是正数，函数就会随着 x 的增大而增大；如果 k 是负数，函数就会随着 x 的增大而减小。
比如说，你每天固定工作 8 小时，每小时工资 50 元，那么你的日收入和工作天数之间的关系就是一个线性函数，y ＝ 50x，其中 x 是工作的天数，y 是你的总收入。
这种函数模型的增长速度是恒定的，不会出现突然加快或者减慢的情况。
接下来，再看看指数函数模型。
指数函数的一般形式是 y ＝ a^x ，其中 a 是底数且 a ＞ 0 且a ≠ 1 。
当 a ＞ 1 时，函数呈现出爆炸式的增长；当 0 ＜ a ＜ 1 时，函数则是急剧下降的。
想象一下，把一笔钱存入银行，年利率是 5%，如果按照复利计算，那么多年后你的存款金额和时间的关系就可以用指数函数来表示。
开始的时候增长可能不太明显，但随着时间的推移，增长速度会越来越快。
然后是对数函数模型。
对数函数通常的形式是 y ＝logₐ x ，其中 a是底数。
它的增长速度是相对缓慢的。
比如说，测量声音的强度，就是用对数函数来表示的。
声音强度每增加一定的倍数，人们感觉到的音量变化并不是等比例的，而是相对较小的，这就符合对数函数的特点。
咱们再对比一下这几种函数模型的增长特点。
线性函数是匀速增长，就像你在平坦的道路上以稳定的速度行走。
指数函数则像是跑步冲刺，一开始可能不明显，但很快就会加速飞奔。
而对数函数呢，更像是慢慢爬坡，虽然一直在前进，但速度相对较慢。
在实际应用中，我们要根据具体的问题选择合适的函数模型。
几类不同增长的函数模型
定义与公式
定义
幂函数是一种特殊的函数形式，通常表 示为`f(x) = x^n`，其中n是实数。
VS
公式
幂函数的公式为f(x) = x^n，其中x为底 数，n为指数。
幂函数增长的特点
增长率
幂函数的增长率随着n的增大而增大，即指数越大，函数增长速 度越快峭，随着x的增大，函数值 增长越来越快。
对数增长的应用
01
金融领域
对数增长函数模型被广泛应用于 金融领域，如股票价格、债券收 益率等变量的预测和分析。
02
03
环境科学
生物学
在环境科学领域，对数增长函数 模型被用于描述污染物在环境中 的扩散和稀释过程。
在生物学中，对数增长函数模型 被用于描述细菌生长、人口增长 等生物学过程。
04
幂函数增长模型
。
工业生产
在工业生产中，如果生产速度与 时间成正比，那么可以使用线性 增长函数来描述生产情况。通过 调整参数 k 可以控制单位时间内
生产的数量。
其他应用
线性增长函数还可以应用于描述 某些物理现象，如弹簧的伸长量
与受到的力成正比等。
02
指数增长函数模型
定义与公式
定义
指数增长函数模型是一种特殊的增长函数，其增长速度与时间成正比，通常表 示为 y = ae^rt，其中 a 为初始值，r 为增长率，t 为时间。
经济问题
高次多项式增长函数可以描述经济现象的变化 ，例如收益曲线、成本曲线等。
信号处理
高次多项式增长函数可以用于信号处理领域，例如频谱分析、滤波等。
06
分段函数增长模型
定义与公式
01
分段函数增长模型是指函数在 各个区间内具有不同的增长趋 势和公式。
几类不同增长的函数模型_课件2
【答案】y＝2x(x∈N*)
4．某商人购货，进价已按原价a扣去25%，他希望对货物 订一新价，以便按新价让利20%销售后仍可获得售价25%的纯 利，则此商人经营这种货物的件数x与按新价让利总额y之间的 函数关系是________．
【答案】y＝a4x(x∈N*) 解析：设新价为 b 元，则销售价为(1－20%)b，进价为 a(1－25%)，则(1－20%)b－(1－25%)a 是每件的纯利，∴b(1
题型二 指数函数模型的应用 【例2】 某城市现有人口总数为100万人，如果年自然增 长率为1.2%，试解答下面的问题： (1) 写 出 该 城 市 人 口 总 数 y( 万 人 ) 与 年 份 x( 年 ) 的 函 数 关 系 式； (2)计算10年以后该城市人口总数(精确到0.1万人)； (3)计算大约多少年以后该城市人口将达到120万人(精确到 1年)． (1.01210＝1.127,1.01215＝1.196,1.01216＝1.210) 思路点拨：根据指数函数的增长速度进行求解即可．
1．学校商店出售软皮本和精美铅笔，软皮本每本2元，铅 笔每枝0.5元．该店推出两种优惠办法：(1)买一本软皮本，赠 送一枝精美铅笔；(2)按总价的92%付款．某位同学需买软皮本 4本，铅笔若干枝(不少于4枝)，若购买铅笔x枝，总付款为 y(角)，试分别建立两种优惠办法中y与x之间的函数关系式．
解：付款分两部分，软皮本款和铅笔款，需要分别计算． 由优惠办法(1)，得函数关系式为 y1＝20×4＋5(x－4)＝5x＋60(x≥4且x∈N*)． 由优惠办法(2)，可得函数关系式为 y2＝(5x＋20×4)×92%＝4.6x＋73.6(x≥4且x∈N*)．
错因分析：错因在于未读懂图象，从而作出错误判断．对 于②，不能依据图象的位置判断位移大小，要经计算判断；对 于④，乙的位移计算错误．
几类不同增长的函数模型ppt
Gompertz 模型
05
成长曲线函数模型
指数增长模型
模型表达式为y=Ke^rt，其中K为初始量，r为增长比率，t为时间。这类模型在早期阶段增长缓慢，但随着时间的推移，增长速度逐渐加快。
对数增长模型
模型表达式为y=K+clgt，其中K为初始量，c为增长极值，l为自然对数的底数。这类模型在早期阶段增长迅速，但随着时间的推移，增长速度逐渐减慢。
阶段性增长模型
Logistic增长模型
模型表达式为y=K/(1+e^(rt))。这类模型在早期阶段增长迅速，但随着时间的推移，增长速度逐渐减慢，最终趋于饱和。
Gompertz 模型
模型表达式为y=K*exp(r*(1-exp(-t/a)))。这类模型在早期阶段增长迅速，但随着时间的推移，增长速度逐渐减慢，最终趋于饱和。
04
幂增长函数模型
VS
对数函数模型（Logarithmic function model）是一种常见的增长函数，描述了增长初期和增长末期的情况。它的基本形式为 `f(t) = A + B*ln(t)`，其中 `A` 和 `B` 是模型参数。
对数函数模型的特点是在时间轴上快速递增，但增长速度逐渐放缓，因此在描述初期增长线性模型
03
指数增长函数模型
描述
逻辑回归是一种广义的线性模型，用于解决二分类问题，通过引入sigmoid函数将线性回归的输出映射到(0,1)之间，以获得概率预测。
应用场景
逻辑回归在很多场景中都有广泛应用，如二元分类问题、用户流失分析、点击率预测等。
逻辑回归模型
描述
爆炸性增长模型是指函数在自变量的某个区间内增长速度非常快，呈现出爆炸性的特征。
幂函数模型
几类不同增长的函数模型 课件
(2)如图所示，折线是某电信局规定打长途电话所需 要付的电话费y(元)与通话时间t(分钟)之间的函数 关系图象，根据图象填空：
①通话2分钟，需付电话费________元．
②通话5分钟，需付电话费________元．
③如果t≥3，则电话费y(元)与通话时间t(分钟)之间 的函数关系式为________．
几类不同增长的函数模型
常见的增长模型
1．线性函数模型
线性函数模型y＝kx＋b(k>0)的增长特点是直线上升，其增长速度不 变．
2．指数函数模型
能 利 用 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _指_ _数_ _函_ _数_ _(_底_ _数_ _a_>_1_)_ _ _ _ 表 达 的 函 数 模 型 叫 指 数 函
数模型．指数函数模型的特点是随自变量的增大，函数值的增长速 度越来越快，常形象地称为指数爆炸．
3．对数函数模型 能 用 _ _ _ _ _ _ _对_ _数_函_ _数_ _(_底_数_ _a_>_1_)_ _ _ 表 达 的 函 数 模 型 叫 做 对
数函数模型，对数函数增长的特点是随自变量的增大 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _越_ _来_越_ _慢_ _ ， 函 数 值 增 长 速 度 _____________．
函数模型的增长差异
(1)下列函数中，随x的增大，增长速度最快的是( )
A．y＝60x
B．y＝x60
C．y＝60x D．y＝log60x(x∈N*) (2)研究函数y＝0.3ex－3，y＝ln(x＋2)，y＝x2－2在[0，＋
∞)上的增长情况．
[思路探究] 1．处理函数模型增长速度差异问题的关键是什么？ 2．对数函数模型和指数函数模型的增长速度有何差异？
几种不同增长的函数模型课件
,
5
2.5 = = ·
4 .
5
∴
4
2
= ,
4
1
= ,
2
5
1
2
∴y1= 4 ,x∈[0,+∞).
P2:y2=bx+c 过点(0,0),(4,1),
= 0,
1
1
∴
∴y2= 4x,x∈[0,+∞).
= ,
4
总利润
(2)设用 x 万元投资甲商品,则投资乙商品为(10-x)万元,总利润
P1:y1=axn,P2:y 2=bx+c 如图所示.
(1)求函数 y1,y2 的解析式;
(2)为使投资获得最大利润,应怎样分配投资额,才能获得最大利
润.
【审题策略】函数图象
y1 与 y2 的解析式
y=y1+y2
最大利润
【规范展示】解:(1)P1:y 1=axn 过点(1,1.25),(4,2.5),
为 y 万元.
1
2
5
1
根据题意得 y= + (10-x)
1
4
1
5
)2+
4
5 2
4
2
=- (
=-
-
4
+
+
65
16
5
10
4
4
(0≤x≤10),
当且仅当 = ,
25
2
即 x= =6.25 时,
4
65
ymax= ,投资乙商品为 10-6.25=3.75(万元).
16
所以用 6.25 万元投资甲商品,3.75 万元投资乙商品,才能获得最
5
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∴y2= 4x,x∈[0,+∞).
= ,
4
总利润
(2)设用 x 万元投资甲商品,则投资乙商品为(10-x)万元,总利润
P1:y1=axn,P2:y 2=bx+c 如图所示.
(1)求函数 y1,y2 的解析式;
(2)为使投资获得最大利润,应怎样分配投资额,才能获得最大利
润.
【审题策略】函数图象
y1 与 y2 的解析式
y=y1+y2
最大利润
【规范展示】解:(1)P1:y 1=axn 过点(1,1.25),(4,2.5),
为 y 万元.
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根据题意得 y= + (10-x)
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所以用 6.25 万元投资甲商品,3.75 万元投资乙商品,才能获得最
课时达标检测几类不同增长的函数模型
课时达标检测几类不同增长的函数模型在数学中，函数可以用来描述变量之间的关系。
而不同类型的函数模型则可以用来描述这些关系的增长方式。
下面将介绍一些常见的函数模型。
1.线性增长模型：线性函数是最简单的一类函数模型，表示为 f(x) = ax + b，其中a和b为常数。
线性函数的图像是一条直线，增长速度恒定且呈直线趋势。
这种模型适用于简单的增长关系，比如物体的匀速直线运动。
2.指数增长模型：指数函数是一种常见的非线性增长模型，表示为f(x)=a^x，其中a为常数。
指数函数的图像是递增或递减的曲线，增长速度随着x的增加而指数级增加。
这种模型适用于一些现实世界中的增长现象，如人口增长和电子器件的寿命。
3.幂函数增长模型：幂函数是另一种常见的非线性增长模型，表示为 f(x) = ax^b，其中a和b为常数。
幂函数的图像是典型的S形曲线，增长速度随着x的增加而减缓。
这种模型适用于一些复杂的增长关系，如生物种群的增长和金融市场的发展。
4.对数增长模型：对数函数是一种特殊的非线性增长模型，表示为 f(x) = logax，其中a为常数。
对数函数的图像是一条递增但增长速度逐渐减缓的曲线。
这种模型适用于一些增长趋势相对缓慢的关系，如细菌的增长和信息传输的速度。
需要注意的是，上述的函数模型只是一些常见的例子，并不能穷尽所有的可能性。
实际问题中，可能需要根据具体情况选择不同的函数模型来描述变量之间的关系。
此外，还可以将不同类型的函数模型进行组合和变换，以适应更复杂的增长过程。
在实际应用中，可以通过观察数据的变化趋势来选择合适的函数模型。
并利用统计方法来估计函数模型的参数，从而得到最佳拟合的函数曲线。
同时，还可以利用函数模型来进行预测和推断，以了解变量之间的关系及其未来的发展趋势。
总之，不同类型的函数模型可以用来描述不同的增长方式。
选择合适的函数模型可以更好地理解和解释数据的背后规律，从而对实际问题做出更准确的预测和分析。
几种不同增长的函数模型
(a＞1) (a＞1) (n＞1)
在（0，+∞） 增函数 增函数 增函数
上的增减性
图象的变化 随x的增大与y轴靠 随x的增大与x轴靠 随n值而不同
几种不同增长的函数模型几种不同增长的函数模型
南安二中 黄清余 2008年10月16日
三种函数模型的性质三种函数模型的性质
函数
性质 y=ax y=logax y=xn
轴靠近轴靠近
n 33、对数函数增长速度相对慢一些、对数函数增长速度相对慢一些
例题：下列函数随例题：下列函数随xx增长速度最快的是增长速度最快的是(( ))
n (A)y=50(A)y=50 (B)y=1000x(B)y=1000x
n (C)(C) y=0.4*y=0.4*2x-1x-1 (D)y=(1/10000)(D)y=(1/10000)eexx
n 选选DD：虽然：虽然CC、、DD表示的是指数函数都是增长速度表示的是指数函数都是增长速度
很快，但显然很快，但显然ee＞＞22的，所以的，所以…………
近 近
以下是几种函数的图象以下是几种函数的图象
观察以上三种函数你认为哪一种函观察以上三种函数你认为哪一种函
数的增长速度快数的增长速度快
n 11、指数函数是爆炸式增长、指数函数是爆炸式增长
n 22、幂函数的增长速度是随底数的增大而向、幂函数的增长速度是随底数的增大而向yy
在（0，+∞） 增函数 增函数 增函数
上的增减性
图象的变化 随x的增大与y轴靠 随x的增大与x轴靠 随n值而不同
几种不同增长的函数模型几种不同增长的函数模型
南安二中 黄清余 2008年10月16日
三种函数模型的性质三种函数模型的性质
函数
性质 y=ax y=logax y=xn
轴靠近轴靠近
n 33、对数函数增长速度相对慢一些、对数函数增长速度相对慢一些
例题：下列函数随例题：下列函数随xx增长速度最快的是增长速度最快的是(( ))
n (A)y=50(A)y=50 (B)y=1000x(B)y=1000x
n (C)(C) y=0.4*y=0.4*2x-1x-1 (D)y=(1/10000)(D)y=(1/10000)eexx
n 选选DD：虽然：虽然CC、、DD表示的是指数函数都是增长速度表示的是指数函数都是增长速度
很快，但显然很快，但显然ee＞＞22的，所以的，所以…………
近 近
以下是几种函数的图象以下是几种函数的图象
观察以上三种函数你认为哪一种函观察以上三种函数你认为哪一种函
数的增长速度快数的增长速度快
n 11、指数函数是爆炸式增长、指数函数是爆炸式增长
n 22、幂函数的增长速度是随底数的增大而向、幂函数的增长速度是随底数的增大而向yy
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增函数
增函数
随x的增大逐渐 随x的增大逐渐 上升 上升
2.联想几种常见的函数图象， 感悟它们的增长速度有什么不同？如： 一次函数、 幂函数、 对数函数、指数函数等？
一、学习准备
3.阅读材料： 澳大利亚兔子数“爆炸” 在教科书第三章的章头图中，有一大群喝水、嬉戏的兔子，但是这群兔子曾使澳大利亚 伤透了脑筋． 1859 年，有人从欧洲带进澳洲几只兔子，由于澳洲有茂盛的牧草，而且没有 兔子的天敌，兔子数量不断增加，不到 100 年，兔子们占领了整个澳大利亚，数量达到 75 亿只．可爱的兔子变得可恶起来，75 亿只兔子吃掉了相当于 75 亿只羊所吃的牧草，草原的 载畜率大大降低，而牛羊是澳大利亚的主要牲口．这使澳大利亚头痛不已，他们采用各种方 法消灭这些兔子， 直至二十世纪五十年代， 科学家采用载液瘤病毒杀死了百分之九十的野兔， 澳大利亚人才算松了一口气． 你从这段阅读材料感悟些什么？你的感悟就是我们本节课要研究的！
重点：
将实际问题转化为函数模型，比较常数函数、一次函数、指数函数、对数函数 模型的增长差异，结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型 增长的含义．
难点提示：
怎样选择数学模型分析解决实际问题．
1.请同学们课前将学案与教材 P8994 结合进行自主学习（对教材中的文字、图象、表格、符 号、观察、思考、说明与注释、例题及解答、阅读与思考、小结等都要仔细阅读） 、小组讨 论，积极思考提出更多、更好、更深刻的问题，为课堂学习做好充分的准备； 2.在学习过程中用好“十二字学习法”即： “读” 、 “挖” 、 “举” 、 “联” 、 “用” 、 “悟” 、 “听” 、 “问” 、 “通” 、 “总” 、 “研” 、 “会” ，请在课堂上敢于提问、敢于质疑、敢于讲解与表达.
二、探究新知Βιβλιοθήκη ●变式练习 某市移动通讯公司开设了两种通讯业务： 全球通使用者先缴 50 元基础 费，然后每分钟通话 1 分钟付话费 0.4 元；神州行不交月基础费，每通话 1 分钟付话费 0.6 元，若设一个月内通话 x 分钟，两种通讯业务的费用分别为 y1 元和 y2 元，那么： （1）写出 y1 、 y2 与 x 之间的函数关系式； （2）在同一坐标系中画出两函数的图象； （3）求出或寻求出一个月内通话多少分钟，两种通讯业务费用相同； （4）若某人预计一个月内使用话费 200 元，应选择哪种通讯业务较为和算？ 解：
(1) y1 50 0.4 x; y2 0.6 x(2)作图略；（3）令y1 =y2 50 0.4 x 0.6 x x 250， 当通话时间为250分钟两种费用相同。（4）当y1 50 0.4 x=200 x 375 当y2 0.6 x =200 x 333.3 375 333.3 选择神州行较为合算。
见教材P97答案
二、探究新知
●探究反思 ●变式练习 前面两个问题的题型给你有怎样的启示？求解他们有怎样的步骤与方 1.某公司为了适应市场需求对产品结构做了重大调整， 调整后初期利润增 法？入手点、关键点在哪里？（链接 1） 长迅速， 后来增长越来越慢， 若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润 y 与时间 x 的关系，可选用( D )． A.一次函数； B.二次函数； C.指数型函数； )．
x/天
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 „.. 30
y/元
增加量/元
y/元
增加量/元
y/元
增加量/元
40 40 40 40 40 40 40 40 40 40 40 40
二、探究新知
（2）在同一直角坐标系中，作出它们的图像（见教材） ●思考(请将你的思考结果填写在下列空白处，然后与教材 P96 倒数第二段对比) 从上表中的数据和函数图像， （1）方案一、二、三的函数模型分别是___ 的增加量是成倍增加的. （3）投资方案的选择： 解： ●归纳概括
二、探究新知
探究 1 .（P95 例 2）假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三 种方案的回报如下：方案一：每天回报 40 元； 方案二：第一天回报 10 元，以后每天比前一天多回报 10 元. 方案三：第一天回报 0.4 元，以后每天的回报比前一天翻一番 . 探究策略 （1）列出每种方案第 x 天所得回报，请完成下表： 方案一 方案二 方案三
一、学习准备
1.前面我们学习了函数，性质，几种特殊函数的概念、图像、性质，请同学们仔细回顾 后完成下列填空： 三种函数模型的性质（请填写下列表格） 函数性质 在(0，＋∞)上的增减性 图象的变化
y a x (a 1)
y loga x(a 1)
y xn (n 0)
增函数
随 x 增大逐 渐上升
1. 结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同增长的函数模型意义，理解它们 的增长差异性； 2.能够借助信息技术，利用函数图象及数据表格，对几种常见增长类型的函数的增长状 况进行比较，初步体会它们的增长差异性；收集一些社会生活中普遍使用的函数模型（指数 函数、对数函数、幂函数、分段函数等） ，了解函数模型的广泛应用． 3.体验函数是描述宏观世界变化规律的基本数学模型，体验指数函数、对数函数等函数 与现实世界的密切联系及其在刻画现实问题中的作用．
二、探究新知
探究 2 .（P97 例 2）某公司为了实现 1000 万元利润的目标，准备制定一个激励销售人 员的奖励方案：在销售利润达到 10 万元时，按销售利润进行奖励，且奖金 y （单位：万元） 随销售利润 x （单位：万元）的增加而增加，但奖金总数不超过 5 万元，同时奖金不超过利 润的 25 ℅.现有三个奖励模型： y 0.25 x ， y log 7 x 1 ， y 1.002x ，其中哪个模型能符 合公司的要求？ 思路启迪 解： 首先弄清销售利润 x 的范围在哪里？理解“奖金总数不超过 5 万元、奖金 不超过利润的 25 ﹪”的本质是什么？在思考将这些数据代入上面三个函数一一验证！
常数函数、一次函数、指数函数
__、__
__、__
_函数.
0 ，方案二的函数的增加量_________ 10 （2）方案一的函数的增加量______ ，方案三的函数 投资5天以下选方案1,投资5到8天选方案2，投资8 . 天以上选方案3
快得多 指数函数比线性函数增长速度______________________