工程力学C第3章 平面力偶系
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工程力学(静力学与材料力学)第三章力偶系详解
FB
r M2 0 ∑ M = 0 ， FA sin
M 2 2r FA
M2 = 4M1 = 8kNm
2M 1 FO FB FA 8kN r
• 作业3-1,3-4,3-8
考虑CB部分为二力构件，得：
FC FA FB FC
例3-4
图示机构自重不记。圆轮上的销子 A 放在 摇杆 BC上的光滑导槽内。M 1 = 2kNm，OA = r = 0.5m 。图示位置OA⊥OB，α = 30°，且系统平衡。 求作用于摇杆 BC 上力偶的矩 M 2 及 O、B 支座的反 力。 解：受力分析
M1
R
F1
M
F2
2
M1 + M2 = rBA×F1 + rBA×F2 = rBA×( F1 + F2 ) = rBA×R = M
如有n个力偶，按上法依次合成, 最后得一力偶,合力偶矩矢为 M = M1 +M2 + … +Mn = ∑M I
B
rBA
A
F2
F1
任意个力偶可以合成为一个 合力偶，这个合力偶矩矢等于各 分力偶矩矢的矢量和。 M = M 1+ M 2+ … + M n = ∑M i
性质三
证：
力偶没有合力
仍用反证法，即假定力偶有合力，那么总可 找到一个与此力大小相等，方向相反而作用线 共线的力与此力平衡，即力与力偶相平衡。与 性质二矛盾。
性质一、二和三告诉我们力偶只能与力偶等 效而不能与单个力等效。
•力偶只能与力偶相平衡 力偶只能与力偶相平衡
§3-4 力偶系的合成
设有两个力偶，由性质一,将 力偶中两力分别移到两力偶作用面 交线上的两点 A 和 B,可得到两个 汇交力系，其合力分别为R 、 R ’ 。
工程力学I-第3章 力矩与平面力偶系
D
x
§3-2 关于力偶的概念
力偶：一对等值、反向而不共线的平行力，用 符号（F ,F′）表示。
力偶臂：两个力作用
线之间的垂直距离d。
F’
F
力偶的作用面：两个 力作用线所决定的平 面
§3-2 关于力偶的概念
F F
d
d
F
d
F
F
F
转动游戏方向盘
拧水龙头
扳手拧螺母
§3-2 关于力偶的概念
Q AABD AABC 显然， 并注意到力偶矩的转向也相同， 则有M ( F , F ) M ( P, P) P
M (P 1, P 1 ) M ( P, P ) 显然， 1, P 1) 从而有M ，( F , F ) M ( P
P1
力偶等效
M ( F , F ) M ( P 1, P 1)
（1）力对点之矩，不仅取决于力的大小，还与矩心的位置有关。
（2）力对任一点之矩，不因该力的作用点沿其作用线移动而改变。 *（3）力的大小等于零或其作用线通过矩心时，力矩等于零。 （4）互成平衡的两个力对同一点之矩的代数和为零。
Mo(F)＝±Fd
§3-1 关于力矩的概念及其计算
合力矩定理：
y Fy
(3)将力P和P’沿各自的作用 线移至任意点A’，B’，根 据力的可传性原理，有 (P,P’) =(P1,P1’) 。
§3-2 关于力偶的概念
(4) A′
P1′ b F′ A A F B Q′ D P′ B′ C
M (F , F ) AB BD 2 AABD ,
M（P, P'） AB BC 2 AABC
工程力学 第3章 力偶系
M 2 F2 , F2'
M F1'
r1
F F1 F2 F ' F1' F2'
F2' MR F, F '
F2
F1 F
M2
MR r F ' r (F1'F2 ') r F1'r F2 '
M1 M2
结论：两个力偶的合成仍然为力偶，且
第三章 力偶系
§1 力对点之矩矢 一、 平面力对点之矩（回顾）
力使物体绕某点转动的力学效应，称为力对该点之矩。 例如扳手旋转螺母。
BF
dA L
O
力F对O点之矩定义为： Mo(F)＝±Fd
通常规定：力使物体绕矩心逆时针方向转动时，力矩 为正，反之为负。
第三章 力偶系
二、力对点之矩矢量 1、空间力矩三个要素：
一、力偶 在日常生活和工程实际中经常见到物体受动两个大小相等、 方向相反，但不在同一直线上的两个平行力作用的情况。例如
第三章 力偶系
B d
F’
F A
M
B
F
rBA
F’ d A
1. 定义：在力学中把这样一对等值、反向而不共线的平行力 称为力偶，用符号 ( F , F′)表示。
两个力作用线之间的垂直距离 d 称为力偶臂， 两个力作用线所决定的平面称为力偶的作用面。
x (F ) y (F )
yFz zFx
zFy xFz
M
z
(F
)
xFy
yFx
力对点之矩在各坐标轴上的投影
MO z
O xr
《工程力学》第三章 平面一般力系
• 运用解析法：在力系所在平面上取坐标系 O -xy(图3-3(a))，应用合力投影定理， 则由(3-2)式得
• 故主矢R′的模为
• 主矢R′的方向从图3-3(b)中可知
图3-3
• 2.对点O的主矩 • 从图3-3(b)中可知，MO应是该平面一般力偶
系m1，m2，…，mn的合力偶矩。由平面力偶 系的合成定理可知，
• 由于Fd也等于力F对B点的矩，mB(F)=Fd，于 是得
• §3-2 平面一般力系向一点的简化 • 一、平面一般力系向一点的简化 • 在力系的作用平面内，被任选的一点O称为简
化中心。将力系中诸力平移至简化中心，同时 附加一个力偶系的过程，称为力系向给定点的 简化。
图3-2
•经 简 化 后 的 平 面 共 点 力 系 合成为一个合力R′，该合力作用点在简化 中心上；把简化后的附加力偶系m1， m2，…，mn合成得一力偶MO(图32(c))。自然，依据力的平移定理，可将 力R′和MO合成为一个力R(图3-2(d))， 这个力R就是原力系F1，F2，…，Fn的合 力。
• 二、截面法求桁架内力
• 截面法一般采用如下步骤：
• (1)先求出桁架支承约束反力。
• (2)如需求某杆的内力，可通过该杆作一 假想截面，将桁架截为两段(只截杆件， 不能截在节点上)。注意被截杆件一般不 能多于三根。任选半边桁架考虑平衡，在 杆件被截处，画出杆件内力，其指向假定 沿杆件而背离杆件被截处。
图3-5
• 二、平面一般力系向一点简化结果分析
• 1.平面一般力系向一点的简化结果
• 平面一般力系向简化中心简化，其结果可能出现 四种情况：
• (1)R′=0，MO=0
• 主矢和主矩均等于零。它表明简化后的平面汇交 力
• 故主矢R′的模为
• 主矢R′的方向从图3-3(b)中可知
图3-3
• 2.对点O的主矩 • 从图3-3(b)中可知，MO应是该平面一般力偶
系m1，m2，…，mn的合力偶矩。由平面力偶 系的合成定理可知，
• 由于Fd也等于力F对B点的矩，mB(F)=Fd，于 是得
• §3-2 平面一般力系向一点的简化 • 一、平面一般力系向一点的简化 • 在力系的作用平面内，被任选的一点O称为简
化中心。将力系中诸力平移至简化中心，同时 附加一个力偶系的过程，称为力系向给定点的 简化。
图3-2
•经 简 化 后 的 平 面 共 点 力 系 合成为一个合力R′，该合力作用点在简化 中心上；把简化后的附加力偶系m1， m2，…，mn合成得一力偶MO(图32(c))。自然，依据力的平移定理，可将 力R′和MO合成为一个力R(图3-2(d))， 这个力R就是原力系F1，F2，…，Fn的合 力。
• 二、截面法求桁架内力
• 截面法一般采用如下步骤：
• (1)先求出桁架支承约束反力。
• (2)如需求某杆的内力，可通过该杆作一 假想截面，将桁架截为两段(只截杆件， 不能截在节点上)。注意被截杆件一般不 能多于三根。任选半边桁架考虑平衡，在 杆件被截处，画出杆件内力，其指向假定 沿杆件而背离杆件被截处。
图3-5
• 二、平面一般力系向一点简化结果分析
• 1.平面一般力系向一点的简化结果
• 平面一般力系向简化中心简化，其结果可能出现 四种情况：
• (1)R′=0，MO=0
• 主矢和主矩均等于零。它表明简化后的平面汇交 力
工程力学第3章
第3章 力矩和平面力偶系 图3-4
第3章 力矩和平面力偶系
这样由两个大小相等、方向相反且不共线的平行力组成的 力系称为力偶。力偶用符号(F，F′)表示，两力之间的垂直距离d 称为力偶臂， 如图3-5所示。 力偶两力作用线所决定的平面称 为力偶的作用面，力偶使物体转动的方向称为力偶的转向。 实 践证明，力偶只能对物体产生转动效应，而不能使物体产生移 动效应。力偶对物体的转动效应，可用力偶中的力与力偶臂的 乘积再冠以适当的正负号来确定，称为力偶矩，记做M(F，F′), 或简写为M，
解：(1) 求三个主动力偶的合力偶矩
M Mi M1 M2 M3
13.5 13.5 17 44N m
负号表示合力偶矩为顺时针方向。
第3章 力矩和平面力偶系 图 3-10
第3章 力矩和平面力偶系 (2) 求两个螺栓所受的力。
选工件为研究对象，工件受三个主动力偶作用和两个螺栓的 反力作用而平衡，故两个螺栓的反力FA与FB必然组成为一力偶， 设它们的方向如图所示， 由平面力偶系的平衡条件，有
根据合力矩定理，力F对A点之矩
M A (F ) M A (F1 ) M A (F2 ) F1l1 F2l2 F (l1 cos150 l2 sin150 ) 3970N cm 39.7N m
负号说明力F使手柄绕A点顺时针转动。
第3章 力矩和平面力偶系 图3-3
设在刚体上作用一力F，如图3-11所示，由经验可知，当力 F通过刚体的重心C时，刚体只发生移动。如果将力F平行移动到 刚体上任一点D，则刚体既发生移动，又发生转动，即作用效果
发生改变。那么，在什么条件下，力平行移动后与未移动前对 刚体的作用效果等效呢？力的平移定理解决了这一问题。
工程力学(第三章)
MR
y
MR Mz cos MR
§3-6
力偶系的平衡条件
M 0
平衡： 力偶系平衡的充要条件是 其合力偶矩矢为零。
即：力偶系平衡
一、平面力偶系的平衡条件
M R M（代数和） i
M 0
平面力偶系的平衡方程
§3-6
力偶系的平衡条件
M 0
平衡： 力偶系平衡的充要条件是 其合力偶矩矢为零。
力对点之矩矢
作用： 用来度量力使物体绕某点转动效应的量。
（代数量） 一、平面中力对点之矩（力矩）
F
O
h
定义：M O
F Fh
正负号规定： 力使物体绕矩心逆转为正，顺转为负。
作用： 用来度量力使物体绕某点转动效应的量。 1、平面问题
（代数量） 力矩作用面
矩心 O h
力臂
定义： M O F Fh
A
O x
y
Fx
z
y
Fy
x
A x, y, z ,
F Fx , Fy , Fz
（一）、力对点的矩
1、平面问题
MO
F Fh
MO F
O
h
z
F
F
2、空间问题
MO F r F
x
（二）、力对轴的矩
空间： 力偶对空间任一点的矩矢恒等于力偶矩矢， 而与矩心位置无关。
性质二 力偶可在其作用面内任意移转，或移到另
一平行平面，而不改变对刚体的作用效应。
= =
F
F
F
F
工程力学——力矩和平面
FR和FR′为一对等值、反向、不共线的平行力，组成 一新力偶，此力偶即为原来两力偶的合力偶。其力偶矩为
同螺母绕O点转动的效果不仅与力F的大小有关，而且与
转动中心O至力F的作用线的垂直距离d有关。因此乘积
F·d就是力的转动效应的度量。这个量称为力F对O点之矩，
简称力矩，并记作
MO(F)=±F·d
(3-1)
式(3-1)中，点O称为力矩中心，简称矩心，d是点
O到力F作用线的垂直距离，称为力臂，乘积F·d为力矩大
第3章 力矩和平面力偶系
第3章 力矩和平面力偶系
3.1 力对点之矩和合力矩定理 3.2 力偶的概念 3.3 力偶的性质 3.4 平面力偶系的合成与平衡 3.5 力的平移定理
3.1 力对点之矩和合力矩定理
3.1.1 力对点之矩
力对物体的作用可以使物体产生移动和转动两 种效应。
图3.1
如图3.1所示，当用扳手拧紧螺母时，力F使扳手连
小；正负号表示力矩在平面上的转向。一般规定，力使物
体绕矩心作逆时针方向转动时为正，顺时针转向为负。
力F对点O的力矩值，也可用以力F为底边，以点O为
顶点所构成的三角形面积的两倍来表示，如图3.2所示，故
力矩又可表示为
MO(F)=±2△OAB
(3-2)
图3.2 力矩的单位为牛顿·米(N·m)，或千牛顿·米(kN·m)。
力偶不能合成一个力， 它不能用一个力来平衡而只能 和力偶相平衡。所以力偶和力 是组成力系的两个基本物理量。 或者说，力偶和力是静力学的 两个基本要素。
图3.6
二、力偶对其作用面上任意点之矩，恒等于力偶 矩，而与矩心的位置无关
证明：设有一力偶(F，F′)作用在物体上其力偶矩 M= F·d (见图3.7)。在力偶的作用平面内任取一点O为矩 心，设O点至F′的垂直距离为a。显然，力偶使物体绕O 点转动的效应，等于组成力偶的两个力使物体绕O点转 动的效应之和，即
同螺母绕O点转动的效果不仅与力F的大小有关，而且与
转动中心O至力F的作用线的垂直距离d有关。因此乘积
F·d就是力的转动效应的度量。这个量称为力F对O点之矩，
简称力矩，并记作
MO(F)=±F·d
(3-1)
式(3-1)中，点O称为力矩中心，简称矩心，d是点
O到力F作用线的垂直距离，称为力臂，乘积F·d为力矩大
第3章 力矩和平面力偶系
第3章 力矩和平面力偶系
3.1 力对点之矩和合力矩定理 3.2 力偶的概念 3.3 力偶的性质 3.4 平面力偶系的合成与平衡 3.5 力的平移定理
3.1 力对点之矩和合力矩定理
3.1.1 力对点之矩
力对物体的作用可以使物体产生移动和转动两 种效应。
图3.1
如图3.1所示，当用扳手拧紧螺母时，力F使扳手连
小；正负号表示力矩在平面上的转向。一般规定，力使物
体绕矩心作逆时针方向转动时为正，顺时针转向为负。
力F对点O的力矩值，也可用以力F为底边，以点O为
顶点所构成的三角形面积的两倍来表示，如图3.2所示，故
力矩又可表示为
MO(F)=±2△OAB
(3-2)
图3.2 力矩的单位为牛顿·米(N·m)，或千牛顿·米(kN·m)。
力偶不能合成一个力， 它不能用一个力来平衡而只能 和力偶相平衡。所以力偶和力 是组成力系的两个基本物理量。 或者说，力偶和力是静力学的 两个基本要素。
图3.6
二、力偶对其作用面上任意点之矩，恒等于力偶 矩，而与矩心的位置无关
证明：设有一力偶(F，F′)作用在物体上其力偶矩 M= F·d (见图3.7)。在力偶的作用平面内任取一点O为矩 心，设O点至F′的垂直距离为a。显然，力偶使物体绕O 点转动的效应，等于组成力偶的两个力使物体绕O点转 动的效应之和，即
工程力学(静力学与材料力学)(第2版)教学课件第3章 力偶系
6
力偶的等效条件
作用于刚体上的两个力偶等效的条件是力偶矩矢相等， 即两个力偶矩矢相等的力偶等效。
力偶的性质
性质一 力偶不能与一个力等效,也不能与一个力平衡。 性质二 力偶可在其作用面或平行平面内任意移动,而 不改变力偶对刚体的作用效应。
性质三 只要力偶矩矢的大小与方向不变,即使改变力 与力偶臂的大小，均不改变力偶对刚体的作用效应。
工程力学（静力学与材料力学）
4
§2 力偶矩矢与力偶的性质
力偶
力偶-等值、反向、作用线平行的力F与F’组成的力系, 并用（F,F’）表示。
力偶作用面-两力作用线所在平面
力偶臂-两力作用线间垂直距离d
力偶系-作用于刚体上的一组力偶
平面力偶系-各力偶作用面的方位 相同的力偶系
空间力偶系-各力偶作用面的方位
工程力学（静力学与材料力学）
7
§3 力偶系的合成与平衡条件
力偶系的合成
刚体上两个力偶,力偶矩矢 M1与M2，转换至A与B点,得
M1rF1 M2 rF2
F F1F2 形成M
M rF r(F1F2) rF1rF2
M M1M2 MR
n
MR Mi
i1
空间力偶系可合成为一合力偶，其力偶矩矢等于
系内各分力偶矩矢的矢量和 。
MO (F )Fd
MO (F ) 2ABO
平面力对点之矩是代数量，使刚体绕矩心沿逆时针
方向转动者为正，反之为负。
工程力学（静力学与材料力学）
2
力对点之矩矢
空间力系各力，使刚体绕同一点转动的转轴方位不 同, 力对点之矩应该用矢量表示，即力对点之矩矢。
MO (F ) r F
r-A点对于O点的矢径 rF Frsin Fd
工程力学第3章(力偶系)
工程力学
Engineering Mechanics
中南大学土木建筑学院力学系
Department of Mechanics of School of Civil Engineering and Architecture of Central South University
第三章 力偶系 §3-1 力对点之矩矢
力偶臂d 力偶臂 1=200mm， ，
，力偶臂d ， F2 = F2' = 120N，力偶臂 2=300mm ， F3 = F3' = 80 N，
M 1 = 100 × 0.2 = 20
N.m N.m
M 2 = 120 × 0.3 = 36
M 3 = 80 × 0.18 = 14.4 N.m
M Rx M Ry = ∑ M y = M 1 = 20 N.m
二、力对轴之矩的 解析表达式
M x ( F ) = M x ( Fy ) + M x ( Fz ) = -zFy + yFz M y ( F ) = M y ( Fz ) + M y ( Fx ) = -xFz + zFx M z ( F ) = M z ( Fx ) + M z ( Fy ) = -yFx + xFy
M R = M1 + M 2 + ⋅ ⋅ ⋅ + M n = ∑ M
M R = M1 + M 2 + ⋅ ⋅ ⋅ + M n = ∑ M
合力偶矩矢的大小 M R = ( ∑ M x ) 2 + ( ∑ M y )2 + ( ∑ M z )2 合力偶矩矢的方向
R
∑M cos( M ，i ) =
cos( M R，j ) = MR
Engineering Mechanics
中南大学土木建筑学院力学系
Department of Mechanics of School of Civil Engineering and Architecture of Central South University
第三章 力偶系 §3-1 力对点之矩矢
力偶臂d 力偶臂 1=200mm， ，
，力偶臂d ， F2 = F2' = 120N，力偶臂 2=300mm ， F3 = F3' = 80 N，
M 1 = 100 × 0.2 = 20
N.m N.m
M 2 = 120 × 0.3 = 36
M 3 = 80 × 0.18 = 14.4 N.m
M Rx M Ry = ∑ M y = M 1 = 20 N.m
二、力对轴之矩的 解析表达式
M x ( F ) = M x ( Fy ) + M x ( Fz ) = -zFy + yFz M y ( F ) = M y ( Fz ) + M y ( Fx ) = -xFz + zFx M z ( F ) = M z ( Fx ) + M z ( Fy ) = -yFx + xFy
M R = M1 + M 2 + ⋅ ⋅ ⋅ + M n = ∑ M
M R = M1 + M 2 + ⋅ ⋅ ⋅ + M n = ∑ M
合力偶矩矢的大小 M R = ( ∑ M x ) 2 + ( ∑ M y )2 + ( ∑ M z )2 合力偶矩矢的方向
R
∑M cos( M ，i ) =
cos( M R，j ) = MR
平面汇交力系和平面力偶系
平面汇交力系和平面力偶系
平面汇交力系和平面力偶系是平面力学中的两个重要概念。
平面汇交力系是指各力的作用线在同一平面内且汇交于一点的力系。
在平面汇交力系中，力的大小和方向可以通过力的矢量表示。
平面汇交力系的合成可以通过力的多边形法则来进行，即将各个力按照首尾相接的顺序连接起来，形成一个封闭的多边形，合力则为这个多边形的封闭矢量。
平面力偶系是指由若干个力偶组成的力系，其中力偶是由大小相等、方向相反且不共线的两个力组成的力矩对。
在平面力偶系中，力偶的作用效果是产生旋转，而不是平移。
平面力偶系的合成可以通过力偶矩的代数和来进行。
平面汇交力系和平面力偶系在工程和物理学中有广泛的应用。
在结构分析、机械设计和力学问题中，常常需要考虑和分析平面汇交力系和平面力偶系的作用效果。
总的来说，平面汇交力系和平面力偶系是平面力学中的重要概念，它们的合成和平衡条件对于理解和解决平面力学问题至关重要。
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因此, 力偶系作用下的刚体平衡的充要条件是： 合力偶矩等于零, 即力偶系各力偶矩的代数和等于零
Mi 0
平面力偶系的平衡条件
例 题 2 已知：a, M
a
M
B
求：A、 C 处约束反力。 解：（1）取BC为研究对象
A
C
FC FB
（2）取AB为研究对象
a
a
FB
M
B B
M 0, M FA 2a 0
3. 力矩与合力矩的解析表达式
y
Fy
x O
F
M O ( F ) M O ( Fx ) M O ( Fy )
x Fy y Fx xY yX
Fx
x
A y
M O (FR ) ( xiYi y i X i )
例 题 1 已知：Fn，，r
求：力 Fn 对轮心O的力矩? 解：（1）直接计算 F Fn r
M 0, FB a cos 30 M1 0
解得
B C D
3 M1 FB 2
(2)取CD为研究对象
A
M1
M2 FB
FC
C B
M 0, M 2 FC a sin 30 0
解得
M1 FA
1 M 2 FC 2
M1 3 M2
D
A
因为
FB = FC
FD
M2
D
M
E
FA FB 2 M 2a
FA
A
2 FC FB FB M 2a
FB
C
FC
若将此力偶移至BC构件上，再求A、C处约束反力。在 此种情况下，力偶能否在其作用面内移动？
例 题 3
已知：AB=CD=a, ∠BCD=30° 求：平衡时M1、M2之间的关系。
解: (1)取AB为研究对象
合成结果：
平衡条件：
M Mi Mi 0
作业:
3-1 、 3-2 、3-5、 3-8
题 3: 已知 M1 500 N m
题 4: 已知
P 2kN
M 2 125 N m
FT FA FB A B FB
FA
题 3-3
题 3-4
本章小结
1. 平面力对点之矩
M O (F ) F d 2OAB
2. 合力矩定理：
M O (FR ) M O (F1 ) M O (F2 ) M O (Fn ) M O (Fi )
F1d1 F2 d 2 F3d3 M
注：力偶的等效性及性质一般只适用于刚体， 不适用于变形体。
5. 平面力偶系的合成和平衡条件
F1
F2 d2 d1
平面力偶的力偶矩可用一代数量表征，即：
F1
F2
M Fd
“+”—— 使物体逆时针转动； “－”——使物体顺时针转动
F3 A
F4
d B
例 题 4 束反力。
B
求：A、B、D、E处的约
a
C
FB
a
A
解: (1) 取整体为研究对象
FA
FD
D
a
a
(2) 取BCD为研究对象
确定 D 处约束力的方向
C B
M 0, M FAa 0 M FA FB a
FC
FD
D
FB
E
(3) 取DE为研究对象源自M M 0, FD a sin 45 M 0
力偶臂——力偶的两力之间的垂直距离。 力偶的作用面——力偶所在的平面。 力偶系——作用于刚体上的一群力偶。
2. 作用效应：
由于其主矢量 FR 0 ，所以力偶无移动 效应，只有转动效应。
3. 作用效应的度量—力偶矩：
A
F'
d B x O
M O ( F , F ) M O ( F ) M O ( F ) F (d x) F x Fd
§3-1 平面力对点之矩的概念及计算
1.力对点之矩
B
M O (F ) F h
F
O —— 矩心
h —— 力臂
“＋ ”—— 使物体逆时针转时 力矩为正； “－” —— 使物体顺时针转时 力矩为负。
A
h
M O (F ) 2SOAB
§3-1 平面力对点之矩的概念及计算
1.力对点之矩
性质： 平面上力对点之矩为标量(或代数量)；
F3d F1d1 M1
F4
F3
F4 d F2 d 2 M 2
F F4 F3 , F F4 F3 M Fd ( F4 F3 )d M 2 M1
合成结果：
F
A d B
F
M Mi
作用于刚体上的力偶系可合成为一个合力偶：
M Mi
O
h
M O (Fn ) Fn h Fn r cos
（2）利用合力矩定理计算
Fr
M O ( Fn ) M O ( Fr ) M O ( F ) M O (F ) Fn r cos
§3-2 平面力偶理论
1. 力偶和力偶矩
力偶——两个大小相等、方向相反且不 共线的平行力组成的力系。
F
M Fd 力偶矩
（1）力偶不能合成为一个 力，也不能用一个力来平衡。 力和力偶是静力学的两个基 本要素。 （2）力偶矩是度量力偶对 刚体的转动效果；它有两个 要素：力偶矩的大小和力偶 矩的转向。
4. 平面力偶的等效条件
力偶只对刚体产生转动效应, 力偶的主矢为零，因而力偶 不能与一个力等效。 作用于刚体上两力偶等效的充要条件为：它们的力偶矩相同。
3. 力偶和力偶矩
力偶——两个大小相等、方向相反且不共线的平行力组成的力系。
M Fd 力偶矩
力偶在任一轴上的投影等于零，且对平面内任一点的矩恒等于力
偶矩，力偶矩与矩心的位置无关。
力偶的等效定理：在同平面内的两个力偶，如果力偶矩相同， 则彼此等效。力偶矩是力偶作用的唯一量度。
4. 平面力偶系的合成与平衡
力偶的性质：
（1）力偶没有合力，但其作用效应不为零。
♦ 力偶对物体作用的效果不能用一个力来代替； ♦ 力偶必须用力偶来平衡； ♦ 力偶中的两个力在任一轴上的投影之和等于零。
( 2 ) 力偶对刚体的作用与力偶在其作用面内的位置无关；
( 3 ) 在同一平面内, 只要保持力偶矩的大小和力偶的转向不 变，可以同时改变力偶中力的大小和力偶臂的长短，而不 改变力偶对刚体的作用。
力矩的大小不仅取决于力的大小，同时还与矩
心的位置有关； 对于任意点之矩，不随该力的作用点沿其作用
线的移动而改变；
力的大小等于零或力的作用线通过矩心时，力 矩等于零。
2. 合力矩定理
平面汇交力系合力对于平面内一点之矩等于所有各分力对于 该点之矩的代数和。
M O (FR ) M O (F1 ) M O (F2 ) M O (Fn ) M O (Fi )
FE
2M FD FE a
思考题？
B D
F2 F1
C
o A
R
F1
B
M
M
C
M
A
F2
P
问刚体在四个力的 作用下是否平衡， 若改变F1和F1′的方 向，则结果又如何。
当 M=PR 时，系统处 于平衡，因此力偶也 可以与一个力平衡， 这种说法对吗。
图示系统平衡否， 若平衡，A、B 处约束反力的方 向应如何确定。
Mi 0
平面力偶系的平衡条件
例 题 2 已知：a, M
a
M
B
求：A、 C 处约束反力。 解：（1）取BC为研究对象
A
C
FC FB
（2）取AB为研究对象
a
a
FB
M
B B
M 0, M FA 2a 0
3. 力矩与合力矩的解析表达式
y
Fy
x O
F
M O ( F ) M O ( Fx ) M O ( Fy )
x Fy y Fx xY yX
Fx
x
A y
M O (FR ) ( xiYi y i X i )
例 题 1 已知：Fn，，r
求：力 Fn 对轮心O的力矩? 解：（1）直接计算 F Fn r
M 0, FB a cos 30 M1 0
解得
B C D
3 M1 FB 2
(2)取CD为研究对象
A
M1
M2 FB
FC
C B
M 0, M 2 FC a sin 30 0
解得
M1 FA
1 M 2 FC 2
M1 3 M2
D
A
因为
FB = FC
FD
M2
D
M
E
FA FB 2 M 2a
FA
A
2 FC FB FB M 2a
FB
C
FC
若将此力偶移至BC构件上，再求A、C处约束反力。在 此种情况下，力偶能否在其作用面内移动？
例 题 3
已知：AB=CD=a, ∠BCD=30° 求：平衡时M1、M2之间的关系。
解: (1)取AB为研究对象
合成结果：
平衡条件：
M Mi Mi 0
作业:
3-1 、 3-2 、3-5、 3-8
题 3: 已知 M1 500 N m
题 4: 已知
P 2kN
M 2 125 N m
FT FA FB A B FB
FA
题 3-3
题 3-4
本章小结
1. 平面力对点之矩
M O (F ) F d 2OAB
2. 合力矩定理：
M O (FR ) M O (F1 ) M O (F2 ) M O (Fn ) M O (Fi )
F1d1 F2 d 2 F3d3 M
注：力偶的等效性及性质一般只适用于刚体， 不适用于变形体。
5. 平面力偶系的合成和平衡条件
F1
F2 d2 d1
平面力偶的力偶矩可用一代数量表征，即：
F1
F2
M Fd
“+”—— 使物体逆时针转动； “－”——使物体顺时针转动
F3 A
F4
d B
例 题 4 束反力。
B
求：A、B、D、E处的约
a
C
FB
a
A
解: (1) 取整体为研究对象
FA
FD
D
a
a
(2) 取BCD为研究对象
确定 D 处约束力的方向
C B
M 0, M FAa 0 M FA FB a
FC
FD
D
FB
E
(3) 取DE为研究对象源自M M 0, FD a sin 45 M 0
力偶臂——力偶的两力之间的垂直距离。 力偶的作用面——力偶所在的平面。 力偶系——作用于刚体上的一群力偶。
2. 作用效应：
由于其主矢量 FR 0 ，所以力偶无移动 效应，只有转动效应。
3. 作用效应的度量—力偶矩：
A
F'
d B x O
M O ( F , F ) M O ( F ) M O ( F ) F (d x) F x Fd
§3-1 平面力对点之矩的概念及计算
1.力对点之矩
B
M O (F ) F h
F
O —— 矩心
h —— 力臂
“＋ ”—— 使物体逆时针转时 力矩为正； “－” —— 使物体顺时针转时 力矩为负。
A
h
M O (F ) 2SOAB
§3-1 平面力对点之矩的概念及计算
1.力对点之矩
性质： 平面上力对点之矩为标量(或代数量)；
F3d F1d1 M1
F4
F3
F4 d F2 d 2 M 2
F F4 F3 , F F4 F3 M Fd ( F4 F3 )d M 2 M1
合成结果：
F
A d B
F
M Mi
作用于刚体上的力偶系可合成为一个合力偶：
M Mi
O
h
M O (Fn ) Fn h Fn r cos
（2）利用合力矩定理计算
Fr
M O ( Fn ) M O ( Fr ) M O ( F ) M O (F ) Fn r cos
§3-2 平面力偶理论
1. 力偶和力偶矩
力偶——两个大小相等、方向相反且不 共线的平行力组成的力系。
F
M Fd 力偶矩
（1）力偶不能合成为一个 力，也不能用一个力来平衡。 力和力偶是静力学的两个基 本要素。 （2）力偶矩是度量力偶对 刚体的转动效果；它有两个 要素：力偶矩的大小和力偶 矩的转向。
4. 平面力偶的等效条件
力偶只对刚体产生转动效应, 力偶的主矢为零，因而力偶 不能与一个力等效。 作用于刚体上两力偶等效的充要条件为：它们的力偶矩相同。
3. 力偶和力偶矩
力偶——两个大小相等、方向相反且不共线的平行力组成的力系。
M Fd 力偶矩
力偶在任一轴上的投影等于零，且对平面内任一点的矩恒等于力
偶矩，力偶矩与矩心的位置无关。
力偶的等效定理：在同平面内的两个力偶，如果力偶矩相同， 则彼此等效。力偶矩是力偶作用的唯一量度。
4. 平面力偶系的合成与平衡
力偶的性质：
（1）力偶没有合力，但其作用效应不为零。
♦ 力偶对物体作用的效果不能用一个力来代替； ♦ 力偶必须用力偶来平衡； ♦ 力偶中的两个力在任一轴上的投影之和等于零。
( 2 ) 力偶对刚体的作用与力偶在其作用面内的位置无关；
( 3 ) 在同一平面内, 只要保持力偶矩的大小和力偶的转向不 变，可以同时改变力偶中力的大小和力偶臂的长短，而不 改变力偶对刚体的作用。
力矩的大小不仅取决于力的大小，同时还与矩
心的位置有关； 对于任意点之矩，不随该力的作用点沿其作用
线的移动而改变；
力的大小等于零或力的作用线通过矩心时，力 矩等于零。
2. 合力矩定理
平面汇交力系合力对于平面内一点之矩等于所有各分力对于 该点之矩的代数和。
M O (FR ) M O (F1 ) M O (F2 ) M O (Fn ) M O (Fi )
FE
2M FD FE a
思考题？
B D
F2 F1
C
o A
R
F1
B
M
M
C
M
A
F2
P
问刚体在四个力的 作用下是否平衡， 若改变F1和F1′的方 向，则结果又如何。
当 M=PR 时，系统处 于平衡，因此力偶也 可以与一个力平衡， 这种说法对吗。
图示系统平衡否， 若平衡，A、B 处约束反力的方 向应如何确定。