三角形外角定理的证明
三角形的外角
利用外角和定理求角度
总结词
转化工具，求解角度详细描述 Nhomakorabea三角形的外角和定理是三角形外角的基本性质之一，它指出三角形的外角和等于360°。这个定理可以 用于求解三角形中未知的角度。例如，已知三角形三个内角的度数之和，可以通过减去已知的内角， 再利用外角和定理求出未知的外角的度数。
利用外角平分线定理证明相等
总结词
解题工具，解决问题
详细描述
外角性质可以用于解决一些几何问题，例如求解多边形的内角和、判断多边 形的形状等。例如，可以通过计算一个多边形的所有外角的和，再利用外角 和定理求出多边形的内角的和。
04
例子
求等边三角形的外角
总结词
等边三角形的外角为360°/3=120°
详细描述
等边三角形三边长度相等，每个内角为60°。根据三角形外角的定义，外角等于 不相邻的两个内角的和。因此，等边三角形的外角为180°-60°=120°。
THANK YOU.
三角形外角平分线定理
总结词
一个三角形的一个内角的平分线将对应的 这个内角的外角平分成两个相等的部分。
VS
详细描述
三角形外角平分线定理是三角形外角的一 个重要性质，它指出一个三角形的一个内 角的平分线将对应的这个内角的外角平分 成两个相等的部分。这个定理在解决三角 形的问题时非常有用，因为它可以帮助我 们转化问题，从内角转到外角，从而更容 易地解决问题。
三角形外角的性质
总结词
三角形的任何一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。
详细描述
三角形外角的性质是三角形外角的一个重要性质，它指出三角形的任何一个外角等于和它不相邻的两个内角的 和。这个性质在解决三角形的问题时非常有用，因为它可以帮助我们转化问题，从外角转到内角，从而更容易 地解决问题。
三角形的外角性质定理
三角形的外角性质定理三角形是几何学中最基本的图形之一，它的性质及定理数不胜数。
本文将讨论三角形的外角性质定理，通过论述和推导，我们将揭示出这一性质的内涵和相关特点。
一、三角形的外角定义与性质我们首先来定义三角形的外角。
对于三角形ABC，若点D在边BC 的延长线上，且∠ADB为三角形ABC的外角，则称∠ADB为三角形ABC的外角，其性质如下：1. 外角定理三角形的外角等于其不相邻内角之和。
设∠ABC和∠ACB为三角形ABC的两个内角，∠ADB为该三角形的外角，根据外角定理，我们可以得到以下等式：∠ADB = ∠ABC + ∠ACB该等式表明，三角形的外角与其不相邻内角之和相等。
2. 外角大小三角形的外角是相邻内角的补角。
根据补角的概念，我们知道相邻的两个内角之和为180度。
因此，我们可以得到以下等式：∠ADB + ∠ABC = 180°∠ADB + ∠ACB = 180°这意味着三角形的外角与相邻的两个内角之和的和为180度。
3. 外角的性质三角形的外角可以大于、等于或小于360度。
当三角形的内角为锐角时，其外角为钝角；当内角为直角时，外角为直角；当内角为钝角时，外角为锐角。
这一性质与三角形的内角性质相对应，增加了我们对三角形的认识和理解。
二、外角性质定理的证明接下来，我们将证明外角性质定理。
我们可以通过以下步骤进行证明：1. 根据直角三角形的性质，证明直角三角形的外角等于90度。
2. 假设三角形ABC内角∠ABC + ∠ACB = α，三角形ABC外角∠ADB = β，通过对∠ADB进行角平分，我们得到角∠ADE = β/2。
3. 因为α + β/2 = α + (∠ADB/2) = 180度（直角三角形性质），所以有α + β/2 = 180度，从而推导出β = 2（180度 - α），即β = 360度 - 2α。
通过以上证明，我们可以得出结论：三角形的外角等于360度减去两个相邻内角的和的两倍。
三角形外角定理
数学定理
目录
01 基本介绍
03 推论及证明
02 的证明
三角形外角定理(exterior angle theorem of a triangle)是平面几何的重要定理之一，指三角形的一个 外角等于与它不相邻的两个内角的和。由此可得：三角形的外角大于任何一个与它不相邻的内角。
基本介绍
反证法 图3 假设∠ACD ∠CAB，那么∠ACD=∠CAB，或∠ACD<∠CAB。 (1)若∠ACD=∠CAB(图3)， 在CD上截取CF= AB，连AF， 在△ABC和△FCA中， ∵AB=CF，AC=AC，∠CAB=∠ACD， ∴△ABC≌△FCA ∴∠BCA=∠FCA， 但是，∠BCA+∠FCA= 180°， ∴∠CAF+∠BAC= 180°.
的证明
证法一
证法二
利用三角形内角和定理证明有 ∠1=∠A，∠2=∠B，∴ ∠1+∠2=∠A+∠B(图2) . 图2
全等形证法 如图2,设E为AC的中点，连BE且延长到F，使EF= BE，连CF。 在△ABE和△CEF中， ∵∠AEB=∠CEF，BE= EF，AE= EC ∴ △ABE≌△CEF ∴∠1=∠A ∴CF// AB ∴∠2=∠ABC， ∴∠1 +∠2=∠A+∠ABC， 即 ∠ACD=∠A+∠B.
三角形外角定理三角形的任意一个外角等于和它不相邻的两个内角之和。如图1，△ABC的一个外角 ∠CBE=∠A+∠C。
这个定理的证明，如图1所示，利用平行线的性质证明；也可以直接用三角形内角和定理证。
图1
由三角形外角定理不难推出：三角形任意一个外角，大于和它不相邻的任意一个内角。如图1，∠CBE>∠A， ∠CBE>∠C 。
三角形的外角及常见结论的证明复习课件人教版八年级上册
4、如图，已知△ABC中，∠A沿着EF翻折到∠A’,
解：因为∠ADC是△ABD的外角. 说出下列图形中∠1和∠2的度数：
A
所以∠ADC=∠B+∠BAD=80°.
（1）位置关系：相邻和不相邻.
外角大于不相邻的任何一个内角.
所以∠ADC=∠B+∠BAD=80ห้องสมุดไป่ตู้.
探究1：三角形外角的性质 解：因为∠ADC是△ABD的外角. 如图，求证：∠BDC= ∠B+ ∠C+ ∠BAC
＿＿36＿0°＿.
B
A
C
1
P
N3
2M
F
D
E
2 .如图，D 是△ABC 的BC边上一点,∠B =∠BAD, ∠ADC =80°， ∠BAC =70°，求：（1）∠B 的度数；（2）∠C 的度数.
解：因为∠ADC是△ABD的外角.
所以∠ADC=∠B+∠BAD=80°.
又因为∠B=∠BAD，
所以B 80 1 40, 在△ABC中： 2
.
80 ° ∠ACD = ∠A +∠B.
∠C=180º-40º-70º=70°. 1、如图，试求出∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F =＿＿＿＿.
6、如图所示，已知△ABC ，∠CBD和∠BCE的角平分
60 ° 1 请用三种不同的方法证明该结论！
如图，求证：∠BDC= ∠B+ ∠C+ ∠BAC ∠1+ ∠2+ ∠3=？
∠B+∠BAC+∠C=180°， ∠C=180º-40º-70º=70°.
A
70°
40°
80°
B
D
C
课堂 小结
三角形外角定理
三角形外角定理三角形外角定理是指一个三角形的外角等于其两个不相邻内角的和。
该定理用于求解三角形内角或外角的关系，为解决三角形相关问题提供了重要的数学工具。
在本文中，我将详细介绍三角形外角定理的概念、证明方法以及应用实例。
一、概念三角形外角即指一个三角形的内角的补角。
为了方便讨论，我们分别用A、B、C表示一个任意三角形的三个内角，而用X、Y、Z表示其对应的外角。
根据三角形内角的性质，我们知道三个内角的和等于180度，即A+B+C=180度。
根据外角的定义，有X=180度-A、Y=180度-B和Z=180度-C。
二、证明方法要证明三角形外角定理，我们可以通过几何推理进行证明。
具体步骤如下：1. 假设存在一个任意三角形ABC，将其一个内角A的补角记作X。
2. 连接点A和点C，构成线段AC。
3. 在线段AC上选取一点D，使得线段BD与线段AC重合。
4. 连接点A和点D，构成线段AD。
5. 通过B点画一条平行于线段AC的直线，与线段AD相交于点E。
6. 观察三角形ABC和三角形ABE。
根据平行线性质，我们可以得出∠A和∠ECD为同位角，它们是对应线段AC的内角，因此它们相等，即∠A=∠ECD。
又根据三角形内角的性质，得出∠A+∠B+∠C=180度，即∠ECD+∠ECA+∠B=180度，整理得∠ECD=∠B。
由此可知∠A=∠B。
同理，我们可以利用同样的方法证明三角形内角A与其对应的外角X相等。
综上所述，我们证明了三角形外角定理的正确性。
三、应用实例三角形外角定理在解决实际问题时具有广泛的应用。
以下举例说明：例1：已知一个三角形的两个角分别是40度和70度，求其第三个角的度数以及对应的外角。
解：根据三角形内角和为180度的性质，我们可以得到第三个角的度数为180度-40度-70度=70度。
根据三角形外角定理，外角X的度数等于对应内角的补角，即X=180度-40度=140度。
例2：已知一个三角形的两个外角的度数分别为120度和150度，求其第三个外角的度数。
三角形的外角和定理的应用
三角形的外角和定理的应用三角形是我们初中数学学习的重要内容之一，其中外角和定理是三角形的重要性质之一。
在本文中，我将详细介绍外角和定理的定义、性质以及应用，并通过实例来说明其在实际问题中的应用。
一、外角和定理的定义和性质在了解外角和定理的应用之前，我们首先需要了解外角和定理的定义和性质。
外角是指一个三角形的一个内角的补角。
具体来说，对于一个三角形ABC，如果我们将边AB和边BC延长，使其相交于一点D，那么∠ACD就是三角形ABC的外角。
同理，我们可以定义三角形的其他两个外角。
外角和定理是指三角形的三个外角之和等于360°。
换句话说，对于一个三角形ABC，我们可以得出以下等式：∠A + ∠B + ∠C = 360°。
二、外角和定理的应用外角和定理在数学的应用中具有广泛的应用，下面我将通过两个实例来说明其应用。
实例一：利用外角和定理解决几何问题假设有一个三角形ABC，其中∠A = 60°，∠B = 80°，我们需要求解∠C的度数。
根据外角和定理，我们知道∠A + ∠B + ∠C = 360°。
将已知的角度代入该等式，得到60° + 80° + ∠C = 360°。
通过简单计算，我们可以得出∠C = 220°。
实例二：应用外角和定理解决实际问题假设有一个三角形ABC，其中∠A = 50°，∠B = 70°，边AC的长度为10 cm，我们需要求解边BC的长度。
我们可以利用三角形的外角和定理，通过已知的角度和边长来求解未知的边长。
首先，我们可以利用三角形的内角和定理求解∠C的度数。
根据内角和定理，我们知道∠A + ∠B + ∠C = 180°。
将已知的角度代入该等式，得到50° + 70° + ∠C = 180°。
通过简单计算，我们可以得出∠C = 60°。
三角形的外角和定理
三角形的外角和定理三角形是几何学中最基本的图形之一，它由三条线段连接在一起，并形成了三个顶点和三个内角。
除了内角，我们还可以研究三角形的外角。
本文将介绍三角形的外角及其相关定理。
什么是三角形的外角？在三角形中，每个顶点的外角是指当顶点所对的两条边向外延伸时形成的角。
我们可以以三角形ABC为例，点A的外角为角BAC的补角，点B的外角为角ABC的补角，点C的外角为角BCA的补角。
那么，三角形的外角和定理是什么呢？外角和定理是指三角形的外角之和等于360度。
也就是说，对于任意一个三角形ABC，它的三个外角A、B、C的度数之和等于360度。
这一定理也可以简单地表示为∠A+∠B+∠C=360°。
为了更好地理解外角和定理，我们可以通过一个具体的例子来说明。
假设有一个三角形ABC，其中∠A=60°，∠B=80°，∠C=100°。
我们可以计算一下这个三角形的三个外角之和。
根据外角和定理，我们有∠A'+∠B'+∠C'=360°。
由于∠A'=∠B，∠B'=∠C，∠C'=∠A，我们可以将上述等式转化为∠B+∠C+∠A=360°。
带入我们已知的角度值，即可得到80°+100°+60°=360°。
因此，我们可以知道这个三角形的三个外角之和确实等于360度，验证了外角和定理的正确性。
外角和定理的证明可以通过几何学中的角和线段的性质来推导。
首先，我们可以利用内角和定理，即三角形的内角之和等于180度。
我们可以得知三角形的一个内角与其所对的外角之和等于180度。
又因为三角形的三个内角之和也等于180度，我们可以得出三个外角之和等于三个内角之和。
即∠A+∠B+∠C=180°。
然后，我们再来考虑一个完整的圆，它的周角等于360度。
根据圆的性质，一个圆的周角等于它的圆心角之和。
北师大版初中八年级上册数学：三角形外角定理的证明
∴∠ABE= ∠2
（两直线平行，内错角相等）
∠EBD= ∠3 （两直线平行，
同位角相等）
∵ ∠ABD= ∠ABE+ ∠EBD
∴ ∠ABD= ∠2+ ∠3（等量代换）
则这个三角形是( C )
A.直角三角形 B.锐角三角形
C.钝角三角形 D.无法确定
活动四： 三角形外角定理运用 E
A
D
已知：如图，在△ABC中,
AD平分外角∠EAC,∠B=∠C.
求证：AD∥BC.
B
C
认真阅读例题，
想一想例题是运 用了什么定理得
到了证明？
活动四： 三角形外角定理运用
已知:如图，在△ABC中,
E
AD平分外角∠EAC,∠B=∠C. 求证：AD∥BC. 证明：∵∠EAC=∠B+∠C
A· D
(三角形的一个外角等于和它
不相邻的两个内角的和)
B
·C
∠B=∠C (已知)
请在例题的基
∴∠C=
1 2
∠EAC(等式性质)
础上通过增加
∵∴还∠ADD有A平C=分其12∠∠它EEAAC方C(已(角法知平)分线的或换定义者个) 适方法当试修试改。，
PB、PC。
求证：∠BPC ＞ ∠A
延长CP交AB与点E
E
已知：如图P是△ABC内一点，连接PB、PC。 求证：∠BPC ＞ ∠A
证明：连接AP并延长交BC于点E.
∵ ∠1是△ABP的一个外角 ∴ ∠1 ＞ ∠3 ∵ ∠2是△ACP的一个外角 ∴ ∠2 ＞ ∠4 ∴ ∠ 1+ ∠2 ＞ ∠3+ ∠4 即 ∠BPC ＞ ∠BAC
A.∠ABC B.∠ACD C.∠BDC
证明三角形外角判定方法
证明三角形外角判定方法三角形是初中数学中的重要概念，三角形的外角判定方法则是三角形性质的一个重要内容，它可以让我们更好地认识三角形的结构和性质。
下面，我们就来证明一下三角形外角判定方法。
三角形的外角判定方法是指：三角形的一个外角等于其对应的两个内角的和。
这个定理可以由以下的图形来加以说明：[图1]在图1中，三角形ABC的一个外角为∠ACD，这个外角是由直线AC和CD组成的。
由于直线AC和CD共线，所以∠ACD 等于∠ABC和∠BCD的和。
也就是说，三角形ABC的外角等于其对应的两个内角的和。
那么，我们该如何证明这个定理呢？下面，我们将采用数学归纳法来证明这个定理，在证明过程中，我们将不断用到三角形性质中的角平分线定理、直角三角形的勾股定理等。
证明：我们首先证明对于任意的三角形，它的一个外角等于其对应的两个内角的和。
设三角形ABC有一个外角∠ACD，如图2：[图2]根据角平分线定理，直线BD是∠ABC的平分线，故∠CBD=1/2∠ABC；同理，直线AD是∠ACB的平分线，故∠CAD=1/2∠ACB。
又∠ABD=∠ACD+∠CBD，∠BAC=∠CAD+∠ACD，所以∠ABD+∠BAC=∠ACD+∠CBD+∠CAD+∠ACD=2∠ACD，即∠ACD=(∠ABD+∠BAC)/2=∠BDE，而∠ABC+∠ACD=∠ABC+∠BDE=180°，故∠ACD=180°-∠ABC-∠ACB，即三角形ABC的一个外角等于其对应的两个内角的和。
接下来，我们证明任意多边形的一个外角等于其对应的两个内角的和。
对于三角形来说，上面已经证明了三角形的每一个外角都等于其对应的两个内角的和。
现在，我们考虑n(n>3)边形。
将n边形分割成n-2个三角形，如图3所示：[图3]根据上面的证明可知，每个三角形的一个外角等于其对应的两个内角的和，所以n边形的一个外角可以由n-2个外角相加得到，而每个外角都等于其对应的两个内角的和，所以n边形的一个外角等于其对应的两个内角的和。
三角形内角定理证明与外角定理证明
三角形内角定理证明与外角定理证明 姓名______________学号_______
一、我们已经学习过“三角形内角和等于1800”这个定理，那么这个定理是如何证明的呢？
1、如图，已知△ABC 。
求证：∠A+∠B+∠C ＝1800。
2、当我们学习了“三角形内角和定理”后，就可以利用它计算角的度数或探索其它定理，比如探索“n 边形的内角和公式”。
证明：① 如图，四边形ABCD ，连接顶点B 和D ，
将四边形分成_____个三角形，
所以四边形内角和是______________。
② 如图，五边形ABCDE ，连接顶点__________， 将五边形分成_____个三角形，
所以五边形内角和是______________。
③ 如图，六边形ABCDEF ，连接顶点__________， 将六边形分成_____个三角形，
所以六边形内角和是______________。
……
综上所述，n 边形可以分成________个三角形，所以n 边形内角和是______________。
二、我们已经学习过“三角形外角和等于3600”这个定理，那么这个定理是如何证明的呢？
3、如图，已知△ABC ，∠1、∠2、∠3是△ABC 的外角。
求证：∠1+∠2+∠3＝360
4、当我们学习了
“三角形外角和等于3600” 和“三角形内角和定理”后，就可以利用它探索其它定理，比如探索“n 边形的外角和”。
证明：
四边形
五边形 六边形 n 边形。
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1.引导生对刚才的猜想进行验证。
2.提问：这两个结论是怎么推导出来的呢？进而给出推论的含义。
强调：应用三角形内角和定理的推论时，一定要注意其适用条件即：“和它不相邻”的意义.
（四）反馈练习
1.已知:如图,在△ABC中,外角
∠DCA=100°,∠A=45°.求:∠B和
∠ACB的大小.
2、看图形填空：（2）∠1=____（2）∠2=____。
△ABC的什么角？
3.引入新课，板书课题：关注三角形的外角.
思考并回答问题。
观察思考。
为讲述三角形外角的概念奠定基础。
讲
授
新
课
讲
授
新
课
（一）概念感知
1.给出三角形外角的定义并明晰外角的特征。
2.出示四幅图，让生指出哪个∠1是三角形的外角？
（二）小试身手
1.已知如下左图∠A＝60°∠B＝50°则∠1＝___°∠2＝__°
2.已知如下右图∠A＝30°∠B＝40°则∠1＝__°
∠2＝__°
3.让学生根据以上结果，小组合作，尝试找出三角形外角与内角之间的关系、并大胆写出来！
a)：三角形外角与相邻内角之间的关系：互补
b)：三角形外角与不相邻的内角之间的关系猜想1：三角形ຫໍສະໝຸດ 一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.
猜想2：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.
课题
三角形外角定理的证明
课型
新授课
设计人
刘銮国
教
学
目
标
（一）教学知识点
1、三角形外角的概念2、三角形的内角和定理的两个推论
（二）能力训练要求
1、经历探索三角形内角和定理的推论的过程，进一步培养学生的推理能力。
2、理解掌握三角形内角和定理的推论及其应用。
（三）情感与价值观要求
引导学生从内和外、相等或不相等的不同角度对三角形做更全面的思考，进一步加深对几何证明的感受和理解。
3、看图形用“=”、“＞”或“＜”填空：
（1）∠1____∠CAB+∠ABC
（2）∠2____∠ABC
（3）∠CAB____∠3
（4）∠1+∠2+∠3____ 360º
倾听、理解。
学生围绕三角形外角的特征回答。
学生单独回答.
在教师的引导下，学生分组讨论，得出猜想；然后每组派代表进行分析。
学生小组合作自行验证两个猜想。在验证过程中感悟由特殊现象归纳出一般结论的思想方法及其不可靠性，进而体会逻辑证明的必要性.
例1、已知：如图，在△ABC中，AD平分外角∠EAC，∠B=∠C。求证：AD∥BC
（1）引导学生分析证明AD∥BC的思路。
（2）请生板演，然后针对学生的证明进行讲评。
2.出示变式训练（一）
（1）已知：如图，∠ABC=80o,∠C=60o,∠EAC与∠EBC的平分线相交于点D，求∠D的度数.
（2）在变式（1）中，若∠ABC=80o，∠C=70o，求∠D的度数.
例2的设置是考察学生运用推论2证明有关角不等的问题，变式训练的目的让学生体会转化这种数学思想，进一步训练学生寻找数学证明的切入途径和规范表述.
课
时
小
结
引导学生谈一谈这一节课的收获及存在的问题。
学生在老师的指导下完成小结。
巩固所学知识，锻炼学生的语言表达能力和归纳总结能力。
作
业
布
置
课本244页习题6.7第1、2题
（四）创新性目标
在体验一题多变、一题多解的过程中发散思维，提高空间想象能力。
教学重点
三角形内角和定理两个推论及其推导。
教学难点
三角形内角和定理的推论的灵活应用。
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
复
习
引
入
一、复习引入
1.提问：三角形内角和定理的内容是什么？证明此命题的基本思路是什么？
2.出示下图，提出问题：∠1是
（3）已知：如图，∠EAC与∠EBC的平分线相交于点D.
求证：∠D= ∠C.
3.提出问题：若证明两个角不相等、或大于、或小于时，该如何证呢？
4.出示243页例2已知：如图，在△ABC中，∠1是它的一个外角，E是边AC上一点，延长BC到D，连接DE.求证：∠1>∠2.
1）给出提示：一般证明角不
等时，应用“三角形的一个外 角大于任
学生独立完成作业
附：板书设计
何一个和它不相邻的内角”来证明。所
以需要找到三角形的外角。
2）引导生解题。
5.出示变式训练（二）
（1）已知：如图，
求证：①∠D>∠A.
②∠BDC=∠B +∠C+∠A
（2）若点D沿着射线AD运动到BC的左侧，那么结论又将怎样？
在老师的引导下，自己完成证明.
体会证明的逻辑性以及严谨性.
学生独立完成.对第1问，邀请不同学生展示自己解答方法，通过对比，选择最优的方法.
第2问要求学生口答.
第3问要求学生书写证明过程.
分析证明角的不等关系应该用到推论2，考虑具体问题中角之间的位置关系，学生独立完成.
学生联系两个图形的相似之处，将新问题转化为所熟悉的问题来解决.
例1的设置是
对推论1的直接应用，检验学生掌握情况并且强调几何证明的规范书写.
变式训练让学生再次体验从特殊得到一般的数学方法.
生独立完成。
通过学生回答，让学生体会几何直观化的重要性，再对定义做出诠释，加深理解.
设置这两个问题的目的是让学生感受从特殊到一般的数学方法，要突破本节课教学难点，就得引导学生自己得出猜想。
对所得猜想加以逻辑证明，使得猜想上升为定理，将新知识转化为自己的知识.
及时巩固所学的两个推论。
典
例
精
析
1.引导学生完成课本242页例1.