平面与空间直线的方程以及它们的位置关系
空间中直线与平面的位置关系
空间中直线与平面的位置关系在三维空间中，直线和平面是两个基本的几何概念。
它们之间的位置关系包括直线在平面上、直线与平面平行以及直线与平面相交等情况。
本文将就这些不同的情况逐一进行讨论，以便更好地理解直线和平面之间的位置关系。
一、直线在平面上当一条直线完全位于一个平面内时，我们称该直线在该平面上。
直线在平面上的特点是直线上的任意两点都在该平面上。
可以通过给定直线上两个点和该直线的方向向量来确定一条直线。
对于给定平面，可以通过平面上一点和该平面的法向量来确定一个平面。
如果直线的方向向量与平面的法向量平行，则该直线在此平面上。
二、直线与平面平行当一条直线的方向向量与平面的法向量平行时，我们称该直线与该平面平行。
直线与平面平行的特点是直线上的所有点到平面的距离都相等。
可以通过给定直线上一点和该直线的方向向量来确定一条直线。
对于给定平面，可以通过平面上一点和该平面的法向量来确定一个平面。
如果直线的方向向量与平面的法向量平行，则该直线与此平面平行。
三、直线与平面相交当一条直线与一个平面的交点不止一个时，我们称该直线与该平面相交。
可以通过给定直线上一点和该直线的方向向量来确定一条直线。
对于给定平面，可以通过平面上一点和该平面的法向量来确定一个平面。
直线与平面相交的特点是它们有一个交点，并且交点同时在直线上也在平面上。
总结起来，在空间中，直线和平面之间的位置关系可以归结为三种情况：直线在平面上、直线与平面平行以及直线与平面相交。
判断直线和平面之间的位置关系需要根据给定的方向向量和法向量，通过比较它们的关系来确定。
这些几何概念和位置关系在数学中有着广泛的应用，例如在计算机图形学、物理学等领域。
通过以上的讨论，我们可以更好地理解空间中直线与平面的位置关系。
不同的位置关系带给我们不同的几何特征，这也为我们解决实际问题提供了方便。
因此，在进行几何分析和计算时，我们需要准确理解直线和平面之间的位置关系，以确保分析和计算的准确性。
空间直线与平面的位置关系与交点求解
空间直线与平面的位置关系与交点求解空间直线和平面是三维几何中的基本几何元素。
它们在空间中的位置关系十分重要，用于解决许多实际问题，比如计算机图形学、机械制造和物理学等。
本文将详细介绍空间直线和平面的位置关系，以及如何求解它们的交点。
一、空间直线和平面的位置关系空间直线和平面的位置关系有以下三种情况：1. 相交当空间直线与平面交于一点时，它们的位置关系是相交。
此时，交点可以通过求解直线和平面的联立方程组得到。
具体而言，假设空间直线的参数方程为：$$\frac{x-x_0}{l}=\frac{y-y_0}{m}=\frac{z-z_0}{n}$$其中 $(x_0,y_0,z_0)$ 是直线上一点的坐标，$(l,m,n)$ 是直线的方向向量。
而平面的一般式方程为：$$Ax+By+Cz+D=0$$其中 $(A,B,C)$ 是平面法向量的坐标，$D$ 是平面常数。
将直线的参数方程代入平面方程中，可得到：$$Al+Bm+Cn+Ax_0+By_0+Cz_0+D=0$$解上述联立方程组，即可求出直线和平面的交点坐标。
2. 平行当空间直线与平面平行时，它们的位置关系是平行。
此时，两者的方向向量方向相同或相反。
若方向相同，则直线和平面不相交，否则直线与平面之间存在一个无穷远点的距离。
3. 垂直当空间直线与平面垂直时，它们的位置关系是垂直。
此时，它们的方向向量互相垂直。
二、求解空间直线和平面的交点求解空间直线和平面的交点需要解决两个问题。
首先，需要判断直线和平面是否相交或平行，从而决定是否存在交点。
其次，如果相交，则需要求解它们的交点坐标。
以一个实际的例子来说明。
假设平面的法向量为 $(1,2,3)$，经过点$(4,5,6)$ , 空间直线的参数方程为：$$\frac{x-2}{1}=\frac{y-3}{2}=\frac{z-1}{3}$$首先，需要求解直线和平面是否相交或平行。
根据向量的点积运算，直线的方向向量和平面的法向量的点积为：$$\begin{aligned}&(1,2,3)\cdot\left(\frac{1}{\sqrt{1^2+2^2+3^2}},\frac{2}{\sqrt{1^2+2^2+3^2}},\frac{3} {\sqrt{1^2+2^2+3^2}}\right)\\=&1\times\frac{1}{\sqrt{1^2+2^2+3^2}}+2\times\frac{2}{\sqrt{1^2+2^2+3^2}}+3\times\frac{3}{\sqrt{1^2+2^2+3^2}}\\=&0\end{aligned}$$由于点积为 $0$，所以直线和平面垂直，相交于一点。
直线与平面的距离与位置关系
直线与平面的距离与位置关系直线与平面的距离与位置关系是几何学中的基础概念之一。
在空间中，直线和平面是我们常见的图形和物体。
了解直线与平面之间的距离与位置关系，对于解决几何问题以及应用于现实生活中的问题都是非常重要的。
本文将详细介绍直线与平面的距离计算方法以及它们之间的位置关系。
一、直线与平面的距离计算1. 点到平面的距离计算公式要计算一个点到平面的距离，我们可以应用以下公式：距离= |Ax + By + Cz + D| / √(A^2 + B^2 + C^2)其中，平面的方程为Ax + By + Cz + D = 0，点的坐标为(x, y, z)。
公式中的分子|Ax + By + Cz + D|代表的是点到平面的有向距离。
2. 直线到平面的距离计算公式要计算一条直线到平面的距离，我们可以使用以下公式：距离= |Ax1 + By1 + Cz1 + D| / √(A^2 + B^2 + C^2)其中，直线上的一点坐标为(x1, y1, z1)，平面的方程为Ax + By + Cz + D = 0。
同样，公式中的分子|Ax1 + By1 + Cz1 + D|代表的是有向距离。
二、直线与平面的位置关系1. 直线与平面相交当一条直线与平面相交时，我们可以根据直线与平面之间的角度来判断它们的位置关系。
当直线与平面的夹角为锐角时，直线与平面相交于一点。
当直线与平面的夹角为直角时，直线与平面相交于一条直线。
这种情况常见于垂直于平面的直线。
当直线与平面的夹角为钝角时，直线与平面不相交。
2. 直线与平面平行或重合当一条直线与平面平行时，它们之间的距离为点到平面的距离。
根据上文提到的点到平面的距离公式，我们可以计算出直线与平面的距离。
当一条直线与平面重合时，它们的位置完全一样，距离为0。
三、示例问题现在，我们通过几个示例问题来更好地理解直线与平面的距离与位置关系。
示例问题1：计算点P(2, 3, 4)到平面2x - 3y + z - 7 = 0的距离。
空间中直线与平面的关系
空间中直线与平面的关系在空间几何学中，直线和平面是两种基本的几何要素，它们之间存在着紧密的关系。
本文将探讨直线与平面的相互作用，以及它们在空间中的几何性质。
一、直线在平面内的位置关系直线可以分为三种不同的位置关系：直线在平面内的情况、直线在平面上的情况和直线与平面相交的情况。
1. 直线在平面内的情况当直线和平面没有交点时，我们说直线在平面内部。
在这种情况下，直线与平面是平行的。
平行的定义是：两条直线在平面内不存在交点，并且它们的方向向量也是平行的。
例如，在笛卡尔坐标系中，直线方程为y = mx + c，而平面方程为ax + by + cz + d = 0，其中m、c、a、b、c、d为常数。
当平面的法向量[a, b, c]与直线的方向向量[1, m, 0]平行时，我们可以确定直线在平面内。
2. 直线在平面上的情况当直线与平面有交点时，我们说直线在平面上。
直线在平面上可以有不同的位置关系：直线与平面相切、直线在平面内部和直线穿过平面。
- 直线与平面相切：在这种情况下，直线与平面只有一个交点，并且这个交点同时属于直线和平面。
我们可以通过求解直线和平面的方程组来确定交点的坐标。
- 直线在平面内部：当直线与平面有无数个交点时，我们说直线在平面内部。
在这种情况下，直线与平面相交但不重合。
- 直线穿过平面：当直线与平面有无穷多个交点时，我们说直线穿过平面。
在这种情况下，直线与平面重合。
3. 直线与平面相交的情况当直线与平面相交时，我们可以进一步讨论相交点的情况。
直线可以与平面相交于一个点、一条直线或平面本身。
- 直线与平面相交于一个点：在空间几何中，直线与平面相交于一个点是最常见的情况。
这时，我们可以通过求解直线和平面的方程组来确定交点的坐标。
- 直线与平面相交于一条直线：在这种情况下，直线与平面共面并且有无数个公共点。
这种情况也可以通过求解直线和平面的方程组来确定。
- 直线与平面相交于平面本身：直线与平面之间存在特殊的关系，即它们有一条公共直线。
空间几何直线与平面的位置关系
空间几何直线与平面的位置关系空间几何中，直线和平面是两个基本要素，它们之间存在着丰富的位置关系。
本文将就直线与平面的位置关系展开探讨，包括直线在平面上、直线与平面的交点、直线与平面的平行与垂直等方面。
一、直线在平面上直线可以与平面有三种不同的位置关系：直线在平面之内、直线在平面之上以及直线与平面相交。
1. 直线在平面之内直线在平面之内指的是直线的所有点都在平面上。
当直线与平面没有交点时，可认为直线在平面之内，如图1所示。
2. 直线在平面之上直线在平面之上指的是直线与平面不相交，也就是直线的所有点都在平面的同一侧。
当直线与平面平行时，可认为直线在平面之上，如图2所示。
3. 直线与平面相交直线与平面相交通常存在交点，交点可以是唯一的也可以是无穷多个。
当直线与平面仅有一个交点时，可认为直线与平面相交，如图3所示。
二、直线与平面的交点当直线与平面相交时，交点的性质也具有一定的规律和特点。
1. 交角直线与平面相交时，与平面相切的直线与平面的夹角被称为交角。
交角的大小受到直线与平面的位置关系的影响。
当直线在平面之上时，所对应的交角为锐角；当直线在平面之内时，所对应的交角为钝角，如图4所示。
2. 交点的个数直线与平面的位置关系决定了交点的个数。
当直线与平面平行时，直线与平面没有交点；当直线与平面有且只有一个交点时，直线穿过平面。
若直线与平面有无穷多个交点，则直线包含于平面中，如图5所示。
三、直线与平面的平行与垂直关系直线与平面之间的平行和垂直关系是空间几何中常见的情况。
1. 直线与平面的平行关系直线与平面平行指的是直线与平面没有任何交点，并且它们的方向也相同或者完全相反。
当两条直线都与同一个平面平行时，这两条直线也可以认为是平行的。
平行关系是指直线与平面之间的一种基本的位置关系，具有重要的数学应用价值。
2. 直线与平面的垂直关系直线与平面垂直指的是直线与平面之间的夹角为90度。
当直线与平面的方向垂直时，可以说直线与平面垂直。
空间直线平面间的位置关系
空间直线平面间的位置关系一、引言空间中的直线和平面是几何学中的基本概念，它们之间的位置关系对于解决许多几何问题至关重要。
本文将深入探讨空间直线和平面之间的各种位置关系，并通过具体的例子进行说明。
二、直线和平面的定义2.1 直线直线是由无数个点按照一定方向延伸而成的，它没有起点和终点，可以看作是无限长的。
直线可以用两个点确定，也可以用一个点和一个方向向量确定。
2.2 平面平面是由无数个点构成的，它是一个二维的几何图形。
平面可以用三个不共线的点来确定，也可以用一个点和两个不平行的方向向量来确定。
三、直线和平面的位置关系直线和平面之间有以下几种常见的位置关系。
3.1 相交当直线与平面有一个公共点时，称直线与平面相交。
相交的情况可以分为以下三种：1. 直线与平面相交于一点。
2. 直线与平面相交于一条线段。
3. 直线与平面相交于无穷多个点。
3.2 平行当直线与平面没有公共点且方向向量相互平行时，称直线与平面平行。
平行的情况可以分为以下两种： 1. 直线在平面上的投影与平面重合。
2. 直线与平面在空间中平行但没有公共点。
3.3 垂直当直线与平面的方向向量与平面的法向量垂直时，称直线与平面垂直。
垂直的情况可以分为以下两种： 1. 直线通过平面上的一点且垂直于平面。
2. 直线与平面在空间中垂直但没有公共点。
3.4 直线包含于平面当直线上的每一个点都在平面上时，称直线包含于平面。
直线包含于平面的情况可以分为以下两种： 1. 直线在平面上完全重合。
2. 直线在平面上的一部分重合。
四、示例分析为了更好地理解直线和平面之间的位置关系，我们来看几个具体的示例。
4.1 直线与平面相交考虑直线L：x = 1 + t, y = 2 - t, z = 3 + t 和平面P：2x - y + 3z = 4。
我们可以通过求解方程组来确定它们的交点：2(1 + t) - (2 - t) + 3(3 + t) = 42 + 2t - 2 + t + 9 + 3t = 46t + 9 = 46t = -5t = -5/6将t的值代入直线方程可以得到交点的坐标为：(7/6, 17/6, 13/6)。
空间直线与平面的位置关系与判定
空间直线与平面的位置关系与判定空间中的直线和平面是几何学中常见的基本要素，它们之间的位置关系及其判定方法在解决实际问题和进行空间几何推理时起着至关重要的作用。
本文将就空间直线与平面的位置关系以及判定方法进行分析和探讨。
一、空间直线与平面的位置关系在三维空间中，直线与平面之间可以存在三种不同的位置关系：直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行。
下面将分别对这三种情况进行详细说明。
1. 直线在平面内：当直线完全包含在平面内部时，我们称直线在平面内。
这种情况下，直线上的所有点都同时满足平面方程，即直线上的任意一点坐标代入平面方程后等式成立。
举例来说，考虑一条直线L：{(x,y,z)|x+y-z+1=0}，以及一个平面P：x+y-z=0。
可以发现，直线L上的所有点坐标代入平面P的方程后等式成立，所以该直线L在平面P内。
2. 直线与平面相交：当直线与平面有交点时，我们称直线与平面相交。
直线与平面相交的情况下，直线上的所有点坐标代入平面方程后等式成立，但并不能包含直线上的所有点。
以直线L：{(x,y,z)|x+y-z+1=0}与平面P：x+2y+3z=0为例，我们可以求解这两个方程组，找出它们的交点。
经计算可得，L和P的交点为(-1, -2, 1)，因此直线L与平面P相交。
3. 直线与平面平行：当直线与平面没有交点且直线上的所有点坐标代入平面方程后等式不成立时，我们称直线与平面平行。
以直线L：{(x,y,z)|x+y-z+1=0}和平面P：2x+2y-2z+2=0为例，我们可以观察到直线L上的任意一点坐标代入平面P的方程后等式不成立。
因此，直线L与平面P平行。
二、空间直线与平面的判定方法在实际问题中，我们常常需要根据给定的方程或条件来判断直线与平面之间的位置关系。
下面将介绍两种常用的判定方法：点法向式和方向向量法。
1. 点法向式：点法向式是通过平面上的一点和该平面的法向量来表示平面的方程。
利用点法向式可以判断直线与平面的位置关系。
高中数学空间点直线和平面的位置关系公式
高中数学空间点直线和平面的位置关系公式The Standardization Office was revised on the afternoon of December 13, 2020空间点，直线和平面的位置关系一，线在面内的性质：定里1. 如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线上所有点都在这个平面内。
二，平面确定的判定定理：定里2. 经过不在同一直线上的三点有且只有一个平面。
定里3.经过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面。
定里4. 经过两条相交直线有且只有一个平面。
定里5.经过两条平行直线有且只有一个个平面。
三，两面相交的性质：定里6. 如果两个平面有一个公共点，那么还有其它公共点，则这些公共点的集合是一条直线。
四，直线平行的判定定理：定里7. 平行于同一直线的两直线平行。
五，等角定理：定里8.如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行且同向，那么这两个角相等。
六，异面直线定义：不同在任何一个平面内的两条直线叫异面直线。
（异面直线间的夹角只能是：锐角或直角）七，直线和平面平行的判定定理：定理9. 平面外一条直线与平面内一条直线平行，那么这条直线与这个平面平行。
符合表示：βββ////a b a b a ⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊂⊄推理1. 如果一条直线与平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。
符号表示：b a b a a a ////⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫=⊂⊄βαβαα 八，平面与平面平行判定定理：定理1. 如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面平行。
符号表示：βαββαα//////⇒⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫=⊂⊂b a M b a b a推论1：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面平行。
九，平面与平面平行的性质：定理1. 如果两个平面平行同时与第三个平面相交，那它们的交线平行。
符号表示：d l d l ////⇒⎪⎭⎪⎬⎫==γβγαβα十，线与面垂直的判定定理：定理1. 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都平行，那么这条直线垂直这个平面。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
平面与空间直线的方程以及它们的位置关系高天仪 20101105055数学科学学院 数学与应用数学专业 10级汉二班指导教师 李树霞摘要 解析几何中，在建立平面与空间直线的方程与讨论他们的性质时，充分运用了向量这一工具，通过向量来处理这类问题的好处是与坐标的选取是无关的.平面与空间直线方程的建立，就使得有关平面与空间直线的几何问题转化为这些几何对象的方程的代数问题了.在这里，我们通过向量来讨论一下平面和空间直线的方程以及它们之间的位置关系. 关键词 法向量;方向向量;参数方程1空间平面的方程1.1空间平面的一般方程一个平面π是由垂直它的非零向量},,{C B A =和平面上的一个点),,(0000z y x M 唯一决定的，称为π的法向量.由于为平面π的法向量，0M 为π上一点，则对于空间中任意一点),,(z y x M ，M 在π上当且仅当 00=⋅MM 或OM ⋅=⋅0 （1.1—1） 用坐标来表示，化为0)()()(000=-+-+-z z C y y B x x A令)(000Cz By Ax D ++-=，则得到平面的方程0=+++D Cz By Ax （1.1—2）这样，任何一张平面都可以用一个三元一次方程来表示.反之，对于任何一个三元一次方程0=+++D Cz By Ax C B A ,,不全为0不妨设0≠A ，则该方程又可写成 0)(=+++Cz By A D x A 作过点)0,0,(AD -，垂直于方向},,{C B A 的平面，则这个平面的方程就是所给出的方程，即一个三元一次方程表示一个平面..由（1.1—2）表示的方程称为平面的一般方程.1.2空间平面的法式方程把（1.1—1）式两边同时与=λ相乘，符号的选取使得0)(0≥⋅OM λ.这样 n n λ=0为从原点指向平面π的单位向量 0)(≥⋅=OM p o λ为原点O 与平面π的距离.此时可以得到π的另一种方程表示p n OM =⋅001=，p ≤0称为平面的法式方程，选取的λ称为法化因子.它的几何意义是：平面π是由所有的满足在垂直于π的直线上投影向量为0pn 的点M 构成的.若以给平面π的方程为0=+++D Cz By Ax则π的法式方程可以表示成0)(=+++D Cz By Ax λ 其中法化因子2221C B A ++±=λ，λ正负号的选取要使得0≤D λ.法式方程常用来处理和点与平面的距离有关的问题.1.3空间平面的参数方程图1 从图1中可以看出，平面π是由π上一点0M 与两个不共线的与π平行的向量b a ,（或者说是π上两个不共线的向量）所决定的.设0M ),,(000z y x ∈π，),,(321a a a =，),,(321b b b =，，与π平行且0≠⨯.则空间中任意一点),,(z y x M 在π上，当且仅当M 0,,三向量共面.从而有实数k ，m ，使得 m k M +=0 或者 m k OM ++=0使用分量来表示，则可得到⎪⎩⎪⎨⎧++=++=++=330220110mb ka z z mb ka y y mb ka x x （1.3—1）我们称（1.3—1）为平面的参数方程，其中参数为k 和m .从（1.3—1）中消去参数k ，m ，可以得到关于x ,y ,z 的三元一次方程 321321000b b b a a a z z y y x x ---=01.4空间平面的截距式方程对于由方程0=+++D Cz By Ax 所表示的平面π.假设π过原点O ，即)0,0,0(在π上当且仅当0=D .若0≠D ，则平面π可用方程 1=++cz b y a x （1.4—1） 表示，其中)0,0,(a ，)0,,0(b ，),0,0(c 分别为π与三个坐标轴的交点坐标.则我们称（1.4—1）为平面的截距式方程.2空间直线的方程2.1直线的对称式（点向式）方程空间给定了一点0M 与一个非零向量v ,那么通过点0M 且与向量v 平行的直线l 就被唯一确定,向量v 叫直线l 的方向向量.任何一个与直线l 平行的非零向量都可以作为直线l 的方向向量.图2如图2，直线l 过点),,(0000z y x M ,方向向量{}Z Y X v ,,= .设),,(z y x M 为l 上任意一点,00r OM =, r =,由于M 0与v (非零向量)共线,则v t r r =-0即 v t r r +=0 （2.1-1）叫做直线l 的向量式参数方程，（其中t 为参数）.如果设},,{0000z y x r = ，},,{z y x r = ,又设},,{Z Y X v = ，那么由（2.1-1）式得⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+=Zt z z Yt y y Xt x x 000 （2.1-2）叫做直线l 的坐标式参数方程.消参数t 即得Zz z Y y y X x x 000-=-=- (2.1-3) 叫做直线l 的对称式方程或称直线l 标准方程.例1 求通过空间两点),,(1111z y x M ，),,(2222z y x M 的直线方程.(图3)解 取21M M v =作为直线l 的方向向量，设),,(z y x M 为直线l 上的任意点（如图3），那么 },,,{12121212z z y y x x r r M O r ---=-==所以直线l 的向量式参数方程为);(121r r t r r -+= （2.1-4）坐标式参数方程为 ⎪⎩⎪⎨⎧-+=-==-+=)()()(121121121z z t z z y y y y x x t x x （2.1-5）对称式方程为 121121121z z z z y y y y x x x x --=--=-- （2.1-6） 方程（2.4-4）（2.4-5）（2.4-6）都叫做直线l 的两点式方程.若取直线l 的方向向量为 {}γβαcos ,cos ,cos 0=v ,则直线的方程为00v t r r +=(参数方程)或 ⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+=γβαcos cos cos 000t z z t y y t x x （2.1-7）标准方程 γβαcos cos cos 000z z y y x x -=-=- （2.1-8） 由此可见参数t 的几何意义: t 为直线l 上点M 与点0M 之间的距离. 定义 1 设直线的方向向量的分量为n m l ,,，则直线的方向余弦γβαcos ,cos ,cos 为222cos nm l l++±=α 222cos nm l m++±=β 222cos n m l n++±=γ2.2空间直线的一般方程空间直线可以看作两个平面的交线.如果两个相交平面的方程分别为01111=+++D z C y B x A 和02222=+++D z C y B x A （222111::::C B A C B A ≠），则它们的交线是空间直线.该直线上任何一点的坐标应同时满足这两个平面方程，而不在该直线上的点的坐标不能同时满足这两个方程.所以方程组⎩⎨⎧=+++=+++0022221111D z C y B x A D z C y B x A （2.2-1） 就是这两个平面交线的方程.方程（2.2-1）称为空间直线的一般方程.2.3直线的射影式方程由于直线的表示法不唯一,也可以用简单的两平面来表示.如 将一般方程(特殊的一般方程)化为⎩⎨⎧+=+=d bz y c az x (2.3-1） 则此方程是直线的射影式方程.3空间中直线与平面的位置关系3.1空间直线与平面的位置关系定理1 已知直线l 和平面π的方程为 .0:,:000=+++-=-=-D Cz By Ax Z z z Y y y X x x l π则直线l 与平面π相交的充要条件是0≠++CY BY AX直线l 与平面π平行的充要条件是⎩⎨⎧≠+++=++00000D Cz By Ax CZ BY AX直线l 在平面π上的充要条件是⎩⎨⎧=+++=++00000D Cz By Ax CZ BY AX 例2 试求A ，B ，使得直线⎩⎨⎧=+-+=+-+02302z By x A z y x 在xOy 坐标平面上.解 在直线的方程中，令0=y 解得121-=A x ，123-=A z ，得)123,0,121(--A A 是直线上的点.由于直线的方向向量为}{6,2,2---=B B v ，xOy 坐标平面的方程是0=z ，它的法向量是}{1,0,0=n ，依题设得直线上的点在xOy 坐标平面上，且直线的方向向量与平面的法向量垂直，即 ⎪⎩⎪⎨⎧=-=-012306A B 解得32=A ，6=B . 3.2空间直线与平面的交角设直线l 和平面π的交角为θ.当π//l 时，0=θ；当π⊥l 时，2πθ=；其他情况下，θ等于l 与它在π上的射影直线'l 所交的锐角.设ϕ是l 的方向向量v 与π的法向量n 之间的夹角，则有 θπϕ-=2或θπϕ+=2 θθπϕsin )2cos(cos =-=或.sin )2cos(cos θθπϕ-=+=因此在这两种情况下，都有==ϕθcos sin 定理2 已知直线l 和平面π的方程为 0::000=+++-=-=-D Cz By Ax Z z z Y y y X x x l π设l 和π的交角为θ，则222222sin C B A Z Y X CZBY AX ++++++==θ例3 证明直线12111:z y x l =-=-+和平面092:=++-z y x π相交，并求它们的交点与交角. 解 将直线l 的方程化为参数方程⎪⎩⎪⎨⎧=+=--=t z t y t x 121 )1(将)1(代入平面π的方程整理得063=-t解得2=t ，将此值代入)1(得2,5,3==-=z y x .因此直线l 与平面π相交，且交点为)2,5,3(0-P .由于直线l 的方向向量}{1,2,1-=v ，平面π的法向量}{1,1,2-=n ，应用公式得21sin ==α 由此得直线l 与平面π的交角6πα=.参考文献[1]吕林根,许子道.《解析几何》第四版.高等教育出版社.2006.05[2]同济大学应用数学系.《高等代数与解析几何》.高等教育出版社.2005.05［3]谢敬然,柯媛元.《空间解析几何》.高等教育出版社.2013.05[4]高红铸,王敬庚,傅若男.北京师范大学数学科学学院组编.《空间解析几何》第三版.北京师范大学出版社.2007.07.03Plane and space linear equation and the position relationship between themGao Tianyi 20101105055College of Mathematics Science Mathematics and Applied Mathematics class two grade 2010Adviser Li ShuxiaAbstract in analytic geometry, in plane and space linear equation and discuss their properties, use the vector of this tool, through the benefits of vector to deal with this kind of problem is has nothing to do with the selection of coordinates is. The establishment of the linear equation of plane and space, makes the plane and space geometric problem into a linear equation of the objects of these geometric algebra problem. Here, we discuss by vector space plane and straight line equation and the location of the relationship between them.Key words equation method ;vector direction; vector parameter目录摘要 (1)1空间平面的方程 (1)1.1空间平面的一般方程 (1)1.2空间平面的法式方程 (2)1.3空间平面的参数方程 (2)1.4空间平面的截距式方程 (3)2空间直线的方程 (3)2.1直线的对称式（点向式）方程 (3)2.2空间直线的一般方程 (6)3空间中直线与平面的位置关系 (6)3.1空间直线与平面的位置关系 (7)3.2空间直线与平面的交角 (7)参考文献 (9)英文摘要 (9)。