5.第20课时 相似三角形(含位似)
第四章三角形第20课时相似三角形（含位似）基础过关1. (2019常州)若△ABC∽△A′B′C′，相似比为1∶2，则△ABC与△A′B′C′的周长的比为()A. 2∶1B. 1∶2C. 4∶1D. 1∶42. (2019重庆A卷)如图，△ABO∽△CDO，若BO＝6，DO＝3，CD＝2，则AB的长是()第2题图A.2B.3C.4D.53. (2019贺州)如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC边上的点，DE∥BC，若AD＝2，AB＝3，DE ＝4，则BC等于()第3题图A. 5B. 6C. 7D. 84. (2019杭州)如图，在△ABC中，点D，E分别在AB和AC边上，DE∥BC，M为BC边上一点(不与点B，C重合)，连接AM交DE于点N，则()第4题图A. ADAN＝ANAE B.BDMN＝MNCE C.DNBM＝NEMC D.DNMC＝NEBM5. (2019玉林)如图，AB∥EF∥DC，AD∥BC，EF与AC交于点G，则相似三角形共有()第5题图A. 3对B. 5对C. 6对D. 8对6. (2019邵阳)如图，以点O为位似中心，把△ABC放大为原图形的2倍得到△A′B′C′，以下说法中错误的是()第6题图A. △ABC∽△A′B′C′B. 点C、点O、点C′三点在同一直线上C. AO∶AA′＝1∶2D. AB∥A′B′7. (2019常德)如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，图中所有三角形均相似，其中最小的三角形面积为1，△ABC的面积为42，则四边形DBCE的面积是()第7题图A. 20B. 22C. 24D. 268. (2019淄博)如图，在△ABC 中，AC ＝2，BC ＝4，D 为BC 边上的一点，且∠CAD ＝∠B.若△ADC 的面积为a ，则△ABD 的面积为( )第8题图A. 2aB. 52aC. 3aD. 72a9. (2019安徽)如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝6，BC ＝12，点D 在边BC 上，点E 在线段AD 上，EF ⊥AC 于点F ，EG ⊥EF 交AB 于点G ，若EF ＝EG ，则CD 的长为( )第9题图A. 3.6B. 4C. 4.8D. 510. 如图，AB ∥CD ∥EF ，AF 与BE 相交于点G ，且AG ＝2，GD ＝1，DF ＝5，则BCCE＝ .第10题图11. (2019吉林省卷)在某一时刻，测得一根高为1.8 m 的竹竿的影长为3 m ，同时同地测得一栋楼的影长为90 m ，则这栋楼的高度为 m .12. (2019滨州)在平面直角坐标系中，△ABO 三个顶点的坐标分别为A (－2，4)，B (－4，0)，O (0，0).以原点O 为位似中心，把这个三角形缩小为原来的12，得到△CDO ，则点A 的对应点C 的坐标是 .13. (2019抚顺)如果把两条直角边的长分别为5，10的直角三角形按相似比35进行缩小，得到的直角三角形的面积是 .14. (苏科九下P 59练习2改编)如图，在正方形ABCD 中，AB ＝8，E 为边AD 的中点，且BE ⊥EF ，则CF ＝ .第14题图能力提升1. (2019海南)如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝5，BC ＝4，点P 是边AC 上一动点，过点P 作PQ ∥AB 交BC 于点Q ，D 为线段PQ 的中点，当BD 平分∠ABC 时，AP 的长度为( )第1题图A.813 B. 1513 C. 2513 D. 32132. (2019永州)如图，已知点F 是△ABC 的重心，连接BF 并延长，交AC 于点E ，连接CF 并延长，交AB 于点D ，过点F 作FG ∥BC ，交AC 于点G ，设三角形EFG ，四边形FBCG 的面积分别为S 1，S 2，则S 1∶S 2＝ .第2题图3. 如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，点E 在边BC 上移动(点E 不与点B 、C 重合)，满足∠DEF ＝∠B ，且点D、F分别在边AB、AC上.(1)求证：△BDE∽△CEF；(2)当点E移动到BC的中点时，求证：FE平分∠DF C.第3题图4. (2019 凉山州)如图，∠ABD＝∠BCD＝90°，DB平分∠ADC，过点B作BM∥CD交AD于M.连接CM交DB于N.(1)求证：BD2＝AD·CD；(2)若CD＝6，AD＝8，求MN的长.第4题图满分冲关1. (2018包头)如图，在四边形 ABCD 中，BD 平分∠ABC ，∠BAD ＝ ∠BDC ＝ 90°，E 为 BC 的中点，AE 与BD 相交于点 F .若BC ＝4，∠CBD ＝30°，则DF 的长为( )第1题图A.25 3B.23 3C.34 3D.453 2. (2019襄阳)如图，两个大小不同的三角板放在同一平面内，直角顶点重合于点C ，点D 在AB 上，∠BAC ＝∠DEC ＝30°，AC 与DE 交于点F ，连接AE ，若BD ＝1，AD ＝5，则CF EF＝ .第2题图参考答案第20课时 相似三角形（含位似）基础过关1. B2. C 【解析】∵△ABO ∽△CDO ，∴AB CD ＝BO DO ，即AB 2＝63，解得AB ＝4.3. B 【解析】∵DE ∥BC ，∴AD AB ＝DE BC . ∵AD ＝2，AB ＝3，DE ＝4，∴23＝4BC.解得BC ＝6.4. C 【解析】∵DE ∥BC ，∴△ADN ∽△ABM ，△ANE ∽△AMC ，△ADE ∽△ABC .∵△ADN ∽△ABM ，∴DN BM ＝AN AM ， ∵△ANE ∽△AMC ，∴AN AM ＝NE MC ， ∴DN BM ＝NEMC，∴C 正确. 5. C 【解析】∵AB ∥EF ∥DC ，AD ∥BC ，∴四边形ABCD ，四边形ABFE 和四边形DCFE 都是平行四边形，∴图中的相似三角形有：△AEG ∽△ADC ，△AEG ∽△CFG ，△AEG ∽△CBA ，△CGF ∽△CAB ，△CGF ∽△ADC ，△ADC ≌△CBA (相似比为1)，故有6对.6. C 【解析】∵以点O 为位似中心，把△ABC 放大为原图形的2倍得到△A ′B ′C ′，∴△ABC ∽△A ′B ′C ′，点C 、点O 、点C ′三点在同一直线上，AB ∥A ′B ′，AO ∶OA ′＝1∶2，故选项C 错误.7. D 【解析】如解图，∵最小的三角形面积为1，∴四边形DENM 的面积为7，设MN ＝3，则DE ＝4，∵△AMN ∽△ADE ，∴S △AMN S △ADE ＝(34)2＝916，∴S △ADE －S 四边形DENM S △ADE ＝916，即S △ADE －7S △ADE ＝916，解得S △ADE ＝16，∵△ABC 的面积为42，∴S 四边形DBCE ＝42－16＝26.故选D .第7题解图8. C 【解析】∵∠CAD ＝∠B ，∠C ＝∠C ，∴△ADC ∽△BAC ，∴S △ADC S △BAC ＝(AC BC )2＝(24)2＝14.∵S △ADC ＝a ，∴S △BAC ＝4a . ∴S △BAD ＝S △BAC －S △ADC ＝4a －a ＝3a .9. B 【解析】如解图，过点D 作DH ∥EG ，交AB 于点H ，则有EF CD ＝AE AD ＝EGDH ，∵EF ＝EG ，∴CD＝DH .∵DH ∥EG ∥AC ，∴BD BC ＝DHCA .设CD ＝DH ＝x ，则有12－x 12＝x 6，解得x ＝4，∴CD ＝4.第9题解图10. 3511. 54 【解析】设这栋楼的高度为h m ，∵在某一时刻，测得一根高为1.8 m 的竹竿的影长为3 m ，同时测得一栋楼的影长为90 m ，∴1.83＝h90，解得h ＝54(m ).即这栋楼的高度为54 m .12. (－1，2)或(1，－2) 【解析】△ABO 三个顶点的坐标分别为A (－2，4)，B (－4，0)，O (0，0).以原点O 为位似中心，把这个三角形缩小为原来的12，当△ABO 与△CDO 在原点的同侧时，点A 的对应点C 的坐标为(－1，2)；当原点在△ABO 与△CDO 之间时，点C 的坐标为(1，－2).13. 9 【解析】∵直角三角形的两条直角边分别为5，10，∴ 其面积为12×5×10＝25，∵相似比为35，∴面积比为925，∴缩小后的三角形面积为25×925＝9.14. 6 【解析】∵在正方形ABCD 中，BE ⊥EF ，∴∠BAE ＝∠BEF ＝90°，∵∠AEB ＋∠BEF ＋∠DEF ＝180°，∴∠AEB ＋∠DEF ＝90°，∵∠ABE ＋∠AEB ＝90°，∴∠ABE ＝∠DEF ，又∵∠BAE ＝∠EDF ＝90°，∴△ABE ∽△DEF ，∴AE AB ＝DF DE ，∵AB ＝8，E 为AD 的中点，∴AE AB ＝48＝DF4，∴DF ＝2，∴FC ＝DC －DF ＝8－2＝6.能力提升1. B 【解析】∵AB ＝5，BC ＝4，∠C ＝90°，∴AC ＝AB 2－BC 2＝3.∵点D 是PQ 的中点，∴DQ ＝DP .∵BD 平分∠ABC ，∴∠QBD ＝∠ABD .∵PQ ∥AB ，∴∠QDB ＝∠ABD ，△CPQ ∽△CAB .∴∠QBD ＝∠QDB .∴BQ ＝DQ ＝DP .∵△CPQ ∽△CAB ，∴QC BC ＝QP AB ，即4－BQ 4＝2BQ 5.解得BQ ＝2013.∵PQ ∥AB ，∴APAC＝BQ BC ，即AP 3＝20134.解得AP ＝1513. 2. 1∶8 【解析】∵F 是△ABC 的重心，根据重心的性质可得EF BF ＝12，∴EF BE ＝13，在△EBC 中，FG ∥BC ，∴△EFG ∽△EBC ，又∵EF BE ＝13，∴S △EFG S △EBC ＝19，∴S △EFG S 四边形FBCG ＝18.即S 1∶S 2＝1∶8.3. 证明：(1)∵AB ＝AC ， ∴∠B ＝∠C ，∵∠B ＋∠BED ＋∠EDB ＝180°， ∠BED ＋∠DEF ＋∠FEC ＝180°， ∠DEF ＝∠B ， ∴∠EDB ＝∠FEC ， ∵∠B ＝∠C ， ∴△BDE ∽△CEF ； (2)由(1)知△BDE ∽△CEF ， ∴BE CF ＝DEEF， ∵BE ＝CE ， ∴CE CF ＝DE EF， 又∵∠B ＝∠C ＝∠DEF ， ∴△EDF ∽△CEF ， ∴∠DFE ＝∠EFC ， ∴FE 平分∠DFC .4. (1)证明：∵BD 平分∠ADC ， ∴∠ADB ＝∠BDC ，∵∠ABD ＝∠BCD ＝90°， ∴△DAB ∽△DBC ， ∴BD CD ＝ADBD， ∴BD 2＝AD ·CD ；(2)解：由(1)可知BD 2＝AD ·CD . ∵CD ＝6，AD ＝8， ∴BD ＝43，∴BC ＝BD 2－CD 2＝48－36＝2 3. ∵BM ∥CD ，∴∠MBD ＝∠CDB ＝∠ADB ， ∴DM ＝BM ，∵∠ADB ＋∠A ＝∠MBD ＋∠MBA ＝90°， ∴∠A ＝∠MBA ，∴AM ＝BM ＝DM ＝12AD ＝4.∵BM ∥CD ， ∴∠MBC ＝90°.∴CM ＝BM 2＋BC 2＝16＋12＝27， ∵BM ∥CD ， ∴MN CN ＝BM CD ，即MN 27－MN ＝46， 解得MN ＝457.满分冲关1. D 【解析】如解图，在Rt △BDC 中，BC ＝4，∠DBC ＝30°，∴BD ＝23，连接DE ，∵∠BDC ＝11 90°，点E 是BC 的中点，∴DE ＝BE ＝CE ＝12BC ＝2，∵∠CBD ＝30°，∴∠BDE ＝∠DBC ＝30°，∵BD 平分∠ABC ，∴∠ABD ＝∠DBC ，∴∠ABD ＝∠BDE ，∴DE ∥AB ，∴△DEF ∽△BAF ，∴DF BF ＝DE AB，在Rt △ABD 中，∠ABD ＝30°，BD ＝23，∴AB ＝3，∴DF BF ＝23，∴DF BD ＝25，∴DF ＝25BD ＝25×23＝435.第1题解图 2. 213【解析】∵∠DCE ＝90°，∠BCA ＝90°，∴∠BCA －∠ACD ＝∠DCE －∠ACD ，即∠BCD ＝∠ACE ，∵∠BAC ＝∠CED ＝30°，∴BC AC ＝CD CE ＝tan30°＝33，∴△BCD ∽△ACE ，∴∠B ＝∠CAE ，BD AE ＝BC AC ＝33，∴∠BDC ＝∠AEC .∵∠BDC ＝∠BAC ＋∠ACD ，∠AEC ＝∠AED ＋∠CED ，∴∠ACD ＝∠AED .又∵∠DFC ＝∠AFE ，∴△DFC ∽△AFE .∵BD ＝1，AD ＝5，∴AB ＝6.∴AC ＝AB ·cos ∠BAC ＝33，BC ＝AB ·sin ∠BAC＝3.∵BD AE ＝33，BD ＝1，∴AE ＝ 3.∵∠CAE ＝∠B ＝60°，∠BAC ＝30°，∴∠DAE ＝90°，∴在Rt △DAE 中，DE ＝AD 2＋AE 2＝27，∴CD ＝DE ·sin ∠DEC ＝12DE ＝7.∵△DFC ∽△AFE ，∴CF EF ＝CD AE ＝73＝213.。
相似三角形完整版PPT课件
谢谢您的聆听
THANKS
相似三角形的判定
两角分别相等的两个三角 形相似；两边成比例且夹 角相等的两个三角形相似； 三边成比例的两个三角形
相似。
易错点提示与纠正
忽视相似三角形的定义中对应角 相等和对应边成比例两个条件， 只满足其中一个条件不能判定两
个三角形相似。
在应用相似三角形的性质时，要 注意找准对应边和对应角，避免
出现错误。
利用相似三角形研究电磁学问题
在电磁学中，利用相似三角形原理研究电场、磁场和电磁波的传播规律，如电磁感应、电磁 波辐射等。
06
总结回顾与拓展延伸
知识点总结回顾
相似三角形的定义
对应角相等，对应边成比 例的两个三角形相似。
相似三角形的性质
相似三角形的对应角相等， 对应边成比例，面积比等
于相似比的平方。
04
相似三角形在代数中的应用
比例性质在方程求解中应用
利用相似三角形的比例性质，可以建立方 程求解未知数。
通过已知两边比例关系，可以推导出第三 边的长度，进而求解方程。
在复杂几何图形中，利用相似三角形的比 例关系可以简化计算过程。
比例中项在数列求和中应用
比例中项的概念可以 应用于等比数列的求 和问题。
利用比例中项的性质， 可以简化等比数列的 求和过程，提高计算 效率。
通过相似三角形的比 例中项，可以推导出 等比数列的求和公式。
黄金分割点及其性质应用
黄金分割点是指将一条线段分割为两部分，使得较长部分与较短部分之比等于整条 线段与较长部分之比，其比值为黄金比。
数学相似三角形课件
一旦构造了相似三角形并确定了其面积比，就可以利用这个比例关系来求解未知的三角形面积。这通常 涉及到比例运算和代数方程的解法。
03
相似三角形在代数中的应用
比例性质及运算规则
80%
比例的基本性质
在两个比例中，如果两组数的比 值相等，则这两个比例是相等的 。
100%
比例的运算规则
包括合比性质、等比性质、分比 性质以及复合比性质，这些规则 在解决相似三角形问题时经常用 到。
其他领域应用举例
地理学
在地理学中，相似三角形可以用 于计算地球上两点之间的距离和 方位角，以及绘制地图和导航。
艺术和动画
艺术家和动画师可以利用相似三角 形来创建透视效果和比例准确的图 像，使作品更加逼真和生动。
经济学和金融
在经济学和金融领域，相似三角形 可以用于分析市场趋势、预测股票 价格等，通过历史数据的相似模式 来预测未来走向。
通过正弦、余弦定理可以推导 出三角形的面积公式 S=1/2bc×sinA，以及判断三角 形形状的条件等。
解直角三角形问题
已知两边求第三边
利用勾股定理或正弦、余弦定理求解。
已知两边及夹角求其他元素
通过正弦、余弦定理或三角函数关系式求解。
实际应用问题
如测量、航海、地理等问题中，常需解直角三角形，通过选择合适 的三角函数关系式进行求解。
06
总结回顾与拓展延伸
重点知识点总结回顾
01
02
03
相似三角形的定义
两个三角形如果它们的对 应角相等，则称这两个三 角形相似。
相似三角形的性质
相似三角形的对应边成比 例，对应角相等，面积比 等于相似比的平方。
相似三角形的判定
通过角角角（AAA）、边 角边（BAB）、角边角 （ABA）等判定方法确定 两个三角形是否相似。
相似三角形ppt课件免费
构造相似三角形解决函数图像问题
在某些情况下，可以通过构造相似三角形来解决与函数图像相关的问题，如求函数的值域、判断函数的单调性等 。
2024/1/27
18
05
相似三角形在生活中的实际应用
2024/1/27
19
建筑设计中视觉效果优化
利用相似三角形原理，建筑师 可以在设计过程中调整建筑物 的比例和角度，使其在视觉上 更加和谐、美观。
的对应边之间的比值相等。
这一性质可以用来解决一些与比 例有关的问题，例如通过已知的 两边长度来求解第三边的长度。
在实际应用中，相似三角形的对 应边成比例这一性质也经常被用
来进行长度或距离的测量。
2024/1/27
9
面积比与相似比关系
相似三角形的面积比等于相似比的平 方，即如果两个三角形相似且相似比 为k，那么它们的面积之比为k^2。
。
14
04
相似三角形在代数中的应用
2024/1/27
15
方程求解问题
2024/1/27
利用相似三角形性质建立方程
通过相似三角形的边长比例关系，可以建立与未知数相关的 方程，进而求解未知数。
构造相似三角形解方程
在某些情况下，可以通过构造相似三角形来简化方程求解过 程，使问题更加直观易懂。
16
不等式证明问题
相似三角形还可以用于解决测量中的视线问题。当测量点与目标点之间 存在障碍物时，可以通过相似三角形原理确定视线与障碍物的交点，进 而计算出目标点的位置。
2024/1/27
在地形测量中，相似三角形可以帮助测量人员根据地形起伏调整测量方 案，提高测量精度。
21
艺术创作中透视原理应用
艺术家在创作过程中经常运用相似三角 形原理来实现透视效果。通过绘制不同 比例的相似三角形，可以在平面上呈现
第20讲 图形的相似与位似(课件)中考数学一轮复习(全国通用)
如图所示，过点作 ∥ 交于点，
∵ ∥ ∴
∵ ∥ ，∴
=
=
6
3
8
4
= = 设 = 4，则 = 3
9
= = 3∴ = 3 = 12
3
∵ = + + = 3 + 4 + 12 = 19 = 6 3
么d的值是（ ）
A．8
B．6
C．4
D．1
考点一 比例线段的概念与性质
题型02 图上距离与实际距离
【例2】（2023·江苏常州·常州市第二十四中学校考模拟预测）在比例尺是1: 8000的地图上，延陵西路的
长度约为25cm，该路段的实际长度约为（
A．3200m
B．3000m
）
C．2400m
D．2000m
故选：A．
考点一 比例线段的概念与性质
题型10 平行线分线段成比例（X型）
【例10】（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市萧红中学校考三模）如图， ∥ ∥ ，直线1 、2 与这三条平行线分别
交于点A、、和点、、．若 = 4.5， = 3， = 2，则的长度是（
A． =
C．
=
5−1
2
B． =
D．
=
5−1
2
）
考点一 比例线段的概念与性质
题型07 黄金分割的实际应用
【例7】（2023·云南昆明·统考二模）如果矩形满足 =
5−1
，那么矩形叫做“黄金矩形”，如图，已知
2
矩形是黄金矩形，对角线，相交于且 = 2，则关于黄金矩形，下列结论不正确的是（
相似三角形的位似定理与位似点
相似三角形的位似定理与位似点相似三角形是几何学中重要的概念之一，它们具有相同的形状但可能不同的大小。
在研究相似三角形时，我们需要掌握位似定理和位似点的概念，这些概念有助于我们在解题时进行推理和判断。
一、位似定理位似定理是研究相似三角形时最主要的定理之一，它表明相似三角形的对应角度相等。
具体而言，如果两个三角形的对应角度相等，则它们是相似的。
我们可以将位似定理表示为以下形式：若三角形ABC与三角形DEF相似，记作△ABC∼△DEF，则有∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F。
通过位似定理，我们可以利用已知信息来推导未知信息。
例如，如果我们知道两个三角形的某些角度相等，我们可以得出它们是相似的结论。
这种关系对于解决实际问题具有很大的帮助。
二、位似点位似点是指在两个相似三角形中，对应边上的点成比例。
也就是说，如果两个三角形的对应边上的点成比例，则它们是相似的。
我们可以将位似点表示为以下形式：若三角形ABC与三角形DEF相似，记作△ABC∼△DEF，则有（AB/DE）=（AC/DF）=（BC/EF）。
位似点的概念能够帮助我们求解相似三角形中未知长度的边。
通过观察对应边上的点的比例关系，我们可以利用已知长度来推导出未知长度。
三、应用示例下面，我们通过一个具体的问题来应用位似定理和位似点的概念。
问题：在△ABC中，∠B = 50°，∠C = 70°。
如果BC边的长度为8 cm，求出AB和AC边的长度。
解答：根据已知条件，我们知道∠B = 50°，∠C = 70°。
现在我们可以利用位似定理来判断三角形△ABC与另一个三角形是否相似。
假设△ABC与△DEF相似，根据位似定理，我们得出∠B = ∠E = 50°，∠C = ∠F = 70°。
根据题目要求，我们已知BC边的长度为8 cm。
现在我们可以利用位似点的概念来求解AB和AC边的长度。
根据位似点，我们可以得到（BC/EF）=（AB/DE）=（AC/DF）。
相似三角形的性质课件
05
相似三角形的练习题
基础练习题
总结词
基础理论应用
详细描述
涉及相似三角形的基本概念和性质的 简单应用，如根据三角形相似的定义 ，判断两个三角形是否相似，或找出 相似三角形的对应边和对应角。
进阶练习题
总结词
性质与定理的综合应用
详细描述
考察学生对相似三角形性质的综合掌握，包 括应用相似三角形的性质进行证明、计算等 。题目通常会涉及多种性质和定理的应用， 如平行线分线段成比例定理、直角三角形中 的射影定理等。
详细描述
给定一个三角形ABC，其中AB为底边，BC为高。若在图纸上 绘制此三角形，设AB边长为a，BC高为h。则比例尺为实际 长度与图纸上长度的比值，即a:h。
例题二：求面积比
总结词
面积比是表示两个三角形面积的比例关 系，可以通过相似三角形的性质求得。
VS
详细描述
给定两个相似三角形ABC和DEF，其中 ABC为原三角形，DEF为相似三角形。若 已知ABC的底边长为b，高为h，则ABC 的面积为$\frac{1}{2}bh$。相似三角形 DEF的底边长为x，高为y，则其面积也为 $\frac{1}{2}xy$。根据相似三角形的性质 ，我们有$\frac{b}{x} = \frac{h}{y}$，从 而可以得到面积比为 $\frac{\frac{1}{2}bh}{\frac{1}{2}xy} = \frac{b}{x} \cdot \frac{h}{y} = \frac{b}{x} \cdot \frac{b}{h} = \frac{b^2}{xh}$。
利用相似三角形的性质解决实际问题
利用相似三角形的性质进行数值计算
THANK YOU
详细描述
相似三角形的性质表明，它们的对应角相等，因此可以通过比较两个相似三角形的对应角来确定它们的形状。此 外，相似三角形还可以用于研究其他图形的形状，如平行四边形、菱形等。
九年级数学下学期-相似三角形(图形的位似及应用)
位似多边形+应用1.位似多边形定义:如果两个相似多边形任意一组对应顶点所在的直线都经过同一个点O，且每组对应点与点O 点的距离之比都等于一个定值k，例如，如下图，OA′=k·OA（k≠0），那么这样的两个多边形叫做位似多边形，点O叫做位似中心.位似图形与相似图形的区别：位似图形是一种特殊的相似图形，而相似图形未必能构成位似图形.2.位似图形的性质:（1）位似图形的对应点相交于同一点，此点就是位似中心；（2) 位似图形的对应点到位似中心的距离之比等于相似比；（3）位似图形中不经过位似中心的对应线段平行.【作位似变换】【方法点拨】画位似图形的一般步骤：（1）确定位似中心（位似中心可以是平面中任意一点）（2）分别连接原图形中的关键点和位似中心，并延长（或截取）.（3）根据已知的位似比，确定所画位似图形中关键点的位置.（4）顺次连结上述得到的关键点，即可得到一个放大或缩小的图形. ①②③④⑤注：①位似中心可以是平面内任意一点，该点可在图形内，或在图形外，或在图形上（图形边上或顶点上）。
②外位似：位似中心在连接两个对应点的线段之外，称为“外位似”（即同向位似图形）③内位似：位似中心在连接两个对应点的线段上，称为“内位似”（即反向位似图形）（5） 在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点O 为位似中心，相似比为k （k>0）,原图形上点的坐标为（x,y ）,那么同向位似图形对应点的坐标为(kx,ky), 反向位似图形对应点的坐标为(-kx,-ky),【典型例题】【例1】下列每组的两个图形不是位似图形的是（ ）.A. B. C. D.【变式】在小孔成像问题中， 根据如图4所示，若O 到AB 的距离是18cm ，O 到CD 的距离是6cm ，则像CD 的长是物AB 长的 （ ）.A. 3倍B.21C.31 D.不知A B 的长度，无法判断【例2】如图，是规格为9×9的正方形网格，请在所给网格中按下列要求操作：（1）请在网格中画出平面直角坐标系，使A 的坐标为（﹣2，4），B 的坐标为（﹣4，2）；（2）在第二象限内的格点上画一点C ，使点C 与线段AB 组成一个以AB 为底的等腰三角形，且腰长是无理数，则点C 的坐标是 ，△ABC 的周长是 （结果保留根号）；（3）把△ABC 以点C 为位似中心向右放大后得到△A 1B 1C ，使放大前后对应边长的比为1：2，画出△A 1B 1C 的图形并写出点A 1的坐标．【变式1】如图，△ABC在坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A（0，4），B（2，2），C（4，6）（正方形网格中，每个小正方形的边长为1）（1）画出△ABC向下平移5个单位得到的△A1B1C1，并写出点B1的坐标；（2）以点O为位似中心，在第三象限画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且位似比为1：2，直接写出点C2的坐标和△A2B2C2的面积．【变式2】在坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（2，﹣4），B（3，﹣2），C（6，﹣3）．（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；（2）以M点为位似中心，在第一象限中画出将△A1B1C1按照2：1放大后的位似图形△A2B2C2；（3）△A2B2C2面积为．（直接写出答案）【变式3】如图，在正方形网格中，四边形TABC的顶点坐标分别为T（1，1），A（2，3），B（3，3），C（4，2）．（1）以点T（1，1）为位似中心，在位似中心的同侧将四边形TABC放大为原来的2倍，放大后点A，B，C的对应点分别为A′，B′，C′画出四边形TA′B′C′；（2）写出点A′，B′，C′的坐标：A′（），B′（），C′（）；（3）在（1）中，若D（a，b）为线段AC上任一点，则变化后点D的对应点D′的坐标为（）．用相似三角形解决问题要点一、平行投影1.一般地，用光线照射物体，在某个平面(地面或墙壁等)上得到的影子，叫做物体的投影.只要有光线，有被光线照到的物体，就存在影子.太阳光线可看做平行的，象这样在平行光的照射下，物体所产生的影称为平行投影.由此我们可得出这样两个结论：(1)等高的物体垂直地面放置时，如图1所示，在太阳光下，它们的影子一样长.(2)等长的物体平行于地面放置时，如图2所示，它们在太阳光下的影子一样长，且影长等于物体本身的长度.2. 物高与影长的关系（1）在不同时刻，同一物体的影子的方向和大小可能不同.不同时刻，物体在太阳光下的影子的大小在变，方向也在改变，就北半球而言，从早晨到傍晚，物体影子的指向是：西→西北→北→东北→东，影长也是由长变短再变长.（2）在同一时刻，不同物体的物高与影长成正比例.即：=.甲物体的高甲物体的影长乙物体的高乙物体的影长利用上面的关系式可以计算高大物体的高度，比如旗杆的高度等.注意：利用影长计算物高时，要注意的是测量两物体在同一时刻的影长.要点二、中心投影若一束光线是从一点发出的，在点光源的照射下，物体所产生的影称为中心投影.这个“点”就是中心，相当于物理上学习的“点光源”.生活中能形成中心投影的点光源主要有手电筒、路灯、台灯、投影仪的灯光、放映机的灯光等.相应地，我们会得到两个结论：(1)等高的物体垂直地面放置时，如图1所示，在灯光下，离点光源近的物体它的影子短，离点光源远的物体它的影子长.(2)等长的物体平行于地面放置时，如图2所示.一般情况下，离点光源越近，影子越长；离点光源越远，影子越短，但不会比物体本身的长度还短.在中心投影的情况下，还有这样一个重要结论：点光源、物体边缘上的点以及它在影子上的对应点在同一条直线上，根据其中两个点，就可以求出第三个点的位置.要点诠释：光源和物体所处的位置及方向影响物体的中心投影，光源或物体的方向改变，则该物体的影子的方向也发生变化，但光源、物体的影子始终分离在物体的两侧.要点三、中心投影与平行投影的区别与联系1.联系：（1）中心投影、平行投影都是研究物体投影的一种，只不过平行投影是在平行光线下所形成的投影，通常的平行光线有太阳光线、月光等，而中心投影是从一点发出的光线所形成的投影，通常状况下，灯泡的光线、手电筒的光线等都可看成是从某一点发射出来的光线.（2）在平行投影中，同一时刻改变物体的方向和位置，其投影也跟着发生变化；在中心投影中，同一灯光下，改变物体的位置和方向，其投影也跟着发生变化.在中心投影中，固定物体的位置和方向，改变灯光的位置，物体投影的方向和位置也要发生变化.2.区别：（1）太阳光线是平行的，故太阳光下的影子长度都与物体高度成比例；灯光是发散的，灯光下的影子与物体高度不一定成比例.（2）同一时刻，太阳光下影子的方向总是在同一方向，而灯光下的影子可能在同一方向，也可能在不同方向.要点四、相似三角形的应用1.测量高度要点诠释：测量旗杆的高度的几种方法：平面镜测量法影子测量法手臂测量法标杆测量法2.测量距离测量不能直接到达的两点间的距离，常构造如下两种相似三角形求解。
相似三角形知识点整理精选全文完整版
可编辑修改精选全文完整版相似三角形知识点整理重点、难点分析：1、相似三角形的判定性质是本节的重点也是难点．2、利用相似三角形性质判定解决实际应用的问题是难点。
☆内容提要☆ 一、本章的两套定理第一套（比例的有关性质）：涉及概念：①第四比例项②比例中项③比的前项、后项，比的内项、外项④黄金分割等。
第二套：二、有关知识点： 1.相似三角形定义：对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形。
2.相似三角形的表示方法：用符号“∽”表示，读作“相似于”。
3.相似三角形的相似比：相似三角形的对应边的比叫做相似比。
4.相似三角形的预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所截成的三角形与原三反比性质：cda b = 更比性质：dbc a a c bd ==或 合比性质：ddc b b a ±=± ⇒=⇔=bc ad d c b a （比例基本定理） ban d b m c a n d b n m d c b a =++++++⇒≠+++=== :)0(等比性质 相似基本定理 推论(骨干定理)平行线分线段成比例定理(基本定理)应用于△中 相似三角形定理1定理2 定理3 Rt △ 推论推论的逆定理推论角形相似。
5.相似三角形的判定定理：(1)三角形相似的判定方法与全等的判定方法的联系列表如下：类型斜三角形直角三角形全等三角形的判定SAS SSS AAS（ASA）HL相似三角形的判定两边对应成比例夹角相等三边对应成比例两角对应相等一条直角边与斜边对应成比例从表中可以看出只要将全等三角形判定定理中的“对应边相等”的条件改为“对应边成比例”就可得到相似三角形的判定定理，这就是我们数学中的用类比的方法，在旧知识的基础上找出新知识并从中探究新知识掌握的方法。
6.直角三角形相似：(1)直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似。
(2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。
三角形相似与位似
知识点1、三角对应相等，三边对应成比例的三角形叫相似三角形。
如△ABC 与△A /B /C /相似，记作: △ABC∽△A /B /C / 。
相似三角形的比叫相似比相似三角形的定义既是相似三角形的性质，也是三角形相似的判定方法。
注意：（1）相似比是有顺序的。
（2）对应性，两个三角形相似时，通常把对应顶点写在对应位置，这样写比较容易找到相似三角形的对应角和对应边。
（3）顺序性：相似三角形的相似比是有顺序的，若△ABC∽△A /B /C /，相似比为k ，则△A /B /C /与△ABC 的相似比是1k 知识点2、相似三角形与全等三角形的关系（1）两个全等的三角形是相似比为1的相似三角形。
（2）两个等边三角形一定相似，两个等腰三角形不一定相似。
（3）二者的区别在于全等要对应边相等，而相似要求对应边成比例。
知识点3、相似三角形的性质相似三角形的对应角相等，对应边成比例，对应线段的比等于相似比，根据这一性质，可计算角的度数或边的长度。
平行线分线段成比例定理（1）平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例. 已知l1∥l2∥l3, A D l1 B E l2 C F l3可得等.EF BC DE AB DF EF AC BC DF EF AB BC DF DE AC AB EF DE BC AB =====或或或或（2）推论:平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例. AD EB C 由DE ∥BC 可得：.此推论较原定理应AC AE AB AD EA EC AD BD EC AE DB AD ===或或用更加广泛,条件是平行.（3）推论的逆定理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.那么这条直线平行于三角形的第三边.此定理给出了一种证明两直线平行方法,即：利用比例式证平行线.（4）定理:平行于三角形的一边,并且和其它两边相交的直线,所截的三角形的三边与原三角形三边对应成比例. 知识点4、如果两个三角形的两角分别于另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似。
相似三角形知识点归纳
相似三角形知识点归纳1.相似三角形的定义：如果两个三角形的对应角相等，则这两个三角形是相似的。
记作△ABC∽△DEF。
2.相似三角形的判定条件：(1)AA相似判定法：如果两个三角形的两个角相等，则这两个三角形是相似的。
(2)SAS相似判定法：如果两个三角形的对应两边成比例并且夹角相等，则这两个三角形是相似的。
(3)SSS相似判定法：如果两个三角形的对应三条边成比例，则这两个三角形是相似的。
3.相似三角形的性质：(1)对应边成比例：在相似三角形中，对应边的长度之比相等。
即AB/DE=BC/EF=AC/DF。
(2)对应角相等：在相似三角形中，对应角的度数相等。
即∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F。
(3) 对应角的正弦值成比例：在相似三角形中，如果一个角和其对边的正弦值成比例，则另一个角和其对边的正弦值也成比例。
即sin∠A/sin∠D = sin∠B/sin∠E = sin∠C/sin∠F。
(4)图形相似：除了三角形外，相似三角形所在的图形也是相似的。
4.角平分线的性质：(1)在相似三角形中，角平分线之间的关系相等。
即角平分线所分的两个角对应的另外两个角也是相等的。
(2)在相似三角形中，角平分线和对应边长成比例。
即角平分线与对应边所分出的线段之比相等。
5.高度的性质：(1)在相似三角形中，高度之间的关系成比例。
即两个相似三角形的高度之比等于对应边长之比。
(2)在相似三角形中，高度与底边成比例。
即两个相似三角形的高度和底边之比等于对应边长之比。
6.面积的性质：(1)在相似三角形中，面积之间的关系成比例。
即两个相似三角形的面积之比等于对应边长之比的平方。
(2)在相似三角形中，面积与任意一边平方成比例。
即两个相似三角形的面积和任意一边的平方之比等于对应边长之比。
7.相似三角形的应用：(1)根据相似三角形的性质，可以通过测量一个三角形和两条边的比例，计算出另一个三角形的边长和面积。
(2)在地图上，可以利用相似三角形的性质，测量无法直接测量的远距离。