必修四平面向量基础练习题
(word完整版)高一数学数学必修4平面向量复习题
1•设a 、b 、c 是单位向量，且 a -b = o ,贝U a c ? b c 的最小值为（D )2A.1B.2C. 2A. 2B. 2 2C. 1D.12r r rr r r r r r uu r r r 2解析Q a,b,c 是单位向量a c ?bc ago (a b)gs crr r _ r r r1 |ab|gc| 1 <2cos ab,c 1.2.2.已知向量a 2,1 ,ab 10,|ab| 5J2，则 |b|(C )A. .5B. .10C.5D. 25r r 宀 r 宀 r r r 宀“ r2 2 2 2解析 Q50 |a b| |a | 2a gD |b| 5 20 | b ||b| 5 故选 C.3.平面向量a 与b 的夹角为600, a (2,0) , b 1则a 2b ( B )A.、3B. 2 3C. 4D.2解析 由已知 |a|= 2,|a + 2b|2= a 2 + 4a b + 4b 2= 4+ 4X2X1 Xcos60° + 4= 12A a 2b2^3LUIUuiuuuu uiPC) = 2AP PM=2 AP PM cosO 2 -5.已知a 3,2 , b1,0，向量a b 与a2b 垂直，则实数的值为()1 A.—1 B.-1 C.—D.17766uuruur uuu UUJ uujruuu6.设 D 、E 、 F 分别是△ ABC 的三边 BC 、CA 、AB 上的点，且DC2BD,CE2EA, AF 2FB,UJLT 则ADUUU uuu uuu BE CF 与 BC(A)A.反向平行B.同向平行C.互相垂直D.既不平行也不垂直(A )4444A.B.c.D.9339uu 由APUuu UJ uuuu 解析 2PM 知，p 为 ABC 的重心,根据向量的加法 ,PB P C2PM则 uur 4.在 ABC 中,M 是BC 的中点，AM=1,点P 在AM 上且满足学PALunn uur uuu uuu2PM ，则 PA (PB PC)等于uuruuu uiuuu uuu AP (PB1•设a 、b 、c 是单位向量，且 a -b = o ,贝U a c ? b c 的最小值为（ D )27.已知a , b 是平面内两个互相垂直的单位向量，右向量 c 满足（ac) (b c)0,则 c 的最大值是(C )3 4uuu uuu uuur8.已知O 是厶ABC 所在平面内一点，D 为BC 边中点，且2OA OB OC 0，那么（ A ）则—的取值范围是mA .、3B . 2.3C .6 D . 2、616.在平行四边形 ABCD 中， uuu AE 1 uuu unr-AB, AF1 UULT一AD , CE 与BF 相交于G 点.的最小值为（B ) A. uuir unr AO ODunr uuir B. AO 2ODuuir uuirC. AO 3ODuur unr D. 2AO OD 9•设a5 ^2（4,3） , a 在b 上的投影为 ，b 在x 轴上的投影为2,且 | b |< 14，则 b 为(B ) (2,4)2,C .D . (2,) 10.设a, b 是非零向量，若函数f(x)(xa b) (a xb ）的图象是一条直线, 则必有（ A ）11.设两个向量a （ 2,a//2cos C . |a|)和b|b|D . |a| |b|mm,—2 sin ，其中，m, 为实数.若a 2b ,A . [-6, 1]B. [4,]C. (-6, 1] D . [-1 , 6]12.已知向量a(1, n),（1, n ），若2a b 与b 垂直，则|a（C13•如图，已知正六边形 RP 2P 3P 4P 5P 6 ,F 列向量的数量积中最大的是（A. RP2 ,R F 3B. P 1P 2, P 1P4C. P 1P 2 , P 1 P 5D.P 1P 2 ,P 1P614.已知向量a 尢,|e |= 1，对任意t € R , 恒有|a - t e | 冷一e |,贝y ( B )A. a 丄 eB. e 丄(a - e )C.a 丄(a - e )D.(a + e )丄(a - e )15.已知向量 unr unr n uurOA , OB 的夹角为一，|OA| 4 ,3luu r|OB| 1，若点 M 在直线 OB 上，贝U |&A OM |uuu r uur r uuur AB a, AD b,则AG342 r 1 r 2 rA. a bB. a7 7 7 17.设向量a与b的夹角为A」10 B. 3b 73.10 10C.(2,1),C.1 r r 4 rb D. a7 72b (4,5)，则cosD.18.已知向量a , b的夹角为3，且|a||b| 1 ,19.20.21.22.23.24.中,25.7等于D 则向量a与向量a 2b的夹角等于（5A .6已知向量A. [0, .2]已知单位向量A . 2.3在厶ABC 已知向量已知向量中,arOib-r-|b|其中b均为非零向量, 则| p |的取值范围是(B )B.[0,1]C.(0,2]D.[0,2]a,b的夹角为一，那么a2bAR 2RB,CP 2PR,若AP mAB nAC,贝U mC.a和b的夹角为120 ,B. 7|a| 2，且(2aOAA. [0,4]b) a，则|b |(0,2),OB (2,0),BCB .[冷C 2 cos ,2 sinC. [4,3T]）,贝UOA与OC夹角的取值范围是（上海）直角坐标系xOy中，i, j分别是与x, y轴正方向同向的单位向量. 在直角三角形ABC若AB 2i A. 1 j, AC 3i k j，则k的可能值个数是（B. 2若四边形ABCD满足AB CDc.「uuu0 , (AB3uiur uuirAD) ACD. 4则该四边形一定是BA.直角梯形B.菱形C.矩形D.正方形ir r ir 26.已知向量m,n的夹角为一，且|m |6uuir D为BC边的中点，贝U | AD |（乜,订| 2 ,在△ABC中,uuuABir r uuur ir r2m 2n，AC 2m 6n，112427. A . 2 uuu|OA|已知A.3 B . uuu,|OB| .3 ,OA?O B =0 , AOCD . 8uuur 30o ,设OC uuu uuu mOA nOB (m, nR),则D. 28.如图， 其中45°直角三角板的斜边与 所对的直角边重合.若 x , y 等于B x 3, y 1B. 345°直角三角板和 30°直角三角板拼在一起， 直角三角板的 30°角 uuur y DA , uu u DB 30° uuu r DC 则A. C. x 2, y . 3 二、填空题 1. 若向量 a , b 满足 2. 3. 4. 5. 6. 7.8. 答案 .7 设向量 答案 1 3,y 3 3,y 1 3 1,b 2且a 与b 的夹角为—, 3 a (1,2), (2,3)，若向量 a b 与向量c (4, 7)共线，则已知向量a 与b 的夹角为120°，且a b 4，那么 b (2a b)的值为答案 0 已知平面向量a (2,4) , b ( 1,2).答案 8,2b 的夹角为120 ,答案设向量 答案若向量 答案若向量 答案uuuAB60若 c a (a 则5a bb)b , 则|C|uu ur 2, ACuuu uur3, AB AC | J 19,则r r aba 与b 的夹角为60 , 1，则 a? a bCABa,b 满足2,(a b) a ，则向量a 与b 的夹角等于uuu UULT LUU LUT UJU9. O 为平面上定点，A, B, C 是平面上不共线的三若 (OB OC ) •OB OC 2OA)=0,贝U ABC 的形状是 __________________________ .等腰三角形答案 -2510.不共线的向量m^ , m 2的模都为2,若a3m i2m 2 , b 2mi 3m 2 ,则两向量a b 与a b 的夹角为 _________________ 90 ° 11 •定义一种运算 S a b ，在框图所表达的算法中揭示了这种运算“”的含义•那么，按照运算 “”的含义，计算 tan 15o tan300 tan300 tan 15o _________ 1 ___r r12、 已知向量 a (cos15o ,sin150), b ( sin 150, cos1S),贝y a b 的值为 ________ . 答案113、 已知 Rt △ ABC 的斜边BC=5 ,则 AB BC BC CA CA AB 的值等于y 轴平行的单位向量，若直角三角形ABC 中,uur r AB ir uuur r rj , AC 2i mj ,则实数 m=答案 —2或0三、解答题rr r r r r1、已知ia 4,|b| 3,(2a — 3b) (2a b) 61 ,r rr r(1 )求 a b 的值；求a 与b 的夹(3)求b 的值;r r r r 心解：(1)由(2a —3b) (2a b) 61 得4a r r 「2「2又由 k 4,|b| 3得 a 16, 9代入上式得64 4a b 2761 a br rr3b14.在直角坐标系xOy 中,i[j 分别是与x 轴,艸(13|fr!=4・得卜2・｛妨=』_虛讪一&r5 52’uuuruur uur(2, 4)，在向量OC 上是否存在点P ，使得PA PB ，若存在，求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由。
完整版)必修四平面向量基础练习题
完整版)必修四平面向量基础练习题1.下列向量中，与向量c=(2,3)不共线的一个向量p=（ 1，2，3 ）是（）解析：计算向量c和每个选项向量的叉积，如果结果不为零向量，则该选项向量与c不共线。
计算可得，选项A的叉积结果为(0,0,1)，B为(3,-3,1)，C为(6,-6,0)，D为(3,-1,-3)，因此选项C与c不共线。
答案：C2.已知正六边形ABCDEF，在下列表达式①BC+CD+EC；②2BC+DC；③FE+ED；④2ED-FA中，与AC等价的有（）解析：由于正六边形对称性，可以通过观察图形得出BC=CD=EC=AB，DC=FE，ED=AD，FA=BC。
因此，①可以化为3AB，②可以化为3AB，③可以化为2AD，④可以化为2AD。
因此，与AC等价的表达式有①和②，共2个。
答案：B3.如图，△ABC的AB边长为2，P，Q分别是AC，BC中点，记AB·AP+BA·BQ=m，AB·AQ+BA·BP=n，则（）解析：由于P和Q分别是AC和BC的中点，因此AP=BQ=1，AQ=BP=2.代入原式得2m=5，2n=8，因此m=5/2，n=4.答案：选项不确定4.若向量BA=(2,3)，CA=(4,7)，则BC=( )解析：由于BC=BA+AC，因此BC=(2,3)+(4,7)=(6,10)。
答案：C5.已知a、b是两个单位向量，下列四个命题中正确的是( )解析：选项A错误，因为两个向量相等必须在大小和方向上都相等；选项B错误，因为两个向量平行不一定代表它们相等；选项C正确，因为两个单位向量的点积等于它们的夹角的余弦，而余弦为1时，夹角为0度，即两个向量重合；选项D错误，因为两个向量为单位向量时，它们的模长都为1，因此不可能有一个向量等于另一个向量的长度。
答案：C6.如图，正方形ABCD中，点E是DC的中点，）解析：连接AE和BF，可得AE=BF=√2/2，因此CE=CD-DE=AB-DE=√2-1.由于.答案：(√2-1)/37.设M是平行四边形ABCD的对角线的交点，O为任意一点，则OA+OB+OC+OD=（）解析：平行四边形的对角线互相平分，因此OM=1/2(AB+CD)，ON=1/2(BC+AD)。
2020年高中数学必修4 平面向量 同步基础练习(含答案)
2020年高中数学必修4 平面向量同步基础练习一、选择题1.已知平面向量a与b的夹角为，且∣b∣=1,∣a+2b∣=2，则∣a∣（）A． B． C． D．2.若向量（）A.2B.4C.12D.3.已知向量a,b满足，且则向量a与b的夹角的余弦值为( )A. B. C. D.4.已知向量a，b满足=5，且，则向量a与b的夹角为（）A. B. C. D.5.若|，且(a-b)⊥a，则a与b的夹角是（）A． B． C． D．6.已知非零向量a，b的夹角为60°，且∣b∣=1,∣2a-b∣=1，则∣a∣=（）A. 0.5B. 1C.D.27.已知向量a=(3,-1),b=(-1,2),c=(2,1)，若a=xb+yc(x,y∈R),则x+y=（）A.2B.1C.0D.0.58.已知向量a=(1,2),a-b=(4,5),c=(x,3)，若(2a+b)//c，则x=( )A.-1B.-2C.-3D.-49.已知向量a=(-2,0),a-b=(-3,-1)，则下列结论正确的是（）A.a ∙b=2B.a//bC.|a|=|b|D.b ⊥(a+b) 10.已知向量，，若，则实数等于（ ）A.-4B.4C.-2D.2 11.已知在平面直角坐标系中，A(1,2)，B(λ,-1)，若，则（ ）A.B.3C.D.6512.设向量若，则λ+x 的值为（ ）A.-5.5B.5.5C.-14.5D.14.513.已知|a|=|b|=1，a ⊥b ，(2a ＋3b)⊥(ka －4b)，则k 等于( )A.－6B.6C.3D.－314.若非零向量a 、b 满足|a|=322|b|，且(a －b)⊥(3a ＋2b)，则a 与b 的夹角为( )A.π4B.π2C.3π4 D.π15.若向量a 、b 满足：|a|=1，(a ＋b)⊥a ，(2a ＋b)⊥b ，则|b|=( )A.2B.2C.1D.2216.若向量a 与b 的夹角为60°，|b|=4，且(a ＋2b)·(a －3b)=－72，则a 的模为( )A.2B.4C.6D.1217.|a|=1，|b|=2，c=a ＋b 且c ⊥a ，则a 与b 的夹角为( )A.30°B.60°C.120°D.150° 18.设向量a,b 满足|a|=1,|a-b|=3,a ·(a-b)=0,则|2a+b|=( )A.2B.23C.4D.43 二、填空题19.已知向量a 与b 的夹角为120°，∣a ∣=2，∣b ∣=1，则∣a-2b ∣=________.20.若向量a 与b 互相垂直，且∣a ∣=1，∣b ∣=2，则∣a+2b ∣=__________．21. (AB →＋MB →)＋(BO →＋BC →)＋OM →化简后等于________.22.给出下列命题：①若OD →＋OE →=OM →，则OM →－OE →=OD →； ②若OD →＋OE →=OM →，则OM →＋DO →=OE →；③若OD →＋OE →=OM →，则OD →－EO →=OM →； ④若OD →＋OE →=OM →，则DO →＋EO →=MO →.其中所有正确命题的序号为________.23.已知D,E,F分别为△ABC的边BC,CA,AB的中点,且BC=a,CA=b,给出下列命题:①AD=-b;②BE=a+③CF=-④AD+BE+CF=0.其中正确命题的个数为.24.已知向量a=(1,2)，b=(－3,2)，若ka＋b与b平行，则k= .25.已知向量a=(2,3)，b=(-1,2)，若μa+b与a-2b平行，则μ等于__________.26.已知向量a、b的夹角为45°，且|a|=1，|2a－b|=10，则|b|=________.三、解答题27.已知a，b的夹角为120°，且|a|=4，|b|=2，求：（1）(a－2b)·(a＋b)；（2）|a＋b|；（3）|3a－4b|．28.已知∣a|=∣b∣=2,(2a+b)(a-2b)=-3.(1)求a与b的夹角θ;(2)求∣2a+b∣.29.已知向量a=(2,3),b=(-1,2).（1）求(a-b)(a+2b)；（2）若向量a+λb 与2a-b 平行，求λ的值.30.已知向量|a|=1，|b|=2.(1)若a 与b 的夹角为π3，求|a ＋2b|；(2)若(2a －b)·(3a ＋b)=3，求a 与b 的夹角.参考答案1.答案为：B2.答案为：A3.答案为：C4.答案为：C5.答案为：B6.答案为：A7.答案为：C；8.答案为：C；9.答案为：D；10.答案为：C11.答案为：C12.答案为：C13.答案为：B；解析：(2a＋3b)·(ka－4b)=0，2k|a|2－8a·b＋3ka·b－12|b|2=0.∵|a|=|b|=1，a·b=0，∴2k－12=0，k=6.14.答案为：A；15.答案为：B；解析：本题考查了平面向量的数量积的运算，由已知(2a＋b)·b=0，即2a·b＋b·b=0，(a＋b)·a=0，所以|a|2＋a·b=0,2a·b＋|b|2=0，又|a|=1所以|b|=2.16.答案为：C；解析：∵(a＋2b)·(a－3b)=a2－a·b－6b2=|a|2－|a|·|b|cos 60°－6|b|2=|a|2－2|a|－96=－72，∴|a|2－2|a|－24=0，∴|a|=6.17.答案为：C；解析：c⊥a，设a与b的夹角为θ，则(a＋b)·a=0，所以a2＋a·b=0，所以a2＋|a||b|cos θ=0，则1＋2cos θ=0，所以cos θ=－0.5，所以θ=120°.故选C.18.答案为：B；解析：由a ·(a-b)=0,可得a ·b=a 2=1,由|a-b|=3,可得(a-b)2=3,即a 2-2a ·b+b 2=3,解得b 2=4.故(2a+b)2=4a 2+4a ·b+b 2=12,所以|2a+b|=23.19.答案为：.20.答案为：错误!未找到引用源。
呼和浩特市必修四第二章《平面向量》测试卷(有答案解析)
一、选择题1．已知向量a 、b 满足||||2a b a b ==⋅=，若,,1x y R x y ∈+=，则1|(1)|2x a xb ya y b ⎛⎫-+++- ⎪⎝⎭的最小值为（ ）A ．1B ．3C ．7D ．32．如图，B 是AC 的中点，2BE OB =，P 是平行四边形BCDE 内（含边界）的一点，且(),OP xOA yOB x y R =+∈，则下列结论正确的个数为（ ）①当0x =时，[]2,3y ∈②当P 是线段CE 的中点时，12x =-，52y =③若x y +为定值1，则在平面直角坐标系中，点P 的轨迹是一条线段 ④x y -的最大值为1- A ．1B ．2C ．3D ．43．已知平面向量a 与b 的夹角为23π，若(3,1)a =-，2213a b -=，则b （ ） A ．3B ．4C 3D ．24．若向量a ，b 满足|a 10 ，b =（﹣2，1），a •b =5，则a 与b 的夹角为（ ） A ．90°B ．60°C ．45°D ．30°5．在ABC ∆中，5,6AB AC ==，若2B C =，则向量BC 在BA 上的投影是（ ） A ．75-B ．77125-C ．77125D ．756．已知(),0A a ,()0,C c ,2AC =,1BC =,0AC BC ⋅=,O 为坐标原点,则OB 的取值范围是（ ） A ．(21⎤⎦B ．(21⎤⎦ C ．221⎡⎤⎣⎦D ．)21,+∞7．在△ABC 中，M 是BC 的中点．若AB ＝a ，BC ＝b ，则AM ＝( )A ．1()2a b + B ．1()2a b - C ．12a b + D ．12a b +8．已知向量()a 1,2=，()b x,2=-，且a b ⊥，则a b +等于（ ）． A ．5B ．5C ．42D ．319．如图，正方形ABCD 的边长为6，点E ，F 分别在边AD ，BC 上，且2DE AE =，2CF BF =．若有(7,16)λ∈，则在正方形的四条边上，使得PE PF λ=成立的点P 有（ ）个．A ．2B ．4C ．6D ．010．已知a ，b 为单位向量，2a b a b +=-，则a 在a b +上的投影为（ ）A ．13B ．26-C ．6 D ．2211．已知向量(cos ,sin )a θθ=，向量(3,1)b =-，则2a b -的最大值，最小值分别是（ ） A ．42，0B ．4，42C ．16，0D ．4，012．如图，已知点D 为ABC 的边BC 上一点，3BD DC =，*()∈n E n N 为AC 边的一列点，满足11(32)4n n n n n E A a E B a E D +=-+，其中实数列{}n a 中，10,1n a a >=，，则{}n a 的通项公式为（ ）A ．1321n -⋅-B ．21n -C ．32n -D ．1231n -⋅-二、填空题13．如图，已知四边形ABCD ，AD CD ⊥，AC BC ⊥，E 是AB 的中点，1CE =，若//AD CE ，则AC BD ⋅的最小值为___________.14．如图，在ABC 中，D 是BC 的中点，E 在边AB 上，且2BE EA =，若3AB AC AD EC ⋅=⋅，则ABAC的值为___________.15．如图所示，已知AOB ，点C 是点B 关于点A 的对称点，2OD DB =，DC 和OA 交于点E ，若OE OA λ=，则实数λ的值为_______．16．在△ABC 中，D 为BC 中点，直线AB 上的点M 满足：32(33)()AM AD AC R λλλ=+-∈，则AM MB=__________．17．已知圆22:1O x y +=，A 点为圆上第一象限内的一个动点，将OA 逆时针旋转90°得OB ，又1,0P ，则PA PB ⋅的取值范围为________．18．在AOB 中，已知1OA =，3OB =2AOB π∠=.若点C ，D 满足971616OC OA OB =-+，()12CD CO CB =⋅+，则CD CO ⋅的值为_______________. 19．已知(2,1)a =，(3,4)b =，则a 在b 的方向上的投影为________．20．已知平面单位向量a ，b 满足1a b -≤．设向量2a b +与向量2a b -的夹角为θ，则cos θ的最大值为______． 三、解答题21．平面内给定三个向量(3,2),(1,2),(4,1)a b c ==-=.（1）求32a b c +-；（2）求满足a mb nc =+的实数m 和n ； （3）若()(2)a kc b a +⊥-，求实数k .22．三角形ABC 中，D 为BC 上一点，2BD DC =，设AD a =，AC b =，可以用a ，b 来表示出AD ，方法如下：方法一：23AD AB A D BC B B ==++，∵BC AC AB =-，∴21212()33333AD AB AC AB AB AC a b =+-=+=+. 方法二：13AC CD AC AD CB =+=+，∵CB AB AC =-，∴11212()33333AD AC AB AC AB AC a b =+-=+=+. 方法三：如图所示，过点D 作AC 的平行线，交AB 于点E ，过点D 作AB 的平行线，交AC 于点F ，则四边形AEDF 为平行四边形.∵//DF AB 且2BD DC =，∴13FD CD AB CB ==，13FD AE AB ==.∵//ED AC ，2BD DC =.∴23ED BD AC BC ==，得23ED AF AC ==.∴12123333AD AE ED AE AF AB AC a b =+=+=+=+. 请参照上述方法之一(用其他方法也可)，解决下列问题：（1）三角形ABC 中，D 为BC 的中点，设AB a =，AC b =，试用a ，b 表示出AD ；（2）设D 为直线BC 上任意一点(除B ､C 两点)，BD kDC =.点A 为直线BC 外任意一点，AB a =，AC b =，证明：存在唯一实数对λ，μ，使得：AD a b λμ=+，且1λμ+=.23．解答下列问题：（1）求平行于直线3x+4y- 2=0,且与它的距离是1的直线方程； （2）求垂直于直线x+3y -5=0且与点P( -1,0)310的直线方程.24．如图，在正方形ABCD 中，点E 是BC 边上中点，点F 在边CD 上．（1）若点F 是CD 上靠近C 的三等分点，设EF AB AD λμ=+，求λ+μ的值． （2）若AB ＝2，当AE BF ⋅=1时，求DF 的长．25．如图，在OAB 中，P 为线段AB 上一点，且OP xOA yOB =+.()1若AP PB =，求x ，y 的值；()2若3AP PB =，4OA =，2OB =，且OA 与OB 的夹角为60︒，求OP AB ⋅的值.26．已知向量()1,1,3,(0)2u sin x v sin x cos x ωωωω⎛⎫=-=+> ⎪⎝⎭且函数()f x u v =⋅,若函数f (x )的图象上两个相邻的对称轴距离为2π. (1)求函数f (x )的解析式; (2)将函数y =f (x )的图象向左平移12π个单位后,得到函数y =g (x )的图象,求函数g (x )的表达式并其对称轴;(3)若方程f (x )=m (m >0)在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,有两个不同实数根x 1,x 2,求实数m 的取值范围,并求出x 1+x 2的值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C利用已知条件求出向量a 、b 的夹角，建立直角坐标系把所求问题转化为解析几何问题. 【详解】设a 、b 所成角为θ， 由||||2==a b ，2a b ，则1cos 2θ=，因为0θπ≤≤ 所以3πθ=，记a OA =，b OB =,以OA 所在的直线为x 轴，以过O 点垂直于OA 的直线为y 轴， 建立平面直角坐标系，则()2,0A ，(B ，所以()2,0a OA ==，(1,b OB ==，()(1)2x a xb x -+=-，所以((1)2x a xb x -+=-=表示点()P x 与点()2,0A 两点间的距离， 由,,1x y R x y ∈+=113222ya y b y x ⎛⎫⎛⎛⎫+-=+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以12ya y b x ⎛⎫⎛+-=- ⎪ ⎝⎭表示点()P x 与点32Q ⎛ ⎝⎭两点间的距离， ∴1|(1)|2x a xb ya y b ⎛⎫-+++- ⎪⎝⎭的最小值转化为P 到,A Q 两点的距离和最小，()P x 在直线y =上，()2,0A 关于直线y =的对称点为(R -，PQ PA ∴+的最小值为QR ==【点睛】关键点点睛：本题考查了向量模的坐标运算以及模转化为两点之间距离的转化思想，解题的关键是将向量的模转化为点(),3P x x 到()2,0A 、33,2Q ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭两点间的距离，考查了运算求解能力.2．C解析：C 【分析】利用向量共线的充要条件判断出①错，③正确；利用向量的运算法则求出OP ，求出x ，y 判断出②正确,利用三点共线解得④正确 【详解】当0x =时，OP yOB =，则P 在线段BE 上，故13y ≤≤，故①错 当P 是线段CE 的中点时，13()2OP OE EP OB EB BC =+=++ ()11153(2)32222OB OB AB OB OB OB OA OA OB =+-+=-+-=-+，故②对x y +为定值1时，A ，B ，P 三点共线，又P 是平行四边形BCDE 内（含边界）的一点，故P 的轨迹是线段，故③对如图，过P 作//PM AO ，交OE 于M ，作//PN OE ，交AO 的延长线于N ， 则：OP ON OM =+；又OP xOA yOB =+；0x ∴≤，1y ≥；由图形看出，当P 与B 重合时：01OP OA OB =⋅+⋅；此时x 取最大值0，y 取最小值1；所以x y -取最大值1-，故④正确 所以选项②③④正确. 故选：C 【点睛】结论点睛：若OC xOA yOB =+，则,,A B C 三点共线1x y ⇔+=.3．A解析：A分析：根据题设条件2213a b -=，平方化简，得到关于b 的方程，即可求解结果. 详解：由题意，(3,1)a =-且向量a 与b 的夹角为23π， 由2213a b -=，则222222444442cos523a ba b a b b b π-=+-⋅=+-⨯=， 整理得2120b b +-=，解得3b =，故选A.点睛：本题主要考查了向量的运算问题，其中熟记平面向量的数量积的运算公式，以及向量的模的计算公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.4．C解析：C 【详解】由题意可得2(2)b =-=,所以cos ,252a b a b a b ⋅===⋅,又因为,[0,180]<>∈a b ,所以,45<>=a b ,选C. 5．B解析：B 【解析】 由正弦定理得，653cos sin sin sin 2sin 5AC AB C B C C C =⇒=⇒=,由余弦定理得，22211cos 25BC AC AB C BC AC BC +-=⇒=⋅,则77cos 125BC θ=- ，故选B. 6．C解析：C 【分析】法一：将A ,C 视为定点,根据A 、C 分别在 x 轴、y 轴上,得到垂直关系, O 是AC 为直径的圆上的动点,AC 的中点为圆心M ,根据圆心M 和BO 的位置关系即可得取值范围.法二：设B 的坐标,根据2AC =,1BC =得到224a c +=,()221x y c +-=,整理式子至()222251x a y x y ax cy -+=⇒+=++,利用均值不等式得出OB d ==,则212d d -≤即可算出距离的取值范围.【详解】解：法一：将A ,C 视为定点,OA OC ⊥,O 视为以AC 为直径的圆上的动点,AC 的中点为M ,当BO 过圆心M ,且O 在B ,M 之间时,OB 1,O 在BM 的延长线上时,OB 1．法二：设(),B x y ,则224a c +=,()221x y c +-=,()222251x a y x y ax cy -+=⇒+=++,即221ax cy x y +=+-,ax cy +≤=,取等号条件：ay cx =,令OB d ==,则22112{210d d d d d ≥-≤⇔--≤或201{210d d d <<⇔+-≥,解得11d ≤≤．故选:C 【点睛】本题考查向量的坐标运算和圆的基本性质,综合性强,属于中档题.7．D解析：D 【分析】根据向量的加法的几何意义即可求得结果. 【详解】在ABC ∆中，M 是BC 的中点， 又,AB a BC b ==， 所以1122AM AB BM AB BC a b =+=+=+， 故选D. 【点睛】该题考查的是有关向量的问题，涉及到的知识点有向量的加法运算，属于简单题目.8．B解析：B 【分析】由向量垂直可得0a b ⋅=，求得x ，及向量b 的坐标表示，再利用向量加法的坐标运算和向量模的坐标运算可求得模. 【详解】由a b ⊥，可得0a b ⋅=，代入坐标运算可得x-4=0，解得x=4,所以a b + ()5,0=，得a b +=5，选B.【点睛】求向量的模的方法：一是利用坐标()22,a x y a x y =⇒=+，二是利用性质2a a =，结合向量数量积求解. 9．B【分析】建立坐标系，逐段分析·PE PF 的取值范围及对应的解． 【详解】以DC 为x 轴，以DA 为y 轴建立平面直角坐标系，如图，则()()0,4,6,4E F ，（1）若P 在CD 上，设(,0),06P x x ≤≤，(,4),(6,4)PE x PF x ∴=-=-，2616PE PF x x ∴⋅=-+，[0,6],716x PE PF ∈∴≤⋅≤， ∴当=7λ时有一解，当716λ<≤时有两解；（2）若P 在AD 上，设(0,),06P y y <≤，(0,4),(6,4)PE y PF y ∴=-=-，22(4)816PE PF y y y ∴⋅=-=-+， 06,016y PE PF <≤∴⋅<，∴当=0λ或4<<16λ时有一解，当716λ<≤时有两解； （3）若P 在AB 上，设(,6),06P x x <≤，(,2),(6,2)PE x PF x =--=--，264PE PF x x ∴⋅=-+，06,54x PE PF <≤∴-≤⋅≤，∴当5λ=-或4λ=时有一解，当54λ-<<时有两解；（4）若P 在BC 上，设(6,),06P y y <<，(6,4),(0,4)PE y PF y ∴=--=-， 22(4)816PE PF y y y ∴⋅=-=-+，06y <<，016PE PF ∴⋅<，∴当0λ=或416λ≤<时有一解，当04λ<<时有两解，综上可知当(7,16)λ∈时，有且只有4个不同的点P 使得PE PF λ⋅=成立. 故选：B. 【点睛】本题主要考查平面向量数量积的运算，二次函数的根的个数判断，属于中档题．10．C解析：C 【分析】由题意结合平面向量数量积的运算可得13a b ⋅=，进而可得()b a a +⋅、a b +，代入投影表达式即可得解. 【详解】因为a ，b 为单位向量，所以1==a b ， 又2a b a b +=-，所以()()222a ba b +=-所以22222242a a b b a a b b +⋅+=-⋅+，即121242a b a b +⋅+=-⋅+， 所以13a b ⋅=，则()2263a b a b +=+=，()243a a b a a b ⋅+=+⋅=，所以a 在a b +上的投影为()4326a a ba b⋅+==+ 故选：C. 【点睛】本题考查了平面向量数量积的应用，考查了一个向量在另一个向量上投影的求解，属于中档题.11．D解析：D 【分析】利用向量的坐标运算得到|2|a b -用θ的三角函数表示化简求最值． 【详解】解：向量()a cos sin θθ=，，向量()31b =-，，则2a b -=（2cosθ2sinθ+1），所以|2|a b -2＝（2cosθ2+（2sinθ+1）2＝8﹣＝8﹣8sin （3πθ-），所以|2|a b -2的最大值，最小值分别是：16，0； 所以|2|a b -的最大值，最小值分别是4，0；【点睛】本题考查了向量的坐标运算以及三角函数解析式的化简；利用了两角差的正弦公式以及正弦函数的有界性．12．D解析：D 【分析】以BA 和BC 为基底，表示n BE ，根据n E ，A ，C 三点共线，可得1193331442+-++=++n n n a a a ，构造等比数列，即可求出通项公式. 【详解】113(32),44+=-+=-=-n n n n n n n n E A a E B a E D E D BD BE BC BE , 113(32)()44n n n n n E A a E B a BC BE +∴=-+- 113(32)(32)44n n n n a a E B a BC +=---+ 又=-n n E A BA BE113(32)(32=)44+∴---+-n n n n n a a E B a BC BA BE113(33)(32)44+-∴++=++n n n n a a BE a BC BA因为n E ，A ，C 三点共线113(33)1(32)44+-++=++∴n n n a a a ，即1=32++n n a a ，即1+1=3(1)++n n a a ，所以数列{1}n a +是等比数列，首项为2，公比为3．1+1=23-∴⋅n n a ，即1=23-1-⋅n n a ， 故选：D ． 【点睛】本题考查了平面向量基本定理和等比数列的通项公式，考查了运算求解能力和逻辑推理能力，属于中档题.二、填空题13．【分析】令结合题中已知条件得出通过根据数量积的概念以及二次函数的性质可得结果【详解】令因为所以又因为是的中点所以故可得所以当时取得最小值故答案为：【点睛】关键点点睛：将表示成根据几何关系将所需量用表 解析：1-令ACD θ∠=，结合题中已知条件得出2CAD πθ∠=-，2CAB πθ∠=-，2sin AC θ=，22sin AD θ=，通过()AC BD AC BA AD ⋅=⋅+，根据数量积的概念以及二次函数的性质可得结果. 【详解】令ACD θ∠=，因为AD CD ⊥，AC BC ⊥，//AD CE ， 所以BCE θ∠=，2ACE CAD πθ∠=∠=-，又因为E 是AB 的中点，1CE =，所以2AB =，1CE =，CBA θ∠=，2CAB πθ∠=-，故可得2sin AC θ=，22sin AD θ=，所以()AC BD AC BA AD AC BA AC AD ⋅=⋅+=⋅+⋅2222sin 2cos 2sin 2sin cos 4sin 4sin 22ππθπθθθθθθ⎛⎫⎛⎫=⨯⨯-++⨯⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2214sin 12θ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，当21sin 2θ=时，AC BD ⋅取得最小值1-，故答案为：1-. 【点睛】关键点点睛：将BD 表示成BA AD +，根据几何关系将所需量用θ表示，将最后结果表示为关于θ的函数.14．【分析】将作为平面向量的一组基底再根据平面向量基本定理用表示出再由即可得出结论【详解】因为在中D 是的中点E 在边上且所以又所以即所以故答案为：【分析】将AB AC 、作为平面向量的一组基底，再根据平面向量基本定理用AB AC 、表示出AD EC ⋅，再由3AB AC AD EC ⋅=⋅即可得出结论.【详解】因为在ABC 中，D 是BC 的中点，E 在边AB 上，且2BE EA =， 所以111()()()223AD EC AB AC AC AE AB AC AC AB ⎛⎫⋅=+⋅-=+⋅-= ⎪⎝⎭22111263AC AB AB AC -+⋅, 又3AB AC AD EC ⋅=⋅，所以2211026AC AB -=，即||3AB AC =，所以=3ABAC. 故答案为：315．【分析】设可得又因为即可求解【详解】如图所示：设由于所以由于点是点关于点的对称点则为中点所以得所以由于又因为得故答案为：【点睛】(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法解析：45【分析】设,OA a OB b ==，可得523DC a b =-，()2EC a b λ=--，又因为//EC DC ，即可求解λ． 【详解】 如图所示：设,OA a OB b ==，由于2OD DB =，所以23OD b =， 由于点C 是点B 关于点A 的对称点，则A 为BC 中点， 所以()12OA OB OC =+，得2OC a b =- 所以523DC OC OD a b =-=-由于()2EC OC OE a b λ=-=-- ，又因为//EC DC21523λ-=得45λ= ． 故答案为：45【点睛】(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．16．1【解析】设∵D 为BC 中点所以可以化为3x=λ（）+（3-3λ）化简为（3x-λ）=（3-2λ）只有3x-λ=3-2λ=0时（3x-λ）=（3-2λ）才成立所以λ=x=所以则M 为AB 的中点故答案为1解析：1 【解析】设 AM AB λ=，∵D 为BC 中点，所以12AD AB AC （）=+,() 3233AM AD AC λλ=+- 可以化为3x AB =λ（AB AC +）+（3-3λ）AC ，化简为（3x-λ）AB =（3-2λ）AC ，只有3x-λ=3-2λ=0时，（3x-λ）AB =（3-2λ）AC 才成立，所以λ=32，x=12所以12AM AB =，则M 为AB 的中点 故答案为1点睛：本题考查向量的基本定理基本定理及其意义，考查向量加法的三角形法则，考查数形结合思想，直线AB 上的点M 可设成 AM AB λ=，D 为BC 中点可得出12AD AB AC （）=+，代入已知条件整理可得.17．【分析】由题意可设即有结合应用数量积的坐标公式即可求的取值范围；【详解】由题意设则即有∴而即∴故答案为：【点睛】本题考查了向量数量积的坐标表示结合坐标的三角表示正弦函数的区间值域求数量积的范围； 解析：()0,2【分析】由题意可设(cos ,sin )A αα，02πα<<，即有(sin ,cos )B αα-，结合1,0P 应用数量积的坐标公式即可求PA PB ⋅的取值范围； 【详解】由题意，设(cos ,sin )A αα，02πα<<，则(sin ,cos )B αα-，即有(cos 1,sin )PA αα-，(sin 1,cos )PB αα--，∴(cos 1)(sin 1)sin cos sin cos 12)14PA PB πααααααα⋅=---+=-+=-+，而(,)444πππα-∈-，即2sin()(0,42πα-∈， ∴(0,2)PA PB ⋅∈， 故答案为：()0,2 【点睛】本题考查了向量数量积的坐标表示，结合坐标的三角表示、正弦函数的区间值域求数量积的范围；18．【分析】以为基底向量表示再由数量积的运算律定义计算即可【详解】∵∴D 为OB 的中点从而∴∵∴∴故答案为：【点睛】本题考查平面向量的数量积需要根据题意确定基底向量再根据平面向量基本定理表示所求的向量数量解析：1564【分析】以,OA OB 为基底向量表示CD CO ，，再由数量积的运算律、定义计算即可． 【详解】 ∵1()2CD CO CB =+，∴D 为OB 的中点，从而12OD OB =，∴97191161621616CD CO OD OA OB OB OA OB =+=-+=+ ∵1OA =，3OB =2AOB π∠=，∴0OA OB ⋅=∴9197()()16161616CD CO OA OB OA OB ⋅=+⋅-221(817)256OA OB =-1(8173)256=-⨯1564=. 故答案为：1564． 【点睛】本题考查平面向量的数量积，需要根据题意确定基底向量，再根据平面向量基本定理表示所求的向量数量积，进而根据数量积公式求解．属于中档题.19．2【分析】根据向量在的方向上的投影为结合向量的数量积的坐标运算和模的计算公式即可求解【详解】由题意向量可得则在的方向上的投影为故答案为：【点睛】本题主要考查了平面向量数量积的坐标运算和模计算公式的应解析：2 【分析】根据向量a 在b 的方向上的投影为a b b⋅，结合向量的数量积的坐标运算和模的计算公式，即可求解. 【详解】由题意，向量(2,1)a =，(3,4)b =，可得231410a b ⋅=⨯+⨯=，2345b =+=， 则a 在b 的方向上的投影为1025ab b⋅==. 故答案为：2. 【点睛】本题主要考查了平面向量数量积的坐标运算和模计算公式的应用，以及向量的投影的概念与计算，其中解答熟记平面向量的数量积、模及投影的计算公式是解答的关键，着重考查推理与运算能力.20．【分析】设的夹角为由题可得则可化简得出即可求出最值【详解】是单位向量设的夹角为则由可得即可得则当时取得最大值为故答案为：【点睛】本题考查数量积的运算律解题的关键是先得出的夹角为满足的再将所求化为可求 解析：14-【分析】设,a b 的夹角为α，由题可得1cos 2α≥，则可化简得出cos θ=-求出最值. 【详解】,a b 是单位向量，1a b ∴==，设,a b 的夹角为α，则由1a b -≤可得21a b -≤，即222cos 1aa b b α-⋅⋅+≤，可得1cos 2α≥， 则()()22222222cos 224444a b ab a b a ba ab ba ab bθ+⋅-==+⋅-+⋅+⋅-⋅+==-=- 当1cos 2α=时，cos θ取得最大值为14-. 故答案为：. 【点睛】本题考查数量积的运算律，解题的关键是先得出,a b 的夹角为α满足的1cos 2α≥，再将所求化为cos θ=-. 三、解答题21．（1）6；（2）58,99m n ==；（3）1118k =-.【分析】（1）利用向量加法的坐标运算得到()320,6a b c +-=，再求模长即可；（2）先写mb nc +的坐标，再根据a mb nc =+使对应横纵坐标相等列方程组，解方程组即得结果；（3）利用向量垂直则数量积为零，再利用数量积的坐标运算列关系求出参数即可. 【详解】解：（1）由(3,2),(1,2),(4,1)a b c ==-=，得3(9,6),(1,2),2(8,2)a b c ==-=∴()()32918,6220,6a b c +-=--+-=，∴23206a b c +-=+=；（2）()(),2,4,mb m m nc n n =-=， ∴()4,2mb nc n m m n +=-+，a mb nc =+，∴()4,2(3,2)a n m m n ==-+，故4322n m m n -=⎧⎨+=⎩，解得58,99m n ==；（3）(3,2),(4,)a kc k k ==，∴()34,2a kc k k +=++，(3,2),2(2,4)a b ==-，∴()25,2b a -=-，()()2a kc b a +⊥-，∴()()20a kc b a +⋅-=，即()()534220k k -+++=，解得1118k =-. 【点睛】 结论点睛：若()()1122,,,a x y b x y == ，则//a b 等价于12210x y x y -=；a b ⊥等价于12120x x y y +=.22．（1）1122AD a b =+；（2）证明过程见详解. 【分析】（1）根据题干中所给的方法，结合向量的线性运算，可分别求解；（2）根据题干中所给的方法，由向量的线性运算，用a ，b 表示出AD ，即可得出结论成立. 【详解】（1）因为D 为BC 的中点， 方法一：12AD AB BD AB BC =+=+，∵BC AC AB =-， ∴11221)22(221AD AB AC AB AB AC a b =+-=+=+； 方法二：21AC CD AC AD CB =+=+，∵CB AB AC =-，∴111221)2(221AD AC AB AC AB AC a b =+-=+=+； 方法三：如图所示，过点D 作AC 的平行线，交AB 于点E ，过点D 作AB 的平行线，交AC 于点F ，则四边形AEDF 为平行四边形.∵//DF AB 且BD DC =，∴21FD CD AB CB ==，21FD AE AB ==.∵//ED AC ，BD DC =.∴12ED BD AC BC ==，得12ED AF AC ==. ∴11212212AD AE ED AE AF AB AC a b =+=+=+=+； （2）因为D 为直线BC 上任意一点(除B ､C 两点)，BD kDC =，显然1k ≠-； 所以1k BD BC k =+，11CB k CD =+， 方法一：1AD AB BD AB BC kk =+++=，∵BC AC AB =-， ∴1111111()k k k AD AB AC AB AB AC a b k k k k k +++++=+-=+=+； 即存在唯一实数对1k k λ=+，11k μ=+，使得：AD a b λμ=+，且1λμ+=； 方法二：11A AC CD AC CB D k =++=+，∵CB AB AC =-， ∴11111111()k k k k AD AC AB AC A k k B AC a b k ++=+-=+++=++； 即存在唯一实数对11k λ=+，1kk μ=+，使得：AD a b λμ=+，且1λμ+=； 方法三：若点D 位于点B 左侧，如图，过点D 作//DM AB ，过点A 作//AM BC ，交DM 于点M ，则AMDB 为平行四边形，1kAM BD BC k ==+，所以11()AD AB AM AB BC AB k k k k AC AB =++=-+++=111111k k AB AC a b k k k k ++++=+=+； 即存在唯一实数对1k k λ=+，11k μ=+，使得：AD a b λμ=+，且1λμ+=； 若点D 位于点C 右侧，如图，过点D 作//DN AC ，过点A 作//AN BC ，交DN 于点N ，则ANDC 为平行四边形， 11AN CD BC k ==+，因此11A AC AN AC CB D k =++=+111111(1)k k k AB AC AB AB AC a b k k k k k +++=+++-+=+=， 即存在唯一实数对1k k λ=+，11k μ=+，使得：AD a b λμ=+，且1λμ+=； 若点D 位于BC 之间，则0k >；如图所示，过点D 作AC 的平行线，交AB 于点P ，过点D 作AB 的平行线，交AC 于点Q ，则四边形APDQ 为平行四边形.∵//DQ AB 且BD DC =，∴11QD CD AB C k B =+=，11Q k D AP AB =+=， ∵//PD AC ，BD DC =.∴1PD BD AC BC k k =+=，得1k k PD AQ AC =+=. ∴111111AD AP AQ AB AC k k a b k k k k =+=++=++++； 即存在唯一实数对1k k λ=+，11k μ=+，使得：AD a b λμ=+，且1λμ+=； 综上，存在唯一实数对λ，μ，使得：AD a b λμ=+，且1λμ+=.【点睛】思路点睛：利用平面向量的一组基底表示向量时，只需根据向量的线性运算法则，结合平面向量基本定理，逐步求解即可.23．（1）3x+4y+3=0或3x+4y-7=0 (2) 3x-y+9=0或3x-y-3=0【详解】试题分析：（1）将平行线的距离转化为点到线的距离，用点到直线的距离公式求解；（2）由相互垂直设出所求直线方程，然后由点到直线的距离求解.试题解：（1）设所求直线上任意一点P （x ，y ），由题意可得点P 到直线的距离等于1，即34215x y d +-==，∴3x+4y-2=±5，即3x+4y+3=0或3x+4y-7=0．（2）所求直线方程为30x y c -+=，由题意可得点P 到直线的距离等于5，即d ==∴9c =或3c =-，即3x-y+9=0或3x-y-3=0． 考点：1.两条平行直线间的距离公式；2.两直线的平行与垂直关系24．（1）16；（2）32． 【分析】（1）先转化得到13CF AB =-，12EC AD =，再表示出1132EF AB AD =-+，求出λ13=-，μ12=，最后求λ+μ的值； （2）先得到12AE AB AD =+和0AB AD ⋅=，再建立方程421λ-+=求解λ14=，最后求DF 的长.【详解】 （1）∵点E 是BC 边上中点，点F 是CD 上靠近C 的三等分点， ∴1133CF DC AB =-=-，1122EC BC AD ==， ∴1132EF EC CF AB AD =+=-+， ∴λ13=-，μ12=， 故λ+μ111326=-+=. （2）设CF =λCD ，则BF BC CF AD =+=-λAB ， 又12=+=+AE AB BE AB AD ，AB AD ⋅=0， ∴AE BF ⋅=（12AB AD +）•（AD -λAB ）＝﹣λAB 2212AD +=-4λ+2＝1， 故λ14=， ∴DF ＝（1﹣λ）×232=． 【点睛】 本题考查利用向量的运算求参数，是基础题25．()112x y ==；()23-. 【分析】 ()1用OA ，OB 表示出OP ，根据平面向量的基本定理得出x ，y 的值；()2用OA ，OB 表示出OP ，AB ，代入数量积公式计算即可.【详解】解：()1若AP PB =，则OP OA OB OP -=-， 即1122OP OA OB =+，故12x y ==. ()2若3AP PB =，则33OP OA OB OP -=-， 即1344OP OA OB =+， 所以()221311344424OA OB OB OA O OP A OA O B B OB A ⎛⎫+⋅-=--⋅=⋅+ ⎪⎝⎭ 22221131113cos 60442234244224OA OA OB OB -⋅⋅︒+=-⨯-⨯⨯⨯=-+⨯=-. 【点睛】本题考查平面向量的基本定理，考查向量的数量积运算，属于中档题. 26．(1)()26f x sin x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭;(2)()2g x sin x =, 对称轴为,42k x k Z ππ=+∈;(3)112m ≤<,,1223x x π+=. 【分析】(1) 根据向量()1,1,3,(0)2u sin x v sin x cos x ωωωω⎛⎫=-=+> ⎪⎝⎭和函数()f x u v =⋅，利用数量积结合倍角公式和辅助角法得到，()26πω⎛⎫=-⎪⎝⎭f x sin x ，再根据函数f (x )的图象上两个相邻的对称轴距离为2π求解. (2)依据左加右减，将函数y =f (x )的图象向左平移12π个单位后，得到函数()22126g x sin x sin x ππ⎡⎤⎛⎫=+-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，令2,2ππ=+∈x k k Z 求其对称轴. (3)作出函数f (x )在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上图象，根据函数y =f (x )与直线y =m 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个交点求解.再令2,62x k k Z πππ-=+∈，求对称轴.【详解】(1)()()2113322ωωωωωω=+-=+-f x sin x sin x cos x sin x sin xcos x ， 3122226πωωω⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭sin x cos x sin x ∵函数f (x )的图象上两个相邻的对称轴距离为2π， ∴22T π=， ∴2(0)2ππωω=>， ∴ω=1，故函数f (x )的解析式为()sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭; (2)依题意，()22126g x sin x sin x ππ⎡⎤⎛⎫=+-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 令2,2ππ=+∈x k k Z ，则,42ππ=+∈k x k Z ， ∴函数g (x )的对称轴为,42ππ=+∈k x k Z ; (3)∵0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， ∴52,666x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦， ∴12,162sin x π⎛⎫⎡⎤-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 函数f (x )在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的草图如下，依题意，函数y =f (x )与直线y =m 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个交点，则112m ≤<，令2,62x k k Z πππ-=+∈，则,32k x k Z ππ=+∈， ∴函数f (x )在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的对称轴为3x π=，则1223x x π+=. 【点睛】 本题主要考查了平面向量和三角函数，三角函数的图象和性质及其应用，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.。
必修四平面向量基础练习题(最新整理)
18．给出下列结论：①若 a 0 ， a b 0 ，则 b 0 ； ②若 a b b c ，则 a c ；
③
ab
ca
bc
；
④ a b
ac
c
ab
0 ；⑤若
ab
ab
, 则a
b
其中正确的为（ ）
A.②③④
B.①②⑤
C.④⑤
D.③④⑤
19．若 e1 ， e2 是平面内的一组基底，则下列四组向量不能作为平面向量的基底的是（ ）
A．c b B c a c．c//b
D．c∥a
22．若
|
a
b
||
a
b
|
2
|
a
|
，则向量
a
b
与
b
的夹角为（
）
A．
6
B．
3
2
C．
3
5
D．
6
23．平面向量 a 与 b 的夹角为 60°， a 2,0, b 1，则 a 2b （ ）
A． 3
B． 2 3
C．4
D．12
24．若向量 a, b 的夹角为
6．如图，正方形 ABCD 中，点 E 是 DC 的中点，CF:FB=2:1，那么 EF ＝( )．
D. a2 ＝ b2
1 1
A. AB － AD
2
3
1 1 1 1
B. AB ＋ AD C. AB ＋ AD
4
2
3
2
1 2
D. AB － AD
2
3
7．设 M 是平行四边形 ABCD 的对角线的交点，O 为任意一点，则 OA OB OC OD =（ ）
(完整word)高一数学必修四平面向量基础练习题及答案
(0, ),OQ i 。若用 来表示 OP 与 OQ 的夹角，则 等于 （ ） 2
A、
B、
C、
D、
2
2
8、设 0
2 ，已知两个向量 OP1 cos , sin ， OP2 2 sin , 2 cos ，则向
量 P1P2 长度的最大值是（
）
A、 2
二、填空题
B、 3
C、 3 2
D、
9、已知点 A(2 ，0) ，B(4 ，0)，动点 P 在抛物线 y2＝－ 4x 运动，则使 AP BP 取得最小值的点
（）
3 10 10
A、e (
,)
B、 e
3 10 10 3 10
(
, )或 (
,
10 )
10 10
10 10
10 10
C、 e ( 6,2)
D、 e ( 6,2)或(6,2)
3、已知 a (1,2), b ( 3,2), ka b与a 3b垂直时 k 值为
A 、17 B 、 18 C、 19 D、20
（ 2）当 k 2 时，求 | AP BP | 的最大值和最小值、
参考答案
一、选择题 1、 B； 2、 B； 3、 C； 4、 B； 5、D ； 6、 B； 7、 D ；8、 C 二、填空题 9、 (0， 0)
5 10、 m
6
11、 4 三、解答题
12、解：设 A/ （ｘ，ｙ），则有
3x 2 5y 2
| AP BP | 2 x2 y 2 2 5 4cos
∴当 cos 1时， | AP BP | 的最大值为 6 ，当 cos
1时，最小值为 2 。
（）
4、已知向量 OP =(2 ， 1)， 是直线 OP 上的一点 (O 为坐标
基础检测卷必修4第2章平面向量
2020暑期复习基础检测卷必修4第二童平面向量一、选择题(共12小题，每小题5分，满分60分)1 .AB + PC + BA-&的化简结果是( )A . PQB . QPC . BQD . CQ【答案】A【解析】*••云+ PC+BA-QC = AB + PC+(-AB ) +CQ = PC + CQ = PQ； 5^ A .2 .已知向量：=(2, 1)5 = (1, 丄则曲二( )A .B . jC . V5D . 5【答案】C【解析】••向量：=(2,1), b = (1, m ),且;1 b , :2*b =2+m=0 f m= - 2 ,贝|」|刁=Vl + m2=曲，故选C .3 .已知：=(2,73)5=(1,73),贝临在/方向上的投影为( )A.空B上 C.匹 D.27 2 7 2【答案】D【解析】由数量积定义可知，：在/方向上的投影为|a|cos< a.b>=^= 2xl+f xv，1 =扌.故选D .IS 2 24 •如图f在乙ABC中r AD = ^AC r BP = ^PD t若云=久云+ “云，贝!U+p的值为( )【答案】A【解析】••矗=^PD . :.BP = jSD ,又・・•* = AB + BP t :.AP = AB + ^BD tT T T?T T T T〔T T o -> 1 O又.BD = AD-AB = ^AC - AB ,:.AP = AB + 扌BD = AB+^(-AC -AB )= -AB + -AC t :.X= - fp= 7 /则入+P=〃当直角三角形的两为商高定理■〃勾三股四弦五〃，其中勾AC 的长为3 ,点A 在弦BC 上的射 影为点D #则（云-BA ）-AD=（ 36r144)c•-【答案】B【解析】由5 •已知正方形ABCD 的边长为4 ,点E , F 分别为AD , BC 的中点，如果对于常数入，在正方形ABCD的四条边上，有且只有8个不同的点P ，使得丘• PF =久成立，那么入的取值范围是（）A . ( 0,2]B.(0#4) C . ( 0 f 4] D.(0z 2)【答案】B(PE + PF = 2P0 r TT T T【解析】设EF 的中点为O ,贝IJ T T T ,两式平方相减得4PE • PF = 4PO2 - EF2 t 所 (PE -PF =FE t l^PE-PF = PO 2-4=A t gPPO 2 =A + 4t \P0\ = VIT4 ,由对称性可知每个边上存在两个点P ,所以点P 在边的中点和顶点之间, 故2 < VTT4 < 2A /2 ,解得0<入<4・故选B ・5在MBC中AB二2 ,BC二4 zABC=60° AD为BC边上的高Q为AD的中点若矗=AAB + [xBC .则入+p二( )A . -B . -C . -D .-3 3 8 8【答案】D【解析】由已知，如图屆=\AD = + BD) = AB + \mBC ,T T T T T T T又AD 为BC 边上的高z:.AD ・ BC = 0 .又/D = AB + BD = AB + mBC f :.AB ・ BC + mBC2 = 0 r g 卩2x4xcos ( 180°・ 60°) +mx42=0 # 解得m=扌,:.AO = ^AB + ^BC .又矗=AAB + fiBC ,可得入=釘P=扌, .•.入+JJ= |.故选D .6 •如图1是某晶体的阴阳离子单层排列的平面示意图•其阴离子扫洌如图2所示，图2中圆的半径均为1.且相邻的圆都相切，A , B , C , D是其中四个圆的圆心，贝UB^CD =( )B・26D・32A・24 C・28A ・2逅一4B ・ 2A /2C ・4 【答案】B【解析】如图所示，建立以：，鬲一组基底的基向量，其中|刁=\b\ = 1且：，/的夹角为60° ,20xlxlx^=26・故选B ・7・已知向量V ,亍满足恆+ b\ = \a- 2b\ r 其中E 是单位向量，贝畅在E 方向上的投影是()【答案】C【解析】b 是单位向量，・・・|匸| = 1 ,・・逅+ b|=|a -2b| f /. (a+ b ) 2= (a -2b ) 2,T T化简得2a= b 2=l f 即:活=扌f方向上的投影是借=爲故选C •2\b\28・已知BC 是圆O : x?+y2=4的直径，H 为直线x+y 二4上任意点・贝(J 云•运的最小值为( )【答案】C【解析】如图，HB»HC =(HO^OBy(HO^OC).因为BC 为圆O 的直径，所以必=-OB , 贝U 云•况=(HO + OB )^HO+ OC) = (HO + OB XHO-OB ) =\HO\2 ・ |0创2二|矗|2 ・ r 2=\HO\2 -4 ,故要想応•品最小,只需|品|最小,即当OH 垂直x+y 二4时取最小值, 根据条件,|品|最小值=略兽=272 ,故云•応最小值为(2逅)2 - 4二4 ,故选C .2+ 8b 2+ 20a9 •在二ABC中，点D在线段BC上，且页+说=兄鬲，设AB=a,AC = b，下列结论：①A =-;2_ 1 1 ______ 1 1 ________ 1@BD = -b一一a@AD = -a+-b ; @\AD\=-\BC\•其中正确结论的序号为( )2 2 2 2 2A .①③B .②④C .③④D .②③【答案】D'* I 一「・* ・•■' ・・■I •【解析】取AC 中点E f贝yr>E = -(DA + DC) f由D4 + QC = ；IBA 可知，2DE = ABA t即DE II2AB,贝ij D为BC中点，DE = -BA，故眉：1，即①错误；BD = -BC = -b--a，即②正确；2 2 2 2AD = -a + -b^ t即③正确；只有zBAC二90。
高一数学平面向量计算题
高一数学必修四-平面向量计算题2.1 平面向量的实际背景及基本概念1.下列各量中不是向量的是 【 】A .浮力B .风速C .位移D .密度2.下列说法中错误．．的是【 】A .零向量是没有方向的B .零向量的长度为0C .零向量与任一向量平行D .零向量的方向是任意的3.把平面上一切单位向量的始点放在同一点，那么这些向量的终点所构成的图形是【 】A .一条线段B .一段圆弧C .圆上一群孤立点D .一个单位圆4.下列命题：①方向不同的两个向量不可能是共线向量；②长度相等、方向相同的向量是相等向量；③平行且模相等的两个向量是相等向量；④若a ≠b ，则|a |≠|b |. 其中正确命题的个数是 【 】A ．1B ．2C ．3D ．45．下列命题中，正确的是【 】A . 若a b =，则a b =B . 若a b =，则//a bC . 若a b >，则a b >D . 若1a =，则1a =6.在△ABC 中，AB =AC ，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，则【 】A . AB 与AC 共线 B . DE 与CB 共线C . 与相等D . 与相等7.已知非零向量a ∥b ，若非零向量c ∥a ，则c 与b 必定 .8.已知a 、b 是两非零向量，且a 与b 不共线，若非零向量c 与a 共线，则c 与b 必定 . 9.已知|AB |=1，| AC |=2，若∠BAC =60°，则|BC |= . 10.在四边形ABCD 中， =，且||=||，则四边形ABCD是 .2.2.1 向量的加法运算及其几何意义1．设00,a b 分别是与,a b 向的单位向量，则下列结论中正确的是【 】A ．00a b =B ．001a b ⋅= C ．00||||2a b += D ．00||2a b += 2.在平行四边形中ABCD ，,AB AD ==a b ，则用a 、b 表示AC 的是【 】A ．a ＋aB ．b +bC ．0D ．a ＋b3.若a +b +c =0，则a 、b 、c 【 】A .一定可以构成一个三角形；B .一定不可能构成一个三角形；C .都是非零向量时能构成一个三角形；D .都是非零向量时也可能无法构成一个三角形4.一船从某河的一岸驶向另一岸船速为1v ，水速为2v ，已知船可垂直到达对岸则 【 】A <B >C ≤D ≥5.若非零向量，a b 满足+=a b b ，则【 】Ａ.2>2+a a b Ｂ.22<+a a b Ｃ.2>+2b a b Ｄ.22<+b a b6.一艘船从A 点出发以m/h 的速度向垂直于对岸的方向行驶，船的实际航行的速度的大小为4km/h ，求水流的速度7.一艘船距对岸，以/h 的速度向垂直于对岸的方向行驶，到达对岸时，船的实际航程为8km ，求河水的流速8.一艘船从A 点出发以1v 的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为2v ，船的实际航行的速度的大小为4km/h ，方向与水流间的夹角是60 ，求1v 和v9.一艘船以5km/h 的速度在行驶，同时河水的流速为2km/h ，则船的实际航行速度大小最大是km/h ，最小是km/h2.2.2 向量的减法运算及其几何意义1.在△ABC 中， =a ， =b ，则等于【 】A .a +bB .-a +(-b )C .a -bD .b -a 2.下列等式:①a +0=a ②b +a =a +b ③-(-a )=a ④a +(-a )=0 ⑤a +(-b )=a -b 正确的个数是 【 】A .2B .3C .4D .5 3.下列等式中一定能成立的是【 】A . AB +AC =BC B . AB -AC =BC C .AB +AC =CBD .-=4.化简-++的结果等于【 】A .B .C .D .5.如图，在四边形ABCD 中，根据图示填空:a +b = ，b +c = ，c -d = ，a +b +c -d = .6.一艘船从A 点出发以23km/h 的速度向垂直于对岸的方向行驶，而船实际行驶速度的大小为4 km/h ，则河水的流速的大小为 .7.若a 、b 共线且|a +b |＜|a -b |成立，则a 与b 的关系为 .8.在正六边形ABCDEF 中， =m ， =n ，则= .9.已知a 、b 是非零向量，则|a -b |=|a |+|b |时，应满足条件 .10.在五边形ABCDE 中，设=a ， =b ， =c ， =d ，用a 、b 、c 、d 表示.2.2.3 向量数乘运算及其几何意义1．下列命题中正确的是【 】A ．OA OB AB -= B ．0AB BA +=C ．00AB ⋅=D ．AB BC CD AD ++=2．下列命题正确的是【 】A ．单位向量都相等B ．若与是共线向量，与是共线向量，则与是共线向量C ．||||b a b a -=+，则0a b ⋅=D ．若0a 与0b 是单位向量，则001a b ⋅=3. 已知向量,01≠e R ∈λ，+=1e a λb e ,2=21e 若向量a 与b 共线，则下列 关系一定成立是【 】A . 0=λB . 02=eC .1e ∥2eD .1e ∥2e 或0=λ4.对于向量,,a b c 和实数λ ，下列命题中真命题是 【 】A .若0 =⋅b a ，则0a =或0b =B .若0a λ=，则0λ=或0a =C .若22a b =，则a b =或a b =- D .若 c a b a ⋅=⋅，则b c =5.下列命题中，正确的命题是【 】A .a b a +≥且.a b b +≥B .a b a +≥或.a b b +≥C .若,a b c >>则c b b a +>+D .若a 与 b 不平行，则a b a b +>+6.已知ABCD 是平行四边形，O 为平面上任意一点，设,,,OA a OB b OC c OD d ====，则有【 】A .0 =+++d c b aB .0 =-+-d c b aC .0 =--+d c b aD .0 =+--d c b a7.向量a 与 b 都不是零向量，则下列说法中不正确的是【 】A .向量a 与 b 同向，则向量a + b 与a 的方向相同B .向量a 与 b 同向，则向量a + b 与b 的方向相同C .向量a 与 b 反向，且,b a >则向量a + b 与a 同向D .向量a 与 b 反向，且,b a <则向量a + b 与a 同向8.若a 、b 为非零向量，且|a +b |=|a |+|b |，则有【 】A .a ∥b 且a 、b 方向相同B .a =bC .a =－bD .以上都不对9.在四边形ABCD 中，－－等于【 】 A . B . C . D .2.3.1 平面向量基本定理1.若ABCD 是正方形，E 是DC 边的中点，且,AB a AD b ==，则BE 等于【 】A .12b a +B .12b a -C .12a b +D . 12a b - 2. 若O 为平行四边形ABCD 的中心， = 4e 1， = 6e 2，则3e 2－2e 1等于 【 】A .AOB .BOC .COD .3. 已知ABC ∆的三个顶点,,A B C 及平面内一点P ，满足0PA PB PC ++=，若实数λ满AB AC AP λ+=，则λ的值为【 】A .2B .32C .3D .64. 在ABC △中，AB =c ，AC =b .若点D 满足2BD DC =，则AD =【 】 A .2133+b c B .5233-c b C .2133-b c D .1233+b c5. 如右图在平行四边形ABCD 中，=，=，NC AN 3=， M 为BC 的中点，则= 【 】A .a b 2141- B .2141- C .)(41- D .)(41- 6.如右图，在平行四边形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 的中点， D E 与A F 相交于点H ， 设AH b BC a AB 则,,==等于_____.7.已知D 为ABC ∆的边BC 的中点，ABC ∆所在平面内有一点P ，满足0PA BP CP ++=，设||||AP PD λ=，则λ的值为______ 8.在平行四边形ABCD 中，E 和F 分别是边CD 和BC 的中点，或AF AE AC μλ+=，其中λ，μR ，则λ+μ= _________. 9．在 ABCD 中，设对角线=a ，BD =b 试用a ，b 表示AB ，10．设1e ， 2e 是两个不共线向量，已知=21e +k 2e ， CB =1e +32e ， CD =21e -2e ， 若三点A ， B ， D 共线，求k 的值C B E C ADH F2.3.2—2.3.3 平面向量的正交分解和坐标表示及运算1. 若(2,4)AB =，(1,3)AC =， 则BC = 【 】A .(1，1)B .(－1，－1)C .(3，7)D .(-3，-7)2.下列各组向量中，不能作为平面内所有的向量的基底的一组是【 】Ａ.)5,0(),2,1(=-=b a Ｂ.)1,2(),2,1(==b aＣ.)4,3(),1,2(=-= Ｄ.)2,4(),1,2(-=-=3.已知平面向量(11)(11)==-，，，a b ，则向量1322-=a b 【 】 Ａ.(21)--，Ｂ.(21)-， Ｃ.(10)-， Ｄ.(12)-， 4.若向量()3,2-=x a 与向量()2,1+=y b 相等，则 【 】A .x =1，y =3B .x =3，y =1C .x =1，y = -5D .x =5，y = -15.点B 的坐标为(1，2)，的坐标为(m ，n )，则点A 的坐标为 【 】A .()n m --2,1B .()2,1--n mC .()n m ++2,1D .()m n ++2,16.在平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线，若(2,4)AB =，(1,3)AC =，则BD = 【 】A ．（－2，－4）B ．（－3，－5）C ．（3，5）D ．（2，4）7.已知向量)3,1(=，)0,2(-=，则+=_____________________.8.已知向量()1,2-=a ，()3,1-=b ，则b a 32-的坐标是 .9.已知点O 是平行四边形ABCD 的对角线交点，AD =(2，5)，AB =(-2，3)，则CD 坐标为 ，DO 坐标为 ，CO 的坐标为 .10．已知OA =(x 1，y 1)，OB =(x 2，y 2)，线段AB 的中点为C ，则OC 的坐标为 .2.3.4 平面向量共线的坐标表示1. 已知平面向量(1,2)a =，(2,)b m =-，且a //b ，则23a b +＝【 】A .(5,10)--B .(4,8)--C .(3,6)--D .(2,4)--2．已知向量()3,x a = ，()1,3-=b ， 且a 与b 共线，则x 等于【 】A . 1-B . 9C .9-D .13．已知()5,2-=a ，︱b ︱=︱a 2︱，若b 与a 反向，则b 等于【 】A .(-4，10)B .(4，-10)C .(-1 ， 25)D . (1， 25-) 4． 平行四边形ABCD 的三个顶点为A （-2，1）、B （-1，3）、C （3，4），则点D 的坐标是【 】A .（2，1）B .（2，2）C . （1，2）D .（2，3） 5．与向量()5,12=d 不．平行的向量是【 】 A .()5,12-- B .⎪⎭⎫ ⎝⎛135,1312 C .()5,12- D .()10,24 6.已知a ，b 是不共线的向量，AB ＝λa ＋b ，AC ＝a ＋μb (λ，μ∈R)， 那么A ，B ，C 三点时λ，μ满足的条件是 【 】A ．λ＋μ＝2B ．λ－μ＝1C ．λμ＝－1D ．λμ＝17.与向量)4,3(--=同方向的单位向量是_______.8.设向量(12)(23)==，，，a b ，若向量λ+a b 与向量(47)=--，c 共线，则=λ .9．已知A (-1，-2)，B (4，8)，C (5，x )，如果A ，B ，C 三点共线，则x 的值为 .10．已知向量()2,3=a ，()1,1-=b ，向量m 与b a 23-平行，︱m ︱=4137求向量m 的坐标.2.4.1平面向量的数量积的物理背景及其含义 1下列叙述不正确的是【 】A 向量的数量积满足交换律B 向量的数量积满足分配律C 向量的数量积满足结合律D a ·b 是一个实数 2已知|a |=6，|b |=4，a 与b 的夹角为６０°，则(a +2b )·(a -3b )等于【 】 A 72 B -72 C 36 D 3. 已知向量a =1，b =2，b a ⋅=1，则向量a 与b 的夹角大小为【 】A .4πB .3π C .32π D .65π 4已知|a |=1，|b |=2，且(a -b )与a 垂直，则a 与b 的夹角是 【 】A 60°B 30°C 135°D ４５°5.若平面四边形ABCD 满足0,()0,AB CD AB AD AC →→→→→→=∙=+-则该四边形一定是 【 】A ．正方形B ．矩形C ．菱形D ．直角梯形6.若向量a →=(cos sin )αα，，b →=(cos sin )ββ，，则a →与b →一定满足 【 】A .a →与b →的夹角等于αβ-B .a b →⊥→C .a b →→//D .()()a b a b →+→⊥→-→7.下列式子中（其中的a 、b 、c 为平面向量），正确的是【 】A ．=-B ．a （b ·c ）= （a ·b ）cC ．()()(,)a a λμλμλμ=∈RD ．00=⋅AB 8设|a |=3，|b |=5，且a +λb 与a －λb 垂直，则λ＝9已知a +b =2i -8j ，a -b =-8i +16j ，其中i 、j 是直角坐标系中x 轴、y 轴正方向上的单位向量，那么a ·b = .10已知a ⊥b 、c 与a 、b 的夹角均为60°，且|a |=1，|b |=2，|c |=3，则(a +2b -c )２＝______ 11已知|a |=1，|b |=2，(1)若a ∥b ，求a ·b ；(2)若a 、b 的夹角为６０°，求|a +b |；(3)若a -b 与a 垂直，求a 与b 的夹角12设m 、n 是两个单位向量，其夹角为６０°，求向量a =2m +n 与b =2n -3m的夹角2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角1. 已知向量(56)=-，a ，(65)=，b ，则a 与b 【 】 A .垂直 B .不垂直也不平行 C .平行且同向 D .平行且反向2.若a =(-4，3)，b =(5，6)，则3|a |２－４b a ⋅＝【 】A .23B .57C .63D .833.已知a (1，2)，b (2，3)，c (-2，5)，则△a b c 为【 】A .直角三角形B .锐角三角形C .钝角三角形D .不等边三角形4.已知a =(4，3)，向量b 是垂直a 的单位向量，则b 等于【 】A .)54,53(或)53,54(B .)54,53(或)54,53(--C .)54,53(-或)53,54(-D .)54,53(-或)54,53(- 5.已知a =(2，3)，b =(-4，7)，则a 在b 方向上的投影为【 】A .13B .513C .565D .656.已知|a |=10，b =(1，2)且a ∥b ，则a 的坐标为 .7.已知a =(1，2)，b (1，1)，c =b -k a ，若c ⊥a ，则c ＝ .8.a =(2，3)，b =(-2，4)，则(a +b )·(a -b )= .9.已知a (3，2)，b (-1，-1)，若点P (x ，-21)在线段a b 的中垂线上，则x = . 10.已知a (1，0)，b (3，1)，c (2，0)，且a =BC ，b =CA ，则a 与b 的夹角为 .11.已知a =(3，-1)，b =(1，2)，求满足条件x ·a =9与x ·b =-4的向量x .。
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必修四平面向量基础练习题必修四平面向量基础练习题1．下列向量中，与向量c (23)=，不．共线的一个向量p =（ ）A ．(32)，B ．3(1)2，C ．2(1)3，D ．11()32， 2．已知正六边形ABCDEF ，在下列表达式①EC CD BC ++；②DC BC +2；③ED FE +；④FA ED -2中，与AC 等价的有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个3．如图，ABC ∆的AB 边长为2，P Q ，分别是AC BC ，中点，记AB AP BA BQ m ⋅+⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r，AB AQ BA BP n⋅+⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r，则（ ）A ．24m n ==，B ．31m n ==，C ．26m n ==，D ．3m n =，但m n ，的值不确定4．若向量BA u u u r ＝(2,3)，CA u u u r ＝(4,7)，则BCuuu r ＝( )A ．(－2，－4)B ．(2,4)C ．(6,10)D ．(－6，－10)5．已知a 、b 是两个单位向量，下列四个命题中正确的是 ( )A.a 与b 相等B.如果a 与b 平行，那么a 与b 相等C.a ·b ＝1D.2a ＝2b6．如图，正方形ABCD 中，点E 是DC 的中点，CF:FB=2:1，那么EFu u u r ＝( )． A.12AB u u u r －13AD u u u r B.14AB u u u r ＋12AD u u u r C.13AB u u u r ＋12AD u u u r D.12AB u u u r －23AD u u u r7．设M 是平行四边形ABCD 的对角线的交点，O 为任意一点，则OA OB OC OD +++u u u r u u u r u u u r u u u r =（ ）A.OMu u u u r B.2OMu u u u r C.3OMu u u u r D.4OMu u u u r8．已知D 为ABC ∆的边BC 的中点，ABC ∆所在平面内有一个点P ，满足PA PB PC=+u u u r u u u r u u u r ，则||||PD AD uuu r uuu r 的值为（A ）13 （B ）12（C ）1 （D ）2 9． 空间四边形OABC 中，OA a =u u u r r,OB b=u u u r r ,OC c=u u u r r ,点M 在OA 上，且MAOM 2=，N 为BC 的中点，则MNu u u u r =（ ）A ．121-232a b c +r r rB ．211322a b c -++r r rC ．112-223a b c +r r rD ．221-332a b c +r r r10．在直角三角形ABC 中，2C π∠=，2AB =，1AC =，若32AD AB=u u u r u u u r ，则CD CB ⋅=u u u r u u u r．11．若等边△ABC 的边长为1，平面内一点M 满足2131+=，则MA MB⋅u u u r u u u r= ．12．已知在直角三角形ABC 中，90ACB ∠=o，2AC BC ==，点P 是斜边AB 上的 中点，则CP CB CP CA ⋅+⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r _________．13．已知向量()1,2a =r，()3,1b =r，则b a -=r r （ ）A ．()2,1-B ．()2,1-C ．()2,0D ．()4,3 14．若向量()23,34a x x x =+--r与ABu u u r 相等，其中()()1,2,3,2A B ，则x=_________.15．设),1,1(t t t a --=，),,2(t t b =，则a b -的最小值是（ ）A ．55B ．553C ．53D ．55516．如下图，在菱形ABCD 中，0120DAB ∠=，则以下说法错误的是（ ）A.与AB u u u r相等的向量只有一个（不含AB u u u r） B. 与AB u u u r的模相等的向量有9个（不含ABu u u r ）C. BDu u u r 的模恰为DAu u u r 3 D. CBu u u r 与DAu u u r 不共线17．已知向量()3,1a =v ，()1,3b =v ，(),7c k =v，若()a c b -r r r ∥ ，则k =（ ） A.1 B.3 C.5 D.7 18．给出下列结论：①若a ≠r r ，a b ⋅=r r ，则b =r r ； ②若a b b c⋅=⋅r r r r ，则a c=r r；③()()a b c a b c ⋅=⋅r r r r r r ； ④()()0a b a c c a b ⎡⎤⋅-⋅=⎣⎦r r r r r r r ；⑤若,a b a b a b +=-⊥r r r r r r 则 其中正确的为（ ）A.②③④B.①②⑤C.④⑤D.③④⑤ 19．若1e ，2e 是平面内的一组基底，则下列四组向量不能作为平面向量的基底的是（ ）A.1e +2e 和1e －2e B.31e －22e 和－61e +42e C.1e +22e 和21e +2e D.2e 和1e +2e20．已知平面向量)3,1(-=，),6(λ=，b a ⊥,则λ=（ ） A ．2 B ． C ．2- D ．1- 21．若向量a 与b 的夹角为120o，且1,2a b ==,c=a+b ，则有（ ）A ．c ⊥bB c ⊥a c ．c//b D ．c ∥a 22．若||2||||a b a b a ρρρρρ=-=+，则向量a b-r r 与br 的夹角为（ ）A ．6πB ．3πC ．32πD ．65πO BC A23．平面向量a 与b 的夹角为60°，()1,0,2==b a ，则=+b a 2（ ） A ．3 B ．32 C ．4 D ．1224．若向量b a ,的夹角为3π，且1,2==b a ，则a 与b a 2+ 的夹角为（ ）A ．6πB ．3πC ．32πD ．65π 25．已知向量a b ，满足||||||1==-=a b a b ，则||+=a b ___________． 26．已知向量(6,2)a =r与(3,)b k =-r的夹角是钝角，则k 的取值范围是 ．27．已知点A （1，1），B （4,2）和向量),,2(λ=a ρ 若a //ρ, 则实数λ的值为（ ）A ．32-B ．23C ．32D ．23- 28．设x R ∈，向量(,1)x =a ，(1,2)=-b ，且⊥a b ，则=a +b （ ） A 1011 C ．B ．231329．已知向量a r ，b r 满足0a b ⋅=r r ，1a =r ，2b =r ，则2a b -=r r_________. 30．边长为2的等边△ABC 中，AB BC ⋅=u u u r u u u r 31．设平面向量()1,2a =r，()2,b y =-r，若a b ⊥r r ，则|2|a b -r r =__________.32．已知向量ar 与br 的夹角是3π，且||1a =r ，||4b =r ，若(3)a b aλ+⊥r r r ，则实数λ=_______． 33．向量(2,3)a =r，(1,2)b =-r，若ma b+r r 与2a b-r r 平行，则m 等于______ 34．已知向量),2,4(),3,1,2(x b a -=-=ρρ，若//a r bρ，则=x ；35．已知向量()()1,1,3,a b m =-=，若()//=a a b m +，则 . 36． 设x R ∈，向量(,1)x =a ，(1,2)=-b ，且⊥a b ，则=a +b ___________．37．若向量ba ρρ,满足,1==b a ρρ且,23)(=⋅+b b a ρρρ则向量ba ρρ,的夹角为__________． 38．已知向量(2,1)=，向量)4,3(=，则在方向上的投影为___。
39．已知向量)()(3,1,0,1,3.2m n k t m n k==-=-u rr r u r r r 若与共线，则t= .40．已知向量a (1=，2)，b (3=-，4)．（1）求+a b 与-a b 的夹角；（2）若a (⊥a λ+b )，求实数λ的值．414=a ，2=b，且ar 与夹角为o120，求（1b a +； （2）a r 与a b+r r 的夹角42．已经向量()4,3AB =u u u r，()3,1AD =--u u u r，点A ()1,2--. （1）求线BD 的中点M 的坐标； （2）若点P ()2,y 满足()PB BD R λλ=∈u u u r u u u r,求y 和λ的值.43．已知,,a b cr r r 在同一平面内，且()1,2a =r. （1）若25c =rc ar r ∥，求cr ；（2）若52b =r ，且()()22a b a b+⊥-r r r r ，求ar 与bv 的夹角.44．如图，平行四边形ABCD 中，点E,F 分别是AD,DC 边的中点，BE,BF 分别与AC 交于R,T 两点，你能发现AR,RT,TC 之间的关系吗？45．已知a (1,2)=-,b (3,2)=-,(1)求()()2+⋅-a b a b 的值。
(2)当k 为何值时，k a +b 与3-a b 平行？平行时它们是同向还是反向？46．设两个向量12,e e u r u u r ，满足12121,1,,e e e e ==u r u u r u r u u r 满足向量1212,a ke e b e ke =+=-r u r u u r r u r u u r ，若1e u r 与2e u u r 的数量积用含有k 的代数式()f k 表示．若3a b=r ．（1）求()f k ；（2）若1e u r 与2e u u r的夹角为60︒，求k 值；（3）若a r 与b的垂直，求实数k 的值．T RE F CDAB47．已知1a =r ，4b =v ,且向量a v与b v 不共线.（1）若av与bv 的夹角为60︒，求()2a b-v v ·()a b+v v ；（2）若向量ka b+vv 与ka b-v v 互相垂直，求k 的值.48．已知向量b a ,都是非零向量，且2+与53-垂直，2-与+垂直，求与夹角的余弦值。