57.2014高考领航数学(理)9-3课时
59.2014高考领航数学(理)9-4
感
悟
判断下列每对事件是不是互斥事件；如果是，再判断它们是不是对
经 典
考
立事件．
题
课
时
(1)A 与 C；(2)B 与 E；(3)B 与 C；(4)C 与 E.
规 范
训
【审题视点】 根据互斥事件，对立事件的定义判定
练
基
础
【解】 (1)由于事件 C“至多订一种报纸”中有可能“只订甲
知 识
梳
报纸”，即事件 A 与事件 C 有可能同时发生，故 A 与 C 不是互斥事 理
透
析
A．至多有一次中靶
B．两次都中靶
感
悟
C．只有一次中靶
D．两次都不中靶
经 典
考
题
答案：D 课
时
规
范
训
练
4．(教材改编)盒子里共有大小相同的 3 只红球，1 只黄球，若 基
础
从中随机摸出两只球，则它们颜色不同的概率是________．
知 识
梳
理
答案：12
聚 焦 考
向
5．甲、乙两人下棋，两人和棋的概率是12，乙获胜的概率是13，
向 透 析
感
(2)由已知得 Y＝X2＋425，故 P(“发电量低于 490 万千瓦时或超
悟 经 典 考
题
过 530 万千瓦时”)＝P(Y＜490 或 Y＞530)＝P(X＜130 或 X＞210)＝ 课
时
规
P(X＝70)＋P(X＝110)＋P(X＝220)＝210＋230＋220＝130.
范 训 练
范 训
练
【解】 (1)在所给数据中，降雨量为 110 毫米的有 3 个，为 160
毫米的有 7 个，为 200 毫米的有 3 个．故近 20 年六月份降雨量频率
【领航密卷——高考】湖南省2014届高三第一次联考数学(理)试题(pdf版,答案详细精解)
2014届高三联考试卷(一)数 学(理科)领航教育数学命题组本卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分㊂总分150分㊂考试时间120分钟㊂第Ⅰ卷(选择题,共40分)一㊁选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知集合S ={y |y =2x},T ={x |y =l g (x -1)},则S ɘT =( )A.(0,+ɕ) B .[0,+ɕ) C .(1,+ɕ) D.[1,+ɕ)2.已知命题p ʒ∃x ɪR ,x -2>l gx ,命题q ʒ∀x ɪR ,x 2>0,则( )A.命题p ᶱq 是假命题B .命题p ɡq 是真命题C .命题p ᶱ(췍q )是假命题 D.命题p ɡ(췍q )是真命题3.函数y =l o g a (x +3)-1(a >0,且a ʂ1)的图象恒过定点A ,且点A 在直线m x +n y +1=0上(其中m ,n >0),则1m +2n的最小值等于( )A.16B .12C .9 D.84.设a ɪR ,函数f (x )=e x+a ㊃e -x 的导函数是f ᶄ(x ),且f ᶄ(x )是奇函数.若曲线y =f (x )的一条切线的斜率是32,则切点的横坐标为( )A.l n 2B .-l n 2C .l n 22 D.-l n 225.已知定义域为R 的函数f (x )满足f (-x )=-f (x +4),当x >2时,f (x )单调递增,若x 1+x 2<4,且(x 1-2)(x 2-2)<0,则f (x 1)+f (x 2)与0的大小关系是( )A.f (x 1)+f (x 2)>0B .f (x 1)+f (x 2)=0C .f (x 1)+f (x 2)<0 D.f (x 1)+f (x 2)ɤ06.已知函数f (x )=e x -1,g (x )=-x 2+4x -3.若存在实数a ,b ,使得f (a )=g (b ),则b 的取值范围是( )A.[2-2,2+2]B .(2-2,2+2)C .[1,3] D.(1,3)7.若关于x 的方程|x |x +2=k x2有四个不同的实数解,则实数k 的取值范围为( )A.(0,1)B .12,()1C .12,()+ɕ D.(1,+ɕ)8.若对于定义在R 上的函数f (x ),其图象是连续不断的,且存在常数λ(λɪR )使得f (x +λ)+λf (x )=0对任意实数x 都成立,则称f (x )是一个 λ 伴随函数 .有下列关于 λ 伴随函数 的结论:①f (x )=0是常数函数中唯一一个 λ 伴随函数 ;②f (x )=x 不是 λ 伴随函数 ;③f (x )=x 2是 λ 伴随函数 ;④ 12 伴随函数至少有一个零点.其中正确结论是多少个( )A.1B .2C .3D.4第Ⅰ卷(选择题)答题表题号12345678答案第Ⅱ卷(非选择题,共110分)二㊁填空题(本大题共7小题,每小题5分,共35分)9.函数y =l o g a (x 2+2x -3).当x =2时,y <0,则此函数的单调递减区间是.10.设函数f (x )=x 2-4x +3,g (x )=3x-2,集合M ={x ɪR |f (g (x ))>0},N ={x ɪR |g (x )<2},则M ɘN 为 .11.设函数f (x )=(x +1)2+s i n x x 2+1的最大值为M ,最小值为m ,则M +m =.12.用m i n {a ,b ,c }表示a ,b ,c 三个数中的最小值㊂设f (x )=m i n {2x,x +2,10-x }(x ȡ0),则f (x )的最大值为 .13.已知函数f (x )=2x-a , x ɤ0x 2-3a x +a ,x >{,有三个不同的零点,则实数a 的取值范围是.14.某商品在最近100天内的单价f (t )与时间t 的函数关系是f (t )=t 4+22 (0ɤt <40,t ɪN )-t 2+52 (40ɤt ɤ100,t ɪN ìîíïïïï),日销售量g (t)与时间t 的函数关系是g (t )=-t 3+1093(0ɤt ɤ100,t ɪN ).则这种商品的日销售额的最大值为.15.函数f (x )的定义域为D ,若对于任意x 1,x 2ɪD ,当x 1<x 2时,都有f (x 1)ɤf (x 2),则称函数f (x )在D 上为非减函数㊂设函数f (x )为定义在[0,1]上的非减函数,且满足以下三个条件:①f (0)=0;②f (1-x )+f (x )=1,xɪ[0,1];③当x ɪ0,[]14时,f (x )ȡ2x 恒成立㊂则f ()37+f ()59=.三㊁解答题(本大题共6小题,共75分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)16.(本小题满分12分)已知集合A ={x |x 2-2x -8ɤ0},B ={x |x 2-(2m -3)x +m (m -3)ɤ0,m ɪR }.(1)若A ɘB =[2,4],求实数m 的值;(2)设全集为R ,若A ⊆C R B ,求实数m 的取值范围.17.(本小题满分12分)已知命题pʒx1和x2是方程x2-m x-2=0的两个实根,不等式a2-5a-3ȡ|x1-x2|对任意实数mɪ[-1,1]恒成立;命题qʒ不等式a x2+2x-1>0有解,若pᶱq为真命题,pɡq为假命题,求a的取值范围.18.(本小题满分12分)设f(x)=3a x2+2b x+c,若a+b+c=0,f(0)>0,f(1)>0,求证:(1)a>0且-2<b a<-1;(2)方程f(x)=0在(0,1)内有两个实根.19.(本小题满分13分)设函数f(x)=a x-(k-1)a-x(a>0且aʂ1)是定义域为R的奇函数.(1)求k的值;(2)若f(1)=32,且g(x)=a2x+a-2x-2m㊃f(x)在[1,+ɕ)上的最小值为-2,求m的值.20.(本小题满分13分)某蔬菜基地2013年2月2日有一批黄瓜进入市场销售,通过市场调查,预测黄瓜的价格f (x)(单位:元/k g)与时间(表示距2月10日的天数,单位:天,xɪ(0,8])的数据如下表:时间x862价格8420(1)根据上表数据,从下列函数中选取一个函数描述黄瓜价格f(x)与上市时间x的变化关系:f(x)=a x+b,f(x)=a x2+b x+c,f(x)=a㊃b x,f(x)=a㊃l o g b x,其中aʂ0;并求出此函数;(2)为了控制黄瓜的价格,不使黄瓜的价格过于偏高,经过市场调研,引入一控制函数h(x)=e x-(12-2m)x+39.(x>0)m称为控制系数.求证:当m>l n2-1时,总有f(x)<h(x).21.(本小题满分13分)已知函数f(x)=12x2-a l n x(a>0).(1)若a=2,求f(x)在(1,f(1))处的切线方程;(2)求f(x)在区间[1,e]上的最小值;(3)若f(x)在区间(1,e)上恰有两个零点,求a的取值范围.2014届数学参考答案(联考试卷一)一㊁选择题:1.C2.D3.D4.A5.C6.B7.D8.B解析:1.S ={y |y >0},T ={x |x >1},ʑS ɘT =(1,+ɕ),选C .2.由图象可知p 真,又q 假故选D .3.a =(-2,-1),ʑ2m +n =1,ʑ1m +2n =1m +2()n ㊃(2m +n )=4+n m +4m nȡ8.选D .4.fᶄ(x )=e x-a ㊃e -x ,又f ᶄ(x )为奇函数,ʑf ᶄ(0)=0,ʑa =1,设切点横坐标为x 0则f ᶄ(x 0)=e x 0-e -x 0=32,即e x 0=2,x 0=l n 2,选A .5.(理)不妨设x 1<x 2则x 1<2,x 2>2,又x 1+x 2<4,ʑ4-x 1>x 2>2,ʑf (4-x 1)>f (x 2),ʑ-f (x 1)>f (x 2),即f (x 1)+f (x 2)<0,故选C .6.f (x )=e x -1>1,ʑg (b )=-b 2+4b -3>-1,ʑ2-2<b <2+2,故选B .7.|x |x +2=k x 2=k |x |2,ʑx =0或1x +2=k |x |,ʑy =1x +2与y =k |x |有不为0的三个交点,ʑk >1,故选D .8.①λ=-1时f (x )可为任一常数函数②f (x )=x 时λx +(x +λ)=0不恒成立③f (x )=x2代入显然不是④λ=12时,f x ()+1=-12f (x ),ʑf ()12=-12f (0),又f (x )图象连续不断,ʑf (x )在0,[]12上至少有一个零点,故选B .二㊁填空题:9.(1,+ɕ) 10.{x |x <1} 11.2 12.6 13.49<a ɤ1 14.808.5 15.1三㊁解答题:16.解:(1)ȵA =[-2,4],B =[m -3,m ],A ɘB =[2,4].(2分)………………………………………………………ʑm -3=2m ȡ{4,ʑm =5.(6分)…………………………………………………………………………………(2)C R B ={x |x <m -3,或x >m },ȵA ⊆B ,ʑm <-2,或m -3>4,ʑm >7或m <-2.(12分)……………17.解:ȵx 1,x 2是方程x 2-mx -2=0的两个实根,ʑx 1+x 2=m x 1x 2{=-2,ʑ|x 1-x 2|=(x 1+x 2)2-4x 1x 2=m 2+8ʑ当m ɪ[-1,1]时,|x 1-x 2|m a x =3.由不等式a 2-5a -3ȡ|x 1-x 2|对任意实数m ɪ[-1,1]恒成立,可得:a 2-5a -3ȡ3ʑa ȡ6或a ɤ-1.ʑ命题p 为真命题时a ȡ6或a ɤ-1,命题p 为假命题时-1<a <6.(5分)………………命题q ʒ不等式a x 2+2x -1>0有解.①当a >0时,显然有解;②当a =0时,2x -1>0有解;③当a <0时,ȵa x 2+2x -1>0有解.ʑΔ=4+4a >0,ʑ-1<a <0.从而命题p :不等式a x 2+2x -1>0有解时a >-1ʑ命题q 是真命题时a >-1,命题q 是假命题时a ɤ-1.(10分)………………………………………………ȵp ᶱq 真,p ɡq 假,ʑp 与q 有且仅有一个为真.(1)当命题p 是真命题且命题q 是假命题时a ɤ-1.(2)当命题p 是假命题且命题q 是真命题时-1<a <6综上所述:a 的取值范围为a <6.(12分)……………………………………………………………………………18.解:(1)ȵf (0)>0,f (1)>0,所以c >0,3a +2b +c >0.由条件a +b +c =0,消去b 得a >c >0;由条件a +b +c =0消去c ,得a +b <0,2a +b >0.故-2<b a<-1.(6分)…………………………………………………(2)抛物线f (x )=3a x 2+2b x +c 的对称轴为x =-b 3a ,由-2<b a <-1得13<-b 3a <23.即对称轴x ɪ13,()23;而ә=4b 2-12a c =4[(-a -c )2-3a c ]=4(a 2+c 2-a c )>0,且f (0)>0,f (1)>0,所以方程f (x )=0在区间(0,1)内有两个不等的实根.(12分)………………………19.解:(1)由题意,对任意x ɪR ,f (-x )=-f (x ),即a -x -(k -1)a x =-a x+(k -1)a -x ,即(k -1)(a x +a -x )-(a x +a -x )=0,(k -2)(a x+a -x )=0,因为x 为任意实数,所以k =2.(4分)………………………………………………………………………(2)由(1)f (x )=a x-a -x ,因为f (1)=32,所以a -1a =32,解得a =2.故f (x )=2x -2-x ,g (x )=22x +2-2x -2m (2x-2-x ),令t =2x -2-x ,则22x +2-2x =t 2+2,由x ɪ[1,+ɕ),得t ɪ32,[)+ɕ,所以g (x )=h (t )=t 2-2m t +2=(t -m )2+2-m 2,t ɪ32,[)+ɕ,当m <32时,h (t )在ɪ32,[)+ɕ上是增函数,则h ()32=-2,94-3m +2=-2,解得m =2512(舍去)当m ȡ32时,则h (m )=-2,2-m 2=-2,解得m =2,或m =-2(舍去).综上,m 的值是2.(13分)…………………………………………………………………………………………20.解:(1)根据表中数据,表述黄瓜价格f (x )与上市时间x 的变化关系的函数决不是单调函数,这与函数f (x )=a x +b ,f (x )=a ㊃b x,f (x )=a ㊃l o g b x ,均具有单调性不符,所以,在a ʂ0的前提下,可选取二次函数f (x )=a x 2+b x +c 进行描述,把表格提供的三对数据代入该解析式得到:64a +8b +c =836a +6b +c =44a +2b +c ìîíïïï=20,解得a =1,b =-12,c =40.所以,黄瓜价格f (x )与上市时间x 的函数关系是f (x )=x 2-12x +40.x ɪ(0,8].(6分)………………(2)设函数g (x )=h (x )-f (x )=e x -x 2+2m x -1,求导,结果见下表.gᶄ(x )=e x -2x +2m ,继续对g ᶄ(x )求导得g ᵡ(x )=e x-2.表格如下:x(0,l n 2)l n 2(l n 2,+ɕ)g ᵡ(x )-0+gᶄ(x )减极小值增由上表可知g ᶄ(x )ȡg ᶄ(l n 2),而gᶄ(l n 2)=e l n 2-2l n 2+2m =2-2l n 2+2m =2(m -l n 2+1),由m >l n 2-1知g ᶄ(l n 2)>0,所以g ᶄ(x )>0,即g (x )在区间(0,+ɕ)上为增函数.于是有g (x )>g (0),而g (0)=e 0-02+2m ˑ0-1=0,故g (x )>0,即当m >l n 2-1且x >0时,e x >x 2-2m x +1.即h (x )>f (x ).(13分)………………………21.解:(1)a =2,f (x )=12x 2-2l n x ,f ᶄ(x )=x -2x ,f ᶄ(1)=-1,f (1)=12,f (x )在(1,f (1))处的切线方程为2x +2y -3=0.(3分)…………………………………………………(2)由f ᶄ(x )=x -a x =x 2-a x,由a >0及定义域为(0,+ɕ),令f ᶄ(x )=0得x =a .①若a ɤ1,即0<a ɤ1,在(1,e )上,f ᶄ(x )>0,f (x )在[1,e ]上单调递增,因此,f (x )在区间[1,e ]的最小值为f (1)=12.②若1<a <e ,即1<a <e 2,在(1,a )上,f ᶄ(x )<0,f (x )单调递减;在(a ,e )上,f ᶄ(x )>0,f (x )单调递增,因此f (x )在区间[1,e ]上的最小值为f (a )=12a (1-l n a ).③若a ȡe ,即a ȡe 2,在(1,e )上,f ᶄ(x )<0,f (x )在[1,e ]上单调递减,因此,f (x )在区间[1,e ]上的最小值为f (e )=12e 2-a .综上,当0<a ɤ1时,f m i n (x )=12;当1<a <e 2时,f mi n x =12a (1-l n a );当a ȡe 2时,f mi n (x )=12e 2-a .(9分)………………………………………………………………………(3)由(2)可知当0<a ɤ1或a ȡe 2时,f (x )在(1,e )上是单调递增或递减函数,不可能存在两个零点.当1<a <e 2时,要使f (x )在区间(1,e)上恰有两个零点,则ʑ12a (1-l n a )<0f (1)=12>0f (e )=12e 2-a >ìîíïïïïïï0,即a >e a <12e {2,此时,e <a <12e 2.所以,a 的取值范围为e ,12e ()2.(13分)………………………………………………………………………。
【领航密卷】江西省2014届高三第六次联考数学(理)试题 PDF版含详解
第 Ⅰ 卷( 选择题 , 共5 0 分)
} , ) } , ( ) 若全集 U =R, 集合 A= { 则 ∁U ( 1. x | | 2 x+3 |<5 B= { x | l o x+2 A∩B) = g 3( y= { } B. { } C. { } D. { } A. x | x≤4或x≥ 1 x | x<4或x> 1 x | x<2或x> 1 x | x≤2或x≥ 1 ( ) 的前 n 项和 , 则“ 是“ 数列 { 为等差数列 ” 的 2. S a S a n 是数列 { n} n 是关于n 的二次函数 ” n} 充分不必要条件 必要不充分条件 充分必要条件 既不充分也不必要条件 A. B. C. D. o s 6 x 的图像大致为 函数 y= c 3. x 2 -2-x ( )
2ö æ ç ÷ , , D.-∞ ∪( 1 +∞) 5ø è ( ) ( )
A. 3
的图象的交点的横坐标为正整数时实数a 的取值个数为 B. 4 C. 5
题号 答案
1
2
第 Ⅰ 卷( 选择题 ) 答题表
3 4 5 6 7
无穷个 D.
8 9 1 0
1与函数 ( ) 3 h x =x a x ( )
) ( 设 y=f( 是某港口水的深度 y( 米) 关于时间t 时) 的函数 , 其中 0≤ 下表是该港口某一 1 1. t t ≤2 4. 天从 0 时至 2 4 时记录的时间t 与水深y 的关系 : ) 经长期观察 , 函数 y=f( 的图象可以近似地 看 成 函 数 y=h+A 的 图 象. 最能近似 t s i n( ω x+ϕ) 表示表中数据间对应关系的函数是 . .
n n+1
2014版《高考领航》系列丛书高考数学模拟试题精编——山东省(80页)(漓江出版社,将于2013年9月上市,word
山东省数学高考模拟试题精编一【说明】 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分．考试时间120分钟．请将第Ⅰ卷的答案填入答题栏内，第Ⅱ卷可在各题后直接作答.一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．) 1．已知复数z ＝2i1＋i，z 的共轭复数为z ，则z ·z ＝( ) A ．1－i B ．2 C ．1＋i D ．02．(理)条件甲：⎩⎨⎧ 2＜x ＋y ＜40＜xy ＜3；条件乙：⎩⎨⎧0＜x ＜12＜y ＜3，则甲是乙的( )A ．充要条件B ．充分而不必要条件C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件(文)设α，β分别为两个不同的平面，直线l ⊂α，则“l ⊥β”是“α⊥β”成立的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件3．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的k 的值是( )A．4 B．5C．6 D．74．(理)下列说法正确的是()A．函数f(x)＝1x在其定义域上是减函数B．两个三角形全等是这两个三角形面积相等的必要条件C．命题“∃x∈R，x2＋x＋1＞0”的否定是“∀x∈R，x2＋x＋1＜0”D．给定命题p、q，若p∧q是真命题，则綈p是假命题(文)若cos θ2＝35，sinθ2＝－45，则角θ的终边所在的直线为()A．7x＋24y＝0 B．7x－24y＝0C．24x＋7y＝0 D．24x－7y＝05．如图是依据某城市年龄在20岁到45岁的居民上网情况调查而绘制的频率分布直方图，现已知年龄在[30,35)、[35,40)、[40,45]的上网人数呈现递减的等差数列分布，则年龄在[35,40)的网民出现的频率为()A．0.04 B．0.06C．0.2 D．0.36．已知等比数列{a n }的首项为1，若4a 1,2a 2，a 3成等差数列，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前5项和为( ) A.3116 B ．2 C.3316 D.16337．已知l ，m 是不同的两条直线，α，β是不重合的两个平面，则下列命题中为真命题的是( )A ．若l ⊥α，α⊥β，则l ∥βB ．若l ⊥α，α∥β，m ⊂β，则l ⊥mC ．若l ⊥m ，α∥β，m ⊂β，则l ⊥αD ．若l ∥α，α⊥β，则l ∥β 8．(理)在二项式⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋12·4x n 的展开式中，前三项的系数成等差数列，把展开式中所有的项重新排成一列，有理项都互不相邻的概率为( ) A.16 B.14 C.13 D.512(文)已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2xf ′(e)＋ln x ，则f ′(e)＝( ) A ．1 B ．－1 C ．－e －1 D ．－e9．将函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象向右平移φ(φ＞0)个单位，再将图象上每一点横坐标缩短到原来的12倍，所得图象关于直线x ＝π4对称，则φ的最小正值为( ) A.π8 B.3π8 C.3π4 D.π2 10.如图所示是一个几何体的三视图，其侧视图是一个边长为a 的等边三角形，俯视图是两个正三角形拼成的菱形，则该几何体的体积为( ) A ．a 3B.a 32C.a 33D.a 34 11.如图所示，F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的两个焦点，以坐标原点O 为圆心，|OF 1|为半径的圆与该双曲线左支的两个交点分别为A ，B ，且△F 2AB 是等边三角形，则双曲线的离心率为( ) A.2＋1 B.3＋1 C.2＋12 D.3＋1212．设定义在R 上的奇函数y ＝f (x )，满足对任意t ∈R 都有f (t )＝f (1－t )，且x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12时，f (x )＝－x 2，则f (3)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32的值等于( ) A ．－12 B ．－13 C ．－14 D ．－15 答题栏二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．将答案填写在题中的横线上)13．向平面区域{}(x ，y )|x 2＋y 2≤1内随机投入一点，则该点落在区域⎩⎨⎧2x ＋y ≤1x ≥0y ≥0内的概率等于________．14．(理)如图所示，在平行四边形ABCD 中，AP ⊥BD ，垂足为P ，且AP ＝3，则AP →·AC→＝________.(文)已知向量p ＝(1，－2)，q ＝(x,4)，且p ∥q ，则p ·q 的值为________． 15．给出下列等式：观察各式：a ＋b ＝1，a 2＋b 2＝3，a 3＋b 3＝4，a 4＋b 4＝7，a 5＋b 5＝11，…，则依次类推可得a 6＋b 6＝________.16．已知不等式xy ≤ax 2＋2y 2，若对任意x ∈[1,2]，且y ∈[2,3]，该不等式恒成立，则实数a 的取值范围是________．三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程及演算步骤)17．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋2cos 2x －1(x ∈R )(1)求f (x )的单调递增区间；(2)在△ABC 中，三内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知f (A )＝12，b ，a ，c 成等差数列，且AB →·AC →＝9，求a 的值．18.(理)(本小题满分12分)如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧面AA 1C 1C ⊥底面ABC ，AA 1＝A 1C ＝AC ＝2，AB ＝BC ，AB ⊥BC ，O 为AC 中点． (1)证明：A 1O ⊥平面ABC ；(2)求直线A 1C 与平面A 1AB 所成角的正弦值；(3)在BC 1上是否存在一点E ，使得OE ∥平面A 1AB ？若存在，确定点E 的位置；若不存在，说明理由． (文)(本小题满分12分)如图，直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 为菱形，AB ＝1，AA 1＝62，∠ABC ＝60°. (1)求证：AC ⊥BD 1；(2)求四面体D 1－AB 1C 的体积．19.(理)(本小题满分12分)某学校为了增强学生对消防安全知识的了解，举行了一次消防安全知识竞赛，其中一道题是连线题，要求将4种不同的工具与它们的4种不同的用途一对一连线，规定：每连对一条得5分，连错一条得－2分．某参赛者随机用4条线把消防工具与用途一对一全部连接起来． (1)求该参赛者恰好连对一条的概率；(2)设X 为该参赛者此题的得分，求X 的分布列与数学期望． (文)(本小题满分12分)某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出7名学生参加数学基本公式大赛，他们取得的成绩(满分100分)的茎叶图如图，其中甲班学生的平均分是85，乙班学生成绩的中位数是83. (1)求x 和y 的值；(2)从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，求甲班至少有一名学生的概率．20．(本小题满分13分)设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，S n ＋1＝4a n ＋2. (1)设b n ＝a n ＋1－2a n ，证明：数列{b n }是等比数列； (2)求数列{a n }的通项公式．21.(理)(本小题满分13分)已知函数f (x )＝e x (ax 2－2x －2)，a ∈R 且a ≠0. (1)若曲线y ＝f (x )在点P (2，f (2))处的切线垂直于y 轴，求实数a 的值； (2)当a ＞0时，求函数f (|sin x |)的最小值；(3)在(1)的条件下，若y ＝kx 与y ＝f (x )的图象存在三个交点，求k 的取值范围． (文)(本小题满分12分)已知函数f (x )＝ln x 与g (x )＝kx ＋b (k ，b ∈R )的图象交于P ，Q 两点，曲线y ＝f (x )在P ，Q 两点处的切线交于点A .(1)当k ＝e ，b ＝－3时，求函数h (x )＝f (x )－g (x )的单调区间；(e 为自然常数) (2)若A ⎝ ⎛⎭⎪⎫ee －1，1e －1，求实数k ，b 的值．22.(本小题满分12分)如图F 1、F 2为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1的左、右焦点，D 、E 是椭圆的两个顶点，椭圆的离心率e ＝32，S △DEF 2＝1－32.若点M (x 0，y 0)在椭圆C 上，则点N ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0a ，y 0b 称为点M 的一个“椭点”，直线l 与椭圆交于A 、B 两点，A 、B两点的“椭点”分别为P 、Q . (1)求椭圆C 的标准方程；(2)问是否存在过左焦点F 1 的直线l ，使得以PQ 为直径的圆经过坐标原点？若存在，求出该直线的方程；若不存在，请说明理由．山东省数学高考模拟试题精编二【说明】 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分．考试时间120分钟．请将第Ⅰ卷的答案填入答题栏内，第Ⅱ卷可在各题后直接作答.第Ⅰ卷 (选择题 共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．设A ＝{1,4,2x }，B ＝{1，x 2}，若B ⊆A ，则x ＝( ) A ．0 B ．－2C ．0或－2D ．0或±22．命题“若x ＞1，则x ＞0”的否命题是( ) A ．若x ＞1，则x ≤0 B ．若x ≤1，则x ＞0 C ．若x ≤1，则x ≤0 D ．若x ＜1，则x ＜0 3．若复数z ＝2－i ，则z ＋10z ＝( ) A ．2－i B ．2＋i C ．4＋2i D ．6＋3i4．(理)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的一个焦点与抛物线y 2＝4x 的焦点重合，且双曲线的离心率等于5，则该双曲线的方程为( ) A ．5x 2－45y 2＝1 B.x 25－y 24＝1C.y 25－x 24＝1 D ．5x 2－54y 2＝1(文)已知双曲线y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为3，则双曲线的渐近线方程为( )A ．y ＝±22x B ．y ＝±2x C ．y ＝±2x D ．y ＝±12x5．设函数f (x )＝sin x ＋cos x ，把f (x )的图象按向量a ＝(m,0)(m ＞0)平移后的图象恰好为函数y ＝－f ′(x )的图象，则m 的最小值为( ) A.π4 B.π3 C.π2 D.2π36．(理)已知⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x n的展开式的各项系数和为32，则展开式中x 4的系数为( )A ．5B ．40C ．20D ．10(文)采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1,2，……，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9.抽到的32人中，编号落入区间[1,450]的人做问卷A ，编号落入区间[451,750]的人做问卷B ，其余的人做问卷C .则抽到的人中，做问卷C 的人数为( ) A ．7 B ．9 C ．10 D ．157．按如图所示的程序框图运行后，输出的结果是63，则判断框中的整数M 的值是( ) A ．5 B ．6 C ．7 D ．88．点A 、B 、C 、D 在同一个球的球面上，AB ＝BC ＝2，AC ＝2，若四面体ABCD 体积的最大值为23，则这个球的表面积为( ) A.125π6 B ．8π C.25π4 D.25π169．(理)已知实数a ，b ，c ，d 成等比数列，且函数y ＝ln(x ＋2)－x 当x ＝b 时取到极大值c ，则ad 等于( ) A ．1 B ．0 C ．－1 D ．2(文)直线y ＝kx ＋1与曲线y ＝x 3＋ax ＋b 相切于点A (1,3)，则2a ＋b 的值为( ) A ．2 B ．－1 C ．1 D ．－210．已知抛物线x 2＝4y 上有一条长为6的动弦AB ，则AB 的中点到x 轴的最短距离为( ) A.34 B.32 C ．1 D ．211．在区间[－π，π]内随机取两个数分别记为a ，b ，则使得函数f (x )＝x 2＋2ax －b 2＋π有零点的概率为( ) A.78 B.34 C.12 D.1412．(理)设函数f (x )＝x －1x ，对任意x ∈[1，＋∞)，f (2mx )＋2mf (x )＜0恒成立，则实数m 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 (文)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a ·2x ，x ≤0，log 12x ，x ＞0.若关于x 的方程f (f (x ))＝0有且仅有一个实数解，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，0) B ．(－∞，0)∪(0,1) C ．(0,1) D ．(0,1)∪(1，＋∞) 答题栏二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．将答案填写在题中的横线上)13．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________．14．若x ，y 满足条件⎩⎨⎧3x －5y ＋6≥02x ＋3y －15≤0，y ≥0当且仅当x ＝y ＝3时，z ＝ax －y 取得最小值，则实数a 的取值范围是________．15．已知函数f (x )满足：当x ≥4时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ；当x ＜4时f (x )＝f (x ＋1)，则f (2＋log 23)＝________.16．(理)已知a n ＝∫n0(2x ＋1)d x ，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和为S n ，数列{b n }的通项公式为b n ＝n －8，则b n S n 的最小值为________．(文)在△ABC 中，2sin 2A 2＝3sin A ，sin (B －C)＝2cos B sin C ，则ACAB ＝________. 三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程及演算步骤)17．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝3sin ωx ＋φ2cos ωx ＋φ2＋sin 2ωx ＋φ2(ω＞0,0＜φ＜π2)．其图象的两个相邻对称中心的距离为π2，且过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，1.(1)求函数f(x)的表达式；(2)在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，a ＝5，S △ABC ＝25，角C 为锐角，且满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫C 2－π12＝76，求c 的值．18.(理)(本题满分12分)如图，四棱锥P－ABCD的底面ABCD为一直角梯形，其中BA⊥AD，CD⊥AD，CD＝AD＝2AB，PA⊥底面ABCD，E是PC的中点．(Ⅰ)求证：BE∥平面PAD；(Ⅱ)若BE⊥平面PCD，求平面EBD与平面BDC夹角的余弦值．(文)(本小题满分12分)如图，正三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点．(1)求证：AB1⊥平面A1BD；(2)设点O为AB1上的动点，当OD∥平面ABC时，求AOOB1的值．19．(理)(本小题满分12分)某高校组织自主招生考试，共有2 000名优秀同学参加笔试，成绩均介于195分到275分之间，从中随机抽取50名同学的成绩进行统计，将统计结果按如下方式分成8组：第1组[195,205)，第2组[205,215)，…，第8组[265,275]．如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图，且笔试成绩在260分(含260分)以上的同学进入面试．(1)估计所有参加笔试的2 000名同学中，参加面试的同学人数；(2)面试时，每位同学抽取三个问题，若三个问题全答错，则不能取得该校的自主招生资格；若三个问题均回答正确且笔试成绩在270分以上，则获A 类资格；其他情况下获B 类资格．现已知某中学有3人获得面试资格，且仅有1人笔试成绩在270分以上，在回答三个面试问题时，3人对每一个问题正确回答的概率均为12，用随机变量X 表示该中学获得B 类资格的人数，求X 的分布列及期望EX. (文)(本小题满分12分)PM 2.5是指悬浮在空气中的空气动力学当量直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物．根据现行国家标准GB 3095-2012，PM 2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米～75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标． 从某自然保护区某年全年每天的PM 2.5日均值监测数据中随机地抽取12天的数据作为样本，监测值如茎叶图所示(十位为茎，个位为叶).(1)求空气质量为超标的数据的平均数与方差；(2)从空气质量为二级的数据中任取两个，求这两个数据的和小于100的概率； (3)以这12天的PM 2.5日均值来估计该年的空气质量情况，估计该年(366天)大约有多少天的空气质量达到一级或二级．20.(本小题满分13分)已知函数f(x)＝x 2－2(n ＋1)x ＋n 2＋5n －7.(Ⅰ)设函数y ＝f(x)的图象的顶点的纵坐标构成数列{a n }，求证：{a n }为等差数列； (Ⅱ)设函数y ＝f(x)的图象的顶点到x 轴的距离构成数列{b n }，求{b n }的前n 项和S n .21．(理)(本小题满分13分)已知函数f(x)＝ax sin x ＋cos x ，且f(x)在x ＝π4处的切线斜率为2π8.(1)求a 的值，并讨论f(x)在[－π，π]上的单调性； (2)设函数g(x)＝ln (mx ＋1)＋1－x1＋x，x ≥0，其中m ＞0，若对任意的x 1∈[0，＋∞)总存在x 2∈[0，π2]，使得g(x 1)≥f(x 2)成立，求m 的取值范围．(文)(本小题满分12分)已知函数f(x)＝12x 2－13ax 3(a ＞0)，函数g(x)＝f(x)＋e x (x －1)，函数g(x)的导函数为g ′(x)． (1)求函数f(x)的极值； (2)若a ＝e ，(ⅰ)求函数g(x)的单调区间；(ⅱ)求证：x ＞0时，不等式g ′(x)≥1＋ln x 恒成立．22．(本小题满分12分)如图，已知椭圆C ：x 24＋y 23＝1，直线l 的方程为x ＝4，过右焦点F 的直线l ′与椭圆交于异于左顶点A 的P ，Q 两点，直线AP 、AQ 交直线l 分别于点M 、N.(Ⅰ)当AP →·AQ→＝92时，求此时直线l ′的方程； (Ⅱ)试问M 、N 两点的纵坐标之积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．山东省数学高考模拟试题精编三【说明】 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分．考试时间120分钟．请将第Ⅰ卷的答案填入答题栏内，第Ⅱ卷可在各题后直接作答.一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．若复数z 满足3－iz ＝1＋i ，i 是虚数单位，则z ＝( ) A ．2－2i B ．1－2i C ．2＋i D ．1＋2i2．若集合A ＝{x ∈Z |2＜2x ＋2≤8}，B ＝{x ∈R |x 2－2x ＞0}，则A ∩(∁R B )所含的元素个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 3.若三棱锥的三视图如右图所示，则该三棱锥的体积为( ) A ．80 B ．40 C.803 D.4034．若△ABC 的三个内角满足sin A ∶sin B ∶sin C ＝5∶11∶13，则△ABC ( ) A ．一定是锐角三角形 B ．一定是直角三角形C ．一定是钝角三角形D ．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形 5．设l 、m 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，有下列命题： ①l ∥m ，m ⊂α，则l ∥α ②l ∥α，m ∥α，则l ∥m ③α⊥β，l ⊂α，则l ⊥β ④l ⊥α，m ⊥α，则l ∥m其中正确的命题的个数是( ) A ．1 B ．2C ．3D ．46．已知双曲线C 的中心在原点，焦点在坐标轴上，P (1，－2)是C 上的点，且y ＝2x 是C 的一条渐近线，则C 的方程为( ) A.y 22－x 2＝1 B ．2x 2－y 22＝1C.y 22－x 2＝1或2x 2－y 22＝1 D.y 22－x 2＝1或x 2－y 22＝17．现采用随机模拟的方法估计某运动员射击4次，至少击中3次的概率：先由计算器给出0到9之间取整数值的随机数，指定0、1表示没有击中目标，2、3、4、5、6、7、8、9表示击中目标，以4个随机数为一组，代表射击4次的结果，经随机模拟产生了20组随机数：7527 0293 7140 9857 0347 4373 8636 6947 1417 4698 0371 6233 2616 8045 6011 3661 9597 7424 7610 4281根据以上数据估计该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为( ) A ．0.852 B ．0.819 2 C ．0.8 D ．0.758．函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(ω＞0)，把函数f (x )的图象向右平移π6个单位长度，所得图象的一条对称轴方程是x ＝π3，则ω的最小值是( ) A ．1 B ．2 C ．4 D.329．按右面的程序框图运行后，输出的S 应为( ) A ．26 B ．35 C ．40 D ．5710．(理)设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧π4≤x ≤5π4|y |≤1所表示的平面区域为D ，现向区域D 内随机投掷一点，且该点又落在曲线y ＝sin x 与y ＝cos x 围成的区域内的概率是( ) A.22π B.2π C ．2 2 D ．1－2π(文)函数f (x )＝lg|sin x |是( )A ．最小正周期为π的奇函数B ．最小正周期为2π的奇函数C ．最小正周期为π的偶函数D ．最小正周期为2π的偶函数11．(理)[x ]表示不超过x 的最大整数，例如[2.9]＝2，[－4.1]＝－5，已知f (x )＝x －[x ](x ∈R )，g (x )＝log 4(x －1)，则函数h (x )＝f (x )－g (x )的零点个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4(文)在直角三角形ABC 中，∠C ＝π2，AC ＝3，取点D 、E 使BD→＝2DA →，AB →＝3BE →，那么CD →·CA →＋CE →·CA →＝( ) A ．3 B ．6 C ．－3 D ．－612．一个赛跑机器人有如下特性：(1)步长可以人为地设置成0.1米，0.2米，0.3米，…，1.8米，1.9米；(2)发令后，机器人第一步立刻迈出设置的步长，且每一步的行走过程都在瞬时完成；(3)当设置的步长为a 米时，机器人每相邻两个迈步动作恰需间隔a 秒．则这个机器人跑50米(允许超出50米)所需的最少时间是( ) A ．48.6秒 B ．47.6秒 C ．48秒 D ．47秒 答题栏二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．将答案填写在题中的横线上)13．(理)在(4x －2－x )6的展开式中，常数项为________．(文)若实数x ，y 满足－1＜x ＋y ＜4，且2＜x －y ＜3，则p ＝2x －3y 的取值范围是________．14．已知△ABC 中，BC ＝1，AB ＝3，AC ＝6，点P 是△ABC 的外接圆上一个动点，则BP →·BC→的最大值是________． 15．(理)若曲线y ＝x －12在点⎝ ⎛⎭⎪⎫m ，m －12处的切线与两坐标轴围成三角形的面积为18，则m ＝________.(文)已知点P (x ，y )在直线x ＋2y ＝3上移动，当2x ＋4y 取得最小值时，过点P 引圆⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋142＝12的切线，则此切线段的长度为________． 16．已知数列a n ：11，21，12，31，22，13，41，32，23，14，…，依它的前10项的规律，则a 99＋a 100的值为________．三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程及演算步骤)17．(本小题满分12分)已知△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，3sin C cos C －cos 2C ＝12，且c ＝3. (1)求角C ；(2)若向量m ＝(1，sin A )与n ＝(2，sin B )共线，求a 、b 的值． 18.(理)(本小题满分12分)如图，已知三棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧棱与底面垂直，AA 1＝AB ＝AC ＝1，AB ⊥AC ，M 、N 分别是CC 1，BC 的中点，点P 在线段A 1B 1上，且A 1P →＝λA 1B 1→(1)证明：无论λ取何值，总有AM ⊥PN ；(2)当λ＝12时，求直线PN 与平面ABC 所成角的正切值．(文)(本小题满分12分)如图，在四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，∠ABC ＝∠ADC ＝90°，∠BAD ＝120°，AD ＝AB ＝1，AC 交BD 于O 点．(1)求证：平面PBD ⊥平面P AC ；(2)求三棱锥D －ABP 和三棱锥B －PCD 的体积之比．19.(理)(本小题满分12分)某地近年来持续干旱，为倡导节约用水，该地采用了阶梯水价计费方法，具体为：每户每月用水量不超过a吨的每吨2元；超过a吨而不超过(a＋2)吨的，超出a吨的部分每吨4元；超过(a＋2)吨的，超出(a＋2)吨的部分每吨6元．(1)写出每户每月用水量x(吨)与支付费y(元)的函数关系；(2)该地一家庭记录了去年12个月的月用水量(x∈N*)如下表：将12费用，求Y的分布列和数学期望(精确到元)；(3)今年干旱形势仍然严峻，该地政府决定适当下调a的值(3＜a＜4)，小明家响应政府号召节约用水，已知他家前3个月的月平均水费为11元，并且前3个月用水量x的分布列为：请你求出今年调整的(文)(本小题满分12分)某地近年来持续干旱，为倡导节约用水，该地采用了阶梯水价计费方法，具体为：每户每月用水量不超过4吨的每吨2元；超过4吨而不超过6吨的，超出4吨的部分每吨4元；超过6吨的，超出6吨的部分每吨6元．(1)写出每户每月用水量x(吨)与支付费y(元)的函数关系；(2)该地一家庭记录了去年12个月的月用水量(x∈N*)如下表：(3)今年干旱形势仍然严峻，该地政府号召市民节约用水，如果每个月水费不超过12元的家庭称“节约用水家庭”，随机抽取了该地100户的月用水量作出如下统计表：据此估计该地“节约用水家庭”的比例．20．(本小题满分13分)某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数a.①sin213°＋cos217°－sin 13°cos 17°；②sin215°＋cos215°－sin 15°cos 15°；③sin218°＋cos212°－sin 18°cos 12°；④sin2(－18°)＋cos248°－sin(－18°)cos 48°；⑤sin2(－25°)＋cos255°－sin(－25°)cos 55°.(1)试从上述五个式子中选择一个，求出常数a；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为一个三角恒等式，并证明你的结论．21.(本小题满分13分)已知函数f(x)＝12ax2－(2a＋1)x＋2ln x(a∈R)．(Ⅰ)若曲线y＝f(x)在x＝1和x＝3处的切线互相平行，求a的值；(Ⅱ)求f(x)的单调区间；(Ⅲ)设g(x)＝x2－2x，若对任意x1∈(0,2]，均存在x2∈(0,2]，使得f(x1)＜g(x2)，求a的取值范围．22.(本小题满分12分)已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的离心率为12，点F1，F2分别是椭圆C的左，右焦点，以原点为圆心，椭圆C的短半轴为半径的圆与直线x－y＋6＝0相切．(1)求椭圆C的方程；(2)若过点F2的直线l与椭圆C相交于M，N两点，求△F1MN的内切圆面积的最大值和此时直线l的方程．山东省数学高考模拟试题精编四【说明】本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分．考试时间120分钟．请将第Ⅰ卷的答案填入答题栏内，第Ⅱ卷可在各题后直接作答.第Ⅰ卷 (选择题 共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．已知复数z ＝1＋i2－i (其中是虚数单位)，则复数z 在坐标平面内对应的点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．(理)已知f (x )＝3sin x －πx ，命题p ：∀x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，f (x )＜0，则( )A ．p 是真命题，綈p ：∀x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，f (x )＞0B ．p 是真命题，綈p ：∃x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，f (x 0)≥0C ．p 是假命题，綈p ：∀x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，f (x )≥0D ．p 是假命题，綈p ：∃x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，f (x 0)≥0(文)已知命题p ：∃x 0∈R ，x 20＋2x 0＋2≤0，则綈p 为( )A ．∃x 0∈R ，x 20＋2x 0＋2＞0B ．∃x 0∈R ，x 20＋2x 0＋2＜0C ．∀x ∈R ，x 2＋2x ＋2≤0D ．∀x ∈R ，x 2＋2x ＋2＞0 3．(理)如图所示，要使电路接通即灯亮，开关不同的闭合方式有( ) A ．11种 B ．20种 C ．21种 D ．12种(文)已知向量a 、b 的夹角为45°，且|a |＝1，|2a －b |＝10，则|b |＝( ) A ．3 2 B ．2 2 C. 2 D ．14．“m ＜0”是“函数f (x )＝m ＋log 2x (x ≥1)存在零点”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件5．已知a 是实数，则函数f (x )＝1＋a sin ax 的图象不可能是( )6．在圆的一条直径上，任取一点作与该直径垂直的弦，则其弦长超过该圆的内接等边三角形的边长的概率为( ) A.14 B.13 C.12 D.327．(理)下列四个判断：①某校高三(1)班的人数和高三(2)班的人数分别是m 和n ，某次测试数学平均分分别是a ，b ，则这两个班的数学平均分为a ＋b 2；②从总体中抽取的样本(1,2.5)，(2,3.1)，(3,3.6)，(4,3.9)，(5,4.4)，则回归直线y ∧＝b ∧x ＋a ∧必过点(3,3.6)；③已知ξ服从正态分布N (1,22)，且p (－1≤ξ≤1)＝0.3，则p (ξ＞3)＝0.2 其中正确的个数有( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个(文)某考察团对全国10大城市进行职工人均工资水平x (千元)与居民人均消费水平y (千元)统计调查，y 与x 具有相关关系，回归方程为y ∧＝0.66x ＋1.562，若某城市居民人均消费水平为7.675千元，估计该城市人均消费额占人均工资收入的百分比约为( ) A ．83% B ．72% C ．67% D ．66%8．阅读程序框图(如图)，如果输出的函数值在区间[1,3]上，则输入的实数x 的取值范围是( )A．{x∈R|0≤x≤log23}B．{x∈R|－2≤x≤2}C．{x∈R|0≤x≤log23或x＝2}D．{x∈R|－2≤x≤log23或x＝2}9．已知点M(a，b)(a＞0，b＞0)是圆C：x2＋y2＝1内任意一点，点P(x，y)是圆上任意一点，则实数ax＋by－1()A．一定是负数B．一定等于0C．一定是正数D．可能为正数也可能为负数10．过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F作直线l交抛物线于A，B两点，O为坐标原点，则△AOB的形状为()A．不确定B．钝角三角形C．锐角三角形D．直角三角形11．(理)设方程10x＝|lg(－x)|的两个根分别为x1、x2，则()A．x1x2＜0 B．x1x2＝1C．x1x2＞1 D．0＜x1x2＜1(文)定义在R上的函数f(x)的图象关于直线x＝2对称，且f(x)在(－∞，2)上是增函数，则()A．f(－1)＜f(3) B．f(0)＞f(3)C．f(－1)＝f(3) D．f(0)＝f(3)12．等差数列{a n}的前n项和为S n，公差为d，已知(a8＋1)3＋2013(a8＋1)＝1，(a2006＋1)3＋2013(a2006＋1)＝－1，则下列结论正确的是()A．d＜0，S2013＝2013 B．d＞0，S2013＝2013C．d＜0，S2013＝－2013 D．d＞0，S2013＝－2013答题栏二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．将答案填写在题中的横线上)13．在样本的频率分布直方图中，共有11个小长方形，若中间一个小长方形的面积等于其他10个小长方形的面积和的14，且样本容量为160，则中间一组的频数为________． 14．(理)如图，阴影部分由曲线y ＝x 与y 轴及直线y ＝2围成，则阴影部分的面积S ＝________.(文)曲线y ＝x 3－2x ＋3在x ＝1处的切线方程为________．15．若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的体积等于________cm 3.16．观察下面两个推理过程及结论：(1)若锐角A ，B ，C 满足A ＋B ＋C ＝π，以角A ，B ，C 分别为内角构造一个三角形，依据正弦定理和余弦定理可得到等式：sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C －2sin B sin C cos A ， (2)若锐角A ，B ，C 满足A ＋B ＋C ＝π，则⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－A 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－B 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－C 2＝π，以角π2－A 2，π2－B 2，π2－C2分别为内角构造一个三角形，依据正弦定理和余弦定理可以得到的等式：cos2A2＝cos2B2＋cos2C2－2cosB2cosC2sinA2.则：若锐角A，B，C满足A＋B＋C＝π，类比上面推理方法，可以得到的一个等式是________．三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程及演算步骤)17．(本小题满分12分)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知c＝1，C＝π3.(1)若cos(α＋C)＝－35，0＜α＜2π3，求cos α；(2)若sin C＋sin(A－B)＝3sin 2B，求△ABC的面积S.18.(理)(本小题满分12分)如图已知：菱形ABEF所在平面与直角梯形ABCD所在平面互相垂直，AB＝2AD＝2CD＝4，∠ABE＝60°，∠BAD＝∠CDA＝90°，点H，G分别是线段EF，BC的中点．(1)求证：平面AHC⊥平面BCE；(2)点M在直线EF上，且GM∥平面AFD，求平面ACH与平面ACM所成角的余弦值．(文)(本小题满分12分)如图，已知三棱柱ABC－A1B1C1.(1)若M、N分别是AB、A1C的中点，求证：MN∥平面BCC1B1；(2)若三棱柱ABC－A1B1C1的各棱长均为2，∠B1BA＝∠B1BC＝60°，P为线段B1B 上的动点，当P A＋PC最小时，求证：B1B⊥平面APC.19.(理)(本小题满分12分)空气质量指数PM2.5(单位：μg/m 3)表示每立方米空气中入肺颗粒物的含量，这个值越高，就代表空气污染越严重(如下表)：某市某年8月8日～9月6日(30天)对空气质量指数PM2.5进行监测，获得数据后得到如图所示的条形图：(1)以该数据为依据，求该城市一个月内空气质量类别为良的概率；(2)在上述30个监测数据中任取2个，设X 为其中空气质量类别为优的天数，求X 的分布列和数学期望．(文)(本小题满分12分)某车间将10名技术工人平均分为甲、乙两个小组加工某种零件．已知甲组每名技术工人加工的零件合格的分别为4个、5个、7个、9个、10个，乙组每名技术工人加工的零件合格的分别为5个、6个、7个、8个、9个． (1)分别求出甲、乙两组技术工人加工的合格零件的平均数及方差，并由此比较这两组技术工人加工这种零件的技术水平；(2)假设质检部门从甲、乙两组技术工人中分别随机抽取1人，对他们加工的零件进行检测，若抽到的2人加工的合格零件之和超过12个，则认为该车间加工的零件质量合格，求该车间加工的零件质量合格的概率．20.(本小题满分13分)已知数列{a n }的前n 项和S n 和通项a n 满足S n ＝12(1－a n )． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足b n ＝na n ，求证：b 1＋b 2＋…＋b n ＜34.21．(理)(本小题满分13分)已知函数g (x )＝2a ln(x ＋1)＋x 2－2x (1)当a ≠0时，讨论函数g (x )的单调性；(2)若函数f (x )的图象上存在不同两点A ，B ，设线段AB 的中点为P (x 0，y 0)，使得f (x )在点Q (x 0，f (x 0))处的切线与直线AB 平行或重合，则说函数f (x )是“中值平衡函数”，切线叫做函数f (x )的“中值平衡切线”．试判断函数g (x )是否是“中值平衡函数”？若是，判断函数g (x )的“中值平衡切线”的条数；若不是，说明理由． (文)(本小题满分12分)已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d (a ＞0)的零点的集合为{0,1}，且x ＝13是f (x )的一个极值点． (1)求ba 的值；(2)试讨论过点P (m,0)且与曲线y ＝f (x )相切的直线的条数．22.(本小题满分12分)已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，椭圆C 上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1. (1)求椭圆C 的标准方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆C 相交于A ，B 两点(A ，B 不是左，右顶点)，且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点D .求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标．山东省数学高考模拟试题精编五【说明】 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分．考试时间120分钟．请将第Ⅰ卷的答案填入答题栏内，第Ⅱ卷可在各题后直接作答.一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．复数1＋2ii 的共轭复数是a ＋b i(a ，b ∈R )，i 是虚数单位，则点(a ，b )为( ) A ．(1,2) B ．(2，－1) C ．(2,1) D ．(1，－2)2．下列说法中，正确的是()A．命题“若am2＜bm2，则a＜b”的逆命题是真命题B．命题“p或q”为真命题，则命题“p”和命题“q”均为真命题C．已知x∈R，则“x＞1”是“x＞2”的充分不必要条件D．命题“∃x∈R，x2－x＞0”的否定是：“∀x∈R，x2－x≤0”3．已知a＝0.7－13，b＝0.6－13，c＝log2.11.5，则a，b，c的大小关系是()A．c＜a＜b B．c＜b＜aC．a＜b＜c D．b＜a＜c4．一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的全面积(单位：cm2)为()A．48＋12 2 B．48＋24 2C．36＋12 2 D．36＋24 25．(理)如图，A、B两点之间有4条网线连接，每条网线能通过的最大信息量分别为1,2,3,4.从中任取2条网线，则这2条网线通过的最大信息量之和等于5或6的概率是()A.56 B.12C.13 D.16(文)已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧y ≤2x ＋y ≥1x －y ≤1，则z ＝3x ＋y 的最大值为( )A ．12B ．11C ．3D ．－16．将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6(x ∈R )图象上所有的点向左平行移动π6个单位长度，再把图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变)，则所得到的图象的解析式为( )A ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3B ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π3C ．y ＝sin x 2D ．y ＝cos x27．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＝1，a 3＝5，S k ＋2－S k ＝36，则k 的值为( ) A ．8 B ．7 C ．6 D ．5 8.某程序框图如图所示，现输入下列四个函数：f (x )＝1x ，f (x )＝log 3(x 2＋1)，f (x )＝2x ＋2－x ，f (x )＝2x －2－x ，则输出的函数是( ) A ．f (x )＝1x B ．f (x )＝log 3(x 2＋1) C ．f (x )＝2x ＋2－x D ．f (x )＝2x －2－x9．(理)将5名学生分到A ，B ，C 三个宿舍，每个宿舍至少1人至多2人，其中。
2014年全国统一高考数学试卷(理科)(大纲版)教师版
2014 年全国一致高考数学试卷（理科）（纲领版）一、选择题（本大题共12 小题，每题 5 分）1．（5 分）（2014?纲领版）设 z=，则 z 的共轭复数为（）A．﹣ 1+3i B．﹣ 1﹣3i C．1+3i D．1﹣3i【剖析】直接由复数代数形式的除法运算化简，则z 的共轭可求．【解答】解：∵ z= =，∴．应选： D．2．（5 分）（2014?纲领版）设会合M={ x| x2﹣3x﹣4＜0} ，N={ x| 0≤x≤5} ，则 M ∩N=（）A．（ 0， 4]B．[ 0， 4）C．[ ﹣1，0）D．（﹣ 1，0]【剖析】求解一元二次不等式化简会合M ，而后直接利用交集运算求解．2【解答】解：由 x ﹣3x﹣ 4＜ 0，得﹣ 1＜x＜4．∴M={ x| x2﹣ 3x﹣4＜0} ={ x| ﹣1＜x＜4} ，又 N={ x| 0≤x≤5} ，∴M∩N={ x| ﹣ 1＜ x＜ 4} ∩{ x| 0≤x≤5} =[ 0， 4）．应选： B．3．（5 分）（2014?纲领版）设 a=sin33 ，°b=cos55 °，c=tan35 A．a＞b＞c B．b＞c＞ a C．c＞b＞a ，°则（）D．c＞a＞b【剖析】可得b=sin35 °，易得b＞a，c=tan35 °=＞sin35 °综合可得．，【解答】解：由引诱公式可得b=cos55°=cos（90°﹣35°）=sin35 °，由正弦函数的单一性可知b＞a，而 c=tan35 °=＞ sin35 °=b，∴ c＞b＞a应选： C．4．（5 分）（2014?纲领版）若向量、知足：| | =1，（ + ）⊥ ，（2 + ）⊥ ，则| | =（ ）A ．2B ．C ．1D ．【剖析】 由条件利用两个向量垂直的性质，可得（+ ） ?，（ 2+ ） ? ，=0 =0由此求得 | | ．【解答】 解：由题意可得，（ + ）?=+=1+，∴﹣ ；=0= 1（2+）?=2 + ﹣，∴ 2 ，=2+ =0 b =2则||=，应选： B ．5．（ 5 分）（2014?纲领版）有 6 名男医生、 5 名女医生，从中选出2 名男医生、 1名女医生构成一个医疗小组，则不一样的选法共有（）A ．60 种B ．70 种C ．75 种D ．150 种【剖析】依据题意，分 2 步剖析，先从 6 名男医生中选 2 人，再从 5 名女医生中选出 1 人，由组合数公式挨次求出每一步的状况数量，由分步计数原理计算可得答案．【解答】 解：依据题意，先从 6 名男医生中选 2 人，有 C 62=15 种选法，再从 5 名女医生中选出 1 人，有 C 51=5 种选法，则不一样的选法共有 15× 5=75 种；应选： C ．．（ 分）（ 纲领版）已知椭圆： + （ ＞ ＞ ）的左、右焦点为 、 6 52014?C=1 a bF 1 2，离心率为，过 F 2 的直线 l 交 C 于 A 、B 两点，若△ AF 1 B 的周长为4，F则 C 的方程为（）A ．+=1． +y 2 =1B C ． +=1D ．+ =1【剖析】 利用△ AF 1B 的周长为 4 ，求出 a=，依据离心率为 ，可得 c=1，求出 b，即可得出椭圆的方程．【解答】解：∵△ AF1B 的周长为 4，∵△ AF1B 的周长 =| AF1|+| AF2|+| BF1|+| BF2| =2a+2a=4a，∴4a=4 ，∴a= ，∵离心率为，∴，c=1，∴ b==，∴椭圆 C 的方程为+=1．应选： A．7．（ 5 分）（2014?纲领版）曲线y=xe x﹣1在点（ 1，1）处切线的斜率等于（）A．2e B．e C．2D．1【剖析】求函数的导数，利用导数的几何意义即可求出对应的切线斜率．【解答】解：函数的导数为 f ′（x）=e x﹣1+xe x﹣1=（1+x）e x﹣1，当 x=1 时， f ′（ 1） =2，即曲线 y=xe x﹣1在点（ 1， 1）处切线的斜率k=f （′1）=2，应选： C．8．（ 5 分）（ 2014?纲领版）正四棱锥的极点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为（）A．B．16πC．9πD．PO1上，记为O，求出PO1，【剖析】正四棱锥P﹣ ABCD的外接球的球心在它的高OO1，解出球的半径，求出球的表面积．【解答】解：设球的半径为R，则∵棱锥的高为 4，底面边长为 2，∴R2=（4﹣R）2+（）2，∴R= ，∴球的表面积为4π?（）2=．故： A．9．（5 分）（2014?大版）已知双曲 C 的离心率 2，焦点 F1、F2，点 A 在C 上，若 | F1A| =2| F2A| ，cos∠AF2F1=（）A．B．C．D．【剖析】依据双曲的定，以及余弦定理成立方程关系即可获得．【解答】解：∵双曲 C 的离心率 2，∴ e=，即c=2a，点 A 在双曲上，| F1A| | F2A| =2a，又 | F1A| =2| F2A| ，∴解得 | F1A| =4a， | F2A| =2a，|| F1F2| =2c，由余弦定理得cos ∠ AF2F1 ===．故： A．10．（ 5 分）（2014?大版）等比数列 { a n } 中， a4， 5 ，数列n} 的前 8 =2 a =5{ lga和等于（）A．6B．5C．4D．3【剖析】利用等比数列的性可得 a1 8 27 3 6 4 5．再利用数的运算性a =a a =a a =a a =10即可得出．【解答】解：∵数列 { a n } 是等比数列， a4=2，a5=5，∴a1a8=a2a7=a3a6=a4a5=10．∴lga1 +lga2+⋯+lga8=lg（a1a2?⋯ ?a8）=4lg10=4．应选： C．11．（ 5 分）（2014?纲领版）已知二面角α﹣l﹣β为60°，AB?α，AB⊥l，A为垂足，CD? β，C∈l，∠ACD=135°，则异面直线 AB 与CD 所成角的余弦值为（）A．B．C．D．AB 与CD 所成角，【剖析】第一作出二面角的平面角，而后再结构出异面直线利用解直角三角形和余弦定理，求出问题的答案．【解答】解：如图，过 A 点做 AE⊥ l，使 BE⊥β，垂足为 E，过点 A 做 AF∥CD，过点 E 做 EF⊥AE，连结 BF，∵AE⊥l∴∠ EAC=90°∵CD∥AF又∠ ACD=135°∴∠ FAC=45°∴∠ EAF=45°在 Rt△BEA中，设 AE=a，则 AB=2a，BE= a，在 Rt△AEF中，则 EF=a，AF= a，在 Rt△BEF中，则 BF=2a，∴异面直线 AB 与 CD所成的角即是∠ BAF，∴ cos∠ BAF===．应选： B．12．（ 5 分）（2014?纲领版）函数 y=f （ x ）的图象与函数 y=g （x ）的图象对于直线 x+y=0 对称，则y=f （ x ）的反函数是（）A ．y=g （x ）B ．y=g （﹣ x ）C ．y=﹣g （x ）D ．y=﹣g （﹣ x ）【剖析】 设 P （x ，y ）为 y=f （ x ）的反函数图象上的随意一点，则 P 对于 y=x 的对称点 P ′（ y ，x ）一点在 y=f （ x ）的图象上， P ′（y ，x ）对于直线 x+y=0 的对称点 P ″（﹣ x ，﹣ y ）在 y=g （ x ）图象上，代入分析式变形可得．【解答】 解：设 P （ x ， y ）为 y=f （x ）的反函数图象上的随意一点，则 P 对于 y=x 的对称点 P ′（y ， x ）一点在 y=f （x ）的图象上，又∵函数 y=f （x ）的图象与函数 y=g （x ）的图象对于直线 x+y=0 对称，∴ P ′（y ， x ）对于直线 x+y=0 的对称点 P ″（﹣ x ，﹣ y ）在 y=g （x ）图象上，∴必有﹣ y=g （﹣ x ），即 y=﹣ g （﹣ x ）∴ y=f （ x ）的反函数为： y=﹣g （﹣ x ）应选： D ．二、填空题 ( 本大题共 4 小题，每题 5 分 )13．（5 分）（ 2014?纲领版）的睁开式中 x 2y 2 的系数为70 ．（用数字作答）【剖析】先求出二项式睁开式的通项公式，再令x 、y 的幂指数都等于 2，求得 r的值，即可求得睁开式中 x 2y 2 的系数．【解答】解：的睁开式的通项公式为T r +1 r?= ?（﹣ ）= ? 1 ?（﹣ 1） r ??，令 8﹣ = ﹣4=2，求得 r=4，故睁开式中 x 2y 2的系数为=70，故答案为： 70．、 知足拘束条件，则 z=x+4y 的最大14．（5 分）（ 2014?纲领版）设 x y值为5 ．【剖析】由拘束条件作出可行域， 化目标函数为直线方程的斜截式， 由图获得最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：由拘束条件作出可行域如图，联立，解得 C（ 1， 1）．化目标函数 z=x+4y 为直线方程的斜截式，得．由图可知，当直线过 C 点时，直线在 y 轴上的截距最大， z 最大．此时 z max=1+4×1=5．故答案为： 5．15．（ 5 分）（ 2014?纲领版）直线 l1和 l2是圆 x2+y2=2 的两条切线，若 l1与 l2的交点为（ 1，3），则 l1与 l2的夹角的正切值等于．【剖析】设 l1与 l2的夹角为 2θ，因为 l1与 l2的交点 A（1，3）在圆的外面，由直角三角形中的边角关系求得sin θ=的值，可得cos θ、 tan θ的值，再依据tan2 θ=，计算求得结果．【解答】解：设 l1与 l2的夹角为 2θ，因为 l1与 l2的交点 A（1，3）在圆的外面，且点 A 与圆心 O 之间的距离为 OA==，圆的半径为 r=，∴ sin θ= =，∴ cosθ=，tanθ== ，∴ tan2 θ=== ，故答案为：．16．（ 5 分）（2014?纲领版）若函数f（ x） =cos2x+asinx 在区间（，）是减函数，则 a 的取值范围是（﹣∞，2]．【剖析】利用二倍角的余弦公式化为正弦，而后令t=sinx 换元，依据给出的x 的范围求出t 的范围，联合二次函数的图象的张口方向及对称轴的地点列式求解 a 的范围．【解答】解：由 f（ x）=cos2x+asinx=﹣2sin2 x+asinx+1，令 t=sinx，则原函数化为 y=﹣2t2 +at+1．∵ x∈（，）时f（x）为减函数，则 y=﹣2t 2+at+1 在 t∈（，1）上为减函数，∵ y=﹣2t2+at+1 的图象张口向下，且对称轴方程为t= ．∴，解得： a≤2．∴a 的取值范围是（﹣∞，2] ．故答案为：（﹣∞， 2] ．三、解答题17．（ 10 分）（ 2014?纲领版）△ ABC的内角 A、B、C 的对边分别为a、 b、c，已知 3acosC=2ccosA，tanA= ，求 B．【剖析】由3acosC=2ccosA，利用正弦定理可得3sinAcosC=2sinCcosA，再利用同角的三角函数基本关系式可得tanC，利用tanB=tan[ π﹣（A+C）] =﹣tan （A+C）即可得出．【解答】解：∵ 3acosC=2ccosA，由正弦定理可得3sinAcosC=2sinCcosA，∴3tanA=2tanC，∵ tanA= ，∴2tanC=3× =1，解得 tanC= ．∴ tanB=tan[ π （ A+C）] = tan（ A+C）=，== 1∵ B∈（ 0，π），∴B=18．（ 12 分）（ 2014?大版）等差数列 { a n} 的前 n 和 S n，已知 a1=13，a2整数，且 S n≤S4．（ 1）求 { a n } 的通公式；（ 2）b n=，求数列{ b n} 的前n 和T n．【剖析】（1）通 S n≤ S4得 a4≥0，a5≤0，利用 a1=13、 a2整数可得 d= 4，而可得；（ 2）通 a n =13 3n，分别分母可得b n= （），并相加即可．【解答】解：（1）在等差数列 { a n} 中，由 S n≤S4得：a4≥ 0， a5≤0，又∵ a1=13，∴，解得≤d≤ ，∵ a2整数，∴ d= 4，∴{ a n} 的通： a n=17 4n；（ 2）∵a n =17 4n，∴ b n===（），于是 T n=b1+b2+⋯⋯+b n[ （）+（）+⋯⋯+（） ]== （）=．．（分）（ 2014?大版）如，三棱柱1 11中，点A1 在平面ABC19 12ABC ABC内的射影 D 在 AC上，∠ ACB=90°，BC=1，AC=CC1=2．（Ⅰ）证明： AC1⊥A1B；（Ⅱ）设直线AA 与平面1BCC的距离为1B1，求二面角 A ﹣AB﹣ C 的大小．1【剖析】（Ⅰ）由已知数据联合线面垂直的判断和性质可得；（Ⅱ）作协助线可证∠ A1FD 为二面角 A1﹣ AB﹣C 的平面角，解三角形由反三角函数可得．【解答】解：（Ⅰ）∵ A1D⊥平面 ABC，A1D? 平面 AA1 C1C，∴平面 AA1C1C⊥平面 ABC，又 BC⊥AC∴BC⊥平面 AA1C1C，连结 A1C，由侧面 AA1C1C 为菱形可得 AC1⊥ A1C，又 AC1⊥BC，A1C∩BC=C，∴AC1⊥平面 A1 BC， AB1? 平面 A1BC，∴AC1⊥A1B；（Ⅱ）∵ BC⊥平面 AA1C1C，BC? 平面 BCC1B1，∴平面 AA1C1C⊥平面 BCC1B1，作 A1E⊥CC1，E 为垂足，可得 A1E⊥平面BCC1B1，又直线 AA1∥平面 BCC1B1，∴ A为直线AA1与平面 BCC的距离，即 A，1E1B11E=∵A1C 为∠ ACC1的均分线，∴ A1D=A1E= ，作 DF⊥ AB，F 为垂足，连结 A1 F，又可得 AB⊥A1D， A1 F∩ A1D=A1，∴AB⊥平面 A1DF，∵ A1 F? 平面 A1DF∴A1F⊥ AB，∴∠ A1FD 为二面角 A1﹣AB﹣ C 的平面角，由 AD==1 可知 D 为 AC中点，∴ DF== ，∴tan∠ A1FD= = ，∴二面角 A1﹣AB﹣C 的大小为 arctan20．（ 12 分）（2014?纲领版）设每个工作日甲、乙、丙、丁4 人需使用某种设施的概率分别为 0.6、0.5、0.5、0.4，各人能否需使用设施互相独立．（Ⅰ）求同一工作日起码 3 人需使用设施的概率；（Ⅱ） X 表示同一工作日需使用设施的人数，求X 的数学希望．【剖析】记 A i表示事件：同一工作日乙丙需要使用设施，i=0， 1，2，B 表示事件：甲需要设施， C 表示事件，丁需要设施， D 表示事件：同一工作日起码 3 人需使用设施（Ⅰ）把 4 个人都需使用设施的概率、 4 个人中有 3 个人使用设施的概率相加，即得所求．（Ⅱ） X 的可能取值为 0，1，2，3，4，分别求出 PX i，再利用数学希望公式计算即可．【解答】解：由题意可得“同一工作日起码3 人需使用设施”的概率为0.6×0.5× 0.5×0.4+（1﹣0.6）× 0.5×0.5× 0.4+0.6×（ 1﹣0.5）× 0.5× 0.4+0.6×0.5×（ 1﹣ 0.5）× 0.4+0.6×0.5×0.5×（ 1﹣0.4）=0.31．（Ⅱ） X 的可能取值为 0，1，2，3，4P（X=0） =（ 1﹣0.6）× 0.52×（ 1﹣0.4）=0.06P（X=1） =0.6×0.52×（ 1﹣0.4）+（ 1﹣ 0.6）× 0.52×0.4+（1﹣0.6）× 2×0.52×（1﹣0.4）=0.25P（X=4） =P（A2?B?C）=0.52× 0.6×0.4=0.06，P（X=3） =P（D）﹣ P（ X=4）=0.25，P（X=2） =1﹣P（X=0）﹣ P（X=1）﹣ P（X=3）﹣ P（X=4）=1﹣0.06﹣ 0.25﹣0.25﹣0.06=0.38．故数学希望 EX=0×0.06+1×0.25+2×0.38+3×0.25+4×0.06=221．（ 12 分）（ 2014?纲领版）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，直线y=4 与 y 轴的交点为 P，与 C 的交点为 Q，且 | QF| = | PQ| ．（Ⅰ）求 C 的方程；（Ⅱ）过 F 的直线 l 与 C 订交于 A、B 两点，若 AB的垂直均分线l 与′ C 订交于 M 、N 两点，且 A、M 、B、N 四点在同一圆上，求l 的方程．【剖析】（Ⅰ）设点 Q 的坐标为（ x0，4），把点 Q 的坐标代入抛物线C 的方程，求得 x0= ，依据 | QF| = | PQ| 求得 p 的值，可得 C 的方程．（Ⅱ）设l 的方程为 x=my+1 （m≠0），代入抛物线方程化简，利用韦达定理、中点公式、弦长公式求得弦长 | AB| ．把直线 l 的′方程代入抛物线方程化简，利用韦达定理、弦长公式求得 | MN| ．因为 MN 垂直均分线段 AB，故 AMBN 四点共圆等价于 | AE| =| BE| = | MN| ，由此求得 m 的值，可得直线 l 的方程．【解答】解：（Ⅰ）设点 Q 的坐标为（x0，4），把点 Q 的坐标代入抛物线C：y2=2px （p＞0），可得 x0= ，∵点 P（0，4），∴ | PQ| = ．又 | QF| =x0+ = + ， | QF| = | PQ| ，∴+ = ×，求得 p=2，或 p=﹣2（舍去）．故 C 的方程为 y2=4x．（Ⅱ）由题意可得，直线 l 和坐标轴不垂直， y2=4x 的焦点 F（ 1， 0），设 l 的方程为 x=my+1（m≠0），代入抛物线方程可得 y2﹣ 4my﹣ 4=0，明显鉴别式△ =16m2+16＞ 0，y1+y2=4m，y1?y2=﹣ 4．∴ AB的中点坐标为 D （ 2m2+1 ， 2m ），弦长 | AB| =| y1﹣y 2| =（m2+1）．=4又直线 l 的′斜率为﹣ m，∴直线 l ′方程为的x=﹣y+2m2+3．过 F 的直线 l 与 C 订交于 A、 B 两点，若 AB 的垂直均分线 l 与′ C 订交于 M 、N 两点，把线 l ′方程代入抛物线方程可得的y2+ y﹣4（2m2+3）=0，∴ y3+y4=，y3?y4=﹣4（2m2+3）．故线段MN 的中点 E 的坐标为（+2m2+3，），∴ | MN| =| y3﹣y4| =，∵MN 垂直均分线段 AB，故 AMBN 四点共圆等价于 | AE| =| BE| = | MN| ，∴+DE2= MN 2，∴ 4（ m2+1）2 ++= ×，化简可得m2﹣1=0，∴m=± 1，∴直线 l 的方程为 x﹣y﹣1=0，或 x+y﹣ 1=0．22．（ 12 分）（ 2014?纲领版）函数 f（ x） =ln（ x+1）﹣（a＞1）．（Ⅰ）议论 f （x）的单一性；（Ⅱ）设 a1=1， a n+1=ln（a n+1），证明：＜a n≤（n∈ N*）．【剖析】（Ⅰ）求函数的导数，经过议论 a 的取值范围，即可获得 f （x）的单一性；（Ⅱ）利用数学概括法即可证明不等式．【解答】解：（Ⅰ）函数 f（x）的定义域为（﹣ 1，+∞），f （′x）=，①当 1＜a＜2 时，若 x∈（﹣ 1，a2﹣2a），则 f （′x）＞ 0，此时函数 f（x）在（﹣1，a2﹣2a）上是增函数，若 x∈（ a2﹣ 2a，0），则 f ′（x）＜ 0，此时函数 f（x）在（ a2﹣2a，0）上是减函数，若 x∈（ 0，+∞），则 f ′（ x）＞ 0，此时函数 f （x）在（ 0， +∞）上是增函数．②当 a=2 时， f ′（x）≥0，此时函数 f（ x）在（﹣ 1，+∞）上是增函数，③当 a＞2 时，若 x∈（﹣ 1，0），则 f ′（x）＞ 0，此时函数 f （x）在（﹣ 1， 0）上是增函数，若 x∈（ 0，a2﹣ 2a），则 f ′（x）＜ 0，此时函数 f（x）在（ 0，a2﹣2a）上是减函数，若 x∈（ a2﹣ 2a，+∞），则 f ′（ x）＞ 0，此时函数 f（x）在（ a2﹣2a， +∞）上是增函数．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当a=2 时，此时函数 f（x）在（﹣ 1， +∞）上是增函数，当 x∈（ 0，+∞）时， f（ x）＞ f（ 0） =0，即 ln（x+1）＞，（x＞0），又由（Ⅰ）知，当a=3 时， f（ x）在（ 0，3）上是减函数，当 x∈（ 0，3）时， f（x）＜ f（0）=0，ln（x+1）＜，下边用数学概括法进行证明＜a n≤成立，①当 n=1 时，由已知＜，故结论成立．②假定当 n=k 时结论成立，即＜，则当 n=k+1 时， a n+1（n+1）＞ ln（）＞，=ln aa k+1=ln（a k+1）＜ ln（）＜，即当 n=k+1 时，＜成立，综上由①②可知，对任何n∈N?结论都成立．。
高考领航2014届高考数学二轮复习考点三函数图像与性质ppt课件理
函数 f(x)＝
1－2x＋
1 x＋3 的
定义域为( )
A．(－3，0]
B. (－3，1]
C．(－∞，－3)∪(－3，0]
D．(－∞，－3)∪(－3，1]
考题解法类编
揭秘解题绝招
试题体验应用
限时规范训练
类型一 类型二 类型三
类型四
类型七 类型六 尾页
类型五
考题 ● 解法类编
类型一 函数表示及定义域
例题精编
当 x≥1 时，log1x≤log11＝0，∴当 x≥1 时，f(x)≤0.
2
2
当 x＜1 时，0＜2x＜21，即 0＜f(x)＜2. 因此函数 f(x)的值域为(－∞，2)． 【答案】(－∞，2)
类型一 类型二 类型三 类型四
考题解法类编
揭秘解题绝招
试题体验应用
限时规范训练
类型七 类型六 类型五
考题 ● 解法类编
答案：A
类型一 类型二 类型三
类型四
考题解法类编
揭秘解题绝招
试题体验应用
限时规范训练
类型七 类型六 类型五
考题 ● 解法类编
类型三 函数的奇偶性及对称性
例题精编
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例 3：设函数 f(x)和 g(x)分别是 R 上 的偶函数和奇函数，则下列结论恒成 立的是( )
A．f(x)＋|g(x)|是偶函数 B．f(x)－|g(x)|是奇函数 C．|f(x)|＋g(x)是偶函数 D．|f(x)|－g(x)是奇函数
【解析】直接利用关于 x＝－2 的对称性质
f(－2＋x)＝f(－2－x)求 a 和 b，再利用
导数法求最值．
f(x)＝(1－x2)(x2＋ax＋b)
【领航密卷】2014届高三第一次模拟考试数学(理)试题(pdf版,答案详细精解)
一、 选择题 : 1 .A 2 .D 3 .D 4 .D 5 . B 6 .D 7 . B 8 . B 9 . B 1 0 .D 1 1 . B 1 2 .D 解析 : x 2 } } , ( ) } } , } 所以 M∩N={ 选 A. 1. M={ | 2, x> 0 ={ | 1 N={ x | l 2 xx ={ x | 0 < x< 2 x | 1 < x< 2 . g y y= y y> y= ) , ( ) , ( ) , ( ) 因为 P( 所以 所以 所以 2. ≤4 =0 . 7 9 P >4 =0 . 2 1 P 1≤ ≤4 =0 . 2 9 P -2≤ ≤1 =0 . 2 9 . ξ ξ ξ ξ 若α⊥ 则 γ∥ 错误 , 可能平行 , 也可能相交 ; 3. A. γ, α⊥ β, β, 若 m∥ 则α∥ 错误 , 可能平行 , 也可能相交 , 要判断两个平面平行, 需要两个平面内 B. n, m⊂ α, n⊂ β, β, 的两条相交直线相互平行 ; 若 m∥ 则 n∥ 错误 , 可能是 n∥ 也可能是 n⊂ C. n, m∥ α, α, α, α; 若 n⊥ 则α∥ 正确 . 垂直于同一条直线的两个平面平行 . 选 D. D. α, n⊥ β, β, 5 5 5 a 1 1 1ö , 1 ö 的展开通项 æ ö æ ö æ ö æ æ , , , 令 x= 得 1+ 所 以 a=1 所 以 x+ 4. 1 a=2 2 x= x+ 2 x2 xxøè xø xø è xø è xø è è r 5 1ö 1ö 展 r 5 ræ r r 5 r 5 2 r ) , , , , 为: 由5 得r= 由5 得r= 所以 æ C 2 x) =( 1 C5 2x , 2 r = 1 2 2 r=-1 3 2 x5( xø è xø è 5 5 1 1 1 æ ö æ ö æ ö 1 , , 开式中 x 项的系数为 8 展开式中 x 项的系数为 所以 x+ 的展开式中 0 2 x4 0 2 xxø xø è xø è è 常数项为 8 0 4 0 = 4 0 . 第一次循环 : 第二次循环 : 第三次循环 : 第四次 循 5. k=1, k=2, k=2, k=3, k=3, k=4, p=1, p=2, p=6, 环: 第五次循环 : 第六次循环: 此 时 条 件 不 成 立, k=4, 4, k=5, k=5, 2 0, k=6, k=6, 2 0, p=2 p=1 p=7 输出 p=7 选 B. 2 0, , , 由三视图知 该几何体为一个半圆锥和一个四棱锥的组合体 其中圆锥的底 面 半 径 为 1, 高 为 3. 四棱 6. 1 1 1 2 锥的底面为边长是 2 的 正 方 形 , 高 为 3, 所 以 这 个 几 何 体 的 体 积 为 V = ×π×1 × 3× + ×2 3 2 3 ( )3 8+π 选 D. ×2× 3= . 6 πö , 3 π 所以函 æ 因为 f( 且| 7. x) =s i n ω x+ 3 c o s ω x=2 s i nω x+ a) = -2, =0, α|的 最 小 值 为 , f( f( β) β 3ø 4 è π 2 π 2 , 数 f( 的周期为 3 所以 ω=2 x) π = = . T 3 π 3 x+3 , ( , ) ( ) , ) , 易知函数 恒过定点 所以 A( 又因为点 A 在直线x + y 8. a -2 a>0 a≠1 -3, -1 -3, -1 y= m n 3 1 3 1 3 m 3 n 3 m 3 n æ ö · =1 所以 + =1, 所以3 =-1 上 , m+n= ( 3 m+n) + =1 0+ + ≥1 0+2 6, m n n m n m èm n ø 所以 3 选 B. m+ n 的最小值为 1 6. ) ) ) ) 的几何意义为在 ( 处切线斜率 , 的几何意义为在( 处 切 线 斜 率, 9. ′( 2 2, ′( 2 ′( 3) 3, ′( 3) 3) -f f f f f f( ( ) ( ) f f 3 2 ( ) , ) ) ) ) ) 所以 f( 的几何意义范围点 ( 与点 ( 连线割线的斜率, 由 2 = 3 -f( 2 2, ′( 2 3, ′( 3) f f 3-2 , ( ) ( ) ( ) ( ) , 图象可知 0<f ′ 3 <f 3 -f 2 <f ′ 2 选 B. , , 因为 △F 所以设 成等差数列 , 且设 1 0. P F | P F | | P F | | F F | | P F | = xd, | P F 1 2 的三条边长成等差数列 , 2 1 1 2 2 1 d , , ( ) , , , ( 则 即 又 所以 | = x, | F F | = x + d x + d =2 c x x d = d =2 a x =2 c d a = . ∠ F P F =9 0 ° x 1 2 1 2 2 5 d 5 所以双曲线的离心率为 c 2 2 2 2 , , 解得 x= 即c 选 D. d) + x =( x+ d) 4 d, = d, e = = = 5 2 a d 2 1 2 2 1 1 2 若甲单独一组 , 则C 则C 所以不同的安排方案共有 1 1. C A2 =1 2有 种。若 甲 不 单 独 一 组, C A2 =1 2, 2 3 3 2 选 B. 2 4种, 1 , 渐近线的夹角为 9 在同一支上 , 任意 ( 不存在 1 2. ①y= 是以x, 0 ° x ∈M , y 轴为渐近线的双曲线 , y 1, 1) x ( 不满足 “ 垂直对点集 ” 的定义 ; 对任意( 在另一支上也不存在( x ∈M , x ∈M , x ∈M , y y y 2, 2) 1, 1) 2, 2) ; ( 使得 x 所以不满足 “ 垂直对点集 ” 的定义 , 不是 “ 垂直 对 点 集 ” x ②M = { x, | y y y) y= 1 2+ 1 2 =0 成立 , } , ( 在曲线上 , 两点构成的直角 始 终 存 在 , 所 以 M={ 是“ 垂直对点 i n x+1 x, | i n x+1} y=s y) y=y=s ; ( , ) , ; 集” 对于 ③M = { 取 M( 不存在满足条件的点 , 所 以 不 是“ 垂 直 对 点 集” 对于 x, | l o x} 1, 0 g y) y= 2 x ( } , , 两点构成的直角始终存在 , 所以是 “ 垂直对点集 ” 故选 D. ④M = { x, | e -2 y) y= 二、 填空题 :
江苏省无锡新领航教育咨询有限公司2014届高三数学重点难点高频考点串讲三
江苏省无锡新领航教育咨询有限公司2014届高三数学重点难点高频考点串讲三1．已知函数2342013()1...2342013x x x x f x x =+-+-++,2342013()1...2342013x x x x g x x =-+-+--,设函数()(3)(4)F x f x g x =+⋅-，且函数()F x 的零点均在区间),,](,[Z ∈<b a b a b a 内，则-b a 的最小值为（ ）A 、11B 、10C 、9D 、8 【答案】B 【解析】 试题分析：'2320122201232011()11()f x x x x x x x x x x =-+-++=+++-+++21012210112024202320232221()(1())1101111x x x x x x x x x x x ----++=-==>+---，所以()f x 在R 上单调递增，(0)10f =>，1111(1)11 (02342013)f -=------<，所以()0f x =的零点在(1,0)-上，而2023'1()01x g x x+=-<+，所以()g x 在R 上单调递减，(0)10g =>，1111(1)11 (02342013)g =-+-+-->， 23420132222(2)12...02342013g =-+-+--<，所以()0g x =的零点在(1,2)上，函数()(3)(4)F x f x g x =+⋅-，且函数()F x 的零点均在区间),,](,[Z ∈<b a b a b a 内，(3)f x +的零点在(4,3)--上，(4)g x -的零点在(5,6)上，-b a 的最小值为6410-=．考点：1、导数的应用, 2、根的存在性定理.2．已知集合12{|4210},{|1}1x x xA x aB x x +=⋅--==≤+，若A B ≠∅，则实数a 的取值范围为（ ） A 、5(,8]4 B 、5[,8)4 C 、 5[,8]4 D 、5(,8)4【答案】B【解析】试题分析：由14210xx a +⋅--=得，12211112(1)14422x x x x xa ++==+=+-，由211x x ≤+，即221110,0111x x x x x x x ----≤=≤+++，解得11x -<≤，若A B ≠∅，则方程14210x x a +⋅--=在11x -<≤上有解，当11x -<≤时211512,(1)182242x x ≤<≤+-<，故584a ≤<．考点：1、指数方程, 2、分式不等式的解法.3．已知函数1()()2(),f x f x f x x=∈满足当[1,3]，()ln f x x =，若在区间1[,3]3内，函数()()g x f x ax =-与x 轴有3个不同的交点，则实数a 的取值范围是（ ）A 、1(0,)eB 、1(0,)2e C 、ln 31[,)3e D 、ln 31[,)32e【答案】C 【解析】试题分析：由题意可知当x 区间1[,1]3内，则1x ∈[1,3]，11()2()2ln 2ln f x f x x x===-，则12ln ([,1))()3ln (x x f x x x ⎧-∈⎪=⎨⎪∈⎩[1,3])函数()()g x f x ax =-与x 轴有3个不同的交点，即()0f x ax -=有三个根，即()f x ax =，有三个根，即函数()f x 的图像与直线y ax =有三个交点，当x 区间1[,1]3上，函数()f x 的图像与直线y ax =有一个交点，只有当x ∈[1,3]上时，函数()f x 的图像与直线y ax =有两个交点，这是满足直线y ax =过(3,ln 3)点，到直线与()f x 相切，当直线y ax =过(3,ln 3)点时，此时a 的值满足ln33a =，即ln 33a =，当直线与()f x 相切时，设切点为00(,ln )x x ，点00(,ln )x x 在直线上，故00ln x ax =，而001(ln )x x a x x ===，0ln 1x =，0x e =，即011a x e ==，函数()f x 的图像与直线y ax =有三个交点，则a 取值范围是ln 31[,)3e． 考点：1、对数函数的图象与性质, 2、导数的几何意义.4．方程083492sin sin =-+⋅+⋅a a a x x 有解，则a 的取值范围（ ） A 、0>a 或8-≤a B 、0>a C 、3180≤<a D 、2372318≤≤a 【答案】D【解析】试题分析：方程083492sin sin =-+⋅+⋅a a a x x 有解,即sin 282(31)1x a+=+,因为1sin 1x -≤≤,所以sin 1333x ≤≤,sin 2322(31)329x ≤+≤,即3281329a ≤+≤,解得8723123a ≤≤. 考点：1、方程有解问题, 2、二次函数值域.5．已知函数⎪⎩⎪⎨⎧≤---=)1()1(,5)(2x ＞xa x ax x x f 是R 上的增函数，则a 的取值范围是（ ）A 、3-≤a ＜0B 、3-≤a ≤2-C 、a ≤2-D 、a ＜0 【答案】B 【解析】试题分析：函数⎪⎩⎪⎨⎧≤---=)1()1(,5)(2x ＞xa x ax x x f 是R 上的增函数，则25,(1)x ax x ---≤单调递增，故它的对称轴12a -≥，即2a ≤-，此时(1)ax x>也单调递增，要保证在R 上是增函数，只需在1x =满足21151aa ---≤，即3a ≥-，综上所述a 的取值范围是32a -≤≤-．考点：函数的单调性．6．已知函数)241(log )(22x x x f -+=，则4(tan )(tan)55f f ππ+=（ ） A ．1- B ．0 C ．1D ．2【答案】B 【解析】试题分析：因为22()log 2)log f x x -==2log 2)()x f x =-=-，所以f(x)为奇函数,且()()0f x f x +-=，又4tan tan55ππ=-，所以4(tan )(tan )55f f ππ+=0. 考点：函数奇偶性的应用.7．已知抛物线x y 42=的焦点F 与椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的一个焦点重合，它们在第一象限内的交点为T ，且TF 与x 轴垂直，则椭圆的离心率为（ ）A. 23- B1 C ．21 D ．22 【答案】B 【解析】试题分析：由题意得c=1,(1,0)F ，将x=1代入24y x =，得y=2或y=-2（舍），即(1,2)T ，代入22221x y a b+=化简得22224a b a b +=，即2224(1)a a b =-，又c=1，则22221b ac a =-=-，所以2224(1)a a =-，所以2211a a a =-⇒=，则1e ==.考点：椭圆、抛物线的焦点，离心率.8．设集合()22{,|1}416x y A x y =+=，{(,)|3}x B x y y ==，则A B ⋂的子集的个数是（ ） A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 【答案】A 【解析】试题分析：椭圆与指数函数图像有两个交点，即A B ⋂含两个元素，子集个数为4. 考点：椭圆与指数函数图像,子集个数.9． 已知命题2:[1,2],1p x x a ∀∈+≥，命题2:,210q x R x ax ∃∈++=，若命题“p q ∧”为真命题，则实数a 的取值范围是 ( )A.21a a ≤-≥或B.12a a ≤-≤≤或1C.1a ≥D.21a -≤≤ 【答案】B 【解析】试题分析：由p 真得21a x <+，而21x +最小值为2，所以a<2.由q 真得，2(2)40a ∆=-≥，即21011a a a -≥⇒≥≤-或.“p q ∧”为真命题，得12a a ≤-≤≤或1 .考点：命题的真假判断.10．若函数f(x)＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 有极值点x 1，x 2，且f(x 1)＝x 1，则关于x 的方程3(f(x))2＋2af(x)＋b ＝0的不同实数根的个数是 ( )A ．3B ．4C ．5D ．6 【答案】A 【解析】试题分析：求导得()b ax x x f ++='232，显然21,x x 是方程0232=++b ax x 的二不等实根，不妨设21x x <，于是关于x 的方程3(f(x))2＋2af(x)＋b ＝0的解就是()1x x f =或()2x x f =，根据题意画图：所以()1x x f =有两个不等实根，()2x x f =只有一个不等实根，故答案选A. 考点：导数、零点、函数的图象11．已知函数()32log ,031108,333x x f x x x x ⎧<<⎪=⎨-+≥⎪⎩，若存在实数a 、b 、c 、d ，满足()()()f a f b f c ==()f d =，其中0d c b a >>>>，则abcd 的取值范围是 .【答案】()21,24. 【解析】试题分析：如下图所示，由图形易知01a <<，13b <<，则()33log log f a a a ==-，()3log f b b =3log b =，()()f a f b =，33log log a b ∴-=，1ab ∴=，令21108033x x -+=，即210240x x -+=，解得4x =或6x =，而二次函数2110833y x x =-+的图象的对称轴为直线5x =，由图象知，35c <<，5d >，点()(),c f c 和点()(),d f d 均在二次函数2110833y x x =-+的图象上，故有52c d +=，10d c ∴=-，由于()21103338133f =⨯-⨯+=，当13x <<时，()33log log f x x x ==，30log 1x ∴<<，13b <<，()01f b ∴<<，()()f b f c =，()01f c ∴<<，由于函数()f x 在()3,5上单调递减，且()31f =，()40f =，34c ∴<<，()211010abcd cd cd c c c c ∴=⨯==-=-+()2525c =--+，34c <<，()22152524c ∴<--+<，即2124abcd <<.考点：函数的图象、对数函数、二次函数的单调性12．已知||4,||3,(23)(2)61a b a b a b ==-⋅+=.则,a b 的夹角为_______________. 【答案】0120 【解析】试题分析：||4,||3,a b ==2261(23)(2)44364427a b a b a a b b a b =-⋅+=-⋅-=-⋅-，6a b ∴⋅=-，61cos ,432a b a b a b⋅-===-⨯，则,a b 的夹角为0120． 考点：向量的数量积．13．若不等式2|1|-≥-kx x 对一切实数恒成立，则实数k 的取值范围是 . 【答案】]1,1[-∈k 【解析】试题分析：有图像可知: ]1,1[-∈k 时,的图像y kx =的图像恒在12y x =-+的图像的下面.10864224855101520y=kxy=x-1+2考点：不等式恒成立问题. 14．定义在21()103C x x x =+上的函数10000()511450C x x x=+-满足()L x .若当x 时.()(1)f x x x =-,则当10x -≤≤时,32,0()tan ,02x x f x x x π⎧<⎪=⎨-≤<⎪⎩= .【答案】(1)()2x x f x +=- 【解析】 试题分析：当10x -≤≤时,011x ≤+≤,则32,0()tan ,02x x f x x x π⎧<⎪=⎨-≤<⎪⎩111(1)(1)[1(1)](1)222f x x x x x =+=+-+=-+考点：分段函数解析式求法.15．如图，已知过椭圆()222210x y a b a b+=>>的左顶点(),0A a -作直线l 交y 轴于点P ，交椭圆于点Q ，若AOP ∆是等腰三角形，且2PQ QA =，则椭圆的离心率为 .【答案】255. 【解析】试题分析：由于AOP ∆为等腰三角形，且90AOP ∠=，故有AO OP a ==，则点P 的坐标为()0,a ，设点Q 的坐标为(),x y ，()()(),0,,PQ x y a x y a =-=-，()()(),0,,QA a x y a x y =--=---，PQ =2QA ，则有()22x a x y a y ⎧=⋅--⎨-=-⎩，解得233x a a y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即点Q 的坐标为2,33a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，将点Q 的坐标代入椭圆的方程得2222211133a a a b ⎛⎫⎛⎫-⋅+⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得225a b =，即()2225a a c =-，2245c a ∴=，255c e a ∴==. 考点：共线向量、椭圆的离心率16．已知复数z 满足1iz i =+（i 为虚数单位），则z = . 【答案】2. 【解析】 试题分析：1iz i =+，111iz i i i+∴==-+=-， ()22112z =+-=. 考点：复数的除法运算、复数的模17．曲线sin y x x =+在点()0,0处的切线方程是 . 【答案】2y x =或20x y -=. 【解析】试题分析：sin y x x =+,1cos y x '∴=+，当0x =时，1cos02y '=+=，故曲线sin y x x =+在点()0,0处的切线方程是()020y x -=-，即2y x =或20x y -=. 考点：利用导数求函数图象的切线方程18．如图，在ABC ∆中，D 、E 分别为边BC 、AC 的中点. F 为边AB 上的点，且3AB AF =，若AD x AF y AE =+，,x y R ∈，则x y +的值为 .【答案】52. 【解析】 试题分析：D 为BC 的中点，()11112222BD BC AC AB AC AB ∴==-=-，AD AB BD∴=+1111113322222222AB AC AB AB AC AF AE AF AE xAF y AE ⎛⎫=+-=+=⨯+⨯=+=+ ⎪⎝⎭，32x ∴=，1y =，35122x y ∴+=+=. 考点：平面向量的基底表示19．已知数列{}n a 的前n 项和n S ，满足：*22()n n S a n n N =-∈.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项n a ；（Ⅱ）若数列{}n b 的满足2log (2)n n b a =+，n T 为数列{}2n n b a +的前n 项和，求证：12n T ≥. 【答案】（Ⅰ）122n n a +=-；（Ⅱ）详见解析.【解析】试题分析：（Ⅰ）求数列{}n a 的通项n a ,由已知*22()n n S a n n N =-∈,而n a 与n S 的关系为1n n n a S S -=-,代入整理得122n n a a -=+,可构造等比数列求通项公式；（Ⅱ）由2log (2)n n b a =+,可求出122log (2)log 21n n n b a n +=+==+,从而得1122n n n b n a ++=+,显然是一个等差数列与一个等比数列对应项积组成的数列,可用错位相减法求数列的和,可证12n T ≥. 试题解析：（Ⅰ）解：当*n N ∈时,22n n S a n =-,则当2n ≥时,1122(1)n n S a n --=-- 两式相减得1222n n n a a a -=--，即122n n a a -=+,∴122(2)n n a a -+=+,∴1222n n a a -+=+，当1n =时，1122S a =-，则12a =,∴{2}n a +是以124a +=为首项,2为公比的等比数列,∴1242n n a -+=⋅,∴122n n a +=-；（Ⅱ）证明:122log (2)log 21n n n b a n +=+==+,∴1122n n n b n a ++=+, 则231231222n n n T ++=+++, 3412123122222n n n n n T +++=++++ ,两式相减得23412211(1)121111114212222224212n n n n n n n T +++-++=++++-=+--122111133422242n n n n n +++++=+--=-,13322n n n T ++∴=-,当2n ≥时,1113210222n n n n n n n n T T -+++++-=-+=>, ∴{}n T 为递增数列,∴112n T T ≥=考点：1、由n S 求数列的通项公式, 2、错位相减法求数列的和.20．已知R a ∈,函数.3333)(23+-+-=a ax x x x f(1)求曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线方程; (2)当]2,0[∈x 时,求|)(|x f 的最大值.【答案】（1）3(1)430a x y a --+-=，（2）max 33,(0)3|()|12(1)4331,()4a a f x a a a a ⎧-≤⎪⎪=+-<<⎨⎪⎪-≥⎩【解析】试题分析：（1）导数几何意义即切线的斜率；（2）求导数，列表判断单调性，分情况讨论. 试题解析：(Ⅰ)由已知得:2()363(1)33f x x x a f a ''=-+∴=-,且(1)133331f a a =-++-=,所以所求切线方程为:1(33)(1)y a x -=--,即为:3(1)430a x y a --+-=;(Ⅱ)由已知得到:2()3633[(2)]f x x x a x x a '=-+=-+,其中44a ∆=-,当[0,2]x ∈时,(2)0x x -≤,(1)当0a ≤时,()0f x '≤,所以()f x 在[0,2]x ∈上递减,所以|})2(||,)0({||)(|max f f x f =,因为max (0)3(1),(2)31(2)0(0)|()|(0)33f a f a f f f x f a =-=-∴<<∴==-;(2)当440a ∆=-≤,即1a ≥时,()0f x '≥恒成立,所以()f x 在[0,2]x ∈上递增,所以|})2(||,)0({||)(|max f f x f =,因为max (0)3(1),(2)31(0)0(2)|()|(2)31f a f a f f f x f a =-=-∴<<∴==-;(3)当440a ∆=->,即01a <<时,212()363011f x x x a x x '=-+=∴=-=+,且1202x x <<<,即x1(0,)x1x12(,)x x2x2(,2)x2 ()f x '+0 - 0 +()f x33a - 递增 极大值递减极小值递增31a -所以12()12(1()12(1f x a f x a =+-=--,且31212()()20,()()14(1)0,f x f x f x f x a ∴+=>=--<所以12()|()|f x f x >,所以max 1|()|max{(0),(2),()}f x f f f x =;由2(0)(2)3331003f f a a a -=--+>∴<<,所以 (ⅰ)当203a <<时,(0)(2)f f >,所以max 1|()|max{(0),()}f x f f x =,因为1()(0)12(1332(1(23)f x f a a a a -=+--+=---=,又因为203a <<,所以230,340a a ->->,所以1()(0)0f x f ->,所以max 1|()|()12(1f x f x a ==+-(ⅱ)当213a ≤<时,(2)0,(0)0f f ><,所以max 1|()|max{(2),()}f x f f x =,因为1()(2)12(1312(1(32)f x f a a a a -=+--+=---=,此时320a ->,当213a <<时,34a -是大于零还是小于零不确定,所以 ① 当2334a <<时,340a ->,所以1()|(2)|f x f >,所以此时max 1|()|()12(1f x f x a ==+-;② 当314a ≤<时,340a -<,所以1()|(2)|f x f <,所以此时max |()|(2)31f x f a ==-综上所述:max 33,(0)3|()|12(1)4331,()4a a f x a a a a ⎧-≤⎪⎪=+-<<⎨⎪⎪-≥⎩考点：导数几何意义，利用导数求极值，分类讨论思想. 21．已知()f x =,点11(,)n n n P a a +-在曲线()y f x =上*n N ∈,11,0.n a a =>且 （Ⅰ）（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设数列}{212+⋅n n a a 的前n 项和为n S ,若对于任意的*n N ∈,使得212n S t t <--恒成立,求最小正整数t 的值．【答案】（1）n a =(2)2.【解析】 试题分析：（1）数列是点函数，代入函数解析式，可判断数列为等差数列；（2）由通项公式裂项变形，利用错位相消法求和. 试题解析：（1）由题意得：014)(121>+-==-+n nn n a a a f a 且，21141n n a a +=+，∴数列}1{2n a 是等差数列，首项112=n a ，公差d=4， ∴2143n n a =-，3412-=∴n a n 341-=∴n a n ； （2）2211111()(43)(41)44341n n a a n n n n +•==⨯--+-+ ， 由 111111111[()()()](1)415594341441n S n n n =-+-++-=--++， ∵*N n ∈, ∴14n S ≤，21412--≤∴t t ，解得 32t ≥，∴t 的最小正整数为2 . 考点：函数与数列关系，等差数列判断，裂项法求数列和.22．已知函数52)(2+-=ax x x f （1>a ）．（1）若)(x f 的定义域和值域均是[]a ,1，求实数a 的值； （2）若对任意的1x ，2x []1,1+∈a ，总有4)()(21≤-x f x f ，求实数a 的取值范围． 【答案】2=a ；13a <≤【解析】试题分析：（1）由二次函数性质，结合定义域、值域，列出等式求解.通常要配方化为二次函数的顶点式，根据定义域及对称轴确定单调区间；（2）根据单调性求出最大值和最小值，再解不等式.试题解析：（1）∵225)()(a a x x f -+-=（1>a ）,∴)(x f 在[]a ,1上是减函数，又定义域和值域均为[]a ,1，∴⎩⎨⎧==1)()1(a f a f ， 即⎩⎨⎧=+-=+-15252122a a a a ， 解得 2=a ．（5分） （2）若2≥a ，又[]1,1+∈=a a x ，且，1)1(-≤-+a a a∴a f x f 26)1()(max -==，2min 5)()(a a f x f -==．∵对任意的1x ，2x []1,1+∈a ，总有4)()(21≤-x f x f ，∴4)()(min max ≤-x f x f ， 即 4)5()26(2≤---a a ，解得 31≤≤-a ，又2≥a ， ∴32≤≤a ．若12,a <<2max ()(1)6,f x f a a =+=-2min 5)()(a a f x f -==， 4)()(min max ≤-x f x f 显然成立， 综上13a <≤. （12分）考点：函数得定义域、值域、单调性、最大值与最小值.23．如图，四棱锥P ABCD -的底面为平行四边形，PD ⊥平面ABCD ，M 为PC 中点．（1）求证：//AP 平面MBD ；（2）若AD PB ⊥，求证：BD ⊥平面PAD .【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.【解析】试题分析：（1）根据平行四边形对角线互相平分的这个性质先连接AC ，找到AC 与BD 的交点O 为AC 的中点，利用三角形的中位线平行于底边证明//AP OM ，最后利用直线与平面平行的判定定理证明//AP 平面MBD ；（2）先证明AD ⊥平面PBD ，得到AD BD ⊥，再由已知条件证明BD PD ⊥，最终利用直线与平面垂直的判定定理证明BD ⊥平面PAD .试题解析：（1）连接AC 交BD 于点O ，连接OM ，因为底面ABCD 是平行四边形，所以点O 为AC 的中点，又M 为PC 的中点，所以//OM PA ， 4分因为OM ⊂平面MBD ，AP ⊄平面MBD ，所以//AP 平面MBD 6分MODC B A P（2）因为PA ⊥平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，所以PD AD ⊥， 8分因为AD PB ⊥，PD PB P =，PD ⊂平面PBD ，PB ⊂平面PBD ，所以AD ⊥平面PBD ， 因为BD ⊂平面PBD ，所以AD BD ⊥， 10分因为PD ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以PD BD ⊥， 12分又因为BD AD ⊥，AD PD D =，AD ⊂平面PAD ，PD ⊂平面PAD ，所以BD ⊥平面PAD 14分考点：直线与平面平行、直线与平面垂直24．在锐角ABC ∆中，A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ．已知向量1,cos 2m A ⎛⎫= ⎪⎝⎭，3sin ,2n A ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，且m n ⊥.（1）求角A 的大小；（2）若7a =，8b =，求ABC ∆的面积．【答案】（1）60A =；（2）103ABC S ∆=【解析】试题分析：（1）先根据平面向量垂直的等价条件得到等式13sin 02A A =，再利用弦化切的思想求出tan A 的值，最终在求出角A 的值；（2）解法一：在角A 的大小确定的前提下，利用正弦定理与同角三角函数之间的关系求出sin B 和cos B ，并利用()sin sin C A B =+结合和角公式求出sin C 的值，最后利用面积公式1sin 2ABC S ab C ∆=求出ABC ∆的面积；解法二：利用余弦定理求出c 的值，并对c 的值进行检验，然后面积公式1sin 2ABC S bc A ∆=求出ABC ∆的面积.试题解析：（1）因为m n ⊥，所以0m n ⋅=，则1sin 02A A =， 4分因为090A <<，所以cos 0A ≠，则tan A =60A = 7分（2）解法一：由正弦定理得sin sin a b A B=，又7a =，8b =，60A =， 则84sin sin 6077B ==，因为ABC ∆为锐角三角形，所以1cos 7B =， 9分因为()11sin sin sin cos cos sin 72C A B A B A B =+=+=+=， 12分所以1sin 2ABC S ab C ∆== 14分 解法二：因为7a =，8b =，60A =，所以由余弦定理可知，214964282c c =+-⨯⨯，即28150c c -+=，解得3c =或5c =， 当3c =时，222949640c a b +-=+-<，所以cos 0B <，不合乎题意；当5c =时，2222549640c a b +-=+->，所以cos 0B >，合乎题意；所以1sin 2ABC S bc A ∆== 14分 考点：正弦定理、余弦定理、同角三角函数的关系、两角和的正弦函数、三角形的面积公式25．解不等式211x x +--≤. 【答案】(],0-∞【解析】试题分析：先构造函数()21f x x x =+--，去绝对值，将函数的解析式利用分段函数的形式求出，将问题转化为分段不等式进行求解.试题分析：令()21f x x x =+--，当2x ≤-时，20x +≤，10x -<，则()()()213f x x x =-+--=-，此时()211f x x x =+--≤恒成立； 3分当21x -<<时，20x +>，10x -<，则()()()2121f x x x x =+--=+，令()1f x ≤，即211x +≤，解得0x ≤，由于21x -<<，则有20x -<≤； 6分 当1x ≥时，20x +>，10x -≥，则()()()213f x x x =+--=，此时()1f x ≤不成立， 9分 综上所述，不等式211x x +--≤的解集为(],0-∞. 10分 考点：含绝对值不等式的解法、分段函数。
高考领航2014届高考数学(理)小题精炼：20算法与框图
小题精练(二十) 算法与框图(限时：60分钟)1．执行如图所示的程序框图，若输入x ＝2，则输出y 的值为( )A ．5B ．9C ．14D ．412．(2013·高考江西卷)阅读如下程序框图，如果输出i ＝4，那么 空白的判断框中应填入的 条件是()A ．S ＜8B ．S ＜9C ．S ＜10D ．S ＜113．(2014·石家庄市模拟)执行如图所示的程序框图，输出的S 值为()A ．1B ．9C ．17D ．204．(2013·高考天津卷)阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序．若输入x 的值为1，则输出S 的值为( )A ．64B ．73C ．512D ．5855．(2013·高考广东卷)执行如图所示的程序框图，若输入n 的值为3， 则输出s 的值是( )A ．1B ．2C ．4D ．76．在如图所示的程序框图中，输入A ＝192，B ＝22，则输出的结果是()A ．0B ．2C ．4D ．67．(2013·高考北京卷)执行如图所示的程序框图，输出的S 值为( )A ．1 B.23C.1321 D.6109878．(2013·高考安徽卷)如图所示，程序框图(算法流程图)的输出结果是 ()A.16B.2524C.34 D ． 11129．(2013·高考辽宁卷)执行如图所示的程序框图，若输入n ＝10，则输出S ＝( )A.511B.1011C.3655D.725510．(2013·高考山东卷)执行两次如图所示的程序框图，若第一次输入的a 的值为－1.2，第二次输入的a 的值为1.2，则第一次，第二次输出的a 的值分别为()A ．0.2，0.2B ．0.2，0.8C ．0.8，0.2D ．0.8，0.811．某班有24名男生和26名女生，数据a 1，a 2，…，a 50是该班50名学生在一次数学学业水平模拟考试中的成绩(成绩不为0)，如图所示的程序用来同时统计全班成绩的平均数：A ，男生平均分：M ，女生平均分：－W .为了便于区别性别，输入时，男生的成绩用正数，女生的成绩用其成绩的相反数，那么在图中空白的判断框和处理框中，应分别填入下列四个选项中的()A．T＞0？，A＝M＋W50B．T＜0？，A＝M＋W50C．T＜0？，A＝M－W50D．T＞0？，A＝M－W5012．某算法的程序框图如图所示，执行该算法后输出的结果i的值为()A．4 B．5C．6 D．713．(2014·惠州市调研考试)阅读如图所示的程序框图．若输入n＝5，则输出k的值为________．14．执行如图所示的程序框图，输出的结果是________．15．(2013·高考湖南卷)执行如图所示的程序框图，如果输入a＝1，b＝2，则输出的a的值为________．________．小题精练(二十)1．解析：选D.第一次循环后：x ＝5，y ＝14；第二次循环后：x ＝14，y ＝41，此时|x －y |＞9，终止循环，故输出y 的值为41.2．解析：选 B.根据程序框图，i ＝2，S ＝2×2＋1＝5，不满足条件；i ＝3，S ＝2×3＋2＝8，不满足条件；i ＝4，S ＝2×4＋1＝9，此时输出i ＝4，所以填S ＜9. 3．解析：选C.逐次运行的结果是S ＝9，T ＝4；S ＝17，T ＝20，此时T ＞S ，输出S 的值为17，故选C.4．解析：选B.按照程序框图执行算法，写出运行结果．程序框图执行过程如下：x ＝1，S ＝0，S ＝1，S ＜50⇒x ＝2，S ＝9，S ＜50⇒x ＝4，S ＝73＞50，跳出循环，输出S ＝73.5．解析：选C.根据初始化条件，顺次执行程序就可以得出结果．第一次执行循环：s ＝1，i ＝2(2≤3成立)；第二次执行循环：s ＝2，i ＝3(3≤3成立)；第三次执行循环：s ＝4，i ＝4(4≤3不成立)，结束循环，故输出的s ＝4，故选C. 6．解析：选B.输入后依次得到：C ＝16，A ＝22，B ＝16；C ＝6，A ＝16，B ＝6；C ＝4，A ＝6，B ＝4；C ＝2，A ＝4，B ＝2；C ＝0，A ＝2，B ＝0.故输出的结果为2，选B.7．解析：选C.利用程序框图所表示的算法逐步求解．当i ＝0，S ＝1时，执行S ＝S 2＋12S ＋1后得S ＝23，i ＝i ＋1＝1；当i ＝1，S ＝23时，执行S ＝S 2＋12S ＋1后得S ＝1321，i ＝i ＋1＝2.由于此时i ≥2是成立的，因此输出S ＝1321.8．解析：选D.利用框图的条件结构和循环结构求解．s ＝0，n ＝2，2<8，s ＝0＋12＝12；n ＝2＋2＝4，4<8，s ＝12＋14＝34； n ＝4＋2＝6，6<8，s ＝34＋16＝1112；n ＝6＋2＝8，8<8不成立，输出s 的值为1112.9．解析：选A.因为S ＝13，i ＝4<10，所以S ＝13＋115＝25，i ＝6<10，所以S ＝25＋135＝37，i ＝8<10，所以S ＝37＋163＝49，i ＝10＝10，所以S ＝49＋199＝511，i ＝12>10，输出S ＝511.10．解析：选C.根据输入的a 的值的不同而执行不同的程序． 由程序框图可知：当a ＝－1.2时，∵a <0， ∴a ＝－1.2＋1＝－0.2，a <0，a ＝－0.2＋1＝0.8， a >0.∵0.8<1，输出a ＝0.8.当a ＝1.2时，∵a ≥1，∴a ＝1.2－1＝0.2. ∵0.2<1，输出a ＝0.2.11．解析：选D.依题意得，全班成绩的平均数应等于班级中所有的学生的成绩总和除以总人数，注意到当T ＞0时，输入的成绩表示的是某男生的成绩；当T ＜0时，输入的成绩表示的是某女生的成绩的相反数．因此结合题意得，选D.12．解析：选C.第一次循环S ＝1，满足S <30，所以P ＝0＋1＝1，S ＝1＋1＝2，i ＝1＋1＝2；第二次循环S ＝2，满足S <30，所以P ＝1＋2＝3，S ＝2＋3＝5，i ＝2＋1＝3； 第三次循环S ＝5，满足S <30，所以P ＝3＋3＝6，S ＝5＋6＝11，i ＝3＋1＝4； 第四次循环S ＝11，满足S <30，所以P ＝6＋4＝10，S ＝11＋10＝21，i ＝4＋1＝5； 第五次循环S ＝21，满足S <30，所以P ＝10＋5＝15，S ＝21＋15＝36，i ＝5＋1＝6； 第六次循环S ＝36，不满足S <30，输出的i ＝6.13．解析：执行程序框图可得n ＝5，k ＝0；n ＝16，k ＝1；n ＝49，k ＝2；n ＝148，k ＝3；n ＝148×3＋1>150，循环结束，故输出的k 值为3. 答案：314．解析：共循环2 013次，由裂项求和得S ＝11×2＋12×3＋…＋12 013×2 014＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12 013－12 014＝1－12 014＝2 0132 014.答案：2 0132 01415．解析：利用程序框图表示的算法逐步求解．当a ＝1，b ＝2时，a >8不成立，执行a ＝a ＋b 后a 的值为3，当a ＝3，b ＝2时，a >8不成立，执行a ＝a ＋b 后a 的值为5，当a ＝5，b ＝2时，a >8不成立，执行a ＝a ＋b 后a 的值为7，当a ＝7，b ＝2时，a >8不成立，执行a ＝a ＋b 后a 的值为9，由于9>8成立，故输出a 的值为9. 答案：9 16．解析：S ＝sin 1×π3＋sin 2×π3＋sin 3×π3＋sin 4×π3＋sin 5×π3＋sin 6×π3＋…＋sin 2013×π3＝(sin 1×π3＋sin 2×π3＋sin 3×π3＋sin 4×π3＋sin 5×π3＋sin6×π3)×335＋sin 1×π3＋sin 2×π3＋sin 3×π3＝ 3. 答案：31．如果执行如图所示的程序框图，输入正整数N (N ≥2)和实数a 1，a 2，…，a N ，输出A ，B ，则()A ．A ＋B 为a 1，a 2，…，a N 的和B.12(A ＋B )为a 1，a 2，…，a N 的算术平均数 C ．A 和B 分别是a 1，a 2，…，a N 中的最小数和最大数 D ．A 和B 分别是a 1，a 2，…，a N 中的最大数和最小数解析：选D.由图易知，该程序框图的功能是选择A 的最大数和选择B 的最小数，选D.2．(2013·长春市高三质检)如图的程序框图，如果输入三个实数b，c，要求输出这三个数中最大的数，那么在空白的判断框中，应该填入下面四个选项中的( )A．c＞x?B．x＞c?C．c＞b?D．b＞c?解析：选A.由于要取a，b，c中最大项，输出的x应当是a，b，c中的最大者，所以应填比较x与c大小的语句，结合各选项知选A.3．(2014·温州市高三质检)按如图所示的程序框图运算，若输入x＝20，则输出的k＝________．解析：由题意，得x＝20，k＝0；k＝1，x＝39；k＝2，x＝77；k＝3，x＝153，循环终止，输出的k＝3.答案：3。
12.2014高考领航(文)2-9课时
【A级】 基础训练1．《高考领航》系列丛书第三年的销量比第一年的销量增长了44%，若每年的平均增长率相同(设为x)，则以下结论正确的是( )A．x＞22%B．x＜22%C．x＝22%D．x的大小由第一年的销量确定解析：(1＋x)2＝1＋44%，解得x＝20%＜22%.故选B.答案：B2．(2013·海口调研)若一根蜡烛长20 cm，点燃后每小时燃烧5 cm，则燃烧剩下的高度h(cm)与燃烧时间t(小时)的函数关系用图象表示为( )解析：根据题意得解析式为h＝20－5t(0≤t≤4)，其图象为B.答案：B3．在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下列一组实验数据，现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是( )x 1.95 3.00 3.94 5.10 6.12y0.97 1.59 1.98 2.35 2.61A.y＝2x B．y＝log2xC．y＝(x2－1) D．y＝2.16cos x解析：通过检验可知，y＝log2x较为接近，故选B.答案：B4．(2013·荆州调研)将甲桶中的a升水缓慢注入空桶乙中，t分钟后甲桶中剩余的水符合指数衰减曲线y＝a e nt.若5分钟后甲桶和乙桶的水量相等，又过了m分钟后甲桶中的水只有升，则m的值为________．解析：令a＝a e nt，即＝e nt，因为＝e5n，故＝e15n，比较知t＝15，m＝15－5＝10.答案：105．小王每月除去所有日常开支，大约结余a元．小王决定采用零存整取的方式把余钱积蓄起来，每月初存入银行a元，存期1年(存12次)，到期取出本和息．假设一年期零存整取的月利率为r，每期存款按单利计息．那么，小王的存款到期利息为________元．解析：依题意得，小王存款到期利息为12ar＋11ar＋10ar＋…＋3ar＋2ar＋ar＝ar＝78ar元．答案：78ar6．(原创题)2012年中国成品油的价格也受到了国际影响，93#汽油，2012年5月降价25%,2012年9月11号又提价，若欲恢复原价，则应提价的百分比为________(保留三位有效数字)．解析：5月份降价前价格为a,9月欲恢复原价应提价x.∴a(1－25%)(1＋x)＝a∴x＝≈33.3%.答案：33.3%7．(2013·日照模拟)据气象中心观察和预测：发生于M地的沙尘暴一直向正南方向移动，其移动速度v(km/h)与时间t(h)的函数图象如图所示，过线段OC上一点T(t,0)作横轴的垂线l，梯形OABC在直线l左侧部分的面积即为t(h)内沙尘暴所经过的路程s(km)．(1)当t＝4时，求s的值；(2)将s随t变化的规律用数学关系式表示出来；(3)若N城位于M地正南方向，且距M地650 km，试判断这场沙尘暴是否会侵袭到N城，如果会，在沙尘暴发生后多长时间它将侵袭到N城？如果不会，请说明理由．解：(1)由图象可知：当t＝4时，v＝3×4＝12，∴s＝×4×12＝24.(2)当0≤t≤10时，s＝·t·3t＝t2，当10＜t≤20时，s＝×10×30＋30(t－10)＝30t－150；当20＜t≤35时，s＝×10×30＋10×30＋(t－20)×30－×(t－20)×2(t－20)＝－t2＋70t－550.综上，可知s＝(3)∵t∈[0,10]时，s max＝×102＝150＜650，t∈(10,20]时，s max＝30×20－150＝450＜650，∴当t∈(20,35]时，令－t2＋70t－550＝650.解得t1＝30，t2＝40.∵20＜t≤35，∴t＝30.∴沙尘暴发生30 h后将侵袭到N城．8．(2013·湖南长望浏宁四县调研)为了保护环境，发展低碳经济，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似地表示为：y＝x2－200x＋80 000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元．(1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？(2)该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？解：(1)由题意可知，二氧化碳的每吨平均处理成本为：＝x＋－200≥2－200＝200，当且仅当x＝，即x＝400时，上式取等号，即当每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低，最低成本为200元．(2)设该单位每月获利为S，则S＝100x－y＝100x－(x2－200x＋80 000)＝－x2＋300x－80 000＝－(x－300)2－35000，因为400≤x≤600，所以当x＝400时，S有最大值－40 000.故该单位不获利，需要国家每月至少补贴40 000元，才能不亏损．【B级】 能力提升1．某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表．那么，各班可推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系用取整函数y＝[x]([x]表示不大于x的最大整数)可以表示为( )A．y＝ B．y＝C．y＝ D．y＝解析：由题意，当x＝17时，A选项错误，当x＝16时，[]＝2，[]＝2，所以C、D选项错误，故选B.答案：B2．如图，正方形ABCD的顶点A，B，顶点C、D位于第一象限，直线l：x＝t(0≤t≤)将正方形ABCD分成两部分，记位于直线l左侧阴影部分的面积为f(t)，则函数s＝f(t)的图象大致是( )解析：直线l：x＝t(0≤t≤)从左向右移动的过程中，直线l左侧阴影部分的面积f(t)的改变量开始逐渐增大，当t＝时，面积f(t)的改变量最大，而后面积f(t)的改变量逐渐减小．故选C.答案：C3．(2011·高考北京卷)根据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间(单位：分钟)为f(x)＝(A，c为常数)．已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A件产品用时15分钟，那么c和A的值分别是( )A．75,25 B．75,16C．60,25 D．60,16解析：由函数解析式可以看出，组装第A件产品所需时间为＝15，故组装第4件产品所需时间为＝30，解得c＝60，将c＝60代入＝15得A＝16.答案：D4．(2013·山东高考原创卷)若干台型号相同的联合收割机收割一片土地上的小麦，若同时投入工作，到收割完毕需用24小时，现每隔相同的时间就有一台收割机投入工作，且投入工作后就一直工作到小麦收割完．如果第一台收割机工作的时间是最后一台的3倍，则用这种方法收割完这些小麦所用的时间为________小时．解析：设共有n台收割机投入工作，这n台收割机的工作时间依次为a1小时，a2小时，…，a n小时，则数列{a n}是一个等差数列，且每台收割机的工作效率为，则有由②得a1＋a2＋…＋a n＝24n，即＝24n，∴a1＋a n＝48.③由①，③可得a1＝36，故用这种方法收割完这些小麦共需36小时．答案：365．(2013·山东名校信息优化卷)如图放置的边长为1的正方形PABC沿x 滚动．设顶点P(x，y)的轨迹方程是y＝f(x)，则y＝f(x)在其两个相邻零点间的图象与x轴所围成的区域的面积为________．解析：由于本题是求两个相邻零点间的图象与x轴所围成的区域的面积，所以为了简便，可以直接将P点移到原点，开始运动，如图所示，当P点第一次回到x轴时经过的曲线是三段相连的圆弧，它与x 轴围成的区域面积为＋＋＝π＋1.答案：π＋16．2012年2月2日，德国总理默克尔访华，促进了中德技术交流与合作，我国从德国引进一套新型生产技术设备，已知该设备的最佳使用年限是年均消耗费用最低的年限(年均消费费用＝年均成本费用＋年均保养费)，该设备购买的总费用为50 000元；使用中每年的固定保养费为6 000元；前x年的总保养费y满足y＝ax2＋bx，已知第一年的总保养费为1 000元，前两年的总保养费为3 000元，则这种设备的最佳使用年限为________年．解析：由题意，得解得所以y＝500x2＋500x.设该设备的年平均消耗费用为f(x)，由题意，可知年平均消耗费用为f(x)＝＋6 000＋500x＋500＝500x＋＋6 500≥16 500，当且仅当500x＝时，等号成立，此时x＝10，所以最佳使用年限为10年．故填10.答案：107．(2012·高考上海卷改编)海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为y轴正方向建立平面直角坐标系(以1海里的单位长度)，则救援船恰好在失事船正南方向12海里A处，如图，现假设：①失事船的移动路径可视为抛物线y＝x2；②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；③救援船出发t小时后，失事船所在位置的横坐标为7t.(1)当t＝0.5时，写出失事船所在位置P的纵坐标，若此时两船恰好会合，求救援船速度的大小和∠OAP的正切值．(2)问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？解：(1)t＝0.5时，P的横坐标x P＝7t＝，代入抛物线方程y＝x2，得P的纵坐标y P＝3.由|AP|＝，得救援船速度的大小为海里/时，tan∠OAP＝.(2)设救援船的时速为v海里，经过t小时追上失事船，此时位置为(7t,12t2)．由v t＝，整理得v2＝144＋337.因为t2＋≥2，当且仅当t＝1时等号成立，所以v2≥144×2＋337＝252，即v≥25.因此，救援船的时速至少是25海里才能追上失事船．。
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【A 级】 基础训练
1．若(x ＋1)5＝a 5(x －1)5＋…＋a 1(x －1)＋a 0，则a 1的值为( )
A ．80
B ．40
C ．20
D ．10
解析：由于x ＋1＝x －1＋2，
因此(x ＋1)5＝[(x －1)＋2]5，故展开式中(x －1)的系数为C 1524＝80.故选A.
答案：A
2．(2013·北京东城二模)⎝⎛⎭
⎫2x －1x 4的展开式中的常数项为( ) A ．－24
B ．－6
C ．6
D ．24
解析：T r ＋1＝C r 4(2x )4－r ⎝⎛⎭
⎫－1x r ＝(－1)r 24－r C r 4x 4－2r ， 令4－2r ＝0，得r ＝2，常数项为T 3＝(－1)222C 24＝24.
答案：D
3．若⎝⎛⎭
⎫3x ＋1x n 的展开式中各项系数和为1 024，则展开式中含x 的整数次幂的项共有( ) A ．2项
B ．3项
C ．5项
D ．6项 解析：令x ＝1，则22n ＝1 024，∴n ＝5.
T r ＋1＝C r 5(3x )5－r ⎝⎛⎭
⎫1x r ＝C r 5·35－r x 10－3r 2，含x 的整数次幂即使10－3r 2为整数，r ＝0、r ＝2、r ＝4，有3项，故选B.
答案：B
4．(2011·高考安徽卷)设(x －1)21＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 21x 21，则a 10＋a 11＝________.
解析：T r ＋1＝C r 21x 21－
r (－1)r ， ∴a 10＝C 1121(－1)11，a 11＝C 1021(－1)10，
∴a 10＋a 11＝－C 1121＋C 1021＝－C 1021＋C 1021＝＝0.
答案：0
5．(2011·高考浙江卷)设二项式⎝⎛⎭
⎫x －a x 6(a ＞0)的展开式中x 3的系数为A ，常数项为B .若B ＝4A ，则a 的值是________． 解析：A ＝(－a )2C 26，B ＝(－a )4C 46，由B ＝4A ，得a 2＝4，又a ＞0，故a ＝2.
答案：2
6．(2013·北京朝阳二模)二项式⎝⎛⎭
⎫ax 2＋1x 5的展开式中的常数项为5，则实数a ＝________. 解析：本题主要考查求二项展开式中的特定项，要根据二项展开式的通项公式，通过建立方程找到常数项是哪一项，从而求出a 的值．
T r ＋1＝C r 5(ax 2)5－r ⎝⎛⎭⎫x －12r ＝a 5－r C r 5x 10－5r 2为常数项，则10－5r 2
＝0，解得r ＝4. 此时a C 45＝5，得a ＝1.
答案：1
7．设(3x －1)8＝a 8x 8＋a 7x 7＋…＋a 1x ＋a 0，求：
(1)a 8＋a 7＋…＋a 1；
(2)a 8＋a 6＋a 4＋a 2＋a 0.
解：令x ＝0得a 0＝1.
(1)令x ＝1得(3－1)8＝a 8＋a 7＋…＋a 1＋a 0，①
∴a 8＋a 7＋…＋a 1＝28－a 0
＝256－1＝255.
(2)令x ＝－1得(－3－1)8＝a 8－a 7＋a 6－…－a 1＋a 0，②
由①＋②得
28＋48＝2(a 8＋a 6＋a 4＋a 2＋a 0)，
∴a 8＋a 6＋a 4＋a 2＋a 0＝12
(28＋48)＝32 896. 8．已知在⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫3x －33x n 的展开式中，第6项为常数项． (1)求n ；
(2)求含x 2的项的系数；
(3)求展开式中所有的有理项．
解：通项公式为T r ＋1＝C r n x
n －r 3(－3)r x －r 3
＝ (－3)r C r n x n －2r 3. (1)∵第6项为常数项，
∴r ＝5时，有
n －2r 3＝0，解得n ＝10. (2)令n －2r 3＝2，得r ＝12
(n －6)＝2， ∴x 2的项的系数为C 210(－3)2＝405.
(3)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧
10－2r 3∈Z ，
0≤r ≤10，r ∈Z.
令10－2r 3＝k (k ∈Z)，则10－2r ＝3k ，即r ＝5－32k ，∵r ∈Z ， ∴k 应为偶数，∴k ＝2,0，－2，即r ＝2,5,8. ∴第3项，第6项，第9项为有理项，它们分别为405x 2，－61 236,29 5245x －2. 【B 级】 能力提升 1．已知等差数列{a n }的通项公式为a n ＝3n －5，则(1＋x )5＋(1＋x )6＋(1＋x )7的展开式中含x 4项的系数是该数列的( ) A ．第9项
B ．第10项
C ．第19项
D ．第20项
解析：∵(1＋x )5＋(1＋x )6＋(1＋x )7的展开式中含x 4项的系数是C 45·1＋C 46·12＋C 47·13＝5＋15＋35＝55，
∴由3n －5＝55得n ＝20，故选D.
答案：D
2．(2－x )8展开式中不含x 4项的系数的和为( )
A ．－1
B ．0
C ．1
D ．2 解析：展开式的通项公式T r ＋1＝C r 8·
28－r ·(－x )r ，则含x 4项的系数为1，令x ＝1，得展开式所有项系数和为(2－1)8＝1，因此展开式中不含x 4项的系数的和为1－1＝0，故选
B.
答案：B
3．若(1＋x )n ＋1的展开式中含x n
－1的系数为a n ，则1a 1＋1a 2＋…＋1a n 的值为( ) A.n n ＋1
B.2n n ＋1
C.n (n ＋1)2
D.n (n ＋3)2
解析：由题意可得a n ＝C n －1n ＋112＝C 2n ＋1＝
(n ＋1)·n 2， ∴1a n ＝2n (n ＋1)
＝2·⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1， ∴1a 1＋1a 2＋…＋1a n
＝2⎝⎛⎭
⎫11－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1
＝2⎝⎛⎭⎫1－1n ＋1＝2n n ＋1.
答案：B
4．(2013·浙江杭州模拟)⎝⎛⎭
⎫x －3x 10的展开式中，x 6的系数是________(用数字作答)． 解析：T k ＋1＝C k 10·x 10－k ·⎝⎛⎭
⎫－3x k ，当k ＝2时可得x 6的系数，即T 3＝C 210·3·x 6. 所以x 6的系数为135.
答案：135
5．(2013·北京海淀二模)已知(x ＋1)10＝a 1＋a 2x ＋a 3x 2＋…＋a 11x 10.若数列a 1，a 2，a 3，…，a k (1≤k ≤11，k ∈Z)是一个单调递增数列，则k 的最大值是________．
解析：考查二项式定理．∵(x ＋1)10＝(1＋x )10＝C 010＋C 110x ＋C 210x 2＋…＋C 1010x 10，
∴a 1＝C 010，a 2＝C 110，a 3＝C 210，…，a 6＝C 510，…，a 11＝C 1010，要使a 1，a 2，a 3，…，a k
是一个递增数列，只需2≤k ≤6，∴k 的最大值是6.
答案：6
6．(2013·长沙模拟)已知n 为正偶数，且⎝
⎛⎭⎫x 2－12x n 的展开式中第4项的二项式系数最大，则第4项的系数是________．(用数字作答)．
解析：由只有第4项的二项式系数最大，可得n ＝6，故其通项公式为T r ＋1＝C r 6(x 2)6－r ⎝⎛⎭
⎫－12x r ＝C r 6·⎝⎛⎭⎫－12r x 12－3r ，故第4项的系数为C 36⎝⎛⎭⎫－123＝－52
. 答案：－52
7．已知⎝⎛⎭
⎫12＋2x n ， (1)若展开式中第5项，第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大项的系数；
(2)若展开式前三项的二项式系数和等于79，求展开式中系数最大的项．
解：(1)∵C 4n ＋C 6n ＝2C 5n ，
∴n 2－21n ＋98＝0，
∵n ＝7或n ＝14，当n ＝7时，展开式中二项式系数最大的项是T 4和T 5.
∴T 4的系数＝C 37⎝⎛⎭⎫12423＝352
， T 5的系数＝C 47⎝⎛⎭⎫12324＝70.
当n ＝14时，展开式中二项式系数最大的项是T 8，
∴T 8的系数＝C 714⎝⎛⎭⎫12727＝3 432.
(2)∵C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＝79，
∴n 2＋n －156＝0.
∴n ＝12或n ＝－13(舍去)． 设T k ＋1项的系数最大，
∵⎝⎛⎭⎫12＋2x 12＝⎝⎛⎭
⎫1212(1＋4x )12， ∴⎩⎪⎨⎪⎧
C k 124k ≥C k －1124k －1，C k 124k ≥C k ＋1124k ＋1. ∵k ∈N ，∴k ＝10.
∴展开式中系数最大的项为T 11，
T 11＝C 1012·⎝⎛⎭⎫122·210·x 10＝16 896x 10.。