水平地震作用的振型分解反应谱法
工程结构抗震设计基础 Part.1 第2章2 结构的弹性地震反应分析与抗震验算规定
2.8 建筑结构的抗震验算规定 2.8.1 一般规定 1、地震作用及计算方法 总的考虑： (1) 在抗震计算中，一般可在建筑结构的两个主轴方向 分别考虑水平地震作用，各方向的水平地震作用由该方 向的抗侧力构件承担； (2) 有斜交的抗侧力构件的结构，宜分别考虑各抗侧力 构件方向的水平地震作用；
(3) 对于质量和刚度明显不均匀、不对称的结构，应
(3) 按式(3-110)求顶部附加水平地震作用Δ Fn；
(4) 按式(3-111)求各质点的水平地震作用Fi(i＝1,2,…,n)； (5) 按力学方法求各层结构的地震作用效应。
《例题2-7》
试按振型分解法和底部剪力法计算下图所示三层框架 结构相应于多遇地震时的各楼层地震剪力。设防烈度8度，
近震，场地类别Ⅲ类。 (ml＝116620 kg，m2＝110850kg，
(弯矩、剪力、轴力或变形等)； 最后，按一定的组合原则，将各振型的作用效应
进行组合便得到多自由度体系的水平地震作用效应。
1
振型的地震作用
单自由度：
多自由度： 振型分解后，相应于振型j质点i的位移地震反应 质点产生的惯性力为质点所受的地震作用：
2 振型的最大地震作用 利用反应谱，可求出振型的最大地震作用：
或
结构底部总剪力FEk为
FEk
2 1GE FEj j 1 n n j Gi X j ji G j 1 1 i 1 E n 2
(3 102)
记
所以
FEk 1Geq
(3 105)
式中：FEk——结构总水平地震作用(底部剪力)标准值； α 1——相应于结构基本周期T1时的地震影响系数值，按图3-25反应谱 或式(3-40)确定； Geq——结构等效总重力荷载； GE——结构总重力荷载代表值，GE =Σ Gi , Gi为集中于质点i的重力 荷载代表值(见后面式(3-120))。 β ——等效总重力荷载换算系数，对于单质点体系等于1.0，对于二 层以上的多层建筑，其值在0.8～0.98之间。《抗震规范》规定，多质点体 系取0.85；
振型分解反应谱法
振型分解反应谱法振型分解反应谱法是用来计算多自由度体系地震作用的一种方法。
该法是利用单自由度体系的加速度设计反应谱和振型分解的原理，求解各阶振型对应的等效地震作用，然后按照一定的组合原则对各阶振型的地震作用效应进行组合，从而得到多自由度体系的地震作用效应。
振型分解反应谱法一般可考虑为计算两种类型的地震作用：不考虑扭转影响的水平地震作用和考虑平扭藕联效应的地震作用。
适用条件〔1〕高度不超过40米，以剪切变形为主且质量和刚度沿高度分布比较均匀的结构，以及近似于单质点体系的结构，可采用底部剪力法计算。
〔此为底部剪力法的适用范围〕〔2〕除上述结构以外的建筑结构，宜采用“振型分解反应谱法”。
〔3〕特别不规则的建筑、甲类建筑和标准规定的高层建筑，应采用时程分析法进行补充计算。
刚重比刚重比是指结构的侧向刚度和重力荷载设计值之比，是影响重力二阶效应的主要参数刚重比=Di*Hi/GiDi-第i楼层的弹性等效刚度，可取该层剪力与层间位移的比值Hi-第i楼层层高Gi-第i楼层重力荷载设计值刚重比与结构的侧移刚度成正比关系；周期比的调整将导致结构侧移刚度的变化，从而影响到刚重比。
因此调整周期比时应注意，当某主轴方向的刚重比小于或接近标准限值时，应采用加强刚度的方法；当某主轴方向刚重比大于标准限值较多时，可采用削弱刚度的方法。
同样，对刚重比的调整也可能影响周期比。
特别是当结构的周期比接近标准限值时，应采用加强结构外围刚度的方法标准上限主要用于确定重力荷载在水平作用位移效应引起的二阶效应是否可以忽略不计。
见高规5.4.1和5.4.2及相应的条文说明。
刚重比不满足标准上限要求，说明重力二阶效应的影响较大，应该予以考虑。
标准下限主要是控制重力荷载在水平作用位移效应引起的二阶效应不致过大，防止结构的失稳倒塌。
见高规5.4.4及相应的条文说明。
刚重比不满足标准下限要求，说明结构的刚度相对于重力荷载过小。
但刚重比过分大，则说明结构的经济技术指标较差，宜适当减少墙、柱等竖向构件的截面面积。
浅谈计算水平地震作用的两种方法
表 1-2 各振型的剪力值及贡献率
第二振型
第ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ振型
剪力
贡献率
剪力
贡献率
0.75
1.1%
0.23
——
（-0.62） 1.3% （-0.53） 1.0%
（-1.05） 15.1%
0.39
1.9%
层间剪力
6.96 5.28 2.70
从表 1-2 知，各个振型在地震总反应中的贡献将随着频率的增加而迅速减少， 故频率最低的几个振型控制着结构的最大地震反应。因此在计算中，一般只算 2-3 个振型即可。
学报，2008 年（增刊 1).
[1] 中华人民共和国建设部主编. GB5011-2010 建筑抗震设计规范[S].北京：中国建筑工业出 版社，2010.
[2] 王社良.抗震结构设计（第 3 版）[M].武汉：武汉理工大学出版社，2007. [3] 金春福. 浅谈建筑结构抗震设计方法[J]. 中国科技信息 2006 年第 1 期. [4] 黄吉锋,邵弘,杨志勇. 复杂建筑结构竖向地震作用的振型分解反应谱分析[J]. 建筑结构
（1-1）
式中 F ——作用在第 j 振型第 i 质点上的地震作用绝对最大标准值；
α ——相应于第 j 振型自振周期T 的地震影响系数，按图 1-1 确定；
γ ——j 振型的振型参与系数，可按式（1-2）计算；
X ——j 振型 i 质点的水平位移，即振型位移；
m ——集中于 i 质点的质量；
g——重力加速度；
∑
γ=
∑
(1-2)
F = ∑F
（1-3）
式中 F ——第 i 质点水平地震作用效应； F ——j 振型 i 质点的地震作用效应。
工程结构抗震习题答案
掌握地震动的基本特性，结构地震响应特性，反应谱，钢筋混凝土结构、钢结构、砌体结构和桥梁结构的抗震验算和构造措施，隔震减震的基本原理等。
掌握排架结构简化为单质点体系时，多遇地震水平地震作用标准值的计算（例题3.1）钢筋混凝土框架简化成多质点体系时，用振型分解反应谱法计算该框架在多遇地震下的层间地震剪力，以及内力图。
（例题3.3）多层钢筋混凝土框架结构，用底部剪力法计算其在多遇地震作用下各质点上的水平地震作用。
（例题3.7）一、填空题1、构造地震为由于地壳构造运动造成地下岩层断裂或错动引起的地面振动。
2、建筑的场地类别，可根据土层等效剪切波速和场地覆盖层厚度划分为四类。
3、《抗震规范》将50年内超越概率为 10% 的烈度值称为基本地震烈度，超越概率为 63.2% 的烈度值称为多遇地震烈度。
4、丙类建筑房屋应根据抗震设防烈度，结构类型和房屋高度采用不同的抗震等级。
5、柱的轴压比n定义为 n=N/fc Ac（柱组合后的轴压力设计值与柱的全截面面积和混凝土抗压强度设计值乘积之比）6、震源在地表的投影位置称为震中，震源到地面的垂直距离称为震源深度。
7、表征地震动特性的要素有三，分别为振幅、频谱和持时。
8、某二层钢筋混凝土框架结构，集中于楼盖和屋盖处的重力荷载代表值相等G 1=G2=1200kN,第一振型φ12/φ11=1.618/1;第二振型φ22/φ21=-0.618/1。
则第一振型的振型参与系数j= 0、724 。
9、多层砌体房屋楼层地震剪力在同一层各墙体间的分配主要取决于楼盖的水平刚度（楼盖类型）和各墙体的侧移刚度及负荷面积。
10、建筑平面形状复杂将加重建筑物震害的原因为扭转效应、应力集中。
11、在多层砌体房屋计算简图中，当基础埋置较深且无地下室时，结构底层层高一般取至 室外地面以下500mm 处 。
12、某一场地土的覆盖层厚度为80米，场地土的等效剪切波速为200m/s,则该场地的场地土类别为 Ⅲ类场地 （中软土） 。
计算水平地震作用的振型分解反应谱法
& & & Ri = ci1x1 + ci2 x2 +Lcinxn
xi
& mi &&i + ∑cij xi + ∑kij xi = mi &&g x x
j =1 j =1
n
n
i =1,2,LN
xg(t) Ri (t)
i质点相对于基础的位移与加速度为
xi (t) = ∑xji Dj (t)
j =1
N
职业技学院
---体系j振型i质点水平地震作用标准值计算公式 ---体系j振型i 体系
α j ---相应于j振型自振周期的地震影响系数； ---相应于j振型自振周期的地震影响系数； 相应于
xji --- j振型i质点的水平相对位移； 振型i质点的水平相对位移；
一般只取2-3个振型， 一般只取 个振型， 个振型 当基本自振周期大于1.5s 当基本自振周期大于 或房屋高宽比大于5时 或房屋高宽比大于 时， 振型个数可适当增加。 振型个数可适当增加。
3 3
2 270×(0.667) + 270×(0.666) +180×1 = 0.428 第二振型 γ 2 = ∑mi x2i / ∑mi x2i = 2 2 2 i =1 i=1
3
3
270×(0.667) + 270×(0.666) +180×1
第三振型 γ 3 = ∑mi x3i / ∑m x
V23 = 120.8
职业技学院
17 . 8
17 .8 kN 80 .9 kN
63 . 1 44 . 1 3振型
107 .2 kN
第三振型
（5）计算各振型的地震作用效应（层间剪力） 计算各振型的地震作用效应（层间剪力）
简述振型分解反应谱法求地震作用的步骤
简述振型分解反应谱法求地震作用的步骤振型分解反应谱法是一种常用的求解地震作用的方法。
其基本思想是将结构的振型分解成若干个单自由度系统，并在每个单自由度系统上进行分析，最后将分析结果合成得到整个结构的反应谱。
具体步骤如下：
1. 确定结构的振型
通过结构的模态分析，得到结构的振型及对应的振动周期和阻尼比。
2. 将振型分解为单自由度系统
根据振型的特点，将其分解为若干个单自由度系统，并确定每个单自由度系统的振动周期和阻尼比。
3. 计算单自由度系统的反应谱
在每个单自由度系统上，按照地震加速度谱和单自由度系统的特性进行计算，得到该单自由度系统的反应谱。
4. 合成结构的反应谱
将各个单自由度系统的反应谱按照一定的规则进行合成，得到整个结构在不同周期下的反应谱。
5. 分析反应谱
根据结构的设计要求和反应谱的分析结果，确定结构在地震作用下的最大位移、最大加速度等参数，以便进行结构的设计和验算。
总之，振型分解反应谱法是一种简单有效的求解地震作用的方法，但其结果的精度受到结构的振型分解精度等因素的影响，需要结合实
际情况进行综合分析。
振型分解反应谱法习题课件
16.37 2
26.5
5.06kN
绘制地震内力图
因二跟柱的刚度相等，故每根柱分担一半地震力，
第一振型
第2层每根柱承担的剪力 V12
46.39 2
23.20kN
第1层每根柱承担的剪力
V11
28.67
2
46.39
37.53kN
第二振型
第2层每根柱承担的剪力
16.37 V22 2 8.19kN
按《抗震规范》5.2.2-2
n
1
i1 n
X 1i Gi
X
G 2
1i i
1.000 1.000 2
1200 1200
1200 1200
1.618 1.618
2
0.724
i1
应用《抗震规范》式(5.2.2-2)（4-96）得水平地震作用标准值
F11 1 1x11G1 0.033 0.724 1.00 1200 28.67kN
0.016
2 1200
38.4kN
第2层每根柱的最小地震剪力
19.2 8.1kN 24.55kN 2
第1层每根柱的最小地震剪力 38.4 19.2kN 37.86kN
满足要求
2
第2层
V min 2
0.016 1200
19.2kN
第1层
V min 1
0.016 2 1200
38.4kN
类别
扭转效应明显或基本周期小于3.5s 的结构
6度 0.008
基本周期大于5.0s的结构
0.006
7度
8度
9度
0.016（0.024） 0.032 （0.048）
0.064
0.012 （0.018） 0.024 （0.036）
南昌大学结构抗震考试试题(简答题)
简答题１、简述两阶段三水准抗震设计方法。
答：我国《建筑抗震设计规范》（GB50011-2001）规定：进行抗震设计的建筑，其抗震设防目标是：当遭受低于本地区抗震设防烈度的多遇地震影响时，一般不受损坏或不需修理可继续使用，当遭受相当于本地区抗震设防烈度的地震影响时，可能损坏，经一般修理或不需修理仍可继续使用，当遭受高于本地区抗震设防烈度预估的罕遇地震影响时，不致倒塌或发生危及生命的严重破坏。
具体为两阶段三水准抗震设计方法：第一阶段是在方案布置符合抗震设计原则的前提下，按与基本烈度相对应的众值烈度的地震动参数，用弹性反应谱求得结构在弹性状态下的地震作用效应，然后与其他荷载效应组合，并对结构构件进行承载力验算和变形验算，保证第一水准下必要的承载力可靠度，满足第二水准烈度的设防要求（损坏可修），通过概念设计和构造措施来满足第三水准的设防要求；对大多数结构，一般可只进行第一阶段的设计。
对于少数结构，如有特殊要求的建筑，还要进行第二阶段设计，即按与基本烈度相对应的罕遇烈度的地震动参数进行结构弹塑性层间变形验算，以保证其满足第三水准的设防要求。
2、简述确定水平地震作用的振型分解反应谱法的主要步骤。
（1）计算多自由度结构的自振周期及相应振型；（2）求出对应于每一振型的最大地震作用（同一振型中各质点地震作用将同时达到最大值）；（3）求出每一振型相应的地震作用效应；（4）将这些效应进行组合，以求得结构的地震作用效应。
3、简述抗震设防烈度如何取值。
答：一般情况下，抗震设防烈度可采用中国地震动参数区划图的地震基本烈度(或与本规范设计基本地震加速度值对应的烈度值)。
对已编制抗震设防区划的城市，可按批准的抗震设防烈度或设计地震动参数进行抗震设防。
4、简述框架节点抗震设计的基本原则。
节点的承载力不应低于其连接构件的承载力；多遇地震时节点应在弹性范围内工作；罕遇地震时节点承载力的降低不得危及竖向荷载的传递；梁柱纵筋在节点区内应有可靠的锚固；节点配筋不应使施工过分困难。
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T j
M
I
X
T j
M
X
j
mi X ji
i 1
n
mi
X
2 ji
i 1
---j振型的振型参与系数
D j (t)
2
j
j
D j
2 j
D
j
(t )
j xg
(t )
x(t)
N X j D j(t)
j 1
N
xi (t) X jiD j (t) j 1
D j (t)
2
j
j
D j
2 j
D
j
(t )
j xg
五、计算水平地震作用的振型分解反应谱法
作用于i质点上的力有
惯性力 弹性恢复力
阻尼力 运动方程
Ii mi (xi xg）
Si ki1x1 ki2 x2 kin xn
Ri ci1x1 ci2 x2 cinxn
n
n
mi xi cij xi kij xi mi xg
j 1
j 1
i 1,2, N
j 1 n
xg (t) j X ji xg (t) j 1
Fi (t) mi[xi (t) xg (t)]
mi N [ X ji j j (t) j X jixg (t)] j 1
N
Fji (t) j 1
Fji (t) mi[ X ji j j (t) X ji j xg (t)]
i 1
i 1
i 1
方程两端左乘
X
T j
X
T j
m
N
(
X
i
Di
(t
))
X
T j
N
c(
X
i
D i
(t
))
i 1
i 1
N
X
T j
k
(
X
i
Di
(t
))
X
T j
mI
xg
(t
)
i 1
X
T j
mX
j
D
j
(t )
X
T j
cX
j
D
j
(t
)
X
T j
k
X
j
D
j
(t
)
X
T j
mI
xg
(t
)
X
T j
mX
j
D
j
(t )
X
T j
mx cx kx mIxg (t)
mN
mi
xi
m2
m1
xg(t)
mi mi (xi xg )
Si (t)
Ri (t)
mx cx kx mIxg (t)
N
设 x(t) X i Di (t) i 1
代入运动方程，得
N
m(
X
i
Di
(t ))
N
c
X
i
D i
(t
)
k
N
(
X
i
Di
(t
))
mI
xg
(t )
1.000
1.000
1.000
m3 180t K3 98MN/m m2 270 t K2 195 MN/m m1 270t K1 245 MN/m
T1 0.467s T2 0.208s T3 0.134s （2）计算各振型的地震影响系数 地震影响系数最大值（阻尼比为0.05）
m x(t)
xg (t)
M
* j
j (t)
j j
xg (t)
i质点相对于基础的位移与加速度为
N
xi (t) X jiD j (t) j 1 N X ji j j (t) j 1
xi (t) N X ji j j (t) j 1
i质点t时刻的水平地震作用为
n
j X ji xg (t)
第二组 0.30
0.40
0.55 0.75
第三组 0.35
0.45
0.65 0.90
例：试用振型分解反应谱法计算图示框架多遇地震时的层间剪力。 抗震设防烈度为8度，Ⅱ类场地，设计地震分组为第二组。
解：（1）求体系的自振周期和振型
0.334
0.667
4.019
X 1 0.667 X 2 0.666 X 3 3.035
M
* j
D j
K
* j
M
* j
D j (t)
X
T j
M
M
* j
I xg (t)
K
* j
2 j
M
* j
C
* j
2
j j M
* j
D j
(t )
2
j
j
D j
2 j
D
j
(t )
X
T j
M
I
X
T j
M
X
j
xg
(t )
D j (t)
2
j
j
D j
2 j
D
j
(t
)
X
T j
M
I
X
T j
M
X
j
xg
(t )
n
j
X
F
F (t ) max
m x(t) xg (t) max
G
Fji j X ji jG j
---体系j振型i质点水平地震作用标准值计算公式
Fji j X ji jG j
---体系j振型i质点水平地震作用标准值计算公式
j ---相应于j振型自振周期的地震影响系数；
X ji --- j振型i质点的水平相对位移； j --- j振型的振型参与系数； Gi --- i质点的重力荷载代表值。
cX
j
D j
(t )
X
T j
k
X
j
Dj
(t )
X
T j
mI
xg
(t
)
M
* j
D
j
(t
)
C
* j
D
j
K
* j
D
j
(t
)
X
T j
mI xg
(t )
M
* j
X
T j
mX
j
---j振型广义质量
K
* j
X
T j
k
X
j
---j振型广义刚度
C
* j
X
T j
cX
j
---j振型广义阻尼系数
D j (t)
C
* j
一般只取2-3个振型， 当基本自振周期大于1.5s 或房屋高宽比大于5时， 振型个数可适当增加。
F1n
F2n
F jn
Fnn
mi
F1i
F2i
m2
F12
F22
F ji
Fni
Fj2
Fn2
m1
F11
F21
Fj1
Fn1
1振型地震 2振型 j振型 n振型 作用标准值
地震作用效应 （弯矩、位移等）
m
SEK
S
2 j
j 1
m --选取振型数
S j --j振型地震作用 产生的地震效应；
例：试用振型分解反应谱法计算图示框架多遇地震时的层间剪力。 抗震设防烈度为8度，Ⅱ类场地，设计地震分组为第二组。
解：（1）求体系的自振周期和振型
0.334
0.667
4.019
X 1 0.667 X 2 0.666 X 3 3.035
查表得
烈度
地震影响
6
7
8
9
多遇地震 0.04 0.08(0.12) 0.16(0.24) 0.32
max 0.16
罕遇地震 0.28 0.50(0.72) 0.90(1.20) 1.40
地震特征周期分组的特征周期值（s）
Tg 0.4s
场地类别
第一组
Ⅰ 0.25
Ⅱ 0.35
Ⅲ
Ⅳ
0.45 0.65
(t )
对于单自由度体系
x 2x 2x xg (t)
x(t) 1
d
t 0
xg
(
)e
(t
)
sin
d
(t
)d
对于j振型折算体系（右图）
D
j
(t
)
j j
t 0
xg
(
)e
j
j
(t
)
sin
j
(t
)d
j
(t
)
1
j
t 0
xg
(
)e
j
j
(t
)
sin
j
(t
)d
D j t j j(t)
j 1,2, N
---t时刻第j振型i质点的水平地震作用
Fji (t) mi[ X ji j j (t) X ji j xg (t)]
---t时刻第j振型i质点的水平地震作用
Fji Fji (t) max mi X ji j j (t) xg (t) max
---体系j振型i质点水平地震作用标准值
对于单自由度体系