【课堂新坐标】2017届高三文科数学(通用版)二轮复习：技法强化训练(三) 分类讨论思想 Word版含解析

技法强化训练(三) 分类讨论思想题组1 由概念、法则、公式引起的分类讨论1．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝P n －1(P 是常数)，则数列{a n }是( ) A ．等差数列 B.等比数列 C.等差数列或等比数列 D.以上都不对D ∵S n ＝P n －1，∴a 1＝P －1，a n ＝S n －S n －1＝(P －1)P n －1(n ≥2)． 当P ≠1且P ≠0时，{a n }是等比数列； 当P ＝1时，{a n }是等差数列；当P ＝0时，a 1＝－1，a n ＝0(n ≥2)，此时{a n }既不是等差数列也不是等比数列．]2．(2016·长春模拟)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧－x 2＋ax ，x ≤1，2ax －5，x ＞1.若存在x 1，x 2∈R ，且x 1≠x 2，使得f (x 1)＝f (x 2)成立，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，2) B.(－∞，4) C.2,4]D.(2，＋∞)B 当－a－2＜1，即a ＜2时，显然满足条件；当a ≥2时，由－1＋a ＞2a －5得2≤a ＜4， 综上可知a ＜4.]3．已知函数f (x )的定义域为(－∞，＋∞)，f ′(x )为f (x )的导函数，函数y ＝f ′(x )的图象如图1所示，且f (－2)＝1，f (3)＝1，则不等式f (x 2－6)＞1的解集为( )图1A ．(－3，－2)∪(2,3)B ．(－2，2) C.(2,3)D ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)A 由导函数图象知，当x ＜0时，f ′(x )＞0， 即f (x )在(－∞，0)上为增函数，当x ＞0时，f ′(x )＜0，即f (x )在(0，＋∞)上为减函数，又不等式f (x 2－6)＞1等价于f (x 2－6)＞f (－2)或f (x 2－6)＞f (3)，故－2＜x 2－6≤0或0≤x 2－6＜3，解得x ∈(－3，－2)∪(2,3)．]4．已知实数m 是2,8的等比中项，则曲线x 2－y 2m ＝1的离心率为( )A.2B.32C.5D.5或32D 由题意可知，m 2＝2×8＝16，∴m ＝±4. (1)当m ＝4时，曲线为双曲线x 2－y 24＝1.此时离心率e ＝ 5.(2)当m ＝－4时，曲线为椭圆x 2＋y 24＝1.此时离心率e ＝32.]5．设等比数列{a n }的公比为q ，前n 项和S n >0(n ＝1,2,3，…)，则q 的取值范围是________．(－1,0)∪(0，＋∞) 因为{a n }是等比数列，S n >0，可得a 1＝S 1>0，q ≠0. 当q ＝1时，S n ＝na 1>0； 当q ≠1时，S n ＝a 1(1－q n )1－q>0，即1－q n 1－q >0(n ∈N *)，则有⎩⎨⎧1－q >0，1－q n >0 ① 或⎩⎨⎧1－q <0，1－q n<0，② 由①得－1<q <1，由②得q >1.故q 的取值范围是(－1,0)∪(0，＋∞)．]6．若x ＞0且x ≠1，则函数y ＝lg x ＋log x 10的值域为________．(－∞，－2]∪2，＋∞) 当x ＞1时，y ＝lg x ＋1lg x ≥2lg x ·1lg x ＝2，当且仅当lg x ＝1，即x ＝10时等号成立；当0＜x ＜1时，y ＝lg x ＋1lg x ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤(－lg x )＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－1lg x ≤－2(－lg x )·1(－lg x )＝－2，当且仅当lg x ＝1lg x ，即x ＝110时等号成立．∴y ∈(－∞，－2]∪2，＋∞)．] 题组2 由参数变化引起的分类讨论7．已知集合A ＝{x |1≤x ＜5}，C ＝{x |－a ＜x ≤a ＋3}．若C ∩A ＝C ，则a 的取值范围为( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－32，－1B.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－32 C.(－∞，－1]D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，＋∞ C 因为C ∩A ＝C ，所以C ⊆A .①当C ＝∅时，满足C ⊆A ，此时－a ≥a ＋3，得a ≤－32；②当C ≠∅时，要使C ⊆A ，则⎩⎨⎧－a ＜a ＋3，－a ≥1，a ＋3＜5，解得－32＜a ≤－1.由①②得a ≤－1.]8．(2016·保定模拟)已知不等式组⎩⎨⎧x ＋y ≤1，x －y ≥－1y ≥0，所表示的平面区域为D ，若直线y ＝kx －3与平面区域D 有公共点，则k 的取值范围为( )【导学号：85952006】A ．－3,3]B.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－13∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，＋∞ C.(－∞，－3]∪3，＋∞) D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，13C 满足不等式组的平面区域如图中阴影部分所示．∵y ＝kx －3过定点(0，－3)，∴当y ＝kx －3过点C (1,0)时，k ＝3；当y ＝kx －3过点B (－1,0)时，k ＝－3.∴k ≤－3或k ≥3时，直线y ＝kx －3与平面区域D 有公共点，故选 C.]9．已知函数f (x )＝(a ＋1)ln x ＋ax 2＋1，试讨论函数f (x )的单调性． 解] 由题意知f (x )的定义域为(0，＋∞)，1分 f ′(x )＝a ＋1x ＋2ax ＝2ax 2＋a ＋1x.2分①当a ≥0时，f ′(x )>0，故f (x )在(0，＋∞)上单调递增.4分 ②当a ≤－1时，f ′(x )<0，故f (x )在(0，＋∞)上单调递减.6分 ③当－1<a <0时，令f ′(x )＝0，解得x ＝－a ＋12a ，7分则当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－a ＋12a 时，f ′(x )>0；当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫－a ＋12a ，＋∞时，f ′(x )<0.故f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－a ＋12a 上单调递增，在⎝⎛⎭⎪⎫－a ＋12a ，＋∞上单调递减.10分综上，当a ≥0时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增； 当a ≤－1时，f (x )在(0，＋∞)上单调递减； 当－1<a <0时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－a ＋12a 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－a ＋12a ，＋∞上单调递减.12分题组3 根据图形位置或形状分类讨论10．已知中心在坐标原点，焦点在坐标轴上的双曲线的渐近线方程为y ＝±34x ，则双曲线的离心率为( )A.54 B.53 C.54或53D.35或45C 若双曲线的焦点在x 轴上，则b a ＝34，e ＝ca ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝54；若双曲线的焦点在y 轴上，则b a ＝43，e ＝ca ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝53，故选 C.]11．正三棱柱的侧面展开图是边长分别为6和4的矩形，则它的体积为________.【导学号：85952007】43或833若侧面矩形的长为6，宽为4，则 V ＝S 底×h ＝12×2×2×sin 60°×4＝4 3. 若侧面矩形的长为4，宽为6，则 V ＝S 底×h ＝12×43×43×sin 60°×6＝833.]图212．已知中心在原点O ，左焦点为F 1(－1,0)的椭圆C 的左顶点为A ，上顶点为B ，F 1到直线AB 的距离为77|OB |.(1)求椭圆C 的方程；(2)若椭圆C 1的方程为：x 2m 2＋y 2n 2＝1(m ＞n ＞0)，椭圆C 2的方程为：x 2m 2＋y 2n 2＝λ(λ＞0，且λ≠1)，则称椭圆C 2是椭圆C 1的λ倍相似椭圆．如图2，已知C 2是椭圆C 的3倍相似椭圆，若椭圆C 的任意一条切线l 交椭圆C 2于两点M ，N ，试求弦长|MN |的取值范围．解] (1)设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)， ∴直线AB 的方程为x －a＋yb ＝1，∴F 1(－1,0)到直线AB 的距离d ＝|b －ab |a 2＋b 2＝77b ，2分a2＋b2＝7(a－1)2，又b2＝a2－1，解得a＝2，b＝3，3分故椭圆C的方程为x24＋y23＝1.4分(2)椭圆C的3倍相似椭圆C2的方程为x212＋y29＝1，5分①若切线l垂直于x轴，则其方程为x＝±2，易求得|MN|＝2 6.6分②若切线l不垂直于x轴，可设其方程y＝kx＋b，将y＝kx＋b代入椭圆C的方程，得(3＋4k2)x2＋8kbx＋4b2－12＝0，7分∴Δ＝(8kb)2－4(3＋4k2)(4b2－12)＝48(4k2－3－b2)＝0，即b2＝4k2＋3，(*)8分记M，N两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)．将y＝kx＋b代入椭圆C2的方程，得(3＋4k2)x2＋8kbx＋4b2－36＝0，9分此时x1＋x2＝－8kb3＋4k2，x1x2＝4b2－363＋4k2，|x1－x2|＝43(12k2＋9－b2)3＋4k2，10分∴|MN|＝1＋k2×43(12k2＋9－b2)3＋4k2＝461＋k23＋4k2＝261＋13＋4k2.∵3＋4k2≥3，∴1＜1＋13＋4k2≤43，即26＜261＋13＋4k2≤4 2.综合①②得：弦长|MN|的取值范围为26，42].12分。