北师大版高中数学选修2-3《二项式定理》
1.5.1二项式定理 教案高中数学选修2-3 北师大版
§5 二项式定理5.1二项式定理●三维目标1．知识与技能(1)使学生参与并探讨二项式定理的形成过程，掌握二项式系数、字母的幂次、展开式项数的规律．(2)能够应用二项式定理对所给出的二项式进行正确的展开．2．过程与方法(1)在学生对二项式定理形成过程的参与、探讨过程中，培养学生观察猜想、归纳的能力及分类讨论解决问题的能力．(2)培养学生的化归意识和知识迁移的能力．3．情感、态度与价值观(1)通过学生自主参与和二项式定理的形成过程培养学生解决数学问题的信心．(2)通过学生自主参与和二项式定理的形成过程培养学生体会教学内在和谐对称美．(3)培养学生民族自豪感，在学习知识的过程中进行爱国主义教育．●重点难点重点：使学生参与并深刻体会二项式定理的形成过程，掌握二项式系数、字母的幂次、展开式系数的规律；能够利用二项式定理对给出的二项式进行展开．难点：二项式定理的发现．二项式定理形式很重要．教学中一定要注意这一点，其关键是让学生掌握二项式定理的形成过程，让学生明确为何可以用组合数来表示二项式定理中各项的系数，这样才能够使学生掌握重点，也有利于突破教学难点．(教师用书独具)●教学建议掌握并能运用二项式定理，让学生主动探索展开式的由来是关键．“学习任何东西最好的途径是自己去发现”正所谓“学问之道，问而得，不如求而得之深固也”．本节课的教法贯穿启发式教学原则，以启发学生主动学习，积极探究为主，创设一个以学生为主体，师生互动，共同探索的教与学的情境．在教学中不仅要重视知识的结果，而且重视知识的发生、发现和解决过程．●教学流程创设问题情境，引出问题：今天是星期一，再过30天后的那一天是星期几？⇒引导学生结合初中所学过的公式观察、比较、分析，再提出新问题由(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b4，提出(a＋b)4＝？(a＋b)5＝…⇒通过引导，让学生发现该问题与组合知识有关，逐步引导学生去发现各项及各项系数值的求法．⇒得出定理，深化认识：请学生总结二项式定理中展开式的系数、指数、项数的特点；二项式展开式的结构特征等．⇒巩固应用，由得出的二项式定理，让学生解答例1、例2、例3及相应变式训练．⇒归纳整理，进行课堂小结，布置作业．⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识.1．(a＋b)1＝？【提示】(a＋b)1＝a＋b.2．(a＋b)2＝？【提示】(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2.3．在问题2中，如何用组合知识来解释a2，ab，b2的系数．【提示】∵(a＋b)2＝(a＋b)(a＋b)，∴a2相当于从2个因式中的都不取b只取a即C02＝C22＝1；ab相当于从2个因式中一个取a，另一个取b，即C12＝2；b2相当于从2个因式中都不取a只取b，即C22＝C02＝1.4．由问题3类比(a＋b)3展开式．【提示】(a＋b)3＝C03a3＋C13a2b＋C23ab2＋C33b3.5．由问题4、3求(a＋b)n的展开式．【提示】(a＋b)n＝C0n a n＋C1n a n－1b＋…＋C r n a n－r b r＋…＋C n n b n.(a ＋b )n ＝C 0n a n ＋C 1n a n －1b ＋…＋C r n a n －r b r ＋…＋C n n b n . 这个公式称为二项式定理，等号右边的式子称为(a ＋b )n 的二项展开式，(a ＋b )n 的二项展开式有n ＋1项，其中各项的系数C r n (r ＝0,1,2…，n )称为二项式系数，C r n a n －r b r 称为二项展开式的第r ＋1项，又称为二项式通项．1．二项式定理右边的各项的次数等于多少？【提示】 各项的次数都等于二项式的幂指数n .2．二项式定理右边的展开式共有多少项？【提示】 n ＋1项．(b ＋a )n ＝C 0n b n ＋C 1n b n －1a ＋C 2n b n －2a 2＋…＋C r n b n －r a r ＋…＋C n n a n .(1)求(3x ＋1x)4的展开式； (2)求值C 1n ＋3C 2n ＋9C 3n ＋…＋3n －1C n n . 【思路探究】(1)直接利用二项式定理展开，也可以先化简再展开；(2)先化成二项展开式的形式，然后逆用二项式定理求解．【自主解答】 (1)法一 (3x ＋1x )4 ＝(3x )4＋C 14(3x )31x ＋C 24(3x )2(1x)2＋ C 34(3x )(1x )3＋C 44(1x)4 ＝81x 2＋108x ＋54＋12x ＋1x2. 法二 (3x ＋1x )4＝(3x ＋1x)4＝1x 2(1＋3x )4 ＝1x2[1＋C 143x ＋C 24(3x )2＋C 34(3x )3＋C 44(3x )4] ＝1x 2(1＋12x ＋54x 2＋108x 3＋81x 4)。
(北师大版)数学选修2-3课件：第1章-二项式定理(第1课时)ppt课件
2017-2018学年高中数学北师大版选修2-3教学案：第一章5第一课时二项式定理含解析
§5二项式定理第一课时二项式定理错误!（a＋b)2＝a2＋2ab＋b2;（a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3；(a＋b）4＝a4＋4a3b＋6a2b2＋4ab3＋b4；(a＋b)5＝a5＋5a4b＋10a3b2＋10a2b3＋5ab4＋b5.根据上述规律归纳出（a＋b）n（n∈N＋,n≥2）的展开式，并思考下列问题．问题1:（a＋b)n展开式中共有多少项?提示：n＋1项．问题2：（a＋b）n展开式中系数有什么特点？提示:依次为组合数C错误!，C错误!,C错误!，…,C错误!。
问题3：（a＋b）n展开式中每项的次数有什么特点？项的排列有什么规律？提示：每一项的次数和是一样的，都是n次，并且是按a的降幂排列，b的升幂排列．二项式定理二项式定理（a＋b)n＝C错误!a n＋C错误!a n－1b＋…＋C错误!a n－r b r＋…＋C错误!b n叫作二项式定理二项展开式公式右边的式子叫作（a＋b）n的二项展开式二项式系数各项的系数C错误!（r＝0，1，2，…，n）叫作二项式系数二项展开式的通项式中C错误!a n－r b r叫作二项展开式的通项在二项式定理中，若a＝1，b＝x，则（1＋x）n＝1＋C1，n x＋C错误! x2＋…＋C r，n x r＋…＋x n.（1)(a＋b）n的展开式中共有n＋1项,字母a的幂指数按降幂排列,字母b的幂指数按升幂排列,每一项的次数和为n.（2）通项公式T r＋1＝C错误!a n－r b r是第r＋1项而不是r项．错误!二项式定理的正用、逆用［例1］（1）求错误!4的展开式；（2）化简(x－1）5＋5(x－1）4＋10(x－1)3＋10（x－1)2＋5（x－1)．［思路点拨] （1)直接运用公式将其展开，也可先变形,后展开；（2)根据所给式子的形式，考虑逆用二项式定理．[精解详析] （1）法一：错误!4＝C04（3x)4＋C14（3x)3·错误!＋C错误!(3错误!)2·错误!2＋C错误!(3错误!）·错误!3＋C错误!·错误!4＝81x2＋108x＋54＋12x＋错误!。
北师大版高中数学选修2-3二项式定理温习课教案
二项式定理温习课新课标教材数学（选修2－3·北师大版）第一章§《二项式定理》考纲要求及高考动向：2010年考试大纲（广东卷）对本节知识的要求是：1.理解二项式定理；2.会用二项式 定理解决与二项式定理有关的简单问题。
高考主要考查通项和二项展开式的应用，即求特定项和展开式中的系数和等问题。
一、教学目标一、知识目标：掌握二项式定理及有关概念，通项公式，二项式系数的性质；二、思想方式目标：使学生领悟并掌握方程的思想方式，赋值法，构造法，并通过引申 变式提高学生的应变能力，创造能力及逻辑思维能力。
3、情感目标：通过学生的主体活动，营造一种愉悦的情境，使学生自始至终处于踊跃 试探的气氛中，不断取得成功的体验，从而对自己的数学学习充满信心。
二、教学重点与难点一、重点：二项式定理及有关概念二、难点：二项式定理的应用三、教学资源讲义、温习资料、电脑、多媒体平台四、教法与学法一、教法：本节课的教法贯穿引导式教学原则，以“引导试探”为核心，通过例题及其 引申变式引导学生沿着踊跃的方向思维，慢慢达到即定的教学目标，进展学生的逻辑思维能 力。
二、学法：按照学生思维的特点，遵循“教必需以学为主”的教学理念，让每一个学生 自主参与整堂课的知识构建。
在教学的各个环节中引导学生踊跃参与，进行类比迁移，对照 学习。
学生在教师营造的“自主学习”的环境里，生动活泼地获取知识，掌握规律、主动发 现、主动进展。
五、教学进程（一）教材温习1.二项式定理 01()()n n n r n r r n n n n n n a b C a C a b C a b C b n N -*+=+++++∈（1）展开式中共有n+1项（2）展开式的通项公式：r r n r n r b a C T -+=1,它表示的是展开式的第r+1项（3）二项式系数： 2．二项式系数的性质（1）对称性：与首末两头“等距离”的两个二项式系数相等，即m n m n n C C -=（2）增减性与最大值： 先增再减；当n 是偶数时，中间一项2nnC 取 得最大值；当n 是奇数时，中间两项12n n C-，12n n C +取得最大值。
北师大版选修2-3 二项式定理 教案
二项式定理【教学目标】1.理解二项式定理及推导方法，识记二项展开式的有关特征，能对二项式定理进行简单应用；2.通过对二项式定理内容的研究，体验特殊到一般的发现规律，一般到特殊指导实践的认识事物过程。
【教学重难点】教学重点：二项式定理的内容及归纳过程；教学难点：在二项式展开的过程中，发现各项及各项系数的规律。
【教学过程】一、设置情景，引入课题引入：二项式定理研究的是（a+b）n的展开式。
如（a+b）2=a2+2ab+b2, （a+b）3=？，（a+b）4=？，那么（a+b）n的展开式是什么呢？二、引导探究，发现规律1、多项式乘法的再认识问题1：（a1+ b1）(a2+b2) (a3+ b3)展开式中每一项是怎样构成的？展开式有几项？2、（a+b）3展开式的再认识问题2：将上式中，若令a1=a2=a3=a, b1=b2= b3=b,则展开式又是什么？合作探究1：合并同类项后，为什么a2b的系数是3？教师引导：可以发现a2b是从（a+b）（a+b）（a+b）这三个括号中的任意两个中选a，剩下的一个括号中选b；利用组合知识可以得到a2b应该出现了C23· C11=3次，所以a2b的系数是3。
问题3：（a+b）4的展开式又是什么呢？可以对（a+b）4按a或按b进行分类：（1）四个括号中全都取a，得：C44a4（2）四个括号中有3个取a，剩下的1个取b，得：C34 a3· C11b（3）四个括号中有2个取a，剩下的2个取b，得：C24 a2· C22b2（4）四个括号中有1个取a，剩下的3个取b，得：C14 a· C33b3（5）四个括号中全都取b，得：C44b4小结：对于展开式，只要按一个字母分类就可以了，可以按a分类，也可以按b分类，再如：（1）不取b：C04 a4；（2）取1个b：C14a3b；（3）取2个b：C24a2b2；（4）取3个b：C34a b3；（5）取4个b：C44b4，然后将上面各式相加得到展开式。
数学(北师大版选修2-3)课件1.5.1二项式定理
二项式系数与项的系数
(1)求二项式2
x－1x6 的展开式中第
6
项的二项式
系数和第 6 项的系数；
(2)求x－1x9 的展开式中 x3 的系数．
第一章 计数原理
§ 5 二项式定理
5．1 二项式定理
学习目标
重点难点
1.理解二项式定理是代数乘法公式
的推广．
1.重点是二项式定理、
2．掌握二项式定理，并能利用计数 推导及通项公式．
原理证明二项式定理．
2．难点是利用计数原
3．会用二项式定理解决与二项式展 理推导出二项展开式.
开式有关的简单问题.
阅读教材：5.1二项式定理的有关内容，完成下列问题． 1．二项式定理 一般地，对于任意正整数n，都有(a＋b)n＝ _C_0n_a_n＋__C_1n_a_n_－_1b_＋__…__＋__C__rna_n_－_r_b_r＋__…__＋__C_nn_b_n_____(n∈N＋)． 这个公式称为二项式定理．等号右边的多项式称为(a＋b)n 的二项展开式，(a＋b)n的二项展开式共有n＋1项，其中各项的 系数_C_nr___(r＝0,1,2，…，n)称为二项式系数．
1．(1)求(x＋2y)4 的展开式；
(2)
化
简：
C0n(x
＋
1)n
－C
1 n
(x＋
1)n
－
1＋
C2n
(x
＋
1)n
－2
－
…
＋(
高中数学 第1章 5二项式定理 北师大版选修2-3
1.二项式定理：公式(a＋b)n＝_C_0na__n＋__C_1n_a_n_－_1b_＋__…__＋__C__rna_n_－_rbr ＋__…__＋__C__nnb_n_(n∈N＋)叫作二项式定理．
2．二项展开式的通项与二项式系数：(1)(a＋b)n的二项展 开式共有__n_＋__1__项，式中的__C_rn_a_n_－_rb_r__叫作二项展开式的通 项，记作Tr＋1＝___C_rn_a_n_－_rb_r__(其中0≤r≤n，r ∈N，n∈N＋)，通 项为展开式的第r＋1项；
(3)Tr＋1＝Cr10x102－r·(－31x)r＝Cr10x102－r·(－13)r·x－r ＝Cr10·(－13)r·x10－2 3r. 若是正整数指数幂，则有10－2 3r为正整数，∴r 可以取 0,2， ∴项数有 2 个． (4)由题意 Tr＋1＝Cr7(x3)7－r(1x)r＝Cr7x21－4r，令 21－4r＝5，得 r ＝4，则 x5 的系数是 C47＝35. [答案] (1)15 (2)40 (3)B (4)35
5．二项展开式的应用 (1)利用通项公式 Crnan－rbr(0≤r≤n，r∈N，n∈N＋)求指定 项、特征项(常数项，有理项等)或特征项的系数． (2)近似计算，当|a|与 1 相比较很小且 n 不大时，常用近似 公式(1±a)n≈1±na，使用公式时要注意 a 的条件以及对计算精 确度的要求． (3)整除性问题与求余数问题，对被除式进行合理的变形， 把它写成恰当的二项式的形式，使其展开后的每一项含有除式 的因式或只有一、二项不能整除．
②(1＋x)n＝1＋C1nx1＋C2nx2＋…＋Crnxr＋…＋xn(n∈N＋)． (6)要注意逆用二项式定理来分析解决问题．
2．在应用通项公式时要注意以下几点： (1)Crnan－rbr 是展开式的第 r＋1 项，而不是第 r 项； (2)通项公式表示的是二项展开式中的某一项，只要 n 与 r 确定，该项也随之确定；对于一个具体的二项式，它的二项展 开式中的各项依赖于 r； (3)公式中的第一个量 a 与第二个量 b 的位置不能颠倒；
1.5 第一课时 二项式定理 课件(北师大选修2-3)
n－2r ∵第 6 项为常数项，∴当 r＝5 时， ＝0，解得 n＝10. 3
返回
n－2r ∈Z， 3 (2)根据通项公式，由题意，得 0≤r≤10， r∈Z. 10－2r 3 令 ＝k(k∈Z)，则 10－2r＝3k，即 r＝5－ k. 3 2 ∵r∈Z，∴k 应为偶数，∴k＝2,0，－2， ∴r＝2,5,8. ∴第 3 项、 6 项与第 9 项为有理项， 第 它们分别为 405x2， －61 236,295 245x 2.
返回
问题1：(a＋b)n展开式中共有多少项？
提示：n＋1项． 问题2：(a＋b)n展开式中系数有什么特点？
提示：依次为组合数 C0 ，C1 ，C2 ，…，Cn. n n n n
问题3：(a＋b)n展开式中每项的次数有什么特点？项的
排列有什么规律？
提示：每一项的次数和是一样的，都是n次，并且是按a 的降幂排列，b的升幂排列．
0 ＝ C 4 (3
(1)法一：3
4 1 ＋ C 4 (3 3
x＋
1
4 x
x)
1 2 2 1 2 x ) · ＋ C 4 (3 x) · ＋ C 3 4 x x
(3
1 3 4 1 4 x)· ＋C4· x x
＝[(x－1)＋1]5－1＝x5－1.
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[一点通]
求形式简单的二项展开式时可直接由二项式
定理展开，展开时注意二项展开式的特点：前一个字母是
降幂，后一个字母是升幂．形如(a－b)n的展开式中会出现 正负间隔的情况．
返回
1 3 1．3Cn＋9C2 ＋27Cn＋…＋3nCn＝________. n n
返回
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2020北师大版高中数学选修2-3 教师课件：第一章 二项式定理
2．已知( x－ 1 )n 的展开式中，前三项系数的绝对值依次成等差数列． 4
2x (1)证明：展开式中没有常数项； (2)求展开式中所有有理项． 解析：依题意，前三项系数的绝对值分别是 1，C1n(12)，C2n(12)2， 且 2C1n×12＝1＋C2n(12)2，即 n2－9n＋8＝0， 解得 n＝8(n＝1 舍去)，
探究一 二项式定理的正用、逆用 [例 1] (1)求(3 x＋ 1x)4 的展开式； (2)化简(x－1)5＋5(x－1)4＋10(x－1)3＋10(x－1)2＋5(x－1)．
[解析] (1)解法一 (3 x＋ 1x)4 ＝C04(3 x)4＋C14(3 x)3·1x＋C24(3 x)2·( 1x)2＋C34(3 x)·( 1x)3＋C44·( 1x)4 ＝81x2＋108x＋54＋1x2＋x12. 解法二 (3 x＋ 1x)4＝3x＋x2 14 ＝x12(81x4＋108x3＋54x2＋12x＋1) ＝81x2＋108x＋54＋1x2＋x12.
3．已知二项式3
x－32x10.
(1)求展开式中第 4 项的二项式系数；
(2)求展开式中第 4 项的系数．
解析：3
x－32x10 的二项展开式的通项是 Tk＋1＝Ck10(3
x)10－k－32xk(k＝0,1，…，10)．
(1)第 4 项的二项式系数为 C310＝120.
(2)第 4 项的系数为 C31037－233＝－77 760.
转化思想在多项展开式中的应用
[典例] 求(1＋x＋x2)8 展开式中 x5 的系数．
[解析] 解法一 (1＋x＋x2)8＝[1＋(x＋x2)]8，所以 Tr＋1＝C8r(x＋x2)r，则 x5 的系数由 (x＋x2)r 来决定，T′k＋1＝Ckrxr－kx2k＝Ckrxr＋k，令 r＋k＝5，解得rk＝＝50，， 或rk＝＝41，， 或
数学北师大版高中选修2-3二项式定理说课课件
一、教材分析 二、目标分析
四、教法分析
五、过程分析
三、重点难点分析 六、评价分析
退出
一、教材分析
二项式定理是选修2—3第一章第3节的 内容。它是解决高次多项式问题的有力工具。 在函数、数列、不等式证明等问题中时常会 碰到高次多项式的问题，二项式就是解决该 类问题的重要工具之一。
知识目标 二、目标分析 能力目标 情感目标
n n
(4) 展开式中的第 r + 1 项，
即通项 T r + 1 =
C a
r n
n r
b
r
, (r=0,1,2,…n)
知识形成性练习
题组一 1、写出(p+q)7的展开式. 2、求(2a+3b)6的展开式的第三项. 3、（x-1)10的展开式的第六项的系数是. 题组二
1 6 ) 的展开式 例1、求 (2 x x
n n n
二项式定理： 对于任意n ∈ N *
0 n 2 n 2 2 n 1 n 1 (a b ) Cna C na b C n a b
L C a
r n
n r
b L C b
r n n
n
注: (1) 展开式的项数为 n+1 项；
(2) 字母a按降幂排列,次数由n递减到0 字母b按升幂排列,次数由0递增到n 1 n 叫做二项式系数 (3)其中 C 0 ，C n ，……， C
（4）求 ( 1 + 2x ) 7 的展开式中所有偶数项系数的和 令f(x)=( 1 + 2x ) 7 则 （1）f(1) (2) f(-1)
f (1) f (1) f (1) f (1) (3) (4) 2 2
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a
1
▪ 考纲要求及高考动向：
2010年考试大纲（广东卷）对
本节知识的要求是：1.理解二项式 定理；2.会用二项式定理解决与二 项式定理有关的简单问题。
高考主要考查通项和二项展开
式的应用，即求特定项以及展开式 中的系数和等问题。
a
2
▪ 教材复习： ▪ 二项式定理
(a+b) = ( ) n C n 0 a n C n 1 a n 1 b C n r a n r b r C n n b n nN
思考题：
当时 n3且nN*，试证
2n 2n
1 1
n n 1
。
a
9
本节课小结：
1.会用赋值法求二项展开式中的一些系数 和问题；
2.学会利用二项展开式的通项解决一些与 特定项有关的问题。
a
10
作业： 1.必做题：《创新设计》P183基础自测 2.选做题： 《创新设计》P350选做题1，3
a
11
……
▪ 考点1.求展开式中系数和
a例7x17.已,则知(1-2x)7=a0 + a1x + a2x2+ …+ (1)a1+a2+a3+…+a7=_______ (2) a0-a1+a2-a3+…-a7=_______ 引申：
(3) (a0+a2+a4+ a6)2- (a1+a3+a5+ a7)2 =_
(4) a 0a 1a 2a 7 _ _ _ _ _
a
5
方法点评：二项展开式是一个恒等式,因 此对特殊值仍然成立.这是求二项式系数 和的基础.常采用的方法是“赋值法”,它 普遍用于恒等式,是一种重要的方法.
a
6
▪ 考点2.通项公式的应用
例2.
在
x
2
1
4
x
8
的展开式中
（（12））是求否含存x 在12 的常项数及项该；项的二项式系数；
(1)展开式中共有___n_+_1__项
(2)通项公式：__T_r_1__C __nra_n_r_b_r_,它表示
的是展开式的第___r_+_1___项
(3)二项式系数：_C _n_r(_r___0,_1_,2_,___,n_)_
a
3
(a+b)1…………………………… C110
C
11
1
(a+b)2………………………
2 … r 1
n 1
n 1
r … n1
n 1
n 1
(a+b) n……C
0 n
C1 n
C C C 2 …
r 1
n
n
r n
………
C
n n
结论：①
Cr n
Cnr n
即与首末两端“等距离”的两个二项式系数相
；
二项式系数前半部等分逐渐增大，后半部分逐渐减;当n为
② 偶展数开时式，中展间开的式两中项间的、一C nn项2 1 相CC 等nnnn22 1 取，且得同最时大取；得当最n为大奇。数时，； ③ 各二项式系数和：C n 0 C n 1 a C n 2 C n n 2 n 。4
C1
0 2
C221
C
12
2
(a+b)3……………………
C1
0 3
C3 31
C
32
3
C
31
3
(a+b)4………………
C1
0 4
C441
C642
C
43
4
C
41
4
C C (…a+…b)5……………
1C
0 5
C5
1 5
1C0 52
3
105
C
4
55
1பைடு நூலகம்5
C C C C C C (a+b) n-1…… 0
1
n1 n1
引申：
（3）求所有的有理项 ；
（4）求系数最大的项。
有变__式_：__个x 。241
x
100展开式中所有有理项
a
7
▪方法点评:例2及其变式、练习属于求 二项式的指定项的一类重要问题,它的解 法主要是:利用通项公式，设第r+1项为
所求指定项，然后根据已知条件列出方 程, 利用方程的思想解题.
a
8
n3且nN*