高等数学单元测试题1

高等数学测试题（一）极限、连续部分（答案）

一、选择题（每小题4分，共20分） 1、 当0x →+时，（A ）无穷小量。

A 1sin x x

B 1

x e C ln x D 1

sin x x

2、点1x =是函数31

1()1131x x f x x x x -

==??->?

的（C ）。

A 连续点

B 第一类非可去间断点

C 可去间断点

D 第二类间断点 3、函数()f x 在点0x 处有定义是其在0x 处极限存在的（D ）。

A 充分非必要条件

B 必要非充分条件

C 充要条件

D 无关条件

4、已知极限22

lim()0x x ax x

→∞++=，则常数a 等于（A ）。

A -1

B 0

C 1

D 2

5、极限2

01

lim cos 1

x x e x →--等于（D ）。

A ∞

B 2

C 0

D -2

二、填空题（每小题4分，共20分）

1、21lim(1)x

x x

→∞

-=2

e -

2、 当0x →+时，无穷小ln(1)Ax α=+与无穷小sin 3x β=等价，则常

数A=3

3、 已知函数()f x 在点0x =处连续，且当0x ≠时，函数2

1()2x f x -=，

则函数值(0)f =0

4、 111

lim[

]1223

(1)

n n n →∞++

+

??+=1

5、 若lim ()x f x π

→存在，且sin ()2lim ()x x

f x f x x ππ

→=

+-，则lim ()x f x π→=1

二、解答题

1、（7分）计算极限 222111

lim(1)(1)(1)23n n

→∞-

-- 解：原式=132411111

lim()()(

)lim 223322

n n n n n n n n →∞→∞-++???=?= 2、（7分）计算极限 3

0tan sin lim x x x

x →-

解：原式=2

322000sin 1sin 1cos 1cos 2lim lim lim cos cos 2x x x x x x

x x x x x x x →→→--=== 3、（7分）计算极限 1

23lim(

)21

x x x x +→∞++ 解：原式= 11

122

11

22

21lim(1)lim(1)121211lim(1)lim(1)22

x x x x x x x

x x e x x +++→∞→∞+→∞→∞+=+++

=+?+=++

4、（7分）计算极限 0

1

x x e →-

解：原式=201

sin 12lim 2

x x x

x →=

5、（7分）设3214

lim 1

x x ax x x →---++ 具有极限l ，求,a l 的值

解：因为1

lim(1)0x x →-+=，所以 32

1

lim(4)0x x ax x →---+=，

因此 4a = 并将其代入原式

321144(1)(1)(4)

lim lim 1011

x x x x x x x x l x x →-→---++--===++

6、（8分）设3()32,()(1)n x x x x c x αβ=-+=-，试确定常数,c n ，使得

()()x x αβ

解：

32221()32(1)(2)

(1)(2)3

lim ,3,2(1)x x x x x x x x c n c x c

α→=-+=-+-+=∴==- 此时，()()x x αβ

7、（7分）试确定常数a ，使得函数21sin 0()0

x x f x x

a x

x ?

>?

=??+≤?

在(,)-∞+∞内连续

解：当0x >时，()f x 连续，当0x <时，()f x 连续。

002

1

l i m ()l i m s i n 0l i m ()l i m ()x x x x f x x x f x a x a +

-

→→→→===+= 所以 当0a =时，()f x 在0x =连续

因此，当0a =时，()f x 在(,)-∞+∞内连续。

8、（10分）设函数()f x 在开区间(,)a b 内连续，12a x x b <<<，试证：在开区间(,)a b 内至少存在一点c ，使得

11221212()()()()(0,0)t f x t f x t t f c t t +=+>>

证明：因为()f x 在(,)a b 内连续，12a x x b <<<，所以 ()f x 在12[,]x x 上连续，由连续函数的最大值、最小值定理知，()f x 在12[,]x x 上存在最大值M 和最小值m ，即在12[,]x x 上，()m f x M ≤≤，所以

12112212()()()()t t m t f x t f x t t M +≤+≤+，又因为 120t t +>，所以

112212

()()

t f x t f x m M t t +≤

≤+，由连续函数的介值定理知：存在

12(,)(,)c x x a b ∈?，使得

112212

()()

()t f x t f x f c t t +=+，即

11221212()()()()

(0,0)t f x t f x t t f c t t +=+>> 证毕。

高等数学测试题（二）导数、微分部分（答案）

一、选择题（每小题4分，共20分）

1、

设函数0

()10

2

x f x x ≠=??=?? 在0x =处（C ）

A 不连续

B 连续但不可导

C 二阶可导

D 仅一阶可导 2、若抛物线2

y ax =与曲线ln y x =相切，则a 等于（C ） A 1 B

12 C 12e

D 2e 3、设函数()ln 2f x x x =在0x 处可导，且0()2f x '=，则0()f x 等于（B ） A 1 B

2e C 2

e

D e 4、设函数()f x 在点x a =处可导，则0

()()

lim

x f a x f a x x

→+--等于（C ）

A 0

B ()f a '

C 2()f a '

D (2)f a '

5、设函数()f x 可微，则当0x ?→时，y dy ?-与x ?相比是（D ） A 等价无穷小 B 同阶非等价无穷小 C 低阶无穷小 D 高阶无穷小

二、填空题（每小题4分，共20分）

1、设函数()f x x x =，则(0)f '=0

2、 设函数()x f x xe =，则(0)f ''=2

3、 设函数()f x 在0x 处可导，且0()f x =0，0()f x '=1，则

01

l i m ()n n f x n

→∞

+

=1 4、 曲线228y x x =-+上点（1，7）处的切线平行于x 轴，点329

(,

)24

处的切线与x 轴正向的交角为4

π。 5、 d x

e -- = x

e dx - 三、解答题

1、（7分）设函数()()(),()f x x a x x ??=-在x a =处连续，求()f a '

解：()()()()

()lim

lim ()x a

x a f x f a x a x f a a x a x a

??→→--'===-- 2、（7分）设函数()a

a

x

a x a f x x a a =++，求()f x ' 解：1

12()ln ln a

a x

a a

a x x a f x a x ax a a a a a --'=++

3、（8分）求曲线 sin cos 2x t y t

=??=? 在 6t π

= 处的切线方程和法线方程

解：当6t π=

时，曲线上的点为 11

(,)22

切线的斜率666

2sin 22cos t t t dy

dy t dt k dx dx t dt

πππ===-====-，所以 切线方程 11

2()22y x -=-- 即 4230x y +-=

法线方程 111

()222

y x -=- 即 241

0x y -+=

4、（7分）求由方程 1sin 02x y y -+=所确定的隐函数y 的二阶导数22d y

dx

解：方程的两边对x 求导 12

1cos 022cos dy dy

dy y dx dx dx y

-

+==

- 继续求导 222324s i n s i n (2c o s )(c o s 2)

d y d y

y

y d x y d x

y =-=

--

5、（7分）设函数12

12()()

()n a a

a n y x a x a x a =---，求 y '

解：两边取对数 1122ln ln()ln()ln()n n y a x a a x a a x a =-+-++-

方程的两边对x 求导

1212

1

n

n

a a a y y x a x a x a '=+++

---，则 1211

12()(())()i

n n

a n i i i i n i a a a a

y y x a x a x a x a x a =='=++

+=-----∑∏ 6、（10分）设函数21

2

()12

x x f x ax b x ?≤

??

=?

?+>

??

，适当选择,a b 的值，使得()f x 在1

2

x =

处可导 解：因为 可导一定连续，则

2112

2

11

11

(0)lim(),

(0)lim 2224x x f ax b a b f x →

→

+=+=+-==

所以

1111

,2442

a b b a +==- 由可导知

111222

212

11111

()

144242()lim

lim lim 1112222114()lim

11

22

x x x x ax b ax a a x f a x x x x f x +→→→

-→+-

+---'====----

'==- 所以 1

1,4a b ==-

即当11,4a b ==-时，函数()f x 在1

2

x =处可导。

7（7分）若22()()y f x xf y x +=，其中 ()f x 为可微函数，求dy 解：两边微分得

22()()()()2yf x dy y f x dx f y dx xf y dy xdx ''+++= 即 22()()

2()()

x y f x f y dy dx yf x xf y '--='+

8、（7分）设函数()f x 在[,]a b 上连续，且满足

()()0,()()0f a f b f a f b +-''==?>，证明：()f x 在(,)a b 内至少存在一点c ，使得 ()0f c =

证明：因为 ()()0f a f b +-''?>，不妨设 ()0,()0f a f b +-''>>

()()()()lim

lim 0x a

x a f x f a f x f a x a x a

+→+→+-'==>--， 则存在 10δ>， 当 11(,)x a a δ∈+时，

11()

0f x x a

>-，又因为1x a >，所以 1()0f x > 同理可知 存在

20δ>，当 22(,)x b b δ∈-时，

22()

0f x x b

>-，又因为

2x b <，所以 2()0f x <，取适当小的12,δδ，使得 12a b δδ+<-，则 12x x <，因为()f x 在[,]a b 上连续，则()f x 在12[,]x x 上连续，且1()0f x >，2()0f x <由零点存在定理知 至少存在一点c ，使得

()0f c =，证毕。

高等数学测试题（三）中值定理、导数应用部分

一、选择题（每小题4分，共20分）

1、 下列函数在[1,1]-上满足罗尔定理条件的是（C ）

A x y e =

B ln y x =

C 2

1y x =- D 2

1

1y x

=

- 2、曲线3

(1)y x =-的拐点是（B ）

A (1,8)-

B (1,0)

C (0,1)-

D (2,1)

3、已知函数()(1)(2)(3)(4)f x x x x x =----，则()0f x '=有（C ）实根

A 一个

B 两个

C 三个

D 四个

4、设函数()f x 在(,)a b 内可导，则在(,)a b 内()0f x '>是函数()f x 在

(,)a b 内单调增的（B ）

A 必要非充分条件

B 充分非必要条件

C 充要条件

D 无关条件 5、如果00()0,()0f x f x '''=>，则（B ）

A 0()f x 是函数()f x 的极大值

B 0()f x 是函数()f x 的极小值

C 0()f x 不是函数()f x 的极值

D 不能判定0()f x 是否为函数()f x 的极值

二、填空题（每小题4分，共20分）

1、 函数ln(1)y x =+在[0,1]上满足拉格朗日定理的ξ=

1

1ln 2

- 2、 函数3

21()393f x x x x =

-+在闭区间[0,4]上的最大值点为x =4 3、 函数4

y x x

=+的单调减少区间是(2,0)(0,2)-?

4、 若函数()f x 在x a =二阶可导，则

0()()

()

lim

h f a h f a f a h h

→+-'-=1()2f a '' 5、 曲线3

2

x y x =+的铅直渐近线为2x =-

三、解答题

1、（7分）计算0

1

1lim()1

x

x x e →-

- 解：原式=000111

lim lim lim (1)12

x x x x x x x x x x x x e x e e x e e xe e e xe →→→---===

-+-++ 2、（7

分）计算0

lim x x +

→

解：原式

=0001

ln lim lim lim(011x x x x x ++

+

→→→==-= 3、（7分）计算1

0sin lim(

)x x x x

→

解：令 1

s i n 1s i n

(),l n l n x x x y y x

x x

==

2

00sin ln

cos sin cos sin limln lim

lim lim 0

sin x x x x x

x x x x x x x x y x x x x →→→→--====所以 原式=0

1e =

4、（7分）计算1

0lim(

)3x x x x x a b c →++ 解：令 1

l n ()

l n 3

(

,l n 3

x x x x

x x x a b c a b c y y x

+++

+-==

000ln()ln 3ln ln ln limln lim lim ln x x x x x x x x x x x x a b c a a b b c c

y x a b c

→→→++-++===++所以 原式

=e =5、（10分）设函数(),()f x g x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，且

()()0f a f b ==，证明：存在(,)a b ξ∈，使得()()()0f f g ξξξ''+=

证明：设 ()

()()g x F x f x e

=， 由(),()f x g x 的连续性知：

()F x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，且()()0F a F b ==，由罗尔定理

知 存在(,)a b ξ∈，使得 ()0F ξ'= 即

()()()()()0g g f e f g e ξξξξξ''+=，所以 ()()()0f f g ξξξ''+= 证毕。

6、（10分）证明：当0x >时，2

ln(1)2

x x x x -<+< 证明：令 ()ln(1)f x x x =+-，1()10(0)11x f x x x x

-'=

-=<>++

因此 ()f x 在(0,)+∞内单调减，所以 ()(0)0f x f <=，即 ln(1)x x +<

令 2()ln(1)()2x g x x x =+--，2

1()10(0)11x g x x x x x

'=-+=>>++ 因此 ()g x 在(0,)+∞内单调增，所以 ()(0)0g x g >=，即

2ln(1)2x x x +>-，总之当0x >时，2

ln(1)2

x x x x -<+< 证毕。

7（12分）设函数()f x 在0x =的邻域内具有三阶导数，且

130()lim(1)x x f x x e x

→++= （1） 求 (0),(0),(0)f f f '''

（2） 求 1

0()lim(1)x x f x x

→+

解：（1）因为 1

30()

lim(1)x

x f x x e x →++

=，所以 0()

ln(1)lim

3x f x x x x

→++

=

由于分母极限为0，所以 0()lim ln(1)0x f x x x →++=，即 0()

lim()0x f x x x

→+

= 0()lim 0x f x x

→=，又因为 ()f x 在0x =连续，则 0lim ()(0)0x f x f →==

0()(0)(0)lim 00x f x f f x →-'==-，由 0()

ln(1)

lim 3x f x x x x

→++= 得 2

000()()

ln(1)()lim

lim lim(1)3x x x f x f x x x f x x x x x x →→→+++

==+=，所以 20()lim 2x f x x →=，即 0()lim 22x f x x →'=，由此得 0()(0)(0)lim 40

x f x f f x →''-''==-

（2）2

00()

()ln(1)()1

lim

lim lim 20()

lim(1)x x x f x f x f x x x x

x

x

x x f x e e

e e x

→→→+

→+

====

高等数学测试题（四）不定积分部分

一、选择题（每小题4分，共20分）

1、 已知函数2(1)x +为()f x 的一个原函数，则下列函数中（D ）是()

f x 的原函数。

A 2

1x - B 2

1x + C 2

2x x - D 2

2x x + 2、已知

()sin x

x e

f x dx e x C =+?，则()f x dx ?=（C ）

A sin x C +

B cos x

C + C cos sin x x C -++

D cos sin x x C ++

3、若函数

ln x

x

为()f x 的一个原函数，则不定积分()xf x dx '?=（C ） A

1ln x C x -+ B 1ln x C x ++ C 12ln x C x -+ D 12ln x

C x

++ 4、已知函数()f x 在(,)-∞+∞内可导，且恒有()f x '=0，又有(1)1f -=，则函数()f x =（A ）

A -1

B -1

C 0

D x

5、若函数()f x 的一个原函数为ln x ，则一阶导数()f x '=（B ） A

1x B 21

x

- C ln x D ln x x

二、填空题（每小题4分，共20分）

1、 函数2x 为2ln 2x

的一个原函数。

2、 已知一阶导数 (())f x dx '=?

，则(1)f '=

2

3、 若()arctan xf x dx x C =+?，则

1

()

dx f x ?

=241124x x C ++

4、 已知()f x 二阶导数()f x ''连续，则不定积分

()xf x dx ''?=()()xf x f x C '-+

5、 不定积分cos cos ()x xd e ?

=cos (cos 1)x

e x C -+

三、解答题 1、（7分）计算

22(1)dx

x x +?

解：原式=22

111(

)arctan 1dx x C x x x

-=--++? 2、（7分）计算 1x

dx

e +?

解：原式=(1)ln(1)1x x

x

e dx x e C e

-=-+++? 3、（7分）计算 3

21

x dx x +?

解：原式=22

211()ln(1)122x x dx x x C x -=-+++? 4、（7分）计算 254

dx

x x ++?

解：原式=

11111

()ln (1)(4)31434

dx x dx C x x x x x +=-=++++++??

5、（8分）计算

解：设

t = 原式

=

5253261166(arctan )1

t t dt dt t t C C t t t +-==-+=++?? 6、（7分）计算 2

3x

x e dx ?

解：原式=

2222

2222111()()222

x x x x x e dx x d e x e e C ==-+?? 7、（8分）已知222(sin )cos tan 01f x x x x '=+<< ，求()f x

解：令 2

22sin ,cos 1,tan 1u

x u

x u x u

==-=

- 21()(1)()ln 1112

u u f u u du u du u u C u u =-+

=--=---+--?? 所以 2

1()ln(1)2f x x x C =---+

8、（9分）计算 cos ax

I e bxdx =?

解： 222221cos sin 1

(sin sin )1sin cos 1sin (cos cos )1sin cos ax ax

ax ax ax ax

ax ax ax ax ax I e bxdx e d bx b

e bx a e bxdx b a e bx e d bx b b a

e bx e bx a e bxdx b b a a e bx e bx I b b b

==

=-=+=+-=+-?????

22

(sin cos )ax

e I b bx a bx C a b =+++

高等数学测试题（五）定积分部分（答案）

一、选择题（每小题4分共20分）

1、 设320

()(0)a

I x f x dx a =>?

，则I 等于（C ）

A 2

()a I xf x dx =

?

B 0

()a

I xf x dx =

?

C 201()2a I xf x dx =?

D 01()2

a I xf x dx =? 2、下列函数中，哪个函数在[,]a

b 上不一定可积（B ） A ()f x 在[,]a b 内有两个第一类间断点 B ()f x 在[,]a b 上有界 C ()f x 在[,]a b 内严格单调增加 D ()f x 在[,]a b 上连续

3、设函数()f x 在[,]a b 上连续，则曲线()y f x =与直线

,,0x a x b y ===所围成的平面图形的面积等于（C ）

A

()b

a

f x dx ?

B

()b

a

f x dx ?

C

()b

a

f x dx ?

D ()(),()f b a a b ξξ'-<<

4、下列各积分中能够直接应用牛顿—莱布尼茨公式的是（C ） A

3

1

1

2dx x

-?

B 3

ln xdx ?

C

4

tan xdx π? D 2

2

cot xdx π

π-

?

5、已知

20

()x

x f t dt a =?

，则()f x 等于（D ）

A 22x

a B 2ln x

a a C 21

2x xa - D 22ln x

a

a

二、填空题（每小题4分共20分） 1、 设函数2

()cos x

F x t tdt =

?，则()4F π'=8

π 2、 比较定积分的大小

4

3

ln xdx ?

<

4

33

ln xdx ?

3、 极限20

2

sin lim

x

x t

dt t x

→?

=12 4、

322sin x x d t dt dx

?=22

3sin92sin 4x x - 5、 已知201

()0cx x f x ?≤≤=??

其它 ，若()1f x dx +∞-∞=?，则常数c =3

三、解答题 1、（7分）计算2

2

2

20

()lim

x

t x x t e dt e dt

→+∞

??

解：原式=2

2

2

2

2

0222lim

lim

02x

x

t x x x x x e e dt

e e

xe

→+∞

→+∞

==?

2（7分）若()f x 连续，且(2)4f =-，计算2

2

2

2

[()]lim

(2)x

t

x f u du dt

x →-??

解：原式=2

2

2()()

lim

lim

22(2)

2

x

x x f u du

f x x →→-==-?

3、（7分）计算

2

1x dx -?

解：原式=

12

1

(1)(1)1x dx x dx -+-=??

4、（8

分）计算2

30

x e dx -

解：原式

=2220

12x e dx -，令

2

x t =，:0ln 2t → 原式=

ln 2ln 2001122t t te dt tde --=-??ln 2

ln 20

11

()(1ln 2)2

4

t

t te e dt --=--=

-?

5、（7分）计算

2

2

2

1min{

,}x dx x

-?

解：由被积函数的奇偶性知 原式=

2

1222312

010*******min{,}2()2(ln )2(ln 2)33x dx x dx dx x x x x =+=+=+???6、（12分）设函数0

2

()0()0

x tf x dt

x F x x c

x ??≠=??=?? ，其中 ()f t 具有连续的导数，且(0)0f =

（1） 确定常数c ，使得函数()F x 连续 （2） 讨论()F x '是否连续

解：（1）0

2

()()1

lim ()lim

lim

(0)022

x

x x x tf t dt xf x F x f x x →→→====? 所以 由()F x 连续知 0

lim ()0x c F x →== （2）当 0x ≠时

320

4

3

()2()()2()()x

x

x f x x tf t dt

x f x tf t dt

F x x

x

--'=

=

??

20000()()(0)(0)lim

lim

0()1()(0)1lim lim (0)3303

x

x x x x tf t dt

F x F x F x x f x f x f f x x →→→→-'==--'===-?

220

3

20

0()2()2()()2()

lim ()lim

lim 31

(0)(0)3

x

x x x x f x tf t dt

xf x x f x xf x F x x

x f F →→→-+-'==''=

=?

所以 ()F x '为连续函数。

7、（12分）如图 曲线C 的方程为()y f x =，点（3，2）是它的一个拐点，直线12,l l 分别是曲线C 在点（0，0）与（3，2）处的切线，其交点为（2，4），设函数()f x 具有三阶连续导数，计算

3

20

()()x x f x dx '''+?

解：

3

3

2

20

032

300

3

33

3012()()()()

()()(21)()(21)()((3)0)

[(21)()2()]

[7(3)(0)]2()[7(2)2]2(20)204

42

(2(0)(0)02

x x f x dx x x d f x x x f x x f x dx x f x dx

f x f x f x dx f f f x k f f k '''''+=+''''=+-+''''=-+=''=-+-''=--+=-?--+-=-'=

====

?

????2(3)(3)2)

23

f f '=-==-