运筹学第十章图与网络优化

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三、基本定理
• 定理1 图G=(V,E)中，所有点的次之和 是边数的两倍，即
d (v ) 2q
vV
• 定理2 任一图中奇点的个数为偶数。
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第二节
一、定义
树
树的定义：一个无圈的连通图。 例1 在五个城市之间架设电话线，要求任两个城市之间都可 以相互通话（允许通过其他城市），并且电话线的根数最少。 用v1,v2,v3,v4,v5代表五个城市,如 果在某两个城市之间架设电话 线,则在相应的两点之间联一条 边,这样一个电话线网就可以用 一个图来表示。显然,这个图必 须是连通的,而且是不含圈的连 通图。如右图所示。 v1 v5
d (v ) p(G ), 这与q(G ) p(G ) 1矛盾。
i
设v1 是G的一个悬挂点，则图 G v1也是连通的。 由于q(G v1 ) q(G ) 1 p(G ) 2 p(G v1 ) 1, 因此由归纳假设知 G v1不含圈，于是 G也不含圈。
a8
a6 a5
v5
a10 a9 v4 v6 a11
v7
•路 • 初等路 • 回路
a1
v2
a7
(v1 , a2 , v 3 , a4 , v4 , a7 , v6 )是从v1到v6的路。也是一条初等路 。
在上图中 , (v3 , a3 , v2 , a5 , v4 , a6 , v5 , a8 , v3 )是一个回路。
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•图的矩阵表示
对于网络（赋权图）G=（V，E），其中边 (vi , v j ) 有权 wi j ，构造矩阵 A (ai j )nn ，其中：
wi j ai j 0 (v i , v j ) E (v i , v j ) E
称矩阵A为网络G的权矩阵。
设图G=（V，E）中顶点的个数为n，构造一个矩阵 A (ai j )nn ，其中：
第十章 图与网络优化
(Graph Theory and Network Analysis)
1 2 3 4 5 6 图的基本概念 树及最小支撑树 最短路问题 网络最大流问题 最小费用最大流问题 中国邮递员问题
1
图论的起源和发展
• 1736年，Euler
哥尼斯堡七桥问题 (Kö nigsberg Bridge Problem) A
再证充分性。只要证 G中不含圈。用数学归纳 法。 当p(G ) 1,2时，结论显然成立。 设p(G ) n（n 2 ）时，结论也成立。 则当p(G ) n 1时，G必有悬挂点。 否则，对每个点 v i , 有d (v i ) 2, 从而有 1 q(G ) 2
p(G ) i 1
可知需要4个库房， 其中一个答案是：
v3 v4 { v1 } { v2, v4, v7 } { v3, v5 } { v6, v8 } 还有其他的答案。
v8 v7
v6
v5
6
二、基本概念
v4
• 有向图 由点及弧所构成的图，记为 D=(V,A)， V,A分别是D的点集 合和弧集合。 a5 v3 a6 a4
• 多重图 一个无环、但允许有多重边的图。
9
e7 v4
e5 v3 e6
e3
e2 e4
v1
e8
e1
v5
v2 如 d(v4)=5 d(v2)=4
• 点v的次 以点vi为端点边的个数，记为dG(vi)或d(vi)。 • 悬挂点 • 悬挂边 • 孤立点 • 偶点 • 奇点 次为1的点，如 v5 悬挂点的关联边，如 e8 次为0的点 次为偶数的点，如 v2 次为奇数的点, 如 v5
1 ai j 0 (v i , v j ) E (v i , v j ) E
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称矩阵A为网络G的邻接矩阵。
v1
4
v2
7 3 2 v3 5
图的矩阵表示
3
v6 3 4
6
2 v5 v4
权矩阵为：
v1 0 v 2 4 v 3 0 A v 4 6 v 5 4 v6 3 v1 4 0 6 4 3 0 2 7 0 0 2 0 5 0 3 7 5 0 2 0 0 0 2 0 3 0 3 0 3 0 v 2 v 3 v4 v5 v6
10
v1
e4
e3 e2 v3
v4
e5
v5
•链
•中间点 •初等链
e1
v2
e6
e7 e8
e9
•圈 •初等圈
v6
v7
•简单圈
在上图中,(v1,v2,v3,v4,v5,v3,v6,v7)是一条链, 但不是初等链
在该链中,v2,v3,v4,v5,v3,v6是中间点
(v1,v2,v3,v6,v7)是一条初等链 ( v4,v1,v2,v3,v5,v7,v6,v3,v4)是一个简单圈 (v1,v2,v3,v4,v1)是一个初等圈
v1
v3
v2
v1 a1 v2
v3 v4 e5 v3 e6
v2 e3 e2 e4 G(D) v2
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• 基础图 v4 a3 给定一个有向图 D=(V,A) ，从D a2 a5 a6 中去掉所有弧上 的箭头，所得到 的无向图称为基 v3 a4 础图。记之为 D=(V,A) G(D)。
v1 e1
v3
a2 v1 a3 a4
C4
叶
21
二、性质
定理1 设图G=(V,E) 是一个树，p(G)≥2， 则G中至少有两个悬挂点。 证明 反证法
设(v1 , v 2 , , v k )为G中边数最多的一条链。 当k 2时, 即p(G ) 2时, 命题成立。 当p(G ) 2时, 设v1不是悬挂点 , 即 d ( v 1 ) 2, 则存在v s , 使得(v s , v1 )为G中的一条边。 若v s 在上述链中 , 则G含圈, 与条件矛盾 ; 若v s不在上述链中 , 则存在链(v s , v1 , v 2 , , v k ), 与假设矛盾 . 所以v1为悬挂点。同理， v k 也是悬挂点。
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三、图的支撑树
定义：设图T=(V,E’) 是图G的支撑子图，如果图 T=(V, E’) 是一个树，则称T是G的一个支撑树。 定理：图G有支撑树的充分必要条件是图G是连通的。
证明 必要性显然。 再证充分性。 设图G是连通图，若G不含圈，则G本身 是一个树，从而G是它自身的一个支撑树。
如果G含圈，任取一个圈，从圈中任意地去掉一条边，得 到图G的一个支撑子图G1。如果G1不含圈，那么G1是G的一 个支撑树；如果G1仍含圈，那么从G1中任取一个圈，从圈中 再任意去掉一条边，得到图G的一个支撑子图G2，如此重复， 最终可以得到G的一个支撑子图Gk,它不含圈，于是Gk是G的 一个支撑树。
如：v1,v4为e3的端 点，v1,v4是相邻的， e3 是v1（v4 ）的关 联边。
8
e7 v4
e5 v3 e6
e3
e2 e4
v1
e1 v2
• 环 若在图G中，某个边的两个端点相同，则称e是环。如 e7 • 多重边 若两个点之间有多于一条的边，称这些边为多重边。如 e1,e2 • 简单图 一个无环，无多重边的图。
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定理2 图G=(V,E) 是一个树的充分必要条件 是G中不含圈，且恰有p-1条边。 证明 先证必要性。即要证明 q(G ) p 1.
用数学归纳法。当 p 2时, 显然成立。 设p n时，命题成立，即含有 n 1条边。 当p n 1时，G中含有悬挂点 , 记为v1 . 因为G v1 是n个点的树，由题设 q(G v1 ) n 1 且p(G v1 ) n，q(G v1 ) q(G ) 1， 所以，q(G ) n p 1, 命题也成立。 再证充分性。即要证明 G是连通的。 用反证法。假设 G不连通，则G1 , G2 , , G S 为G的连通分图 .
3
第一节
图的基本概念
北京 天津
一、几个例子
例1 是北京、上海等 十个城市间的铁路交 通图。与此类似的还 有电话线分布图、煤 气管道图、航空路线 图等。 济南 徐州 青岛
郑州
连云港
武汉
南京
上海
4
例2 分别用点v1,v2,v3,v4,v5分别代表甲、乙、 丙、丁、戊五支球队。若有两支球队之间 比赛过，就在相应的点之间联一条线，且 这条线不过其他点。如下图所示：
邻接矩阵为：
v 1 0 v 2 1 v 3 0 B v 4 1 v 5 1 v6 1 v1 1 0 1 1 1 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 v 2 v 3 v4 v5 v6
• 简单有向图
• 多重有向图
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• 权与网络
在实际应用中，给定一个图G=（V，E）或有向图D=（V， A），在V中指定两个点，一个称为始点（或发点），记作 v1 ，一个称为终点（或收点），记作vn ，其余的点称为中间 点。对每一条弧 (vi , v j ) A ，对应一个数 w i j ，称为弧上的 “权”。通常把这种赋权的图称为网络。
A
D C C
D
B
B
一笔画问题
2
• 1847年，kirchhoff，电网络，“树”； • 1852年，《四色猜想》； • 1857年，Cogley，同分异构，“树”； • 1956年，杜邦公司，CPM，关键路线法； • 1958年，美国海军部，PERT，计划评审技术； • 1962年，管梅谷，《中国邮路问题》； • 1964年，华罗庚，《统筹方法平话》。
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定理4 图G是树的充分必要条件是 任意两个顶点之间恰有一条链。
证明 由树的定义，必要性显然。 因为任两个顶点间恰有一条链，显然G是连通的。 如果G中含有圈的话，则其中至少有两个顶点间 有两条链，这与题设矛盾。充分性得证。 推论： • 从一个树中去掉一条边，则余下的图是不连通的。 • 在树中不相邻的两个点间添上一条边，则恰好得到一个圈。