手拉手模型ppt课件
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初中数学课件全等三角形-手拉手模型
∠ = 90°．
（1）求证： = ；
（2）求证：和垂直。
确认预判Ⅲ
• 如图，分别以△ 的边，向外作等边三角形和等边三角形，
线段与相交于点，连接．
（1）求证： = ；
（2）求∠的度数；
（3）求证：平分∠．
课程目标
∴ ∠ = ∠
∠ = ∠ = 60°
∵∠ = ∠，
∴ ∠ = ∠
∠ + ∠ + ∠ = 180°
∴ △ ≌ △
∠ + ∠ + ∠ = 180°
(2). ∵△ ≌ △
∴ ∠ = ∠ = 60°，
，
例题讲解
•
如图，已知△ 和△ 都是等腰直角三角形，∠ = ∠ = 90°，
点为边上一点．
（1）求证：△ ≅△ ；
（2）求证：△ 是直角三角形；
例题解析
（1） 证明： ∵△ 和 △ 都是等腰直角三角形，
∴ ∠ = ∠ = 45°， = ， = ，
、分别是线段、的中点．
（1）求证：＝；
（2）求∠的度数；
应用练习
• 如图，点是线段上一点，且 < ．如图，当△ 和△ 都是等
边三角形时，连接，，分别交、于点、．
(1)求证： = ；
(2)判断△ 是何特殊三角形并说明理由；
∴ =
即与的夹角为60°
解题方法
应用练习
如图，点、、在同一条直线上，△ 与△ 都是等边三角形，则下
列结论不一定成立的是（
A. △ ≅△
B. △ ≅△
C. △ ≅△
D. △ ≅△
）
应用练习
• 已知：如图，△ 、 △ 都是等边三角形，、相交于点，点
八下数学手拉手模型ppt课件
D
B
M A
已知：以△ABC的三边为边 长分别作等边△ABD、等边 △BCM和等边△ACE。
根据上面条件回答下面问 题：
E 1.判定四边形DMEA的形状，
并证明 2.当△ABC满足什么条件时， 四边形DMEA是矩形？菱形？ 正方形？ 3.当△ABC满足什么条件时， 四边形DMEA不存在？
C
寒假来临，不少的高中毕业生和大学 在校生 都选择 去打工 。准备 过一个 充实而 有意义 的寒假 。但是 ，目前 社会上 寒假招 工的陷 阱很多
∠ＣＰＤ，点Ｅ、Ｆ、Ｇ、Ｈ分别是边ＡＢ、ＢＣ、ＣＤ、ＤＡ的中点。判断中点四边形Ｅ
ＦＧＨ的形状，并说明理由
ＨD A
Ｇ
A
ＨD
Ｅ
Ｐ
Ｇ
Ｅ
B
ＦC
B
Ｆ
C
（３）若改变（２）中的条件，使∠AＰB＝∠ＣＰＤ＝９０°，其他条件不变，直接 写中点四边形ＥＦＧＨ的形状
寒假来临，不少的高中毕业生和大学 在校生 都选择 去打工 。准备 过一个 充实而 有意义 的寒假 。但是 ，目前 社会上 寒假招 工的陷 阱很多
两个等腰直角三角形的手拉手模型
A D
已知：如图，∠ACB=∠DCE=90°， AC=BC，DC=EC,点D在AB上
（1）说明BD与AE的关系
（2）求证：AD2+BD2=DE2 （3）求证：AD2+BD2=2DC2
E
B
C
寒假来临，不少的高中毕业生和大学 在校生 都选择 去打工 。准备 过一个 充实而 有意义 的寒假 。但是 ，目前 社会上 寒假招 工的陷 阱很多
已知：以△ABC的边AB和AC为边长分别作等边
△ABD和等边△ACE，点M、P、N分别是DB，BC，
B
M A
已知：以△ABC的三边为边 长分别作等边△ABD、等边 △BCM和等边△ACE。
根据上面条件回答下面问 题：
E 1.判定四边形DMEA的形状，
并证明 2.当△ABC满足什么条件时， 四边形DMEA是矩形？菱形？ 正方形？ 3.当△ABC满足什么条件时， 四边形DMEA不存在？
C
寒假来临，不少的高中毕业生和大学 在校生 都选择 去打工 。准备 过一个 充实而 有意义 的寒假 。但是 ，目前 社会上 寒假招 工的陷 阱很多
∠ＣＰＤ，点Ｅ、Ｆ、Ｇ、Ｈ分别是边ＡＢ、ＢＣ、ＣＤ、ＤＡ的中点。判断中点四边形Ｅ
ＦＧＨ的形状，并说明理由
ＨD A
Ｇ
A
ＨD
Ｅ
Ｐ
Ｇ
Ｅ
B
ＦC
B
Ｆ
C
（３）若改变（２）中的条件，使∠AＰB＝∠ＣＰＤ＝９０°，其他条件不变，直接 写中点四边形ＥＦＧＨ的形状
寒假来临，不少的高中毕业生和大学 在校生 都选择 去打工 。准备 过一个 充实而 有意义 的寒假 。但是 ，目前 社会上 寒假招 工的陷 阱很多
两个等腰直角三角形的手拉手模型
A D
已知：如图，∠ACB=∠DCE=90°， AC=BC，DC=EC,点D在AB上
（1）说明BD与AE的关系
（2）求证：AD2+BD2=DE2 （3）求证：AD2+BD2=2DC2
E
B
C
寒假来临，不少的高中毕业生和大学 在校生 都选择 去打工 。准备 过一个 充实而 有意义 的寒假 。但是 ，目前 社会上 寒假招 工的陷 阱很多
已知：以△ABC的边AB和AC为边长分别作等边
△ABD和等边△ACE，点M、P、N分别是DB，BC，
1.手拉手模型-课件PPT
∴∠BAD=∠CAE
∵
AB AD
=
AC AE
∴
AB AC
=
AD AE
∴△ABD ∽ △ACE(SAS) （两个三角形：不等腰，相似）
图片来源：几何数学公众号
二、结论1
结论
1. ∠BAC=∠DAE
2.
AB AD
=
AC AE
△ABC ∽ △ADE (两个三角形：不等腰，相似)
给妹妹讲初中数学
已知条件
1. ∵ ∠BAC=∠DAE ∠BAC=∠BAD±∠DAC ∠DAE=∠CAE±∠DAC
③两个三角形面积相等 ④底边是中线的2倍
三、转化
这么多结论，听懂了，也记住了，是不是可以去做题了？ NO！NO！NO！
给妹妹讲初中数学
遇到不会的几何大题怎么办？ 万物皆可手拉手！（开玩笑的）
三、转化
给妹妹讲初中数学
三角形为特殊三角形，会得出更多结论！ 【等腰三角形】
已知条件
更多结论
△ABC与△ADE是两个等腰三角 形
是不是脚拉脚模型？
不建议
给妹妹讲初中数学
三、转化
是不是脚拉脚模型？
给妹妹讲初中数学
三、转化
是不是脚拉脚模型？
不建议
给妹妹讲初中数学
三、转化
是不是脚拉脚模型？
给妹妹讲初中数学
三、转化
【头对脚模型】 也能转化为手拉手模型
给妹妹讲初中数学
给妹妹讲初中数学
三、转化
【脚拉脚模型】 也能转化为手拉手模型
给妹妹讲初中数学
三、转化
①双等腰
脚拉脚模型-特点
②共底角
给妹妹讲初中数学
③顶互补
如果不具备这三个条件，不叫脚拉脚！！！
∵
AB AD
=
AC AE
∴
AB AC
=
AD AE
∴△ABD ∽ △ACE(SAS) （两个三角形：不等腰，相似）
图片来源：几何数学公众号
二、结论1
结论
1. ∠BAC=∠DAE
2.
AB AD
=
AC AE
△ABC ∽ △ADE (两个三角形：不等腰，相似)
给妹妹讲初中数学
已知条件
1. ∵ ∠BAC=∠DAE ∠BAC=∠BAD±∠DAC ∠DAE=∠CAE±∠DAC
③两个三角形面积相等 ④底边是中线的2倍
三、转化
这么多结论，听懂了，也记住了，是不是可以去做题了？ NO！NO！NO！
给妹妹讲初中数学
遇到不会的几何大题怎么办？ 万物皆可手拉手！（开玩笑的）
三、转化
给妹妹讲初中数学
三角形为特殊三角形，会得出更多结论！ 【等腰三角形】
已知条件
更多结论
△ABC与△ADE是两个等腰三角 形
是不是脚拉脚模型？
不建议
给妹妹讲初中数学
三、转化
是不是脚拉脚模型？
给妹妹讲初中数学
三、转化
是不是脚拉脚模型？
不建议
给妹妹讲初中数学
三、转化
是不是脚拉脚模型？
给妹妹讲初中数学
三、转化
【头对脚模型】 也能转化为手拉手模型
给妹妹讲初中数学
给妹妹讲初中数学
三、转化
【脚拉脚模型】 也能转化为手拉手模型
给妹妹讲初中数学
三、转化
①双等腰
脚拉脚模型-特点
②共底角
给妹妹讲初中数学
③顶互补
如果不具备这三个条件，不叫脚拉脚！！！
微专题五 手拉手模型PPT课件
∠CAB＝45°.
（2）同（1）易得→△ADB∽△AEC→ ＝
2，∠BFC＝∠CAB＝45°.
19
（3）当CE⊥AD时，分
如图4 − 1
= =
两种情况讨论—
→
= 10
如图4 − 2
2
2
= 1,
→OC＝3 →
= + → = 2
= − → = 2
（1）①∠ACE的度数是
60° ；
②线段AC，CD，CE之间的数量关系
是 AC＝CD＋CE
.
23
（2）如图2，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D为BC边上一点（不与点B，C重
合），将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，连接EC.请写出∠ACE的度数及线段AD，
BD，CD之间的数量关系，并说明理由.
∴BE最大＝AB＋AE＝4＋2 .
33
31
解：（2）
的大小没有变化.证明如下：
∵∠ACB＝90°，AC＝BC，
∴
＝
，∠CAB＝45°.
同理 ＝
，∠DAE＝45°，
∴ ＝ ＝
，∠CAB＝∠DAE，
∴∠CAB－∠CAE＝∠DAE－∠CAE，
∴∠BAE＝∠CAD，∴△BAE∽△CAD，
∵∠AOB＝∠FOC，
21
∴∠CFO＝∠BAO＝45°，即 ＝
，∠BFC＝45°.
图3
（3）线段BD的长为4 或2 .
22
▶类型1：手拉手全等模型
手拉手模型(课堂PPT)
6
合作探究1：复杂图形中找全等三角形
例1.如图，已知△ABC与△ADE中，AB=AC，AD=AE. 且∠BAC=∠DAE,
求证：△ABD ≌△ACE
7
合作探究2：动态模型中找全等三角形 ，见“几何画板”
8
归纳总结：手拉手模型——两个等腰三角形共顶点的模型
条件：在△ABC与△ADE中，
AB=AC，AD=AE，且∠BAC=∠DAE,
全等三角形
关于“手拉手模型”的那点事
主讲老师 —— 邓颖
1
全等判定的复习
A
B
C
D
E
F
(简写成“边边边”或“SSS”）
2
A
B
C
D
E
F
(简写成“边角边”或“SAS”）
3
A
B
C
D
E
F
(简写成“角边角”或“ASA”）
4
A
B
C
D
E
Fห้องสมุดไป่ตู้
（简写成“角角边”或“AAS”）
5
直角三角形中：HL
（简写成“HL”）
结论：△ABD ≌△ACE
形象记忆：左手拉左手，右手拉 右手 9
例题演练，精当点评
例2.已知△ABC与△AEF中，AB=AC，AE=AF.且∠BAC=∠EAF, 求证：（1）△ABE ≌△ACF （2）∠BAC=∠BDC
10
师生互动，尝试练习
练习1：△ABC与△AED均为等边三角形，点D在线段BC上， 过点E作EF∥BC交AB于点F,连接BE.
求证：△BEF为等边三角形
11
当堂检测，及时反馈
练习.已知△ABC与△AEF中，AB=AC，AE=AF.且∠BAC=∠EAF=90°, 求证：∠BDC=90°
合作探究1：复杂图形中找全等三角形
例1.如图，已知△ABC与△ADE中，AB=AC，AD=AE. 且∠BAC=∠DAE,
求证：△ABD ≌△ACE
7
合作探究2：动态模型中找全等三角形 ，见“几何画板”
8
归纳总结：手拉手模型——两个等腰三角形共顶点的模型
条件：在△ABC与△ADE中，
AB=AC，AD=AE，且∠BAC=∠DAE,
全等三角形
关于“手拉手模型”的那点事
主讲老师 —— 邓颖
1
全等判定的复习
A
B
C
D
E
F
(简写成“边边边”或“SSS”）
2
A
B
C
D
E
F
(简写成“边角边”或“SAS”）
3
A
B
C
D
E
F
(简写成“角边角”或“ASA”）
4
A
B
C
D
E
Fห้องสมุดไป่ตู้
（简写成“角角边”或“AAS”）
5
直角三角形中：HL
（简写成“HL”）
结论：△ABD ≌△ACE
形象记忆：左手拉左手，右手拉 右手 9
例题演练，精当点评
例2.已知△ABC与△AEF中，AB=AC，AE=AF.且∠BAC=∠EAF, 求证：（1）△ABE ≌△ACF （2）∠BAC=∠BDC
10
师生互动，尝试练习
练习1：△ABC与△AED均为等边三角形，点D在线段BC上， 过点E作EF∥BC交AB于点F,连接BE.
求证：△BEF为等边三角形
11
当堂检测，及时反馈
练习.已知△ABC与△AEF中，AB=AC，AE=AF.且∠BAC=∠EAF=90°, 求证：∠BDC=90°
2024年九年级中考数学复习专项复习+：手拉手模型课件
结论：
①∠ABF＝∠DBE；
②△ABF∽△DBE；
③AF⊥BD；
④2BG2＝BH·BD；
⑤若CE∶DE＝1∶3，则BH∶DH＝17∶16.
其中正确的是
①②③④
.（填序号）
5.（2023·黑龙江）如图①，△ABC和△ADE都是等边三角形，连接DC，点F，G，H
分别是DE，DC和BC的中点，连接FG，FH.易证：FH＝ FG.（不需证明）
交于点O，GA与BC交于点P，连接OD，OB，则下列结论一定正确的是（ D ）
①EC⊥AG；
②△OBP∽△CAP；
③OB平分∠CBG；
④∠AOD＝45°.
A.①③
B.①②③
C.②③
D.①②④
4.（2021·遂宁）如图，正方形ABCD中，点E是CD边上一点，连接BE，以BE为对角
线作正方形BGEF，边EF与正方形ABCD的对角线BD相交于点H，连接AF，有以下
模型解读
1.两个顶角相等且共顶点的等腰三角形形成的图形是手拉手模型.（左手拉左手，右
手拉右手）
2.分类：双等腰三角形、双等边三角形、双等腰直角三角形、双正方形等，如图：
3.双等腰三角形中的重要结论（以上面图①为例）：
结论1：△ABC≌△AB'C'（SAS）；BC＝B'C'（左手拉左手等于右手拉右手）.
①求
的值.
解：（3）① ＝ .（详见参考答案）
②延长CE交BD于点F，交AB于点G.求sin∠BFC的值.
解：②sin∠BFC＝ .（详见参考答案）
第2部分
几何部分的常用模型
模型四：手拉手模型
①∠ABF＝∠DBE；
②△ABF∽△DBE；
③AF⊥BD；
④2BG2＝BH·BD；
⑤若CE∶DE＝1∶3，则BH∶DH＝17∶16.
其中正确的是
①②③④
.（填序号）
5.（2023·黑龙江）如图①，△ABC和△ADE都是等边三角形，连接DC，点F，G，H
分别是DE，DC和BC的中点，连接FG，FH.易证：FH＝ FG.（不需证明）
交于点O，GA与BC交于点P，连接OD，OB，则下列结论一定正确的是（ D ）
①EC⊥AG；
②△OBP∽△CAP；
③OB平分∠CBG；
④∠AOD＝45°.
A.①③
B.①②③
C.②③
D.①②④
4.（2021·遂宁）如图，正方形ABCD中，点E是CD边上一点，连接BE，以BE为对角
线作正方形BGEF，边EF与正方形ABCD的对角线BD相交于点H，连接AF，有以下
模型解读
1.两个顶角相等且共顶点的等腰三角形形成的图形是手拉手模型.（左手拉左手，右
手拉右手）
2.分类：双等腰三角形、双等边三角形、双等腰直角三角形、双正方形等，如图：
3.双等腰三角形中的重要结论（以上面图①为例）：
结论1：△ABC≌△AB'C'（SAS）；BC＝B'C'（左手拉左手等于右手拉右手）.
①求
的值.
解：（3）① ＝ .（详见参考答案）
②延长CE交BD于点F，交AB于点G.求sin∠BFC的值.
解：②sin∠BFC＝ .（详见参考答案）
第2部分
几何部分的常用模型
模型四：手拉手模型
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4
5
2
练1.(1)如图1,点C是CM和△CBN,连接AN,BM.分别取BM,AN的中点E,F,连接 CE,CF,EF.观察并猜想△CEF的形状,并说明理由. (2)若将(1)中的“以AC,BC为边作等边△ACM和△CBN”改为“以 AC,BC为腰在AB的同侧作等腰△ACM和△CBN,”如图2,其他条件不 变,那么(1)中的结论还成立吗?若成立,加以证明;若不成立,请说明理 由.
全等三角形（一）：“手拉手”模型
1
例1.如图,已知点B、C、D在同一条直线上,△ABC和△CDE都是等边 三角形.BE交AC于F,AD交CE于H,求证: （1）△BCE≌△ACD； （2）∠BOD=120°； （3）连接OC,OC平分∠BOD； （4）CF=CH； （5）△FCH是等边三角形； （6）FH∥BD.
3
练2.（1）如图1，已知△ABC，以AB，AC为边向△ABC外做等边 △ABD和等边△ACE，连接BE，CD，求证：BE=CD； （2）如图2，已知△ABC，以AB，AC为边向外作正方形ABFD和正 方形ACGE，连接BE，CD，BE与CD有什么关系？简单说明理由； （3）运用（1）、（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题： 如图3，要测量池塘两岸相对的两点B，E的距离，已经测得 ∠ABC=45°，∠CAE=90°，AB=BC=60米，AC=AE，求BE的长．
5
2
练1.(1)如图1,点C是CM和△CBN,连接AN,BM.分别取BM,AN的中点E,F,连接 CE,CF,EF.观察并猜想△CEF的形状,并说明理由. (2)若将(1)中的“以AC,BC为边作等边△ACM和△CBN”改为“以 AC,BC为腰在AB的同侧作等腰△ACM和△CBN,”如图2,其他条件不 变,那么(1)中的结论还成立吗?若成立,加以证明;若不成立,请说明理 由.
全等三角形（一）：“手拉手”模型
1
例1.如图,已知点B、C、D在同一条直线上,△ABC和△CDE都是等边 三角形.BE交AC于F,AD交CE于H,求证: （1）△BCE≌△ACD； （2）∠BOD=120°； （3）连接OC,OC平分∠BOD； （4）CF=CH； （5）△FCH是等边三角形； （6）FH∥BD.
3
练2.（1）如图1，已知△ABC，以AB，AC为边向△ABC外做等边 △ABD和等边△ACE，连接BE，CD，求证：BE=CD； （2）如图2，已知△ABC，以AB，AC为边向外作正方形ABFD和正 方形ACGE，连接BE，CD，BE与CD有什么关系？简单说明理由； （3）运用（1）、（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题： 如图3，要测量池塘两岸相对的两点B，E的距离，已经测得 ∠ABC=45°，∠CAE=90°，AB=BC=60米，AC=AE，求BE的长．