工程力学--轴向拉压杆的应力及变形
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工程力学16 轴向拉伸与压缩杆的变形
伸长量；(2)C截面相对B截面的位移
(相对位移）和C截面的绝对位移。 解：（2） 位移：指物体上的一些点、
B
B
B′
l2＝200
线、面在空间位置上的改变。 显然，两个截面的相对位移，
C
C
C′
在数值上等于两个截面之间的
F＝40 kN
那段杆件的伸长（或缩短）。 因A截面固定，所以C截面
因此，C截面与B 截面的
掌握：胡克定律表达式的应用 ； 轴向变形— —伸长量的计算 ——难点+重点
谢 谢!
解：（1） 变形：物体受力以后 发生尺寸和形状的改变。
B
B
B′
l2＝200
l1
FN l1 EA1
40 103 N 210 109 Pa
300 103 m 400 106 m2
0.143103m=0.143mm（伸长）
C
C
C′
F＝40 kN
l2
FN l2 EA2
40 103 N 210 109 Pa
实验表明,在材料正应力没有超过比例极限时，横向线应变与纵 向线应变之比为常数，用绝对值表示为
v
或写成
v
v称为横向变形因数或泊松比
无量纲，由实验测定
例1 已知： AB段:A1 ＝400mm2
A
BC段:A2 =250mm2 ,E=210GPa
l1＝300
求：(1)AB、BC段的伸长量及杆 的总伸长量；(2)C截面相对B截面 的位移和C截面的绝对位移。
200 103 m 250 102 0.143mm+0.152mm
0.152103m=0.152mm（伸长） 0.295mm（伸长）
例1 已知： AB段:A1 ＝400mm2
工程材料力学第四章轴向拉压杆的变形
§4-5 轴向拉(压)杆的变形·胡克定律
拉(压)杆的纵向变形 （轴向变形） 基本情况下(等直杆，两端受轴向力)：
纵向总变形Δl = l1-l （反映绝对变形量）
l 纵向线应变 （反映变形程度） l
1
fl
f ( x x)
x
f
l
x
x
沿杆长均匀分布 的荷载集度为 f 轴力图
fx
微段的分离体
y
pbd 2b 0
pd 2
13
所以
pd (2 10 Pa)(0.2m) -3 2 2(510 m)
6
4010 Pa 40 MPa
6
14
2.
如果在计算变形时忽略内压力的影响，则可认为
薄壁圆环沿圆环切向的线应变e(周向应变)与径向截面上
的正应力s 的关系符合单轴应力状态下的胡克定律，即
ν
亦即
- n
低碳钢(Q235)：n = 0.24~0.28。
7
思考：等直杆受力如图，已知杆的横截面面积A和材料的 弹性模量E。
1.列出各段杆的纵向总变形ΔlAB，ΔlBC，ΔlCD以及整个 杆纵向变形的表达式。
2.横截面B, C及端面D的纵向位移与各段杆的纵向总变
形是什么关系？
uB L1
22
作业：4-7,4-91 Pa ~ 2.101011 Pa 200GPa ~ 210GPa
l 1 FN 胡克定律的另一表达形式： l E A
E
←单轴应力状态下的胡克定律
6
横向变形因数(泊松比)(Poisson’s ratio)
单轴应力状态下，当应力不超过材料的比例极限时，
拉(压)杆的纵向变形 （轴向变形） 基本情况下(等直杆，两端受轴向力)：
纵向总变形Δl = l1-l （反映绝对变形量）
l 纵向线应变 （反映变形程度） l
1
fl
f ( x x)
x
f
l
x
x
沿杆长均匀分布 的荷载集度为 f 轴力图
fx
微段的分离体
y
pbd 2b 0
pd 2
13
所以
pd (2 10 Pa)(0.2m) -3 2 2(510 m)
6
4010 Pa 40 MPa
6
14
2.
如果在计算变形时忽略内压力的影响，则可认为
薄壁圆环沿圆环切向的线应变e(周向应变)与径向截面上
的正应力s 的关系符合单轴应力状态下的胡克定律，即
ν
亦即
- n
低碳钢(Q235)：n = 0.24~0.28。
7
思考：等直杆受力如图，已知杆的横截面面积A和材料的 弹性模量E。
1.列出各段杆的纵向总变形ΔlAB，ΔlBC，ΔlCD以及整个 杆纵向变形的表达式。
2.横截面B, C及端面D的纵向位移与各段杆的纵向总变
形是什么关系？
uB L1
22
作业：4-7,4-91 Pa ~ 2.101011 Pa 200GPa ~ 210GPa
l 1 FN 胡克定律的另一表达形式： l E A
E
←单轴应力状态下的胡克定律
6
横向变形因数(泊松比)(Poisson’s ratio)
单轴应力状态下，当应力不超过材料的比例极限时，
轴向拉压杆的应力
1
FN1 A1
103.9 103 N 300 106 m2
346MPa(拉）
2
FN 2 A2
120 103 N 1274.8 106 m2
94MPa(压）
30° F
2
(a)
FN1
A
30
FN 2 F
(b)
工程力学
cos
FN A
cos
cos
p cos cos2
p
sin
2
sin 2
2、符号规定
m n p
mt
⑴、α：斜截面外法线与x轴的夹角。
x 轴正向逆时针转到 n 轴“α”规定为正值；
x 轴正向顺时针转到 n 轴“α”规定为负值。 ⑵、σα：同“σ”的符号规定
⑶、τα：在保留段内任取一点，如果“τα”对其点之矩为顺 时针方向规定为正值，反之为负值。
工程力学
轴向拉压杆的应力
一、轴向拉压杆横截面上正应力的确定
推导的思路：实验→变形规律→应力的分布规律→应力的
1、实验：
计算公式
变形前
F
F
受力后
2、变形规律： 横向线——仍为平行的直线，且间距增大。 纵向线——仍为平行的直线，且间距减小。
3、平面假设：变形前的横截面，变形后仍为平面且各横截面 沿杆轴线作相对平移
8、公式Байду номын сангаас使用条件
(1) 轴向拉压杆 (2) 除外力作用点附近以外其它各点处（范围：不超过杆的横 向尺寸）--圣维南原理
二、轴向拉压杆任意斜面上应力的计算
1、斜截面上应力确定
m
m
n
(1) 内力确定：
F
F
O
FNα=FN=F
简述轴向拉压杆的受力特点和变形特点
简述轴向拉压杆的受力特点和变形特点
轴向拉压杆是一种受到拉力或压力作用的杆件。
其受力特点主要
有两点：
1. 受力方向：轴向拉压杆受力方向与其轴线方向相同或相反。
当受到拉力时，轴向拉压杆会向外展开；当受到压力时，轴向拉压杆
会向内收缩。
受力方向与轴线方向共线，使得杆件能够承受较大的拉
力或压力。
2. 受力均匀：轴向拉压杆受力均匀分布在其截面上。
由于受力
方向与轴线方向相同或相反，杆件内部的各个截面上的应力相对均匀。
这样的受力特点能够保证杆件的强度和刚度。
轴向拉压杆的变形特点主要有两点：
1. 长度变化：轴向拉压杆在受到拉力或压力作用时会发生长度
的变化。
当受到拉力时，轴向拉压杆会发生伸长变形；当受到压力时，轴向拉压杆会发生缩短变形。
杆件的长度变化与受力的大小成正比。
2. 弯曲变形：轴向拉压杆在受力作用下有可能发生弯曲变形。
当受到较大的压力或拉力时，杆件可能会产生塑性弯曲或弹性弯曲。
这种变形可能会影响杆件的稳定性和工作性能。
综上所述，轴向拉压杆的受力特点是受力方向与轴线方向相同或
相反，受力均匀；变形特点是发生长度变化和有可能出现弯曲变形。
这些特点需要在杆件的设计和使用过程中进行考虑，以保证其性能和
安全。
工程力学(材料力学)6拉压杆件的强度与变形问题
机械制造中的拉压杆件
机械制造中的拉压杆件主要用于 实现运动传递、力的传递和变形 等，如连杆、活塞杆、传动轴等。
这些杆件需要在高速、高温、重 载等极端条件下工作，因此需要 具备优异的力学性能和耐久性。
在机械制造中，拉压杆件的设计 和制造需要精确控制尺寸、形状 和材料，以确保其工作性能和可
靠பைடு நூலகம்。
其他工程领域中的拉压杆件
总结词
新型材料如碳纤维复合材料、钛合金等具有高强度、轻质等优点，在拉压杆件中得到广 泛应用。
详细描述
随着科技的不断发展，新型材料如碳纤维复合材料、钛合金等逐渐应用于拉压杆件的制 作。这些新型材料具有高强度、轻质、耐腐蚀等优点，能够提高杆件的力学性能和使用
寿命。
高性能的拉压杆件设计
总结词
通过优化设计，可以显著提高拉压杆件的性能。
刚度分析
对杆件的刚度进行分析， 可以确定其变形程度和承 载能力，为结构设计提供 依据。
拉压杆件的稳定性问题
稳定性定义
01
稳定性是指杆件在受到载荷作用时，保持其平衡状态的能力。
稳定性分析
02
通过稳定性分析，可以确定杆件在受到载荷作用时是否会发生
失稳现象，以及失稳的临界载荷。
稳定性要求
03
在工程应用中，杆件的稳定性需要满足一定的要求，以保证结
强度失效准则
当拉压杆件内部的应力达到或超过材料的屈服极限时，杆件会发生屈服失效， 丧失承载能力。
拉压杆件的强度计算
静力分析
根据外力的大小和方向，以及杆件的几何尺寸和材料属性，计算杆件内部的应力 分布。
动力分析
考虑动载荷的影响，分析杆件在振动、冲击等动态过程中的应力变化。
拉压杆件的强度校核
工程力学-第7章-轴向拉压杆件的强度与变形计算
广 州 汽 车 学 院
7
Guang Zhou Auto College
工程力学
第7章 轴向拉压杆件的强度与变形计算
广 州 汽
斜拉桥承受拉力的钢缆 车 学 院
8
Guang Zhou Auto College
工程力学
第7章 轴向拉压杆件的强度与变形计算
广 州 汽 车 学 院9来自 7-1轴向拉压杆横截面上的应力
胡克定律
车
学
院
工程力学
17
轴向拉压的变形分析
P
P
A 细长杆受拉会变长变细，
P
B 受压会变短变粗
C 长短的变化，沿轴线方向， 称为纵向变形
l+Dl l
d-Dd d
D 粗细的变化，与轴线垂直，
称为横向变形
P
P
P
7-3轴向拉压杆的变形计算 胡克定律
工程力学
Guang Zhou Auto College
变形量的代数和：
汽
车
Δ
l
＝
FNi li FNi ADlEADA＋i
＝Dl AD DlDE DlEB Dl
FNDElDE ＋ FNEBlEB ＋ FNBClBC
BC
学
Ec AAD
Ec ADE
Es AEB
Es ABC
＝1.2106 m 0.6106 m 0.285106 m 0.428106 m
广
承受轴向载荷的拉（压）杆在工程中的
州
应用非常广泛。
汽
由汽缸、活塞、连
杆所组成的机构中，不
车
仅连接汽缸缸体和汽缸
盖的螺栓承受轴向拉力，
学
带动活塞运动的连杆由
7
Guang Zhou Auto College
工程力学
第7章 轴向拉压杆件的强度与变形计算
广 州 汽
斜拉桥承受拉力的钢缆 车 学 院
8
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工程力学
第7章 轴向拉压杆件的强度与变形计算
广 州 汽 车 学 院9来自 7-1轴向拉压杆横截面上的应力
胡克定律
车
学
院
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17
轴向拉压的变形分析
P
P
A 细长杆受拉会变长变细，
P
B 受压会变短变粗
C 长短的变化，沿轴线方向， 称为纵向变形
l+Dl l
d-Dd d
D 粗细的变化，与轴线垂直，
称为横向变形
P
P
P
7-3轴向拉压杆的变形计算 胡克定律
工程力学
Guang Zhou Auto College
变形量的代数和：
汽
车
Δ
l
＝
FNi li FNi ADlEADA＋i
＝Dl AD DlDE DlEB Dl
FNDElDE ＋ FNEBlEB ＋ FNBClBC
BC
学
Ec AAD
Ec ADE
Es AEB
Es ABC
＝1.2106 m 0.6106 m 0.285106 m 0.428106 m
广
承受轴向载荷的拉（压）杆在工程中的
州
应用非常广泛。
汽
由汽缸、活塞、连
杆所组成的机构中，不
车
仅连接汽缸缸体和汽缸
盖的螺栓承受轴向拉力，
学
带动活塞运动的连杆由
拉压杆应力、变形分析
通过这些数学模型，可以计算出在给定外力作用下物体的应 力和变形，从而对物体的力学性能进行评估。
应力与变形的实验验证
为了验证应力与变形的数学模型的正确性和可靠性，需要 进行实验验证。
实验中，可以通过测量物体的应力和变形数据，与数学模 型计算结果进行对比，以评估模型的准确性和适用范围。
05 拉压杆的优化设计
实验结果表明，拉压杆的应力分布不均匀，呈现 中间大、两端小的趋势。变形则表现为杆件中部 向下弯曲，两端向上翘起。
本研究采用有限元分析方法对拉压杆进行应力、 变形分析，得到了与实验结果较为一致的分析结 果，验证了有限元方法的可行性和有效性。
研究展望
虽然本研究取得了一定的成 果，但仍有许多问题需要进 一步探讨。例如，可以考虑 研究不同材料属性、不同截 面形状和不同边界条件等因 素对拉压杆应力、变形的影 响。
基于应力的优化设计
总结词
在基于应力的优化设计中，主要目标 是减小拉压杆的最大应力值，使其不 超过材料的许用应力。
详细描述
通过调整拉压杆的截面尺寸、长度、 材料等参数，可以改变其应力分布和 大小。常用的方法包括有限元分析和 数学优化算法。
基于变形的优化设计
总结词
基于变形的优化设计旨在减小拉压杆 的最大变形量，以确保其在工作过程 中具有良好的性能和精度。
根据应力的性质，可分为 拉应力和压应力；根据应 力的分布，可分为均匀应 力和非均匀应力。
应力状态
描述杆件内部各点的应力 状态，包括正应力和剪应 力。
拉压杆应力计算
轴向拉压杆
通过材料力学中的胡克定律计算拉压 杆的应力。
弯曲梁
扭转变形
利用扭矩和剪切模量计算扭转变形的 应力。
利用弯矩和剪力计算弯曲梁的应力。
13.轴向拉压的应力、变形计算
A
d
N AB sin 30 F
0
N AB cos 30 N BC
0
NAB
300
C
B
AB
N AB 28.3MPa AAB
a
NBC
F
BC
N BC 4.8MPa ABC
四、拉(压)杆斜截面上的应力
横截面----是指垂直杆轴线方向的截面； 斜截面----是指任意方位的截面。
F
B
F
120
-
C
240
4m
例2 1、计算轴力： ∑X=0
2、计算变形：
例3
P1=30kN，P2 =10kN , AC段的横截面面积 AAC=500mm2, CD段的横截面面积 ACD=200mm2，弹性模量E=200GPa。 试求： （1）各段杆横截面上的内力和应力； （2）杆件内最大正应力； （3）杆件的总变形。
p
讨论
1 cos sin 2 2 σα及τα 均是角α的函数，
2
（1）当α=0，即为横截面时， max
0
轴向拉压杆件的最大正应力发生在横截面上。 （2）当
45
a 2
max 2
轴向拉压杆件的最大切应力发生在与 杆轴线成450截面上。
解：(1)、计算支反力 ∑X=0 P2-P1-RA=0 RA=P2-P1=-20KN
(2)、计算各段杆件 横截面上的轴力
AB段： NAB=RA=－20kN BD段： NBD=F2=10kN
(3)、画出轴力图，如图（c）所示。 (4)、计算各段应力 AB段： AB
FNAB 20 103 40MPa AAC 500
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第4章 拉压杆的应力及变形
第4章 轴向拉压杆的应力及变形
4.1 材料力学的基本假设及基本概念 4.2 拉压杆横截面上的轴力及轴力图
4.3 应力.拉压杆内的应力
4.4 轴向拉（压）杆的变形. 胡克定律 4.5 拉压超静定问题
第4章 拉压杆的应力及变形
4.1 材料力学的基 本假设及基本概念
4.1 材料力学的基本假设及基本概念
内力随外力的增加而加大，随外力的撤除而消
失。
第4章 拉压杆的应力及变形
4.1 材料力学的基 本假设及基本概念
六、杆件的基本变形
(1)拉伸或压缩 外力特点: 外力的合力作用线与 杆的轴线重合。 变形特点: 杆的变形主要是轴向 伸缩伴随横向缩扩。
拉压变形
第4章 拉压杆的应力及变形
4.1 材料力学的基 本假设及基本概念
A δ1 B C B’ F δ2
3 小变形假设 δ 远小于构件的最小尺寸，所 以通过节点平衡求各杆内力时， 把支架的变形略去不计。计算 得到很大的简化。
第4章 拉压杆的应力及变形
4.1 材料力学的基 本假设及基本概念
四、外力与内力
外力： 体积力: 按 外 力 作 用 的 表面力 方 式 连续分布于物体内部各点的力。
pа
p cos cos
2
p sin
0 0
2
sin 2
0:
0 max
45 :
90 :
45
2
45 max
90 0
若AAB = ABC = 500mm 2，ACD = 200mm 2， 求各杆段的正应力及整个杆件最大正应力| |max。
解：
AB
BC
AB段：
N AB 20103 40MPa 6 AAB 50010
N BC 10103 20MPa 6 ABC 50010
4.2 拉压杆横截面 上的轴力及轴力图
轴力(图)的简便求法
A B
2 C
D
F
F4
x
0
N 2 F2 F1
F1
F2 F2
2
F3 N2
N 2 F1 F2 10 20 10kN
F1
由内力方程得：
Ni Fi
设轴力为正时，任一横截面上的轴力等于横 截面一侧所有外力在杆轴线上投影的代数和，背 离截面的外力为正，指向截面的外力为负。
稳定性(Stability)：即保持原有平衡状态的能力 构件的强度、刚度和稳定性不仅与构件的形状有关，而且与所 用材料的力学性能有关，因此在进行理论分析的基础上，实验 研究是完成材料力学的任务所必需的途径和手段。
第4章 拉压杆的应力及变形
4.1 材料力学的基 本假设及基本概念
强 度 不 足 破 坏
如物体的自重和惯性力。
连续作用于物体表面的力。 分布力： 如油缸内壁的油压力，水坝受 到的水压力。 若外力作用面积远小于物体表 集中力： 面的尺寸，可作为作用于一点 的集中力。 如火车轮对钢轨的压力,滚动 轴承对轴的反作用力等。
第4章 拉压杆的应力及变形
4.1 材料力学的基 本假设及基本概念
按 时 间
(2)剪切 外力特点： 作用在构件两侧面上的外力 合力大小相等、方向相反且作 用线很近。 变形特点： 位于两力之间的截面发生 相对错动。
剪切变形
第4章 拉压杆的应力及变形
4.1 材料力学的基 本假设及基本概念
(3) 扭转
外力特点： 在垂直于杆件轴线的两个 平面内，作用一对大小相等、 转向相反的力偶。 变形特点： 各横截面绕轴线发生相对转动.
第4章 拉压杆的应力及变形
4.2 拉压杆横截面 上的轴力及轴力图
[例4-2] 杆受力如图所示。试画出杆的轴力图。 解： 3 30KN 2 30KN 1 20KN DE 段： N1 20 kN
RA A
3
40 +
B
10
C2D
+ –
1
E
BD段： N 2 30 20 10kN
RA 30 10kN
F3
F3
一点的应力：当面积趋于零时，平均应力的大小和方向 F dF 都将趋于一定极限，得到 p lim A 0 A dA 应力总量P 可以分解成: 垂直于截面的分量σ －－正应力 平行于截面的分量τ －－切应力
第4章 拉压杆的应力及变形
应力的国际单位为Pa
1N/m2= 1Pa（帕斯卡）
AB段：N
3 30 30 20
20
40 kN R A
注：内力的大小与杆截面的 大小无关，与材料无关。
轴力图要求： 1.正负号 2.数值 3.阴影线与轴线垂直
第4章 拉压杆的应力及变形
4.3 拉压杆内的应力
应力的概念
F A
C
F4
p
C
F4
由外力引起的内力集 度称为应力。
F •平均应力:某范围内单位面积上内力的平均集度 p A
第4章 拉压杆的应力及变形
4.1 材料力学的基 本假设及基本概念
刚 度 不 足 破 坏
第4章 拉压杆的应力及变形
4.1 材料力学的基 本假设及基本概念
稳 定 性 不 足 破 坏
第4章 拉压杆的应力及变形
4.1 材料力学的基 本假设及基本概念
材料力学的任务: 在满足强度、刚度、稳定性的要求下，以 最经济的代价，为构件确定合理的形状和尺 寸、选择适宜的材料，而提供必要的理论基 础和计算方法。
扭转变形
第4章 拉压杆的应力及变形
4.1 材料力学的基 本假设及基本概念
(4) 弯曲
外力特点：
杆受垂直于轴线的外力 或外力偶矩矢的作用。
变形特点： 弯曲变形
轴线由变形前的直线变成了曲线。
第4章 拉压杆的应力及变形
4.2 拉压杆横截面 上的轴力及轴力图
4.2 拉压杆横截面上的轴力及轴力图
P 截开： 代替： 平衡： P P A A A P P N
FN 2 20 kN
2、计算各杆件的应力。
B F
C
FN 1
2
y
B F
FN 1 28.3 10 3 1 A1 20 2 10 6 4 6 90 10 Pa 90 MPa
FN 2 45°
x
FN 2 20 10 3 2 2 6 A2 15 10 89 10 6 Pa 89 MPa
一、研究对象 在外力作用下，一切固体都将发生变形，故称为变形固 体（deformable body），而构件一般均由固体材料制成， 故构件一般都是变形固体。 静力学中，力为滑移矢量，力偶矩矢为自由矢。 材料力学中，力与力偶矩矢均不能自由平移。 力的可传性
变 形 不 等 效
力的平移定理
第4章 拉压杆的应力及变形
单位:
FN 牛顿(N) A 平方米(m2)
dA
帕斯卡(pa)
1MPa = 106Pa
FN dA
A
1GPa = 109Pa
正应力符号规定:
FN dA
A
为拉应力，规定为正， 当FN为拉力时， 为压应力，规定为负． 当FN为压力时，
FN A
第4章 拉压杆的应力及变形
4.2 拉压杆横截面 上的轴力及轴力图
轴力图意义:
1 反映出轴力与截面位置变化关系，较直观； 2 确定出最大轴力的数值及其所在横截面的位置，即确定 危险截面位置，为强度计算提供依据。 3 特点：突变值 = 集中载荷大小（方向？同学自己思考）
N kN
+
10
–
25
+
10
x
第4章 拉压杆的应力及变形
4.1 材料力学的基 本假设及基本概念
构件：机器、结构中的零、部件的统称。
杆件（ bar）: 板（plate）: 平板、壳 块体（ body） 板 壳 块 体
杆 件
第4章 拉压杆的应力及变形
杆：一个方向的尺寸远大于其它两个方向的尺 寸
纵向（长的一个方向） 横向（短的两个方向）
第4章 拉压杆的应力及变形
1MPa = 106Pa 1GPa = 109Pa
应力的特点 （1）应力定义在受力构件某一截面的某一点处。 （2）应力是矢量。 （3）截面上各点应力在截面合成结果为该截面的内力。
第4章 拉压杆的应力及变形
拉压杆内的应力
1 实验观察变形： 变形前
a c
受载后 P
b d b´ d´
a´ c´
P
2 平面假设(plane assumption)：变形前原为平面的横截面，变 形后仍保持为平面，且垂直于轴线。
X 0
PN 0
NP
1 轴力(axial force) ——轴向拉压杆的内力，用N 表示。
2 轴力的正负规定: 拉为正，压为负。
(拉力) 3 引起轴向拉伸变形的轴力为正 轴力图：轴力沿杆件轴线变化的图形。 引起轴向压缩变形的轴力为负(压力)
第4章 拉压杆的应力及变形
同一位置处左、右侧截面上内力分量必须具有相 同的正负号。
第4章 拉压杆的应力及变形
4.1 材料力学的基 本假设及基本概念
三、基本假设
1 均匀连续性假设（continuity assumption） 认为材料无空隙地分布于物体所占的整个空间中 认为物体内的任何部分，其力学性能相同 2 各向同性假设 (isotropy assumption ) 认为在物体内各个不同方向的力学性能相同
BC段：
CD段：
CD
NCD 10103 50MPa 6 ACD 20010
第4章 轴向拉压杆的应力及变形
4.1 材料力学的基本假设及基本概念 4.2 拉压杆横截面上的轴力及轴力图
4.3 应力.拉压杆内的应力
4.4 轴向拉（压）杆的变形. 胡克定律 4.5 拉压超静定问题
第4章 拉压杆的应力及变形
4.1 材料力学的基 本假设及基本概念
4.1 材料力学的基本假设及基本概念
内力随外力的增加而加大，随外力的撤除而消
失。
第4章 拉压杆的应力及变形
4.1 材料力学的基 本假设及基本概念
六、杆件的基本变形
(1)拉伸或压缩 外力特点: 外力的合力作用线与 杆的轴线重合。 变形特点: 杆的变形主要是轴向 伸缩伴随横向缩扩。
拉压变形
第4章 拉压杆的应力及变形
4.1 材料力学的基 本假设及基本概念
A δ1 B C B’ F δ2
3 小变形假设 δ 远小于构件的最小尺寸，所 以通过节点平衡求各杆内力时， 把支架的变形略去不计。计算 得到很大的简化。
第4章 拉压杆的应力及变形
4.1 材料力学的基 本假设及基本概念
四、外力与内力
外力： 体积力: 按 外 力 作 用 的 表面力 方 式 连续分布于物体内部各点的力。
pа
p cos cos
2
p sin
0 0
2
sin 2
0:
0 max
45 :
90 :
45
2
45 max
90 0
若AAB = ABC = 500mm 2，ACD = 200mm 2， 求各杆段的正应力及整个杆件最大正应力| |max。
解：
AB
BC
AB段：
N AB 20103 40MPa 6 AAB 50010
N BC 10103 20MPa 6 ABC 50010
4.2 拉压杆横截面 上的轴力及轴力图
轴力(图)的简便求法
A B
2 C
D
F
F4
x
0
N 2 F2 F1
F1
F2 F2
2
F3 N2
N 2 F1 F2 10 20 10kN
F1
由内力方程得：
Ni Fi
设轴力为正时，任一横截面上的轴力等于横 截面一侧所有外力在杆轴线上投影的代数和，背 离截面的外力为正，指向截面的外力为负。
稳定性(Stability)：即保持原有平衡状态的能力 构件的强度、刚度和稳定性不仅与构件的形状有关，而且与所 用材料的力学性能有关，因此在进行理论分析的基础上，实验 研究是完成材料力学的任务所必需的途径和手段。
第4章 拉压杆的应力及变形
4.1 材料力学的基 本假设及基本概念
强 度 不 足 破 坏
如物体的自重和惯性力。
连续作用于物体表面的力。 分布力： 如油缸内壁的油压力，水坝受 到的水压力。 若外力作用面积远小于物体表 集中力： 面的尺寸，可作为作用于一点 的集中力。 如火车轮对钢轨的压力,滚动 轴承对轴的反作用力等。
第4章 拉压杆的应力及变形
4.1 材料力学的基 本假设及基本概念
按 时 间
(2)剪切 外力特点： 作用在构件两侧面上的外力 合力大小相等、方向相反且作 用线很近。 变形特点： 位于两力之间的截面发生 相对错动。
剪切变形
第4章 拉压杆的应力及变形
4.1 材料力学的基 本假设及基本概念
(3) 扭转
外力特点： 在垂直于杆件轴线的两个 平面内，作用一对大小相等、 转向相反的力偶。 变形特点： 各横截面绕轴线发生相对转动.
第4章 拉压杆的应力及变形
4.2 拉压杆横截面 上的轴力及轴力图
[例4-2] 杆受力如图所示。试画出杆的轴力图。 解： 3 30KN 2 30KN 1 20KN DE 段： N1 20 kN
RA A
3
40 +
B
10
C2D
+ –
1
E
BD段： N 2 30 20 10kN
RA 30 10kN
F3
F3
一点的应力：当面积趋于零时，平均应力的大小和方向 F dF 都将趋于一定极限，得到 p lim A 0 A dA 应力总量P 可以分解成: 垂直于截面的分量σ －－正应力 平行于截面的分量τ －－切应力
第4章 拉压杆的应力及变形
应力的国际单位为Pa
1N/m2= 1Pa（帕斯卡）
AB段：N
3 30 30 20
20
40 kN R A
注：内力的大小与杆截面的 大小无关，与材料无关。
轴力图要求： 1.正负号 2.数值 3.阴影线与轴线垂直
第4章 拉压杆的应力及变形
4.3 拉压杆内的应力
应力的概念
F A
C
F4
p
C
F4
由外力引起的内力集 度称为应力。
F •平均应力:某范围内单位面积上内力的平均集度 p A
第4章 拉压杆的应力及变形
4.1 材料力学的基 本假设及基本概念
刚 度 不 足 破 坏
第4章 拉压杆的应力及变形
4.1 材料力学的基 本假设及基本概念
稳 定 性 不 足 破 坏
第4章 拉压杆的应力及变形
4.1 材料力学的基 本假设及基本概念
材料力学的任务: 在满足强度、刚度、稳定性的要求下，以 最经济的代价，为构件确定合理的形状和尺 寸、选择适宜的材料，而提供必要的理论基 础和计算方法。
扭转变形
第4章 拉压杆的应力及变形
4.1 材料力学的基 本假设及基本概念
(4) 弯曲
外力特点：
杆受垂直于轴线的外力 或外力偶矩矢的作用。
变形特点： 弯曲变形
轴线由变形前的直线变成了曲线。
第4章 拉压杆的应力及变形
4.2 拉压杆横截面 上的轴力及轴力图
4.2 拉压杆横截面上的轴力及轴力图
P 截开： 代替： 平衡： P P A A A P P N
FN 2 20 kN
2、计算各杆件的应力。
B F
C
FN 1
2
y
B F
FN 1 28.3 10 3 1 A1 20 2 10 6 4 6 90 10 Pa 90 MPa
FN 2 45°
x
FN 2 20 10 3 2 2 6 A2 15 10 89 10 6 Pa 89 MPa
一、研究对象 在外力作用下，一切固体都将发生变形，故称为变形固 体（deformable body），而构件一般均由固体材料制成， 故构件一般都是变形固体。 静力学中，力为滑移矢量，力偶矩矢为自由矢。 材料力学中，力与力偶矩矢均不能自由平移。 力的可传性
变 形 不 等 效
力的平移定理
第4章 拉压杆的应力及变形
单位:
FN 牛顿(N) A 平方米(m2)
dA
帕斯卡(pa)
1MPa = 106Pa
FN dA
A
1GPa = 109Pa
正应力符号规定:
FN dA
A
为拉应力，规定为正， 当FN为拉力时， 为压应力，规定为负． 当FN为压力时，
FN A
第4章 拉压杆的应力及变形
4.2 拉压杆横截面 上的轴力及轴力图
轴力图意义:
1 反映出轴力与截面位置变化关系，较直观； 2 确定出最大轴力的数值及其所在横截面的位置，即确定 危险截面位置，为强度计算提供依据。 3 特点：突变值 = 集中载荷大小（方向？同学自己思考）
N kN
+
10
–
25
+
10
x
第4章 拉压杆的应力及变形
4.1 材料力学的基 本假设及基本概念
构件：机器、结构中的零、部件的统称。
杆件（ bar）: 板（plate）: 平板、壳 块体（ body） 板 壳 块 体
杆 件
第4章 拉压杆的应力及变形
杆：一个方向的尺寸远大于其它两个方向的尺 寸
纵向（长的一个方向） 横向（短的两个方向）
第4章 拉压杆的应力及变形
1MPa = 106Pa 1GPa = 109Pa
应力的特点 （1）应力定义在受力构件某一截面的某一点处。 （2）应力是矢量。 （3）截面上各点应力在截面合成结果为该截面的内力。
第4章 拉压杆的应力及变形
拉压杆内的应力
1 实验观察变形： 变形前
a c
受载后 P
b d b´ d´
a´ c´
P
2 平面假设(plane assumption)：变形前原为平面的横截面，变 形后仍保持为平面，且垂直于轴线。
X 0
PN 0
NP
1 轴力(axial force) ——轴向拉压杆的内力，用N 表示。
2 轴力的正负规定: 拉为正，压为负。
(拉力) 3 引起轴向拉伸变形的轴力为正 轴力图：轴力沿杆件轴线变化的图形。 引起轴向压缩变形的轴力为负(压力)
第4章 拉压杆的应力及变形
同一位置处左、右侧截面上内力分量必须具有相 同的正负号。
第4章 拉压杆的应力及变形
4.1 材料力学的基 本假设及基本概念
三、基本假设
1 均匀连续性假设（continuity assumption） 认为材料无空隙地分布于物体所占的整个空间中 认为物体内的任何部分，其力学性能相同 2 各向同性假设 (isotropy assumption ) 认为在物体内各个不同方向的力学性能相同
BC段：
CD段：
CD
NCD 10103 50MPa 6 ACD 20010